Matematika Aplikasi Turunan Fungsi [kel 1] Alvien Dkk Sma Negri 11 Surabaya

Presentasi Bidang Studi

SMA NEGERI 11 SURABAYA TAHUN PELAJARAN 2008 – 2009

Kelom pok 01: Afif Linofian M.

1

02: Aloysius Radja P. 03: Alvien Okky P. 04: Andy Pudji K.

Kelas

XI IPA 2

Guru Pembimbing:

Bpk Ndaruworo dan Ibu Ayu Palupi

SMA NEGERI 11 SURABAYA Tahun Pelajaran 2008 – 2009

Standar Kompetensi 1. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar 6.4 Menggunakan turunan untuk menentukan karasteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah.

Indikator 4. Menggunakan turunan dalam perhitungan kecepatan dan percepatan.

Rumus Umum Turunan Misal fungsi y = f(x), maka bisa dituliskan:

f' (x) =

dy df(x) f(x + dx) - f(x) = y' = = Lim ∆x →0 dx dx ∆x

Sebagai pemantapan konsep kita pelajari contoh berikut: Tentukan turunan dari: • f(x) = x2 • f(x) = 2x2 + x

JAWAB : a) f(x) = x 2 f(x + dx) - f(x) f' (x) = Lim ∆x →0 ∆x (x + dx)2 - x 2 = Lim ∆x →0 ∆x

x 2 + 2x ∆x + ∆x 2 - x 2 = Lim ∆x →0 ∆x (2x + dx)∆x = Lim ∆x →0 ∆x = 2x

Aplikasi Turunan Fungsi Percepatan & Kecepatan

b) f(x) = 2x 2 + x f(x + ∆x) - f(x) f' (x) = Lim ∆x →0 ∆x 2(x + ∆x)2 + (x + ∆x) - 2x 2 - x = Lim ∆x →0 ∆x 2(x 2 + 2x∆x + ∆x 2 ) + x + ∆x - 2x 2 - x = Lim ∆x →0 ∆x 2x 2 + 4x ∆x + ∆x 2 + ∆x - 2x 2 = Lim ∆x →0 ∆x ∆x (4x + 2∆x + 1) = Lim ∆x →0 ∆x = 4x + 1 Sehingga dari contoh tersebut ditetapkan dan ditemukan rumus lain turunan yang lebih mudah:

f(x) = xn ⇒ f’(x) = nxn–1

Aplikasi Turunan Fungsi Percepatan & Kecepatan

Lah…… soal itu tadi Cuma pemanasan loh!!.... Sekarang kita menghitung kecepatan dan percepatan menggunakan turunan, agar kita semua tidak kaku, kita langsung ajah ke slide selanjutnya!

Menggunakan Turunan dalam Perhitungan Kecepatan dan Percepatan Dalam kecepatan dan percepatan, kita pasti mengenal posisi = s, kecepatan v dan percepatan = a. Misalnya, sebuah benda bergerak pada suatu lintasan yang berbentuk kurva dan posisinya dinyatakan sebagai fungsi waktu, yaitu

s = s(t)

Kecepatan benda v(t) adalah turunan pertama dari:

ds s(t) = s' (t) = dt Percepatan adalah turunan pertama dari v(t) sehingga:

d2 s a(t) = v' (t) = s" (t) = 2 dt

Aplikasi Turunan Fungsi Percepatan & Kecepatan

Turunan dari v(t)

Turunan dari s(t)

s(t)

v(t)

a(t)

Tu

ru n

an

s(

t)

Tu r

un

an

v(

t)

atau

s(t)

v(t)

a(t)

Contoh : Sebuah benda bergerak sepanjang lintasan dan posisinya dinyatakan dengan fungsi s(t) = 1/3 t3 – 2t2 + 4t + s : a. Kecepatan benda saat t = 4 detik b. Percepatan benda saat t = 1 detik c. Kecepatan benda pada saat percepatan nol! d. Kapan benda itu berhenti?

JAWAB : 1 3 a) s(t) = t - 2t 2 + 4t + s 3 3 → v(t) = t 3-1 - 2 ⋅ 2t 2-1 + 4 ⋅1t 1-1 3 = t 2 - 4t + 4 ⇔ t = 4 → v(4) = 4 2 - 4(4) + 4 = 16 - 16 + 4 = 4m/detik

Aplikasi Turunan Fungsi Percepatan & Kecepatan

b) v(t) = t 2 + 4t + 4

c) a(t) = 0 2t - 4 = 0

a(t) = 2t 2-1 - 4 ⋅ 1t1-1 = 2t - 4

4 t= 2 =2

t = 1 → a(1) = 2(1) ⋅ 4

t = 2 → v(2) = (2)2 - 4(2) + 4

=2-4

=4-8+4

= - 2 m/detik 2

= - 8 m/detik 2

d) v(t) = 0 ↔ t 2 - 4t + 4 = 0 (t - 2) (t - 2) = 0 t-2=0 t=2

V

t-2=0 t=2

Jadi, benda berhenti pada saat t = 2 detik

Latihan Soal : •

•

Suatu benda bergerak pada suatu lintasan s(t) = t4 – 4t3 + 10, hitunglah: a. Kecepatan pada saat t : 10 b. Percepatan pada saat kecepatan nol c. Kecepatan pada saat percepatan nol Sebuah bola dilempar dari atas gedung dengan pernyataan s(t) = -9t2 + 3t + 256, tentukan: a. Kapan benda jatuh tepat ditanah! b. Percepatan benda ditanah!

JAWABAN :

a) s(t) = t 4 − 4t 3 + 10

b) v(t) = ut 3 - 12t 2

v(t) = 4t 3 - 12t 2

→

a(t) = 12t 2 - 24t

t = 10, v(10) = 4(10)3 - 12(10) 2 = 4000 - 1200

a(3) = 12(3) - 24(3)

= 2800 m/detik

2

= 12 . 9 - 72 = 36 m/detik 2

c) a(t) = 12t 2 - 24t 0 = 12t 2 - 24t 24t = 12t 2 12 t = 2 24 t 1 1 = 2 t t=2

v(2) = 4(2)3 - 12(2)2 = 4 ⋅ 8 - 12 ⋅ 4 = 32 - 48 = - 16 m/detik

4t 3 - 12t 2 = 0 4t 3 = 12t 2 4 t2 = 3 12 t 1 1 = 3 t t=3

Aplikasi Turunan Fungsi Percepatan & Kecepatan

2. s(t) = - 9t 2 + 3t + 256 a) v(t) = - 18t + 3 m/detik 0 = - 18t + 3 18t = 3 3 18 1 = detik 6 1 Jadi, saat detik benda jatuh tepat ditanah 6 t=

b) v(t) = - 18t + 3 m/detik a(t) = - 18 m/detik 2

dengan pokok bahasan tentang: