Makalah_fisika_statistik-1.docx

Makalah Fisika Statistik

FUNGSI PARTISI RAYA

O L E H KELOMPOK INDRA P. GULTOM RISNAWANI SITI HARDIANTY LUBIS TOGA CLINTON SIHOTANG PENDIDIKAN FISIKA EKSTENSI 2014

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN MEDAN 2016 0

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat, Inayah, Taufik dan Hinayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan, petunjuk maupun pedoman bagi pembaca. Makalah ini membahas segalah hal yang berkaitan dengan Fungsi Partisi Raya. Penulis sangat berharap karya tulis ini dapat membantu kita untuk memahami materi tentang Fungsi Partisi Raya. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas dan menjadi sumbangan pemikiran kepada pembaca khususnya para Mahasiswa. Penulis sadar bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan jauh dari sempurna. Untuk itu, kepada Dosen pembimbing penulis meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah kami di masa yang akan dat ang dan mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca.

Medan, 19 April 2016

KELOMPOK

i

DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR

i

DAFTAR ISI

ii

BAB I

BAB II

BAB III

PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Rumusan Masalah

1

1.3 Tujuan

1

PEMBAHASAN

2

2.1 Pengertian Fungsi Partisi

2

2.2 Fungsi Partisi Kanonik

3

2.3 Arti dan Peranan Penting

5

2.4 Menghitung Energi Total Termodinamika

6

2.5 Fungsi Partisi Subsistem

6

2.6 Fungsi Partisi Subsistem

7

PENUTUP 3.1 Kesimpulan

DAFTAR PUSTAKA

9

10

ii

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Fungsi partisi adalah suatu fungsi yang menjelaskan sifat-sifat statistika suatu sistem dalam kesetimbangan termodinamika. Fungsi ini bergantung pada suhu dan parameterparameter

lainnya,

seperti

volume

dan

tekanan

gas.

Kebanyakan

variabel-

variabel termodinamika dari suatu sistem, seperti energi, energi bebas, entropi dan tekanan dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi partisi atau turunannya. Z disebut "fungsi partisi", karena dapat menyatakan bagaimana kebolehjadian terpartisi (terbagi-bagi) dalam keadaan mikro yang berbeda-beda, berdasarkan nilai energi masing-masing. Huruf Z berasal dari kata dalam bahasa Jerman Zustandssumme, "jumlah seluruh keadaan". Notasi ini juga menjelaskan arti penting lainnya dari fungsi partisi sebuah sistem: ia dapat menghitung jumlah keadaan suatu sistem dapat terpenuhi. Oleh karena itu, jika semua keadaan memiliki kebolehjadian yang sama (serta energi sama), fungsi partisi merupakan jumlah total dari keadaan-keadaan yang memungkinkan. Terdapat beberapa jenis fungsi partisi, masing-masing berhubungan dengan jenis ensembel statistika atau energi bebas yang berbeda. Fungsi partisi kanonik diaplikasikan pada ensembel kanonik, di mana sistem dapat mempertukarkan panas dengan lingkungan pada suhu, volume dan jumlah partikel tetap. Fungsi partisi dapat pula berhubungan dengan sifat-sifat termodinamika karena merupakan makna statistik yang sangat penting.

1.2. Rumusan Masalah 1. Bagaimana menentukan fungsi partisi dari distribusi Maxwell-Boltzmann? 2. Bagaimana bentuk fungsi partisi kanonik? 3. Mengapa fungsi partisi merupakan suatu kuantitas yang begitu penting? 4. Bagaimana hubungan antara fungsi partisi dengan berbagai parameter termodinamika suatu sistem?

1.3. Tujuan 1. Mengetahui cara menentukan fungsi partisi dari distribusi Maxwell-Boltzmann 2. Mengetahui bentuk fungsi partisi kanonik 3. Mengetahui fungsi partisi merupakan suatu kuantitas yang begitu penting 4. Mengetahui hubungan antara fungsi partisi dengan berbagai parameter termodinamika suatu sistem 1

BAB II PEMBAHASAN 2.1. Pengertian Fungsi Partisi Fungsi partisi merupakan suatu fungsi yang menjelaskan sifat-sifat statistika suatu sistem dalam kesetimbangan termodinamika. Fungsi ini bergantung pada suhu dan parameter-parameter lainnya, seperti volume dan tekanan gas. Kebanyakan variabelvariabel termodinamika dari suatu sistem, seperti energi, energi bebas, entropi dan tekanan dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi partisi atau turunannya. Fungsi distribusi dalam statistik Maxwell-Boltzmann dapat dituliskan : ̅𝑗 = 𝑁 (𝑒𝑥𝑝 𝑁

−∈𝑗 𝜇 ) 𝑔𝑗 𝑒𝑥𝑝 𝑘𝑏 𝑇 𝑘𝐵 𝑇

̅𝑗 = N, dan potensial nya 𝜇 tidak bergantung pada j, hal itu ditunjukkan pada : Σj 𝑁 ̅𝑗 = 𝑁 = 𝑁 (𝑒𝑥𝑝 ∑𝑁 𝑗

−∈𝑗 𝜇 ) ∑ 𝑔𝑗 𝑒𝑥𝑝 𝑘𝑏 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝑗

Jumlah dalam persamaan terakhir disebut fungsi partisi atau kondisi seluruh jumlah dan diwakili oleh Z, yang sering digunakan. 𝑍 ≡ ∑ 𝑔𝑗 𝑒𝑥𝑝 𝑗

−∈𝑗 𝑘𝐵 𝑇

Fungsi partisi hanya bergantung pada suhu T. Hal itu diikuti dari dua persamaan terdahulu pada statistik M-B, 𝑒𝑥𝑝

−∈𝑗 1 = 𝑘𝐵 𝑇 𝑍

Persmaan diatas dapat ditulis menjadi : ̅𝑟 𝑁 −∈𝑗 𝑁 = 𝑒𝑥𝑝 𝑔𝑟 𝑍 𝑘𝐵 𝑇 Fungsi distribusi klasik dapat ditulis menjadi : ̅𝑗 = 𝑁 (𝑒𝑥𝑝 𝑁

−∈𝑗 𝜇 ) 𝑔𝑗 𝑒𝑥𝑝 𝑘𝑏 𝑇 𝑘𝐵 𝑇

2

Dan penjumlahan seluruh nilai dari j, diperoleh : ̅𝑗 = 𝑁 = 𝑁 (𝑒𝑥𝑝 ∑𝑁 𝑗

−∈𝑗 𝜇 ) ∑ 𝑔𝑗 𝑒𝑥𝑝 𝑘𝑏 𝑇 𝑘𝐵 𝑇 𝑗

Kemudian jika fungsi partisi Z ditentukan dalam cara yang sama dengan statistik MB, diperoleh : 𝑒𝑥𝑝

−∈𝑗 𝑁 = 𝑘𝐵 𝑇 𝑍

Sehingga distribusi klasik dapat ditulis menjadi : ̅𝑗 𝑁 𝑁 −∈𝑗 = 𝑒𝑥𝑝 𝑔𝑗 𝑍 𝑘𝐵 𝑇 2.2. Fungsi Partisi Kanonik Terdapat beberapa jenis fungsi partisi, masing-masing berhubungan dengan jenis ensembel statistika atau energi bebas yang berbeda. Fungsi partisi kanonik diaplikasikan pada ensembel kanonik, di mana sistem dapat mempertukarkan panas dengan lingkungan pada suhu, volume dan jumlah partikel tetap. Fungsi partisi kanonik agung diaplikasikan pada ensembel kanonik agung, di mana sistem dapat mempertukarkan panas maupun partikel dengan lingkungan pada suhu, volume dan potensial kimia tetap. Jenis lain dari fungsi partisi dapat didefinisikan untuk masing-masing keadaan yang berbeda. Sebagai asumsi awal, dibuat sebuah sistem yang besar secara termodinamika yang memiliki kontak yang konstan secara termal dengan lingkungan, dengan suhu T, serta dengan volume dan jumlah partikel tetap. Jenis sistem tersebut disebut ensembel kanonik. Mari kita tandai dengan s ( s = 1, 2, 3, ...) sebagai keadaan eksak (keadaan mikro) yang dapat terpenuhi oleh sistem. Energi total sistem ketika keadaan mikro s terpenuhi kita sebut sebagai Es. Secara umum, keadaan mikro dapat dikatakan analog dengan keadaan diskrit (kuantum) suatu sistem. Fungsi partisi kanonik adalah

,

3

di mana "suhu inversi", β, secara konvensional didefinisikan sebagai

dengan

kB

sebagai tetapan Boltzmann.

exp(–β·Es)

diketahui sebagai faktor

Boltzmann. Pada sistem dengan berbagai keadaan kuantum s namun memiliki nilai Es yang sama, dapat dikatakan bahwa tingkat energi sistem terdegenerasi. Pada kasus di mana tingkattingkat energi terdegenerasi, kita dapat menuliskan fungsi partisi dalam bentuk kontribusi dari tingkat-tingkat enrgi (ditandai dengan j) sebagai berikut:

, di mana gj merupakan faktor degenerasi, atau jumlah keadaan kuantum s yang memiliki tingkat energi sama, Ej = Es . Perlakuan di atas dapat diaplikasikan pada mekanika statistika kuantum, di mana sistem fisis dalam sebuah kotak dengan ukuran terbatas akan memiliki himpunan keadaan eigen energi yang khas, yang mana dapat kita gunakan seperti keadaan s di atas. Dalam mekanika statistika klasik, belum tentu tepat jika kita mengekspresikan fungsi partisi sebagai jumlah dari keadaan-keadaan diskrit, seperti yang telah kita lakukan sebelumnya pada mekanika statistika kuantum. Dalam mekanika klasik, variabel-variabel posisi dan momentum suatu partikel dapat bervariasi secara kontinyu, jadi himpunan keadaan mikronya tak berhingga. Pada kasus ini kita harus menjelaskan fungsi partisi menggunakan suatu integral dibandingkan dengan cara penjumlahan. Sebagai contoh, fungsi partisi suatu gas dengan jumlah N partikel adalah

di mana : momentum partikel : posisi partikel : notasi singkat yang berfungsi sebagai pengingat bahwa

dan

merupakan vektor

dalam ruang tiga dimensi, dan H : Hamiltonian klasik.

4

Alasan

untuk

faktor

N!

didiskusikan

pada

bagian

di bawah ini.

Untuk

penyederhanaan, kita akan menggunakan bentuk diskrit fungsi partisi dari artikel ini. Tujuan kita adalah untuk menerapkan fungsi diskrit ke dalam bentuk kontinu secara seimbang. Faktor tetapan ekstra ditambahkan pada bagian penyebut. Hal ini disebabkan karena, tidak seperti bentuk diskrit, bentuk kontinu yang ditampilkan di atas tidak tanpa dimensi. Untuk membuatnya menjadi kuantitas tanpa dimensi, kita harus membaginya dengan

di mana

h adalah tetapan Planck. 2.3. Arti dan Peranan Penting Dari penjelasan di atas, mungkin belum terlihat jelas mengapa fungsi partisi merupakan suatu kuantitas yang begitu penting. Pertama, mari kita lihat apa yang terdapat didalamnya. Fungsi partisi adalah sebuah fungsi dari suhu T dan energi keadaan mikro E1, E2, E3, dst. Energi keadaan mikro ditetapkan dengan variabel termodinamika lainnya, seperti jumlah partikel dan volum, serta kuantitas mikroskopik (seperti massa konstituen partikel). Kebergantungan terhadap variabel mikroskopik ini merupakan titik tengah dari mekanika statistik. Dengan menggunakan model konstituen mikroskopik suatu sistem, seseorang dapat menghitung energi keadaan mikro, kemudian fungsi partisi dan selanjutnya dan selanjutnya dapat menghitung semua sifat termodinamika pada suatu sistem. Fungsi partisi dapat berhubungan dengan sifat-sifat termodinamika karena merupakan makna statistik yang sangat penting. Kebolehjadian Ps suatu sistem untuk memenuhi keadaan mikro s adalah

adalah faktor Boltzmann. (Untuk penurunan lebih detil, lihat ensembel kanonik). Fungsi partisi memegang peranan dalam tetapan normalisasi, untuk memastikan jumlah nilai kebolehjadian adalah satu:

Inilah alasan mengapa menyebut Z "fungsi partisi": karena dapat menyatakan bagaimana kebolehjadian terpartisi (terbagi-bagi) dalam keadaan mikro yang berbeda-beda, berdasarkan

nilai

energi

masing-masing.

Huruf Z berasal

dari

kata

dalam

bahasa Jerman Zustandssumme, "jumlah seluruh keadaan". Notasi ini juga menjelaskan arti penting lainnya dari fungsi partisi sebuah sistem: ia dapat menghitung jumlah keadaan suatu 5

sistem dapat terpenuhi. Oleh karena itu, jika semua keadaan memiliki kebolehjadian yang sama (serta energi sama), fungsi partisi merupakan jumlah total dari keadaan-keadaan yang memungkinkan. 2.4. Menghitung Energi Total Termodinamika Untuk menjelaskan lebih dalam mengenai fungsi partisi, mari kita hitung nilai termodinamika energi total. Perhitungan ini dilakukan dengan menyederhanakan nilai yang diharapkan atau ensembel rata-rata untuk energi. Jumlah energi keadaan mikro ditentukan dengan nilai kebolehjadian masing-masing:

atau, ekovalen dengan:

Perlu dicatat bahwa energi keadaan mikro bergantung pada λ dengan cara

kemudian nilai A yang diharapkan adalah

Persamaan di atas menunjukkan kepada kita metode untuk menghitung nilai yang diharapkan untuk sejumlah kuantitas mikroskopik. Pertama-tama ditambahkan secara artifisial kuantitas energi keadaan mikro (atau dalam bahasa mekanika kuantum disebut Hamiltonian). Setelah itu dihitung fungsi partisi yang baru dan nilai yang diharapkan dan menetapkan nilai λ menjadi nol pada hasil akhir. Hal ini merupakan analog terhadap metode medan sumber yang digunakan dalam formulasi integral jalur teori medan kuantum.

2.5. Hubungan Dengan Variabel Termodinamika Pada bagian ini, kita akan menyatakan hubungan antara fungsi partisi dengan berbagai parameter termodinamika suatu sistem. Hasil yang didapatkan bisa diturunkan dengan

6

metode pada bagian sebelumnya serta dengan berbagai hubungan termodinamika. Seperti yang sudah kita ketahui, energi termodinamika adalah:

Variansi energi (atau "fluktuasi energi") adalah

Kapasitas kalor adalah

Entropi adalah

di mana A adalah energi bebas Helmholtz yang didefinisikan sebagai A = U - TS, di mana U=<E> merupakan energi total dan S adalah entropi, jadi

2.6. Fungsi Partisi Subsistem Kita anggap bahwa sistem terbagi menjadi N buah sub-sistem dengan mengabaikan energi interaksi. Jika fungsi partisi masing-masing sub-sistem adalah ζ1, ζ2, ..., ζN, maka fungsi partisi untuk sistem secara keseluruhan adalah produk dari masing-masing fungsi partisi:

Jika sub-sistem memiliki sifat fisis yang sama, maka fungsi partisi mereka setara, ζ1 = ζ2 = ... = ζ, di mana

7

Bagaimanapun, terdapat suatu pengecualian terhadap aturan tersebut. Jika sub-sistem merupakan partikel identik, dalam logika mekanika kuantum tidak mungkin dapat dibedakan bahkan dalam hal yang dasar, fungsi partisi total harus dibagi dengan N! (N faktorial):

Hal tersebut dilakukan untuk memastikan bahwa kita tidak menghitung secara ganda jumlah keadaan mikro. Ketika hal tersebut dirasa merupakan persyaratan yang aneh, maka perlu dibuat suatu eksistensi yang merupakan batas termodinamika dari suatu sistem. Hal ini diketahui sebagai paradoks Gibbs.

8

BAB III PENUTUP 3.1. Kesimpulan 1. Fungsi partisi adalah suatu fungsi yang menjelaskan sifat-sifat statistika suatu sistem dalam kesetimbangan termodinamika. Fungsi ini bergantung pada suhu dan parameter-parameter lainnya, seperti volume dan tekanan gas. Z disebut "fungsi partisi", karena dapat menyatakan bagaimana kebolehjadian terpartisi (terbagi-bagi) dalam keadaan mikro yang berbeda-beda, berdasarkan nilai energi masing-masing. 2. Jika fungsi partisi Z ditentukan dalam cara yang sama dengan statistik M-B, diperoleh: 𝑒𝑥𝑝

−∈𝑗 𝑁 = 𝑘𝐵 𝑇 𝑍

3. Arti dan peranan penting fungsi partisi adalah sebuah fungsi dari suhu T dan energi keadaan mikro E1, E2, E3, dst. Energi keadaan mikro ditetapkan dengan variabel termodinamika lainnya, seperti jumlah partikel dan volum, serta kuantitas mikroskopik (seperti massa konstituen partikel). Dengan menggunakan model konstituen mikroskopik suatu sistem, seseorang dapat menghitung energi keadaan mikro, kemudian fungsi partisi dan selanjutnya dan selanjutnya dapat menghitung semua sifat termodinamika pada suatu sistem.

9

DAFTAR PUSTAKA

Situmorang, Rapell. 2015. Fisika Statistik. Medan : FMIPA UNIMED https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_partisi_(mekanika_statistika)

10