Logaritmo

A HISTÓRIA DO LOGARITMO. O conceito de logaritmo de uma forma mais próxima ao que se conhece

hoje

em

dia

foi

proposto,

independentemente,

pelo

matemático escocês John Napier (1550-1617) e pelo matemático suiço Jost Bürgi (1552-1632) em princípios do século XVII. Naquele contexto histórico-cultural, a criação desse novo conceito matemático estava a serviço de tornar as complicadas operações de multiplicação e divisão mais práticas — em especial as que envolviam números muito grandes ou frações decimais muito pequenas. Para isso, tais matemáticos construíram tabelas que tinham por base a relação existente entre progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG). Com isso, reduziam-se as complicadas operações de multiplicação e divisão a operações simples de adição e subtração. Segundo essas tabelas, a multiplicação e a divisão de quaisquer termos tomados de uma progressão geométrica relacionavam-se, respectivamente, à soma e à diferença dos termos correspondentes da progressão aritmética. Vejamos como essa relação funciona. Considere as seguintes PA e PG: PA: 1 2 3 4 5 6 7 8 PG: 2 4 8 16 32 64 128 256

9 512

10 1.024

11 2.048

... ...

Para obter a multiplicação 32 x 64, procede-se da seguinte maneira: •

32 na linha da PG corresponde a 5 na linha da PA.

•

64 na linha da PG corresponde a 6 na linha da PA.

Somando os valores correspondentes na linha da PA, obtém-se: 5 + 6

=

11,

Logo:

que 32

corresponde x

a

2.048 64

na

linha =

da

PG. 2.048

De modo análogo, verifica-se, por exemplo, que o quociente 1.024 ÷ 128 = 8.

Exercício 1. Utilizando a correspondência e completando as PA e PG acima até os termos que forem necessários, faça as seguintes operações: a) 0,064 x 0,000512 b) 0,00000256 ÷ 0,00001024 c) 0,000002048 x 512 d) 1.024 ÷ 0,00000064 A construção da tábua dos logaritmos decimais. A primeira foi publicada em 1617, por Henry Brigs.. Como construiu? 100 -----------1 10?------------ ? 101------------10 Primeira média: A média geométrica entre 1 e 10 é 10 . Então 101/2 = 3,1623. 100 10? 101/2 101 1 3 3,1623 10 Segunda média: A média geométrica entre 1 e 101/2 é 10 1 / 2 . Então 1

10 4 = 100 1

3,1623

10 0,25 1,77

= 1,77. 10? 3

100,5 3,1623

101 10

Várias médias são feitas. Na 21a média teremos: 10 0,47755 10? 10 0,47755 2,9989 3 3,002 Então podemos ter 10 Daí log 10 3 = 0,477.

0, 477

levando ao 3.

LOGARITMO. Para compreender o que é logaritmo, considere uma potência de base positiva e diferente de 1. Por exemplo: 23 = 8. Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2. 23 = 8 ⇔ log 2 8=3. Definição. Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a.

log b a = x ⇔ bx = a. Uma pergunta: Por que a e b positivos e b diferente de 1? Chama-se logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a ( a base 10 fica subentendida). Exercícios. Calcule os logaritmos: a) log 6 216 b) log 0,001 c) log 0,3 0,09 d) log 5 3 625 Propriedades dos logaritmos. a) logb b = 1. b) log b 1= 0 c) log b a y = y log b a, y ∈ R . d) log b b x = x. a e) b logb = a. Exercícios: a) Sabendo que log b a = 9, calcule log b a 6. b) Sabendo que log b a 2 = 8, calcule log b a 3. c) Sabendo que log b a = 4, calcule log b 6 a 5 . d) Calcule E = 6 log 6 5 . e) Calcule E = 5 2 log 5 3 f) Calcule E = 5 2 +log 5 3 g) Sabendo que log 3 = 0,477, verifique se 107 < 315< 108. h) Sabendo que log 2 = 0,3010, pode–se afirmar que o número 5 2 é tal que 100,06 < 5 2 < 10 0,07. Outras propriedades dos logaritmos: a) log b ac = log b a + log b c. b) log b

a = log c

b

a – log

b

c.

Mudança de base: log k a * log b a = , para todo K ∈ R + , k ≠ 1 . log k b Exercícios: 1-Sabendo que log 5 = 0,69 e log 3 = 0,47: a) log 15 b) log 27/5 c) log 6 d) log 5 3.

2-Sabendo que log12 3 = m, calcule, em função de m o valor de log12 6. 3-Sabendo que 5p = 2, calcule log2 100. Função logarítmica. 1- Traçar o gráfico da função f(x) = log 2- Traçar o gráfico da função f(x) = log

x. ½ x. 2

3- Determinar o domínio da função f(x) = log 4- Determinar o domínio da função f(x) = log

5 x

( 3x – 6). ( 8x – 2).

Equação Logarítmica. 1- Resolver a equação log2 (4x + 24) = 5. 2- Resolver a equação log3 (x+1) + log3 ( x – 7)= 2. 3- Resolver a equação log 2 ( x+4) – log 4 x = 2. Inequação Logarítmica Resolver a inequação: 1- log2 (3x -1) >3. 2- log 1/3 ( x-2) ≤ −1 . Aplicações dos logaritmos.