Matematica I - Algebra I.pdf

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didactice din învăţământul preuniversitar pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

ALGEBRA 1 Constantin NIŢĂ

Constantin NĂSTĂSESCU

Program de conversie profesională la nivel postuniversitar pentru cadrele didactice din învăţământul preuniversitar Specializarea MATEMATICĂ Forma de învăţământ ID - semestrul I

2010

MATEMATICĂ Algebra I

Constantin NĂSTĂSESCU

2010

Constantin NIŢĂ

© 2010

Acest manual a fost elaborat în cadrul "Proiectului pentru Învăţământul Rural", proiect co-finanţat de către Banca Mondială, Guvernul României şi comunităţile locale. Nici o parte a acestei lucrări nu poate fi reprodusă fără acordul scris al Ministerului Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului.

ISBN 973-0-04089-3

Introducere

Introducere

Acest Modul este fundamental pentru întregul program, având în vedere că în acesta se prezintă noţiunile de bază ale matematicii: numerele, mulţimile, funcţiile. Am putea spune, parafrazând pe marele nostru matematician şi poet Dan Barbilian, că orice om cu un nivel de cultură acceptabil trebuie să aibă, măcar parţial, cunoştinţele prezentate în acest modul. În Modul se prezintă teme importante care apar în programa şcolară, la nivel premergător ultimelor două clase de liceu. Menţionăm că prezentarea este făcută la un nivel de rigoare destul de ridicat, cu reducerile obligatorii impuse de nivelul de pregătire al cursanţilor. Modulul este structurat pe trei unităţi de învăţare. Prima unitate de învăţare este intitulată Mulţimi de numere. Se construiesc şi se studiază numerele raţionale, se indică modul de construcţie al numerelor reale ca fracţii zecimale infinite, se studiază în detaliu proprietăţile numerelor reale, se definesc numerele complexe şi se studiază acestea din punct de vedere algebric cât şi geometric. A doua unitate de învăţare este intitulată Mulţimi. Relaţii. Se prezintă teoria “naivă” a mulţimilor: operaţii cu mulţimi şi proprietăţi de bază. De asemenea, se definesc relaţiile binare pe o mulţime şi se studiază, în principal, relaţiile de echivalenţă şi relaţiile de ordine. A treia unitate de învăţare este intitulată Funcţii şi este o continuare firească a precedentei unităţi de învăţare. Se prezintă mai întâi proprietăţi generale abstracte ale funcţiilor, cum ar fi: compunerea funcţiilor, injectivitate, surjectivitate, bijectivitate şi, inversare. Se trece apoi la funcţii numerice speciale şi se studiază proprietăţile lor specifice, care se folosesc la rezolvarea unor anumite tipuri de ecuaţii. Există trei lucrări de verificare, câte una la sfârşitul fiecărei unităţi de învăţare. La fiecare lucrare de verificare se dau indicaţii de redactare şi de transmitere către tutore. Observaţii de fond asupra modului de rezolvare vor apărea după întâlnirile cu tutorii. Rezolvările vor fi transmise către tutori prin poştă sau prin e-mail. Evaluarea continuă se face prin rezolvarea testelor de autoevaluare şi discuţiile de la întâlnirile cu tutorii. Evaluarea finală se face pe baza celor trei lucrări de verificare şi a examenului de la finele cursului. Evaluarea continuă şi evaluarea finală au ponderi egale în stabilirea notei: câte 50%.

i

Introducere

Cuprins Unitatea de învăţare 1: Mulţimi de numere Obiectivele unităţii de învăţare 1.......................................................................................... 2 1.1 Numere raţionale ........................................................................................................... 3 1.1.1. Mulţimea numerelor raţionale .................................................................................... 3 1.1.2. Adunarea şi înmulţirea numerelor raţionale ............................................................... 5 1.1.3. Proprietăţi de ordine ale numerelor raţionale ............................................................. 8 1.1.4 Reprezentarea numerelor raţionale sub formă de fracţii zecimale (periodice) ............ 9 1.2. Numere reale .............................................................................................................. 16 1.2.1 Numere reale ca fracţii zecimale infinite ................................................................... 16 1.2.2. Aproximări zecimale ale numerelor reale. Adunarea şi înmulţirea numerelor reale . 18 1.2.3. Interpretarea geometrică a numerelor reale ............................................................ 23 1.2.4. Inegalităţi ................................................................................................................. 24 1.3. Puteri şi radicali .......................................................................................................... 29 1.3.1. Puteri ....................................................................................................................... 29 1.3.2. Radicali .................................................................................................................... 33 1.3.3. Puteri cu exponent raţional ...................................................................................... 41 1.4. Numere complexe ...................................................................................................... 46 1.4.1. Mulţimea numerelor complexe ................................................................................. 46 1.4.2. Forma algebrică a numerelor complexe .................................................................. 49 1.4.3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe .................................................. 53 1.5. Comentarii si răspunsuri la testele de autoevaluare ................................................... 56 1.6. Lucrare de verificare pentru studenţi .......................................................................... 59 1.7. Bibliografie .................................................................................................................. 62 Unitatea de învăţare 2: Mulţimi. Relaţii. Obiectivele unităţii de învăţare 2 ....................................................................................... 61 2.1. Noţiunea de mulţime. Operaţii cu mulţimi ................................................................... 62 2.1.1. Noţiunea de mulţime ............................................................................................... 62 2.1.2. Mulţimi egale. Relaţia de incluziune ........................................................................ 63 2.1.3. Operaţii cu mulţimi ................................................................................................... 64 2.2. Relaţii binare pe o mulţime ......................................................................................... 68 2.2. Relaţii binare pe o mulţime ......................................................................................... 69 2.2.1. Definirea relaţiilor binare.......................................................................................... 69 2.2.2. Proprietăţi ale relaţiilor binare .................................................................................. 70 2.2.3. Relaţii de echivalenţă. Mulţime factor ...................................................................... 71 2.2.4 Relaţii de ordine ....................................................................................................... 74 2.3. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare ................................................... 77 2.4. Lucrare de verificare pentru studenţi .......................................................................... 78 2.5. Bibliografie.................................................................................................................. 78 Unitatea de învăţare nr. 3: Funcţii Obiectivele unităţii de învăţare 3........................................................................................ 80 3.1. Noţiunea de funcţie. Compunerea funcţiilor. Funcţia de gradul I ................................ 81 3.1.1. Noţiunea de funcţie .................................................................................................. 81 3.1.2. Funcţii numerice şi reprezentarea geometrică a graficului lor.................................. 85 3.1.3 Compunerea funcţiilor............................................................................................... 88 3.1.4. Funcţii numerice monotone. Intervale de monotonie ............................................... 89 3.2 Funcţii injective, surjective, bijective ............................................................................ 93 3.2.1 Definiţii. Proprietăţi ................................................................................................... 93 ii

Introducere

3.2.2. Funcţii inversabile. Inversa unei funcţii .................................................................... 96 3.3. Funcţia de gradul al doilea........................................................................................ 101 3.3.1. Graficul funcţiei de gradul al doilea. Exemple ........................................................ 101 3.3.2. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea ................................................... 108 3.3.3. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea ..................................... 109 3.3.4. Tabelul de variaţie şi trasarea graficului funcţiei de gradul al doilea ...................... 112 3.3.5. Semnul funcţiei de gradul al doilea ........................................................................ 113 3.4. Studiul unor funcţii putere ......................................................................................... 117 3.4.1. Funcţia putere cu exponent natural nenul.............................................................. 117 3.4.2. Funcţia putere cu exponent întreg negativ............................................................. 119 3.4.3. Funcţia radical ....................................................................................................... 120 3.4.4. Funcţia putere cu exponent raţional ...................................................................... 121 3.5. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. .............................................................. 124 3.5.1. Funcţia exponenţială.............................................................................................. 124 3.5.2 Logaritmi. Funcţia logaritmică ................................................................................. 131 3.6.2 Ecuaţii iraţionale ..................................................................................................... 143 3.6.3. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale şi logaritmice ....................................................... 146 3.7. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare ................................................. 152 3.8. Lucrare de verificare pentru studenţi ........................................................................ 156 3.9. Bibliografie ................................................................................................................ 159 Bibliografie generală ........................................................................................................ 160

iii

Introducere

iv

Mulţimi de numere

Unitatea de învăţare 1 MULŢIMI DE NUMERE Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare 1.......................................................................................... 2 1.1 Numere raţionale ........................................................................................................... 3 1.1.1. Mulţimea numerelor raţionale .................................................................................... 3 1.1.2. Adunarea şi înmulţirea numerelor raţionale ............................................................... 5 1.1.3. Proprietăţi de ordine ale numerelor raţionale ............................................................. 8 1.1.4 Reprezentarea numerelor raţionale sub formă de fracţii zecimale (periodice) ............ 9 1.2. Numere reale .............................................................................................................. 16 1.2.1 Numere reale ca fracţii zecimale infinite ................................................................... 16 1.2.2. Aproximări zecimale ale numerelor reale. Adunarea şi înmulţirea numerelor reale . 18 1.2.3. Interpretarea geometrică a numerelor reale ............................................................ 23 1.2.4. Inegalităţi ................................................................................................................. 24 1.3. Puteri şi radicali .......................................................................................................... 29 1.3.1. Puteri ................................................................................................................. 29 1.3.2. Radicali ................................................................................................................. 33 1.3.3. Puteri cu exponent raţional ...................................................................................... 41 1.4. Numere complexe ...................................................................................................... 46 1.4.1. Mulţimea numerelor complexe ................................................................................. 46 1.4.2. Forma algebrică a numerelor complexe .................................................................. 49 1.4.3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe .................................................. 53 1.5. Comentarii si răspunsuri la testele de autoevaluare ................................................... 56 1.6. Lucrare de verificare pentru studenţi .......................................................................... 59 1.7. Bibliografie ................................................................................................................. 62

1

Mulţimi de numere

Obiectivele unităţii de învăţare 1

După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabili să faceţi următoarele operaţii matematice: • Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi formei de scriere a numerelor raţionale, reale sau complexe în contexte specifice. • Determinarea echivalenţei între diferitele forme de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale. • Aplicarea unor algoritmi specifici calcului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi rezolvarea de ecuaţii. • Alegerea formei de reprezentare a unui număr raţional, real sau complex în funcţie de context în vederea optimizării calculelor. • Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor. • Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere raţionale, reale sau complexe scrise sub diverse forme şi utilizarea acestora în rezolvarea ecuaţiilor

2

Mulţimi de numere

1.1 Numere raţionale Încă din clasele primare se introduce noţiunea de fracţie ordinară şi se fac calcule cu acestea. Introducerea fracţiilor ordinare este necesară din diverse motive, cum ar fi: -- exprimarea matematică a unor situaţii concrete din practică; de exemplu, „jumătate dintr-o pâine", „un sfert dintr-un kilogram de carne", „trei sferturi dintr-un măr" etc.; -- imposibilitatea rezolvării unor ecuaţii simple în mulţimea numerelor întregi. De exemplu, ecuaţia 2x = 1 nu are nici o soluţie în numere întregi deoarece existenţa numărului întreg x ar implica faptul ca numărul par 2x este egal cu numărul impar 1. m O fracţie ordinară este de forma , unde m şi n ≠ 0 sunt numere n întregi. De asemenea, tot situaţii concrete ca, de exemplu, „jumătate dintr-o pâine" este tot una cu „două sferturi dintr-o pâine", ne obligă să introducem echivalenţa a două fracţii ordinare. m p Mai precis, fracţiile ordinare şi se numesc echivalente şi notăm q n m p aceasta prin = dacă şi numai dacă mq = np. Mulţimea fracţiilor n q m ordinare echivalente cu o fracţie ordinară se va numi număr raţional şi n m se va nota tot prin . n În cele ce urmează vom încerca să prezentăm o tratare mai riguroasă a noţiunii de număr raţional (şi implicit a mulţimii numerelor raţionale) precum şi a modului de operare cu numere raţionale.

1.1.1. Mulţimea numerelor raţionale Reamintim că se notează cu ù mulţimea numerelor naturale, adică ù = {0, 1, 2, 3, ...}, iar cu  mulţimea numerelor întregi, adică  = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Este clar că ù este o submulţime a mulţimii  . Notăm cu  * =  \ {0}, adică mulţimea numerelor întregi nenule. Fie A =  x  * produsul cartezian al mulţimilor  şi  *. Deci A = {(a, b) I a, b ∈  , b ≠ 0}, adică mulţimea perechilor ordonate de forma (a, b) unde a, b sunt numere întregi cu b ≠ 0. Pe mulţimea A definim o relaţie, notată „~" şi care se numeşte „echivalenţă". Dacă (a, b) şi (c, d) aparţin mulţimii A, atunci prin definiţie punem: (1) ( a, b ) ~ ( c, d ) ⇔ ad = bc În acest caz spunem că perechile (a, b) şi (c, d) sunt echivalente.

3

Mulţimi de numere

Fiind dată o pereche (a, b) din A, relaţia (1) permite să definim o a şi care este formată din toate submulţime a mulţimii A, notată cu b perechile (c, d) din A care sunt echivalente cu (a, b). Deci a (2) = {( c, d ) ∈ A | ( a, b ) ~ ( c, d )} . b a asociat perechii (a, b) din A, Relaţia (2) defineşte numărul raţional b iar (a, b) se numeşte reprezentant al numărului raţional. În acest caz numărul a (respectiv b) se numeşte numărătorul a (respectiv numitorul) numărului raţional . Numitorul este un număr întreg b a se mai numeşte şi fracţie nenul. Datorită notaţiei (2), numărul  raţional b raţională cu numărătorul a şi numitorul b ≠ 0. Teorema 1

4

Fie (a, b) şi (a', b') două perechi din A. Dacă (a, b) ~ (a', b’), atunci ele definesc acelaşi număr raţional, adică avem a a' = (3) b b' Demonstraţie. De fapt avem de arătat egalitatea a două mulţimi. Fie a (x, y ) ∈ . Atunci (a, b) ~ (x, y), adică ay = bx. Deoarece (a, b) ~ (a', b'), b avem că ba' = ab'. Dacă a = 0, atunci bx = 0 şi cum b ≠ 0, rezultă x = 0. De asemenea, ba' = 0 şi deci a' = 0. În acest caz a’y = b'x = 0 şi deci a' ( x, y ) ∈ . Dacă a ≠ 0, atunci înmulţind membru cu membru egalităţile ay b' = bx şi ba' = ab', avem că ab(a’y) = ab(b'x), Deoarece ab ≠ 0, obţinem ay = a' a a' . Analog se arată b'x, adică ( x, y ) ∈ . În acest mod am arătat că ⊆ b' b b' a' a a a' că ⊆ şi deci = b' b b b' a Fie un număr raţional şi perechea (a, b) un reprezentant al său. b Dacă d este cel mai mare divizor comun al valorilor absolute IaI şi |bI , cum b ≠ 0, rezultă că d ≠ 0. Putem scrie a = dp şi b = dq, unde |p| şi IqI sunt numere prime între ele (adică cel mai mare divizor comun al numerelor |pI şi |qI este 1). Conform relaţiei (1), avem că (4) (a, b) ~ (p, q) a Din relaţia (4) rezultă că dat fiind numărul raţional , există un b reprezentant al său (p, q) cu |p| şi |q| numere prime între ele, astfel încât a p = . b q

Mulţimi de numere

Perechea (p, q) cu IpI şi |qI numere prime între ele se numeşte a reprezentant ireductibil al lui . Este uşor de văzut că, în acest caz, din b (2) rezultă p = {( np, nq ) | n ∈  *} (5) q 1 2 De exemplu, = {( 2,2n ) | n ∈  *} sau − = {( −2n,5n ) | n ∈  *}. 2 5 Noţiunea de număr raţional ne conduce la definirea unei noi mulţimi, notată  şi care se numeşte mulţimea numerelor raţionale. a  Deci  =  | a, b ∈ , b ≠ 0  . b 

1.1.2. Adunarea şi înmulţirea numerelor raţionale a c şi sunt două numere raţionale, definim b d a c ad + bc (6) + = b d bd a c ac ⋅ = (7) b d bd ad + bc ac (respectiv ) se numeşte suma (respectiv Numărul raţional bd bd a c şi iar operaţia prin care oricăror două produsul) numerelor raţionale b d numere raţionale li se asociază suma (respectiv produsul) lor se numeşte adunarea (respectiv înmulţirea) numerelor raţionale. Trebuie arătat că suma şi produsul a două numere raţionale nu depind de alegerea reprezentanţilor care definesc aceste numere raţionale. Sã demonstrăm această proprietate pentru sumă. Pe baza teoremei precedente avem de arătat ca dacă (a, b) ~ (a1, b1) şi (c, d) ~ (c1, d1), atunci (ad + bc, bd) ~ (a1d1 + b1c1, b1d1). Într-adevăr, avem ab1 = a1b şi cd1 = c1d. Înmulţind ambii membri ai primei egalităţi cu dd1 şi pe ai celei de-a doua cu bb1 se obţin egalităţile: ab1dd1 = a1bdd1 şi cd1bb1 = c1dbb1. Adunând membru cu membru aceste egalităţi şi, scoţând factor comun, rezultă (ad + bc)b1d1 = (a1d1 + b1c1)bd, adică (ad + bc, bd) ~ (a1d1 + b1c1, b1d1). a a c c Cu alte cuvinte, am demonstrat dacă = 1 şi = 1 , atunci b b1 d d1 ad + bc a1d1 + b1c1 . = bd b1d1 Analog, dar cu calcule mai puţine, se demonstrează proprietatea pentru produs. Dacă  este mulţimea numerelor raţionale, să considerăm submulţimea n  Z ' =  | n ∈  . 1  Dacă

5

Mulţimi de numere

De la mulţimea  (a numerelor întregi) la mulţimea  definim funcţia n  → , n → 1 Această funcţie asociază oricărui număr întreg n un număr raţional n m n din Z'. Observăm că dacă m ≠ n, atunci ≠ şi, în bine determinat 1 1 1 plus, mulţimea valorilor acestei funcţii este Z'. Mai mult, operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor care aparţin mulţimii Z' se transcriu astfel: m n m + n m n mn + = ⋅ = . , 1 1 1 1 1 1 Aceste relaţii arată cã adunarea şi înmulţirea pe Z' se fac după aceleaşi reguli ca adunarea şi înmulţirea numerelor întregi. Din acest motiv rezultă că Z' are aceleaşi proprietăţi aritmetice ca mulţimea  a n numerelor întregi. Acest fapt ne permite să identificăm numărul raţional 1 cu numărul întreg n. Practic, această identificare revine la a înlocui n numărul raţional cu numărul întreg n şi invers. Aşadar, punem 1 n n= (8) 1 şi datorită acestei identificări rezultă că  ⊂  . 0 1 În particular, numerele raţionale şi sunt numerele întregi 0 şi 1. 1 1 Observaţii

1. Când adunăm două numere raţionale, definiţia (6) poate conduce la calcule laborioase. De exemplu, dacă aplicăm definiţia (6) vom avea 3 7 3 ⋅ 24 + 7 ⋅ 16 72 + 112 184 23 + = = = = . Având în vedere că suma a 16 24 16 ⋅ 24 384 384 48 două numere raţionale nu depinde de alegerea reprezentanţilor, în a practică se procedează în modul următor: date fiind numerele raţionale b c şi , se alege un multiplu comun m al numitorilor b şi d (eventual cel mai d mic multiplu comun al numerelor b şi d). Dacă m = bu şi m = dv, atunci a au c cv ad + bc au + cv = = şi = şi după relaţia (3) avem . Reluând b m d m bd m 3 7 3 ⋅ 3 + 7 ⋅ 2 23 + = = (am folosit faptul ca exemplul de mai sus, avem 14 24 48 48 48 este multiplu comun al numerelor 16 şi 24). 2. Este clar ca dacă numerele raţionale au acelaşi numitor, atunci a b a+b . + = m m m

În continuare vom enumera proprietăţile de bază ale operaţiilor de adunare şi înmulţire pe mulţimea numerelor raţionale, cât şi proprietăţile de ordine ale acestei mulţimi. Pentru simplificare vom nota numerele raţionale cu literele q, r, s, ... . 6

Mulţimi de numere

Proprietăţile adunării şi înmulţirii numerelor raţionale I. Adunarea pe mulţimea  a numerelor raţionale are proprietăţile: 1o este asociativă, adică oricare ar fi q, r, s ∈  avem: (q + r) + s = q + (r + s); o 2 este comutativă, adică oricare ar fi q, r ∈  , avem q + r = r + q; 3o numărul 0 este element neutru pentru adunare, adică oricare ar fi q ∈  , avem q + 0 = 0 + q = q; 4o orice număr raţional q are un opus, care este –q, adică q + (–q ) = (–q) + q = 0. m −n m De fapt, dacă q = , atunci −q = . = n n −n II. Înmulţirea numerelor raţionale are proprietăţile:

1o este asociativă, adică oricare ar fi q, r, s ∈  , avem (gr) s = q (rs); 2o este comutativă, adică oricare ar fi q, r ∈  , avem qr = rq; o 3 numărul 1 este element neutru pentru înmulţire, adică oricare ar fi q ∈  , avem q ⋅ 1=1. q = q; o 4 orice număr raţional q, nenul, are un invers, adică există un număr raţional notat cu q'-1, astfel încât qq-1 = q-1q = 1. n m De fapt, dacă q = , q ≠ 0 , atunci m ≠ 0 şi deci q −1 = . m n III. Înmulţirea este distributivă în raport cu adunarea, adică oricare ar fi q, r, s ∈  , avem q (r + s) = qr + qs, (q + r)s = qs + rs. Observaţii

1. Ca de obicei, în loc de q + (–r) vom scrie q – r (diferenţa numerelor q şi r). În acest mod se obţine o nouă operaţie pe  numită scăderea numerelor raţionale. Scăderea, ca operaţie, are o serie de proprietăţi. Una dintre cele mai importante este proprietatea de distributivitate a înmulţirii în raport cu scăderea, adică q(r – s) = qr – qs, (q – r)s = qs – rs, oricare ar fi q, r, s ∈  . q 2. În loc de qr −1, r ≠ 0, vom scrie q : r sau (câtul numerelor q şi r). r Numărul raţional q : r (care are sens numai pentru r ≠ 0) se obţine prin împărţirea numărului raţional q la numărul raţional r ≠ 0. Altfel spus, dacă a c a c a d ad q = şi r = cu r ≠ 0 (adică c ≠ 0) avem q : r = : = ⋅ = . b d b d b c bc

7

Mulţimi de numere

1.1.3. Proprietăţi de ordine ale numerelor raţionale Reamintim câteva definiţii. Definiţie

Observaţie

Definiţie

8

a a este pozitiv şi scriem > 0 dacă numerele întregi b b a a şi b au acelaşi semn (adică ab > 0). Numărul raţional este negativ şi b a scriem < 0 dacă numerele întregi a şi b au semne contrare b (adică ab<0). Se poate, vedea uşor ca definiţiile precedente nu depind de alegerea reprezentanţilor. Să arătăm, de exemplu, că definiţia numărului raţional pozitiv nu depinde de alegerea reprezentanţilor care definesc acest a număr. Într-adevăr, fie > 0 un număr raţional, perechea (a, b) fiind un b reprezentant al său, astfel încât ab > 0. Dacă (a1, b1) este un alt a a1 a = , avem (a, b) ~ (a1, b1). Deci reprezentant al numărului , adică b b1 b ab1 = a1b şi, înmulţind ambii membri cu a1b, obţinem aba1b1 = (a1b)2 > 0. a Cum ab > 0, rezultă a1b1 > 0, adică 1 > 0 . b1 a Fie , b ≠ 0, un număr raţional. Atunci, în mulţimea numerelor întregi b are loc una şi numai una din relaţiile: ab < 0, ab = 0 (adică a = 0), ab > 0. a a Conform definiţiilor precedente, rezultă că: sau < 0 , sau = 0 , sau b b a > 0. b Să definim acum relaţia de inegalitate, notată „<" pe mulţimea  a numerelor raţionale. Numărul raţional

Spunem ca numărul raţional q este mai mic decât numărul raţional r şi scriem q < r dacă q – r < 0. În acest caz se mai spune că r este mai mare decât q şi se scrie r > q. Este clar că q < r dacă şi numai dacă există un număr raţional s > 0 astfel încât r = q + s. În continuare vom da câteva proprietăţi ale inegalităţilor între numere raţionale. Ţinând seama de observaţia precedentă, rezultă că este adevărată următoarea proprietate, numită legea de tricotomie: Dacă q şi r sunt două numere raţionale, atunci este adevărată una şi numai una din relaţiile: q < r, q = r, q > r.

Mulţimi de numere

Definiţie

Fie q şi r numere raţionale. Spunem că q este mai mic sau egal cu r (şi scriem q ≤ r) dacă şi numai dacă q < r sau q = r. Este clar ca q ≤ r dacă şi numai dacă există un număr raţional s ≥ 0 astfel încât r = q + s. Relaţia „≤" are următoarele proprietăţi: 1° dacă q ∈  , atunci q ≤ q (reflexivitatea); 2° dacă q, r ∈  astfel încât q ≤ r şi r ≤ q, atunci q = r (antisimetria); 3° dacă q, r, s ∈  astfel încât q ≤ r şi r ≤ s, atunci q ≤ s (tranzitivitatea). Această relaţie se numeşte relaţia de ordine pe mulţimea numerelor raţionale. Observăm că proprietatea 3° (tranzitivitatea) este valabilă şi pentru relaţia „<", adică dacă q < r şi r < s, atunci q < s. Dăm şi alte proprietăţi ale inegalităţilor pe mulţimea numerelor raţionale, legate de operaţiile de adunare şi înmulţire. Astfel: 1° dacă q, r ∈  Şi q < r, atunci q + s < r + s, oricare ar fi s ∈  ; 2° dacă q, r ∈  Şi q < r, atunci qs < rs, oricare ar fi s ∈  , s > 0; 3° dacă q, r ∈  Şi q < r, atunci qs > rs, oricare ar fi s ∈  , s < 0; 4° dacă q, r, s, t ∈  şi q < r, s < t, atunci q + s < r + t; 5° dacă q, r, s, t ∈  şi 0 < q < r, 0 < s < t, atunci qs < rt. Proprietăţile 1° - 5° sunt valabile şi pentru relaţia „≤".

1.1.4 Reprezentarea numerelor raţionale sub formă de fracţii zecimale (periodice) În practică se foloseşte, de obicei, reprezentarea (scrierea) numerelor raţionale sub formă de fracţii zecimale. Aşa cum este cunoscut din aritmetică, cu ajutorul algoritmului de m împărţire orice număr raţional nenegativ (m ≥ 0, n > 0) se reprezintă n sub forma unei fracţii zecimale finite sau infinite (adică, cu o infinitate de 1 5 zecimale). Astfel în loc de se scrie 0,25; în loc de se scrie 0,625; în 4 8 1 se scrie 0,333… Deoarece avem de-a face atât cu fracţii loc de 3 zecimale finite, cât şi cu fracţii zecimale infinite, pentru uniformizare, se pot adăuga la dreapta fracţiei zecimale o infinitate de zerouri. 1 5 De exemplu: = 0,25000...; = 0,625000... 4 8 Astfel putem spune că toate fracţiile zecimale sunt infinite. Numerele întregi se reprezintă, evident, ca fracţii zecimale cu o infinitate de zerouri după virgulă. De exemplu: 5 = 5, 000 …; 13 = 13, 000 … .

9

Mulţimi de numere

Aşadar, orice număr raţional nenegativ

m poate fi reprezentat sub n

forma unei fracţii zecimale infinite: m = a0, a1a2a3… . n m Numărul a0 este partea întreagă a lui , iar numărul 0, a1a2a3… n este partea fracţionară a sa. Numerele a1, a2, a3,… sunt cuprinse între 0 şi 9, adică 0 ≤ ai ≤ 9, pentru i = 1, 2, 3, … . Observăm acum că şi numerele raţionale negative au o astfel de reprezentare. Vom nota partea întreagă a unui număr negativ cu semnul 5 1 minus deasupra. Astfel numărul − = −3 + se poate scrie sub forma 2 2 3 , 5000… . Analog, –0,321 = 1 ,679000…; 2 1 −25 = −25,666... = −26 + = 26,333... . 3 3 În acest mod, orice număr raţional (negativ, pozitiv sau zero) se reprezintă sub forma unei fracţii infinite: m (1) = a0, a1a2a3… n m unde a0 este partea întreagă a lui , iar 0, a1a2a3… este partea n fracţionară (zecimală) a sa (a0 este un număr întreg, iar a1, a2, a3, … sunt numere cuprinse între 0 şi 9). Partea fracţionară 0, a1a2a3… din reprezentarea (1) a oricărui număr raţional este un număr pozitiv mai mic decât 1. Reprezentarea numerelor raţionale negative sub formă de fracţie zecimală infinită, cu partea întreagă număr negativ (iar partea fracţionară un număr pozitiv) o vom face cu scopul de a uniformiza în continuarea acestui capitol studiul numerelor reale (pozitive şi negative). Să vedem acum care sunt fracţiile zecimale prin care se reprezintă numerele raţionale. Mai întâi să definim fracţia zecimală periodică. Definiţie

O fracţie zecimală infinită a0, a1a2a3… se numeşte periodică, dacă există numerele naturale k şi p astfel încât an+p = an, pentru orice n ≥ k. O fracţie zecimală periodică se notează, pe scurt, prin a0, a1a2…ak–1(akak+1 … ak+p–1). Mulţimea cifrelor scrise (în această ordine) în paranteză se numeşte perioada fracţiei zecimale. Dacă k = 1, adică perioada începe imediat după virgulă, avem de-a face cu o fracţie zecimală periodică simplă; în caz contrar avem de-a face cu o fracţie zecimală periodică mixtă. În exemplele numerice de mai înainte fracţiile zecimale sunt periodice. Astfel, pentru 0,333 … avem k = 1, p = 1 şi an+1 = an = 3 pentru orice n ≥ 1. Scriem 0,333… = 0,(3), aceasta fiind o fracţie zecimală periodică simplă. Fracţiile zecimale finite, care după cum am observat pot fi considerate ca fracţii zecimale infinite (prin adăugare de zerouri) sunt periodice. De exemplu, pentru 0,25000… avem k = 3, p = 1 şi an+1 = an =

10

Mulţimi de numere

0, pentru orice n ≥ 3; iar pentru 0,625000… avem k = 4, p = 1, an+1 = an = 0, pentru orice n ≥ 4. Deci 0,25000… = 0,25(0), iar 0,625000… = 0,625(0). Aşadar acestea sunt fracţii zecimale periodice mixte. În sfârşit, fracţia 15 ,723434 … este periodică şi se scrie, pe scurt, 15 ,72(34). Am observat că reprezentarea unui număr raţional sub formă de fracţie zecimală se obţine cu ajutorul algoritmului de împărţire. Exemplu

Să considerăm, numerele

5 19 şi Avem: 33 55

Exemplul 1

Exemplul 2

5

33

19

55

50 033 0170 0165 0005

0,15

190 0,345 0165 0250 0220 00300 00275 00025

Fiecare număr de după virgulă se obţine printr-o împărţire parţială: 5

33

33 1 17

170 33

0 190 55

250 55

300 55

165 5 005

165 3 005

220 4 030

275 5 025

Exemplul 1

Exemplul 2

Fiecare deîmpărţit parţial se deduce din restul precedent prin adăugarea unui zero la dreapta sa, adică mărindu-l de zece ori. Ori resturile parţiale sunt toate mai mici decât împărţitorul. După un număr finit de operaţii parţiale se regăseşte deci, ori deîmpărţitul iniţial (exemplul 1), ori un rest deja întâlnit (exemplul 2). De la acest pas putem să nu mai continuăm împărţirea, deoarece în câtul împărţirii lui 5 la 33, respectiv în câtul împărţirii lui 19 la 55, cifrele se vor repeta. De 5 19 aceea, = 0, (15 ) ; = 0,3 ( 45 ) 33 55 În general, avem: Teorema 2

Orice număr raţional se reprezintă sub formă de fracţie zecimală periodică, care nu are perioada (9). Demonstraţie. Dacă a este un număr raţional oarecare, atunci a = a0 + a', unde a0 este un număr întreg (partea întreagă a lui a), iar a' este un număr raţional nenegativ mai mic decât 1. Dacă a' se reprezintă sub formă de fracţie zecimală periodică, care nu are perioada (9), atunci a se reprezintă sub formă de fracţie zecimală periodică care nu are perioada (9), 11

Mulţimi de numere

în care partea întreagă este a0, iar partea fracţionară îl reprezintă pe a'. Aşadar, pentru demonstraţia teoremei este suficient să considerăm numai m m numere raţionale , astfel încât 0 ≤ < 1. Fie deci (m ≥ 0, n > 0) un n n astfel de număr raţional. Prin algoritmul de împărţire a lui m la n sunt posibile resturile: 0, 1, 2, …, n – 1. Deoarece resturile iau cel mult n valori, rezultă că după cel mult n paşi ai algoritmului, se repetă unul din ele. Deci va rezulta o fracţie zecimală periodică. Se arată că nu este posibil ca fracţia zecimală periodică asociată unui număr raţional să aibă perioada (9). Să presupunem, prin absurd, că fracţia ar avea perioada (9). Atunci, prin algoritmul de împărţire, ajungem la un moment dat la un rest r astfel încât înmulţindu-l cu 10, şi împărţindu-l la n, să se obţină un cât egal cu 9 şi restul să fie, de asemenea, r. Deci după teorema împărţirii cu rest, avem: 10r = n · 9 + r, cu r < n. De aici se obţine 9r = 9n, de unde r = n ceea ce este în contradicţie cu ipoteza r < n. Observaţie

Exemple

12

Fracţiile zecimale finite (adică de perioadă (0) se obţin atunci când prin algoritmul de împărţire se obţine la un moment dat un rest egal cu zero. După aceasta toate resturile vor fi egale cu zero. Împărţirile parţiale din exemplele precedente se scriu astfel: 1. 50 = 33 · 1 + 17; 170 = 33 · 5 + 5. Înmulţind cu 10 prima relaţie, şi folosind pe a doua avem 500 = (33 · 1 + 17) · 10 = 33 · 10 + 170 = 33 · 10 + (33 · 5 + 5) = 33 · 15 + 5. Deci 100 · 5 = 33 · 15 + 5, adică 15 este câtul împărţirii lui 100 ⋅ 5 la 33. 2. 190 = 55 · 3 + 25; 250 = 55 · 4 + 30; 300 = 55 · 5 + 25. Împărţind cu 100 prima relaţie şi folosind pe următoarele două avem 19 000 = (55 ⋅ 3 + 25) · 100 = 55 · 300 + 250 · 10 = 55 · 300 + (55 · 4 + 30) · 10 = 55 · 300 + 55 · 40 + 300 = = 55 · 340 + 55 · 5 + 25 = 55 · 345 + 25. Deci 1000 · 19 = 55 · 345 + 25 şi 10 · 19 = 55 · 3 + 25, adică 345 este câtul împărţirii lui 1000 · 19 la 55, iar 3 este câtul împărţirii lui 10 · 19 la 55. În continuare vom arăta că reciproca teoremei precedente este, de asemenea, adevărată. Să dăm mai întâi două exemple: 1) Fie 0,(43) o fracţie zecimală periodică simplă. Dacă există un număr m raţional , astfel încât fracţia dată să se obţină din acesta prin algoritmul n de împărţire, atunci 43 este câtul întreg al împărţirii lui 100m la n; mai mult, din motive de periodicitate, restul acestei împărţiri este egal cu m. Deci 100m = n · 43 + m de unde 9 m = n · 43. m 43 Numărul raţional căutat este = . n 99 Verificare. Este suficient să aplicăm algoritmul de împărţire pentru a vedea 43 că numărul raţional se reprezintă sub forma fracţiei zecimale 0,(43). 99

Mulţimi de numere

2) Fie 0,41(23) o fracţie zecimală periodică mixtă. Dacă există un m număr raţional , astfel încât fracţia dată să se obţină din acesta prin n algoritmul de împărţire, atunci: 4 123 este câtul întreg al împărţirii lui 10000m la n, iar 41 este câtul întreg al împărţirii lui 100m la n. Mai mult, din motive de periodicitate, cele două resturi obţinute sunt egale. Deci: 10000m = n · 4 123 + r 100m = n · 41 + r şi prin scădere se obţine: 9 900m = n · (4 123 – 41). Numărul raţional căutat este: m 4082 4123 − 41 . = = n 9900 9900 Verificare. Este suficient să aplicăm algoritmul de împărţire pentru a 4082 vedea că numărul raţional se reprezintă sub forma fracţiei zecimale 9900 0, 41(23).

Teorema 3

În general avem: Orice fracţie zecimală periodică, care are perioada diferită de (9), reprezintă un anumit număr raţional, din care se obţine prin algoritmul de împărţire. Fie a0, a1a2 … ak–1(akak+1…ak+p–1) (1) o fracţie zecimală periodică, care nu are perioadă (9). Trebuie să arătăm că există un număr raţional, astfel încât fracţia dată (1) să se obţină din acesta prin algoritmul de împărţire. Nu vom da o demonstraţie a acestei teoreme. Observăm însă că cele două exemple de mai înainte ne sugerează reguli de găsire, în general, a numărului raţional căutat. Astfel: 1o Dacă k = 1, adică fracţia este periodică simplă, avem: a a ...a a0 , ( a1a2 ...ap ) = a0 + 1 2 p 99...9  p ori

(în partea din dreapta a egalităţii de mai sus a1a2…ap reprezintă numărul natural având cifrele a1, a2, …, ap). 2o Dacă k > 1, adică fracţia este periodică mixtă, avem: a0, a1 a2 … ak–1(akak+1…ak + p – 1)= a a ...a a a ...a − a a ...a = a0 + 1 2 k −1 k k +1 k + p −1 1 2 k −1 99...9   00..0 p ori

o

o

( k −1) ori

Formule 1 şi 2 dau reguli după care se găseşte numărul raţional care se reprezintă sub forma unei fracţii zecimale periodice date.

13

Mulţimi de numere

Exemple

Observaţie

14

3 1 5 = ; 0,(45) = 9 3 11 543 − 45 408 34 2) 0,45(3) = = = 900 900 75 2745 − 45 2718 151 = = 3) 0,027(45) = 99000 99000 5500

1) 0,(3) =

Am definit fracţiile zecimale periodice fără a face presupunerea că au sau nu perioada (9). Dacă considerăm o fracţie zecimală cu perioada (9), aplicând în mod formal regulile 1o şi 2o de mai sus, se obţine un număr raţional. Fie, de exemplu, fracţia zecimală periodică 0, (9). După regula 1o, acestei fracţii zecimale îi corespunde numărul raţional: 9 0,(9) = = 1 . 9 Pe de altă parte, numărului 1 îi corespunde prin algoritmul împărţirii fracţia zecimală 1, 000 … = 1, (0). Se considerăm un alt exemplu şi anume fracţia zecimală periodică 0, 4(9) cu perioada (9). După regula 2o acestei fracţii îi corespunde numărul raţional 49 − 4 45 1 0,4(9) = = = . 90 90 2 1 Pe de altă parte numărului raţional îi corespunde prin algoritmul 2 împărţirii fracţia zecimală 0, 5000 … = 0,5(0). Din cele două exemple rezultă că teorema precedentă (în ultima sa parte) nu mai este adevărată pentru fracţiile zecimale infinite cu perioada (9). Mai precis, dacă este dată o fracţie zecimală infinită cu perioada (9), acesteia îi m corespunde după regula 1o sau regula 2o un număr raţional . Însă n m , prin algoritmul împărţirii, nu-i mai corespunde acestui număr raţional n fracţia zecimală dată, ci o fracţie care se obţine din aceasta prin mărirea cu o unitate a numărului din faţa primei perioade şi înlăturarea cifrelor următoare. Se poate vedea uşor că această regulă se referă la toate fracţiile zecimale periodice cu perioada (9). De aceea, ori de câte ori întâlnim în calcule o fracţie zecimală cu perioada (9) convenim să o înlocuim cu fracţia zecimală cu perioada (0) (finită) obţinută după regula enunţată mai înainte. De exemplu: 0, 4(9) = 0,5(0); 0,1(9) = 0,2(0). În concluzie numerele raţionale (şi numai ele) se reprezintă sub formă de fracţiei zecimale infinite periodice. Dar există fracţii zecimale care nu sunt periodice? Răspunsul la această întrebare este afirmativ. De exemplu, fracţia: 0,101001000100001000001… (după primul 1 este 0, după al doilea sunt doi de 0 etc.) este o fracţie zecimală infinită neperiodică. Într-adevăr, se presupunem că această fracţie este periodică, şi fie p numărul cifrelor din perioadă. Perioada trebuie să conţină şi o unitate. De aceea, între orice două unităţi consecutive (de după virgulă) nu pot fi mai

Mulţimi de numere

mult de p – 1 zerouri; contradicţie. Contradicţia obţinută arată că fracţia este neperiodică. În continuare se vor indica probleme concrete care conduc la fracţii zecimale infinite neperiodice.

Test de autoevaluare 1 1) Fie a şi b numere reale astfel încât a+b şi a-b să fie numere raţionale. Să se arate că numerele a, b şi ab sunt numere raţionale.

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

2) Pentru fracţiile zecimale periodice următoare, să se găsească numărul raţional pe care-l reprezintă şi să se verifice apoi prin algoritmul de împărţire că se obţine fracţia zecimală iniţială: a) 1,33(4); b) -0,(14); c) 2,073(83); d) -2,001(7).

3) Să se arate că numărul 0,343443444... (după primul 3 urmează un 4, după al doilea 3 urmează doi de 4 ş.a.m.d.) nu este raţional.

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 56 a acestei unităţi de învăţare.

15

Mulţimi de numere

1.2. Numere reale 1.2.1 Numere reale ca fracţii zecimale infinite Se impune necesitatea lărgirii mulţimii  a numerelor raţionale, introducându-se astfel mulţimea  a numerelor reale. Iată două probleme concrete care conduc la aceasta. 1) Nu există nici un număr raţional al cărui pătrat să fie 2. Într-adevăr, să presupunem, prin absurd, că există un număr raţional 2

m m m este ireductibilă, , astfel încât   = 2 . Putem presupune că fracţia n n n 2

m adică m şi n sunt numere întregi prime între ele. Din   = 2 rezultă m2 = n 2 2 2 2n . Cum 2n este număr par, atunci m este par şi deci m este par. Fie m = 2k, k un număr întreg. Înlocuind pe m = 2k în relaţia precedentă, rezultă 4k2 = 2n2, de unde 2k2 = n2, adică n este par. Deci m şi n sunt numere m . Prin urmare, întregi pare, ceea ce contrazice ireductibiltatea fracţiei n 2 m presupunerea noastră că   = 2 este falsă. Acest fapt arată că ecuaţia n 2 cu coeficienţi întregi x – 2 = 0 nu are ca soluţii, numere raţionale. 2) Fie acum un triunghi dreptunghic C isoscel ABC (fig. 1.). Alegând cateta AB ca unitate de măsură (adică de lungime 1), vom arăta m care că nu există un număr raţional n A B să reprezinte lungimea lui BC, adică Fig. 1. a n–a parte din AB să se cuprindă de m ori în BC. Într-adevăr, dacă lungimea lui m BC s-ar exprima prin numărul raţional , atunci conform teoremei lui n 2 m Pitagora rezultă   = 2 . Dar am arătat la 1) că o astfel de relaţie nu poate n avea loc. Dacă BC = a, rezultă că a este o rădăcină a ecuaţiei x2 – 2 = 0. Notăm a = 2 , care reprezintă lungimea ipotenuzei. Am văzut că 2 nu este un număr raţional, deci el va fi un număr de o natură nouă. Un astfel de număr, care nu este raţional îl numim iraţional. În acelaşi mod numerele 2, 5 ş.a. care sunt rădăcini ale ecuaţiilor: x2 – 3 = 0, x2 – 5 = 0 ş.a. sunt numere iraţionale. Există şi numere iraţionale care nu sunt rădăcini ale unor ecuaţii, de exemplu numărul π care este egal cu raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul său. Mulţimea numerelor raţionale împreună cu mulţimea numerelor iraţionale formează mulţimea  a numerelor reale.

16

Mulţimi de numere

Este cunoscut un algoritm de construcţie a fracţiei zecimale sub care se reprezintă 2 : 2 = 1, 41421356… . Deoarece 2 este număr iraţional rezultă că fracţia zecimală care îl reprezintă este o fracţie zecimală infinită neperiodică. {i numărul π are o reprezentare ca fracţie zecimală infinită neperiodică. Acceptăm că fiecare fracţie zecimală neperiodică infinită reprezintă un număr real, mai precis un număr iraţional. În acest mod orice număr real a se reprezintă printr-o fracţie zecimală infinită (periodică sau neperiodică) a0, a1a2a3… . Funcţia: a τ a0, a1a2a3… de la mulţimea numerelor reale la mulţimea fracţiilor zecimale infinite, care nu au perioada (9), asociază fiecărui număr real o fracţie zecimală, care nu are perioada (9), bine determinată, şi fiecare astfel de fracţie zecimală reprezintă un număr real bine determinat. Teoria riguroasă a numerelor reale ca fracţii zecimale infinite depăşeşte programa acestei unităţi de învăţare. Introducerea fracţiilor zecimale infinite ne permite să pătrundem mai mult în natura acestor noi numere (iraţionale). Observaţie

Definiţie

Pentru simplitate, pe baza funcţiei precedente, vom identifica în continuare numărul real cu fracţia zecimală prin care se reprezintă, adică: a = a0, a1a2a3… . În particular, numerele raţionale se identifică cu fracţiile zecimale periodice (de perioadă diferită de (9)) prin care se reprezintă. Ordonarea numerelor reale Vom defini ordinea pe mulţimea numerelor reale, folosind reprezentarea lor zecimală, astfel încât aceasta să coincidă pentru numerele raţionale cu cea deja introdusă pentru aceste numere la pct 1.1. Fie a = a0, a1a2a3… şi b = b0, b1b2b3… două numere reale, unde fracţiile a0, a1a2a3… şi b0, b1b2b3… nu au perioada (9). Spunem că cele două numere sunt egale dacă oricare ar fi i = 0, 1, 2 … avem ai = bi. Spunem că numărul real a = a0, a1a2a3… este mai mic decât numărul real b = b0, b1b2b3… şi scriem: a a.

Exemple

1) 3,9014… < 4,1735…, deoarece a0 = 3 < 4 = b0. 2) 3,45170… < 3,45181…, deoarece a0 = b0 = 3, a1 = b1 = 4, a2 = b2 =5, a3 = b3 = 1, a4 < b4 (7 < 8). 3) 20 ,432… < 1,730…, deoarece a0 = –20 < 1 = b0. 4) 3,173…>3,165…, deoarece a0 = b0 = 3, a1 = b1 = 1 şi a2 > b2 (7 > 6). 5) 4 ,232… > 4 ,193…, deoarece a0 = b0 = –4, a1 > b1 (2 > 1).

17

Mulţimi de numere

Observaţie

Dacă a < 0 se spune că numărul real a este negativ iar dacă a > 0 atunci a se numeşte pozitiv. Este clar că un număr real a = a0, a1a2a3… este negativ dacă şi numai dacă partea sa întreagă a0 este număr negativ. De exemplu, 1 ,372… > 0,000… = 0, deoarece a0 = –1 < 0 . Pentru numerele raţionale, definiţia inegalităţilor dată mai sus este tocmai cea pe care am definit-o anterior. Astfel: 1 51 ; 0,5000… < 0,51000… dacă şi numai dacă < 2 100 1 331 . 0,(3)… < 0,3(34)… dacă şi numai dacă < 3 990

1.2.2. Aproximări zecimale ale numerelor reale. Adunarea şi înmulţirea numerelor reale Aproximări zecimale

În practică, aproape niciodată nu se cunosc valorile exacte ale mărimilor. Orice instrument sau aparat nu arată cu exactitate absolută mărimile. Orice termometru indică temperatura cu o oarecare eroare, nici un ampermetru nu poate indica intensitatea exactă a curentului etc. O anumită eroare se face chiar la citirea rezultatelor măsurătorilor pe aparate. De aceea în loc să operăm cu valorile exacte ale mărimilor, suntem obligaţi să operăm cu valorile lor aproximative. În general, o mărime se reprezintă printr-o fracţie zecimală infinită, dar un aparat nu poate indica, practic, decât un număr finit dintre zecimale, adică o valoare aproximativă a mărimii. Fie a un număr real oarecare reprezentat sub formă de fracţie zecimală infinită. Aproximările (valorile aproximative) zecimale prin lipsă ale numărului a se definesc ca fiind numerele care se obţin prin înlăturarea succesivă a tuturor cifrelor sale care stau după virgulă, începând cu prima cifră, apoi cu cea de-a doua, după aceea cu cea de-a treia ş.a.m.d. De exemplu, pentru numărul a = 2,173256…, aproximările zecimale prin lipsă vor fi: 2; 2,1; 2,17, 2,173, 2,1732; 2,17325;… . Dacă la ultimul număr de după virgulă al fiecărei aproximări zecimale prin lipsă a numărului a se adaugă 1, atunci se obţin aproximările(valorile aproximative) zecimale prin adaos ale numărului a. De exemplu, pentru numărul 2, 173256…, astfel de aproximări zecimale vor fi: 3; 2,2; 2,18; 2,174; 2,1733; 2,17326;… . Având în vedere relaţia de ordine pe mulţimea numerelor reale, introdusă la punctul 1.2.1., primele cinci aproximări zecimale ale lui a se pot ilustra în următorul tabel: 2≤a<3 2,1 ≤ a < 2,2 2,17 ≤ a < 2,18 2,173 ≤ a < 2,174 2,1732 ≤ a < 2,1733 18

Mulţimi de numere

Cum numărul a = 2,173256… este cuprins între: 1) 2 şi 3, iar 3 – 2= 1; 2) 2,1 şi 2,2, iar 2,2 – 2,1 = 0,1; 3) 2,17 şi 2,18, iar 2,18 – 2,17 = 0,01 ş.a.m.d. aceste aproximări zecimale sunt, respectiv, cu o eroare mai mică decât 1; 0,1 = 10–1; 0,01 = 10–2 ş.a.m.d. În general, pentru numărul a = a0, a1a2a3…an… aproximările zecimale cu o eroare mai mică decât 10–n, sunt: i) prin lipsă: a'n = a0, a1a2a3…an, ii) prin adaos: an'' = a0, a1a2a3…an + 10–n. Observaţii

1. Dacă numărul a este reprezentat de o fracţie periodică cu perioada (0), atunci începând cu un anumit rang, aproximările zecimale prin lipsă ale sale sunt egale cu numărul însuşi. De exemplu, pentru numărul 1,52 = = 1,52000…, avem: 1; 1,5; 1,52; 1,520; 1,5200;… . De aceea, pentru a cuprinde toate cazurile, în tabelul cu aproximaţiile zecimale ale unui număr real, inegalitatea din stânga o scriem „≤”. 2. Scrierea valorilor aproximative a'n şi an'' o vom face sub formă de fracţie zecimală finită, fără a mai adăuga la dreapta o infinitate de zerouri. Este clar că numărul a este mai mare sau egal cu orice aproximare zecimală prin lipsă a sa şi mai mic decât orice aproximare zecimală prin adaos a sa. Aşadar, unui număr real a i se asociază aproximările sale zecimale: a'0, a'1, a'2, a'3,… prin lipsă: a0'' , a1'' , a2'' , a3'' ,… prin adaos: astfel încât a'0 ≤ a < a1'' ( cu o eroare mai mică decât 1)

a'1 ≤ a < a2'' ( cu o eroare mai mică decât 0,1) a'2 ≤ a < a3'' ( cu o eroare mai mică decât 0,01) ....................................................................... Observaţie

Este foarte important de semnalat pentru cele ce urmează că aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos ale unui număr real a, sunt întotdeauna numere raţionale. Pentru un număr a = a0, a1a2a3… aproximarea zecimală cu o eroare prin lipsă mai mică decât 10–n, adică a'n = a0, a1a2a3… an, se mai numeşte trunchierea după a n–a zecimală a numărului a. Fie a'n şi an'' aproximările zecimale cu o eroare mai mică decât 10–n prin lipsă, respectiv prin adaos, ale numărului a = a0, a1a2a3… . Avem a'n ≤ a < an'' şi an'' = a'n + 10 –n. Cunoscând a (n + 1) – a zecimală an+1 a numărului a putem şti care dintre aproximările zecimale a'n sau an'' este mai aproape de a. Astfel, 5 , 1o Dacă an+1 este mai mic decât 5, atunci a'n ≤ a < a'n + 10n+1 5 a – a'n < < an'' – a şi a este mai apropiat de a'n decât de an'' . n +1 10

19

Mulţimi de numere

2o Dacă an+1 este mai mare sau egal cu 5, atunci a'n +

5 ≤ a, 10n +1

5 ≤ a – a'n şi a este cel puţin la fel de apropiat de an'' cât este n +1 10 de a'n. A rotunji numărul a la a n–a zecimală înseamnă a înlocui pe a prin cel mai apropiat dintre numerele zecimale a'n sau an'' , adică printr-o an'' – a ≤

valoare mai apropiată cu cel mult

10− n , prin lipsă sau prin adaos, de 2

numărul a. Adunarea şi înmulţirea numerelor reale

Vom defini adunarea şi înmulţirea numerelor reale, folosind reprezentarea lor zecimală, astfel încât aceste operaţii să coincidă pentru numerele raţionale cu adunarea şi înmulţirea introduse mai înainte. Fie date două numere reale a şi b şi să considerăm aproximările zecimale prin lipsă şi adaos cu o eroare mai mică decât 10–n. Atunci pentru orice n, avem: a'n ≤ a < an'' , b'n ≤ b < bn'' . După cum am observat la sfârşitul paragrafului precedent, numerele a'n, an'' , b'n, an'' sunt raţionale şi deci, de la adunarea numerelor raţionale, au sens sumele a'n + b'n şi an'' + bn'' , pentru orice n. Definiţie

Se numeşte suma numerelor reale a şi b un număr real c care, pentru orice număr natural n, satisface inegalităţile: a'n + b'n ≤ c < an'' + bn'' . Se poate demonstra că un astfel de număr real c există şi, mai mult, este unic. Demonstraţia riguroasă a acestui fapt depăşeşte programa acestei unităţi de învăţare. Ea necesită noţiunea de limită şi se face la Analiză matematică. În exemplele de mai jos vom arăta cum această definiţie a sumei ne permite să găsim valoarea aproximativă a ei, cu o eroare oricât de mică dorim.

Exemple

1) Să găsim primele patru cifre după virgulă pentru suma numerelor a = 2 şi b = 5

Avem: 1≤

2 <2

2≤

5 <3

1,4 ≤

2 < 1,5

2,2 ≤

5 < 2,3

1,41 ≤

2 < 1,42

2,23 ≤

5 < 2,24

1,414 ≤

2 < 1,415

2,236 ≤

5 < 2,237

1,4142 ≤

2 < 1,4143

2,2360 ≤

5 < 2,2361

1,41421 ≤

2 < 1,41422

2,23606 ≤

5 < 2,23607

Deci a '5 + b '5 = 3,65027 ≤ 2 + 5 < a5'' + 5'' = 3,65029 de unde

20

Mulţimi de numere

2 + 5 = 3,6502… . 2) Să găsim primele patru cifre după virgulă pentru suma numerelor a = 3 ,12714… şi b = 2,42731… (celelalte cifre după virgulă care ar urma după cele scrise nu au importanţă, pentru problema pusă). Avem a '5 + b '5 = 1,55445 ≤ a + b ≤ a5'' + b5" = 1,55447 Astfel, putem scrie patru cifre după virgulă pentru suma: a + b = 1,5544 = −0,4456 3) Fie numerele a = 2,23751… şi b = 3,76248… . Atunci a '5 + b '5 = 5,99999 , iar a5'' + b5" = 6,00001. Deci 6,00000 este o valoare aproximativă a sumei a + b, cu o eroare mai mică decât 10–5. Analog, se defineşte produsul numerelor reale nenegative. Observăm mai întâi, ca şi pentru sumă, că deoarece ann′, an'' , bn′, bn''

sunt numere raţionale, produsele an′ bn′, şi an'' bn'' au sens şi sunt produse de numere raţionale. Definiţie

Se numeşte produsul numerelor reale nenegative a şi b, un număr real d, care pentru orice număr natural n, satisface inegalităţile: a'n b'n ≤ d < an" bn" Se poate demonstra că un astfel de număr real d există şi este unic. Dacă unul sau ambele numere sunt negative, atunci se înmulţesc valorile lor absolute şi apoi se ţine seamă de cunoscuta regulă a semnelor şi anume: 1o produsul este pozitiv dacă ambii factori au acelaşi semn şi atunci produsul ab este egal cu produsul valorilor absolute ale lui a şi b. 2o produsul este negativ, dacă semnele factorilor sunt diferite şi atunci produsul ab este egal cu produsul valorilor absolute ale lui a şi b luat cu semnul „–”.

Exemple

1) Să se calculeze pătratul numărului a = 1,4142… . Avem a'4 = 1,4142 şi a4'' = 1,4143. Atunci: a4' 2 = 1,99996164 ≤ a 2 < a4'' 2 = 200024449. Se observă că pătratul numărului a este foarte aproape de numărul 2. 2) Să se găsească trei cifre după virgulă pentru produsul numerelor a 1 = şi b = 2 . 3

Avem a = 0,33333… şi 2 = 1,41421… Atunci 0≤a<1 1≤b<2 0,3 ≤ a < 0,4 1,4 ≤ b < 1,5 0,33 ≤ a < 0,34 1,41 ≤ b < 1,42 0,333 ≤ a < 0,334 1,414 ≤ b < 1,415 0,3333 ≤ a < 0,3334 1,4142 ≤ b < 1,4143 Deci 21

Mulţimi de numere

Astfel am obţinut:

0 ≤ ab < 2 0,42 ≤ ab < 0,6 0,4653 ≤ ab < 0,4828 0,47062 ≤ ab < 0,47261 0,47135286 ≤ ab < 0,47152762 ab = 0,471… .

Proprietăţile adunării şi înmulţirii numerelor reale

Menţionăm în continuare proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire a numerelor reale. Pe baza definiţiilor operaţiilor de adunare şi înmulţire date mai înainte şi folosind proprietăţile corespunzătoare ale adunării şi înmulţirii numerelor raţionale, verificarea acestora se face fără dificultate. Lăsăm ca exerciţiu demonstrarea lor. Adunarea pe mulţimea ú a numerelor reale are proprietăţile: 1o este comutativă, adică oricare ar fi a şi b din ú, avem: a + b = b + a. o 2 este asociativă, adică oricare ar fi a, b şi c din ú, avem: (a + b) + c = a + (b + c). o 3 numărul 0 este element neutru pentru adunare, adică oricare ar fi a din ú, avem: a + 0 = 0 + a = a. 40 orice număr real a are un opus, care este –a, adică: a + (–a) = (–a) + a = 0. Ca de obicei, în loc de a + (–b) vom scrie a – b. Înmulţirea numerelor reale are proprietăţile: 1. este comutativă, adică oricare ar fi a şi b din ú, avem ab = ba; 2. este asociativă, adică oricare ar fi a, b şi c din ú, avem (ab)c = a(bc); 3. numărul 1 este element neutru pentru înmulţire, adică oricare ar fi a din ú, avem: a · 1 = 1 · a = a; 4. orice număr real a diferit de zero are un invers, adică există un număr real, notat cu a–1, astfel încât aa–1 = a–1a = 1; 5. este distributivă faţă de adunare, adică oricare ar fi a, b, c din ú au loc egalităţile: a(b + c) = ab + ac, (a + b) c = ac + bc a Ca de obicei, în loc de ab–1 (b γ 0), vom scrie a : b sau . b Observaţie

În general, când se lucrează cu numere reale nu se recurge neapărat la reprezentarea lor zecimală. Rezultatul unei probleme poate fi dat sub 1 π2 7, . forma: 2 + 3, a 2 2 + 3 , 3 5

(

22

)

Mulţimi de numere

1.2.3. Interpretarea geometrică a numerelor reale Fie (d) o dreaptă oarecare pe care fixăm un punct O numit origine (fig.2) şi sensul pozitiv de la stânga la dreapta. Originea împarte dreapta (d) în două semidrepte Ox şi Ox'; Ox este semiaxa pozitivă iar Ox' semiaxa negativă. Dacă fixăm o unitate de măsură, atunci distanţa AB dintre orice două puncte A şi B ale dreptei (d) se exprimă printr-un număr nenegativ.

x'

O

U

x

Fig. 2 Să alegem ca unitate de măsură lungimea segmentului OU; atunci OU = 1. Dacă M este un punct al semiaxei pozitive Ox, să notăm cu xM = OM, abscisa sa. În acest mod se defineşte o funcţie M τ xM de la punctele semidreptei Ox la mulţimea numerelor reale pozitive. Pentru orice număr real pozitiv (lungime) x, există un punct bine determinat M pe semiaxa Ox, care să se găsească la distanţa x de punctul O, adică xM = x. Dacă punctul M aparţine semiaxei negative Ox', abscisa sa este numărul xM = –OM. Convenim ca xO = 0 (zero). Atunci putem considera funcţia M τ xM definită pe toată dreapta (d) cu valori în mulţimea  a numerelor reale. Este cunoscut rezultatul care afirmă că această funcţie are proprietatea că la puncte diferite corespund abscise diferite şi, mai mult, orice număr real este abscisa unui punct de pe dreapta (d). De aceea mulţimea numerelor reale se numeşte adesea dreapta numerică sau dreapta reală sau axa reală, iar elementele (numerele) sale se numesc punctele dreptei numerice. Funcţia stabilită ne permite să folosim adesea, pentru numere, terminologia geometrică. Să vedem sensul intuitiv al rezultatului precedent, cu ajutorul reprezentării sub formă de fracţie zecimală a numerelor reale. De la reprezentarea numerelor raţionale pe dreaptă, ştim să construim un punct M a cărui abscisă este un număr care se reprezintă sub formă de fracţie zecimală finită. Fie a = a0, a1a2a3… un număr real oarecare şi a0' , a1' , a2' ,... a0'' , a1'' , a2'' ,... aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos ale lui a. Să considerăm segmentul Δn = [M(a'n), M ( an' ' )] cu capetele a'n şi an' ' şi de lungime 10–n. Avem, Δ1 ⊃ Δ2 ⊃ Δ3 ⊃ … ⊃ Δn ⊃ Δn+1 ⊃ … .

23

Mulţimi de numere

Se arată că există un singur punct care să aparţină tuturor segmentelor Δn, pentru orice n. Acesta este punctul M(a). De exemplu, fie a = 1,671… . Atunci 1≤a<2 1,6 ≤ a < 1,7 1,67 ≤ a < 1,68 Interpretarea geometrică este dată în figura 3.

M(1,6)

M(a) M(1,7)

M(1)

O

1

2 Fig. 3

1.2.4. Inegalităţi Proprietăţile inegalităţilor

În 1.2.1. am definit ordinea pe mulţimea numerelor reale folosind reprezentarea zecimală a acestora. Mai precis, dacă a şi b sunt două numere reale am definit ce înseamnă a < b (a mai mic decât b). În continuare vom da unele proprietăţi ale inegalităţilor între numere, care se deduc uşor pe baza definiţiei menţionate. Este adevărată următoarea proprietate numită legea de tricotomie: Dacă a şi b sunt două numere reale, atunci este adevărată una şi numai una din relaţiile: a > b, a = b, a < b. Definiţie

24

Se spune că numărul real a este mai mic sau egal cu numărul real b, şi scriem a ≤ b, dacă a < b sau a = b. Relaţia „≤” are următoarele proprietăţi: 1o a ≤ a, oricare ar fi a (reflexivitatea). 2o dacă a ≤ b şi b ≤ a, atunci a = b (antisimetria). 3o dacă a ≤ b şi b ≤ c, atunci a ≤ c (tranzitivitatea). Această relaţie se numeşte relaţia de ordine pe mulţimea numerelor reale. Observăm că proprietatea 3o (tranzitivitatea) este valabilă şi pentru relaţia „<” adică dacă a < b şi b < c, atunci a < c. Vom da şi alte proprietăţi ale inegalităţilor pe mulţimea numerelor reale legate de operaţiile de adunare şi înmulţire. Astfel: 1o dacă a < b, iar c este un număr real oarecare, atunci a + c < b + c, 2o dacă a < b şi c > 0, atunci ac < bc, 3o dacă a < b şi c < 0, atunci ac > bc,

Mulţimi de numere

De aici rezultă uşor că: 4o dacă a < b şi c < d, atunci a + c < b + d şi a – d < b – c, 5o dacă a, b, c, d sunt numere reale pozitive astfel încât a < b şi c < d, atunci ac < bd. a b În aceleaşi condiţii, avem şi < . d c Aceleaşi proprietăţi (1o, 20, 3o, 4o, 5o) sunt valabile şi pentru relaţia „≤”. Observaţii

Dacă a, b sunt numere reale, atunci: a ≤ b dacă şi numai dacă există c ≥ 0 număr real astfel încât b = a + c. În continuare vom prezenta câteva inegalităţi importante. Acestea se pot generaliza după cum se va vedea în paragraful consacrat Inducţiei matematice din modulul Algebră 2, unitatea de învăţare 1. 1. Să se demonstreze că: (1) (a2 + b2) (u2 + v2) ≥ (au + bv)2, unde a, b, u, v sunt numere reale oarecare. (inegalitatea Cauchy – Buniakowsky – Schwartz) Soluţie. Efectuând calcule în ambii membri, inegalitatea devine succesiv: a2u2 + a2v2 + b2u2 + b2v2 ≥ a2u2 + 2aubv + b2v2 sau a2v2 + b2u2 ≥ 2aubv, adică (av – bu)2 ≥ 0, ultima inegalitate fiind evidentă. 2. Să se demonstreze că:

(a + u )

a2 + b2 + u 2 + v 2 ≥

2

+ (b + v )

2

(2)

unde a, b, u, v sunt numere reale oarecare. (inegalitatea lui Minkovski). Soluţie. Cum inecuaţia are membrii pozitivi, ridicând la pătrat ambii membri, aceasta devine: a 2 + b 2 + 2 a 2 + b 2 u 2 + v 2 + u 2 + v 2 ≥ a 2 + 2au + u 2 + b 2 + 2bv + v 2 După efectuarea calculelor, obţinem

(3) a 2 + b 2 ⋅ u 2 + v 2 ≥ au + bv Dacă au + bv < 0, inegalitatea (3) este evidentă. Dacă au + bv ≥ 0, inegalitatea (3) rezultă din inegalitatea Cauchy – – Buniakowski – Schwartz. 3. Să se demonstreze că:

a+b (4) ≥ ab 2 unde a şi b sunt numere reale pozitive oarecare. (media aritmetică a două numere pozitive este mai mare sau egală cu media geometrică a lor). a+b Soluţie. Considerăm diferenţa: − ab 2 Această diferenţă poate fi scrisă, succesiv, sub forma: ab ( a ) + ( b ) = 2

a+b a+b−2 − ab = 2 2

2

2

−a a b

( =

a− b 2

)

2

.

25

Mulţimi de numere

Dar,

cum

evident

(

a− b

)

2

≥0

rezultă

a+b − ab ≥ 0 , 2

adică

a+b ≥ ab . Inegalitatea (4) devine egalitate dacă şi numai dacă a = b. 2 Observaţie

Dacă a şi b sunt numere reale pozitive oarecare, atunci 2 ab ≥ (5) 1 1 + a b (media geometrică a două numere reale pozitive este mai mare sau egală cu media armonică a lor). 1 1 şi este mai Într-adevăr, avem că media aritmetică a numerelor a b mare sau egală cu media lor geometrică, adică 1 1 1 1 + + 1 1 1 a b ≥ ⋅ , sau a b ≥ . 2 2 a b ab 2 Prin urmare, ab ≥ , adică inegalitatea (5). Egalitatea are loc 1 1 + a b dacă şi numai dacă a = b. Valoarea absoluta sau modulul unui număr real

Valoarea absolută a unui număr a, notată prin |a|, se defineşte astfel:  a, dacă a > 0  | a |=  0, dacă a = 0 −a, dacă a < 0  1 1 = , −30 = 30, − 2 = 2 etc. 3 3 Valoarea absolută a numărului a se mai numeşte modulul numărului a. Rezultă că |x| = max (–x, x) şi deci: x ≤ |x|, – x ≤ |x|, (max (–x, x) reprezintă cel mai mare dintre numerele –x şi x). Să menţionăm proprietăţile fundamentale ale modulului. Dacă a şi b sunt numere, atunci: 1. |a| ≥ 0; 2. |a| = 0 dacă şi numai dacă a = 0; 3. |ab| = |a| · |b|; 4. |a + b| ≤ |a| + |b|. Primele trei proprietăţi sunt evidente, după definiţia modulului. Să o demonstrăm pe ultima. Într-adevăr, dacă a = 0 sau b = 0 atunci este clar că |a + b| = |a| + |b|. Deci să presupunem a γ 0 şi b γ 0. Să considerăm cele patru cazuri posibile: i) Dacă a > 0 şi b > 0, atunci a + b > 0. Deci |a + b| = |a| + |b|. ii) Dacă a < 0 şi b < 0, atunci a + b < 0. În acest caz |a| = – a, |b| = – b, |a + b| = – (a + b) şi deci |a + b| = |a| + |b|. iii) Dacă a > 0 şi b < 0, atunci |a| = a şi |b| = –b. În această situaţie avem, sau a + b ≥ 0 sau a + b < 0. Dacă a + b ≥ 0, atunci |a + b| = a + b ≤ a = |a| ≤ De exemplu, 9 = 9, −

26

Mulţimi de numere

|a| + |b|;iar dacă a + b < 0, atunci |a + b| = – a –b = –a + |b| ≤ |b| ≤ |a| + |b|. iv) Analog, se demonstrează cazul a < 0 şi b > 0. În practică sunt foarte utile următoarele proprietăţi: 5. |a| = |b| dacă şi numai dacă a = ! b. 6. Dacă c > 0, atunci |a| ≤ c dacă şi numai dacă – c ≤ a ≤ c. (În aceste relaţii se poate înlocui semnul ≤ cu semnul <). De asemenea, avem: 7. ||a| – |b|| ≤ |a – b|. Proprietăţile 5, 6 şi 7 se demonstrează uşor pe baza celor precedente. Demonstrarea lor o lăsăm ca exerciţiu. Proprietăţile modulului menţionate mai înainte se vor folosi în special la rezolvarea ecuaţiilor şi inecuaţiilor. Partea întreagă a unui număr real.

Până acum s-a utilizat noţiunea de parte întreagă a unui număr dat. Definiţia părţii întregi a unui număr real oarecare şi proprietăţi ale acesteia le vom prezenta în continuare. Definiţie

Dacă a este un număr real, se numeşte partea întreagă a lui a, cel mai mare număr întreg care este mai mic sau egal cu a. Partea întreagă a lui a se notează cu [a]. Conform definiţiei avem că [a] este număr întreg şi [a] ≤ a, iar dacă [a] ≤ n ≤ a cu n număr întreg, atunci n = [a]. Astfel spus, partea întreagă a lui a este un număr întreg, notat [a], cu proprietatea [a] ≤ a < [a] + 1 sau a – 1 < [a] ≤ a. Deci [a] este unicul număr întreg din intervalul (a – 1, a]. De exemplu: [3,2] = 3; [0,245] = 0; [6] = 6; [–4,7] = –5 deoarece – 5 < – 4,7 < – 4. Analog, se obţine: [–5, 791] = –6; [–0,231] = –1, [–π] = [–3,141…] = –4. Se observă că dacă a este un număr real oarecare şi n este întreg, atunci [a + n] = [a] + n.

Definiţie

Diferenţa dintre numărul a şi partea sa întreagă [a] se numeşte partea fracţionară a lui a şi se notează cu {a}. Deci {a} = a – [a] şi cum [a] ≤ a < [a] + 1, rezultă că 0 ≤ {a} < 1. De exemplu: {2,4} = 2,4 – 2 = 0,4; {0,261} = 0,261 – 0 = 0,261; {–6,81} = = – 6,81 – (–7) = 0,19; {–0,231} = 0,231 – (–1) = 0,769. Orice număr real a este suma dintre partea sa întreagă şi partea sa fracţionară, adică a = [a] + {a}. Se observă că dacă numărul real a are scrierea ca fracţie zecimală a = a0, a1a2a3… , atunci [a] = a0, iar {a} = 0, a1a2a3… Un număr real a = a0, a1a2a3… este negativ dacă şi numai dacă partea sa întreagă a0 este număr negativ.

Aplicaţie

Dacă a este un număr real oarecare, atunci: 1 (1) [a ] + a + 2  = [2a ]   Soluţie: Într-adevăr, fie a = [a] + {a} cu 0 ≤ {a} < 1. 1 1 Atunci avem 2a = 2 [a] + 2 {a} şi a + = [a ] + {a} + . Rezultă 2 2 cazurile: 27

Mulţimi de numere

1 1  1o 0 ≤ {a} < , de unde 0 ≤ 2 {a} < 1. Atunci [ 2a ] = 2 [a ], a +  = [a ] 2 2  şi deci egalitatea (1) este adevărată. 1 1  2o ≤ {a} < 1 de unde 1 ≤ 2 {a} < 2. Atunci [2a] = 2 [a] + 1, a +  = 2 2  = [a] + 1 şi deci egalitatea (1) este şi în acest caz adevărată.

Test de autoevaluare 2 1) Să se indice câteva numere naturale n astfel încât : a) n este raţional; b) n nu este raţional.

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

2) Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive, să se arate că 1 1 1 ( a + b + c )  + +  ≥ 9 . a b c

 x + 1 x − 1 3) Să se rezolve ecuaţia:  = 2 .  3 

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 56 a acestei unităţi de învăţare.

28

Mulţimi de numere

1.3. Puteri şi radicali 1.3.1. Puteri Puteri cu exponent natural nenul

Fie a un număr real şi n un număr natural mai mare sau egal cu 2. Se numeşte puterea n a numărului a produsul a n numere, fiecare număr fiind egal cu a. Acest număr se notează cu an. Deci: an = a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅a   n ori

În reprezentarea an, a se numeşte baza puterii, iar n exponentul puterii. Convenim să punem a1 = a. Exemple

1. (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8; 4

1 1 1 1 1  1 2.   = ⋅ ⋅ ⋅ = = 0,0625 . 2 2 2 2 16 2 1. Semnul puterii cu exponentul natural Puterea unui număr real pozitiv cu exponent natural nenul este pozitivă. Puterea unui număr real negativ cu exponent natural par este pozitivă, iar cu exponent natural impar este negativă. Într-adevăr dacă a > 0, atunci an fiind produsul a n numere pozitive este pozitiv. Dacă a < 0, atunci din regula semnelor rezultă că a2n, care este produsul unui număr par de numere negative, este pozitiv, iar a2m+1, care este produsul unui număr impar de numere negative, este negativ. De exemplu (–2)9 are semnul (–) iar (–2)12 are semnul (+). 2. Puterea produsului şi a câtului a două numere reale Fie a, b două numere reale şi n număr natural nenul. Atunci: (ab)n = anbn n

Într-adevăr, ( ab )

n

an a (b ≠ 0). = b bn   = ( ab )( ab ) ... ( ab ) = ( a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ) ⋅ ( b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b ) = a n b n    n ori

n ori

n ori

(am folosit asociativitatea şi comutativitatea înmulţirii a două numere reale). n

a a a a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a a n a De asemenea,   = ⋅ ⋅ ... ⋅ = = . b b b b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b b n b  n ori

Observaţie

În calcule, deseori, folosim egalităţile de mai sus sub forma: a b = ( ab ) n

n

5

n

n

an  a  şi n =   . b b 5

5

35 243  1  1 3 . De exemplu: 6 ⋅   =  6 ⋅  =   = 5 = 2 32 4  4 2 5

29

Mulţimi de numere

3. Înmulţirea puterilor care au aceeaşi bază Dacă a este un număr real şi m, n numere naturale nenule, atunci: am · an = am+n. Într-adevăr am · an = (a · a ·... · a ) · (a · a ·... · a ) = a · a ·... · a = am+n        m ori

3

4

n ori

7

4

5

m = n ori

De exemplu: 2 · 2 = 2 = 128; (–2) · (–2) = (–2) = – 32. 4. Ridicarea unei puteri la altă putere Dacă a este un număr real şi m, n numere naturale nenule, atunci: (am)n = amn.

Într-adevăr

( ) am

n

m m =a ⋅ a m ⋅ ... ⋅ a =a 

m + m +...+ m  n ori

= a mn .

n ori

2

( ) 3

De exemplu: 2

2

3⋅2

=2

8  1  4  1  1 = 2 = 64;  −   =  −  = . 2 2 256       6

5. Împărţirea a două puteri cu aceeaşi bază Dacă a este un număr real nenul şi m, n numere naturale nenule, astfel încât m > n, atunci: am = a m −n an Într-adevăr, avem: am–n · an = a(m–n)+n = am, de unde rezultă că am a m −n = n a 310 45 De exemplu: 8 = 310 −8 = 32 = 9; 4 = 45−3 = 42 = 16 3 4 6. Compararea puterilor 1o dacă a şi b sunt numere reale pozitive astfel încât a < b şi n număr natural nenul, atunci an < bn. Această proprietate este o consecinţă imediată a unei proprietăţii a inegalităţilor între numere reale. Exemplu

Care dintre numerele 230 sau 320 este mai mare? Avem 230 = 23·10 = (23)10 = 810; 320 = 32·10 = (32)10 = 910. Deoarece 8 < 9, atunci 810 < 910, adică 230 < 320. 2 o Fie a un număr real pozitiv şi m, n numere naturale nenule, astfel încât m > n. i) Dacă 0 < a < 1, atunci am < an; ii) Dacă a > 1, atunci am > an. Într-adevăr, avem m = n + k, cu k număr natural nenul. Deci am = an+k = an ·ak. Dacă 0 < a < 1, atunci 0 < ak < 1. Prin urmare, am = an · ak < an. Dacă a > 1, atunci ak > 1. Prin urmare, am = an · ak > an.  1 De exemplu,   5

30

60

30

 1 <   ; 560 > 530 . 5

Mulţimi de numere

Puteri cu exponent întreg

Am demonstrat că pentru m > n am : an = am–n (a γ 0). Vom căuta să lărgim noţiunea de putere astfel încât am : an = am–n (a γ 0) să aibă loc şi pentru cazul când m ≤ n. 1) Exponentul 0. Dacă a γ 0, prin definiţie vom pune a0 = 1. Dacă m = n, atunci am : an = 1 şi am–n = a0 = 1. Rezultă că formula am : an = = am–n are loc şi pentru cazul m = n. Observaţie

Expresia 00 nu are nici un sens. 2) Exponentul negativ. Dacă n este număr natural nenul şi a un număr 1 real nenul, prin definiţie vom pune a − n = n . a 1 1 1 De exemplu, 2−3 = 3 = = 0,125 ; 3 −1 = = 0,(3). 2 8 3 Dacă m, n sunt numere naturale astfel încât m < n, atunci am am am 1 − n −m = = = n −m = a ( ) = a m −n . n m n −m m +( n −m ) a a ⋅a a a m n m–n Rezultă că formula a : a = a are loc şi pentru cazul m < n. 3) Exponent întreg. În urma definirii puterilor cu exponent 0 şi negativ puterea an cu a număr real şi n număr întreg este bine precizată exceptând cazul a = 0. Vom arăta că proprietăţile puterilor cu exponent natural se păstrează şi pentru exponent întreg: 3o am · an = am+n; 5o am : an = am–n; 1o (a · b)n = an · bn; n

n

a a 2   = n 4o (am)n = amn. b b   Să verificăm 1o. Pentru exponent n > 0 am demonstrat egalitatea 1o. Dacă n = 0, atunci (a · b)0 = 1 şi a0 · b0 = 1 · 1 = 1. Deci: (a · b)n = an · an, are loc şi pentru n = 0. 1 Presupunem n < 0. Atunci (ab)n = . Cum –n > 0, atunci −n ( ab ) 1 1 1 1 = − n − n = − n ⋅ − n = a n ⋅ b n . Deci egalitatea (ab)n = anbn are loc şi −n a ⋅b a b ( ab ) o

pentru n < 0. În acelaşi fel se verifică egalitatea 2o. Să verificăm egalitatea (1) am · an = am+n (a γ 0). Deoarece pentru m > 0 şi n > 0 egalitatea (1) este adevărată, rămâne de arătat pentru următoarele trei cazuri: 1 am Cazul m > 0 şi n < 0. Atunci a m ⋅ a n = a m ⋅ − m = − n . Dar cum –n > 0, a a m a m− −n am văzut că − n = a ( ) = a m +n şi deci aman = am+n. a

31

Mulţimi de numere

1 1 1 ⋅ − n = − m − n . Cum −m a a a ⋅a –m > 0 şi –n > 0, atunci a–m · a–n = a–(m+n). 1 Deci am · an = −( m + n ) = a m + n . a Cazul când unul dintre m sau n este zero. Presupunem că n = 0. Atunci am · an = am · a0 = am · 1 = am şi am+n = am+0 = am. Deci şi în acest caz avem am · an = am+n. Din egalitatea 3o rezultă şi egalitatea am : an = am–n (a γ 0). Să verificăm egalitatea (am)n = amn (a γ 0) (2) Deoarece pentru m > 0 şi n > 0 egalitatea (2) este adevărată, rămâne de arătat în următoarele cazuri: n n 1  1  m Cazul m < 0 şi n > 0. Avem a =  − m  = ( − m )m . a a  Cazul m < 0 şi n < 0. Avem a m ⋅ a n =

( )

Cum –m > 0, atunci (a–m)n = a–mn. Deoarece – mn < 0 atunci amn = 1

a

− mn

şi deci (am)n = amn.

Cazul m > 0 şi n < 0. Avem (am)n = amn. Cazul m < 0 şi n < 0. Avem (am)n = că (am)–n = a–mn . Cum mn > 0, atunci

1

(a ) m

−n

1

(a ) m

−n

1 a

amn.

− mn

=

=

1 a

− mn

= a mn Deci (am)n =

şi din primul caz obţinem 1 = a mn şi deci (am)n = 1 a mn

Cazul când unul dintre m sau n este zero. Dacă m = 0, atunci am = 1 şi deci (am)n = 1n = 1. Dar cum amn = a0 = 1, rezultă (am)n = amn. Dacă n = 0, atunci (am)n = (am)0 = 1 şi amn = a0 = 1. Deci şi în acest caz avem (am)n = amn.

Exemple

1. 3 −6 ⋅ 38 = 3 −6 + 8 = 38 = 9; 1 1 2. (42)–2 = 4–4 = 4 = ; 4 256 3

3  1  −2  −2 3.    ( −1)  = 32   3   

( )

32

3

= 36 = 729.

Mulţimi de numere

1.3.2. Radicali Fie n ≥ 2 un număr natural, iar a un număr real. Să considerăm ecuaţia xn – a = 0. (1) În continuare ne punem problema existenţei şi a numărului rădăcinilor (soluţiilor) reale ale acestei ecuaţii. O rădăcină reală a ecuaţiei (1) este un număr real α, astfel încât αn – a = 0. Radicalul unui număr pozitiv

Fie ca mai sus n ≥ 2 un număr natural, a > 0 un număr real pozitiv şi ecuaţia xn – a = 0. Atunci avem Teorema 1

Dacă n ≥ 2 este un număr natural şi a > 0 un număr real pozitiv atunci ecuaţia xn – a = 0. (2) are o rădăcină reală pozitivă şi numai una. Demonstraţia riguroasă a faptului că există o rădăcină pozitivă a ecuaţiei (2) depăşeşte programa acestei unităţi de învăţare. Ea necesită noţiunea de continuitate şi se va face la Analiză matematică. Vom indica totuşi mai jos pe un exemplu cum poate fi găsită o valoare aproximativă a rădăcinii pozitive a unei astfel de ecuaţii. Să demonstrăm acum unicitatea. Într-adevăr, să presupunem prin absurd, că ecuaţia (2) ar avea mai multe rădăcini pozitive diferite. Fie atunci x1 şi x2, x1 γ x2 două astfel de rădăcini, adică x1n = x2n = a . (3) Cum x1 γ x2, atunci unul dintre aceste numere este mai mic decât celălalt. Fie, de exemplu, x1 < x2. Atunci din proprietăţile puterilor rezultă x1n < x2n , ceea ce contrazice relaţia (3). Această contradicţie arată că există o singură rădăcină pozitivă a ecuaţiei (2). Cu alte cuvinte, teorema precedentă spune că pentru orice număr real pozitiv a > 0 şi orice număr natural n ≥ 2, există un unic număr real pozitiv cu proprietatea că puterea a n-a a sa să fie a. Atunci putem da următoarea definiţie:

Definiţie

Dacă a > 0 este un număr real pozitiv şi n ≥ 2 un număr natural, se numeşte radical de ordin n din a, numărul pozitiv a cărui putere a n-a este a. Conform teoremei precedente există un astfel de număr şi este unic. Notaţie. Vom nota radicalul de ordin n din a prin obicei, se omite 2 şi se scrie, simplu, a . Aşadar, n a este un număr care verifică relaţiile: n

a > 0,

( a) n

n

n

a . Pentru

2

a , de

= a (a > 0).

33

Mulţimi de numere

Exemple

1. 9 = 3; 3 125 = 5; 4 16 = 2; 5 32 = 3. 2. Să arătăm, acum, cum poate fi găsită o valoare aproximativă a numărului 3 2 . Deoarece 1 = 13 < 2 < 23 = 8, rezultă că 1 < 3 2 < 2 şi deci 1, respectiv 2 sunt valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui 3 2 , cu o eroare mai mică decât 1. Ca să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decât 0,1 ale lui 3 2 , procedăm în modul următor. Scriem şirul de numere 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0. Căutăm în acest şir două numere consecutive, astfel încât cubul primului dintre ele să fie mai mic decât 2, iar cubul celui de-al doilea să fie mai mare decât 2. Pentru aceasta să rădicăm la cub numărul din mijloc. Obţinem 1,53 = 3,375, care este mai mare decât 2. Deoarece toate numerele de la dreapta lui 1,5 prin ridicare la cub dau numere mai mari decât 2, perechea de numere căutată va fi printre numerele 1,1; 1,2; 1,3; 1,4. Ridicăm la cub 1,2 şi obţinem 1,728 care este mai mic decât 2, şi deci cubul lui 1,1 va fi şi mai mic. Calculăm atunci cubul lui 1,3 şi obţinem (1,3)3 = 2,197 care este mai mare decât 2. Deci 1,2 < 2 < 1,3. Aşadar 1,2 respectiv 1,3 vor fi valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos ale lui 3 2 , cu o eroare mai mică decât 0,1. Dacă vrem să găsim valorile aproximative cu o eroare mai mică decât 0,01 ale lui 3 2 , procedăm ca mai înainte pentru şirul de numere următor: 1,21; 1,22; 1,23; 1,24;…; 1,29. Deoarece (1,25)3 = 1,953125 este mai mic decât 2, o să luăm în considerare numai numerele: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. 3 Cum (1,26) = 2,00376 este mai mare decât 2, avem 1,25 < 3 2 < 1,26. Aşadar 1,25 respectiv 1,26 vor fi valorile aproximative prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui 3 2 , cu o eroare mai mică decât 0,01. Continuând procedeul putem găsi valori aproximative ale lui 3 2 , cu o eroare oricât de mică dorim. În general, ecuaţia xn – a = 0 (a > 0) poate să aibă şi alte rădăcini (care evident trebuie să fie negative). De exemplu, ecuaţia x2 – 4 = 0 are rădăcinile x1 = –2 < 0 şi x2 = 2 > 0. În acest sens avem în general: 1o Dacă n = 2k + 1, atunci ecuaţia x2k+1– a = 0 (a > 0) nu are rădăcini negative. Această afirmaţie rezultă uşor observând că oricare ar fi α < 0 avem 2k+1 α < 0 şi deci α 2k+1 γ a (a > 0). 2o Dacă n = 2k atunci ecuaţia x2k – a = 0 (a > 0) are o singură rădăcină negativă şi anume −2 k a . Într-adevăr, avem ( −2 k a )2k =

( a) 2k

2k

= a şi deci −2k a este o rădăcină

a ecuaţiei x2k – a = 0. Un raţionament analog celui folosit la demonstrarea unicităţii în teorema precedentă, ne arată că −2k a este unica rădăcină negativă. 34

Mulţimi de numere

Prin definiţie, avem Evident, Observaţie

0 = 0 (n ≥ 2, număr natural).

0 = 0 este unica rădăcină a ecuaţiei xn = 0.

n

Având în vedere definiţia radicalului, mai precis că radicalul unui număr pozitiv (sau nul) este pozitiv (sau nul) este folositor de remarcat următoarea formulă importantă:  x, dacă x > 0,  2 x = 0, dacă x = 0, − x, dacă x < 0. 

Cu alte cuvinte,

Exemple

n

x2 = x ..

1.

(2 − a)

2.

(x

2

2

)

+1

2

2 − a, dacă a > 0,  = 2 − a = 0, dacă a = 0, a − 2, dacă a < 0. 

= x 2 + 1 = x 2 + 1, deoarece pentru orice x, avem x2 + 1 > 0

Radicalul (de ordin impar) al unui număr negativ

Teorema 2

Fie n ≥ 2 un număr natural, a < 0 un număr real negativ şi ecuaţia xn – a = 0. Atunci avem: Fie n ≥ 2 un număr natural, a < 0 un număr real negativ şi ecuaţia xn – a = 0 (1) Atunci: 1o Dacă n = 2k (k ≥ 1), ecuaţia (1) nu are rădăcini reale. 2o Dacă n = 2k + 1 (k ≥ 1), ecuaţia (1) are o rădăcină reală negativă şi numai una. Demonstraţie. Afirmaţia 1o rezultă uşor observând că oricare ar fi α χ R avem α2k = (α2)k ≥ 0 şi deci α2k γ a (a < 0), adică α2k – a γ 0. Să demonstrăm acum 2o. Fie pentru aceasta y = –x. Cum y2k+1 = (– x)2k+1 = –x2k+1, ecuaţia devine – y2k+1 – a = 0 sau încă y2k+1 – (–a) = 0. Cum a < 0 rezultă –a > 0 şi după teorema 1, rezultă că ecuaţia în y are o rădăcină reală pozitivă unică. Aceasta este tocmai n −a (–a > 0). Dar, atunci este clar că ecuaţia în x are o rădăcină negativă unică şi anume x = – n −a (–a > 0). Având în vedere afirmaţia 2o a teoremei precedente putem da următoarea definiţie:

Definiţie

Dacă a < 0 este un număr real negativ şi n ≥ 3 un număr natural impar, se numeşte radical de ordin n din a, numărul negativ a cărui putere a n-a este a. Un astfel de număr există şi este unic. Îl notăm prin n a . Aşadar n a (a < 0, n ≥ 3, impar) este un număr care verifică relaţiile: n a < 0, ( n a )n = a.

35

Mulţimi de numere

n

Exemple

Din consideraţiile anterioare rezultă că dacă a < 0, n = 2k + 1, atunci a = – n −a .

1. Ecuaţiile x4 + 81 = 0 şi x100 + 125 = 0 nu au rădăcini reale. 2. Ecuaţiile x5 + 32 = 0 şi x3 + 125 = 0 au câte o rădăcină reală negativă şi anume 5 −32 = −2 , respectiv 3 −125 = −5. Proprietăţile radicalilor

În cele ce urmează vom vedea că radicalii au o serie de proprietăţi asemănătoare puterilor. Amintim, la început, că dacă x şi y sunt numere reale, iar n un număr natural nenul, atunci xnyn = (xy)n. De asemenea, dacă x, y ≥ 0 sunt numere reale, iar n este un număr natural nenul, atunci din xn = yn rezultă x = y. În cele ce urmează m, n, k vor fi numere naturale nenule, iar atunci când ele indică ordinul unui radical, vor fi mai mari sau egale decât 2. 1. Oricare ar fi numerele reale a, b ≥ 0, atunci: n ab = n a ⋅ n b (1) Într-adevăr, fie x = n ab şi y = n a n b Atunci x ≥ 0, y ≥ 0 şi xn =

(

n

ab

)

n

= ab, y n =

(

n

an b

) = ( a) ( a) n

n

n

n

n

= ab de unde x = y, ceea

ce trebuia demonstrat. Cerinţa a ≥ 0 şi b ≥ 0 este esenţială numai pentru n par. Dacă n este impar, formula (1) este valabilă pentru orice numere reale a şi b (inclusiv negative). 25 ⋅ 49 = 25 49 = 5 ⋅ 7 = 35;

Exemple

−125 ⋅ 8 = 3 −125 3 8 = −5 ⋅ 2 = −10. Remarcăm că formula (1) rămâne adevărată pentru orice număr finit de numere a1, a2, …, ak ≥ 0 (k ≥ 2), adică n a a ...a = n a n a ... n a . (2) k k 1 2 1 2 3

2. Oricare ar fi numerele reale a ≥ 0, b > 0, atunci a na n = . b nb

(3) n

n  a a a a Într-adevăr, fie x = n , y = n . Atunci x ≥ 0 şi y ≥ 0 şi x n =  n  =   b b b  b n

na şi y n =  n  =  b  

( a) ( b) n

n

n

n

=

a . Deci xn = yn, de unde x = y ceea ce trebuia b

demonstrat. Cerinţa a ≥ 0 şi b > 0 este esenţială numai pentru n număr par. Dacă n este impar formula (3) este valabilă pentru orice număr real a şi orice număr real b γ 0. 36

Mulţimi de numere

Exemple

3 36 36 6 3 64 64 4 = = ; =−3 =− . 49 27 3 49 7 27 3. Oricare ar fi numărul real a ≥ 0, atunci

n

a mn = a m

(4)

Într-adevăr, n

Exemple

a mn =

(a ) n

n

m

n n n n =  a ⋅ a ⋅ ... ⋅ n an = a m . m ori

46 = 3 43⋅2 = 42 = 16; 4 212 = 4 24⋅3 = 23 = 8 4. Oricare ar fi numărul real a ≥ 0, atunci: 3

( a)

m

n

=

n

am .

(5)

Într-adevăr,

( a) n

Exemple

m

n n =  a ⋅ n a ⋅ ... ⋅ n a =  a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a = n a m . m ori

m ori

Dacă n este impar, formula (5) este valabilă şi pentru a < 0.

( 3) = ( −2 ) = 3

4

4

5

3

(

33 = 4 27;

3

( −2 )

5

6

16

)

3

= 6 212 = 22 = 4;

= 3 −32.

5. Oricare ar fi numărul a ≥ 0, atunci: n

a m = nk a mk .

Într-adevăr, fie x = xn = Exemple

(

nk

a mk

)

n

= nk a(

nk ) m

nk

a mk

(6)

şi y =

= a m şi y n =

m

( ) n

am

n

a m . Atunci x ≥ 0, y ≥ 0 şi

= am .

Deci xn = yn, de unde x = y, ceea ce trebuia demonstrat. 4

5 = 12 53 ;

25

a10 = 5 a 2 .

6. Oricare ar fi numărul real a ≥ 0, atunci: n m

Într-adevăr, fie x =

n m

a = nm a

a şi y = nm a . Atunci x ≥ 0 şi y ≥ 0. După

proprietăţile 4 şi 5 avem y n =

Exemple

( a) nm

n

= nm a n = m a . Cum xn =

m

a , după

definiţia radicalului de ordin n rezultă că y = n m a . Deci y = x, ceea ce trebuia demonstrat. 3 4

2 = 12 2;

3 5

17 = 15 7 .

37

Mulţimi de numere

Operaţii cu radicali

Exemple

1. Scoaterea unui factor de sub semnul radical şi introducerea unui factor sub semnul radical. Uneori numărul de sub semnul radical se descompune în factori, caz în care radicalul este uşor de calculat. În aceste cazuri, expresia radicalului devine mai simplă (se simplifică), dacă scoatem aceşti factori de sub semnul radical. În efectuarea unei astfel de operaţii, ne bazăm pe proprietăţile 1 şi 3 ale radicalilor. 12 = 3 ⋅ 4 = 4 ⋅ 3 = 2 3; 4

1250 = 4 625 ⋅ 2 = 4 5 4 ⋅ 2 = 4 5 4 ⋅ 4 2 = 5 4 2;

4

2a12 = a3

4

2.

Uneori este folositor să introducem factori sub semnul radical. Pentru efectuarea unui astfel de operaţii ne bazăm pe aceleaşi proprietăţi menţionate mai sus. Exemplu

16 2 = 3 162 ⋅ 2 = 3 28 ⋅ 2 = 3 29 = 6 29 = 23 = 2 2 2. Înmulţirea radicalilor. Proprietatea 1 a radicalilor ne dă legea de înmulţire a radicalilor de acelaşi ordin: n a ⋅ n a ⋅ ... ⋅ n a = n a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a . (1) 1 2 1 2 k k 3

Ca să înmulţim radicali de ordine diferite, este necesar să-i aducem la acelaşi ordin şi, apoi, să-i înmulţim după formula (1). Fie, astfel, n a şi m b . Folosind proprietatea 5 a radicalilor avem: n

a = nm a m ;

Atunci

n

m

b = nm b n .

a ⋅ m b = nm a m ⋅ nm

n

= nm a m b n .

3 3 9 = 6 33 ⋅ 6 9 2 = 6 3 3 ⋅ 9 2 = 6 3 3 ⋅ 3 4 = 6 3 7 = 3 6 3

Exemplu

Observăm că se poate lua ca ordin comun al radicalilor n a şi m b , tocmai cel mai mic multiplu comun al numerelor n şi m; astfel, putem lua ca ordin comun pentru radicalii 4 2 şi 6 32 pe 12, care este cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 6 şi, avem 2 ⋅ 6 32 = 12 23 ⋅ 12 210 = 12 213 = 212 2. 3. Împărţirea radicalilor. Proprietatea 2 a radicalilor ne dă legea de împărţire a radicalilor de acelaşi ordin. n a na = (2) . n b b Ca să împărţim radicali de ordine diferite, îi aducem mai întâi la acelaşi ordin şi apoi îi împărţim după formula (2). 4

Exemplu

38

6

24 6 = 2. 23 2 6 23 4. Raţionalizarea numitorilor. Înţelegem prin raţionalizarea numitorilor, operaţia de eliminare (prin transformări) a radicalilor de la numitorul unei fracţii. Vom clarifica aceasta prin câteva cazuri speciale, pe care le vom prezenta mai jos. 3

4

=

42

=

6

Mulţimi de numere

Să precizăm mai întâi noţiunea de expresie conjugată. Astfel, o expresie, care conţine radicali se numeşte conjugata unei alte expresii care conţine radicali, dacă produsul acestor expresii se poate scrie fără radicali. Atunci cele două expresii se numesc conjugate. În cazurile următoare, raţionalizarea numitorului se realizează prin amplificarea fracţiei cu conjugata numitorului. De aceea vom pune în evidenţă pentru fiecare caz în parte, conjugatele numitorului. 1o Numitorul este un radical. În acest caz radicalul de la numitor se elimină printr-o amplificare. 2

Exemple

3

=

2 3

( 3)

=

2

2 3 ; 3

2o Numitorul este de forma; Observăm că

(

2 3

5 3 2 ⋅ 32

=

12

3

=

23 ⋅ 33

5 3 18 . 6

a ± b (a, b > 0).

)(

)

a+ b ⋅

a − b =a−b

Expresiile

a+ b

şi

a − b sunt conjugate. Pentru a raţionaliza numitorul amplificăm fracţia cu conjugata numitorului. 3− 2

Exemplu

3+ 2

=

(

(

3− 2

3+ 2

)(

)

2

3− 2

)

=

3− 2 6 + 2 =5−2 6. 3−2

3o Numitorul este de forma: a ± b ± c (a, b, c > 0). În acest caz, radicalii de la numitor se elimină succesiv, reducând problema la cazul precedent. Exemplu

(

) (

(

) ) ( )

4  1+ 3 + 2  4 1+ 3 + 2   = = 2 1+ 3 − 2  1+ 3 − 2   1+ 3 + 2  + − 2 1 3    4

=

(

4 1+ 3 +

( ) 2 ) 4 (1 + =

)

3+ 2

2+2 3 (4 + 2 3 ) − 2 2 (1 + 3 + 2 )(1 − 3 ) 2 (1 − = = (1 + 3 )(1 − 3 )

(

) = 2 (1 +

3+ 2

1+ 3

)=

3 + 3 −3+ 2 − 6 1− 3

2

=

)=

= 2 − 3 + 6.

4o Numitorul este de forma

(

3

(

a−3

a ± 3 b sau

3

a 2 ± 3 ab + 3 b 2 Avem:

) ( a − ab + b ) = a + b şi b ) ( a + ab + b ) = a − b

a+3b 3

3 3

2

3

3

3

2

3

2

3

2

acestea fiind perechi de expresii conjugate.

39

Mulţimi de numere

Exemplu

3

3

3

5−33

3

3

=

=

(

3

3⋅

(

3

52 + 3 3 ⋅ 5 + 3 32

)(

5− 3 ⋅ 3

3

2

) 3

5 + 3⋅5 + 3 3

2

)

=

3 ⋅ 52 + 3 32 ⋅ 5 + 3 33 3 + 3 45 + 3 75 = . 5−3 2

Cazul 4o se poate da mai general, astfel: 5o Numitorul este de forma Avem

(

n

a−nb

)(

n

n

a − n b sau

a − n b sau impar. Avem:

(

n

a−nb

)(

n

n

)

a n −1 − n a n −2 b + ...n ab n −2 + n b n −1 , unde n = 2k + 1, este

)

a n −1 − n a n −2 b + ...n ab n −2 + n b n −1 = a + b

acestea fiind deci conjugate. Aplicaţie

a n −1 + n a n −2 b + ... + n b n −1 .

a n −1 + n a n −2 b + ... + n b n −1 = a − b

acestea fiind deci expresii conjugate. 6o Numitorul este de forma: n

n

(n = 2k + 1)

a+b+c 3 ≥ abc , unde a, b, c sunt numere 3 reale pozitive oarecare (media aritmetică a trei numere pozitive este mai mare sau egală cu media geometrică a lor). Soluţie. Se verifică uşor că are loc identitatea: x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz unde x, y, z Să se demonstreze că:

sunt numere reale oarecare.

(

)

Deoarece x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − xz =

1 2 2 2 x − y ) + (y − z) + (z − x )  (  2

rezultă identitatea 1 2 2 2 ( x + y + z ) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x )  . 2 În această ultimă identitate punem: x = 3 a , y = 3 b , z = 3 c şi obţinem: 2 2 2 1 3 a + b + c − 3 3 abc = a + 3 b + 3 c  3 a − 3 b + 3 b − 3 c + 3 c − 3 a  . 2   Deoarece a, b, c sunt numere pozitive, iar pătratul oricărui număr real este nenegativ, rezultă că a + b + c − 3 3 abc ≥ 0 , adică a+b+c 3 ≥ abc . 3 Inegalitatea dată devine egalitatea dacă şi numai dacă a = b = c. x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz =

(

)(

) (

) (

)

Dacă a, b, c sunt numere reale pozitive oarecare, atunci: 3 3 abc ≥ 1 1 1 + + a b c (media geometrică a trei numere reale pozitive este mai mare sau egală cu media armonică a lor). Folosind faptul că media aritmetică a numerelor

Observaţie

40

Mulţimi de numere

1 1 1 , şi este mai mare sau egală cu media lor geometrică, rezultă a b c inegalitatea cerută.

1.3.3. Puteri cu exponent raţional În acest paragraf vom prezenta o extindere a noţiunii de putere, care cuprinde în particular, atât noţiunea de putere cu exponent întreg, cât şi cea de radical. Puteri cu exponent raţional pozitiv Definiţie

Fie a ≥ 0 un număr real nenegativ şi

m un număr raţional pozitiv, n

atunci definim m

a n = n am

(1)

m ). n Observăm că în această definiţie intervin numerele naturale m şi n care definesc numărul raţional dat. m Cum numărul raţional > 0 este egal, de exemplu, cu numărul n km , pentru k număr natural nenul, se pune în mod firesc raţional kn problema de a arăta că această definiţie este corectă, adică nu depinde de alegerea reprezentanţilor. m m' m m' n Cu alte cuvinte, trebuie arătat că dacă = , atunci a = a n ' . n n' m m' Într-adevăr, avem dacă şi numai dacă mn' = m'n. = n n' Atunci folosind proprietatea 5 a radicalilor, avem: (citim a la puterea

m'

m

a n ' = n ' am ' = n ' m am ' m = m ' n am ' m = n am = a n . Obţinem astfel noţiunea de putere cu exponent raţional pozitiv.

Exemple

Observaţie

5

2

9 4 = 4 95 = 4 9 4 ⋅ 9 = 9 4 9 = 9 3; 8 3 = 3 82 = 3 26 = 4. Din noţiunea de putere cu exponent raţional pozitiv particularizată la 1 numerele naturale n, respectiv la numerele raţionale pozitive , se obţine n noţiunea de putere cu exponent natural, respectiv noţiunea de radical pentru numerele pozitive.

Cerinţa a ≥ 0, din definiţie, este esenţială deoarece în caz contrar, 1

formula (1) ar putea să nu aibă sens. De exemplu, ( −2 ) 4 după formula (1) ar trebui să fie radical de ordinul 4 din –2, care nu are sens. 41

Mulţimi de numere

Proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional pozitiv m p sunt numere raţionale şi În cele ce urmează presupunem că q n pozitive. Atunci: m n

p q

m p + n q

m n

m n

1o a ⋅ a = a

m n

m n

a a 3o   = m , (a ≥ 0, b ≥ 0) ; b bn

, (a ≥ 0) ;

p

m p m q ⋅ o  n  4  a  = a n q , (a ≥ 0);  

m n

2o ( a ⋅ b ) = a ⋅ b , (a, b ≥ 0); m

m p

− m p an 5o Dacă > , atunci p = a n q , (a > 0). n q aq Aceste proprietăţi se demonstrează uşor folosind radicalilor. Să demonstrăm prima proprietate. Avem: m n

p q

n

m

q

p

nq

nq

mq

nq

np

mq = np nq

mq + np

a ⋅a = a ⋅ a = a ⋅ a = a =a =a Lăsăm ca exerciţiu, verificarea celorlalte proprietăţi. Observaţie

.

Proprietatea 1o este adevărată şi pentru un număr finit de factori, m1

m2

m1k

m1 m2 m + +...+ k n2 nk

adică: a n1 ⋅ a n2 ⋅ ... ⋅ a nk = a n1 Exemple

m p + n q

proprietăţile

1 5

4 5

1 4 + 5 5

6 7

5 6

. 6 5 + 7 6

71

5 ⋅5 = 5 = 51 = 5; a ⋅ a = a = a 42 , (a ≥ 0). Pentru a γ 0, am convenit să punem a0 = 1. Expresiei 00 nu i se dă nici un sens.

Puteri cu exponent raţional negativ

Exemple

Aşa cum am definit puterea cu exponent întreg negativ definim şi puterea cu exponent raţional negativ. m un număr raţional pozitiv. Atunci Fie a > 0, un număr real pozitiv şi n m − 1 prin definiţie, a n = m . an 2 5 − − 1 1 1 1 1 1 1 = ; 27 6 = = = = . 8 3 = 2 = 5 3 2 6 15 5 4 9 3 8 3 3 3 6 8 27 Acum ştim ce înseamnă puterea cu exponent raţional oarecare a oricărui număr real pozitiv. Puterile cu exponent raţional oarecare au următoarele proprietăţi de bază: m n

p q

1o a ⋅ a = a

42

m p + n q

, (a ≥ 0) ;

m n

m n

a a 3o   = m , (a ≥ 0, b ≥ 0) ; b bn

Mulţimi de numere p

m n

m n

m p m q ⋅ o  n  4  a  = a n q , (a ≥ 0);  

m n

2o ( a ⋅ b ) = a ⋅ b , (a, b ≥ 0); m

m p − q

an

5o

= an

p q

, (a > 0).

a Am demonstrat mai înainte aceste proprietăţi pentru cazul exponenţilor raţionali pozitivi. Ele se pot demonstra şi pentru exponenţi raţionali oarecare. m şi Să demonstrăm, de exemplu, proprietatea 1o. Fie pentru aceasta n p numere raţionale. Cazul în care ambele numere sunt pozitive a fost dat q la punctul precedent. Rămân atunci de considerat următoarele cazuri: 1) ambii exponenţi sunt negativi; 2) unul dintre exponenţi este negativ, iar celălalt pozitiv; 3) cel puţin unul dintre exponenţi este zero. Să le analizăm pe rând: m p < 0 . După definiţie şi aplicând proprietatea analoagă a , 1) Dacă n q puterilor cu exponent raţional pozitiv, avem: p q

m n

1

a ⋅a =

−

m n

1

⋅

−

=

p q

1 −

=

m  p + −  n  q

1

=a

m p − +   n q

m p + n q

.

a a a a 2) În cazul al doilea fie, de exemplu, m p p > 0 şi < 0; deci − > 0. n q q m p >− . Să presupunem mai întâi că n q Atunci, după definiţie şi proprietatea 5o a puterilor cu exponent pozitiv, avem: p q

m n

m n

1

a ⋅a = a ⋅

a

−

p q

=

a a

m n

−

p q

m  p − −   q

= an

m p + q

= an

.

p

Dacă Dar

m m m p 1 1 1 < − , atunci a n ⋅ a q = a n ⋅ p = m ⋅ p . − − − n q a q a m a q p m  m − > = −  −  şi după situaţia precedentă, avem: q n  n

1 −

m n

−

p q

=

1 −

m p − n q

a ⋅a a În sfârşit, dacă:

1

= a

m p − +   n q

=a

m p + n q

.

m n

p q

m n

m p

+ m p m p a = − adică + = 0, atunci a ⋅ a = p = 1 = a 0 = a n q . − n q n q a q

43

Mulţimi de numere

3o Dacă unul sau ambii exponenţi sunt zero proprietatea este evidentă (avem în vedere că a0 = 1). Lăsăm ca exerciţiu demonstrarea celorlalte proprietăţi. Observaţie

Dacă în cazul puterilor cu exponent raţional pozitiv am putut vorbi m p > , în acest paragraf (după ce am despre proprietatea 5o, doar pentru n q definit puterile cu exponent raţional negativ) ea se poate demonstra şi m p ≤ (când a > 0); de exemplu, pentru n q 3

16 4 16

44

4 5

3 4 − 5

= 16 4

= 16

−

1 20

( )

= 24

−

1 20

=2

−

1 5

=

1 2

1 5

=

1 5

2

.

Mulţimi de numere

Test de autoevaluare 3 1) Să se simplifice expresiile: −1     2yz ⋅ 1 +  2 a) , −1 2 2  x −1 − ( y + z )   x + y + z   x −2 y −1 + x −1y −2 + x 3 x 2 − 2 xy + y 2 . b) −2 −2 x −y

x −1 + ( y + z )

−1

(

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

)

2) Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor: 3 5+33 1 . a) 3 ; b) 3 5− 3 2− 2 + 3 − 6

3) Să se demonstreze că pentru 1 ≤ x ≤ 2, avem x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2.

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 57 a acestei unităţi de învăţare.

45

Mulţimi de numere

1.4. Numere complexe Prin introducerea numerelor reale se pot exprima rezultatele oricăror măsurători, dar problema soluţiilor ecuaţiilor de orice tip, cu coeficienţi reali, nu este rezolvată. Ecuaţii simple ca x2 + 1 = 0, x2 + x + 1 = 0 nu au soluţii în mulţimea R a numerelor reale. De aceea, se pune în mod necesar problema extinderii în continuare a noţiunii de număr. Această extindere conduce la noţiunea de număr complex. Vom arăta în acest capitol că mulţimea numerelor complexe este suficient de largă, încât orice ecuaţie de gradul al doilea cu coeficienţi reali să aibă soluţii în această mulţime. Numerele complexe nu reprezintă rezultatul unor măsurători şi de aceea teoria numerelor complexe are un caracter mai abstract, mai formal decât teoria numerelor reale. Remarcăm că, în pofida acestui grad de abstractizare a noţiunilor, teoria numerelor complexe, prin implicaţiile sale, are multiple aplicaţii practice (de exemplu: în mecanică, electrotehnică, fizică atomică ş.a.).

1.4.1. Mulţimea numerelor complexe Definirea numerelor complexe

Prezentăm acum construcţia mulţimii numerelor complexe, plecând de la mulţimea R a numerelor reale. Fie produsul cartezian R x R = {(a, b) | a, b ∈ R}, adică mulţimea perechilor ordonate de numere reale. Precizăm că două perechi (a, b) şi (a', b') sunt egale dacă şi numai dacă a = a' şi b = b'. Astfel, egalitatea (a, b) = (a', b') este echivalentă cu două egalităţi de numere reale: a = a' şi b = b'. Definim pe mulţimea R x R două operaţii algebrice: adunarea şi înmulţirea. Dacă z = (a, b) şi z' = (a', b') aparţin mulţimii R x R, atunci definim: z + z' = (a + a', b + b') (1) Elementul (a + a', b + b') se numeşte suma dintre z şi z', iar operaţia prin care oricăror elemente z şi z' din mulţimea R x R li se asociază suma lor se numeşte adunare. De asemenea, definim: zz' = (aa' – bb', ab' + a'b). (2) Elementul (aa' – bb', ab' + a'b) se numeşte produsul dintre z şi z', iar operaţia prin care oricăror elemente z şi z' din mulţimea R x R li se asociază produsul lor se numeşte înmulţire. Exemple

46

(2, –1) + (–3, 1) = (2 – 3, –1 + 1) = (–1, 0), (2, –1)(–3, 1) = (2·(–3) – (–1)·1, 2·1+ (–1)(–3)) = (–6 + 1, 2 + 3) = (–5, 5).

Mulţimi de numere

Definiţie

Fiecare element al mulţimii R x R pe care sunt definite cele două operaţii precedente (1) şi (2), se numeşte număr complex. Se notează cu C mulţimea numerelor complexe. Fie submulţimea lui C: R' = {(a, 0) | a ∈ R}. Funcţia de la R la R' definită prin a → (a, 0) asociază oricărui număr real a un număr complex bine determinat (a, 0) din R'. Observăm că dacă a ≠ b , atunci (a, 0) ≠ (b, 0) şi mulţimea valorilor acestei funcţii este R'. Mai mult, operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe care aparţin mulţimii R' se transcriu astfel: (a, 0) + (a', 0) = (a + a', 0); (a, 0)(a', 0) = (aa', 0). Aceste relaţii arată că adunarea şi înmulţirea pe R' se fac după aceleaşi reguli ca adunarea şi înmulţirea numerelor reale . Din acest motiv rezultă că R' are aceleaşi proprietăţi aritmetice ca mulţimea R a numerelor reale. Acest fapt ne permite să identificăm numărul complex (a, 0) cu numărul real a. Practic, această identificare revine la a înlocui numărul complex (a, 0) cu numărul real a şi invers. Aşadar, punem (a, 0) = a. În particular, numerele complexe (0, 0) şi (1, 0) sunt numerele reale 0 şi 1. Proprietăţile adunării numerelor complexe 1° Adunarea este comutativă, adică oricare ar fi z şi z' din C, avem z + z' = z' + z. Într-adevăr, dacă z =(a, b) şi z' =(a', b'), atunci avem z + z' = (a, b)+(a', b') = (a + a', b + b'). Analog, avem z' + z = (a' + a, b' + b). Cum însă adunarea numerelor reale este comutativă, avem a + a' = a' + a şi b + b' = b' + b. Deci (a + a', b + b') = (a' + a, b' + b), adică z + z' = z' + z. 2° Adunarea este asociativă, adică oricare ar fi z, z' şi z'' din C, avem (z + z') + z'' = z + (z' + z''). Într-adevăr, dacă z = (a, b), z' = (a', b') şi z'' = (a'', b'') atunci avem (z + z') + z'' = [(a, b) + (a', b')] + (a'', b'') = (a + a', b + b') + (a'', b'') = ((a + a') + a'', (b + b') + b''). Analog, avem z + (z' + z'') = (a + (a' + a''), b + (b' + b'')). Cum însă adunarea numerelor reale este asociativă, avem (a + a') + a'' = a + (a' + a'') şi (b + b') + b'' = b + (b' + b''). Deci (z + z') + z'' = z + (z' + z''). 3° Element neutru. Numărul complex 0 = (0, 0) este element neutru pentru adunare, adică oricare ar fi z din C avem: z + 0 = 0 + z = z. Într-adevăr, dacă z = (a, b), atunci cum 0 este element neutru pentru adu-narea numerelor reale, avem z + 0 = (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b) = z. Dar, după proprietatea 1°, avem de asemenea 0 + z = z. 4° Orice număr complex are un opus, adică oricare ar fi z din C, există un număr complex notat cu –z astfel încât z + (–z) = (–z) + z = 0. Într-adevăr, dacă z = (a, b) atunci –z = (–a, –b), deoarece z + (–z) = (a, b) + (–a, –b) = (a + (–a), b + (–b)) = (0, 0) = 0. Conform proprietăţii 1° avem, de asemenea, (–z) + z = 0.

Exemple

1) Dacă z1 = (2, 3), atunci –z1 = (–2, –3).

47

Mulţimi de numere

2) Dacă z2 = (–1, 1), atunci –z2 = (1, –1). Observaţie

Dacă z şi z' sunt numere complexe, suma z + (–z') se notează, simplu, prin z – z' şi se numeşte diferenţa dintre z şi z'. Operaţia prin care oricăror elemente z şi z' din mulţimea R x R se asociază diferenţa lor se numeşte scădere. Dacă z = (a, b) şi z' = (a', b'), atunci avem formula: z – z' = (a – a', b – b') (3)

Exemplu

Dacă z = (2, –5) şi z' = (–3, 1), atunci z – z' = z + (–z') = (2, –5) + [–(–3, 1)] = (2, –5) + (3, –1) = (5, –6). Proprietăţile înmulţirii numerelor complexe

1° Înmulţirea este comutativă, adică oricare ar fi z şi z' din C, avem zz' = z'z. Într-adevăr, dacă z = (a, b) şi z' = (a', b'), atunci zz' = (a, b)(a', b') = (aa' –– bb', ab' + a'b). Analog, avem z'z = (a'a – b'b, a'b + ab'). Cum adunarea şi înmulţirea numerelor reale sunt comutative, avem aa' – bb' = a'a – b'b şi ab' + a'b = a'b + ab'. Deci zz' = z'z. 2° Înmulţirea este asociativă, adică oricare ar fi z, z' şi z'' din C, avem (zz')z'' = z(z'z''). Într-adevăr, dacă z = (a, b), z' = (a', b') şi z'' = (a'', b'') atunci (zz')z'' = [(aa'– – bb', ab' + a'b)] (a'', b'') = ((aa' – bb')a'' – (ab'+ a'b)b'', (aa' – bb')b'' + a''(ab' + + a'b))=(aa'a''– bb'a''–ab'b''–a'bb'', aa'b''–bb'b'' + a''ab' + a''a'b). Analog, avem z(z'z'') = (aa'a'' – ab'b'' –ba'b'' – ba''b', aa'b'' + aa''b' + a'a''b – b'b''b). Având în vedere comutativitatea adunării şi înmulţirii numerelor reale, rezultă că expresiile lui (zz')z'' şi z(z'z'') sunt aceleaşi. Deci (zz')z'' = z(z'z''). 3° Element neutru. Numărul complex 1 = (1, 0) este element neutru pentru înmulţire, adică oricare ar fi z din C avem: z · 1 = 1 · z = z. Într-adevăr, dacă z = (a, b), atunci cum 1 este element neutru pentru înmulţirea numerelor reale, avem z ·1 = (a, b) (1, 0) = (a, b) = z.După proprietatea 1° avem, de asemenea, 1 · z = z. 4° Orice număr complex diferit de 0 are un invers, adică oricare ar fi z ≠ 0, există un număr complex notat cu z–1 astfel încât zz–1 = z–1z = 1. Fie z = (a, b) diferit de (0, 0), adică cel puţin una din componentele a sau b este nenulă, altfel spus, a2 + b2 ≠ 0. Dacă (x, y) este un număr complex astfel încât (a, b)(x, y) = (1, 0), atunci (ax – by, bx + ay) = (1, 0). ax − by = 1 De aici rezultă  . Rezolvând sistemul, se obţine: bx + ay = 0 a −b ,y= 2 . Conform proprietăţii 1° avem, de asemenea, x= 2 2 a +b a + b2 (x, y)(a, b) = (1, 0). Deci −b   a , 2 . z–1 =  2 2 2  a +b a +b 

48

Mulţimi de numere

Observaţie

În loc de z–1 (z ≠ 0), se foloseşte uneori notaţia

1 z

. Dacă z' = (a', b') este

un alt număr complex, atunci z'z–1 se notează încă prin câtul împărţirii lui z' la z (z ≠ 0). Câtul

z' z

z' z

şi se numeşte

este definit de formula:

 aa '+ bb ' ab '− a ' b  =  2 2 , 2 2 . (4) z a +b   a +b 1  2 1   2 1 1) Dacă z = (2, –1), atunci z–1 = =  , = , . z  4 + 1 4 + 1   5 5  2) Dacă z = (2, –1) şi z' = (1, –1), atunci z '  2 ⋅ 1 + ( −1)·( −1) 2 ⋅ ( −1) − 1⋅ ( −1)   2 + 1 −2 + 1   3 −1  , z ' z −1 = =   =  5 , 5  =  5, 5 . 4 +1 4 +1 z       5° Înmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică oricare ar fi z, z' şi z'' din C, au loc relaţiile: z(z' + z'') = zz' + zz'' şi (z + z')z'' = zz'' + z'z''. Într-adevăr, dacă z = (a, b), z' = (a', b') şi z'' = (a'', b'') atunci z(z' + z'') = = (a, b) [(a', b') + (a'', b'')] = (a, b)(a'+ a'', b' + b'') = (a(a' + a'') – b(b'+ b''), a(b' + b'') + (a' + a'')b) = (aa' + aa'' – bb'– bb'', ab' + ab'' + a'b + a''b). Pe de altă parte, avem zz' + zz'' = (a, b)(a', b') + (a, b)(a'', b'') = (aa' – bb', ab' + a'b) + (aa''– bb'', ab''+ a''b) = (aa' –bb' + aa''– bb'', ab' + a'b + ab'' + a''b). Având în vedere comutativitatea adunării numerelor reale, rezultă că expresiile lui z(z' + z'') şi zz' + zz'' sunt aceleaşi. Deci z(z' + z'') = zz' + zz''. Analog se demonstrează cea de-a doua relaţie, pe care o lăsăm ca exerciţiu. z'

Exemple

Observaţie

Numărul complex (0, 1) are proprietatea (0, 1) (0, 1) = = (–1, 0) = –1. Rezultă deci că (0, 1) este o rădăcină a ecuaţiei x2 + 1 = 0. Aşadar, această ecuaţie are soluţii în mulţimea numerelor complexe, ceea ce nu era posibil în mulţimea numerelor reale.

1.4.2. Forma algebrică a numerelor complexe Notaţia z = (a, b), introdusă pentru numerele complexe, nu este prea como-dă în calculele cu numere complexe. De aceea, de obicei, se foloseşte o altă scriere a numerelor complexe. Convenim să notăm numărul complex (0, 1) prin i. Atunci, după regulile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe, avem: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1). Deoarece (a, 0) şi (b, 0) se identifică cu a, respectiv b, iar (0, 1) s-a notat cu i, atunci această scriere se reprezintă sub forma (a, b) = a + bi. Această expresie se numeşte forma algebrică a numărului complex (a, b). Exemple

(2, –1) = 2 + (–1)i = 2 – i;

(1, 0) = 1 + 0 · i = 1;

(0, –5) = 0 + (–5)i = –5i.

49

Mulţimi de numere

În continuare vom scrie numerele complexe sub forma lor algebrică. Numărul complex i se numeşte unitate imaginară. Numerele de forma bi, cu b număr real, se numesc imaginare. Dacă numărul complex z se scrie sub forma z = a + bi, atunci a se numeşte partea reală, iar bi se numeşte partea imaginară a numărului z. Numărul b se numeşte coeficientul părţii imaginare.* De exemplu, pentru numărul complex 4 + 5i, partea reală este 4, iar partea imaginară este 5i; coeficientul părţii imaginare este egal cu 5. Pentru numărul –2i, partea reală este 0, cea imaginară –2i, iar coeficientul părţii imaginare este –2. Pentru numărul 3, partea reală este 3, cea imaginară este 0 · i = 0, iar coeficientul părţii imaginare este egal cu 0. Reluăm mai jos adunarea şi înmulţirea a două numere complexe reprezentate sub forma lor algebrică. Astfel: (a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i; (1') (a + bi)(a' + b'i) = (aa' – bb') + (ab' + a' b)i. (2') Deci, suma a două numere complexe este un număr complex a cărui parte reală, respectiv imaginară, este suma părţilor reale, respectiv imaginare, ale numerelor date. Formula (2') care dă înmulţirea a două numere complexe este mai greu de reţinut şi chiar de formulat. Observăm însă că, dacă z = a + bi şi z' = a' + b'i sunt numere complexe, atunci având în vedere proprietăţile operaţiilor pe C, rezultă: (a + bi)(a' + b' i) = aa' + (ab' + a' b)i + bbi2. Dar, înlocuind i2 = –1 în ultima relaţie, se obţine formula (2'). Numere complexe conjugate

Dacă z = a + bi este un număr complex, atunci numărul a – bi, notat prin z , (adică z barat) sau a + bi se numeşte conjugatul său. Evident, conjugatul lui z este z. De aceea, numerele complexe z şi z se numesc conjugate. Dacă a este un număr real oarecare, atunci a = a + 0i = a – 0i = a , şi deci a este egal cu conjugatul său. Mai mult, dacă a + bi este un număr complex astfel încât a + bi = a – bi, atunci b = –b, de unde b = 0. Deci a + bi = a + 0i = a este un număr real. Astfel, am arătat că: dintre toate numerele complexe, numerele reale (şi numai ele) sunt egale cu conjugatele lor. Avem următoarele proprietăţi: 1° Suma şi produsul a două numere complexe conjugate sunt numere reale. Într-adevăr, z + z = (a + bi) + (a – bi) = 2a şi z z = (a + bi)(a – bi) = a2+ b2. 2° Oricare ar fi numerele complexe z şi z', avem: z + z' = z + z' , zz' = z z' . Într-adevăr, dacă z = a + bi şi z' = a' + b' i, atunci: z + z' = (a + a' ) + (b + b' )i = (a + a' ) − (b + b' )i = (a − bi) + (a' − b' i) = z + z' ;

* Pentru un număr complex z = a + bi se notează, uneori, a = Re(z), care se citeşte „real de z” şi b = Im(z), care se citeşte „imaginar de z”.

50

Mulţimi de numere

zz' = (aa' − bb' ) + (ab' + a'b )i = (aa' − bb' ) − (ab' + a'b )i = (a − bi)(a' − b' i) = z z' . Formulele (3) şi (4), aplicate numerelor complexe scrise sub formă algebrică, dau relaţiile: (3') (a + bi) − (a' + b'i) = (a − a' ) + (b − b' )i a' + b' i aa' + bb' ab' − a'b = 2 + 2 i (4') a + bi a + b2 a + b2 Pentru relaţia (3') se poate da o regulă analoagă celei date pentru adunare. Observăm, de asemenea, că (4') rezultă dacă amplificăm fracţia a' + b'i prin conjugatul numitorului, care este a – bi. a + bi În particular, aşa se poate proceda şi pentru aflarea inversului unui număr complex. Într-adevăr, dacă a' + b' i = 1 şi a + bi ≠ 0, atunci: 1 a − bi a − bi a b = = 2 = 2 − 2 i 2 2 a + bi (a + bi)(a − bi) a + b a +b a + b2 7 − i (7 − i)(3 − i) 21 − 7i − 3i − 1 20 − 10i = = = = 2−i; 3 + i (3 + i)(3 − i) 9 +1 10 2 + 3i (2 + 3i)(2 − i) 4 − 2i + 6i + 3 7 + 4i 7 4 = = = = + i; 2+i (2 + i)(2 − i) 4 +1 5 5 5 1 1− i 1− i 1 1 = = = − i. 1 + i (1 + i)(1 − i) 1 + 1 2 2

Exemple

Modulul unui număr complex

Modulul unui număr complex z = a + bi se defineşte ca fiind numărul real a 2 + b 2 şi se notează prin | z | = | a + bi |. Modulul unui număr complex z = a + bi este întotdeauna pozitiv, el fiind egal cu zero dacă şi numai dacă a = b = 0. 1 + 3i = 1 + 9 = 10;

Exemple

− 1 − i = 1 + 1 = 2;

2i = 0 + 2i = 0 + 4 = 2;

4 = 4 + 0i = 16 + 0 = 4. Dacă z şi z' sunt două numere complexe, atunci: 1° | zz' | = | z | | z' | ; 2° | z' | – | z | ≤ | z' + z | ≤ | z' | + | z |. Să demonstrăm prima relaţie. Într-adevăr, dacă z = a + bi şi z' = a' +

b' i, atunci | zz' | = | (aa' – bb') + (ab' + a'b)i | =

(aa' − bb' )2 + (ab' + a'b )2 =

(a 2 + b 2 )(a' 2 + b' 2 ) = a 2 + b 2 a' 2 + b' 2 = | z | | z' |. A doua relaţie o lăsăm ca exerciţiu. Noi însă o vom demonstra în paragraful următor, pe cale vectorială.

=

Puterile numărului i Conform ultimei observaţii de la punctul 1.3, avem i2 = –1. Atunci se deduce succesiv: i3 = i2i = (–1)i = –i. i4 = i3i = (–i)i = 1.

51

Mulţimi de numere

În general, fie n un număr natural oarecare. Atunci numărul n se găseşte într-una (şi numai una) din următoarele situaţii: n = 4k (k număr natural) şi deci in = i4k = (i4)k = 1k = 1; n = 4l + 1 (l număr natural) şi deci in = i4l+1 = i4l · i = 1 · i = i; n = 4p + 2 (p număr natural) şi deci in = i4p+2 = i4p · i2 = 1(–1) = –1. n = 4q + 3 (q număr natural) şi deci in = i4q+3 = i4q · i3 = 1(–i) = –i. Aşadar, puterile cu exponent natural ale lui i sunt elementele mulţimii {–1, 1, –i, i}. Exemple

i25 = i4 · 6+1 = (i4)6 · i = 1 · i = i, i18 = i4 · 4+2 = (i4)4 · i2 = 1 · (–1) = –1, i31 = i4 · 7+3 = (i4)7 · i3 = 1 · (–1) = –i. Rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea cu coeficienţi reali

Am rezolvat ecuaţia de gradul al doilea cu coeficienţi reali, în cazul în care discriminantul său este pozitiv sau nul. Am arătat astfel că rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, pentru Δ = b2 – 4ac ≥ 0, sunt date de formulele: −b ± b 2 − 4ac . 2a În acest caz, rădăcinile ecuaţiei sunt numere reale. Să rezolvăm ecuaţia ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, în cazul în care Δ = b2 – 4ac < 0. Ştim că ecuaţia ax2 + bx + c = 0 se mai poate scrie sub forma:

x1, 2 =

2

b  b 2 − 4ac   x + 2a  − 4a 2 = 0.   2 Cum Δ = b – 4ac < 0, atunci –Δ = 4ac – b2 > 0. În mulţimea numerelor complexe ecuaţia se poate scrie astfel: 2

2 b   i −Δ    x + 2a  −  2a  = 0      b i −Δ   b i −Δ  + −  x +   x +  = 0 , a a a a 2 2 2 2   

sau

de unde

b i −Δ b i −Δ + = 0 sau x + − = 0. 2a 2a 2a 2a Deducem de aici că rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea sunt, în acest caz: x+

−b + i 4ac − b 2 −b − i 4ac − b 2 şi x2 = . 2a 2a Aşadar, dacă Δ < 0, rădăcinile ecuaţiei cu coeficienţi reali ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, sunt numere complexe conjugate. Să se rezolve ecuaţiile: a) x2 + x + 1 = 0; b) x2 – 2 3 x + 4 = 0.

x1 =

Exemple

a) Deoarece Δ = 1 – 4 = –3, atunci x1 =

52

−1 + i 3 −1 − i 3 şi x2 = ; 2 2

Mulţimi de numere

b) Deoarece Δ = 12 – 16 = –4 < 0, atunci x1 = 3 − i şi x2 = 3 + i .

1.4.3. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe Amintim că numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Mai precis, dacă d este o axă pe care fixăm o origine O şi o unitate de măsură, asociem fiecărui punct al dreptei d abscisa sa, care este un număr real. Un număr complex z = a + bi este determinat prin două numere reale a şi b. De aceea este natural să reprezentăm geometric numerele complexe prin punctele unui plan. Fie, pentru aceasta, un plan P în care ne fixăm un sistem de axe ortogonale xOy. Fiecărui număr complex z = a + bi i se asociază punctul M de coordonate (a, b) (fig. 1). Punctul M se numeşte imaginea geometrică a numărului complex a + bi, iar numărul a + bi se numeşte afixul punctului M. Din teorema lui Pitagora, aplicată în triunghiul dreptunghic OMM' se OM' 2 + MM' 2 = a 2 + b 2 = z . Această egalitate ne

deduce că OM =

arată că lungimea segmentului OM este modulul numărului complex z = a + bi. y

y M" b O

Fig. 1

Exemple

M2 a

M'

x

M1

3 2

M(a, b)

1

-1 O 1

M4 x

Fig. 2

Numerelor complexe 1 + 3i, –1 + i, 2i = 0 + 2i, 3 = 3 + 0i li se asociază respectiv punctele M1(1, 3), M2(–1, 1), M3(0, 2), M4(3, 0) (fig. 2). Avem OM1 = | 1 + 3i | = 10 , OM2 = | –1 – i | = 2 , OM3 = | 2i | = 2, OM4 = | 3 | = 3. Asocierea z = a + bi → M(a, b) este o funcţie de la mulţimea numerelor complexe la punctele planului P. Prin această funcţie, mulţimii numerelor reale îi corespunde axa Ox, iar mulţimii numerelor imaginare îi corespunde axa Oy. De aceea, axa Ox se numeşte axa reală, iar axa Oy axa imaginară. Planul ale cărui puncte se identifică cu numerele complexe prin funcţia definită mai înainte se numeşte planul complex. Interpretarea geometrică a adunării şi scăderii numerelor complexe Numerele complexe au şi o altă interpretare geometrică. Să asociem la  fiecare punct M al planului P vectorul OM care are originea în O şi capătul

53

Mulţimi de numere

în punctul M. Această asociere este evident o funcţie de la mulţimea numerelor complexe în mulţimea vectorilor care au originea în O(0, 0). Astfel, fiecare  număr complex a + bi poate fi reprezentat geometric ca vectorul OM unde M are coordonatele (a, b). Se spune că (a, b) sunt  coordonatele vectorului OM . Reprezentarea numerelor complexe cu ajutorul vectorilor ne dă o interpretare simplă a adunării numerelor complexe: (a + bi) + (a' + b'i) = (a + a') + (b + b')i. Este cunoscut că la adunarea vectorilor  coordonatele corespunzătoare lor se adună. De aceea, dacă vectorul OM (fig. 3) are coordonatele (a, b),   iar vectorul OM ' are coordonatele (a', b'), atunci vectorul OS (S fiind al patrulea vârf al paralelogramului care are celelalte trei vârfuri respectiv M, O şi M') are coordonatele (a + a', b + b'). Acest vector corespunde numărului complex (a + a') + (b + b')i care este suma dintre a + bi şi a' + b'i. y

y M

S

M3(4, 5) M2(1,3)

M1(3, 2) M' O

x O

Fig.3

Exemplu

x

Fig.4

Fie numerele  complexe  z1 = 3 + 2i şi z2 = 1 + 3i, reprezentate în plan prin vectorii OM1 şi OM2 , unde: M1(3, 2), M2(1, 3) (fig. 4). Atunci suma z3 = z1+ z2 = (3 + 2i) + (1 + 3i) = 4 + 5i este reprezentată în plan prin vectorul OM3 unde M3 este punctul de coordonate (4, 5). Observăm, de asemenea, că opusul y numărului a + bi, care  este –a – bi este M(a, b) reprezentat prin vectorul OM1 , unde M1 este simetricul punctului M(a, b) faţă de origine (fig. 5). Astfel se deduce uşor interpretarea a două numere M'(a', b') geometrică a scăderii O z' – z = z' + (–z), având în complexe. Cum x vedere interpretarea geometrică a adunării are numerelor complexe, rezultă că D  coordonatele (a' – a, b' – b) şi vectorul OD corespunde diferenţei z' – z == (a' – a) + (b' D – b)i. Avem OM = | z |, OM' = | z' |, M1(-a, -b) OD = | z' – z | şi OS = | z' + z |. Fig. 5

Relaţiile dintre laturi în triunghiurile OMS şi OMM' dau respectiv: MS – OM ≤ OS ≤ MS + OM, OM' – OM ≤ MM' ≤ OM' + OM. Dar cum MS = OM' şi MM' = OD, rezultă: 54

Mulţimi de numere

| z' | – | z | ≤ | z' + z | ≤ | z' | + | z |, | z' | – | z | ≤ | z' – z | ≤ | z' | + | z | 4

Observaţie

Definiţia produsului numerelor complexe are o interpretare mai complicată. Aceasta se face cu ajutorul reprezentării trigonometrice a numerelor complexe.

Test de autoevaluare 4 1) Dacă α, β sunt rădăcinile ecuaţiei x2 + x + 1 = 0, să se calculeze:

(

) + (α + α ) ; ) , unde n este un număr natural.

a) α n + β n ; b) (1 + α ) + 1 + α 2 n

(

c) (1 + β ) + 1 + β 2 n

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

) + (β + β n

2

n

2

n

n

2) Să se găsească valorile reale ale lui m astfel încât numărul 3i3 + 2mi2 + (1 − m ) i + 5 să fie: a) real;

b) imaginar;

c) nenul.

3) Să se găsească toate numerele complexe ale căror pătrate să fie 1 3 − i. 2 2

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 57 a acestei unităţi de învăţare. 55

Mulţimi de numere

1.5. Comentarii si răspunsuri la testele de autoevaluare Test 1 1)

Avem a =

ab = 2)

3)

(a + b ) + (a − b ) ,

2 2 2 (a + b ) − (a − b ) 2

b=

(a + b ) − (a − b ) 2

şi

. Cum a − b, a + b ∈  ,rezultă a, b, ab ∈  .

334 − 33 301 1201 ; = 1+ = 900 900 900 14 7383 − 73 20531 ; c) 2,073 ( 83 ) = 2 + ; = b) −0, (14 ) = − 99 9900 9900 17 − 1 2252 ; =− d) −2,001( 7 ) = −2 − 0,001( 7 ) = −2 − 9000 1125 Verificarea se face fără dificultate. Să arătăm ca fracţia zecimală 0,3434434443... nu este periodică. Să presupunem că fracţia este periodică şi fie p numărul cifrelor din perioadă. Perioada trebuie să conţină un 3. De aceea între două cifre 3 consecutive (de după virgulă) nu pot fi mai mult de p – 1 cifre 4, contradicţie. Prin urmare fracţia zecimală este neperiodică şi deci numărul real pe care-l reprezintă nu este raţional. a) 1,33 ( 4 ) = 1 + 0,33 ( 4 ) = 1 +

Test 2 1) a) Pentru n ∈ {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...}, n este număr raţional. În general, dacă n este pătrat perfect, atunci n este raţional. b) Pentru n ∈ {2, 3, 5, 6, 8, ...}, n nu este raţional. În general, dacă n nu este pătrat perfect, atunci n nu este raţional. a+b+c + 3 3 ≥ abc ≥ 2) Inegalitatea mediilor ne dă , de 1 1 1 3 + + a b c a+b+c + 3 , de unde inegalitatea cerută. ≥ unde 1 1 1 3 + + a b c 3) După definiţia părţii întregi a unui număr avem  x −1 x +1 x −1  2 ≤ 3 < 2 + 1,   x − 1 ∈ .  2 x −1 Din inegalităţile de mai sus rezultă x ∈ (–1, 5] şi cum ∈, 2 avem x ∈ {1, 3, 5}.

56

Mulţimi de numere

Test 3 a) Efectuând calculele se obţine că expresia este egală cu 1) 2 ( x + y + z) . 2yz b) Efectuând calculele se obţine că expresia este egală cu 3 x 2 y − 3 xy 2 + y 3 . 4 (x − y ) 2)

a) se amplifică fracţia cu

3

calculele. Se obţine fracţia b) Avem 1 2− 2 + 3 − 6

= 3)

(

2+ 3

)(

=

2

(

52 + 3 5 ⋅ 3 + 3 32 şi se efectuează

(

2 4 + 3 52 ⋅ 3 + 3 5 ⋅ 32

1

)

) = − 2+ (

x + 2 x − 1 = x − 1+ 2 x − 1 + 1 =

(

)

(

)

x −1 + 2 x −1+1=

(

x −1 +1 .

)

2

)

2

x − 1 − 1 . Atunci

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 =

x −1+1 +

x −1 −1 .

Pentru 1 ≤ x ≤ 2 , avem 0 ≤ x − 1 ≤ 1, de unde

x − 1 ≤ 1 şi deci

x − 1 − 1 = 1− x − 1 . Atunci

x −1+1 +

x − 1 − 1 = x − 1 + 1+ 1− x − 1 = 2 .

Test 4 Dacă α şi β sunt rădăcinile ecuaţiei x2 + x +1 = 0, atunci 1) α 2 + β + 1 = 0, β 2 + β + 1 = 0, α 3 = β 3 = 1 . a) Avem că αn + βn este: 2, pentru n = 3k; –1, pentru n = 3k+1; -1, pentru n = 3k+2, (k ∈ ù) ;

(

b) (1 + α ) + 1 + α 2 n

2)

) + (α + α ) n

2

n

=

)(

)

) (

1

2 −1

2+ 3+ 6

Se impune condiţia x ≥ 1. Avem

La fel x − 2 x − 1 =

(

=

2− 3

2 − 1 + 3 1− 2

2 +1

( 2 − 3 )( 2 − 1)

3

).

este : –3, pentru n = 3k;

0, pentru n = 3k+1; 0, pentru n = 3k+2, (k ∈ ù) ; c) expresia are aceleaşi valori ca la b) Avem z = 2m + 5 – (m + 2)i. Atunci: a) z ∈ ú pentru m = –2; b) z este imaginar dacă partea sa reală este 0, adică pentru 5 m = − ; c) z ≠ 0 pentru orice m ∈ ú. 2

57

2

Mulţimi de numere

3)

Fie z = a + bi astfel încât z 2 =

1 3 i . Obţinem − 2 2

1 3 i , de unde rezultă sistemul − 2 2 1 3 3 1 a 2 − b 2 = , 2ab = − . Obţinem z1 = − + i şi 2 2 2 2 3 1 z2 = − i. 2 2

a 2 − b 2 + 2abi =

58

Mulţimi de numere

1.6. Lucrare de verificare pentru studenţi Indicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului. Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui. 1 punct din oficiu 1 punct

1) Să se arate că dacă ecuaţiile x 2 + ax + b = 0 şi x 2 + cx + d = 0 ,

( a, b, c, d ∈  ) , au o rădăcină iraţională comună atunci a = c şi b =d. 1,5 puncte

2) Fie a, b, c numere raţionale. Să se arate că a + b 3 2 + c 3 4 = 0 dacă

şi numai dacă a = b = c = 0. 1,5 puncte

3) Să se demonstreze că dacă a, b, c sunt numere reale astfel încât a + b + c ≥ 3 , atunci a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 .

1,5 puncte

1  2  4) Dacă x este număr real, atunci [ x ] +  x +  +  x +  = [3 x ] . 3  3 

1,5 puncte

5) Să se arate că

2 puncte

6) Să se determine numerele complexe z, care verifică relaţia

3

20 + 14 2 + 3 2 − 14 2 ∈  .

z 4 − 3 − 4i = 0

59

Mulţimi de numere

1.7. Bibliografie 1) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Rizescu, Algebra, manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 2) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Andrei, M. Răduţiu, Fl. Vornicescu, N. Vornicescu, Matematică, manual pentru clasa a IX-a (pentru programele M1 şi M2), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999. 3) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D. Niţescu, Matematică, manual pentru clasa a X-a (pentru programa M1), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. 4) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D. R. Popescu, D. Niţescu, Matematică, manual pentru clasa a X-a (pentru programa M2), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. 5) C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică (trunchi comun şi curriculum diferenţiat), manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2004. 6) C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică (trunchi comun şi curriculum diferenţiat), manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2005. 7) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Brandibaru, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme de algebra clasele IX-XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1992. 8) C. Năstăsescu, C. Niţă, C. Vraciu, Aritmetică şi Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993

60

Mulţimi. Relaţii.

Unitatea de învăţare 2 MULŢIMI. RELAŢII

Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare 2 ................................................................................ 61 2.1. Noţiunea de mulţime. Operaţii cu mulţimi ............................................................ 62 2.1.1. Noţiunea de mulţime ......................................................................................... 62 2.1.2. Mulţimi egale. Relaţia de incluziune ................................................................. 63 2.1.3. Operaţii cu mulţimi ............................................................................................ 64 2.2. Relaţii binare pe o mulţime .................................................................................. 68 2.2. Relaţii binare pe o mulţime .................................................................................. 69 2.2.1. Definirea relaţiilor binare ................................................................................... 69 2.2.2. Proprietăţi ale relaţiilor binare ........................................................................... 70 2.2.3. Relaţii de echivalenţă. Mulţime factor ............................................................... 71 2.2.4 Relaţii de ordine................................................................................................. 74 2.3. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare ............................................ 77 2.4. Lucrare de verificare pentru studenţi ................................................................... 78 2.5. Bibliografie ........................................................................................................... 78

Obiectivele unităţii de învăţare 2 După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabili să faceţi următoarele operaţii matematice: • Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice teoriei mulţimilor. • Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi identificarea de proprietăţi • Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru efectuarea de operaţii cu mulţimi. • Caracterizarea unor mulţimi concrete şi a relaţiilor dintre acestea utilizând limbajul teoriei mulţimilor. • Analiza unor contexte uzuale şi matematice (de exemplu, formularea unei probleme şi redactarea soluţiei) folosind limbajul teoriei mulţimilor. • Transpunerea unei situaţii–problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei şi interpretarea rezultatului.

61

Mulţimi. Relaţii.

2.1. Noţiunea de mulţime. Operaţii cu mulţimi 2.1.1. Noţiunea de mulţime Noţiunile de mulţime şi de element al unei mulţimi fac parte din categoria acelor noţiuni matematice care nu pot fi definite, dar sunt impuse de numeroase exemple: 1) mulţimea cuvintelor din limba română; 2) mulţimea elevilor dintr-o clasă; 3) mulţimea numerelor naturale: 0, 1, 2, 3 etc. Aşa cum scria Cantor, creatorul teoriei mulţimilor, o mulţime este „o colecţie de obiecte (numite elementele mulţimii) de natură oarecare, bine determinate şi bine distincte”. Vom nota cu litere mari mulţimile, cu litere mici elementele lor. Dacă A este o mulţime şi x un element al său, vom scrie x χ A şi vom citi „x aparţine lui A”. Dacă x nu se găseşte în A, atunci vom scrie x ϖ A şi vom citi „x nu aparţine lui A”. Aşa cum rezultă din fraza de mai sus, elementele unei mulţimi sunt distincte, adică un acelaşi element nu se poate repeta de mai multe ori. De asemenea, elementele unei mulţimi trebuie să fie bine determinate. Există două moduri de definire (de determinare) a unei mulţimi: a) Numind individual elementele sale. În acest caz mulţimea se specifică scriind între acolade elementele sale: {x, y, z, …}. De exemplu: A = {0, 1, 2, 3, 4,5}, adică mulţimea formată din primele şase numere naturale; B = {α, β, γ, δ}, adică mulţimea formată din primele patru litere mici ale alfabetului grec. b) Specificând o proprietate pe care o au elementele sale şi nu o au alte elemente. Mai precis, dată o proprietate, se poate vorbi de mulţimea acelor elemente pentru care proprietatea respectivă are loc. Mulţimile definite în acest mod se vor nota prin: A = {x | P(x)}, adică mulţimea acelor elemente x, pentru care are loc P(x).

62

Exemple

1) Considerăm proprietatea: „este număr prim par”. În acest caz mulţimea este {2}. 2) Dacă considerăm proprietatea: „număr natural par” în acest caz A este mulţimea numerelor naturale pare. O mulţime definită după primul mod se zice că este dată sintetic, iar o mulţime definită în al doilea mod se zice că este dată analitic. O mulţime care are un număr finit de elemente se zice finită. În caz contrar se numeşte infinită. De exemplu: mulţimea elevilor dintr-o clasă, mulţimea oamenilor de pe glob, sunt mulţimi finite. Mulţimea numerelor naturale, mulţimea numerelor naturale pare, sunt mulţimi infinite. În teoria mulţimilor se admite existenţa unei mulţimi care nu are nici un element. Aceasta se numeşte mulţimea vidă şi se notează cu simbolul ℘.

Notaţii

Cu N s-a notat mulţimea numerelor naturale: N = {0, 1, 2, 3, …}; cu Z mulţimea numerelor întregi; cu Q mulţimea numerelor raţionale, iar cu R mulţimea numerelor reale. Dacă a şi b sunt două numere reale cu a < b, vom nota cu:

Mulţimi. Relaţii.

[a, b] = {x | x χ R, a x b}, numit interval închis cu extremităţile a şi b; [a, b) = {x | x χ R, a x < b}, numit interval închis la stânga şi deschis la dreapta; (a, b] = {x | x χ R, a < x b}, numit interval deschis la stânga şi închis la dreapta. Dacă a χ R, notăm cu: [a, +∞) = {x | x χ R, a x}, (respectiv (a, +∞) = {x | x χ R, a < x}), numit interval închis la stânga şi nemărginit la dreapta (respectiv interval deschis la stânga şi nemărginit la dreapta). De asemenea, notăm cu: (– ∞, a] = {x | x χ R, x a} (respectiv (–∞, a) = {x | x χ R, x < a}), numit interval închis la dreapta şi nemărginit la stânga (respectiv interval deschis la dreapta şi nemărginit la stânga). Se observă că toate aceste mulţimi sunt definite analitic.

2.1.2. Mulţimi egale. Relaţia de incluziune Definiţie

Se spune că mulţimea A este egală cu o mulţime B dacă orice element al lui A aparţine lui B şi reciproc. Notăm faptul că mulţimile A şi B sunt egale prin A = B.

Exemple

1) {1, 2, 3, 4, 5} = {4, 3, 2, 5, 1}. 2) Mulţimea {2} este egală cu mulţimea numerelor naturale pare care sunt prime. 3) Mulţimile {2, 3,4} şi {2, 3, 7, 10} nu sunt egale. Proprietăţile relaţiei de egalitate între mulţimi: i) este reflexivă, adică A = A; ii) este simetrică: dacă A = B, atunci B = A; iii) este tranzitivă: dacă A = B şi B = C, atunci A = C. Se spune că o mulţime A este inclusă în mulţimea B dacă orice element al mulţimii A este şi element al mulţimii B. Se notează cu A ⊂ B sau B ⊃ A. Dacă A nu este inclusă în B se scrie A ⊄ B. Astfel spus, A ⊄ B înseamnă că există x χ A astfel încât x ϖ B. Când A este inclusă în B se mai spune că B conţine pe A sau că A este o submulţime (sau parte) a lui B.

Exemple

1) {1, 2, 3} este inclusă în {1, 2, 3, 5, 7}, adică {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 5, 7}. 2) Mulţimea numerelor naturale pare este inclusă în mulţimea numerelor naturale. 3) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 4) Se face convenţia că pentru orice mulţime A, mulţimea vidă este inclusă în A, adică ℘ ⊂ A. 5) Mulţimea {1, 2, 3} nu este inclusă în mulţimea {2, 3, 5, 7} deoarece 1 ϖ {2, 3, 5, 7}. Fie A o mulţime şi o proprietate P(x); mulţimea elementelor din A care au proprietatea P(x) se notează: B = {x χ A | P(x)}. 63

Mulţimi. Relaţii.

Exemple

Exemplu

1) Mulţimea numerelor naturale care se divid cu 5 se notează A = {x χ N | 5 divide x}. 2) Mulţimea numerelor întregi x cu proprietatea 7x + 8 = – 6 se scrie A = {x χ Z | 7x + 8 = – 6}. Se vede că A = {–2}. Din definiţia relaţiei de incluziune rezultă proprietăţile: a) este reflexivă, adică A ⊂ A; b) este antisimetrică, adică dacă A ⊂ B şi B ⊂ A atunci A = B; c) este tranzitivă, adică din A ⊂ B şi B ⊂ C rezultă A ⊂ C. Proprietatea b) se utilizează în practică în sensul că pentru a dovedi că A = B se probează incluziunile A ⊂ B şi B ⊂ A. Dacă A este o mulţime, atunci mulţimea care are ca elemente toate submulţimile lui A, se numeşte mulţimea părţilor lui A şi se notează cu P(A). Aşadar, P (A) = {X | X ⊂ A}. Observăm că mulţimea vidă ℘ şi mulţimea totală A sunt elemente ale mulţimii P (A). Fie A = {1, 2, 3}. Avem: P (A) = {℘, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

2.1.3. Operaţii cu mulţimi 1. Reuniunea mulţimilor Definiţie

Se numeşte reuniunea a două mulţimi A şi B mulţimea tuturor elementelor care aparţin cel puţin uneia din mulţimile A sau B. Notăm reuniunea mulţimilor A şi B prin A 4 B şi citim „A reunit cu B”. Deci A 4 B = {x | x χ A sau x χ B}.

Exemple

1) {1, 2, 3, 4} 4 {3, 4, 10, 12, 13} = {1, 2, 3, 4, 10, 12, 13}, 2) {a, b, c} 4 {c, d, e, f} = {a, b, c, d, e, f}. Grafic, reuniunea a două mulţimi este reprezentată în figura 1 prin porţiunea haşurată.

Observaţie

Aşa cum am definit reuniunea a două mulţimi, putem defini reuniunea unui număr finit de mulţimi. Mai exact, dacă A1, A2, …, An sunt n Fig. 1 mulţimi, atunci mulţimea elementelor x cu proprietatea „x aparţine cel puţin uneia din mulţimile A1 sau A2 sau …sau An” se numeşte reuniunea mulţimilor A1, A2, …, An şi se notează A1 4 A2 4 … 4 An. Deci A1 4 A2 4 … 4 An = {x | există i, 1 i n astfel încât x χ Ai}.

Exemple

1) Fie A1 = {1, 2}, A2 = {2, 3, 4} şi A3 = {1, 3, 5}. Atunci A1 4 A2 4 A3 = {1, 2, 3, 4, 5}. 2) Dacă B1 = {1}, B2 = {2, 5}, B3 = {1, 2, 6} şi B4 = {2, 5, 7} atunci B1 4 B2 4 B3 4 B4 = {1, 2, 5, 6, 7}.

64

Mulţimi. Relaţii.

Definiţie

Exemple

2. Intersecţia mulţimilor Se numeşte intersecţie a două mulţimi A şi B mulţimea elementelor care aparţin şi lui A şi lui B. Intersecţia mulţimilor A şi B se notează A 3 B Şi se citeşte „A intersectat cu B”. Deci: A 3 B = {x | x χ A şi x χ B}. Mulţimile A şi B se numesc disjuncte dacă A 3 B = ⇔, adică dacă nu au în comun nici un element. 1) {1, 2, 3} 3 {2, 5, 7, 8} = {2}; 2) {a, b, c, d, e} 3 {b, d, f} = {b, d}; 3) {1, 2, 3} 3 {4, 8, 9} = ⇔. Grafic, intersecţia a două mulţimi este reprezentată în figura 2 prin porţiunea haşurată.

Fig.2

Observaţie

Aşa cum am definit intersecţia a două mulţimi, putem defini intersecţia unui număr finit de mulţimi. Mai exact dacă A1, A2, …, An sunt n mulţimi, atunci mulţimea elementelor x cu proprietatea „x aparţine şi lui A1 şi lui A2 … şi lui An” se numeşte intersecţia mulţimilor A1, A2, …, An şi se notează A1 3 A2 3 … 3 An. Deci A1 3 A2 3 … 3 An = {x | oricare i, 1 i n avem x χ Ai}.

Exemple

1) Fie A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = { 1, 3, 4, 5} şi A3 = {1, 4, 6}. Atunci A1 3 A2 3 A3 = {1, 4}. 2) Dacă B1 = {1, 2, 3, 4, 5}, B2 = {1, 4, 5, 6}, B3 = {1, 4, 5, 7}, B4 = {4, 5, 6} şi B5 = {3, 4, 5}, atunci B1 3 B2 3 B3 3 B4 3 B5 = {4, 5}.

Definiţie

Exemple

3. Complementara unei submulţimi Fie E o mulţime şi A o submulţime a lui E. Submulţimea lui E formată din acele elemente ce nu aparţin lui A se numeşte complementara lui A în raport cu E. Această mulţime se notează CEA (sau mai simplu CA când nu există nici un dubiu asupra mulţimii E). Deci: CEA = {x χ E | x ϖ A}. 1) Dacă E = {1, 2, 3, 4, 5} şi A = {1, 3, 5}, atunci CEA = {2, 4}. 2) Dacă A este mulţimea numerelor naturale pare, atunci C A este mulţimea numerelor naturale impare: 3) Dacă E = {a, b, c, d} şi A = {b, d}, atunci CEA = {a, c}. 4) CEE = ℘ şi CE℘ = E. Grafic, complementara unei submulţimi A în raport cu mulţimea E este reprezentată în figura Fig. 3 3 prin porţiunea haşurată. 4. Diferenţa a două mulţimi

Definiţie

Fie A şi B două mulţimi. Mulţimea formată din elementele lui A care nu sunt elemente ale lui B se numeşte diferenţa dintre mulţimea A.şi mulţimea B . 65

Mulţimi. Relaţii.

Exemple

Definiţie

Diferenţa dintre mulţimea A şi mulţimea B se notează prin A – B. Deci: A – B = {x | x χ A şi x ϖ B} 1) {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 5, 7} = {1, 3}. 2) {a, b, c} – {d, e, f} = {a, b, c}. 3) {a, b, c} – {a, c} = {b}. Grafic diferenţa dintre A şi B este reprezentată în figura 4 prin porţiunea haşurată. Fig. 4 5. Produs cartezian Se numeşte pereche ordonată (cuplu) formată din elementele x şi y o ordine între elementele x şi y în sensul că x este primul element, iar y este al doilea element şi se notează cu (x, y). În perechea (x, y), x se mai numeşte prima componentă, iar y a doua componentă. Două perechi (x, y) şi (x', y') sunt egale dacă şi numai dacă x = x' şi y = y'. Rezultă că (x, y) γ (y, x), egalitatea având loc numai pentru x = y. De aici rezultă că noţiunea de pereche ordonată este diferită de cea de mulţime formată din două elemente.

Exemple

1) Cu numerele 1 şi 2 putem forma două perechi ordonate: (1, 2) şi (2, 1) care sunt distincte. În plus, perechile (1, 2) şi (2, 1) sunt diferite de mulţimea {1, 2}. 2) Cu numerele 1 şi 1 putem forma cuplul (1, 1).

Definiţie

Fie A şi B două mulţimi. Mulţimea ale cărei elemente sunt toate perechile ordonate (a, b), în care a χ A şi b χ B se numeşte produsul cartezian al mulţimilor A şi B (în această ordine) şi se notează A % B. Deci: A % B = {(a, b) | a χ A şi b χ B}. Când A = B, se notează A % A = A2.

Exemplu

Fie A = {1, 4, 5} şi B = {1, 2, 3}. Atunci A % B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)} şi B % A = {(1, 1), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}. Se observă că A % B γ B % A deoarece, de exemplu, elementul (1, 2) χ A % B şi (1, 2) ϖ B % A.

Observaţii

1) În exerciţiile unde avem de determinat produsul cartezian a două mulţimi este bine să reţinem faptul că dacă A este o mulţime finită cu m elemente, iar B este o mulţime finită cu n elemente, atunci A % B are m · n elemente. Într-adevăr, cu fiecare element a χ A putem construi n perechi ordonate de forma (a, y), cu y χ B. Cum B are m elemente, numărul total de perechi ordonate este m · n. 2) Fie A şi B submulţimi ale mulţimii numerelor reale R. Mulţimea A % B se poate reprezenta grafic printr-o mulţime de puncte din plan, în care s-a fixat un sistem de axe rectangulare xOy, asociind fiecărui element (x, y) χ A % B, punctul P(x, y), de coordonate x şi y. De exemplu: 1o Dacă A = [1, 2] şi B = [2, 4], atunci A % B are ca reprezentare în plan dreptunghiul

66

Fig. 5

Mulţimi. Relaţii.

haşurat ABCD (figura 5) unde A (1, 2), B(1, 4), C(2, 4) şi D(2, 2). 2o Dacă A = B = R, atunci R % R = R2 are ca reprezentare tot planul. 6. Proprietăţi ale operaţiilor cu mulţimi 1o Dacă A, B, C sunt trei mulţimi atunci A 4 (B 4 C) = (A 4 B) 4 C şi A 3 (B 3 C) = (A 3 B) 3 C (asociativitatea reuniunii şi a intersecţiei). 2o Dacă A, B sunt mulţimi, atunci A 4 B = B 4 A şi A 3 B = B 3 A (comutativitatea reuniunii şi intersecţiei). 3o Dacă A este o mulţime, atunci A 4 A = A şi A 3 A = A (idempotenţa reuniunii şi intersecţiei). 4o Oricare ar fi mulţimea A, A 4 ⇔ = A şi A 3 ⇔ = ⇔. 5o Dacă A, B, C sunt trei mulţimi, atunci A 4 (B 3 C) = (A 4 B) 3 (A 4 C) (distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie) şi A 3 (B 4 C) = (A 3 B) 4 (A 3 C) (distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune). 6o Dacă A, B sunt submulţimi ale lui E, atunci CE (A 4 B) = CEA 3 CEB şi CE(A 3 B) = CEA 4 CEB (formulele lui de Morgan). 7o Dacă A este o submulţime a lui E, atunci CE(CEA) = A. 8o Dacă A, B sunt două mulţimi, atunci A – B = CA(A 3 B). 9o Dacă A, B, C sunt trei mulţimi, atunci i) A – (B 4 C) = (A – B) – C; ii) A – (B 3 C) = (A – B) 4 (A – C); iii) (A 4 B) – C = (A – C) 4 (B – C); iv) (A 3 B) – C = A 3 (B – C) = (A – C) 3 B. 10o Dacă A, B, C sunt trei mulţimi, atunci i) A % (B 4 C) = (A % B) 4 (A % C); ii) A % (B 3 C) = (A % B) 3 (A % C); iii) A % (B – C) = A % B – A % C. Vom demonstra, ca model, distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie, adică A 4 (B 3 C) = (A 4 B) 3 (A 4 C). Fie x χ A 4 (B 3 C). Avem: x χ A 4 (B 3 C) υ x χ A sau x χ B 3 C υ x χ A sau (x χ B şi x χ C) υ υ (x χ A sau x χ B) şi (x χ A sau x χ C) υx χ A 4 B şi x χ A 4 C υ υ x χ (A 4 B) 3 (A 4 C). Deci A 4 (B 4 C) ⊂ (A 4 B) 3 (A 4 C). Fie x χ (A 4 B) 3 (A 4 C). Avem: x χ (A 4 B) 3 (A 4 C) υ x χ A 4 B şi x χ A 4 C υ (x χ A sau x χ B) şi (x χ A sau x χ C) υ x χ A sau (x χ B şi x χ C)υ x χ A sau x χ B 3 C υ x χ A 4 (B 3 C). Deci (A 4 B) 3 (A 4 C) ⊂ A 4 (B 3 C). Din cele două incluziuni rezultă că A 4 (B 3 C) = (A 4 B) 3 (A 4 C). Observaţie

Se pot defini reuniunea şi intersecţia unei mulţimi oarecare de submulţimi ale unei mulţimi A. Fie π o astfel de mulţime de submulţimi ale lui A (π este o submulţime a lui P (A) ). Definim: 1o reuniunea submulţimilor din π,  X ={ x ∈ A | există X ∈ π astfel încât x ∈ X } x∈π

2 intersecţia submulţimilor din π,  X ={ x ∈ A | oricare X ∈ π avem x ∈ X } o

x∈π

67

Mulţimi. Relaţii.

Test de autoevaluare 1

1) Să se arate că oricare dintre condiţiile A ⊂ B, A 3 B = A şi A 4 B = B, pentru submulţimile A şi B ale mulţimii X, implică celelalte două.

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

2) Să se are ca mulţimea x ∈  | x 2 + mx + 1 = 0 4 x ∈  | x 2 + 4 x + m 2 = 0

{

} {

are două elemente oricare ar fi m ∈  .

}

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 76 a acestei unităţi de învăţare.

68

Mulţimi. Relaţii.

2.2. Relaţii binare pe o mulţime 2.2.1. Definirea relaţiilor binare Semnificaţia matematică a cuvântului relaţie se poate pune în legătură cu semnificaţia care se dă cuvintelor „raport”, „legătură” în limbaj curent. Să ne gândim, de exemplu la o relaţie de rudenie. Într-o mulţime de persoane (de exemplu, mulţimea locuitorilor dintr-o comună) există relaţii ca: „este văr cu" (x este văr cu y), „este soţia lui" (a este soţia lui b), „este mai in vârstă decât", „a fost coleg de şcoală cu" etc. Intr-o mulţime de ţări (de exemplu, mulţimea ţărilor din Europa) avem, de exemplu, relaţia care se numeşte „relaţie diplomatică" (România are relaţii diplomatice cu Franţa). Într-o mulţime de mărfuri avem relaţii ca: „este mai greu decât", „este mai ieftin decât ", etc. Si în matematică a intervenit până acum termenul de „relaţie", fiind folosit fără a fi explicat. De exemplu, pentru a indica egalităţile şi inegalităţile între numere naturale (relaţiile: =, ≠, > etc.); de asemenea, pentru a indica egalităţile şi incluziunile într-o mulţime (relaţiile: =, ⊂ etc.). Pe mulţimea numerelor naturale este bine cunoscută relaţia „este divizibil cu" (de exemplu, 12 este divizibil cu 3 etc.). Se pune următoarea problemă: oricare ar fi relaţia considerată, cum se poate exprima ea în limbaj matematic? Să reluăm câteva din exemplele de mai înainte. 1) Fie A mulţimea locuitorilor unei comune. Relaţia „este văr cu" asociază fiecărei persoane din A pe verii săi, cu condiţia ca aceştia să aparţină lui A. Se pune în evidentă, astfel, o mulţime de perechi ordonate (x, y) care au proprietatea că elementului x îi este asociat y prin relaţia dată, adică x este văr cu y. Elementul căruia printr-o relaţie i se asociază alt element (eventual, mai multe elemente) determină ordinea în pereche (perechi). El este primul termen al perechii. Fie ℜ mulţimea de perechi ordonate (x, z) din exemplul de mai sus: ℜ = {(x, y) χ A x A | x este văr cu y }. 2) Fie A = {2, 3, 4, 5, 6} şi relaţia „este divizibil cu". Se evidenţiază o mulţime de perechi ordonate (x, y) care au proprietate că x este divizibil cu y (x este asociat cu y prin relaţia dată) şi anume: ℜ = {(4, 2), (6, 2), (6, 3)} ⊂ A x A. Celelalte perechi ale produsului cartezian nu au proprietatea cerută (de exemplu, (2, 5), (4, 3) etc. deoarece 2 nu este divizibil cu 5, 4 nu este divizibil cu 3 etc.). Din exemplele date mai înainte se constată că o relaţie dată pe o mulţime pune în evidenţă perechi ordonate de elemente care au proprietatea că pentru acestea relaţia este adevărată, precum şi perechi ordonate care nu au această proprietate, acestea două fiind singurele posibilităţi. Sintetizând ceea ce este esenţial In exemplele de mai Înainte, precum şi In altele similare, suntem in măsură să dam o definiţie a noţiunii de „relaţie" folosind-o pe cea de mulţime, răspunzând astfel întrebării de la începutul acestui paragraf. 69

Mulţimi. Relaţii.

Definiţie

Fiind data o mulţime oarecare nevidă A, se numeşte relaţie binară pe A o submulţime ℜ , a produsului cartezian A x A. Numim elemente asociate prin relaţie acele elemente x, y pentru care (x, y) χ ℜ . Dacă (x, y) χ ℜ , atunci spunem ca „x este asociat cu y prin relaţia ℜ ” sau „x este în relaţia ℜ cu y” şi scriem x ℜ y. Dacă x şi y nu sunt în relaţia ℜ , scriem x ℜ /y. Cuvântul „binară” arată ca sunt asociate în relaţie perechi de elemente. Relaţia binară pe o mulţime se notează, de regulă, cu unul din simbolurile: ℜ , ρ, ~ etc. Vom păstra notaţiile deja consacrate pentru diferite relaţii binare întâlnite în matematică. După cum mulţimile sunt definite sintetic şi analitic, aşa vor fi definite şi relaţiile binare. Să dăm câteva exemple: 1) Dacă A este o mulţime oarecare, atunci relaţia de egalitate pe A este dată de mulţimea de perechi: Δ = {(x, x) | y χ A }, care se numeşte diagonala mulţimii A. Este clar că (x, y) χ Δ dacă şi numai dacă x = y. 2) Dacă A este o mulţime de numere naturale relaţia „mai mic decât” este: < = {(m, n) χ A x A | m < n}. 3) În mulţimea P (A) a părţilor unei mulţimi A, relaţia de incluziune este: ⊂ = {(X, Y) χ P (A) x P (A) | X ⊂ Y }. 4) Fie A = {1, 2, 3}. Pe această mulţime definim relaţia binară: ℜ = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (1, 2)}. Avem x ℜ y dacă (x, y) χ ℜ şi deci 1 ℜ 1, 2 ℜ 2, 2 ℜ 3, 1 ℜ 2.

Observaţie

Atunci când se consideră o relaţie, trebuie să se precizeze mulţimea pe care este definită. Astfel, sunt considerate distincte relaţia „mai mic decât” pe mulţimea numerelor naturale pare şi relaţia „mai mic decât” pe mulţimea tuturor numerelor naturale.

2.2.2. Proprietăţi ale relaţiilor binare Relaţiile binare definite pe o mulţime pot avea anumite proprietăţi. În funcţie de aceste proprietăţi, relaţiile binare se clasifică in diverse tipuri. Cele mai importante proprietăţi ale relaţiilor binare sunt: reflexivitatea, simetria, antisimetria, tranzitivitatea. Considerăm in continuare o mulţime nevidă A. Definiţie

Exemple

70

Spunem că o relaţie binară ℜ pe o mulţime A este reflexivă dacă pentru orice x χ A avem x ℜ x. 1) În orice mulţime, relaţia de egalitate = este reflexivă, în timp ce relaţia ≠ nu este reflexivă. 2) Într-o mulţime de numere naturale, relaţiile ≤, ≥ sunt reflexive, în timp ce <, > nu sunt reflexive.

Mulţimi. Relaţii.

3) Relaţia de divizibilitate definită pe mulţimea numerelor naturale este reflexivă, deoarece, oricare ar fi numărul natural n, avem că n este divizor al lui n. 4) Dacă A este o mulţime, atunci relaţia de incluziune ⊂ , definită pe mulţimea P (A) a părţilor lui A, este reflexivă. 5) Dacă A = {1,2,3 } , relaţia binară ℜ = {(1, 1) , ( 2, 2 ) , ( 3, 3 ) , (1, 2 )

} definită pe A este, evident, reflexivă.

Definiţie

Spunem că o relaţie binară ℜ pe o mulţime A este simetrică, dacă pentru oricare ar fi x, y χ A astfel încât x ℜ y, atunci şi y ℜ x.

Definiţie

O relaţie ℜ pe mulţimea A se numeşte antisimetrică atunci când din x ℜ y şi y ℜ x rezultă x = y.

Exemple

1) În orice mulţime, relaţiile =, ≠ sunt simetrice. 2) Fiind dată o mulţime A, relaţia ⊂ , definită pe mulţimea P(A) a părţilor lui A, este antisimetrică (într-adevăr, dacă X ⊂ Y şi Y ⊂ X, atunci X = Y), dar nu este simetrică (într-adevăr, se poate întâmpla ca X ⊂ Y şi Y ⊄ X). 3) Într-o mulţime de numere, relaţiile ≤ şi ≥ sunt antisimetrice. Aceste relaţii nu sunt simetrice. 4) Fie A mulţimea punctelor unui plan si fie M un punt fix al său. Relaţia „a este simetricul lui b în raport cu M ” este simetrică. (în această relaţie îşi are originea denumirea „relaţie simetrică”) 5) Dacă A = {1, 2, 3}, relaţia binară ℜ = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} definită pe A este simetrică.

Definiţie

O relaţie binară ℜ pe o mulţime A se numeşte tranzitivă dacă, oricare ar fi x, y, z χ A astfel încât x ℜ y şi y ℜ z atunci x ℜ z.

Exemple

1) În orice mulţime relaţia = este tranzitivă, în timp ce relaţia ≠ nu este tranzitivă (dacă a ≠ b şi b ≠ c, putem avea fie a = c, fie a ≠ c ). 2) Relaţia ⊂, definită pe P(A) a unei mulţimi A, este tranzitivă (dacă X ⊂ Y şi Y ⊂ Z, rezultă că X ⊂ Z). 3) Într-o mulţime de numere, relaţiile ≤, <, > , ≥ sunt tranzitive. 4) Dacă A = {1, 2, 3}, definim relaţia binară ℜ = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 2),(1, 2),(2, 3),(1, 3)} care este tranzitivă.

2.2.3. Relaţii de echivalenţă. Mulţime factor De o importanţă deosebită in matematică sunt relaţiile de echivalenţă. De acestea ne vom ocupa în continuare. Definiţie

O relaţie binară ℜ definită pe o mulţime A se numeşte relaţie de echivalenţa, dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă.

71

Mulţimi. Relaţii.

Fiind dată o relaţie de echivalenţă, două elemente asociate prin aceasta se numesc echivalente. Exemple

1) În mulţimea cuvintelor unui vocabular relaţia „a fi exprimat cu acelaşi număr de litere” este o relaţie de echivalenţă. 2) Dacă A este mulţimea locuitorilor unui oraş, iar ℜ este mulţimea perechilor ordonate (x, y) cu proprietatea că „locuitorul x este născut în acelaşi an cu locuitorul y” atunci, evident, ℜ este o relaţie de echivalenţă. 3) Fie A mulţimea punctelor unui plan P şi (d) o dreaptă fixată. Definim relaţia ℜ astfel: xℜy dacă x şi y se găsesc pe aceeaşi paralelă la (d). ℜ este o relaţie de echivalenţă. 4) Fie mulţimea A de la punctul precedent şi fixăm un punct O, numit origine, în planul P. Definim relaţia: oricare ar fi x, y din A, xℜy dacă x şi y se găsesc pe acelaşi cerc cu centrul în O. Acesta este o relaţie de echivalenţă. 5) Fie A mulţimea dreptelor din planul P. Se defineşte relaţia ℜ astfel: xℜy dacă x = y sau x || y; acesta este o relaţie de echivalenţă. 6) Dacă A este mulţimea triunghiurilor dintr-un plan P, atunci relaţia de asemănare ~ a triunghiurilor este o relaţie de echivalenţă. În aceste exemple, elementele unei mulţimi A înzestrată cu o relaţie de echivalenţă ℜ se grupează în submulţimi, fiecare din acestea fiind formate din toate elementele echivalente între ele în raport cu relaţia ℜ.

Definiţie

Fie ℜ o relaţie de echivalenţă pe o mulţime A şi fie x ∈ A un element oarecare. Submulţimea Cx a lui A: Cx = {y | y ∈A, yℜx} se numeşte clasa de echivalenţă a elementului x. Clasa de echivalenţă a elementului x se mai notează, de la caz la caz, şi astfel x, x, [ x ] etc. Proprietăţile claselor de echivalenţă sunt prezentate în următoarea teoremă.

Teorema 1

Fie A o mulţime nevidă şi ℜ o relaţie de echivalenţă pe A. Atunci, clasele de echivalenţă determinate de ℜ pe A au proprietăţile: 1o Cx ≠ ∅, oricare ar fi x ∈ A (adică, orice clasă de echivalenţă este nevidă). 2o Dacă xℜy , atunci Cx = Cy , iar dacă x ℜy , atunci Cx 3 Cy = ∅ (adică, două clase de echivalenţă ori sunt disjuncte ori coincid). 3o  Cx = A (adică, reuniunea tuturor claselor de echivalenţă este x∈A

egală cu A). Demonstraţie. 1o deoarece xℜx rezultă x ∈ Cx , deci Cx ≠ ∅. 2o Dacă xℜy şi z ∈ Cx atunci zℜx. Din tranzitivitatea relaţiei rezultă zℜy, adică z ∈ Cy. Astfel Cx ⊂ Cy şi analog Cy ⊂ Cx, deci Cx = Cy. Să presupunem că z ∈ Cx 3 Cy. Atunci xℜz şi zℜy, deci xℜy. 3o Dacă y ∈ A, atunci y ∈ Cy.

72

Mulţimi. Relaţii.

Dacă x ∈ A atunci Cx se numeşte clasă de echivalenţă de reprezentant x. Din punctul 2o al teoremei precedente rezultă că, dacă y ∈ Cx atunci Cx = Cy; deci orice element dintr-o clasă de echivalenţă poate fi considerat reprezentant al acesteia. Aşadar nici un element dintr-o clasă de echivalenţă nu este „privilegiat” în x privinţa reprezentării clasei. Exemple

Să ne oprim la exemplele de relaţii de (d) echivalenţă de mai înainte. În exemplul 1) mulţimea Fig. 6 tuturor cuvintelor care au acelaşi număr de litere x constituie o clasă de echivalenţă. Pentru relaţia de echivalenţă de la exemplul 2), mulţimea tuturor locuitorilor născuţi in acelaşi an este o clasă de O echivalenţă. În exemplul 3) clasa de echivalenţă a punctului x din plan este dreapta care trece prin x, paralelă cu dreapta dată (Fig. 6). În exemplul 4) Fig. 7 clasa de echivalenţă a punctului x este cercul care trece prin x cu centrul în O (Fig. 7). În exemplul 5) clasa de echivalenţă care este formată din x şi dreptele paralele cu x, ne dă o direcţie în plan.

Definiţie

Fiind dată o relaţie de echivalenţă ℜ pe A, mulţimea claselor de echivalenţă (adică mulţimea a cărei elemente sunt, fiecare în parte, clase de echivalenţă) se numeşte mulţimea factor (sau cât) a lui A în raport cu relaţia de echivalenţă ℜ şi se notează A/ℜ.

Exemple

1) În mulţimea animalelor, să considerăm relaţia dată astfel: xℜy dacă x şi y aparţin aceleiaşi specii de animale; ℜ este, evident, o relaţie de echivalenţă. Mulţimea speciilor reprezintă mulţimea factor. 2) În mulţimea nucleelor atomice, fie relaţia de izotopie: xℜy dacă x este izotop cu y (adică, x şi y au acelaşi număr atomic). Aceasta este o relaţie de echivalenţă. Mulţimea factor este dată de mulţimea elementelor chimice. 3) În exemplul 5) de mai înainte mulţimea factor ne dă mulţimea direcţiilor din plan. Observăm că relaţiile de echivalenţă ne oferă un mijloc de a construi noi mulţimi.

Partiţii Conceptul de relaţie de echivalenţă este strâns legat de cel de partiţie a unei mulţimi. Mai precis, mulţimile factor se definesc adesea ca partiţii. Definiţie

Se numeşte partiţie a unei mulţimi A o mulţime π(A) de submulţimi ale lui A (adică π(A) este o submulţime a lui P (A)) astfel încât: 1) Oricare ar fi X ∈ π(A) avem X ≠ ∅; 2) Oricare ar fi X, Y ∈ π(A), X ≠ Y, atunci X ∩ Y = ∅; 3)  X = A (reuniunea submulţimilor din π(A) este egală cu A). X ∈π ( A )

73

Mulţimi. Relaţii.

Teorema 2

Fie A o mulţime. Conceptul de relaţie de echivalenţă pe A este echivalent cu acela de partiţie a mulţimii A. Demonstraţie. Dată o relaţie de echivalenţă pe A, mulţimea factor corespunzătoare determină o partiţie a mulţimii A (teorema 1). Invers, fie π(A) o partiţie a mulţimii A. Dacă x ∈ A, atunci există o unică submulţime X ∈ π(A) astfel încât x ∈ X. Definim o relaţie binară ~π pe A punând x π y dacă şi numai dacă există X ∈ π(A) astfel încât x, y ∈ X. Este clar că relaţia ~π este reflexivă, simetrică şi tranzitivă, adică este relaţie de echivalenţă. Mai mult, dacă x ∈ X, atunci clasa de echivalenţă xˆ în raport cu relaţia ~π este X. Deci mulţimea factor în raport cu această relaţie este tocmai partiţia π(A).

Observaţie

Intuitiv, clasele de echivalenţă grupează elementele unei mulţimi ca în figura 8, unde C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7 sunt clasele de echivalenţă.

C6 C4 C3

C7 C5

C2 C1

2.2.4 Relaţii de ordine

Fig. 8

O altă categorie importantă de relaţii binare o constituie relaţiile de ordine. Faptul esenţial care este exprimat de cuvintele ordonare, ordine este posibilitatea de a compara două elemente precizând care dintre ele este „primul” şi care este „după”. Există diferite tipuri de relaţii de ordine. Definiţie

Exemple

Fie A o mulţime. O relaţie binară, notată de obicei printr-unul din simbolurile ≤,  , ⊂, se numeşte relaţie de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă. Dacă x  y se spune că (în ordonare) x precede y, sau y urmează după x. Când folosim notaţia  citim „mai mic sau egal cu”, iar notaţia ⊂ o citim „inclus în”. O mulţime A pe care s-a definit o relaţie de ordine se numeşte mulţime ordonată. 1) Dacă A este o mulţime de numere naturale atunci relaţia cunoscută ≤ (mai mic sau egal cu) este o relaţie de ordine pe A. De exemplu dacă A={1, 2, 3}, relaţia ≤ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} este o relaţie de ordine. Altfel scris 1 ≤ 2, 2 ≤ 2, 3 ≤ 3, 1 ≤ 2, 1 ≤ 3, 2 ≤ 3. 2) Fie A o mulţime oarecare, iar P (A) mulţimea parţilor lui A. Atunci relaţia de incluziune ⊂ între părţile lui A este o relaţie Y de ordine pe P (A). În figura 9 este dat un v exemplu de relaţie de ordine în care Y ⊂ X, X în timp ce X şi Z, ca şi X şi V nu se pot compara căci nu se pot asocia prin relaţia Z dată. 3) Un alt exemplu interesant este următorul: în mulţimea ù* a numerelor Fig. 9

74

Mulţimi. Relaţii.

naturale nenule se consideră relaţia „este divizibil cu” (adică nℜm dacă n este divizibil cu m). Aceasta este o relaţie de ordine. Într-adevăr orice număr n este divizibil cu el însuşi; dacă n este divizibil cu m si m este divizibil cu n atunci, m = n; în sfârşit dacă n este divizibil cu m şi m este divizibil cu p avem n = km şi m = hp, unde k, h ∈ ù* , deci n = (hk)p, adică n este divizibil cu p. În această relaţie există perechi de elemente care nu se pot compara (considerând numerele 4 şi 5, 5 nu este divizibil cu 4, iar 4 nu este divizibil cu 5). Din exemplele de mai sus se constată că există relaţii de ordine pe o mulţime în care oricare două elemente sunt comparabile, precum şi relaţii de ordine pentru care există elemente care nu sunt comparabile. Acestea sunt, de altfel, două tipuri distincte de relaţii de ordine pe o mulţime. Definiţie

Exemple

Fie A o mulţime şi  o relaţie de ordine pe A. Se spune ca relaţia  este o relaţie de ordine totală, dacă oricare două elemente din A sunt comparabile în această relaţie (oricare ar fi x, y din A, avem sau x  y, sau y  x). O mulţime A pe care s-a definit o relaţie de ordine totală se numeşte total ordonată. 1) Într-o mulţime de numere naturale relaţia ≤ este o relaţie de ordine totală. 2) Să analizăm acum exemplul 2) de mai înainte. Distingem trei cazuri: i) Primul caz: A = ∅. Atunci P(A) = {∅}. Este evident că elementele acestei mulţimi sunt comparabile prin ⊂ (mulţimea are un singur element). ii) Cazul al doilea: A = {x}. În acest caz P(A) = {∅, {x}}. Prin relaţia de incluziune cele două elemente ale mulţimii P(A) sunt comparabile. iii) Cazul al treilea: A are cel puţin două elemente. Dacă x, y ∈ A, x ≠ y atunci {x} ⊄ {y} şi {y} ⊄ {x} deci, în acest caz, există elemente ale lui P(A) care nu sunt comparabile. În concluzie, P(A) înzestrată cu relaţia de incluziune este total ordonată daca A are cel mult un element, şi nu este total ordonată dacă A are cel puţin două elemente. O relaţie de ordine pe o mulţime A, care nu este totală, se numeşte relaţie de ordine parţială, iar mulţimea pe care s-a definit o astfel de relaţie se numeşte parţial ordonată.

75

Mulţimi. Relaţii.

Test de autoevaluare 2 1) Pe mulţimea A = {1, 2, 3, 4} se consideră relaţia binară ℜ = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}. Să se studieze proprietăţile acestei relaţii.

2) Fie A o mulţime. Să se arate că singura relaţie care este, în acelaşi timp, de echivalenţă şi de ordine este egalitatea.

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

3) Fie A = {1, 2, 3, 4} şi relaţia ℜ pe această mulţime definită de ℜ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1)}. Să se arate că ℜ este relaţie de echivalenţă şi apoi să se determine mulţimea factor A/ℜ .

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 77 a acestei unităţi de învăţare.

76

Mulţimi. Relaţii.

2.3. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare Test 1 1)

2)

Presupunem mai întâi că A ⊂ B. Atunci evident A 3 B ⊂ A. Deoarece A ⊂ B şi A ⊂ A obţinem A ⊂ A 3 B şi deci A 3 B = A. Evident A 4 B ⊃ B şi cum A ⊂ B şi B ⊂ B obţinem A 4 B ⊂ B de unde A 4 B = B. Am demonstrat astfel că prima condiţie implică celelalte două. La fel se arată că a doua şi a treia condiţie implică celelalte două. Ecuaţia x2 + mx + 1 = 0 are discriminantul Δ1 = m2 – 4, iar ecuaţia x2 + 4x + m2 = 0 are discriminantul Δ2 = 4(4 – m2). Dacă m ∈ ( −∞, −2) 4 (2, +∞ ) , rezultă Δ1 > 0 şi Δ2 < 0, deci prima ecuaţie are două rădăcini reale distincte iar a doua nu are rădăcini reale. Obţinem că reuniunea are două elemente. La fel, dacă m ∈ ( −2,2) , atunci Δ1 < 0 şi Δ2 > 0, iar reuniunea are tot două elemente. Dacă m = –2, reuniunea este {–2, 1}, iar dacă m = 2, reuniunea este {–2, –1}.

Test 2 1)

2)

3)

Relaţia ℜ nu este antisimetrică, căci de exemplu (1, 2) ∈ ℜ şi (2, 1) ∈ ℜ, dar 1 ≠ 2 ; nu este reflexivă căci (3, 3) ∉ ℜ; nu este simetrică căci, de exemplu (2, 3) ∈ ℜ şi (3, 2) ∉ ℜ; nu este tranzitivă căci, de exemplu (1, 2) ∈ ℜ, (2, 3) ∈ ℜ dar (1, 3) ∉ ℜ. Este clar că egalitatea este relaţie de echivalenţă şi relaţie de ordine pe A. Fie acum ℜ o relaţie binară pe A care este şi de echivalenţă şi de ordine. Fie x, y ∈ A astfel încât xℜy. Din simetria lui ℜ rezultă yℜx şi din antisimetrie rezultă x = y. Deci ℜ este egalitatea. Este clar că ℜ este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Avem C1 = C2 = {1, 2}, C3 ={3} şi C4 = {4} şi deci mulţimea factor este A/ℜ = {{1, 2}, {3}, {4}}.

77

Mulţimi. Relaţii.

2.4. Lucrare de verificare pentru studenţi Indicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului. Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui. 1 punct din oficiu 1 punct

1) Să se demonstreze că dacă A, B, C, sunt trei mulţimi astfel încât

A ∪ B = A ∪ C şi A ∩ B = A ∩ C; atunci B = C. 1,5 puncte

2) Să se determine m real astfel încât mulţimea

{

} {

}

A = x ∈  | x 2 − mx + 2 = 0 ∪ x ∈  | 2 x 2 − mx + 1 = 0

conţine trei elemente. Poate avea A două elemente ? 2 puncte

3) Dacă M este o mulţime finită, notăm cu n(M) numărul elementelor

sale. Fie A, B, C trei mulţimi. Să se demonstreze că n ( A ∪ B ∪ C ) = = n ( A ) + n ( B ) + n (C ) − n ( A ∩ B ) + n ( B ∩ C ) + n (C ∩ A )  + n ( A ∩ B ∩ C ) 1 punct

4) O relaţie ℜ e o mulţime A se numeşte circulară dacă din xℜy şi yℜz

rezultă zℜx. Să se arate că o relaţie este reflexivă şi circulară dacă şi numai dacă este o relaţie de echivalenţă. 1,5 puncte

5) Fie mulţimea A = {a, b, c}. să se descrie toate relaţiile de ordine care

se pot defini pe A. 2 puncte

6) Fie A = {1, 2, 3}. a) Să se descrie toate relaţiile de echivalenţă care se

pot defini pe A. b) Să se construiască toate mulţimile factor ale lui A.

2.5. Bibliografie 1) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Rizescu, Algebra, manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 2) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Andrei, M. Răduţiu, Fl. Vornicescu, N. Vornicescu, Matematică, manual pentru clasa aIX-a (pentru programele M1 şi M2), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999. 3) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D. Niţescu, Matematică, manual pentru clasa a X-a (pentru programa M1), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. 4) C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică (trunchi comun şi curriculum diferenţiat), manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2004. 5) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Brandibaru, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme de algebra, clasele IX-XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1992. 6) C. Năstăsescu, C. Niţă, C. Vraciu, Aritmetică şi Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993

78

Algebra I

Unitatea de învăţare 3 FUNCŢII Cuprins Obiectivele unităţii de învăţare 3 ............................................................................... 80 3.1. Noţiunea de funcţie. Compunerea funcţiilor. Funcţia de gradul I ....................... 81 3.1.1. Noţiunea de funcţie ......................................................................................... 81 3.1.2. Funcţii numerice şi reprezentarea geometrică a graficului lor ......................... 85 3.1.3 Compunerea funcţiilor ...................................................................................... 88 3.1.4. Funcţii numerice monotone. Intervale de monotonie ...................................... 89 3.2 Funcţii injective, surjective, bijective ................................................................... 93 3.2.1 Definiţii. Proprietăţi........................................................................................... 93 3.2.2. Funcţii inversabile. Inversa unei funcţii ........................................................... 96 3.3. Funcţia de gradul al doilea ............................................................................... 101 3.3.1. Graficul funcţiei de gradul al doilea. Exemple ............................................... 101 3.3.2. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea .......................................... 108 3.3.3. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea ............................ 109 3.3.4. Tabelul de variaţie şi trasarea graficului funcţiei de gradul al doilea ............. 112 3.3.5. Semnul funcţiei de gradul al doilea ............................................................... 113 3.4. Studiul unor funcţii putere ................................................................................ 117 3.4.1. Funcţia putere cu exponent natural nenul. .................................................... 117 3.4.2. Funcţia putere cu exponent întreg negativ .................................................... 119 3.4.3. Funcţia radical .............................................................................................. 120 3.4.4. Funcţia putere cu exponent raţional.............................................................. 121 3.5. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. ..................................................... 124 3.5.1. Funcţia exponenţială..................................................................................... 124 3.5.2 Logaritmi. Funcţia logaritmică ........................................................................ 131 3.6.2 Ecuaţii iraţionale ............................................................................................ 143 3.6.3. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale şi logaritmice .............................................. 146 3.7. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare ........................................ 152 3.8. Lucrare de verificare pentru studenţi ............................................................... 156 3.9. Bibliografie ....................................................................................................... 159 Bibliografie generală ............................................................................................... 160

79

Algebra I

Obiectivele Unităţii de învăţare 3 După ce veţi parcurge această unitate de învăţare, veţi avea cunoştinţe suficiente pentru a fi capabili să faceţi următoarele operaţii matematice: • Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică. • Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate). • Utilizarea proprietăţilor unei funcţii în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii • Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice. • Interpretarea pe baza graficului a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor. • Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea graficelor de funcţii şi în rezolvarea de ecuaţii

80

Algebra I

3.1. Noţiunea de funcţie. Compunerea funcţiilor. Funcţia de gradul I 3.1.1. Noţiunea de funcţie Definiţie

Fie A şi B două mulţimi. Prin funcţie definită pe mulţimea A, cu valori în mulţimea B se înţelege orice lege (procedeu sau convenţie etc.) f, în baza căreia oricărui element a χ A i se asociază un unic element, notat f(a), din B. Definiţia funcţiei presupune de fapt existenţa a trei elemente: 1º O mulţime A, pe care este definită funcţia şi care se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei. 2º O a doua mulţime B, în care ia valori funcţia şi care se numeşte domeniul valorilor funcţiei sau codomeniul funcţiei. 3º O lege (procedeu, convenţie etc.) f. Pentru a simboliza faptul că aceste trei elemente A, B, f sunt elementele constituante ale unei funcţii definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B se scrie simplu: f

f : A τ B sau A → B şi se citeşte „f definită pe A cu valori în B ”. Dacă a χ A, atunci elementul f(a) χ B se numeşte imaginea lui a prin funcţia respectivă, sau valoarea lui f în a. O funcţie f : A τ B se mai numeşte şi aplicaţie de la A la B. f

Observaţii

1) Deşi în definiţia unei funcţii A → B apar în mod necesar trei elemente, totuşi, uneori pentru simplificarea limbajului, se spune că „f este o funcţie”, urmând ca celelalte două elemente să rezulte din context. 2) Dacă A şi B sunt două mulţimi oarecare, atunci, în general, există mai multe funcţii definite pe A cu valori în B. 3) Două funcţii f : A τ B şi g : A' τ B' se numesc egale dacă A = A', B = B' şi în plus, pentru orice element a χ A, avem: f(a) = g(a). Dacă există cel puţin un element a χ A pentru care f(a) γ g(a), atunci funcţiile f şi g nu sunt egale. Când funcţiile f şi g sunt egale notăm f = g; în cazul când nu sunt egale notăm f γ g. 4) Fie f : A τ B o funcţie. Dacă x desemnează un element oarecare din A, iar y desemnează elementul f (x), atunci vom scrie y = f(x). Această egalitate poartă numele de dependenţă funcţională asociată funcţiei f, iar x se numeşte variabilă sau argument. Ori de câte ori ne este clar care este domeniul şi codomeniul funcţiei f, putem să indicăm pentru această funcţie numai dependenţa funcţională y = f (x).

Exemple

1) Fie mulţimile A = {a, b, c, d} şi B = {1, 2, 3, 4, 5}. Definim funcţia f : A τ B după „legea ”: lui a i se asociază 1; lui b i se asociază 2; lui c i se asociază 2; lui d i se asociază 5. Pentru această funcţie avem: f(a) = 1; f(b) = 2; f(c) = 2 şi f(d) = 5. De asemenea, de la A la B putem defini funcţia g : A τ B după legea: oricărui element x din A i se asociază numărul 1. Pentru funcţia g avem: g(a) = g(b) = g(c) = g(d) = 1. Se vede că funcţiile f şi g nu sunt egale. 81

Algebra I

2) Fie A mulţimea tuturor ţărilor de pe glob, iar B mulţimea tuturor oraşelor de pe glob. Definim funcţia f : A τ B după legea: fiecărei ţări i se asociază capitala sa. Pentru această funcţie avem de exemplu: f(România) = Bucureşti, f (Italia) = Roma etc. 3) Fie Z mulţimea numerelor întregi. Definim funcţia f : Z τ Z după legea: lui a χ Z i se asociază pătratul său, adică f(a) = a2. 4) Dacă A este o mulţime oarecare, vom nota cu 1A : A → A funcţia definită prin 1A(a) = a, oricare ar fi a ∈ A. Funcţia 1A se numeşte funcţia identică a mulţimii A. Moduri de a defini o funcţie Când definim o funcţie trebuie să precizăm cele trei elemente ce o caracterizează: domeniul de definiţie, domeniul valorilor şi legea de asociere. Vom distinge două moduri de a defini o funcţie. a) Funcţii definite sintetic. În multe cazuri o funcţie f : A τ B poate fi definită numind pentru fiecare element în parte din A elementul ce i se asociază din mulţimea B. Exemplu

Fie A = {1, 2, 3, 4} şi B = {1, 7, 9}. Definim f : A τ B punând: f(1) = 1; f(2) = 7; f(3) = 1 şi f(4) = 9. Legea de asociere a funcţiilor f : A τ B poate fi reprezentată grafic printr-o diagramă (fig. 1) sau printr-un tabel (fig. 2). În figura 1 săgeţile indică legea de definire a funcţiei de la mulţimea A la mulţimea B. În tabelul din figura 2 în prima linie sunt trecute elementele mulţimii pe care este definită funcţia, iar în linia a doua elementele din mulţimea unde funcţia ia valori. Pentru orice funcţie definită sintetic se poate asocia o diagramă ca în figura 1 sau un tabel (numit tabelul de valori al funcţiei), ca în figura 2. De multe ori este preferabil şi sugestiv să indicăm diagrama sau tabelul de valori pentru a defini funcţia respectivă. De exemplu, să considerăm diagrama din figura 3. Funcţia asociată este: f : A τ B unde f(a) = –1; f(b) = –1; f(c) = 2 şi f(d) = 4. Considerând tabelul din figura 4, funcţia asociată este: f : {a, b, c, d} τ {1, 7, 10, 13} unde f(a) = 1; f(b) = 7; f(c) = 10 şi f(d) = 13.

Fig. 1

x f(x)

1 1

2 7 Fig. 2

Fig. 3

x a b c d f(x) 1 7 10 13 Fig. 4

82

3 1

4 9

Algebra I

Exemple

b) Funcţii definite analitic. O funcţie f : A τ B poate fi definită specificând o proprietate (sau relaţiile) ce leagă un element arbitrar a χ A de elementul f(a) din B. 1) Fie A mulţimea tuturor oamenilor din România, iar N mulţimea numerelor naturale. Definim funcţia f : A τ N astfel: f(x) este egală cu vârsta (în ani) a lui x în momentul de faţă. 2) Fie B mulţimea oraşelor din România, iar C mulţimea judeţelor ţării. Definim funcţia f : B τ C astfel: f(x) = judeţul căruia îi aparţine oraşul x. 3) Dându-se o formulă (sau expresie algebrică) E(x) putem să îi asociem o funcţie sau mai multe funcţii. (Întotdeauna aceste funcţii vor avea domeniul şi codomeniul submulţimi ale mulţimii numerelor reale). De exemplu, considerăm expresia E(x) = x2 + 1. Putem defini funcţia f : R τ R astfel încât f(x) = x2 + 1. Aceleaşi expresii E(x) = x2 + 1 putem să-i asociem şi funcţia g : Z τ R; g(x) = x2 + 1. Este evident că funcţiile f şi g sunt diferite deoarece domeniul de definiţie al lui f este R, iar al lui g este Z. Reţinem faptul că unei expresii sau formule i se pot asocia mai multe funcţii. De asemenea, când definim o funcţie cu ajutorul unei expresii algebrice trebuie să avem în vedere dacă acea expresie are sens pentru elementele din domeniul de definiţie. x +1 De exemplu, să considerăm expresia: E ( x ) = . x −1 x +1 Aceste expresii nu-i putem asocia o funcţie h : R τ R, h ( x ) = , x −1 deoarece expresia E(x) nu are sens pentru x = 1. 4) Dându-se mai multe expresii algebrice putem să definim o funcţie sau mai multe funcţii. Să considerăm expresiile: 1 E1 ( x ) = x + 2, E2 ( x ) = x 2 şi E3 ( x ) = . x Definim funcţia: f : R τ R astfel   x + 2 dacă x < 0,  f (x) =  x 2 dacă 0 ≤ x ≤ 1,  1  dacă x > 1. x  Aceloraşi expresii putem să le asociem şi funcţia g : R τ R dată în felul următor:   x + 2 dacă x < − 1,  g (x) =  x 2 dacă − 1 ≤ x ≤ 2,  1  dacă x > 2. x  83

Algebra I

Se observă imediat că avem f ( 2 ) =

1 iar g ( 2 ) = 4, deci f şi g sunt 2

funcţii distincte. Într-un mod asemănător putem defini o funcţie prin patru, cinci sau un număr mai mare de formule. Trebuie să remarcăm faptul că, dacă funcţia f : A τ B este definită cu mai multe formule, atunci fiecare din formule este valabilă pentru o anumită submulţime a lui A, iar două din formule nu pot folosite pentru determinarea imaginii unuia şi aceluiaşi element. 5) Geometria ne furnizează o gamă variată de funcţii definite analitic. Iată câteva exemple: 1o Simetria în raport cu un punct. Fie M un punct fixat din planul P. Notăm sM : P τ P funcţia definită astfel: sM(X) = simetricul lui X faţă de M. Funcţia sM se numeşte simetria faţă de punctul M. 2o Simetria în raport cu o dreaptă. Fie (d) o dreaptă din planul P. Definim funcţia sd : P τ P, astfel: sd(X) = simetricul lui X faţă de dreapta (d). Funcţia sd se numeşte simetria faţă de dreapta (d). 3o Fie O un punct fix în planul P. Vom defini funcţia d : P τ R astfel: d(X) = lungimea segmentului OX. 4o Fie A mulţimea triunghiurilor din planul P. Vom defini funcţia a : A τ R, astfel: a (T) = aria triunghiului T. Graficul unei funcţii Fie f : A τ B o funcţie. Prin graficul acestei funcţii înţelegem submulţimea Gf a produsului cartezian A % B formată din toate perechile (a, f (a)), cu a χ A. Deci: Gf = {(a, f(a)) | a χ A}. Exemplu

Observaţie

84

Să considerăm funcţia asociată următoarei diagrame (fig. 5): f(a) = 2, f(b) = 1, f(c) = 2, f(d) = 5. În acest caz graficul Gf este mulţimea: Gf = {(a, 2), (b, 1), (c, 2),(d, 5)}.

Fig. 5

Noţiunea de grafic al unei funcţii ne sugerează să introducem un concept mai general numit corespondenţă între două mulţimi. Fiind date două mulţimi A şi B, se numeşte corespondenţă între A şi B (în această ordine) orice submulţime G a produsului cartezian A×B. Este clar că graficul Gf al funcţiei f : A → B este o corespondenţă, dar afirmaţia inversă nu este neapărat adevărată. Mai precis, dată o corespondenţă G ⊂ A × B între mulţimile A şi B nu există în general o funcţie f : A → B astfel încât Gf = G. De exemplu, fie A = {1, 2, 3} şi B = {a, b}. Avem A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Dacă G = {(1, a), (2, a), (2, b), (3, b)} este uşor de văzut că nu există nici o funcţie f : A → B astfel încât Gf = G. Având în vedere definiţia funcţiei, deducem că unei corespondenţe G ⊂ A × B între mulţimile A şi B i se poate asocia o funcţie de la A la B dacă şi numai dacă pentru orice element x ∈ A există un unic element y ∈ B astfel încât (x, y) ∈ G.

Algebra I

În exemplul de mai sus, această condiţie nu este satisfăcută deoarece (2, a) şi (2, b) sunt elemente din G şi deci elementului 2 din A i s-ar asocia elementele a şi b din B. Restricţia unei funcţii Fie f : A → B o funcţie şi A′ ⊂ A o submulţime a lui A. Putem defini o nouă funcţie g : A′ → B, punând g(x) = f(x), oricare ar fi x ∈ A′. Observăm că deosebirea dintre funcţiile g şi f este aceea că domeniul de definiţie al funcţiei g este o submulţime a domeniului de definiţie al funcţiei f. De aceea, g se numeşte restricţia funcţiei f la submulţimea A′ ⊂ A şi se notează g = f |A ′ . Este clar că graficul restricţiei f |A ′ este {(a′, f(a′)) | a′ ∈ A′} . Exemplu

− x dacă x < 0,  Fie funcţia modul f : R τ R, f(x) = |x| unde x =  0 dacă x = 0,  x dacă x > 0.  Funcţia g : (–∞, 0] → R, g(x) = –x, este restricţia funcţiei f la intervalul (–∞, 0], adică g = f |(–∞, 0]. Funcţia h : [0, +∞) → R, h(x) = x, este restricţia funcţiei f la intervalul [0, +∞), adică h = f |[0, +∞). Imaginea unei funcţii Fie f : A → B o funcţie. Dacă X ⊂ A este o submulţime a lui A, atunci submulţimea lui B, {f(x) | x ∈ X} ⊂ B se notează cu f(X) şi se numeşte imaginea sub-mulţimii X prin f. Deci f(X) = {f(x) | x ∈ X} = {y ∈ B | există x ∈ X astfel încât y = f(x)}. În particular, dacă X = A, f(A) se numeşte imaginea funcţiei f şi se notează şi prin Imf. Deci Imf = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ B | există x ∈ A astfel încât y = f(x)}.

Observaţie Exemple

Imaginea restricţiei f |X este egală cu f(X), adică Im(f |X) = f(X). 1) Dacă f : R → R, f(x) = |x| este funcţia modul, atunci Im f = [0, +∞). 2) Fie f : R → Z, funcţia f(x) = [x], unde [x] este partea întreagă a numărului x. Avem f([–2, 3)) = {–2, –1, 0, 1, 2}, f([–2, 3)) = {–3, –2, –1, 0, 1, 2}, Im f = Z.

3.1.2. Funcţii numerice şi reprezentarea geometrică a graficului lor Definiţie

Exemple

Se numeşte funcţie numerică o funcţie f : A τ B, pentru care atât domeniul de definiţie A cât şi domeniul valorilor B sunt submulţimi ale mulţimii numerelor reale. Următoarele funcţii: 1) f : R τ R, f(x) = 2x + 1; 2) g : [0, 2] τ [0, 4], g(x) = x2 sunt funcţii numerice.

85

Algebra I

Exemple

Graficul unei funcţii numerice are o particularitate deosebită, care constă în aceea că el se poate reprezintă ca o submulţime de puncte din plan. Fie f : A τ B o funcţie numerică şi Gf graficul său. Fie xOy un sistem de axe perpendiculare din plan. Dacă (a, b) este un element din Gf atunci îi asociem punctul P(a, b) din plan (a este abscisa, iar b ordonata punctului P). Mulţimea de puncte din plan de coordonate x şi y unde (x, y) este un element oarecare din mulţimea Gf se numeşte reprezentarea geometrică a graficului funcţiei f. Dacă nu este pericol de confuzie, pentru simplificarea limbajului, vom numi simplu această reprezentare geometrică graficul funcţiei f. 1   1) Fie funcţia f :  −1, 0, , 3  → − 2, 1, 2 asociată tabelului 2   –1 0 1 3 x 2 f(x) − 2 1 2 − 2 Graficul funcţiei f este:   1   −1, − 2 , ( 0, 1) ,  , 2  , 3, − 2  . 2   

{

(

)

(

}

)

Fig. 6

Reprezentarea geometrică a mulţimii Gf este mulţimea punctelor P1, P2, P3, P4. (fig. 6).

2) Funcţia de gradul întâi f : R τ R, f(x) = ax + b unde a, b χ R, a γ 0 Graficul acestei funcţii este mulţimea: Gf = {(x, f(x)) | x χ R } = {(x, ax + b) | x χ R }. Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de gradul întâi f(x) = ax + b cu a γ 0 şi b γ 0 este o dreaptă d care taie axele în punctele P1 (0, b) şi P2  − b , 0  (fig. 7 a) ).  a  Dacă b = 0 graficul funcţiei g : R τ R, g(x) = ax este o dreaptă d' ce trece prin origine şi este reprezentată în figura 7 a) prin linie punctată. Se observă uşor că graficul funcţiei f(x) = ax + b se obţine din graficul funcţiei g(x) = ax printr-o translaţie de-a lungul axei Oy, cu o cantitate egală cu b (dacă b > 0, translaţia se face în sus, iar dacă b < 0, translaţia se face în jos.) Deci cele două drepte d şi d' sunt paralele. Dacă a = 0 avem funcţia f : R τ R, f(x) = b oricare ar fi x χ R. Graficul acestei funcţii este o dreaptă d paralelă cu axa Ox care se obţine din translaţia axei Ox de-a lungul axei Oy cu o cantitate egală cu b (a se vedea fig. 7 b) ).

P1(0, b) P2( − b ,0) a

Fig. 7 a

86

b

Fig. 7 b

Algebra I

3) Fie funcţia modul f : R τ R, f(x) = |x|. Graficul acestei funcţii este constituit din două semidrepte d şi d' (fig. 8) unde d este bisectoarea unghiului xOy, iar d' este bisectoarea unghiului x'Oy. Fig. 8

Observaţie

Când avem o funcţie numerică, o problemă care se pune este de a trasa graficul acestei funcţii, adică de a vedea ce figură geometrică reprezintă acest grafic în plan. Acest lucru va fi făcut pentru fiecare caz în parte. Funcţii pare, funcţii impare

Definiţie

O mulţime A ⊂ R se numeşte simetrică faţă de origine dacă oricare ar fi x ∈ A, atunci şi –x ∈ A.

Exemple

1) Mulţimile (–4, 4), (–∞, –1) ∪ (1, +∞), (–2, –1) ∪ (1, 2), R sunt simetrice. 2) Mulţimile [0, +∞), (3, 7), [–∞, –1) ∪ (2, +∞) nu sunt simetrice.

Definiţie

Fie A ⊂ R o mulţime simetrică faţă de origine şi o funcţie f : A → R. Funcţia f numeşte pară dacă f(–x) = f(x) oricare ar fi x ∈ A. Funcţia f se numeşte impară dacă f(–x) = –f(x) oricare ar fi x ∈ A.

Observaţii

1) Graficul unei funcţii pare este simetric faţă de axa Oy. Într-adevăr, un punct (a, b) din plan aparţine graficului Gf dacă şi numai dacă simetricul (–a, b) al lui faţă de axa Oy aparţine lui Gf. 2) Dacă f este funcţie impară şi 0 ∈ A, atunci f(0) = 0. Graficul unei funcţii impare este simetric faţă de origine. Într-adevăr, un punct (a, b) din plan aparţine graficului Gf dacă şi numai dacă simetricul (–a, –b) al lui faţă de origine aparţine lui Gf.

Exemple

1) Funcţia modul f : R → R, f(x) = |x|, este funcţie pară. 2) Funcţia f : R → R, f(x) = x2, este funcţie pară. 3) Funcţia f : R → R, f(x) = 2x, este funcţie impară. 4) Funcţia f : R → R, f(x) = = x + 1, nu este nici pară, nici impară. Verificarea afirmaţiilor din exemplele precedente sunt imediate şi le lăsăm ca exerciţiu.

87

Algebra I

3.1.3 Compunerea funcţiilor Fie funcţiile f : A τ B şi g : B τ C. Observăm că domeniul de definiţie al funcţiei g coincide cu codomeniul funcţiei f. Această situaţie particulară ne permite să facem următoarele consideraţii. Fie x χ A. Atunci elementul f(a), se găseşte în B şi putem vorbi de imaginea sa prin g, adică există elementul g(f(a)) din C. Observăm că astfel putem asocia oricărui element a χ A un element unic din mulţimea C, anume elementul g(f(a)). În felul acesta am definit o funcţie h al cărei domeniu de definiţie este cel al funcţiei f, iar codomeniul este cel al funcţiei g. Deci h : A τ C unde h(a) = g(f(a)) pentru orice a χ A. De obicei funcţia h astfel definită se notează g)f (sau gf) şi se numeşte compunerea funcţiei g cu funcţia f. (În figura 9 este reprezentat Fig. 9 modul de definire al funcţiei g)f). Exemple

1) Considerăm funcţiile f : A τ B şi g : B τ C definite respectiv prin diagramele din figura 10. În acest caz avem (g)f)(1) = g(f(1)) = g(3) = t; (g)f) (2) = g(f(2)) =g(6) = t (g)f)(3) = g(f(3)) = g(1) = q; (g)f)(4) = g(f(4)) = g(4) = m. Funcţia g  f : A τ C poate fi reprezentată prin diagrama din figura 11.

Fig. 10

Fig. 11

2) Fie f : R τ R şi g : R τ R funcţiile definite respectiv prin formulele: f(x) = x2 – 1; g(x) = 1 + x2. Funcţia g  f : R τ R are sens. Pentru orice x χ R avem: (g) f )(x) = g(f(x)) = g(x2 – 1) = 1 + (x2 – 1)2 = x4 – 2x2 + 2. Deci funcţia compusă g)f este dată de formula: (g) f )(x) = x4 – 2x2 + 2. Se observă că are sens să vorbim şi de compunerea lui f şi g. Pentru orice x χ R avem : (f)g)(x) = f(g(x)) = f(1 + x2) = (1 + x2)2 – 1 = x4 + 2x2. Deci funcţia f  g : R τ R este dată de formula: (f)g)(x) = x4 + 2x2. Observaţii

88

1) Dacă f : A τ B şi g : C τ D sunt două funcţii, are sens să vorbim de compunerea funcţiei g cu funcţia f numai atunci când B = C. 2) Dacă f : A τ B şi g : B τ A sunt două funcţii, are sens g)f : A τ A şi f)g:B τ B. Aşa cum rezultă şi din exemplul 2), în general g)f γ f)g (compunerea funcţiilor nu este comutativă).

Algebra I

Teorema 1

Fie f : A τ B, g : B τ C şi h : C τ D trei funcţii. Atunci fiecare din funcţiile h)(g)f), (h)g))f are sens şi există egalitatea: h)(g)f) = (h)g))f. Demonstraţie. Codomeniul funcţiei g)f este mulţimea C. Cum domeniul de definiţie al lui h este tot C, atunci are sens compunerea h ) (g ) f). Analog, domeniul de definiţie al funcţiei h ) g este B, iar codomeniul lui f fiind tot B are sens compunerea (h ) g) ) f. Funcţiile h ) (g ) f) şi (h ) g) ) f au acelaşi domeniu de definiţie (mulţimea A) şi acelaşi codomeniu (mulţimea D). Pentru a arata egalitatea h ) (g ) f) = (h ) g) ) f rămâne să dovedim că pentru orice x χ A avem (h ) (g ) f)) (x) = ((h ) g) ) f) (x). Într-adevăr (h ) (g ) f)) (x) = h((g ) f) (x)) = h(g(f(x))), iar ((h ) g) ) f) (x) = = (h ) g)(f(x)) = h(g(f(x))). Comparând, obţinem egalitatea cerută.

Observaţie

Proprietatea demonstrată în teorema de mai sus se numeşte asociativitatea compunerii funcţiilor. Această proprietate ne permite să folosim scrierea h ) (g ) f) = (h ) g) ) f = h ) g ) f.

3.1.4. Funcţii numerice monotone. Intervale de monotonie Definiţie

Fie f: A τ B o funcţie numerică (adică A şi B sunt submulţimi ale lui R). Spunem că f este crescătoare pe o mulţime nevidă I ⊂ A dacă oricare ar fi x1, x2 χ I, astfel încât x1 x2 avem f(x1) f(x2). Funcţia f se zice descrescătoare pe mulţimea I ⊂ A, dacă oricare ar fi x1, x2 χ I astfel încât x1 x2, avem f(x1) ƒ f(x2). Spunem că f este strict crescătoare (respectiv strict descrescătoare) pe mulţimea I dacă oricare ar fi x1, x2 χ I, astfel încât x1 < x2, să rezulte f(x1) < f(x2) (respectiv oricare ar fi x1, x2 χ I cu x1 < x2, să rezulte f(x1) > f(x2)). O funcţie numerică f :AτB crescătoare sau descrescătoare (respectiv strict crescătoare sau strict descrescătoare) pe o mulţime nevidă I ⊂ A se zice monotonă (respectiv strict monotonă) pe I. Când I = A vom spune simplu că funcţia f : A τ B este monotonă.

Exemple

1) Fie funcţia numerică f : A τ B asociată diagramei alăturate (fig. 12): Avem f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 5, f(4) = 6. Se vede că din inegalităţile 1 < 2 < 3 < 4 rezultă f(1) < f(2) < f(3) < f(4) şi deci funcţia f este strict crescătoare. 2) Fie funcţia numerică g : A τ B asociată diagramei alăturate (fig. 13): Avem g (1) = g(2) = 3 şi g(3) = 5. Din inegalităţile 1 < 2 < 3 rezultă g(1) = g(2) < g(3). Deci funcţia g este crescătoare dar nu este strict crescătoare (deoarece 1 < 2 şi g(1) = g(2)). 3) Fie funcţia h : R τ R, h(x) = x2.

Fig. 12

89

Algebra I

Considerăm intervalul I = [0, ∞); dacă x1, x2 χ I cu x1 < x2, deoarece x1, x2 ƒ 0 rezultă x12 < x22 şi deci f ( x1 ) < f ( x2 ) . Dacă considerăm intervalul J = (–∞, 0] şi x1, x2 χ J astfel încât x1 < x2, cum x1, x2 sunt negative obţinem –x1 > –x2 şi deci (–x1)2 > (–x2)2, adică x12 > x22 . Deci f ( x1 ) > f ( x2 ) . În concluzie funcţia h este strict crescătoare pe intervalul [0, +∞) şi strict descrescătoare pe intervalul (–∞, 0]. f ( x1 ) − f ( x2 ) Raportul în studiul monotoniei unei funcţii. x1 − x2 Fie f : A τ B o funcţie numerică. Pentru simplificare vom nota cu R(x1, x2) raportul: f ( x1 ) − f ( x2 ) R ( x1, x2 ) = unde x1, x2 ∈ A şi x1 ≠ x2 . x1 − x2 Raportul R(x1, x2) se numeşte rata creşterii (descreşterii) funcţiei f. Teorema 2

Fie f : A τ B o funcţie numerică şi I ⊂ A o submulţime nevidă. Atunci: 1) Funcţia f este crescătoare (respectiv strict crescătoare) pe mulţimea I dacă şi numai dacă R(x1, x2) ƒ 0 (respectiv R(x1, x2) >0) oricare ar fi x1, x2 χ I cu x1 < x2. 2) Funcţia f este descrescătoare (respectiv strict descrescătoare) pe mulţimea I dacă şi numai dacă R(x1, x2) 0 (respectiv R(x1, x2) < 0) oricare ar fi x1, x2 χ I cu x1 < x2. Demonstraţie. 1) Presupunem că f este crescătoare (respectiv strict f(x2) crescătoare) pe mulţimea I şi fie x1, x2 χ I cu x1 < x2. Avem că f(x1) (respectiv f(x1) < f(x2)) şi deci f(x1) – f(x2) 0 (respectiv f(x1) – f(x2) < 0)). Cum x1 – x2 < 0 rezultă că raportul R(x1, x2) ƒ 0 (respectiv R(x1, x2) > 0). Invers, presupunem că R(x1, x2) ƒ 0 (respectiv R(x1, x2) > 0) oricare ar fi x1, x2 χ I cu x1 < x2 şi să arătăm că f este crescătoare (respectiv strict crescătoare). Fie x1, x2 χ I cu x1 x2. Dacă x1 = x2 rezultă că f(x1) = f(x2) şi deci f(x1) f(x2). Dacă x1 γ x2 atunci x1 < x2. Cum x1 – x2 < 0 şi R (x1, x2) ƒ 0 (respectiv R(x1, x2) > 0) înseamnă că numărătorul raportului trebuie să fie negativ adică f(x1) – f(x2) 0 (respectiv f(x1) – f(x2) < 0). Deci f(x1) f(x2) (respectiv f(x1) < f(x2)) ceea ce înseamnă că funcţia f este crescătoare (respectiv strict crescătoare). 2) Analog se demonstrează partea a doua a teoremei.

Exemplu

90

Fie funcţia modul f : R τ R, f(x) = |x| şi să determinăm intervalele de monotonie ale acestei funcţii. Fie pentru aceasta x1, x2 χ R cu x1 < x2. Dacă I = [0, +∞) şi x1, x2 χ I avem raportul x − x2 x − x2 R ( x1, x2 ) = 1 = 1 = 1> 0 x1 − x2 x1 − x2 şi deci f este strict crescătoare pe intervalul [0, +∞). Fie intervalul J = (–∞, 0] şi x1, x2 χ J cu x1 < x2. Avem raportul: x − x2 − x − ( − x2 ) − ( x1 − x2 ) R ( x1, x2 ) = 1 = 1 = = −1 < 0. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 Deci funcţia f este strict descrescătoare pe intervalul (–∞, 0].

Algebra I

Monotonia funcţiei f : R τ R, f(x) = ax + b, a, b χ R. Dacă a = 0 atunci avem f(x) = b oricare ar fi x χ R. Se vede că oricare f ( x1 ) − f ( x2 ) b−b ar fi x1, x2 χ R cu x1 < x2 raportul R ( x1, x2 ) == = = 0 şi x1 − x2 x1 − x2 deci funcţia f este crescătoare (ori descrescătoare) pe R, dar nu este nici strict crescătoare şi nici strict descrescătoare. Considerăm cazul a γ 0. Fie x1, x2 χ R cu x1 < x2 . Raportul R(x1, x2) este în acest caz egal cu: f ( x1 ) − f ( x2 ) ( ax1 + b ) − ( ax2 + b ) a ( x1 − x2 ) R ( x1, x2 ) == = = = a. x1 − x2 x1 − x2 x1 − x2 De aici rezultă, folosind teorema de mai sus că dacă a > 0 funcţia (de gradul întâi) f(x) = ax + b este strict crescătoare pe R şi dacă a < 0, funcţia f(x) = ax + b este strict descrescătoare pe R. Interpretare geometrică Ştim că graficul funcţiei f : R τ R, f(x) = ax + b, a γ 0 este o dreaptă. Dacă f este strict crescătoare (a > 0) graficul funcţiei este o dreaptă ca în figura 14.

Fig. 14

Fig. 15

Dacă f este strict descrescătoare (a < 0) graficul funcţiei este o dreaptă ca în figura 15. Reamintim că dacă a = 0 graficul funcţiei este o dreaptă paralelă cu axa Ox. În concluzie dacă f este monotonă atunci f este strict crescătoare sau strict descrescătoare.

Semnul unei funcţii numerice Fie f : A τ B o funcţie numerică. Deoarece A şi B sunt submulţimi ale lui R are sens să definim următoarele submulţimi ale lui A: A+ = {x χ A | f(x) > 0 }; A0 = {x χ A | f(x) = 0 }; (1) A– = {x χ A | f(x) < 0 }; Este clar că mulţimile A+, A0, A– sunt disjuncte două câte două. În plus A = A+ 4 A0 4 A–. Trebuie remarcat că mulţimile A+ A0, A– pot fi şi vide. Cum B γ ⇔ şi B ⊂ R atunci cel puţin una dintre mulţimile A+, A0, A– este nevidă. Determinarea semnului funcţiei f revine a determina cele trei mulţimi de mai sus sau mai exact a rezolva inecuaţiile:

91

Algebra I

i) f(x) > 0, x χ A; ii) f(x) < 0, x χ A (2) precum şi ecuaţia iii) f(x) = 0, x χ A asociate funcţiei f. De multe ori rezolvarea celor două inecuaţii: i), ii) şi a ecuaţiei iii) se reduce la rezolvarea inecuaţiilor de forma: i) f(x) ƒ 0, x χ A ii) f(x) 0, x χ A t de aut Test de autoevaluare 1 o e v a l u a r e

1)

Există un număr întreg m astfel încât să existe o funcţie f : {1, 2, 3} τ {1, 2, 3} definită prin formula f(x) = x2 + m ?

1

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

2)

2 x + 3, dacă x < 0 Fie funcţiile f : R τ R, f ( x ) =  2 şi g : R τ R,  x + 3, dacă x ≥ 0 g(x) = x + 1. Să se calculeze f ) g şi f ) g.

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 152 a acestei unităţi de învăţare.

92

Algebra I

3.2 Funcţii injective, surjective, bijective 3.2.1 Definiţii. Proprietăţi Definiţie

Fie f : A → B o funcţie. Vom spune că f este o funcţie injectivă sau că este o injecţie, dacă pentru oricare două elemente x şi y ale lui A, x ≠ y, avem f (x) ≠ f (y). Faptul că funcţia f este injectivă se mai exprimă şi astfel: dacă x şi y sunt elemente oarecare din A cu proprietatea f (x) = f (y), atunci rezultă că x = y. Din definiţie rezultă că o funcţie f : A → B nu este injectivă dacă există cel puţin două elemente x şi y din A, x ≠ y, astfel încât f (x) = f (y).

Exemple

1. Funcţia f : A → B, asociată diagramei din figura 1 este o funcţie injectivă. 2. Funcţia g : N → N, definită prin formula g(x) = x2, este injectivă. Într-adevăr, să presupunem că g(x) = g(y) unde x, y ∈ N. Atunci x2 = y2, de unde (x – y)(x + y) = 0. Din această egalitate rezultă că x – y = 0 sau x + y = 0. Din prima egalitate avem că x = y. Dacă are loc egalitatea x + y = 0, cum x şi y sunt numere naturale, obţinem că x = y = 0. Oricum, din egalitatea g(x) = g(y) rezultă că x = y şi deci g este o funcţie injectivă.

1 2 A=

f

a b

3

c

4

d

5

1 =B

A=

2

a b

k

3

=B

c d

4

e Fig. 1

Fig. 2

3. Funcţia h : Z → N, h(x) = x2 nu este o funcţie injectivă deoarece h(–2) = h(2) = 4. 4. Funcţia k : A → B asociată diagramei din figura 2 nu este injectivă, deoarece k(1) = k(4) = c. Definiţie

O funcţie f : A → B este o funcţie surjectivă sau, simplu, este o surjecţie dacă pentru orice element b ∈ B există cel puţin un element a ∈ A, astfel încât f (a) = b. Rezultă că o funcţie f : A → B nu este 1 surjectivă dacă există cel puţin un element b 2 ∈ B, astfel încât pentru orice element x ∈ A, 3 a avem f (x) ≠ b. B b 1 4 Dată fiind funcţia f : A → B, am notat cu f x c 5 (A) sau Imf imaginea funcţiei f definită astfel: f (A) = {f (x) | x ∈ A} = {y ∈ B | există x ∈ A Fig. 3

93

Algebra I

astfel încât y = f (x)}. Din definiţia lui f (A) rezultă că: f este surjectivă dacă şi numai dacă f (A) = B. Exemple

1. Funcţia g : A → B, asociată diagramei din figura 3 este surjectivă: g(1) = a, g(2) = g(3) = b, g(4) = c, g(5) = a. 2. Funcţia h : R → R, definită prin formula h(x) = x2 nu este surjectivă. Într-adevăr, pentru orice x ∈ R avem h(x) = x2 ≠ –1. Deci –1 nu este imaginea nici unui element, prin h, din domeniul de definiţie. 3. Funcţia k : A → B asociată diagramei din figura 4 nu este surjectivă. Într-adevăr, se vede că elementul 2 ∈ B nu este imaginea prin k a nici unui element din A.

A=

a b

1 2 3 4

c d

Fig. 4

Definiţie

Exemple

a b c d

1 =B

A=

2 3 4

=B

Fig. 5

O funcţie f : A → B care este simultan injectivă şi surjectivă se numeşte funcţie bijectivă sau, simplu, bijecţie. 1. Funcţia f : A → B, asociată diagramei din figura 5, este bijectivă: f (1) = b, f (2) = c, f (3) = a, f (4) = d. 2. Fie A = {x ∈ R | x ≥ 0}. Definim funcţia g : A → A prin formula g(x) = x2. Funcţia g este bijectivă. Într-adevăr, trebuie să arătăm că g este injectivă şi surjectivă. Funcţia g este injectivă. Fie x, y ∈ A astfel încât g(x) = g(y). Atunci x2 = 2 y , de unde (x – y)(x + y) = 0 şi deci x – y = 0 sau x + y = 0. Dacă x – y = 0, avem x = y; dacă x + y = 0, avem x = –y şi cum x, y sunt numere reale pozitive, trebuie ca x = y = 0. Oricum, din egalitatea g(x) = g(y) rezultă x=y. Funcţia g este surjectivă. Fie y ∈ A. Cum y ≥ 0, atunci are sens y . Cum

y ≥ 0, atunci y ∈ A. Se vede că g( y ) = ( y )2 = y şi deci g este surjectivă. 3. Funcţia de gradul întâi f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b ∈ R şi a ≠ 0 este bijectivă. Într-adevăr, dacă f (x1) = f (x2), atunci ax1 + b = ax2 + b, de unde obţinem ax1 = ax2. Cum a ≠ 0, atunci x1 = x2 şi deci f este injectivă. Să arătăm că f este şi surjectivă. Fie y ∈ R. Are sens numărul real x = y b y b = − . Atunci f (x) = a  −  + b = y , ceea ce arată că f este şi a a a a surjectivă.

94

Algebra I

Interpretarea geometrică a injectivităţii şi surjectivităţii unei funcţii numerice Fie mulţimile nevide A, B ⊂ R şi funcţia f : A → B. Dacă f este injectivă rezultă, conform definiţiei, că pentru orice x1, x2 ∈ A astfel încât x1 ≠ x2 are loc relaţia f (x1) ≠ f (x2), adică orice două puncte de abscise distincte de pe graficul funcţiei au ordonate distincte. Aceasta înseamnă că dacă o paralelă la axa Ox intersectează graficul funcţiei, atunci îl intersectează într-un singur punct; cu alte cuvinte, dacă f este injectivă, orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcţiei f în cel mult un punct (fig. 6). Dacă există o paralelă la axa Ox care intersectează graficul funcţiei f în două sau mai multe puncte, funcţia f nu este injectivă (fig. 7). y f(x2)

f(x1) = f(x2)

x1 O

x2

x

x1

x2

x

f(x1) Fig. 6

Fig. 7

În concluzie, funcţia f este injectivă dacă şi numai dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. Dacă f este surjectivă rezultă, conform definiţiei, că pentru orice b ∈ B există (cel puţin un) a ∈ A astfel încât f (a) = b, adică orice paralelă la axa Ox dusă prin punctul de coordonate (0, b), b ∈ B, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct (fig. 8). Dacă există b ∈ B astfel încât paralela la axa Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b) nu intersectează graficul funcţiei f, funcţia nu este surjectivă (fig. 9). y

y

f:R→R

f:R→R

O O

x

Fig. 8

x

Fig. 9

În concluzie, funcţia f : A → B este surjectivă dacă şi numai dacă orice paralelă la axa Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b), b ∈ B, intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct. Ţinând seama de interpretarea geometrică a injectivităţii şi surjectivităţii unei funcţii, pentru o funcţie bijectivă avem următorul rezultat: Funcţia f : A → B este bijectivă dacă şi numai dacă oricare ar fi b ∈ B

95

Algebra I

paralela la Ox, dusă prin punctul de coordonate (0, b), intersectează graficul funcţiei într-un singur punct. Avem următorul rezultat: Teorema 3

Dacă f : A → B este funcţie numerică strict monotonă, atunci f este funcţie injectivă. Demonstraţie. Într-adevăr, să presupunem că f este strict crescătoare şi fie x1, x2 ∈ A astfel încât x1 ≠ x2. Atunci avem x1 < x2 sau x1 > x2. Dacă presupunem că x1 < x2, rezultă f(x1) < f(x2) şi deci f(x1) ≠ f(x2). Analog, dacă x1 > x2, rezultă f(x1) > f(x2) şi deci f(x1) ≠ f(x2) şi deci f este injectivă. Dacă f este strict descrescătoare, se procedează analog.

3.2.2. Funcţii inversabile. Inversa unei funcţii Fie A o mulţime oarecare. Vom nota cu 1A : A τ A funcţia definită astfel: 1A(a) = a pentru orice a χ A. 1A se numeşte funcţia identică a mulţimii A. Teorema 4

Fie A o mulţime şi 1A funcţia sa identică. Atunci: 1o Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f : A τ B, avem f)1A = f. 2o Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g :C τA, avem 1A)g = g. Demonstraţie. Demonstrăm afirmaţia 1o. Funcţiile f şi f)1A au acelaşi domeniu şi codomeniu aşa că pentru a arăta egalitatea f)1A = f rămâne să dovedim că pentru orice aχ A, (f )1A) (a) = f(a). Într-adevăr (f )1A) (a) = f (1A(a)) = f(a). Demonstrăm afirmaţia 2o. Funcţiile 1A)g şi g au acelaşi domeniu şi codomeniu, adică mulţimile C respectiv A. Pentru a arăta egalitatea 1A ) g = g rămâne să dovedim că pentru orice c χ C avem (1A)g)(c) = g(c). Într-adevăr (1A)g)(c) = 1A(g(c)) = g(c).

Definiţie

96

O funcţie f : A τ B se numeşte inversabilă dacă există o funcţie g : B τ A astfel încât g ) f = 1A şi f ) g = 1B. (1) Observăm că funcţia g definită de relaţiile (1) este unică. Într-adevăr, dacă g' : B τ A este o altă funcţie astfel încât g' ) f = 1A şi f ) g' = 1B, (2) atunci obţinem: g = 1A ) g = (g') f ) ) g = g′) ( f)g) = g′) 1B = g′, unde s-au utilizat relaţiile (1) şi (2) precum şi asociativitatea compunerii funcţiilor. Dacă f este o funcţie inversabilă, atunci funcţia g definită de relaţiile (1), care este unică, se numeşte inversa funcţiei f şi se notează f –1. Se pune întrebarea, când este o funcţie inversabilă? Răspunsul este dat de următoarea teoremă.

Algebra I

Teorema 5

O funcţie f : A τ B este inversabilă dacă şi numai dacă este bijectivă. Demonstraţie. Să presupunem mai întâi că f este inversabilă şi să arătăm că f este injectivă şi surjectivă. Din faptul că f este inversabilă, rezultă că există f –1 : B → A astfel încât f –1 ) f = 1A şi f ) f –1 = 1B (3) Fie x1, x2 din A şi să presupunem că f(x1) = f(x2). Din prima dintre relaţiile (3) obţinem că x1 = 1A(x1) = (f –1) f )(x1) = f –1(f(x1)) = f –1(f(x2)) = = (f –1) f )(x2) = 1A(x2) = x2 . Deci f este injectivă. Fie y ∈ B. Din a doua dintre relaţiile (3) se obţine: y = 1B(y) = (f ) f –1)(y) = f(f –1(y)). Dacă se notează x = f –1(y), atunci y = f(x), ceea ce arată că f este şi surjectivă. Reciproc, presupunem că f este bijectivă. Definim funcţia g : B → A în modul următor. Fie y ∈ B. Deoarece f este surjectivă există x ∈ A astfel încât f(x) = y. Elementul x este unic determinat cu această proprietate, întrucât f este injectivă şi definim g(y) = x. Să dovedim că g ) f = 1A şi f ) g = 1B. Fie x ∈ A. Atunci, notând y = f(x), rezultă din definiţia lui g că g(y) = x şi deci g(f(x)) = x sau (g ) f)(x) = 1A(x). Rezultă atunci g ) f = 1A. Să arătăm acum că f ) g = 1B. Fie y ∈ B. Din definiţia lui g, g(y) = x, unde x este elementul din A pentru care f(x) = y. Atunci (f ) g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y = 1B(y), de unde obţinem că f ) g = 1B.

Observaţie

Din demonstraţia teoremei precedente rezultă că dacă f : A → B este o funcţie bijectivă, atunci funcţia sa inversă f –1 : B → A se defineşte după următorul procedeu: dacă b ∈ B, atunci f –1 (b) este unicul element a ∈ A astfel încât f(a) = b.

Exemple

1o. Fie funcţia f : A τ B asociată diagramei din figura 10. f(1) = c, f(2) = a, f(3) = e, f(4) = d, f(5) = b. Se vede că f este o funcţie bijectivă. Atunci există funcţia inversă f –1:B → A. Vom avea: f –1(a) = 2; f –1(b) = 5; f –1(c) = 1; f –1(d) = 4; f –1(e) = 3. Funcţia f –1 are următoarea diagramă (fig. 11). Se observă că diagrama funcţiei f–1 se obţine din aceea a lui f, inversând sensul săgeţilor.

Fig. 10

2o. Fie funcţia f : R τ R, f(x) = ax + b unde a, b χ R şi a γ 0. Această funcţie este bijectivă, deci putem vorbi de inversa sa. Fie y ∈ R. Atunci f –1(y) = x unde f(x) = y. Deci pentru y ∈ R trebuie să determinăm x ∈ R astfel încât f(x) = y sau ax + b = y. Din ax + b = y obţinem pe x = y −b 1 b 1 b = = y– şi deci f –1(y) = y – . a a a a a

Fig. 11

Fig. 12

97

Algebra I

Folosind notaţia cu x, funcţia inversă a lui f este f 1 b = x– . a a Presupunem că b γ 0.

–1

: R → R, f

–1

(x) =

 b  Considerăm punctele din planul xOy: P1 ( 0, b ) ; P2  − , 0  respectiv  a  b  Q1 ( b, 0 ) , Q2  0, −  . Se observă că P1 şi Q1 (respectiv P2 şi Q2) sunt a  simetrice faţă de prima bisectoare. Cum graficul funcţiei f este dreapta ce trece prin punctele P1 şi P2, iar graficul funcţiei f –1 este dreapta ce trece prin punctele Q1 şi Q2 rezultă că aceste două drepte sunt simetrice faţă de prima bisectoare aşa cum se vede din figura 12.  x − 2, dacă x ≤ 3, Să se arate că funcţia 3. Fie funcţia f : R → R, f(x) =  2 x − 5, dacă x > 3 f este bijectivă şi să se calculeze inversa sa. Soluţie. Să arătăm, mai întâi, că f este injectivă. Pentru aceasta, fie x1, x2 ∈ R. Distingem cazurile: 1º x1, x2 ≤ 3. Dacă f(x1) = f(x2), atunci x1 – 3 = x2 – 3, de unde x1 = x2. 2º x1, x2 > 3. Dacă f(x1) = f(x2), atunci 2x1 – 5 =2x2 – 5, de unde x1 = x2. 3º x1 ≤ 3, x2 > 3. Avem x1 ≠ x2, iar f(x1) = x1 – 2 ≤ 1 şi f(x2) = 2x2 – 5 > 1, de unde f(x1) ≠ f(x2). Deci f este funcţie injectivă. Să arătăm acum că f este surjectivă. Pentru aceasta, fie y ∈ R. Distingem cazurile: 1º y ≤ 1. Dacă f(x) = y, atunci x – 2 = y, de unde x = y + 2 ≤ 3. y +5 2º y > 1. Dacă f(x) = y, 2x – 5 = y, de unde x = > 3. 2 Deci oricare ar fi y ∈ R există x ∈ R astfel încât y = f(x): dacă y ≤ 1, y +5 atunci x = y + 2, iar dacă y > 1, atunci x = . 2  y + 2, dacă y ≤ 1,  –1 –1 Atunci inversa funcţiei f este f : R → R, f (y) =  y + 5  2 , dacă y > 1. Interpretarea geometrică a inversei unei funcţii numerice Am văzut că pentru funcţia f : R τ R, f(x) = ax + b unde a γ 0 şi b γ 0, graficele funcţiilor f şi f –1 sunt două drepte simetrice în raport cu prima bisectoare. Vom arăta acest lucru rămâne valabil pentru orice funcţie numerică. Fie f : A τ B o funcţie numerică inversabilă şi f –1 : B τ A funcţia inversă a lui f. Fie M(x0, y0) un punct al graficului funcţiei f. Atunci y0 = şi deci x0 = f(x0) = f –1(y0). Rezultă că punctul M' (y0, x0) aparţine graficului funcţiei f –1 (reprezentat punctat în figura 13). Dar M şi M' sunt Fig. 13

98

Algebra I

simetrice faţă de bisectoarea unghiului xOy (numită prima bisectoare)*. Rezultă că graficele funcţiilor f şi f –1 sunt simetrice faţă de prima bisectoare. Monotonia funcţiei numerice inversabile Fie f : A τ B o funcţie numerică care este inversabilă. În acest caz putem vorbi de inversa sa f –1 : B τ A. Următorul rezultat caracterizează monotonia unei funcţii inversabile. Teorema 6

Presupunem că funcţia numerică f : A τ B este inversabilă având inversa f –1 : B τ A. Atunci f este strict monotonă dacă şi numai dacă f –1 este strict monotonă. Demonstraţie. Reamintim că faţă de compunerea funcţiilor avem egalităţile: f –1) f = 1A şi f ) f –1 = 1B unde 1A (respectiv 1B) este funcţia identică a mulţimii A (respectiv a mulţimii B). Presupunem că f este strict crescătoare şi fie b1, b2 χ B cu b1 < b2. Punem a1 = f –1(b1), a2 = f –1(b2). Atunci a1 γ a2 deoarece, dacă am avea a1 = a2 , ar rezulta f(a1) = f(f –1(b1)) = (f)f–1)(b1) = 1B(b1) şi analog f(a2) = b2. Cum f(a1) = f(a2) rezultă că b1 = b2, contradicţie. Cum a1 γ a2 şi sunt numere reale avem a1 < a2 sau a1 > a2. Dacă a1 < a2, atunci din b1 < b2 rezultă f –1(b1) < f –1(b2). Dacă a1 > a2 atunci, cum funcţia f este strict crescătoare, avem că f(a1) > f(a2). Dar cum b1 = f(a1) şi b2 = f(a2) obţinem că b1 > b2, contradicţie. În concluzie avem f –1(b1) < f –1(b2) oricare ar fi b1, b2 χ B cu b1 < b2 şi deci f –1 este strict crescătoare. Analog, dacă f este strict descrescătoare se arată că f –1 este strict descrescătoare. Cum f este inversa funcţiei f –1 rezultă că şi reciproca este adevărată.

*

Într-adevăr, cum OP = OQ şi MP = M'Q, rezultă că triunghiurile OPM şi OQM' sunt congruente. Deci, OM = OM', Pe de altă parte POM η QOM ' şi deci MOR η M'OR. În triunghiul MOM′ care este isoscel, OR este bisectoare, deci şi mediană. Rezultă că MR = M′R, adică M şi M′ sunt simetrice faţă de dreapta OR.

99

Algebra I

Test de autoevaluare 2

1. Fie A o mulţime finită şi f : A τ A o funcţie. Să se arate că: f este injectivă ⇔ f este surjectivă ⇔ f este bijectivă.

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

3 x − 2, dacă x ≤ 2, 2. Fie funcţia f : R τ R, definită prin f ( x ) =  2 .  x , dacă x > 2. Să se arate că f bijectivă şi să se calculeze inversa sa.

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 152 a acestei unităţi de învăţare.

100

Algebra I

3.3. Funcţia de gradul al doilea 3.3.1. Graficul funcţiei de gradul al doilea. Exemple

Definiţie

Observaţii

Fiind date numerele reale a, b, c cu a γ 0, funcţia f:RτR 2 definită prin formula: f(x) = ax + bx + c se numeşte funcţie de gradul al doilea cu coeficienţii a, b, c. 1) Domeniul şi codomeniul funcţiei de gradul al doilea este mulţimea numerelor reale. Deci funcţia de gradul al doilea este o funcţie numerică. 2) Deoarece domeniul şi codomeniul funcţiei de gradul al doilea este R vom indica această funcţie astfel: f(x) = ax2 + bx + c sau y = ax2 + bx + c. 3) O funcţie de gradul al doilea f : R τ R, f(x) = ax2 + bx + c este perfect determinată când se cunosc numerele reale a, b, c (a γ 0). 4) Trebuie să observăm că în definiţia funcţiei de gradul al doilea condiţia a γ 0 este esenţială în sensul că ipoteza a = 0 conduce la funcţia de gradul întâi. 5) Denumirea de funcţie de gradul al doilea provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea ax2 + bx + c. Ne propunem să construim graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c, a γ 0. Aceasta o facem cu scopul de a pune în evidenţă elementele principale ale graficului funcţiei de gradul al doilea şi de a avea posibilitatea ca atunci când studiem funcţia de gradul al doilea să interpretăm din punct de vedere geometric proprietăţile obţinute. Graficul funcţiei de gradul al doilea îl vom face în mai multe etape. 1. Graficul funcţiei f(x) = x2 (Legea de asociere a acestei funcţii se poate exprima foarte simplu şi în cuvinte : „fiecărui număr real i se asociază pătratul său”.) Trasarea graficului f(x) = x2 se face prin „puncte”. Mai precis se asociază următorul tabel de valori funcţiei f(x) = x2: x

… –3

–2

–1

f(x) = x2

… 9

4

1

1 2

0

1/4

0

−

1 2

1

2

3 …

1/4

1

4

9 …

−

Reprezentăm într-un sistem de axe xOy punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel. Punctele obţinute le unim printr-o linie continuă ca în figura 1. (Facem observaţia că punctele reprezentate nu se unesc cu segmente ca în figura 2.)

101

Algebra I

y

y

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–3 –2 –1

1

2

3

x’

x

y’

Fig. 1

Fig. 2

Curba obţinută se numeşte parabolă. Pentru a obţine o construcţie cât mai exactă a acestei parabole, trebuie să reprezentăm cât mai multe puncte ale graficului. Parabola funcţiei f(x) = x2 are următoarele proprietăţi importante: 1o ea se găseşte deasupra axei x'x; trece prin originea axelor şi punctul O are cea mai mică ordonată (egală cu zero) dintre toate punctele de pe parabolă. Punctul O se numeşte vârful parabolei. 2o aşa y'y este axă de simetrie pentru parabolă. Într-adevăr, dacă P(α, α2) este un punct al graficului, cum α2 = (–α)2, şi P' (–α, α2) aparţine graficului. Dar punctele P şi P ' sunt simetrice faţă de y'y. 1′. Graficul funcţiei f(x) = –x2 (Legea de asociere a funcţiei f se poate exprima şi în cuvinte: „fiecărui număr real i se asociază opusul pătratului său”.) y În fig.3 am reprezentat punctat graficul funcţiei f1(x) = x2. Graficul funcţiei f(x) = –x2 P(∝, ∝2) se poate obţine prin simetria faţă de axa x'x, a graficului funcţiei f1(x) = x2. x’ O Într-adevăr dacă P(α, α2) este un punct al graficului funcţiei f1(x) = x2, atunci P’(∝, –∝2) simetricul său faţă de axa x'x este punctul y’ P' (α, –α2).Cum f(α) = –α2, atunci P' se Fig. 3 găseşte pe graficul funcţiei f(x) = –x2. 2 Graficul funcţiei f(x) = –x se numeşte, de asemenea, parabolă. Ea se găseşte sub axa x'x. Axa y'y este axă de simetrie, iar O are cea mai mare ordonată dintre toate punctele graficului f(x) = –x2. Punctul O se numeşte, de asemenea, vârful parabolei funcţiei f(x) = –x2. În practică construcţia graficului funcţiei f(x) = –x2 se face tot prin „puncte”, ca la funcţia f1(x) = x2. 2. Graficul funcţiei f(x) = ax2 (a γ 0). Graficul aceste funcţii se construieşte ca şi în cazul funcţiei f1(x) = x2 tot prin „puncte”. 102

Algebra I

Curba obţinută se numeşte, de asemenea, parabolă. Să vedem care este poziţia graficului funcţiei f(x) = ax2 în raport cu graficele funcţiilor f1(x) = x2 şi f2(x) = – x2. (Funcţiile f1(x) = x2 şi f2(x) = – x2 sunt cazuri particulare ale funcţiei f(x) = ax2, când a = 1 şi respectiv a = –1.) Cazul a > 0. În fig.4 am reprezentat punctat graficul funcţiei f1(x) = x2. Fie P(α, α2) un punct de pe acest grafic. Dacă a > 1, atunci punctul P1(α, aα2) aparţine graficului funcţiei f(x) = ax2 şi cum aα2 > α2, atunci ramurile parabolei funcţiei f(x) = ax2 se găsesc între ramurile parabolei f1(x) = x2. Dacă 0 < a < 1 atunci punctul P2(α, aα2) aparţine graficului funcţiei f(x) = ax2 şi cum α2 > aα2, atunci ramurile parabolei funcţiei f(x) = ax2 se găsesc sub ramurile parabolei f1(x) = x2. Cu cât a este mai mare ramurile parabolei f(x) = ax2 se depărtează mai lent de axa y'y care este axă de simetrie. Originea O este cea mai mică ordonată dintre toate punctele graficului funcţiei f(x) = ax2. Acest punct se va numi, de asemenea, vârful parabolei acestei funcţii. Cazul a < 0. Graficul funcţiei f(x) = ax2 este simetricul faţă de axa x'x al graficului f '(x) = – ax2, unde – a > 0. Diversele poziţii ale graficului funcţiei f(x) = = ax2se obţin din cazul precedent (fig. 5). Axa y'y rămâne axă de simetrie, iar punctul O care are cea mai mare ordonată dintre toate punctele graficului funcţiei f(x) = ax2 se va numi vârful graficului. y y

x’

O

x’

P2

x

O

x

y’

Fig. 4

Fig. 5

3. Graficul funcţiei f(x) = ax2 + c (a γ 0) Vom considera funcţia g(x) = ax2. Fie P(x0, y0) un punct al graficului funcţiei f(x) = = ax2 + c (fig.V.6). Atunci: y0 = ax02 + c de unde:

y 0 − c = ax sau y 0 − c = g ( x0 ) . Deci punctul P'(x0, y0 – c) aparţine graficului funcţiei g(x) = ax2, reprezentat punctat în figura 6. 2 0

y

P’(x0, y0 – c)

x’

O

P(x0, y0)

Fig. 6

103

Algebra I y

y

V(0,c) c

O

x’

a > 0 şi c ≥ 0

x

x’

O

y’

y’

c

a > 0 şi c ≤ 0

V(0,c)

y

V(0,c) c x’

O

a < 0 şi c ≥ 0

c a < 0 şi c ≥ 0 V(0,c)

x’

y’ Fig. 7

Rezultă că graficul f(x) = ax2 + c se obţine din graficul funcţiei g(x) = ax2, printr-o translaţie de-a lungul axei y'y, cu o cantitate egală cu c (dacă c > 0, translaţia se face în sus, iar dacă c < 0, translaţia se face în jos). Axa y'y este axă de simetrie a graficului funcţiei f(x) = ax2 + c. Graficul funcţiei f(x) = ax2 + c se numeşte parabolă, iar punctul V(0, c) se numeşte vârful parabolei. În figura 7 sunt date diferitele poziţii ale graficului funcţiei f(x) = ax2 + c în raport cu valorile numerelor a şi c. 4. Graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c (a γ 0) ax2 + bx + c se poate scrie sub forma: 2 2 b  b 2 − 4ac b  −Δ   2 − = a x + + ax + bx + c = a  x + ,   2a  4a 2a  4a   unde am notat cu Δ = b2 – 4ac (Δ este discriminantul ecuaţiei ax2 + bx + c = 0). Este clar că pentru orice număr real x χ R avem: 2

b  −Δ  + f (x) = a x + 2a  4a 

(1)

Egalitatea (1) se numeşte forma canonică a funcţiei f. Trecem acum la construirea graficului funcţiei f(x) = ax2 + bx + c. −Δ Considerăm funcţia de gradul al doilea g ( x ) = ax 2 + . În figura 8 am 4a reprezentat punctat graficul funcţiei g, având pe y'y ca axă de simetrie şi cu  −Δ  vârful în V '  0, . Fie P(x0, y0) un punct pe graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx   4a  + c. Din egalitatea (1) se obţine:

104

Algebra I 2

b  −Δ  + y 0 = f ( x0 ) = a  x0 + 2a  4a 

sau b   y 0 = g  x0 + . 2a   b   Rezultă că punctul P '  x0 + ,y 0  aparţine graficului funcţiei g. Se 2a   observă că P se obţine din P ' făcând o translaţie paralelă cu axa x'x cu o −b cantitate egală cu . Deci graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c se obţine 2a −Δ printr-o translaţie paralelă cu axa x'x, din graficul funcţiei g ( x ) = ax 2 + 4a −b cu o cantitate egală cu 2a y −b ( dacă > 0, translaţia se face spre 2a −b < 0, translaţia se dreapta, iar dacă 2a face spre stânga). A(0, c)

Cum y'y este axă de simetrie pentru −b x’ graficul funcţiei g, atunci dreapta x = 2a V' este axă de simetrie pentru graficul 2 funcţiei f(x) = ax + bx + c. Graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c se numeşte  −b −Δ  parabolă, iar punctul V  ,  se  2a 4a  numeşte vârful parabolei. Graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c intersectează axa y'y în punctul A (0, f(0)), unde f(0) = c.

P’

P(x0,y x

Δ    0,−   4a 

V − 

b 2a

,−

Δ

 

4a 

y’ Fig. 8

105

Algebra I

Urmărind figura 9 obţinem diferite poziţii ale graficului funcţiei f(x) = ax2 + bx + c în raport de valorile lui a şi Δ. În figura 9, punctat, am −Δ reprezentat graficul funcţiei g ( x ) = ax 2 + . 4a y

y

V

(

Δ

b −

,− 2a

4a

)

O

x’

x

O

x’

a > 0 şi Δ < 0

y’

y’

y

O

x’



y’

b 2a

,−

O

− b , − Δ     2a 4a 

Δ

x

 

a > 0 şi Δ > 0

y’

V

− , 0    2a  b

O

y’

x

− b , − Δ     2a 4a  O

y’

a < 0 şi Δ = 0

a < 0 şi Δ < 0

y

x’

Fig. 9

106

a > 0 şi Δ = 0

4a 

y

x’

x

x V −

V

− b , 0    2a 

y

x’ V

V

x

a < 0 şi Δ > 0

Algebra I

Exemplu

Să construim graficul funcţiei y f(x) = 2x2 – 8x + 9. Cum Δ = b2 – 4ac = 64 – 72 = –8 şi b −8 = = −2 rezultă că forma canonică a 2a 4 funcţiei este f(x) = 2(x – 2)2 + 1. Graficul funcţiei îl construim astfel: 1) Prin puncte construim graficul funcţiei 1 V (2, 1) este g(x) = 2x2. 2 O x’ x 2) Translatăm parabola funcţiei g(x) = 2x de-a lungul axei y'y cu cantitatea 1. Acesta y’ este graficul funcţiei h(x) = 2x2 + 1 (a se Fig. 10 vedea figura V. 10). 3) Facem o translaţie paralelă cu axa x'x, cu cantitatea 2, a graficului funcţiei h(x) = 2x2 + 1 şi obţinem graficul funcţiei f(x) = 2x2 – 8x + 9. Vârful acestui grafic este punctul V(2, 1), iar axa sa de simetrie este dreapta x = 2 (a se vedea figura 10). Interpretarea geometrică a rezolvării ecuaţiei de gradul al doilea

ax2 + bx + c = 0, (a γ 0). Din figura 9 rezultă următoarele: 1o Graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c intersectează axa x'x în două puncte distincte dacă şi numai dacă Δ = b2 – 4ac > 0. Punctele de intersecţie ale acestui grafic cu axa x'x sunt punctele de coordonate B1(x1, 0) şi B2(x2, 0), unde x1 şi x2 sunt rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx + c = 0. Reamintim că aceste rădăcini sunt date de formulele: −b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac şi x2 = . 2a 2a x + x2 b −b , atunci 1 = − . Rezultă că axa de simetrie a Cum x1 + x2 = a 2 2a 2 + bx + c trece prin punctul de coordonate graficului funcţiei f(x) = ax  x1 + x2   2 ,0  .   o 2 Graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c intersectează axa x'x într-un singur punct (spunem în acest caz că axa x'x este tangentă la grafic) dacă şi numai dacă Δ = b2 – 4ac = 0. Punctul de intersecţie al graficului cu axa  −b  x'x este V  ,0  care este şi vârful graficului.  2a  Ecuaţia f(x) = ax2 + bx + c = 0 are în acest caz două rădăcini reale egale: −b x1 = x2 = . 2a 3o Graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c nu intersectează axa x'x dacă şi numai dacă Δ = b2 – 4ac < 0, ceea ce este echivalent cu faptul că ecuaţia nu are nici o rădăcină reală. x1 =

107

Algebra I

3.3.2. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea Considerăm funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a γ 0. Am 2 b  −Δ  văzut că pentru orice x χ R avem: f ( x ) = a  x + + . 2a  4a  2

2

b  b    Cazul a > 0. Cum  x + ƒ 0, de unde prin ≥ 0, atunci şi a  x +  2a  2a    2

−Δ −Δ −Δ b   obţinem că a  x + + ƒ .  4a 4a 4a 2a   −Δ Deci f(x) ƒ , oricare ar fi x χ R. (1) 4a 2 b  −b  , atunci Cum egalitatea  x + = 0 are loc numai când x =  2a 2a   −b  −b  −Δ  −b  −Δ avem f  pentru x = = . Inegalitatea (1) arată că f   = 2a  2a  4a  2a  4a −Δ este cea mai mică dintre valorile funcţiei f. Numărul real se numeşte 4a −b este valoarea argumentului x în care se minimul funcţiei f, iar valoarea 2a realizează acest minim.

adunarea cantităţii constante

2

2

b  b    Cazul a < 0. Cum  x + ≥ 0 şi a < 0, rezultă a  x + ≤ 0 , de  2a  2a    −Δ unde prin adunarea cantităţii constante obţinem că: 4a 2

b  −Δ −Δ −Δ  , oricare ar fi x χ R. a x + + ≤ . Deci obţinem că: f(x)  4a 2a  4a 4a  (2)  −b  −Δ care, împreună cu inegalitatea Am văzut mai înainte că f  =  2a  4a  −b  −Δ este cea mai mare dintre valorile funcţiei f. (2), arată că f  =  2a  4a −Δ −b Cantitatea se numeşte maximul funcţiei f, iar este valoarea 4a 2a argumentului x în care se realizează acest maxim.

Concluzii. 1) Dacă a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal −Δ −b , minim ce se realizează pentru x = . cu 4a 2a −Δ , 2) Dacă a < 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cu 4a −b . maxim ce se realizează pentru x = 2a 108

Algebra I

Interpretarea geometrică În cazul a > 0, parabola funcţiei f(x) = ax2 + bx + c are ramurile îndreptate în sus (spre y pozitiv). În acest caz minimul funcţiei este egal cu ordonata vârfului graficului, iar valoarea lui x în care se realizează acest minim este abscisa vârfului graficului (fig. 11).

y

V

 b Δ  − ,−   2a 4a 

O

x Fig. 11

y

În cazul a < 0, parabola are ramurile îndreptate în jos (spre y negativ). În acest caz maximul funcţiei este, de asemenea, egal cu ordonata vârfului graficului, iar valoarea lui x unde se realizează acest maxim este, de asemenea, egală cu abscisa vârfului graficului (fig. 12).

Exemple

V − 

x’

O

b 2a

,−

Δ

 

4a 

x

y’ Fig.12

1) Fie funcţia f(x) = x2 – 4x + 1. Cum a = 1 > 0, această funcţie are un 16 − 4 −Δ minim egal cu = − = −3 . Acest minim se realizează pentru 4 4a −b 4 x = = = 2. 2a 2 2) Fie funcţia f(x) = –2x2 + 2x + 1. Cum a = –2 < 0, funcţia f are un 4 + 8 12 3 −Δ maxim egal cu = − = = . Acest maxim se realizează pentru x −8 8 2 4a −b 1 = = . 2a 2

3.3.3. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea În secţiunea 3.1. am introdus conceptul de funcţie monotonă şi legat de aceasta, intervalele de monotonie a unei funcţii numerice. Vom aplica această teorie pentru funcţia de gradul al doilea. Rezultatul principal este cuprins în teorema următoare: Teorema 7

Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a γ 0. 1o Dacă a > 0, funcţia f este strict descrescătoare pe intervalul −b    −b   −∞, 2a  şi strict crescătoare pe intervalul  2a , +∞  .     −b   2o Dacă a < 0, funcţia f este strict crescătoare pe intervalul  −∞,  şi 2a    −b  strict descrescătoare pe intervalul  , +∞  .  2a 

109

Algebra I

Demonstraţie. Vom calcula rata creşterii (descreşterii) funcţiei f. Avem pentru x1, x2 χ R, x1 γ x2 că: ax12 + bx1 + c − ax22 + bx2 + c f ( x1 ) − f ( x2 ) R(x1, x2) = = = x1 − x2 x1 − x2

(

(

) (

)

)

a x12 − x22 + b ( x1 − x2 )

= a ( x1 + x2 ) + b. x1 − x2 Pentru a determina intervalele de monotonie este suficient să determinăm semnul expresiei a(x1 + x2) + b. −b  −b  Fie a > 0 şi x1, x2 χ  −∞,  astfel încât x1 < x2. Deci avem x1 < x2 2a  2a  −b de unde obţinem că x1 + x2 < 2 x2 ≤ . Folosind semnul funcţiei de gradul I a −b   avem că a(x1 + x2) + b < 0 şi ca atare R(x1, x2) < 0. Deci pe intervalul  −∞,  2a    −b  funcţia este strict descrescătoare. Dacă considerăm x1, x2 χ  , +∞  astfel  2a  b şi deci a(x1+x2) + b>0. încât x1 < x2 obţinem că x1+x2 > 2x1 ƒ − a  −b  Deci R(x1, x2) > 0 care ne arată că pe intervalul  , +∞  funcţia f este strict  2a  crescătoare. Cazul a < 0. Se poate considera funcţia – f = (–a)x2 + (–b)x + (–c) unde –a > 0. Este foarte sugestiv a se transpune afirmaţiile 1o şi 2o din teorema de mai sus în următoarele tabele: =

x

–∞

f(x)

−b 2a −Δ 4a

+∞

minim x f(x)

–∞

−b 2a −Δ 4a

+∞

maxim

În ambele tabele, înclinaţia săgeţilor indică intervalul pe care funcţia este strict descrescătoare sau strict crescătoare. Definiţie

110

−b    −b  Intervalele  −∞,  şi  , +∞  se numesc intervale de monotonie ale 2a    2a  funcţiei f.

Algebra I

Interpretare geometrică Cazul a > 0. Parabola funcţiei f(x) = ax2 + bx + c are ramurile în sus (fig. 13). Fie P(x0, y0) un punct arbitrar pe parabolă având proiecţia pe axa  −b  x'x în Q. Când Q se apropie de la stânga la dreapta de punctul A  ,0  ,  2a  atunci punctul P coboară. Când punctul Q se îndepărtează de punctul A spre dreapta, punctul P urcă pe ramura din dreapta a parabolei. y P(x0,y )

P(x0,y )

y0

V  −

Q x’

y

A O y’

−

b

Δ

Q



Q

A

x’

 ,−   2a 4a  b

V −

O

−

b 2a

,−

Δ

 

4a 

Q x

b 2a

P(x0,y0)

x

2a

P(x0,y0)

y’

Fig. 13

Fig. 14

Cazul a < 0. Parabola funcţiei f(x) = ax2 + bx + c are ramurile în jos (fig. 14). Când Q se apropie de punctul A de la stânga la dreapta, punctul P urcă pe ramura din stânga a parabolei, iar când Q se îndepărtează de A spre dreapta, punctul P coboară pe ramura din dreapta a parabolei.

Exemple

−b 1 = , funcţia este strict 2a 4 1  1  descrescătoare pe intervalul  −∞,  şi strict crescătoare pe intervalul  , +∞  . 4  4  Tabelul asociat este următorul:

1) Fie funcţia f(x) = 2x2 – x + 1. Cum a = 2 şi

x

–∞

f(x) = 2x2 – x + 1

1 4 7 8

+∞

minim

−b = 0, funcţia este 2a strict crescătoare pe intervalul (–∞, 0] şi strict descrescătoare pe intervalul [0, +∞). Tabelul asociat este următorul:

2) Fie funcţia f(x) = –x2 + 2. Cum a = –1 < 0 şi

x f(x) = –x2 + 2

–∞

0 2 maxim

+∞

111

Algebra I

3.3.4. Tabelul de variaţie şi trasarea graficului funcţiei de gradul al doilea Am văzut că graficul funcţiei f(x) = ax2 + bx + c se poate construi în mai multe etape pornind de la funcţii simple al căror grafic îl construim prin „puncte” şi apoi se fac una sau două translaţii. Dar în practică se construieşte graficul prin „puncte”, adică se reprezintă un număr cât mai mare de puncte ale graficului care apoi se unesc între ele cu linii continue, iar figura geometrică ce se obţine constituie o reprezentare aproximativă a parabolei funcţiei f. Pentru a obţine o reprezentare cât mai bună a graficului funcţiei date, alegerea punctelor care se reprezintă nu se face la întâmplare. Se procedează astfel: Se face un tabel numit tabel de variaţie al funcţiei f în care se trec următoarele date: 1) Valoarea x = 0 şi valoarea f(0). Punctul A (0, f(0)) reprezintă intersecţia graficului cu axa y'y. 2) Rădăcinile x1 , x2 ale ecuaţiei ax2 + bx + c = 0 când acestea există. Punctele B1(x1, 0) şi B2(x2, 0) reprezintă intersecţia graficului cu axa x'x. −b  −b  −Δ  −b −Δ  şi valoarea f  3) Valoarea x = = . Punctul V  ,   2a  2a  4a  2a 4a  −Δ reprezintă vârful graficului. În tabel se mai specifică dacă este un 4a minim sau un maxim. (La trasarea graficului se are în vedere că dreapta −b este axă de simetrie.) x= 2a 4) Se indică prin săgeţi intervalele de monotonie ale funcţiei. 5) Pentru a obţine o reprezentare cât mai exactă a graficului, în tabel se trec eventual şi alte valori ale lui x, precum şi valorile corespunzătoare f(x). Exemplu

Să se reprezinte graficul funcţiei f(x) = x2 + 2x – 3. Tabelul de variaţie al funcţiei este: x f(x) = x2 + 2x – 3

–∞

–3 0

–1 –4 minim

Punctul A(0, –3) este la intersecţia graficului cu axa y'y. Punctele B1 (–3, 0) şi B2(1, 0) sunt intersecţiile graficului cu axa x'x, iar V(–1, –4) este vârful parabolei. Graficul funcţiei f(x) = x2 + 2x – 3 este dat în figura 15.

0 –3

1 0

+∞

y B1(–3,0)

B2(1,0)

x’

O

x

A(0,–3) V(–1,–4)

y’

Fig. 15

112

Algebra I

3.3.5. Semnul funcţiei de gradul al doilea A studia semnul funcţiei de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a γ 0, înseamnă a determina valorile lui x pentru care f(x) este un număr pozitiv şi valorile lui x pentru care f(x) este negativ. În studiul semnului funcţiei f(x) = ax2 + bx + c, un rol important îl joacă discriminantul Δ = b2 – 4ac. Vom avea următoarele cazuri: 2 b   1. Cazul Δ < 0. Folosim forma canonică a funcţiei: f(x) = a  x + + 2a   2

+

2

−Δ b  b    este pătrat perfect atunci  x + ƒ 0. Dacă a > . Cum  x +  4a 2a  2a    2

b  −Δ  0, atunci a  x + ƒ 0 şi > 0 care, adunate, dau  2a  4a  2

b  −Δ  + a x + > 0.  2a  4a  Deci, în acest caz, pentru oricare x χ R, avem f(x) > 0. Dacă a < 0, atunci b   a x + 2a  

2

0 şi

−Δ <0 4a

2

−Δ b   care, adunate, dau a  x + + < 0.  4a 2a   Deci în acest caz, pentru oricare x χ R, f(x) < 0. Putem enunţa regula: Dacă Δ < 0, atunci f(x) are acelaşi semn ca al lui a, oricare ar fi x χ R. Acest rezultat se trece într-un tabel în felul următor: x f(x)

–∞

+∞ semnul lui a

Grafic tabelul este transpus în figura 16. y

––––––––

y ––––––– O

x ++++++++ +++++++ Δ<0, a>0

O

x

Δ < 0, a < 0 Fig. 16 2

b   . 2. Cazul Δ = 0. În acest caz, pentru orice x χ R avem f(x) = a  x + 2a   2

2

−b b  b    Dacă x γ , atunci  x + γ 0 şi deci  x + > 0.  2a 2a  2a   

113

Algebra I

Rezultă că pentru orice x γ

−b semnul lui f(x) este acelaşi cu al lui a. 2a

−b , atunci f(x) = 0. Putem enunţa regula: 2a Dacă Δ = 0, atunci f(x) are acelaşi semn cu al lui a, oricare ar fi xχ R, −b cu excepţia lui x = , unde f ia valoarea zero. 2a Acest rezultat se trece în tabelul următor:

Dacă x =

x

–∞

+∞

−b

semnul lui a

f(x)

2a 0

semnul lui a

Grafic tabelul este transpus în figura 17. y

y −

b

– – – – – –2a–

++++++ Δ=0, a>0

O

+

–––––––– O x

+++ −

b

x

2a

Δ=0, a<0 Fig. 17

3. Cazul Δ > 0. În acest caz ecuaţia ax2 + bx + c = 0 are două rădăcini reale x1 şi x2, distincte. Mai mult, expresia ax2 + bx + c se descompune în factori de gradul întâi: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2). Deci, pentru orice x χ R, avem f(x) = a(x – x1) (x – x2). Cum x1 γ x2 putem presupune că x1 < x2. Dacă numărul real x nu aparţine intervalului [x1, x2], atunci x < x1 sau x2 < x. Presupunem că x < x1, atunci şi x < x2. Deci x – x1 < 0 şi x – x2 < 0 de unde rezultă că (x – x1) (x – x2) > 0. În situaţia x2 < x avem x1 < x şi deci x – x1 > 0 şi x – x2 > 0, de unde rezultă că (x – x1) (x – x2) > 0. Deci, când x nu aparţine intervalului [x1, x2], obţinem (x – x1) (x – x2) > 0 şi deci semnul lui f(x) este acelaşi cu semnul lui a. Dacă x se găseşte între rădăcini, adică x1 < x < x2 atunci (x – x1) (x – x2) < 0 şi deci semnul lui f(x) este contrar semnului lui a. Când x = x1 sau x = x2, f(x) = 0. Putem enunţa regula: Dacă Δ < 0, atunci f(x) are semnul lui a în afara rădăcinilor şi are semn contrar lui a în intervalul dintre rădăcini, cu excepţia lui x = x1 şi x = x2, unde f ia valoarea zero. (x1, x2 sunt rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx + c = 0.) Acest rezultat se reprezintă în tabelul următor: x f(x)

114

–∞

x1 semnul lui a 0 semnul contrar lui a

x2 +∞ 0 semnul lui a

Algebra I

Grafic tabelul este transpus în figura 18.

y

y ––– +++++ ––––––– x1 x2 O x

++++++ O

––––– + x1 x2 x

Δ > 0, a > 0

Δ > 0, a < 0 Fig. 18

Exemple

1) Fie funcţia f(x) = x2 + 2x + 3. Cum Δ = 4 – 12 = –8 < 0, ne găsim în primul caz. Cum a = 1 > 0, tabelul semnului funcţiei este următorul: x f(x) = x2 + 2x + 3

–∞

+∞ +++++++++++++++++++++++

2) Fie funcţia f(x) = –x2 – 2x – 1. Cum Δ = 4– 4 = 0 şi a = –1, tabelul cu semnul funcţiei f este următorul: x

−b

–∞

f(x) = x2 + 2x + 3

2a

–––––––––

= −1

0

+∞ ––––––––

3) Fie funcţia f(x) = x2 – 3x + 2. Cum Δ = 9 – 8 = 2 > 0, atunci ecuaţia x2 – 3x + 2 = 0 are rădăcini reale şi distincte. Acestea sunt x1 = 1 şi x2 = 2. Tabelul semnului funcţiei este următorul: –∞ f(x) = x2 – 3x + 2

1 2 ++ +++ + + 0 – – –--- –-- – 0

+∞ ++++++ +

115

Algebra I

Test de autoevaluare 3

1)

Să se determine funcţia de gradul al doilea f ( x ) = ax 2 + bx + c , ştiind că admite un minim egal cu 9 şi graficul funcţiei trece prin punctele A (-1, 13) şi B (2, 10).

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

2)

x 2 − 3x + 2 Să se determine lmf pentru funcţia f : R τ R, f ( x ) = 2 . x + x +1

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 153 a acestei unităţi de învăţare.

116

Algebra I

3.4. Studiul unor funcţii putere 3.4.1. Funcţia putere cu exponent natural nenul. Fie n un număr natural nenul. Definim funcţia f : R τ R, f(x) = xn. Această funcţie se numeşte funcţia putere de gradul n. Observaţii

Teorema 8

1. Funcţia putere este o funcţie numerică. 2. Pentru n = 1 se obţine funcţia de gradul întâi f(x) = x, iar pentru n = 2 se obţine funcţia de gradul al doilea f(x) = x2. 1o Dacă n este un număr par nenul, atunci funcţia f(x) = xn este strict descrescătoare pe intervalul (–∞, 0] şi strict crescătoare pe intervalul [0, ∞). 2o Dacă n este un număr impar atunci funcţia f(x) = xn este strict crescătoare pe R. Demonstraţie. 1o Presupunem că n este par, adică n = 2m şi fie x1, x2 χ [0, +∞) astfel încât x1 < x2. Folosind proprietăţile puterilor, avem că x1n < x2n unde n este număr natural nenul oarecare. În particular, x12 m < x 22 m , adică f(x1) < f(x2). Rezultă că funcţia f(x) = x2m este strict crescătoare pe intervalul [0, ∞). Fie acum x1, x2 χ (–∞, 0] astfel încât x1 < x2. Cum x1 < x2 0, atunci (–x1) > (–x2) ƒ 0 şi deci (–x1)2m > (–x2)2m , adică x12 m >x 2m 2 . Prin urmare f(x1) > f(x2), ceea ce ne arată că f este strict descrescătoare pe intervalul (–∞, 0]. 2o Presupunem acum că n este impar, adică n = 2m + 1 şi fie x1 < x2. 0, atunci Dacă 0 x1 < x2, la fel ca mai sus avem x12m <x 2m 2 . Dacă x1 < x2 (–x1) > (–x2) ƒ 0 şi deci (–x1)2m+1 > (–x2)2m+1, adică − x12 m+1 > − x 22 m+1 . Prin urmare, x12 m +1<x 2m+1 . 2 Dacă x1 < 0 şi x2 ƒ 0, atunci x12m +1 este un număr negativ, iar x22m +1 ƒ 0 şi deci în acest caz avem x12 m +1<x 2m+1 . În concluzie, din x1 < x2 se 2 , adică f(x1) < f(x2), adică funcţia f(x) = x2m+1 este strict obţine x12m +1<x 2m+1 2 crescătoare pe R.

Teorema 9

Dacă n este un număr par, funcţia putere f(x) = xn este o funcţie pară. Dacă n este un număr impar, funcţia putere f(x) = xn este impară. Demonstraţie. Dacă n = 2m, atunci f(– x) = (– x)2m = x2m = f(x) şi deci funcţia f(x) = x2m este pară. Dacă n = 2m + 1, atunci f( – x) = (– x)2m+1 = – x2m+1 = = –f(x) şi deci funcţia f(x) = x2m+1 este impară. Interpretare geometrică. Fie f : A τ B o funcţie numerică unde mulţimea A este simetrică. În secţiunea 3.1.2.am arătat că, dacă f este o funcţie pară, atunci y′y este axă de simetrie pentru graficul funcţiei f, iar dacă f

117

Algebra I

este o funcţie impară, atunci originea axelor O este centru de simetrie al graficului funcţiei f. Graficul funcţiei putere f(x) = xn pentru n = 3, 4 1. Funcţia f(x) = x3. Trasarea graficului funcţie f(x) = x3 se face prin „puncte”. Mai exact, funcţiei f(x) = x3 i se asociază următorul tabel de valori: x

–∞

f(x) = x3.

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

–64

–27

–8

–1

0

1

8

27

64

+∞

Reprezentăm într-un sistem de axe xOy, y punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel. Punctele obţinute le unim printr-o linie continuă. În figura 1 este schiţat graficul funcţiei f(x) = x3. Graficul acestei funcţii se numeşte parabolă O x’ x cubică. Parabola cubică are următoarele proprietăţi: y’ 1) Trece prin originea axelor, care este un Fig. 1 centru de simetrie (deoarece f(x) = x3 este funcţie impară); 2) Ramura din dreapta a graficului se găseşte deasupra axei x′x, iar ramura din stânga se găseşte sub axa x′x. Graficul funcţiei f(x) = x2m+1 (m ƒ 1) are o comportare asemănătoare cu Observaţie graficul funcţiei f(x) = x3. 2. Funcţia f(x) = x4. Graficul acestei funcţii se trasează tot prin „puncte”. Pentru această funcţie se asociază următorul tabel de valori: x f(x) = x4.

–∞

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

256

81

16

1

0

1

16

81

256

+∞

Punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel le reprezentăm într-un sistem rectangular de axe xOy. Punctele obţinute le unim printr-o linie continuă. În figura 2 este schiţat graficul funcţiei f(x) = x4. Graficul acestei funcţii are următoarele x’ O proprietăţi: 1o Se găseşte deasupra axei x'x şi trece prin originea axelor. Fig. 2 2o Axa y'y este axă de simetrie pentru graficul funcţiei f(x) = x4 (deoarece f(x) = x4 este o funcţie pară). Observaţie

118

Graficul funcţiei f(x) = x2m (m ƒ 1) are o comportare asemănătoare cu graficul funcţiei f(x) = x4.

Algebra I

3.4.2. Funcţia putere cu exponent întreg negativ Vom studia funcţia: f : R – {0} τ R, f(x) = x–n, n χ N*. Vom distinge două cazuri: 1) n = 2m; 2) n = 2m + 1. 1) f : R – {0} τ R, f(x) =

1 x 2m

.

2m 2m Am văzut că dacă 0 < x1 < x2, atunci x1 < x 2 , de unde

1

>

x12 m

1 x 22 m

şi

deci f este strict descrescătoare pe intervalul (0, +∞). 2m 2m Dacă x1 < x2 < 0, atunci x1 > x 2 şi deci

1 x12 m

<

1 x 22 m

, ceea ce ne arată

că f este strict crescătoare pe intervalul (–∞, 0). Cum x2m = (– x)2m, atunci f(x) = f(– x) şi deci f este o funcţie pară. 2) f : R – {0} τ R, f(x) =

1 x

2 m+1

.

Dacă 0 < x1 < x2, atunci 0 < x12 m+1 < x 22 m+1 , de unde

1 x12 m+1

>

1 x 22 m+1

şi deci f

este strict descrescătoare pe intervalul (0, +∞). Dacă x1 < x2 < 0, atunci x12 m+1 < x 22 m+1 < 0 şi deci

1 x12 m+1

>

1 x 22 m+1

, ceea ce

ne arată că f este strict descrescătoare şi pe intervalul (–∞, 0). Cum x2m+1 = – (– x)2m+1, atunci f(x) = – f(–x) şi deci f este o funcţie impară. Observaţie

Deşi funcţia f este strict descrescătoare pe intervalele (–∞, 0) şi (0, +∞) ea nu este strict descrescătoare pe mulţimea R – {0}. Într-adevăr, dacă x1 = –1, x2 = 1 atunci x1 < x2. Dar, f ( x1 ) = f (−1) =

1

(−1) 2m+1

= −1 şi f(x2) = f(1) = 1 şi

deci f(x1) < f(x2). Graficul funcţiei putere f(x) = xn, pentru n = –1 şi n = –2.

Funcţia f : R – {0} τ R, f(x) = x–1. Trasarea graficului se face prin „puncte”. Pentru aceasta asociem următorul tabel de valori: x f(x) = x-1

–∞ –100 –10 –2 –1 −

−

1 1 1 1 1 1 − − 1 2 10 100 +∞ 2 10 100 100 10 2

1 1 1 − − –1 –2 100 10 2

–10 – 100 100 10 2 1

1 1 1 2 10 100

În acest tabel se vede că pentru valori din ce în ce mai mari ale lui |x|, f(x) se „apropie“ de zero, iar pentru valori din ce în ce mai mici ale lui |x|, f(x) ia valori din ce în ce mai mari (în valoarea absolută). Graficul funcţiei f(x) = x–1 este schiţat în figura 3. Acest grafic se numeşte hiperbolă. El este constiuit din două ramuri simetrice faţă de originea axelor (deoarece funcţia f(x) = x–1 este o funcţie impară).

119

Algebra I y

y

x’ O

x

x’

O

y’

x y’

Fig. 4

Fig. 3

Funcţia f : R – {0} τ R, f(x) = x–2. Pentru trasarea graficului, acestei funcţii îi asociem următorul tabel de valori: x

–∞ –10 –2 –1 −

f(x) = x-2

1

1

1

100 4

1 2 4

−

1

−

10

100

1

1

1

1

100

100

10

2

10 000 10 000

100

1

4

10 +∞

2

1

1

1

4

100

Din acest tabel se vede că pentru valori ale lui x din ce în ce mai apropiate de 0 (pozitive sau negative) funcţia f ia valori din ce în ce mai mari. Pentru valori ale lui |x| din ce în ce mai mari, funcţia f ia valori din ce în ce mai mici. Graficul funcţiei f(x) = x–2 este schiţat în figura 4. Acest grafic este constituit din două ramuri simetrice faţă de axa y'y (deoarece funcţia f(x) = x–2 este pară) situate deasupra axei x'x.

3.4.3. Funcţia radical Fie n ƒ 2 un număr natural. Definind noţiunea de radical de ordin n, fiecărui număr pozitiv (sau nul) a i s-a asociat un număr bine determinat, pozitiv (sau nul) n a . Astfel am obţinut o funcţie f : [0, +∞) τ [0, +∞), f(x) = n x . Această funcţie se numeşte funcţie radical. Iată câteva proprietăţi ale funcţiei radical: 1o Funcţia radical este strict crescătoare. Într-adevăr fie x1, x2 χ [0, +∞), astfel încât x1 < x2. Deoarece x1 =

(x) n

n

1

( x ) , avem ( x ) < ( x ) . Dar funcţia putere fiind strict crescătoare ( ) ( ) adică f(x ) < f(x ). pe [0, +∞) rezultă că x < x şi x 2 =

n

n

2

n

n

n

1

n

n

1

n

2

n

n

2

1

2

2o Funcţia radical este bijectivă. Deoarece funcţia radical este strict crescătoare rezultă că ea este injectivă (vezi teorema 5, pct. 3.2.2). Fie acum y ∈ [0, +∞). Deoarece f(yn) = n y n = y, rezultă că f este surjectivă. Observaţii

120

1. Deoarece funcţia radical f : [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = n y n , este bijectivă, rezultă (vezi teorema 5, pct. 3.2.2) că ea este inversabilă.

Algebra I

Din relaţiile ( n x )n = x şi n y n = y, (x ƒ 0, y ƒ 0) rezultă că inversa sa nu este alta decât funcţia: g : [0, +∞) τ [0, +∞); g(x) = xn. (a nu se confunda funcţia g cu funcţia putere, ele neavând acelaşi domeniu de definiţie.) Într-adevăr, (g)f)(x) = g(f(x)) = g ( n x ) = n x n = x, x ∈ [0, +∞). (f)g)(y) = f(g(y)) = f(yn) = n y n = y, y ∈ [0, +∞). 2. Din punctul 1. rezultă că g este inversabilă şi, conform teoremei 5, pct. 3.2.2, este deci bijectivă. Graficul funcţiei radical f(x) = n x pentru n = 2, 3. 1) Funcţia f : [0, +∞) τ [0, +∞), f(x) = x . Din proprietăţile 1o şi 2o de mai sus rezultă, în particular, că funcţia f este strict crescătoare şi bijectivă. Graficul acestei funcţii (construit prin „puncte“) este reprezentat în figura 5. 2) Funcţia f : [0, +∞) τ [0, +∞), f(x) = 3 x . De asemenea, această funcţie este strict crescătoare şi inversabilă. Graficul său (construit prin „puncte”) este reprezentat în figura 6. Se observă din aceste figuri că graficele celor două funcţii radical considerate sunt asemănătoare. În cele două figuri am reprezentat prin linie întreruptă graficul funcţiei inverse. Cele două grafice (al funcţiei f şi al inversei sale g) sunt simetrice faţă de prima bisectoare (vezi pct. 3.2.2).

1 O x’

1 O 1

x’

1

Fig. 5

Fig. 6

3.4.4. Funcţia putere cu exponent raţional Fiind dat un număr raţional

m , nenul, putem defini o funcţie: n

m n

f :(0, +∞) τ (0, +∞), f(x) = x , numită funcţie putere cu exponent raţional. Putem presupune n > 0 şi atunci f(x) =

( ) n

x

m

. Rezultă că funcţia

putere cu exponent raţional are proprietăţi asemănătoare cu ale funcţiei putere. Astfel: m a) dacă este pozitiv, atunci funcţia f este strict crescătoare; n m este negativ, atunci funcţia f este strict descrescătoare; b) dacă n 121

Algebra I

c) funcţia f este inversabilă, inversa sa fiind: n m

g : (0, +∞) τ (0, +∞), f(x) = x . Să demonstrăm proprietatea a). Fie x1, x2 χ (0, +∞) cu x1 < x2. Folosind proprietatea analoagă de monotonie a funcţiilor radical şi putere deducem că: n

x1 < n x2 , de unde

( x ) <( n

m

1

n

x2

)

m

, adică f(x1) < f(x2).

Analog se demonstrează b). Să arătăm acum proprietatea c). Dacă x χ (0, +∞), atunci g(f(x)) = n

m

 m m  n n =  x n  = x, iar dacă y χ (0, +∞), atunci f(g(y)) =  y m  = y . Deci g ) f şi     f ) g sunt egale cu funcţia identică a lui (0, +∞). Aşadar, f este inversabilă, g fiind inversa sa. Mai mult, fiind inversabilă, funcţia putere cu exponent raţional este bijectivă (vezi teorema 5, pct. 3.2.2). În figura 7 am reprezentat graficul −

1

funcţiei f : (0, +∞) τ (0, +∞), f(x) = x 2 (construit prin „puncte”). Cu linie întreruptă am reprezentat graficul funcţiei inverse g:(0,+∞) τ (0,+∞), g(x) = x–2.

1 O x’

1 Fig. 7

122

Algebra I

Test de autoevaluare 4

1) Să se arate că funcţia putere f : R τ R , f(x) = x2m+1, este bijectivă.

2) Să se arate că f : R τ R , f(x) = ax4 + bx + c, a ≠ 0, nu este injectivă.

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

3) Fie funcţia f : R τ R , f(x) = x2000 - 2x + 1. Să se arate ca f nu este injectivă.

4) Fie funcţia f : R τ R, f ( x ) = x 2 ⋅ 3 x . Să se arate că f este bijectivă şi să se determine inversa sa.

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 153 a acestei unităţi de învăţare.

123

Algebra I

3.5. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică. 3.5.1. Funcţia exponenţială 1. Puteri cu exponent real În unitatea de învăţare 1 s-a definit puterea cu exponent raţional şi sau studiat o serie de proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional oarecare. În cele ce urmează, vom folosi în special proprietăţile date de următoarea teoremă. Teorema 10

1° Dacă a > 1 este un număr real, atunci dintre două puteri cu exponent raţional pozitiv ale acestui număr, este mai mare aceea al cărei exponent este mai mare. 2° Dacă 0 < a < 1 este un număr real, atunci dintre două puteri cu exponent raţional pozitiv ale acestui număr, este mai mare aceea al cărei exponent este mai mic. Demonstraţie. 1° Într-adevăr, fie

p m > 0 două numere raţionale > n q

p

m

q

pozitive. Avem a n = n a m şi a q = a p . Aducem aceşti radicali la radicali de acelaşi ordin: n

Cum unde

nq

a

am =

nq

amq ,

q

ap =

nq

anp .

p m > , rezultă că mq > np. Dar cum a > 1, rezultă amq > anp, de q n mq

>

nq

a

np

m n

p q

sau a > a .

2° Demonstraţia este analoagă cu cea de la punctul 1° şi, de aceea, o omitem. Exemple

1,21

 1 1. Avem 1,21 < 1,22. De aceea 21,21 < 21,22;   2

2. Avem 0,3 < 0,4. De aceea

( 3)

0,3

<

( 3)

0,4

1,22

 1 >  2

 1  ;    3

0,3

. 0,4

 1  >  .  3

În continuare vom defini puterea cu exponent real oarecare de bază pozitivă, astfel încât aceasta să coincidă pentru exponent raţional cu cea introdusă mai înainte. Mai precis, dacă a > 0 este un număr real pozitiv, iar x un număr real oarecare, ne propunem să dăm sens expresiei ax. Amintim, mai întâi, câteva cunoştinţe privind aproximările zecimale ale numerelor reale. Fie x un număr real oarecare reprezentat sub formă de fracţie zecimală infinită, adică x = x0, x1x2x3 … xn … . Pentru numărul x, aproximările zecimale cu o eroare mai mică decât 10–n sunt: 124

Algebra I

i) prin lipsă: x 'n = x0, x1x2x3 … xn; ii) prin adaos: x n'' = x0, x1x2x3 … xn + 10–n. Aşadar, numărului x i-am asociat aproximările sale zecimale: prin lipsă: x0' , x1' , x2' , x3' , ..., prin adaos: x0'' , x1'' , x2' ' , x3' ' , ..., astfel încât x0' ≤ x < x0' ' , x1' ≤ x < x1' ' , x'2 ≤ x < x2' ' , ................. Observăm că aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos ale unui număr real x sunt întotdeauna numere raţionale. Puteri cu exponent real pozitiv Pentru definirea puterii de bază a > 0, cu exponent real, distingem două cazuri, după cum baza este supraunitară sau subunitară: 1° a > 1. Fie x > 0 un număr real şi să considerăm aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos cu o eroare mai mică decât 10–n. Atunci, pentru orice n, avem x'n ≤ x < xn' ' .

După cum am observat, numerele xn' , x n' ' sunt raţionale pozitive şi deci conform definiţiei puterilor cu exponent raţional, au sens puterile ' '' a xn şi a xn , pentru orice n. '

''

Mai mult, după punctul 1° al teoremei 10, rezultă că a xn < a xn . Definiţie

Fie a > 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n, satisface inegalităţile: ' '' a xn ≤ y < a xn . Se poate demonstra că un astfel de număr real y există şi, mai mult, este unic. Demonstraţia riguroasă a acestui fapt depăşeşte programa acestei unităţi de învăţare. Numărul y dat de definiţia precedentă se notează ax şi se citeşte a la puterea x.

Exemplu

Să explicăm ce trebuie înţeles prin 3 2 . Aproximările zecimale ale lui 2 sunt următoarele: prin lipsă: 1; 1,4; 1,41; 1,414; …, prin adaos: 2; 1,5; 1,42; 1,415; …; astfel încât 1 ≤ 2 < 2, 1,4 ≤ 2 < 1,5, 1,41 ≤ 2 < 1,42, 1,414 ≤ 2 < 1,415,

125

Algebra I

Numărul care ne interesează y = 3 1

2

îndeplineşte inegalităţile:

≤ y < 32 ,

3

31,4 ≤ y < 31,5 , 31,41 ≤ y < 31,42 , 31,414 ≤ y < 31,415 , ......................... 2° 0 < a < 1. Dacă x > 0 este un număr real, avem: x'n ≤ x < xn' ' . ''

'

După punctul 2° al teoremei 10, rezultă că a xn < a xn . Definiţie

Fie 0 < a < 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n, satisface inegalităţile: ''

'

a xn < y ≤ a xn . Se poate demonstra că un astfel de număr real y există şi, mai mult, este unic. 2

Exemplu

 1 Să explicăm ce trebuie înţeles prin   . Având în vedere cele de 3 mai înainte, precum şi tabelul aproximărilor zecimale ale lui 2 din  1 exemplul precedent, numărul care ne interesează y =   3 inegalităţile: 2

 1 < y ≤  , 3

1,5

 1 < y ≤  , 3

1,42

 1 < y≤  3

 1 3    1 3    1 3  

1,415

2

îndeplineşte

1

1,4

1,41

,

1,414

 1  1 , < y ≤  3   3 ................................

Vom adăuga că, pentru orice număr real x, 1x = 1. În final, trebuie menţionată o proprietate importantă a puterilor cu exponent pozitiv, şi anume: Oricare ar fi a > 0 şi x > 0, avem ax > 0. Într-adevăr, fie xn' , x n' ' aproximările zecimale ale lui x prin lipsă, respectiv prin adaos. Atunci, pentru orice n, avem: 1° Dacă a > 1, atunci

126

Algebra I '

''

a xn ≤ a x < a xn . 2° Dacă 0 < a < 1, atunci ''

'

a xn < a x ≤ a xn . ''

'

Numerele xn' , xn' ' sunt raţionale şi pozitive. De aceea a xn > 0 [i a xn > 0 , pentru orice a > 0. Atunci, evident ax > 0, deoarece este cuprins între două numere pozitive. Puteri cu exponent real negativ Dacă a > 0 şi x este un număr real negativ, atunci prin definiţie 1 (1) ax = −x a Deoarece numărul –x este pozitiv, a–x a fost definit la punctul 1. Mai mult, am demonstrat că a–x ≠ 0, pentru –x > 0.

Exemplu

3

− 5

 1 = 5;  3 3 1

− 5

=

1  1 3  

5

. Am demonstrat că dacă x > 0, atunci a–x > 0.

1 , rezultă că şi pentru x < 0, avem ax > 0. x a Amintim că pentru a ≠ 0, am convenit să punem a0 = 1. Astfel am definit puterea unui număr pozitiv cu orice exponent real. Puterea unui număr negativ cu exponent real, în general, nu este definită.

Cum a–x =

Proprietăţi ale puterilor cu exponent real

Fie a > 0 şi b > 0 (numere reale pozitive). Atunci , pentru x şi y numere reale, avem: a x ·a y = a x + y ; 3. (ab )x = a x b x ; 5. (a x )y = a xy . x

ax ax a x −y = ; 4. a = ; b ay bx   Pe baza definiţiei puterii cu exponent real dată mai înainte şi folosind proprietăţile corespunzătoare ale puterii cu exponent raţional, verificarea acestora se face fără dificultate. Lăsăm ca exerciţiu demonstrarea lor. Exemple

 1 1.   2

− 3

= (2−1 )−

 1  2.    2  3.

7

8

7

2

3

  

=7

− 27

8− 2

3

= 2 3.

 1 =  2

= 72

− 81

2− 2

 1 =  2

−9

= (2−1 )−9 = 29 = 512.

= 7 2.

127

Algebra I

2. Funcţia exponenţială Fie a > 0 un număr real pozitiv. Am văzut mai înainte că oricare ar fi numărul real x, avem ax > 0. Aşadar, putem defini funcţia următoare: f : R → (0, ∞), f (x) = ax. Observaţie

Pentru a = 1 se obţine funcţia constantă f : R → (0, ∞), f (x ) = 1 şi de aceea acest caz nu prezintă un interes special.

Definiţie

Funcţia f : R → (0, ∞), f (x) = ax, unde a > 0 şi a ≠ 1, se numeşte funcţie exponenţială (de bază a). Enunţăm în continuare o serie de proprietăţi importante ale funcţiei exponenţiale. 1) Dacă a > 1, atunci pentru x > 0 avem ax > 1, iar pentru x < 0 avem a < 1. Dacă a < 1, atunci pentru x > 0 avem ax < 1, iar pentru x < 0 avem ax > 1. m Demonstraţie. Fie a > 1 şi x > 0. Dacă x este raţional, adică x = , n x

m

atunci a x = a n = n a m . Cum a > 1, rezultă că şi am > 1, dar atunci şi n

a m > 1. Dacă x este un număr real pozitiv oarecare, fie xn' şi xn' ' , pentru orice n, aproximările zecimale prin lipsă şi prin adaos ale lui x. Atunci x'n ≤ x < xn' ' .

Cum a > 1, rezultă că pentru orice n avem '

''

a xn ≤ a x < a xn . Dar x n' este raţional pozitiv şi, după cum am observat mai înainte, '

''

a xn ≤ a x < a xn . > 1, de unde ax > 1. 1 . Dar –x > 0 şi deci a–x > 1. Prin −x a 1 urmare, a x = − x < 1. a Cazul în care 0 < a < 1 se tratează analog; îl lăsăm ca exerciţiu.

Dacă x < 0, atunci avem a x =

2) Dacă x = 0, atunci independent de a > 0 avem ax = 1. Aceasta rezultă din definţia puterii nule. 3) Pentru a > 1, funcţia exponenţială f (x) = ax este strict crescătoare, iar pentru 0 < a < 1 este strict descrescătoare. Demonstraţie. Fie a > 1 şi x1 < x2. Să arătăm că a x1 < a x2 .

128

Algebra I

Într-adevăr, din x1 < x2 rezultă că există u > 0 astfel încât x2 = x1 + u. a x1 − a x2 = a x1 − a x1 +u = a x1 (1 − au ) . Atunci Deoarece u > 0, după proprietatea 1) a funcţiei exponenţiale rezultă u a > 1. Aşadar, a x1 > 0 şi 1 − au < 0 , de unde a x1 (1 − au ) < 0. Înseamnă că a x1 − a x2 < 0 sau a x1 < a x2 . Deci din x1 < x2 rezultă a x1 < a x2 , adică funcţia f (x) = ax este strict crescătoare. Analog se demonstrează că pentru 0 < a < 1 funcţia f (x) = ax este strict descrescătoare. 4) Funcţia exponenţială f : R → (0, ∞), f (x) = ax (a > 0, a ≠ 1) este bijectivă. Demonstraţie. Să arătăm mai întâi că f este injectivă. Fie, pentru aceasta, x1, x2 ∈ R astfel încât x1 ≠ x2. Atunci avem x1 < x2 sau x1 > x2. Să presupunem, de exemplu, că x1 < x2. Atunci, după monotonia funcţiei exponenţiale (proprietatea 3)) rezultă: dacă a > 1, atunci f (x1) < f (x2) şi deci f (x1) ≠ f (x2); dacă 0 < a < 1, atunci f (x1) > f (x2) şi deci f (x1) ≠ f (x2). Analog, rezultă pentru x1 > x2. Deci f este injectivă. Demonstraţia faptului că funcţia exponenţială f este surjectivă depăşeşte programa acestei unităţi de învăţare. Ea necesită noţiunea de continuitate şi se va face la Analiză matematică . Cu alte cuvinte, se poate demonstra că oricare ar fi y0 > 0 un număr real pozitiv, există un număr real x0 astfel încât a x0 = y0 (conform injectivităţii funcţiei f, rezultă că x0 este unic). 5) Funcţia exponenţială f(x) = ax este inversabilă. Această proprietate este evidentă, deoarece orice funcţie bijectivă este inversabilă. Graficul funcţiei exponenţiale Pe aceeaşi figură vom reprezenta graficul funcţiilor f (x) = 2x şi g(x) = x x  1  1 x 5 , iar pe alta al funcţiilor h(x) =   şi k(x) =   . Trasarea fiecărui 2 5 grafic se face „prin puncte”. Asociem tabelele de valori următoare:

x

–∞ x

f (x) = 2

–3

–2

–1

0

1

2

3

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

+∞

x 1 1 1  1 8 4 2 1 h(x) =   2 4 8 2 Observăm că pentru x = ±2, ±3 şi, în general, pentru x întreg diferit de x

 1 ±1, valorile funcţiilor g(x) = 5 şi k(x) =   sunt ori foarte mari, ori foarte 5 mici, deci punctele corespunzătoare sunt greu de figurat pe grafic. De aceea, în acest caz, vom lua pentru x valori fracţionare cuprinse între –1 şi 3 1 1 1 1 3 1, ca de exemplu: x = –1, – , – , – , 0, , , , 1. 4 2 4 4 2 4 Valorile funcţiilor vor fi calculate aproximativ. Astfel: x

129

Algebra I

50 = 1; 1

54 = 4 5 =

5 ≈ 2,2360 ≈ 1,5;

1

5 2 = 5 ≈ 2,24; 3

5 4 = 4 53 =

( ) 4

5

3

≈ 3,34;

51 = 5; 5

−

1 4

1

=

5 X

–∞

 1 k(x)=   5

≈

1 ≈ 0,66; ş.a.m.d. 1,5

–

–

0,2

3 4 0,3

1 1 – 0 2 4 0,45 0,66 1

1 4 1,5

1 3 1 +∞ 2 4 2,24 3,34 5

5

3,34

2,24

0,66

0,45

–1

g(x) = 5x

1 4

x

1,5 1

0,3

0,2

Prezentăm într-un sistem de axe xOy punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabelele de mai sus. Punctele obţinute le unim printr-o linie continuă. În figura 1 sunt reprezentate graficele funcţiilor f (x) = 2x şi g(x) = 5x, iar x x  1  1 în figura 2 sunt reprezentate graficele funcţiilor h(x) =   şi k(x) =   . 2 5 y g(x) = 5

4

-1

2

f(x) = 2

3

-2

h(x) =  1 

x

x

 1  

k(x) =   X 5

y 4

x

3

2

2

1

1 O Fig. 1

1

2

x

-2

-1

O

1

2

x

Fig. 2

Analizând graficul funcţiei exponenţiale pentru diverse baze, constatăm că el are următoarele proprietăţi: 1°.Trece prin punctul de coordonate (0, 1) de pe axa Oy. 2°.Graficul funcţiei exponenţiale este constituit dintr-o singură ramură care „urcă” pentru baza a > 1 şi „coboară” pentru baza 0 < a < 1. 3°.Graficul funcţiei exponenţiale este din ce în ce mai „apropiat” de axele Ox şi Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 1, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1.

130

Algebra I

3.5.2 Logaritmi. Funcţia logaritmică 1. Definiţia logaritmului unui număr pozitiv. Fie a > 0 un număr real pozitiv, a ≠ 1. Considerăm ecuaţia exponenţială ax = N, N > 0. (1) Din proprietatea 4) a funcţiei exponenţiale rezultă că ecuaţia (1) are o soluţie care este unic determinată. Această soluţie se notează

x = logaN

(2)

şi se numeşte logaritmul numărului pozitiv N în baza a. Din (1) şi (2) obţinem egalitatea

aloga N = N (3) care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a (a > 0, a ≠ 1) pentru a obţine numărul dat. Dacă în (1) facem x = 1, obţinem a1 = a şi deci logaa = 1. Exemple

(4)

1. Să calculăm log232. Cum 25 = 32, atunci din definiţia logaritmului avem log232 = 5. 1 2. Să determinăm log2 1 . Din egalitatea 2–4 = , obţinem log2 1 =–4. 16 16 16 3. Să determinăm log 1 27 . Să considerăm ecuaţia exponenţială 3

x

−3

1  1  1  3  = 27 . Cum  3  = 3 −3 = 27 , obţinem x = –3 şi deci log 1 27 = –3.     3 4. Să determinăm log4256. Cum 44 = 256, atunci din definiţia logaritmului obţinem log4256 = 4.

Observaţie

Definiţie

1. În practică se folosesc logaritmii în bază zece care se mai numesc şi logaritmi zecimali. Aceştia se notează lg în loc de log10; de aceea nu mai este nevoie să se specifice baza. Astfel, vom scrie lg106 în loc de log10106 şi lg5 în loc de log105 etc. 2. În matematica superioară apar foarte des logaritmi care au ca bază numărul iraţional, notat cu e, e = 2,718281828… . Folosirea acestor logaritmi permite simplificarea multor formule matematice. Logaritmii în baza e apar în rezolvarea unor probleme fizice şi intră în mod natural în descrierea matematică a unor procese chimice, biologice ş.a. De aceea aceşti logaritmi se numesc naturali. Logaritmul natural al numărului a se notează lna. 2. Funcţia logaritmică Fie a > 0, a ≠ 1 un număr real. Mai sus am definit noţiunea de logaritm în baza a; fiecărui număr pozitiv N i s-a asociat un număr real bine determinat. Acest lucru ne permite să definim o funcţie Funcţia f : (0, +∞) → R , f (x) = logax se numeşte funcţie logaritmică. Iată câteva proprietăţi ale funcţiei logaritmice: 1° f (1) = 0. Într-adevăr, cum a0 = 1, rezultă că loga1 = 0 şi deci f (1) = 0.

131

Algebra I

2° Funcţia logaritmică este monotonă. Mai exact, dacă a > 1, atunci funcţia logaritmică este strict crescătoare, iar dacă 0 < a < 1, funcţia logaritmică este strict descrescătoare. Într-adevăr, să considerăm cazul a > 1 şi fie x1, x2 ∈ (0, +∞) astfel încât x1 < x2. Cum x1 = aloga x1 şi x2 = aloga x2 , rezultă că aloga x1 < aloga x2 . Dar funcţia exponenţială fiind crescătoare obţinem că logax1 < logax2, adică f (x1) < f (x2). În cazul 0 < a < 1, din inegalitatea aloga x1 < aloga x2 şi din faptul că funcţia exponenţială cu baza un număr real 0 < a < 1 este strict descrescătoare, rezultă că logax1 > logax2, adică f (x1) > f (x2). 3° Funcţia logaritmică este bijectivă. Într-adevăr, dacă x1, x2 ∈ (0, +∞) astfel încât f (x1) = f (x2), atunci din logax1 = logax2. Dar din egalitatea (3) din §2 obţinem x1 = aloga x1 şi x2 = aloga x2 , adică x1 = x2. Deci f este o funcţie injectivă. Fie y ∈ R un număr real oarecare. Notăm x = ay. Se vede că x ∈ (0, +∞) şi logax = loga ay = y. Deci f (x) = y, ceea ce ne arată că f este şi surjectivă. Aşadar, f este bijectivă. 4° Inversa funcţiei logaritmice este funcţia exponenţială. Funcţia logaritmică f : (0, +∞) → R, f (x) = logax, fiind bijectivă, este inversabilă. Inversa ei este funcţia exponenţială g : R → (0, +∞), g(x) = ax. Într-adevăr, dacă x ∈ (0, +∞) avem (gof )(x) = g(f (x)) = g(logax) loga x =a = x şi dacă y ∈ R, atunci (fog)(y) = f (g(y)) = f (ay) = logaay = y. Graficul funcţiei logaritmice f (x) = logax pentru a = 2, 5,

1 1 , . 2 5

Considerăm tabelele de valori: x

1 16

1 8

1 4

1 2

1

2

4

8

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

16 log2x log 1 x 2

4 –4

x

1 1 1 1 1 5 25 125 625 125 25 5 625 log5x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 log 1 x 5 –4 Reprezentăm într-un sistem de axe xOy punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabelele de mai sus. Punctele obţinute le unim printr-o linie continuă. În figura 3 sunt reprezentate graficele funcţiilor f(x) = log2 x şi g(x) = log5 x, iar în figura 4 sunt reprezentate graficele funcţiilor h(x) = log 1 x şi k(x) = log 1 x . 2

132

5

Algebra I y

y f (x) = log2x

g (x) = log5x

O

O

1 x

1

k (x) = log 1 x 2

h (x) = log 1xx 2

Fig. 3

Fig. 4 y

y f (x) = 5

x

g (x) =

1 5

1

f (x) = log5x

1 x

1

x

O 1 f (x) =  1  x 5 

Fig. 5

Fig. 6

Deoarece funcţia logaritmică este inversa funcţiei exponenţiale, graficele celor două funcţii sunt simetrice faţă de prima bisectoare. În figura 5 am reprezentat grafic funcţiile f(x) = log5 x şi g(x) = 5x, iar în figura x  1 6 am reprezentat grafic funcţiile f (x) = log 1 x şi g(x) =   . 5 5 Graficul funcţiei logaritmice are următoarele proprietăţi: 1) Trece prin punctul de coordonate (1, 0) de pe axa Ox. 2) Graficul funcţiei logaritmice este constituit dintr-o singură ramură care „urcă“ dacă baza a > 1 şi „coboară“ dacă 0 < a < 1. 3) Graficul funcţiei logaritmice este din ce în ce mai „apropiat“ de axele Ox şi Oy cu cât a este mai mare, dacă a > 1, sau cu cât a este mai mic, dacă 0 < a < 1. 4) Graficul funcţiei logaritmice este simetricul graficului funcţiei exponenţiale faţă de bisectoarea unghiului xOy. 3. Proprietăţile logaritmilor Folosind proprietăţile puterilor cu exponenţi reali obţinem următoarele proprietăţi pentru logaritmi: 1° Dacă A şi B sunt două numere pozitive, atunci

loga(AB) = logaA + logaB (logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere). 133

Algebra I

Într-adevăr, dacă logaA = x şi logaB = y, atunci ax = A şi ay = B. Cum ax+y = = ax · ay, obţinem ax+y = A · B şi deci loga(AB) = x + y = logaA + logaB. Observaţie

Proprietatea se poate da pentru n numere pozitive A1, A2, …, An, adică loga(A1 A2 … An) = logaA1 + logaA2 + … + logaAn. 2° Dacă A şi B sunt două numere pozitive, atunci loga A = logaA – logaB B (logaritmul câtului a două numere este egal cu diferenţa dintre logaritmul numărătorului şi cel al numitorului). Într-adevăr, ţinând cont de proprietatea 1°, avem logaA = loga  A ·B  = B  = loga A + logaB, de unde rezultă că loga A = logaA – logaB. B B

Observaţie

Dacă punem A = 1 şi ţinem cont că loga1 = 0, obţinem egalitatea: loga 1 = – logaB B

3° Dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar, atunci logaAm = m logaA (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului). Într-adevăr, dacă logaA = x, atunci ax = A. Dar atunci Am = (ax)m = amx şi deci logaAm = mx = m logaA. 4° Dacă A este un număr pozitiv şi n un număr natural (n ≥ 2), atunci loga A loga n A = n (logaritmul unui radical dintr-un număr este egal cu câtul dintre logaritmul numărului şi ordinul radicalului). Într-adevăr, proprietatea 4° este un caz particular al proprietăţii 3°, 1 punând m = . n Exemple

134

1. Să calculăm log375. Cum log375 = log3(3 · 25) = log33 + log325 = = 1 + log352 = 1 + 2log35. 2. Să determinăm log21000 – log2125. Avem log21000 – log2125 = log2 1000 = log28 = log223 = 3. 125 3. Să calculăm lg0,18 – lg180. 0,18 1 = lg = lg10–3 = –3. Avem lg 0,18 – lg180 = lg 180 1000 4. Să calculăm log6 1 + log6 1 . 18 12

Algebra I

Avem log6 1 + log6 1 = –log618 – log612 = –( log618 + log612) = 18 12 = – log6(18 · 12) = –log663 = –3. Să calculăm log2 4 8 . 5. Avem log2 4 8 = 1 log2 8 = 1 log2 23 = 3 log2 2 = 3 . 4 4 4 4 6. Să calculăm log2 5 81. Avem log2 5 81 = 1 log2 81 = 1 log2 3 4 = 4 log2 3. 5 5 5 4. Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr Dacă a şi b sunt două numere pozitive diferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea: loga A = logbA · logab Într-adevăr, dacă loga A = x şi logbA = y, atunci avem ax = A şi by = A, de unde obţinem ax = by. Dar atunci logaax = logaby sau x logaa = y logab. Cum logaa = 1, avem x = y logab, adică loga A = logbA · logab. Observaţie

Dacă în egalitatea de mai sus A = a, obţinem logaa = logba · logab. 1 Cum logaa = 1, rezultă că: loga b = logb a

Exemple

1. Să se scrie log2x în funcţie de log4x. Avem log2x = log4x · log24 = 2log4x. log2 x 2. Să se arate că expresia E = nu depinde de x. log5 x log2 x 1 = = log2 5. Într-adevăr, E = log2 x ·log5 2 log5 2 3. Să se arate că log26 + log62 > 2. Avem log26 + log62 = log26 + 1 1 . Deci trebuie să arătăm că log26 + > 2 sau (log26)2 – 2 log26 log2 6 log2 6 + 1 > 0, sau încă (log26 – 1)2 > 0, inegalitate evidentă deoarece log26 ≠ l. 5. Operaţia de logaritmare a unei expresii Să considerăm expresia: 173 4 131· 3 92 E= 5 37·98·23 Vom logaritma expresia într-o anumită bază convenabilă a. Folosind proprietăţile logaritmilor, obţinem:

(

)

loga E = loga 173 4 131 3 92 − loga 5 37·98·23 = loga 173 + loga 4 131 +

loga (37·98·23) 1 1 = 3loga 17 + loga 131 + loga 92 − 5 4 3 1 1 1 – loga 37 − loga 98 − loga 23 . 5 5 5 Deci am obţinut egalitatea: 1 1 1 1 1 loga E = 3loga 17 + loga 131 + loga 92 − loga 37 − loga 98 − loga 23 . 4 3 5 5 5 + loga 3 92 −

135

Algebra I

În general, dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem, exact ca în exemplul de mai sus, o expresie, notată log E, în care apar sume (diferenţe) de logaritmi înmulţite eventual cu anumite numere raţionale. Operaţia prin care expresiei E i se asociază expresia log E se numeşte „operaţie de logaritmare“. Exemple

1. Fie E = a2

ab 6 . Prin operaţia de logaritmare, obţinem: 1 6 logc E = logc(a2 7 ab 6 ) = logca2 + logc 7 ab 6 = 2logca + logc a + logc b. 7 7 2. Fie E =

4

7

a3 . Prin operaţia de logaritmare, obţinem: b5

3 3 logc E =logc 4 a 5 = 1 logc a 5 = 1 (logc a3 − logc b5 ) = 3 logc a − 5 logc b. 4 4 4 4 b b Adesea în calcule este nevoie să se facă şi operaţia inversă, adică unei expresii în care intervin logaritmi să-i asociem o expresie fără logaritmi. 1 De exemplu, să considerăm expresia logc E = 2logc a − logc b − 3logc 3. 2 Folosind proprietăţile logaritmilor, avem: a2 a2 , logc E = logc a 2 − logc b − logc 33 = logc log = c 27 b b · 33

de unde obţinem că E =

136

a2 27 b

.

Algebra I

Test de autoevaluare 5 x

1)

 1 Să se afle x astfel încât a >   , unde a > 0 este un număr real. a x

2)

Să se spună dacă sunt echivalente inegalităţile următoare: x x −1 2  1  1 b) 8 x < 4 şi 3 x 2 ≥ 2 .  9  >  3  şi x < -1;    

3)

Să se arate că expresia E =

4)

Să se calculeze log16 16 în funcţie de a = log12 27 .

a)

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

log2 x + log2 x log3 x + log3 x

nu depinde de x.

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 153 a acestei unităţi de învăţare.

137

Algebra I

3.6. Rezolvări de ecuaţii şi inecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor 3.6.1. Aplicaţii ale semnului funcţiei de gradul al doilea. 1. Inecuaţii de gradul al doilea

Inecuaţiile de forma: ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ƒ 0, ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c 0, unde a, b, c sunt numere reale date, a γ 0, se numesc inecuaţii de gradul al doilea. Observaţie

Exemple

În practică vom considera orice inecuaţie care se reduce, folosind proprietăţile inegalităţilor, la o inecuaţie de gradul al doilea. Rezolvarea inecuaţiilor de gradul al doilea este o consecinţă imediată a studiului semnului funcţiei f(x) = ax2 + bx + c. 1) Să se rezolve inecuaţia x2 – 3x + 2 > 0. Se vede că Δ = 1 > 0. Rădăcinile ecuaţiei x2 – 3x + 2 > 0, sunt x1 = 1 şi x2 = 2. Tabelul semnului funcţiei f(x) = x2 – 3x + 2 este următorul: x –∞ 1 2 f(x) ++++ 0 ––––– 0 +++++++++ Din acest tabel rezultă că mulţimea soluţiilor inecuaţiei date este (–∞, 1) ∪ (2, +∞). 2) Să se rezolve inecuaţia 2x2 + x – 1 0. Se vede că Δ = 1 + 8 = 9 > 0 1 şi rădăcinile ecuaţiei 2x2 + x – 1 = 0 sunt x1 = – 1 şi x2 = . Tabelul 2 2 semnului funcţiei f(x) = 2x + x – 1 este următorul: 1 –∞ –1 +∞ x 2 f(x) ++++++ 0 ––– –– 0 ++++++++  1 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei date este  −1,  .  2 2 3) Să se rezolve inecuaţia x < 2x – 3. Această inecuaţie este echivalentă cu inecuaţia x2 – 2x + 3 < 0. Cum Δ = 4 – 12 = –8 < 0, atunci f(x) = x2 – 2x + 3 este următorul: semnul funcţiei x –∞ +∞ f(x) + + + + + + + + + Din acest tabel, rezultă că mulţimea soluţiilor inecuaţiei date este mulţimea vidă, adică nu există nici un număr real care să verifice inecuaţia x2 < 2x – 3. 4) Să se rezolve inecuaţia (x – 1)2 > 2x – 3. Această inecuaţie este echivalentă cu inecuaţia x2 – 2x + 1 > 2x – 3 care este echivalentă la rândul său cu inecuaţia x2 – 4x + 4 > 0. Avem Δ = 16 – 16 = 0. Rădăcinile ecuaţiei x2 – 4x + 4 = 0, sunt x1 = x2 = 2. Tabelul semnului funcţiei f(x) = x2 – 4x + 4 este următorul: x –∞ 2 +∞ f(x) +++++++ 0 ++++++ Din acest tabel rezultă că mulţimea soluţiilor inecuaţiei date este R- {2}.

138

Algebra I

2. Sisteme de inecuaţii de gradul al doilea

Prin sistem de inecuaţii de gradul al doilea se înţelege un sistem de inecuaţii în care cel puţin una dintre inecuaţii este de gradul al doilea, iar celelalte inecuaţii ce compun sistemul sunt de gradul întâi sau de gradul al doilea. Observaţie

Exemple

În practică vom considera orice sistem de inecuaţii care se reduce, folosind proprietăţile inegalităţilor, la un sistem de inecuaţii de gradul al doilea.  x + 5 ≥ 4 x + 3,  1) Să se rezolve sistemul de inecuaţii: ( S ) 2 x + 1 > 3 x − 1,  x 2 + 2 x − 3 ≥ 0.  Soluţie. Sistemul (S) este echivalent cu sistemul de inecuaţii de gradul al doilea: −3 x + 2 ≥ 0,  − x + 2 > 0,  x 2 + 2 x − 3 ≥ 0.  2  Mulţimea soluţiilor inecuaţiei –3x + 2 ƒ 0 este M1 =  −∞,  . 3  Mulţimea soluţiilor inecuaţiei –x + 2 > 0 este M2 = (–∞, 2). Mulţimea soluţiilor inecuaţiei x2 + 2x – 3 ƒ 0 este M3 = (–∞, –3] 4 [1, +∞). Atunci mulţimea soluţiilor sistemului (S) este M = M1 3 M2 3 M3 = (–∞, –3].  x 2 + 2 x + 3 > 0,  2) Să se rezolve sistemul de inecuaţii: ( S )  x 2 − 2 x − 3 ≥ 0, 2 x + 1 < 2 − x.  Soluţie. Folosind proprietăţile inegalităţilor sistemul (S) este echivalent cu  x 2 + 2 x + 3 > 0,  sistemul de gradul al doilea  x 2 − 2 x − 3 ≥ 0, 3 x − 1 < 0.  Mulţimea soluţiilor inecuaţiei x2 + 2x + 3 > 0, este M1 = R. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei x2 – 2x – 3 ƒ 0, este M2 = (–∞, –1] 4 [3, +∞). 1  Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 3x – 1 < 0, este M3 =  −∞,  . 3  Atunci, mulţimea soluţiilor sistemului (S) este M = M1 3 M2 3 M3 = (–∞, –1]. a x 2 + b1x + c1 unde a1, b1, c1, a2, b2, c2 sunt Semnul expresiei E = 1 2 a2 x + b2 x + c2 numere reale date. A determina semnul expresiei E, revine la a determina pentru ce valori reale ale lui x expresia este pozitivă şi pentru ce valori reale ale lui x expresia este negativă. 139

Algebra I

Se ştie că: 1o o fracţie este pozitivă dacă şi numai dacă numărătorul şi numitorul au acelaşi semn şi 2o o fracţie este negativă dacă numărătorul şi numitorul sunt de semne contrarii. Rezultă că pentru a determina semnul expresiei E, vom determina semnele funcţiei f1(x) = a1x2 + b1x + c1 şi f2(x) = a2x2 + b2x + c2, care se trec într-un tabel. ţinând cont de 1o şi 2o se obţine semnul E. Exemplu

x 2 − 5x + 6 . Considerăm x −1 funcţiile f1(x) = x2 – 5x + 6 şi f2(x) = x – 1. Rădăcinile ecuaţiei x2 – 5x + 6 = =0 sunt x1 = 2 şi x2 = 3, iar rădăcina ecuaţiei x – 1 este 1. Facem următorul tabel cu semnele funcţiilor f1 şi f2: Să se determine semnul expresiei E =

x f1(x) f2(x) E

–∞

1 + + + + + ++ + + + + + – – – – – 0+ + + + + – – – – – + + + + +

2 3 +∞ 0 ––––––0 + + + + + + + + + + + + 0– – – – –0 + + +

Din tabel rezultă că expresia E este pozitivă pentru xχ (1, 2) 4 (3, ∞), negativă pentru x χ (–∞, 1) 4 (2, 3) şi este egală cu zero pentru x = 2 şi x = 3. Expresia E nu are sens pentru x = 1. a x 2 + b1x + c1 ne ajută la Studiul semnului expresiei de forma E = 1 2 a2 x + b2 x + c2 rezolvarea inecuaţiilor de forma E > 0, E ƒ 0, E < 0 şi E 0. Exemple

1) Să se rezolve inecuaţia:

x2 − 1 > −1. x2 − 4

Soluţie. Inecuaţia dată este echivalentă cu inecuaţia

x2 − 1 + 1 > 0 *, care 2 x −4

2x 2 − 5 este echivalentă cu inecuaţia > 0. Vom determina semnul x2 − 4 2x 2 − 5 . expresiei E= 2 x −4 Facem tabelul 5 5 − –∞ –2 2 +∞ x 2 2 2x2 – 5 + + + + + + 0 – – – – 0 + ++ + + ++ 2 x –4 + + + 0 – – – – – – – – – – – – – – 0+ + + + + + – – – 0 + + + 0 – – – – + + + E Din acest tabel rezultă că mulţimea soluţiilor inecuaţiei date este:  5 5 4 (2, +∞). (–∞, –2) 4  − ,  2 2    2) Să se rezolve inecuaţia:

x2 − x + 1 1. x2 + x + 1 *

140

Este greşit de scris x2 – 1 > –1(x2 – 4), deoarece x2 – 4 poate fi pozitiv sau negativ.

Algebra I

Soluţie. Această inecuaţie este echivalentă cu inecuaţia x2 − x + 1 −2 x 0. –1 0 ω 2 2 x + x +1 x + x +1 −2 x Determinăm semnul expresiei E = 2 . Facem tabelul: x + x +1 x –∞ 0 +∞ –2x + + + + + ++ + 0 ––– – – – – – – x2 +x + 1 + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + 0 – – – – – – – E Din acest tabel rezultă că mulţimea soluţiilor inecuaţiei date este [0, +∞). 3. Inecuaţii cu modul 1) Să se rezolve inecuaţia: |x2 – x – 2| 1. Soluţie. Rezolvarea acestei inecuaţii este echivalentă cu rezolvarea inecuaţiei: – 1 x2 – x – 2 1, care la rândul său este echivalentă cu rezolvarea sistemului de inecuaţii  x 2 _ x _ 2 ≤ 1  2  x − x − 2 ≥ −1.

Mulţimea soluţiilor  1 − 13 1 + 13  ,  . 2   2

inecuaţiei

x2

–

x

–

2

1

este

M1

=

Mulţimea soluţiilor inecuaţiei x2 – x – 2 ƒ –1 este  1_ 5   1 + 5  M2 =  _ ∞, ,∞  . ∪    2   2    1 − 13 1 − 5   1 + 5 1 + 13  Mulţimea soluţiilor M1 ∩ M2 =  , ,  4  . 2   2 2   2 2) Să se rezolve inecuaţia |x2 – 3x + 2| x + 7. Ecuaţia x2 – 3x + 2 = 0 are rădăcinile x1 = 1 şi x2 = 2. Soluţie. Rezultă că pentru x χ [1, 2] avem x2 – 3x + 2 0 şi pentru x χ (–∞, 1] 4 [2, ∞) avem x2 – 3x + 2 ƒ 0. 1o Considerăm cazul când x χ (–∞, 1] 4 [2, ∞). Inecuaţia dată se scrie în acest caz, astfel: x2 – 3x + 2 x + 7 care are soluţii, mulţimea M1 = [–1, 5]. Rezultă că pentru x χ [–1, 1] 4 [2, 5] inecuaţia | x2 – 3x + 2| x + 7 este verificată. 2o Considerăm cazul când x χ (1, 2). În acest caz inecuaţia dată se scrie, astfel: –( x2 – 3x + 2) x + 7. care este echivalentă cu inecuaţia: x2 – 2x + 9 ƒ 0. Această inecuaţie are ca soluţii mulţimea M2 = R. Rezultă că pentru x χ (1, 2) inecuaţia | x2 – 3x + 2| x + 7 este verificată. În concluzie, mulţimea soluţiilor inecuaţiei date este: M = [–1, 1] 4 [2, 5] 4 (1, 2) = [–1, 5].

141

Algebra I

Test se autoevaluare 6

1) Să se rezolve inecuaţia

x 2 − 5x + 4 ≤ 1. x2 − 4

2) Să se determine valorile reale ale lui m astfel încât inecuaţia ( m − 1) x 2 − ( m + 1) x + ( m + 1) > 0 să fie verificată pentru orice x ∈ .

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

3) Să se determine valorile reale ale lui m x 2 − 2mx + m + 1 > 0 , oricare ar fi x > 0 număr real.

astfel

încât

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 154 a acestei unităţi de învăţare.

142

Algebra I

3.6.2 Ecuaţii iraţionale 1. Se numesc ecuaţii iraţionale, ecuaţiile care conţin necunoscuta sub semnul radical. Aşa, de exemplu, ecuaţiile x − 2 = 5 + x ; x = 1 − 2 x;

4 − x = 4 x + 10 + 5 x sunt ecuaţii iraţionale. Amintim că radicalii de ordin par sunt definiţi numai pentru numere nenegative, aceştia fiind de asemenea numere nenegative. Să considerăm, de exemplu, ecuaţiile iraţionale: 1o x − 3 + 2 − x = 3. Cum radicalii de ordinul doi sunt definiţi numai pentru numere nenegative, rezultă că soluţiile ecuaţiei trebuie să verifice sistemul de inecuaţii: x – 3 ƒ 0, 2 – x ƒ 0. (1) De aici rezultă: x ƒ 3 şi x 2 şi deci sistemul (1) evident nu are soluţii. Aşadar ecuaţia dată nu are soluţii reale. x + 3 − x = − 5 . Cum x şi 3 − x sunt nenegative, avem 2o 3

x + 3 − x ≥ 0 pentru x real. Însă –5 < 0 şi deci ecuaţia nu are soluţii reale. Observaţie

Cele două exemple precedente ne arată că este necesar ca înainte de a trece la găsirea, prin diferite metode, a soluţiilor unei ecuaţii iraţionale, să ne asigurăm dacă astfel de soluţii pot să existe. 2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale. Calea obişnuită de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale constă în eliminarea radicalilor, prin diferite transformări, reducându-le astfel la ecuaţii deja studiate (de exemplu, de gradul întâi sau al doilea). Mai jos prezentăm câteva exemple de ecuaţii iraţionale a căror rezolvare se poate efectua prin ridicarea la putere sau înmulţire cu expresii conjugate.

Exemple

1. Să se rezolve ecuaţia: x = 2 − x,

(2) Soluţie. Pentru ca radicalul să existe trebuie ca 2 – x ƒ 0, de unde x 2. Deci soluţiile ecuaţiei trebuie să verifice această inegalitate. Ridicăm ambii membri ai ecuaţiei la pătrat şi obţinem: x2 = 2 – x, sau x2 + x – 2 = 0. de unde x1 = –2 şi x2 = 1. Cu toate că x1 2 şi x2 2, nu putem încă trage concluzia că acestea sunt rădăcini ale ecuaţiei (2). Aceasta pentru că la acelaşi rezultat am fi ajuns (prin ridicare la pătrat, membru cu membru) chiar dacă am fi considerat ecuaţia iraţională x = − 2 − x , care evident este diferită de ecuaţia dată (2). Deci printre rădăcinile ecuaţiei obţinute prin ridicare la pătrat (membru cu membru) a ecuaţiei (2) se găsesc şi rădăcinile ecuaţiei x = − 2 − x , care pot să nu fie rădăcini ale ecuaţiei (2). De aceea, trebuie să verificăm dacă, întradevăr, x1 = –2 şi x2 = 1 sunt rădăcini ale ecuaţiei iraţionale date. 143

Algebra I

Pentru x = –2, membrul stâng al ecuaţiei (2) are valoarea –2, iar cel drept 4 = 2 . Cum _2 γ 2, rezultă că –2 nu este rădăcină a ecuaţiei (2). Pentru x = 1, ambii membrii ai ecuaţiei (2) iau valoarea 1. Deci 1 este rădăcină a ecuaţiei iraţionale date. 2. Să se rezolve ecuaţia: x − 5 + 10 − x = 3. (3) Soluţie. Din condiţiile de existenţă a radicalilor rezultă că soluţiile ecuaţiei trebuie să verifice inegalitatea: 5 x 10. Prin ridicare la pătrat se obţine:

( x − 5 )(10 − x ) + 10 − x = 9, sau ( x − 5 )(10 − x ) = 4, sau ( x − 5 )(10 − x ) = 2.

x−5+2 2

Printr-o nouă ridicare la pătrat se obţine: (x – 5)(10 – x) = 4, sau –x2 + 15x – 50 = 4, sau încă x2 – 15x + 54 = 0. Această ecuaţie are rădăcinile: x1 = 6, x2 = 9, deci cuprinse între 5 şi 10. Verificarea arată că atât 6 cât şi 9 sunt rădăcini ale ecuaţiei date. 3. Să se rezolve ecuaţia: x + 7 + x − 1 = 4. (4) Soluţie. Din condiţiile de existenţă a radicalilor rezultă x ƒ 1. Să rezolvăm această ecuaţie prin înmulţirea ambilor membri cu expresia conjugată a membrului stâng, adică cu x + 7 − x − 1 . Astfel obţinem:

(

x+7 +

)(

x −1

( x + 7 ) − ( x − 1) = 4 (

x+7 _ x+7−

) (

x −1 = 4

)

x+7 −

)

x − 1 de unde

x −1 .

De aici, avem

x + 7 − x − 1 = 2. (5) Adunând membru cu membru ecuaţiile (4) şi (5) se obţine 2 x + 7 = 6 , de unde x + 7 = 9, adică x = 2. Prin verificare, se obţine că 2 este o rădăcină a ecuaţiei date. 4. Să se rezolve ecuaţia: 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 1 (6) Soluţie. Fiind de ordin 3, radicalii există pentru orice x real. Pentru rezolvarea ecuaţiei folosim identitatea 3 ( a + b ) = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) . Ridicând la puterea a treia ambii membri ai ecuaţiei (6), obţinem: 2x − 1 + x − 1 + 3 3 2x − 1 3 x − 1

(

3

2x − 1 +

3

)

x − 1 = 1, sau

( 2x − 1)( x − 1) ⋅ 1 = 1, sau încă 3 3 ( 2 x − 1)( x − 1) = 3 (1 − x ) . Atunci 3 ( 2x − 1)( x − 1) = 1 − x şi printr-o nouă ridicare la puterea 3 treia, obţinem ( 2 x − 1)( x − 1) = (1 − x ) , sau 3 3 ( 2 x − 1)( x − 1) − (1 − x ) = 0, adică ( 2 x − 1)( x − 1) + ( x − 1) = 0. Scoţând 3x − 2 + 3

3

factor comun pe x − 1 , rezultă 144

Algebra I

( x − 1) ( 2x −1) + ( x − 1)

 = 0, sau ( x − 1) x 2 = 0, de unde x = 1 şi x = 0. 1 2  Verificarea arată că x1 = 1 este rădăcină a ecuaţiei (6) (pentru x = 1 ambii membri ai ecuaţiei sunt egali cu 1), iar x2 = 0 nu este rădăcină (pentru x = 0, membrul stâng al ecuaţiei (6) ia valoarea –2, iar membrul drept este 1 şi avem –2 γ 1). Deci 1 este singura rădăcină a ecuaţiei date. Observaţie

2

Prin metodele de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale, indicate în exemplele de mai sus, nu se pot pierde rădăcini ale ecuaţiei iraţionale date. Dimpotrivă, ecuaţia (fără radicali), la care se ajunge prin transformări ale ecuaţiei iraţionale date, poate avea rădăcini în plus faţă de ecuaţia iniţială. De aceea remarcăm încă o dată necesitatea de a verifica dacă rădăcinile ecuaţiei obţinute (prin transformări) sunt rădăcini ale ecuaţiei iraţionale date (în forma iniţială), această etapă făcând parte din însăşi rezolvarea ecuaţiilor iraţionale.

Test de autoevaluare 7

x − 3 − x + 3 = 2 − 10 .

1) Să se rezolve ecuaţia

2) Să se rezolve ecuaţia

3

x + 3 + 3 13 − x = 4.

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 154 a acestei unităţi de învăţare. 145

Algebra I

3.6.3. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale şi logaritmice 1. Ecuaţii exponenţiale Ecuaţia exponenţială este o ecuaţie în care necunoscuta este exponent sau o ecuaţie în care este exponent o expresie care conţine necunoscuta. 2 Astfel, ecuaţiile: 3x = 2x-1; 5 x −6 − 1 = 0 şi 2x+3 + 4x+1 = 320 sunt ecuaţii exponenţiale. În practică, atunci când avem de rezolvat o ecuaţie exponenţială, vom pro-ceda astfel: folosind diverse substituţii precum şi proprietăţile funcţiei exponenţiale, vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuaţii simple, de regulă de gradul întâi sau gradul al doilea. Cele mai multe ecuaţii exponenţiale sunt reductibile la forma af(x) = b, cu a > 0, b > 0, a ≠ 1. Datorită injectivităţii funcţiei logaritmice, această ecuaţie este echivalentă cu: lg b . f (x) = logab = lg a În aplicaţiile practice, în aceste ecuaţii b se poate exprima, de obicei, ca putere a lui a, b = aα, de unde rezultă ecuaţia f (x ) = α. Exemplu

x

2

Să se rezolve ecuaţiile 22x = 64; 32 = 81; 5 x − x −2 = 625 . Vom avea 22 x = 26 , de unde rezultă 2x = 6, adică x = 3. x x Din ecuaţia 32 = 81 , 32 = 34 , deducem 2x = 4, 2x = 22 şi deci x = 2. 2 Pentru ultima ecuaţie, obţinem 5 x − x −2 = 54 , deci x2 – x – 2 = 4, de unde rezultă x2 – x – 6 = 0. Avem, în final, x1 = 3 şi x2 = –2. Unele ecuaţii exponenţiale se aduc la forma mai generală af(x) = ag(x). Din această ecuaţie ţinând cont de injectivitatea funcţiei exponenţiale, deducem că f (x) = g(x), care apoi se rezolvă.

Exemple

1. Să se rezolve ecuaţia 3x-6 = 315-2x. Obţinem x – 6 = 15 – 2x, deci 3x = 21, x = 7. x2

 1 2. Să se rezolve ecuaţia 49 =   . 7 2 2x Obţinem 7 = 7− x , deci 2x = –x2, de unde deducem x1 = 0, x2 = –2. x

Există ecuaţii exponenţiale care nu se pot reduce la nici una dintre formele discutate. Exemple

146

1. 2x = 32x+1. Ţinând cont de injectivitatea funcţiei logaritmice, obţinem prin logaritmare ecuaţia echivalentă x lg 2 = (2x + 1) lg 3 şi deci x(2 lg 3 – − lg3 - lg 2) = – lg 3, x = . 2lg3 − lg2

Algebra I x

x

2. 57 = 75 . Logaritmând, deducem 7x lg 5 = 5x lg 7; logaritmând din lg lg 7 _ lg lg 5 . nou, obţinem x lg7 + lg lg 5 = x lg 5 + lg lg 7 şi deci x = lg 7 − lg 5 3. 32 x ·52 x −3 = 7 x _ 1 ·4 x +3. Deducem că 2x lg 3 + (2x – 3) lg 5 = (x – 1) lg 7 + (x + 3) lg 4, prin urmare x(2 lg 3 + 2 lg 5 – lg 7 – lg 4) = 3 lg 5 – lg 7 + 3 lg 4. În final, avem: 125 ·64 lg 3 lg 5 _ lg 7 + 3 lg 4 7 . = x= 225 2 lg 3 + 2 lg 5 − lg 7 − lg 4 lg 28 4. Să considerăm în cele ce urmează ecuaţia 4x + 2x = 272. Pentru a rezolva ecuaţii de acest tip vom observa mai întâi că putem scrie 22x + 2x –272 = 0 şi deci făcând substituţia 2x = y, obţinem: y2 + y – 272 = 0, deci y1 = 16, y2 = –17. Deoarece 2x > 0, rezultă că –17 nu poate fi egal cu 2x şi deci singura soluţie se obţine din 2x = 16, 2x = 24, deci x = 4. În unele situaţii, substituţia efectuată la exerciţiul precedent nu se poate face imediat în forma iniţială a exerciţiului. Să luăm, de exemplu, ecuaţia 6x +4x = 9x. Vom împărţi ambii termeni cu 9x şi obţinem x x x 2x x 6 4 2 2 2 2  9  +  9  = 1,  3  +  3  = 1. Făcând substituţia  3  = y , obţinem y           + y –1 = 0 şi deci y1, 2 = Deoarece

−1 ± 5 . 2

−1 − 5 < 0, rezultă că singura soluţie a ecuaţiei o obţinem 2

din x

−1 + 5 2 şi deci x = 3 = 2  

lg

5 −1 2 . 2 lg 3

2. Ecuaţii logaritmice Ecuaţiile logaritmice sunt ecuaţii în care expresiile ce conţin necunoscute apar ca bază sau ca argument al unor logaritmi. De exemplu: logx+1 (x + 2) = 1; lg(x2+x-2) = 3; log x(5x2+ 3) = lg(2x+3) –1. Folosind injectivitatea funcţiei exponenţiale, avem că rezolvarea unei ecuaţii de tipul logg(x) f (x)= b este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiei f (x) = g(x)b. Vom avea însă grijă ca soluţiile obţinute să satisfacă f (x) > 0, g(x) > 0, g(x) ≠ 1, pentru care expresia logg(x) f (x) are sens. La fel ca la ecuaţiile exponenţiale, în practică atunci când avem de rezolvat o ecuaţie logaritmică, vom proceda astfel: folosind diverse substituţii precum şi proprietăţile logaritmilor, vom căuta s-o reducem la rezolvarea unor ecuaţii simple, de regulă de gradul întâi sau de gradul al doilea.

147

Algebra I

Exemplu

Să se rezolve ecuaţia: logx(x2 – 3x + 9) = 2. Obţinem x2 – 3x + 9 = x2 şi deci 3x = 9, x = 3. Deoarece pentru x = 3 > 0, expresia x2 – 3x + 9 este pozitivă, rezultă că x = 3 este soluţie a ecuaţiei. Rezolvarea altor ecuaţii se bazează pe injectivitatea funcţiei logaritmice, şi anume din logaf (x) = logag(x), deducem f (x) = g(x), impunând condiţiile: f (x) > 0, g(x) > 0.

Exemple

Observaţie

1. Să se rezolve ecuaţia: lg(x2 – 15) = lg (x – 3). Soluţie. Deducem că x2 –15 = x –3, deci x2 – x – 12 = 0, adică x1 = 4, x2 = –3. Deoarece pentru x2 = –3 obţinem x – 3 = – 3 – 3 = –6 < 0, rezultă că x2 = –3 nu este soluţie a ecuaţiei. Deci numai 4 este soluţie. 1 2. Să se rezolve ecuaţia: 2lg(x – 1) = lg x 5 − lg x . 2 Soluţie. În această ecuaţie punem de la început condiţiile x – 1 > 0, x > 0, pentru a avea sens expresiile lg(x – 1), lg x5, x , lg x . 1 Ecuaţia se mai scrie 2 lg(x – 1) = 5 lg x – lg x şi deci 2 lg (x –1) = 2 2 2 lg x. Prin urmare, lg(x – 1) = lg x, de unde obţinem x – 1 = x, –1 = 0, contradicţie; rezultă deci că ecuaţia dată nu are soluţii. 3. Să se rezolve ecuaţia: lg(x + 7) + lg(3x + 1) = 2. Soluţie. Punem condiţiile de existenţă a logaritmilor: x + 7 > 0 şi 3x + 1 > 1 0, deci x > – . Obţinem lg(x + 7)(3x + 1) = 2 şi deci (x + 7)(3x + 1) = 3 2 =10 = 100. Rezultă ecuaţia de gradul al doilea 3x2 + 22x – 93 = 0, de 31 31 1 < – , obţinem că 3 unde rezultă x1 = 3 şi x2 = – . Deoarece – 3 3 3 este singura soluţie a ecuaţiei date. Ecuaţia precedentă nu este echivalentă cu ecuaţia lg(x + 7)(3x + 1) = 2, care are două soluţii x1 = 3, x2 = –

31 3

, deoarece pentru amândouă aceste

valori ale lui x, lg(x + 7)(3x + 1) are sens. 4. Să se rezolve ecuaţia: log32 x – 3log3x – 4 = 0. Soluţie. Avem condiţia x > 0 şi făcând substituţia log3x = y, obţinem y2 – 3y – 4 = 0. Deci y1 = 4, y2 = –1. Din log3x = 4, obţinem x = 34, x = 81, 1 iar din log3x = –1, obţinem x = 3-1, x = . 3 În continuare vom rezolva câteva ecuaţii care nu se pot încadra într-un anumit tip. Astfel, pot apărea ecuaţii cu logaritmi scrişi în diferite baze, ecuaţii în care apar expresii conţinând necunoscute şi la exponenţi şi la logaritmi etc. 5. Să se rezolve ecuaţia: log2x + log3x = 1. Soluţie. Deducem, aplicând formula de schimbare a bazei, lg 2 lg 3 lg x lg x lg2lg3 lg2lg3 + = 1 sau lg x = = . Deci x = 1 0 lg 6 . lg 2 lg 3 lg2 + lg3 lg6 6. Să se rezolve ecuaţia: log3x + logx3= 2.

148

Algebra I

Soluţie. Deoarece logx3 = y, obţinem y +

1 1 , rezultă log3x + = 2. Notând log3x = log3 x log3 x

1 = 2, adică y2 – 2y + 1 = 0; deci y = 1, adică log3x = 1. Prin y

urmare, x = 3. 7. Să se rezolve ecuaţia: x lg x +2 = 1000 . Soluţie. Punem condiţia de existenţă a expresiilor: x > 0. Logaritmând, obţinem o ecuaţie echivalentă lg x lg x + 2 = lg1000 care devine (lg x + 2)lg x

(

2

)

= 3. Notând lg x = y, avem y + 2y – 3 = 0 şi deci y1 = –3, y2 = 1. Din lg x = –3, obţinem x = 10-3, x = 0,001, iar din lg x = 1, obţinem x = 10. 3. Sisteme de ecuaţii exponenţiale şi logaritmice În astfel de sisteme se aplică metodele arătate anterior la ecuaţiile de tipul respectiv. Exemple

272 y _ 1 = 243·34 x + 2 1. Să se rezolve sistemul  . 2x _1 x+y 3 · 3 = 81 6 y −3 = 34 x + 7 3 Deoarece 27 = 33, 81 = 34, 243 = 35, obţinem  x + y . 4 x −3 3 = 3 6y − 3 = 4x + 7 Rezultă sistemul echivalent  , deci x = 2, y = 3 şi soluţia x + y = 4x − 3 sistemului este perechea (2, 3).  x 2 + y 2 = 425 . 2. Să se rezolve sistemul  lg x lg y 2 + =  x 2 + y 2 = 425  x 2 + y 2 = 425   Soluţie. Obţinem, pe rând sistemele lg xy = 2 ⇔  xy = 100 . x, y > 0  x, y > 0  

Soluţie.

Acest sistem simetric îl putem rezolva pe căile cunoscute. Punem s = x + y, p = xy şi vom avea s 2 − 2p = 425 s 2 = 625 s = ±25  s = 25 ⇔ ⇔ . Sistemul  dă soluţiile   p 100 p = 100 = p p 100 100 = =     (5, 20) şi (20, 5) care satisfac şi condiţiile de existenţă ale sistemului iniţial, s = −25 x > 0, y > 0. Sistemul  dă soluţiile (-20, –5), (-5, –20), care nu convin. p = 100 4. Inecuaţii exponenţiale şi logaritmice Rezolvarea inecuaţiilor exponenţiale şi logaritmice se bazează pe proprietăţile de monotonie ale funcţiilor exponenţiale şi logaritmice. Am văzut că atât funcţia exponenţială cât şi funcţia logaritmică sunt crescătoare dacă baza este supraunitară şi descrescătoare dacă baza este subunitară. Exemple

1. Să se rezolve inecuaţia 3x > 9. Inecuaţia se scrie 3x > 32 şi deoarece funcţia f : R → R , f (x) = 3x este crescătoare, rezultă că x > 2. 149

Algebra I

1 1 . Deoarece = 2−3 , inecuaţia se 8 8 x 2 −4 x −3 2 > 2 , care este echivalentă cu x – 4x > –3. Rezolvarea scrie 2 2 inecuaţiei x – 4x + 3 > 0 dă pentru x valorile posibile x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, +∞). 3. Să se rezolve inecuaţia: log 1 (2 x _1) > _ 3 . Avem că –3 = log 1 27 şi

2. Să se rezolve inecuaţia 2 x

2

−4 x

3

>

3

1 a logaritmului este inecuaţia devine log 1 (2 x _1) > log 1 27 . Deoarece baza 3 3 3 subunitară, inecuaţia devine 2x – 1 < 27, adică x < 14. În acelaşi timp, din 1 condiţia de existenţă a logaritmului iniţial, avem 2x – 1 > 0, adică x > . 2 1  Deci x ∈  , 14  . 2 

150

Algebra I

Test de autoevaluare 8

1)

Să se rezolve ecuaţia 2 ⋅ 25 x − 10 x − 4 x = 0 .

2)

Să se rezolve ecuaţia 3lg2 x 3 − lg x − 1 = 0.

3)

 x y − y x = 0 Să se rezolve sistemul de ecuaţii  x y 2 − 4 = 0

4)

Să se rezolve inecuaţia log2 9 − 2 x > 3 − x. jkgkfgjkhfjkfkjfjhfkjfjfjh

Răspunsurile se vor da în spaţiul liber din chenar, în continuarea enunţurilor.

( )

(

)

Răspunsurile la acest teste se găsesc la pagina 155 a acestei unităţi de învăţare.

151

Algebra I

3.7. Comentarii şi răspunsuri la testele de autoevaluare Test 1 1) Avem f(1) = 1+m, f(2) = 4 + m, f(3) = 9 + m. Trebuie ca 1 + m, 4 + m şi 9 + m să aparţină mulţimii {1, 2, 3}. Dacă m + 1 = 1, atunci m = 0, şi în acest caz, m + 4 = 4 şi m + 9 = 9 nu aparţin mulţimii {1, 2, 3}. Dacă m +1 = 2 sau m + 1 = 3 rezultă m = 1 sau m = 2 şi, în ambele cazuri, m + 4 şi m + 9 nu aparţin mulţimii {1, 2, 3}. Nu există nici o funcţie f : {1, 2, 3} τ {1, 2, 3} de forma f(x) = x2 + m , m ∈  . 2) Pentru x ∈ ú, avem (g ) f)(x) = g(f(x)). Dacă x < 0, g(f(x)) = g(2x + 3) = 2x +4, iar dacă x ≥ 0, g(f(x)) = g (x2 + 3) = x2 + 4. 2x + 4,dacă x < 0, Deci g ) f : ú τ ú şi (g ) f)(x) =  2  x + 4,dacă x ≥ 0. Dacă x ∈ ú, avem 2 ( x + 1) + 3,dacă x + 1 < 0 ⇔ x < −1, (f ) g)(x) = f(g(x)) = f(x +1) =  2 ( x + 1) + 3,dacă x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1. 2 x + 5,dacă x < −1, deci f ) g : ú τ ú şi (f ) g)(x) =  2  x + 2 x + 4,dacă x ≥ −1. Test 2 1) este clar că dacă f este bijectivă atunci f este injectivă şi surjectivă. Fie A = {a1, a2, …,an } şi B = f(A) = {f ( x ) | x ∈ A} . Dacă f este injectivă, atunci B = {f ( a1 ) , f ( a2 ) ,..., f ( an )} are tot n elemente şi cum B ⊆ A , rezultă B = A,

adică f este surjectivă. Dacă f este surjectivă, să arătăm că este injectivă. Presupunând că f nu este injectivă, există ai ≠ a j din A cu f ( ai ) = f ( a j ) . Aşadar mulţimea f(A) are cel mult n – 1 elemente, ceea ce contrazice faptul că f(A) = A. 2) Să arătăm ca f este injectivă. Fie x1, x2 ∈  .Distingem cazurile: i) x1, x2 ≤ 2 . Dacă f ( x1 ) = f ( x2 ) , atunci 3 x1 − 2 = 3 x2 − 2 , de unde x1 = x2

ii) x1, x2 > 2 . Dacă f ( x1 ) = f ( x2 ) , atunci x12 = x22 , de unde x1 = x2 .

iii) x1 ≤ 2, x2 > 2. Avem x1 ≠ x2, iar f(x1) = 3x1 – 2 ≤ 4 şi f ( x2 ) = x22 > 4 , de

unde f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .

Să arătăm că f este surjectivă. Fie y ∈  . Distingem cazurile : y +2 i) y ≤ 4. Dacă f(x) = y , atunci 3x – 2 = y, de unde x = ≤ 2; 3 ii) y > 4. Dacă f(x) = y, atunci x2 = y , de unde y = x > 2 . y + 2 , dacă y ≤ 4,  −1 −1 Inversa funcţiei f este f :  → , f ( y ) =  3  y , dacă y > 4. 

152

Algebra I

Test 3 Δ = 9 sau 4a 4ac − b 2 = 36a . Avem f(–1)=13 şi f(2) = 10 adică a – b +3 = 13 şi 4a + 2b +c = 0. Rezolvând sistemul format din cele 3 ecuaţii în necunoscutele a, b, c, obţinem a1 = 1, b1 = −2, c 1 = 10 şi 1 10 106 a1 = , b2 = − , c2 = . 9 9 9 x 2 − 3x + 2 =y. 2) Daca y ∈ Imf, exista x ∈  , astfel încât f(x) = y, adică 2 x + x +1 Acesta ecuaţie în necunoscuta x este echivalentă cu ecuaţia x 2 (1 − y ) + x ( 3 + y ) + 2 − y = 0 . Cum x ∈  , rezultă că Δ = −3 y 2 + 18 y + 1 ≥ 0 .

1) Punem condiţia ca f să aibă un minim egal cu 9, adică −

 9 − 84 9 + 84  Rezolvând inecuaţia −3 y 2 + 18 y + 1 ≥ 0 rezultă y ∈  ,  . Este 3 3    9 − 84 9 + 84  clar că Im f =  , . 3 3  

Test 4 1) Cum funcţia putere de grad impar este strict crescătoare, rezultă ca f este injectivă. Deoarece există în  , radicalul de ordin impar din orice număr real, rezultă ca f este bijectivă. 2) Considerăm ecuaţia ax 4 + bx + c = c care este echivalentă cu ecuaţia b x ax 3 + b = 0 care are soluţiile reale x1 = 0 şi x2 = − 3 . Dacă b = 0, a  b b Dacă b ≠ 0 avem că f ( 0 ) = f  − 3  = c şi 0 ≠ − 3  a a   funcţia devine f ( x ) = ax 4 + c şi atunci pentru orice x ∈ , x ≠ 0 avem

(

)

f ( x ) = f ( −x ) .

(

)

3) Scriem f ( x ) = x x 1999 − 2 + 1 . Este clar că f ( 0 ) = f

(

1999

)

2 = 1.

4) Ecuaţia x 2 ⋅ 3 x = y , unde y ∈  , are soluţia x = 7 y 3 . Definim funcţia

g :  → , g ( x ) = 7 x 3 . Se arată că ( g  f )( x ) = x şi ( f  g )( x ) = x , adică g  f = 1 şi f  g = 1 . Deci f este inversabilă, inversa sa fiind funcţia g. Deci

f −1 :  → , f −1 ( x ) = 7 x 3 . Test 5 x

1  1 1) Deoarece   = x = a − x , inegalitatea devine ax > a-x. Ţinând cont de a a monotonia funcţiei exponenţiale obţinem: i) Dacă 0< a < 1, a x > a − x este echivalentă cu x < - x adică 2x < 0 şi deci x ∈ ( −∞,0 ) . ii) dacă a > 1, deducem că x ∈ (,0, −∞ ) .

153

Algebra I x −1

x

2x

x −1

1  1  1  1  1 2) a) Inegalitatea   >   devine   >   . Cum baza este 3 9 3 3 3 subunitară, inegalitatea este echivalentă cu 2x < x – 1 sau x < –1. 2

2

b) Inegalitatea 8 x < 4 devine 23 x < 22 şi cum baza 2 este supraunitară 2

rezultă că 23 x < 22 este echivalentă cu 3x2 < 2. Deci inegalităţile date nu sunt echivalente. log2 x + log2 x log2 x x log2 3 ⋅ log3 x x = = = log2 3 . 3) Avem E = log3 x + log3 x log3 x x log3 x x 3 3 3−a 4) Avem a = log12 27 = 3log12 3 = , de unde log3 2 = . = log3 12 1 + 2log3 2 2a 4 4 2a . Înlocuim log2 3 = şi Atunci log6 16 = 4log6 2 = = log2 6 1 + log2 3 3−a obţinem log6 16 = Test 6

4 (3 − a ) 3+a

.

x 2 − 5x + 4 1) Inecuaţia este echivalentă cu −1 ≤ ≤ 1. Rezolvăm cele două x2 − 4  8  5  inecuaţii şi intersectăm mulţimile de soluţii. Se obţine x ∈ 0,  ∪  , +∞  .  5  2  2) Punem condiţiile m – 1 şi Δ < 0 care au ca mulţime de soluţii intervalele 5 (1,+∞ ) şi respectiv reuniunea de intervale ( −∞, −1) ∪  , +∞  . Rezultă 3  5  m ∈  , +∞  . 3  3) Considerăm funcţia de gradul al doilea f ( x ) = x 2 − 2mx + m + 1.

(

)

Discriminantul este Δ = 4 m 2 − m − 1 . Distingem două cazuri :  1− 5 1+ 5  i) Dacă Δ < 0 , adică m ∈  ,  , atunci f(x) > 0 oricare ar fi x real şi  2 2   deci f(x) > 0 oricare ar fi x > 0.   1 − 5  1 + 5 ii) Dacă Δ ≥ 0 adică m ∈  −∞, , +∞  şi, în plus, ∪    2   2  

x1 ≤ 0, x2 ≤ 0, atunci f(x) > 0, oricare ar fi x > 0. Avem x1 ≤ 0, x2 ≤ 0 dacă şi numai dacă S = x1 + x2 ≤ 0 şi P = x1x2 ≥ 0 . Obţinem 2m ≤ 0 şi m + 1 ≥ 0, de  1− 5  unde m ∈ [ −1,0] . În acest caz rezultă m ∈  −1,  . Reunind cele două 2    1+ 5  cazuri obţinem m ∈  −1, . 2  

Test 7

1) Din condiţiile de existenţă a radicalilor rezultă x ∈ [3, +∞ ) . Ridicând la pătrat

ambii membrii ai ecuaţiei obţinem 154

Algebra I

( x − 3 )( x + 3 ) + x + 3 = 4 − 4 10 + 10 , sau ( x − 3 )( x + 3 ) = 2x − 14 + 4 10 , sau încă x 2 − 9 = x − 7 + 2

x −3−2

2

10 . Printr-o

nouă ridicare la pătrat şi după efectuarea calculelor, rezultă

(

)

x 7 − 2 10 = x − 7 + 2 10 , de unde x = 7 ∈ [3, +∞ ) .Prin verificare se obţine că 7 este soluţia ecuaţiei date. 2) Se impune condiţia x ≥ 0. Ridicând la puterea a treia ambii membri ai ecuaţiei obţinem x + 3 + 13 − x + 3 3 16 + 3 3

x +3

3

x + 3 3 13 − x

(

3

)

x + 3 + 3 13 − x = 64 , sau

13 − x ⋅ 4 = 64 , sau încă

(

)

x + 3 (13 − x ) = 64 şi

efectuând calculele ecuaţia devine x − 10 x + 25 = 0 . Notăm y = x ≥ 0 şi obţinem ecuaţia în y : y2 – 10y +25 = 0 adică ( y − 5 ) = 0 . Deci y = 5 şi atunci x =25. Verificarea arată că x = 25 este soluţia ecuaţiei. 2

Test 8 1) Ecuaţia se scrie 2 ⋅ 52 x − 5 x ⋅ 2 x − 22 x = 0 şi, împărţind cu 52x, obţinem X

2X

x

2 2 2 2 −   −   = 0 . Făcând substituţia y =   > 0 , obţinem ecuaţia 5 5 5 2 y + y − 2 = 0 , de unde , y1 = –2, y2 = 1. Cum y > 0, rezultă că singura x

2 soluţie a ecuaţiei date se obţine din   = 1. De unde x = 0. 5

( )

2) Punem condiţia x > 0. Avem că lg 2 x 3 = ( 3lg x ) = 9lg2 x şi ecuaţia devine 3

18lg2 x − 3lg x − 1 = 0 . Făcând substituţia y =lgx, obţinem ecuaţia 1 1 18 y 2 − 3 y − 1 = 0 cu soluţiile y1 = − , y 2 = . Se obţine 6 3 1 x1 = 6 şi x2 = 3 10 . 10 y x  x − y = 0 3) Se impun condiţiile x > 0 şi y > 0. Sistemul se scrie  x sau 2y 2 − 2 = 0 y x x y = y x y  x = y sau, încă . Deci ( 2y ) = y 2 y , de unde y y 2y − y y = 0 .   x 2y 2 = 2  x = 2y Cum yy > 0 rezultă 2y = yy deci y = 2 şi atunci x = 4. Soluţia sistemului este : x = 4 şi y = 2. 4) Se impune condiţia 9 – 2x > 0, adică 2x < 9. Inecuaţia devine log2 9 − 2 x > log2 23 − x sau 9 – 2x > 23-x sau, încât 9 ⋅ 2x – 22x > 23.

(

(

)

)

Făcând substituţia y = 2x > 0, obţinem inecuaţia y 2 − 9 y + 8 < 0 , de unde

y ∈ (1, 8 ) . În final, rezultă x ∈ ( 0,3 ) şi deci (0, 3) este mulţimea soluţiilor inecuaţiei.

155

Algebra I

3.8. Lucrare de verificare pentru studenţi Indicaţii de redactare. Problemele se vor rezolva în ordinea din textul enunţului. Rezolvările se vor expedia pe adresa tutorelui. 1 punct din oficiu 1,5 puncte

1) Se consideră funcţiile f :  →  şi g :  →  ,

 x 2 , dacă x ≤ −2 2 x − 3, dacă x ≤ 0 f (x) =  , şi g ( x ) =  . 7 x, dacă x>0 2x-1, dacă x>-2 Să se determine g  f şi f  g . 1,5 puncte

2) Fie A o mulţime nevidă şi finită de numere reale. Dacă f : A → A

este o funcţie strict crescătoare (respectiv descrescătoare) să se arate că f = 1 . A 1,5 puncte

3) Fie funcţia fm :  →  , definită prin

− x 2 + mx + 1, dacă x ≤ 0 fm ( x ) =  , unde m este un parametru real. Să  x + 1, dacă x > 0 se determine valorile lui m pentru care funcţia fm este surjectivă, injectivă, respectiv inversabilă. În cazul în care este inversabilă să se determine inversa sa. 1,5 puncte

4) Să se rezolve inecuaţia 3 x + 4 x > 5 x .

1,5 puncte

5) Să se rezolve şi să se discute după valorile parametrului real a ,

inecuaţia: loga x − loga2 x + loga4 x ≥ 1,5 puncte

156

6) Să se rezolve ecuaţia

3

3 . 4

x +1+ 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0.

Algebra I

3.9. Bibliografie 1) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Rizescu, Algebra, manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 2) C. Năstăsescu, C. Niţă, S. Popa, Algebra, manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 3) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Andrei, M. Răduţiu, Fl. Vornicescu, N. Vornicescu, Matematică, manual pentru clasa a IX-a (pentru programele M1 şi M2), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999. 4) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D. Niţescu, Matematică, manual pentru clasa a X-a (pentru programa M1), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. 5) C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică (trunchi comun şi curriculum diferenţiat), manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2004. 6) C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică (trunchi comun şi curriculum diferenţiat), manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2005. 7) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Brandibaru, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme de algebra clasele IX-XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1992. 8) C. Năstăsescu, C. Niţă, C. Vraciu, Aritmetică şi Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

157

Algebra I

Bibliografie generală 1) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Rizescu, Algebră, manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 2) C. Năstăsescu, C. Niţă, S. Popa, Algebră, manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 3) C. Năstăsescu, C. Niţă, Gh. Andrei, M. Răduţiu, Fl. Vornicescu, N. Vornicescu, Matematică, manual pentru clasa a IX-a (pentru programele M1 şi M2), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1999. 4) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D. Niţescu, Matematică, manual pentru clasa a Xa (pentru programa M1), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. 5) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Dumitrescu, N. Soare, D.R. Popescu, D. Niţescu, Matematică, manual pentru clasa a X-a (pentru programa M2), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2000. 6) C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică (trunchi comun şi curriculum diferenţiat), manual pentru clasa a IX-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2004. 7) C. Năstăsescu, C. Niţă, I. Chiţescu, D. Mihalca, Matematică (trunchi comun şi curriculum diferenţiat), manual pentru clasa a X-a, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 2005. 8) C. Năstăsescu, C. Niţă, M. Brandibaru, D. Joiţa, Exerciţii şi probleme de algebra clasele IX-XII, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1992. 9) C. Năstăsescu, C. Niţă, C. Vraciu, Aritmetică şi Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993.

158

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Investeşte în oameni!

Formarea profesională a cadrelor didactice din învăţământul preuniversitar pentru noi oportunităţi de dezvoltare în carieră

Unitatea de Management al Proiectelor cu Finanţare Externă Str. Spiru Haret nr. 12, Etaj 2, Sector 1, Cod poºtal 010176, Bucureºti Tel: 021 305 59 99 Fax: 021 305 59 89 http://conversii.pmu.ro e-mail: [email protected]

IS

BN

97

3-

0-

04

08

9-

3