Guia Funcion Logaritmo Exponencial Y Compuesta

UNICIT Marco Andrade R.

Cálculo I Ingeniería

GUÍA DE EJERCICIOS FUNCIÓN LOGARITMO Y EXPONENCIAL ÁLGEBRA Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO 1. log b ( x ) = y ⇔ b y = x 2. log b ( M ⋅ N ) = log b ( M ) + log b ( N )

M   = log b ( M ) − log b ( N ) N

3. log b 

4. log b ( M p ) = p ⋅ log b ( M ) 5. log b (b) = 1 6. log b (1) = 0 Recuerde que: 1. log10 ( x) = log( x )

1.

b) f ( 2)

c) f (32)

Considere la función: f ( x ) = ln(x) a) f (1)

3.

2. log e ( x ) = ln( x)

Considere la función: f ( x ) = log 2 ( x ) a) f (1)

2.

y

b) f (e)

c) f (e 5 )

Considere la función: g ( u ) = log(u ) a) g (1)

b) g (10)

c) g (500)

1

. Determine:

1 4

d) f   . Determine: d) f (9)

. Determine: d) g (0.000001)

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4.

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Grafique las siguientes funciones logarítmicas: a) f ( x ) = log(x)

5.

Considere la función: f ( x ) = e x a) f (0)

6.

b) g ( 4)

2

d) f   . Determine:

1 2

c) f (−3)

d) f   u

. Determine:

1 4

c) g (−5)

d) g  

Grafique las siguientes funciones exponenciales: a) f ( x ) = 10

9.

b) f ( 2)

f ( x ) = log 1 ( x)

1  3

c) f (−1)

1 Considere la función: g ( u ) =   2 a) g (0)

8.

b) f (1)

c)

. Determine:

Considere la función: f ( x ) = 10 x a) f (0)

7.

b) f ( x ) = ln(x)

x

b) f ( x ) = e

x

1 c) f ( x ) =   5

x

La función f ( x) = c , con c un número real, se llama función constante. Todos los elementos del dominio tienen la misma imagen, el número c . Grafique las siguientes funciones: a) f ( x) = 2

b) f ( x) = −1

c) f ( x) = 0

2

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10.

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Considere las funciones f , g , h y

ψ definidas por:

f ( x) = x 2 + x ; g ( x) = 2 ⋅ x + 1 ; h( x) = e x ; ψ ( x) = ln( x) Determine las funciones:

11.

f g

a) f + g

b)

d) ψ − g

e) g ⋅ψ

g) h + ψ

h)

c) f + h f)

h f

g h

i) h ⋅ψ

Considere las funciones f , g y h definidas por:

f ( x ) = e x ; g ( x ) = 2 ⋅ x ; h( x ) = x 2 + 1 Determine las funciones:

12.

a) f  g

b) f  h

c) h  g

d) g  h

Considere las funciones f , g y h definidas por:

f ( x) = ln( x) ; g ( x) = 5 ⋅ x + 1 ; h( x) = x 2 − x + 1 Determine las funciones: a) f  g

b) f  h

c) h  f

d) g  f

3

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13.

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Considere las funciones f , g y h definidas por:

f ( x) = x ; g ( x) = x 3 ; h( x) = ln( x) Determine las funciones: a) h  f  g

b) h  h

c) g  f  h

d) f  g  g

14. La población de una pequeña comunidad después de t años es aproximadamente de P(t ) =1.500e kt . Si la población inicial aumenta 25% en 10 años, ¿cuál será la población en 20 años? 15. Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado, de 2.000 estudiantes, el número N de estudiantes infectados después de t días se pronostica por: N (t ) =

2.000 1 +1999e −0.895t

a) ¿Cuántos estudiantes estarán infectados después de 5 días? b) ¿ Cuánto tardará la mitad de una población estudiantil para infectarse con el virus ?

4

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SOLUCIONES GUÍA DE EJERCICIOS FUNCIÓN LOGARITMO Y EXPONENCIAL ÁLGEBRA Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

1 4

1.

a) f (1) = 0

b) f (2) = 1

c) f (32) = 5

d) f   = −2

2.

a) f (1) = 0

b) f (e) = 1

c) f (e 5 ) = 5

d) f (9) ≈ 2,20

3.

a) g (1) = 0

4.

a)

5.

a) f (0) = 1

b) f (1) = e

c) f (−1) =

6.

a) f (0) = 1

b) f (2) = 100

c) f ( −3) = 0.001

7.

a) g (0) = 1

b) g ( 4) =

8.

a)

b)

c)

9.

a)

b)

c)

10.

b) g (10) = 1

b)

c) g (500) ≈ 2,70

d) g (0,000001) = −6

c)

1 16

c) g (−5) =

1  3

1 e

d) f   ≈ 1,39

1 2

d) f   =≈ 3,16

1 4

d) g   ≈ 0,84

a) ( f + g )( x ) = x + 3 x + 1

f x2 + x b)  ( x ) = 2x + 1 g

c) ( f + h)( x ) = x 2 + x + e x

d) (ψ − g )( x) = ln( x ) − 2 x − 1

2

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2x + 1 g ( x ) = x e h

e) ( g ⋅ψ )( x ) = (2 x + 1) ⋅ ln( x )

f) 

g) (h + ψ )( x) = e + ln( x)

h ex   ( x ) = h)   x2 + x f

x

i) (h ⋅ψ )( x ) = e x ⋅ ln( x) 11.

12.

13.

2

+1

a) ( f  g )( x) = e 2 x

b) ( f  h)( x) = e x

c) (h  g )( x ) = 4 x 2 + 1

d) ( g  h)( x ) = 2 x 2 + 2

a) ( f  g )( x ) = ln(5 x + 1)

b) ( f  h)( x ) = ln( x 2 − x + 1)

c) (h  f )( x) = ln 2 ( x) − ln( x ) + 1

d) ( g  f )( x) = 5 ⋅ ln( x ) + 1

a) (h  f  g )( x ) = ln c) ( g  f  h)( x ) =

14.

130.104

15.

a) 84 estudiantes

(

(x)

b) (h  h)( x ) = ln ( ln( x) )

3

ln( x)

)

3

d) ( f  g  g )( x ) =

b) 8 días

6

x9