Guia Logaritmo I

Logaritmos I A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. Definición Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para que nos de dicho número.

Logaritmo de un número (P) es el exponente (x) al que hay que elevar la base (a) para que nos de dicho número (P). La base tiene que ser positiva y distinta de 1

se lee logaritmo en base a de P

Ejemplo Log 2 16 = 4; Se lee “logaritmo de 16 en base 2, es 4” (porque la base 2 debe ser elevada a 4 para obtener 16 ). 24 = 16 NOTA: En todo logaritmo se distinguen la base, el número al cual se calcula el logaritmo llamado argumento y el valor del logaritmo:

Log b a = n base

logaritmo argumento

Por lo tanto, se puede concluir por definición, que en: Log b a = n se cumple que b n = a.

1

Más ejemplos (logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3) pues 3 es el exponente alque hay que elevar 2 para que nos de 8


(logaritmo en base 2 de elevar 2 para que nos de

es igual a -3) pues -3 es el exponente al que hay que




(logaritmo en base 10 de 10000 es igual a 4) pues 4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que nos de 10000


(logaritmo en base 10 de 0,0001 es igual a -4) pues -4 es el exponente al que hay que elevar 10 para que nos de 0,0001


Nota La base b debe ser un elemento de ℜ +, distinto de 1: no puede ser negativa porque algunos números no tendrían logaritmo; la ecuación (-2)x = 8, por ejemplo no tiene solución, puesto que no existe un x real tal que (-2) x = 8. La invención de los logaritmos se debe al matemático escocés John Napier (o Neper), que vivió entre mediados del siglo XVI y comienzos del siglo XVII, de allí que los primeros logaritmos se llamaron “logaritmos neperianos”, o “logaritmos naturales”; tienen base “e” (su valor aproximado es 2,72). El logaritmo de un número x en base e, se denota Ln x En el siglo XVII, el inglés Henry Briggs creó los logaritmos en base 10, con esto, facilitaba la operatoria con logaritmos. Estos logaritmos se llamaron, también, “logaritmos de Briggs”. El sistema de logaritmos en base 10 se llama “sistema de logaritmos decimales”, la base 10 no se escribe. En la actualidad, rara vez se aplican logaritmos que no sean logaritmos neperianos o logaritmos de Briggs.

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Propiedades de los logaritmos •

Dos números distintos tienen logaritmos distintos.

•

El logaritmo de la base es 1

Si

, pues

•

El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base , pues

•

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

•

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

•

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia

•

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice

•

Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base

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Ejercitación

1) Escribir los siguientes logaritmos en forma de potencia: a) log2 4 = 2 b) log 7 243 = 3 c) log 100 = 2 d) log0,2 0,04 = 2 e) log 5 25 = 4 f) log 5

1 = -3 25

2) Escribir las siguientes potencias de logaritmos: a) 52 = 25 b) 34 = 81 c) a3 = b d) 43 = 64 e) 5x = 6 f) (2-b) x = c 3) ¿En que base el logaritmo de: a) 49 es 2? b) 125 es 3? c) 32 es 5? d) 100 es 2? e) 64 es 6? f) 0,00001 es –5

4) Calcular los siguientes logaritmos: a) log 1 b) log 100 c) log 1.000

4

d) log

1 10

e) log

1 100

f) log 0,01 g) log 0,0001 h) log 1000

5) Calcular el valor de los siguientes logaritmos: a) log 2 1 = b) log 2 2 = c) log 2

1 = 2

d) log 2

1 = 4

e) log5 125 = f) log7343 = g) log ½ 4 = h) log ¼ 2= i) log 50 1 = j) log 8 32 = k) log 4 4 16 = l) log 27 1/3 = m) log 0,3 0,0081 = n) log 2 8 =

6) Calcular el valor de la incógnita en los siguientes logaritmos. Recuerda trabajar con la ecuación exponencial, cuando sea necesario. a) log5 625 = x b) log3 x = 6 c) log x 256 =4

5

d) log x 8 = − 3

4

e) log 32 1 = x 2 f) log x 4 = − 2 g) log x 1

3

= −2

3

h) log0,008 x = 1

3

3

i) log 0,001 = x j) log x 16

36

=2

k) log 2

1 =x 4

l) log 3

27 = x

7) Desarrollar aplicando propiedades de los logaritmos: a) log ab= b) log bcd = c) log

p = q

d) log a2 b2 = e) log

ab = c

f) log (b2 c )3 = g) log

4

ab3 =

h) log b2 c3 = 5

i) log

j) log

ab = cd

a2

3

c5

b2

=

6

8) Escribir en un solo logaritmo: a) log a + log b = b) log a – log b = c) 2log a + 3log b = d)

1 log a + 2 log b – 5 log c = 3

1 1 e) (log 3 + log a − log c ) = 5 4 f)

3 1 1   log a − 3 log b + log c − log d  = 4 5 3 

1 3 1 1 g) log x + log y − log z − log w = 2 4 4 2 h) log (a + b) – 2 log ( a – b ) =

9) Aplicando las propiedades de los logaritmos y sabiendo que log 2 = 0,301 y log 3 = 0,477, calcular: a) log 6 b) log 18 c) log 15 d) log 1,5 e) log

2 3

10) Calcular: a) log 1000 – log3 92 = b) 4 log 0,1 – log 0,01 = c) log 1/4 1 + log 2/3 3

2

+ log 3 1

3

=

d) log 4 64 – log 0,1 + 2 log 103 + 3 log 4 2 =

7