Matematika

Pengertian Trigonometri Pada segitiga siku-siku berlaku dalil phitagoras. Sin α = a/c Cos α = b/c tg α = a/b

cosec α = c/a sec α = c/b ctg α = b/a

HUBUNGAN-HUBUNGAN ctg α = 1/tg α sec α = 1/cos α cosec α = 1/sin α

tg α = sin α / cos α sin2 α + cos2 α = 1 tg2 α + 1 = sec2 α

Satu radian (ditulis 1 rad) adalah besar sudut dari suatu putaran yang panjang busurnya soma dengan jari-jari, lingkaran. 2p rad = 360° p rad = 180° 1 rad = 57,29°

KUADRAN TANDA-TANDA FUNGSI Kuadran

I 0° - 90°

II 90° - 180°

III 180° - 270°

IV 270° - 360°

Sin

+

+

-

-

Cos

+

-

-

+

Tan

+

-

+

-

SUDUT ISTIMEWA

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin

0

1/2

½ √2

½ √3

1

0

-1

0

cos

1

½ √3

½ √2

1/2

0

-1

0

1

tan

0

1/3

1

√3

~

0

~

0

√3

Sudut (90 + α)

Sudut (90 - α)

sin (90 + α) = Cos α Cos (90 + α) = - sin α tan (90 + α) = - cot α

sin (90 - α) = Cos α Cos (90 - α) = sin α tan (90 - α) = cot α Sudut (180 - α)

Sudut (180 + α)

sin (180 - α) = sin α Cos (180 - α) = - Cos α tan (180 - α) = - tan α Sudut (270 - α)

sin (180+α) = -sinα Cos (180 + α) = - Cos α tan (180 + α) = tan α Sudut (270 + α)

sin (270 - α) = - Cos α cos (270 - α) = - sin α tan (270 - α) = ctg α Sudut (360 - α)

sin (270 + α) = -cos α cos (270 + α) = sin a tan (270 + α) = - cot α Sudut (360 + α)

sin (360 - α) = - sin α Cos (360 - α) = Cos α tan (360 - α) = - tan α

sin (360 + α) = sin α Cos (360 + α) = Cos α tan (360 + α) = tan α

Sudut Negatif sin (-α) = - sin α Cos (-α) = Cos α tan (-α) = - tan α

Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam. Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV. Keterangan : Untuk α sudut lancip Kuadran

Hubungan

I

α

II

(180 - α)

III

(180 + α)

IV

(360 - α)

(90 - α) atau

(90 + α) (270 - α) (270 + α)

RINGKASAN Sudut (180 ± α) ; (360 ± α) → FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan kuadran Sudut (90 ± α) ; (270 ± α)

→ FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan kuadran

2. Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran L2 melalui titik-titik sudut segitiga ABC, titik pusat lingkaran luar didapat dari perpotongan garis-garis berat segitiga ABC. Hubungan : rL = a = b = c sin α sin β sin δ

rL = 4

abc

√ [s(s-a)(s-b)(s-c)]

3. Lingkaran Singgung Segitiga

Lingkaran L3 menyinggung sisi BC, menyinggung garis BP (BP adalah perpanjangan sisi AB) dan menyinggung garis CQ (CQ adalah perpanjangan sisi AC). Titik pusat lingkaran berada diluar segitiga ABC. Titik pusat lingkaran singgung didapat dari perpotongan garis bagi dalam sudut A dan garis bagi luar sudut B dan sudut C. Terdapat tiga lingkaran singgung yaitu: menyinggung sisi AB, menyinggung sisi BC dan menyinggung sisi AC. Hubungan : rsa = jari - jari lingkaran singgung sisi BC =

√ s(s-b)(s-c)

(s-a) rsb = jari - jari lingkaran singgung sisi AC =

√ s(s-a)(s-c)

(s-b) rsc = jari - jari lingkaran singgung sisi AB

=

√ s(s-a)(s-b) (s-c)

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b) sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b tg(a + b ) = tg a + tg b 1 - tg2a SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b tg(a - b ) = tg a - tg b 1 + tg2a SUDUT RANGKAP sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a tg 2a = 2 tg 2a 1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a = ½ (1 - cos 2a) Secara umum : sin na = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na = 2 tg ½na 1 - tg2 ½na JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA

BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b = 2 sin a + b 2 sin a - sin b = 2 cos a + b 2 cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a + cos b = - 2 sin a + b 2

cos a - b 2 sin a - b 2 cos a - b 2 sin a - b 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan : K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I

II

III

IV

a

+

-

-

+

b

+

+

-

-

keterangan :

a = koefisien cos x b = koefisien sin x PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360° x2 = (180° - a) + n.360°

cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°

tg x = tg a Þ x = a + n.180°

(n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = C K cos (x-a) = C cos (x-a) = C/K syarat persamaan ini dapat diselesaikan -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan C/K = cos b cos (x - a) = cos b (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

MELUKIS GRAFIK y = a cos x + b sin x a cos x + b sin x = K cos (x - α)

Maksimum = K → bila cos (x - α) = 1 cos (x - α) = cos 0° → untuk x = α + n.360° Minimum = -K → bila cos (x - a) = -1 cos (x - a) = cos 180° → untuk x = α ± 180° + n.360° NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x) y=0

→ bila cos (x-a) = 0 cos (x-a) = cos 90° → untuk x = a ± 90° + n360°

grafik dibuat berdasarkan data-data diatas

PENGERTIAN LIMIT Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut. CONTOH : Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0. ditulis : l i m 2=0 x→ ∞ x Hasil yang harus dihindari 0/0 ;

∞/∞ ; ∞-∞ ; 0,∞ (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA 1. Jika f(x) = c maka

l i m f(x) = c x→ a 2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku x→ a x→ a a. l i m [f(x) ± g(x)] = l i m f(x) ± l i m g(x) = F ± G x→ a x→ a x→ a b. l i m [f(x) x→ a

•

g(x)] = l i m x→ a

f(x) • l i m x→ a

g(x) = F

•

G

c. l i m k x→ a

•

f(x) = k l i m x→ a

f(x)

=k

•

F

lim f(x) d. l i m f(x) = x → a =F x → a g(x) lim g(x) G x→ a LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI 1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud. Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan. Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan. Dalam konteks limit perhatikan hasil pembagian berikut : 0/a = 0 ; a/0 =

∞ ; ∞ /a = ∞ ; a/∞ = 0 ; ∞ ± a = ∞

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI KETENTUAN Untuk x <<< ( x → 0 ) maka sin x ≈ x (x <<< kecil sekali ; ≈ setara ) lim x→0

sin x = 1 x

lim x→0

x =1 sin x

lim x→0 lim x→0

tg x = 1 x x =1 tg x

PERLUASAN lim x→0

sin ax = a/b bx

lim x→0

ax = a/b sin bx

lim x→0

sin ax = a/b sin bx

lim x→0

tg ax = a/b bx

lim ax = a/b x → 0 tg bx lim tg ax = a/b x → 0 tg bx

(α = konstanta)

lim x→0

sin ax = a/b tg bx

lim x→0

tg ax = a/b sin bx

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi: cos x = sin (90° - x) ctg x = tg (90° - x) sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax cos ax = 1- 2 sin² ½ax cos²x = 1 - sin²x

HAL-HAL KHUSUS l i m axm + bxm-1 + .... x → ∞ pxn + qxn-1 + ...

lim

=

√ax2 + bx + c -

√dx2 + ex + f

x →∞

∞

untuk m > n ; a/p untuk m =n ; 0 untuk m < n

∞

untuk a > d ; b-e untuk m =n ; 2√a -∞

untuk a < d

Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan kemudian menarik tanda akar. DALIL L'HOSPITAL Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ∞ maka l i m f(x) x → ∞ g(x)

=lim x →a

f(x) g(x)

CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR 1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0 x →3 2. l i m

3x - 2

x → ∞ 2x + 1

=

∞ (*) Uraikan ∞

x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3 x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2 atau langsung gunakan hal khusus

x2 - x - 1

3. l i m x →∞

=

10x + 9

∞ (*) Uraikan ∞

x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ∞ - 1 - 0 = ∞ =∞ x(10 - 9/x) 10 + 9/x 10 + 0 10 atau langsung gunakan hal khusus x2 - 3x + 2 x2 - 5x + 6

4. l i m x →2

= 0 0

(*) Uraikan

(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1 (x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3 atau langsung gunakan hal khusus → Differensial x3 - 3x2 + 3x - 1 x2 - 5x + 6

5. l i m x →1

= 0 0

(*) Uraikan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus → Differensial

√2 + x - √2x x-2

6. l i m x →2

= 0 0

(*) Hilangkan tanda akar dengan mengalikan bentuk sekawan

(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0 (x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6 atau langsung gunakan hal khusus → Differensial

(3x - √9x2 + 4x) =

7. l i m

∞ - ∞ (*) Hilangkan tanda akar

x →∞ l i m (3x - √9x2 + 4x ) =  x →∞

3x

- √9x2 + 4x  = (*) Hilangkan tanda  3x - √9x2 + 4x  akar

lim x→

(9x2 - (9x2 + 4x) = l i m ∞ 3x + √(9x2 + 4x) x→

lim x→

∞

-4 = -4 = -2 3 + 3√(1 + 0) 6

-4x

=

∞ 3x + 3x √[1+(a/9x)] 3

atau langsung gunakan hal khusus CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. l i m sin 2x = 0 (*) x → 0 tg 3x 0 sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2 2x tg 3x 3 3 3 2. l i m 1 - cos 2x = 0 x →0 sin 2x 0 1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x 2 sin x cos x 2 sin x cos

= sin x = tg x = 0 cos x

3. l i m 1 - cos x = 0 x →0 3x² 0 2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1 3 . 4 . (½x) 6 (½x) (½x) 6 6 atau langsung gunakan hal khusus → Differensial 4. l i m sin x - sin a = 0 (*) x →0 x-a 0 2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) = x-a ½ (x - a ) cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a atau langsung gunakan hal khusus → Differensial

DEFINISI

Differensial (turunan) fungsi y = f(x) terhadap x didefinisikan sebagai : dy = l i m f(x + ∆ x) - f(x) dx ∆x ⇒ 0 ∆x (Perbandingan perubahan y yang disebabkan karena perubahan x, untuk perubahan x yang kecil sekali) Notasi lain : df/dx = f`(x) ; y` RUMUS - RUMUS 1. FUNGSI ALJABAR

2. FUNGSI TRIGONOMETRI

y = xn ⇒ dy/dx = nxn-1

y = sin x ⇒ dy/dx = cos x y = cos x ⇒ dy/dx = - sin x y = sin x ⇒ dy/dx = sec²x

Sifat - sifat : 1. y = c (c=konstanta) ⇒ dy/dx = 0 2. y = c U(x) ⇒ dy /dx = c . U`(x) 3. y = U(x) ± V(x) ⇒ dy /dx = U`(x) ± V`(x) 4. Bentuk perkalian y = U(x) . V(x) ⇒ dy/dx = U`(x).V(x) + U(x).V`(x) 5. Bentuk pembagian y = U(x) ⇒ dy = U`(x).V(x) - U(x).V`(x) V(x) dx (V(x))² 6. Bentuk rantai y = f(U) dan U = g(x) ⇒ dy/dx = dy/du .du/dx y = (ax + b)n dy/dx = n(ax+b)n-1(a) y = sin (ax + b) dy/dx = (a) cos (ax+b) y = sinn (ax + b) dy/dx = n sinn-1(ax+b) [a cos (ax+b)] Ket : Untuk menyelesaikan persoalan, sifat dan rumus-rumus ini dikombinasikan

PENGGUNAAN

1. MENENTUKAN KOEFISIEN ARAN GARIS SINGGUNG (Gradien) di titik (x1y1) pada kurva y = f(x)

m = f`(x1)

f`(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1, Ket : Khusus untuk jenis fungsi kuadrat. Jika titik tidak terletak pada grafik, maka gradien garis singgungnya dimisalkan dengan m yang dicari dengan menggunakan persamaan garis y - y1 = m (x - x1) disinggungkan dengan persamaan kurva y = f(x) dengan syarat D = 0 (D = diskriminan dari hasil eliminasi kedua persamaan) 2. MENENTUKAN MONOTON FUNGSI • Fungsi y = f(x) monoton naik pada suatu interval, jika pada interval itu berlaku f'(x) > 0 • Fungsi y = f(x) monoton turun pada suatu interval, jika pada interval itu berlaku f'(x) < 0 3. MENENTUKAN TITIK STASIONER Fungsi y = f(x) → Syarat stasioner f'(x) = 0 JENIS - JENISNYA STASIONER : MAKSIMUM Syarat : f`(x) = 0 → x = x0; f'' (x0) < 0 → Titik maksimum (xo, f(xo)) MINIMUM Syarat : f '(x) = 0 → x = x0; f'' (x0) > 0 → Titik Minimum (xo, f(xo)) BELOK Syarat : f '(x) = 0 → x = x0; f'' (x0) = 0 → Titik

belok (xo, f(xo))

Nilai Stasioner adalah nilai fungsi di absis titik stasioner Keterangan : 1. Untuk menentukan jenis jenis titik stasioner dapat juga dicari dengan perubahan tanda disekitar titik stasioner. Langkah : a. Tentukan absis titik stasioner dengan syarat f '(x) = 0 → x = xo

melihat

b. Buat garis bilangan f '(x) c. Tentukan tanda-tanda disekitar titik stasioner dengan mensubstitusi sembarang titik pada f '(x) d. Jenis titik stasioner ditentukan oleh perubahan tanda di sekitar titik stasioner.

ket : f`(x) > 0 grafik naik f`(x) > 0 grafik turun 2. Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup didapat dari nilai stasioner fungsi dalam interval itu atau dari nilai fungsi pada ujung ujung interval 4. MASALAH FISIKA Jika S(t) = Jarak (fungsi waktu) V(t) = Kecepatan (fungsi waktu) a(t) = Percepatan (fungsi waktu) t = waktu maka V = dS/dt dan a = dV/dt 5. MENYELESAIKAN MASALAH LIMIT DALIL L'Hospital Jika fungsi-fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada x = a dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ∞ sehingga : lim x→a lim x→a

f(x) = 0 atau g(x) f(x) = g(x)

0 lim x→a

lim x→a

f(x) = g(x)

PENGERTIAN INTEGRAL

∞

∞, maka ∞

f`(x) = g`(x)

∞, maka

INTEGRAL merupakan kebalikan dari differensial (anti differensial). Jika turunan dari F(x) adalah f(x), maka : ∫ f(x) dx = F(x) + c ⇒ (c = konstanta) Integral dapat digolongkan atas : A. Integral tak tentu (Tanpa batas) B. Integral tertentu (Dengan batas)

INTEGRAL TAK TENTU 1. RUMUS FUNGSI ALJABAR ∫ xn dx = 1/n+1 xn+1 + c ; n ≠ -1 FUNGSI TRIGONOMETRI ∫ sin x dx = - cos x + c ∫ cos x dx = sin x + c sifat-sifat: a. ∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx b. ∫ ( f(x) ± g(x) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx c. jika ∫ f(x) dx = F(x) + c maka ∫ f(ax) dx = 1/a F(ax) + c ∫ f(ax+b) dx = 1/a F(ax+b) + c Perluasan : ∫ (ax + b)n dx = 1/a 1/(n+1) (ax + b)n+1 + c ∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c ∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c CARA MENGINTEGRIR a. SUBSTITUSI I = ∫ f(x) dx substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) du I = ∫ f(Q(u)) Q`(u) du jika ruas kanan telah diintegrir, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u) (ket : Prinsipnya adalah merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan) b. SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk √ a2 - x2 misalkan x = a sin θ → θ = arc sin x/a dx = a cos θ dθ

∫ √ a2 - x2 dx = a ∫ √ 1 - sin2θ (a cos θ dθ) = a2 ∫ cos2θ dθ = ½a2 ∫ (1 + cos2θ) dθ = ½a2 (θ + sinθ cosθ) + c = ½a2 ∫ [arc sin x + x √a2 - x2 ] + c a a a ∫ √ a2 - x2 dx = ½ a2 arc sin x/a + ½ x √ a2 - x2 + c

2. Bentuk ∫ √a2 + b2x2 Gunakan substitusi : x = a/b tgθ dx = a/b sec2θ dθ 3. Bentuk ∫ √b2x2 - a2 Gunakan substitusi : x = a/b secθ dx = a/b tgθ sec2θ c. PARSIIL Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain. I = ∫ f(x) g(x) dx Misalkan : u = f(x) ; dv = g(x) dx du = ..... dx ; v = ∫ g(x) dx = ..... maka : ∫ u du = u v - ∫ v du Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk ∫ v du jadi lebih mudah Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI

INTEGRAL TERTENTU 1. Pengertian Bila suatu fungsi F(x) mempunyai turunan f(x), maka bila f(x) diintegrasikan pada selang (a, b) menjadi a

a

∫ c dx = c(x) = F(b) - F(a) b

b

2. Sifat b

a.

b

∫ c dx = c(x)  = c(b - c) a

a

b

b.

c = konstanta

a

∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx a

c = batas ditukar

b

a

c.

∫ f(x) dx = 0

c = batas sama

a b

d.

a

b

∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx a

b

c = ( a < c < b)

c

MENHITUNG LUAS DAERAH GAMBAR 1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) ≥ 0 (grafik di atas sumbu-x) ; sumbu -x garis x = a ; garis x = b b

Luas =

∫ f(x) dx = 0 a

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y) ≥ 0 (grafik di kanan sumbu-y) sumbu -y ; garis y = c ; garis y = d d

Luas =

∫ g(y) dy = 0 c

b

3. Untuk y = f (x) < 0, maka

∫ f(x) dx < 0 a

menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :

b

Luas = -

b

∫ f(x) dx =  ∫ f(x) dx  a

a

4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu. y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b sumbu-x ; garis x = a ; garis x = b c

Luas = 

b

∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx a

c

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y= f1(x) ; y=f2(x) garis x = a ; garis x = b b

Luas =

∫ [f1(x) - f2(x)] dx

a

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d d

Luas =

∫ [f1(x) - f2(x)] dx

c

HAL KHUSUS 1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus: Luas = D√D atau Luas = a x1 - x2  3

6a2

6 Ket. : D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan. x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.

disederhanakan)

2. Luas antara parabola dengan sumbu-x.

Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya = 2/3 (b-a)(c)

MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR 1. Volume benda putar yang mengelilingi sumbu x y = f(x) ; garis x =a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x b

Volume = π

∫ (f(x))2 dx a

2. Volume benda putar mengelilingi sumbu y x = f(y) garis y = c ; garis y = d ; diputar mengelilingi sumbu-y d

Volume = π

∫ (f(x))2 dy c

3. Daerah antara dua kurva diputar mengelilingi sumbu -x y = f1(x) ; y = f2(x) garis x = a ; garis x = b ; diputar mengelilingi sumbu -x b

Volume = π

∫ {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx a

4. Daerah antar dua kurva yang berpotongan pada titik-titik dengan diputar mengelilingi surnbu x

absis a dan b

y = f1(x) ; y=f2(cx) diputar mengelilingi sumbu-x b

Volume = π

∫ {[f1(x)]2 - [f2(x)]2} dx a

MENHITUNG PANJANG BUSUR 1. Panjang busur kurva y = f(x) dari a = a sampai a = b

b

S=π

∫ √ 1 + (dy/dx)2 dx a

2. Panjang busur kurva x = f(y) dari y = c sampai y = d

d

S=π

∫ √ 1 + (dx/dy)2 dy c

BEBERAPA BENDA RUANG YANG BERATURAN Kubus

volume = a³ luas = 6a²

Prisma

Tabung

rusuk kubus = a panjang diagonal bidang = a√2 panjang diagonal ruang = a√3

r = jari-jari t = tinggi volume = π r² t luas = 2πrt

Kerucut

LA = luas alas t = tinggi volume = LA.t

Limas

r = jari-jari t= tinggi g = garis pelukis volume = 1/3 πr²t luas = πrs

Bola

LA = luas alas t = tinggi volume = 1/3 LA t

r =jari-jari volume = 4/3 πr³ luas = 4πr²

LIMAS SEGITIGA (BIDANG EMPAT) BIDANG EMPAT TEGAK Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas atau proyeksi titik puncaknya tepat pada salah satu titik sudut bidang alas..

BIDANG EMPAT BERATURAN • •

•

Bidang yang batasnya terdiri dari dari empat buah segitiga sama sisi yang kongruen Titik sudutnya merupakan pertemuan dari tiga buah bidang batas dan tiga buah rusuk Karena masing-masing bidang batas merupakan segitiga sama sisi yang kongruen, maka titik berat masing- masing bidang batas tepat berimpit dengan titik tingginya. Sehingga titik berat bidang empat beraturan juga tepat

AM = 2/3 AD BM = 2/3 BE CM = 2/3 CF

berimpit dengan titik tingginya. BIDANG EMPAT SIKU-SIKU Bidang empat siku-siku adalah bidang empat dengan ketiga buah rusuknya bertemu pada satu titik yang saling tegak lurus sesamanya.

LUAS SEGI EMPAT BERATURAN

• Bujur sangkar ABCD (segi-empat beraturan) merupakan bidang alas O adalah titik pusat bidang alas. • Titik T merupakan titik puncak limas • Segitiga TAB, TBC, TCD, TAD merupakan bidang sisi tegak • Garis TA, TB, TC, TD merupakan rusuk-rusuk tegak • Garis AB, BC, CD, DA, merupakan rusuk-rusuk alas • TO tegak lurus bidang alas (ABCD) • Titik O merupakan proyeksi titik T pada bidang alas ABCD (O pusat bidang alas). TO merupakan tinggi limas.

limas. Titik

PROYEKSI PROYEKSI TITIK PADA GARIS Proyeksi sebuah titik P pada sebuah garis g dapat diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari titik P terhadap garis g. Perpotongan garis tegak lurus dari titik P dengan dengan garis g yaitu titik P' , disebut proyeksi titik P pada garis g. P = titik yang diproyeksikan (proyektum) P' = titik hasil proyeksi PP' = garis yang memproyeksikan g = garis yang menerima proyeksi (garis proyeksi) dan PP' g PROYEKSI TITIK PADA BIDANG Proyeksi sebuah titik P pada bidang V dapat diperoleh dengan menarik garis tegak

lurus dari P ke bidang V. Perpotongan garis lurus dari P dengan bidang V, yaitu titik P' disebut sebagai proyeksi titik P pada bidang V. P = titik yang diproyeksikan (proyektum) P' = titik hasil proyeksi PP' = garis yang memproyeksikan (proyektor) V = bidang yang menerima proyeksi (bidang proyeksikan) dan PP' V) PROYEKSI GARIS PADA BIDANG Proyeksi sebuah garis g pada bidang V dapat diperoleh dengan membuat proyeksi titik-titik yang terletak pada garis g ke bidang V. Selanjutnya titik-titik proyeksi ini kita hubungkan, maka diperoleh proyeksi dari garis g, yaitu g' Garis g = garis yang diproyeksikan (proyektum) Bidang v = bidang yang menerima proyeksi (bidang proyeksi) AA', BB', CC' = garis yang memproyeksikan (proyektor) Garis g' = proyeksi garis g pada bidang V Bidang yang dibentuk oleh garis-garis proyektor yaitu bidang a disebut bidang proyektor. GARIS TEGAK LURUS PADA SEBUAH BIDANG • Sebuah garis tegak lurus bidang, jika garis tersebut tegak lurus dua garis yang berpotongan pada bidang tersebut. • Garis g tegak lurus bidang V, berarti garis g tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang V.

FAKTA-FAKTA FAKTA - FAKTA 1. Jika garis a tegak lurus pada garis g dan h yang berpotongan maka garis a tegak lurus pada bidang yang melalui kedua garis g dan h itu. 2. Jika dari sebuah titik P yang terletak pada garis g dibuat garis-garis k, l, m,...... yang masing-masing tegak lurus pada garis g maka garis k, l, m,.... terletak pada sebuah bidang datar yang tegak lurus pada garis g. 3. Jika salah satu dari dua garis (g atau h) yang sejajar, berdiri tegak lurus pada bidang a, maka garis yang lain (g tau h) akan tegak lurus pada bidang a 4. Jika garis g dan h masing-masing tegak lurus pada bidang a, maka garis g dan h itu adalah sejajar.

5. Melalui sebuah titik P yang terletak pada garis g hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak lurus pada garis g. 6. Melalui sebuah titik P diluar garis g, hanya dapat dibuat sebuah bidang a yang tegak lurus pada garis g. 7. Melalui sebuah titik P pada sebuah bidang a, hanya dapat ditarik sebuah garis g yang tegak lurus pada bidang a

GARIS DAN BIDANG Garis Terletak Pada Bidang

Garis dengan bidang mempunyai dua titik persekutuan Garis menembus bidang

Garis dengan bidang mempunyai satu titik persekutuan Garis sejajar bidang

Garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan

JARAK Titik ke Garis

Panjang garis tegak lurus dari titik ke garis tersebut Titik ke Bidang

Panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang tersebut

SUDUT Antara Dua Garis Yang Bersilangan

Antara Dua Bidang

Sudut antara garis m dan n yang bersilangan adalah sudut yang dibentuk antara garis m' dan n' yang ditarik melalui sebuah titik p di dalam ruang, searah dan sejajar dengan m dan n.

Sudut antara dua garis yang terletak pada masing-masing bidang tersebut. Dimana garis-garis ini tegak lurus pada garis potong dua bidang (garis tumpuan) itu; dan berpotongan di garis potong kedua bidang.

Antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang itu.

IRISAN KUBUS DENGAN BIDANG DATAR

Irisan kubus dengan sebuah bidang datar dapat berbentuk segitiga, segiempat, segilima, atau segienam

RUMUS-RUMUS YANG SERING DIGUNAKAN Segitiga Siku-Siku

Segitiga Sembarang

Dalil Phitagoras c² = a² + b² sin a = a/c cos a = b/c tg a = a/b luas = 1/2 ab rumus perbandingan

Dalil Cos c² = a² + b² - 2ab cos luas = 1/2 a.b sin

perbandingan luas

BC : DE = AB : AD = AC : AE

Luas Bidang Dihitung Dari Diagonalnya

(AB)(CE) = (BC)(AD)

Layang-Layang : Dua Segitiga Sama Kami, Alasnya Berimpit

Luas = (d1 . d2) / 2

Persegi (Bujur Sangkar)

Belah Ketupat : Dua Segitiga Sama Kaki Yang Sama, Alasnya Berimpit

Luas = d2/2

Luas = (d1 . d2) / 2