Funciones De Una Variable Real

Unidad 8 – Funciones de una variable real Matemática I – CUC ____________________________________________________________________________________ ________

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL Lic.Graciela Alvarez de Cardozo ______________________________________________________________________ _______ Las funciones desempeñan en la actualidad un papel fundamental en las aplicaciones de la matemática a otras ciencias. El concepto matemático de función formaliza la idea de asignación, tan frecuente en nuestra experiencia cotidiana: asignamos a cada persona su edad, a cada círculo su área, a cada mes su producción, etc. La información que una función proporciona entra por los ojos de modo muy sencillo a través de su gráfica. La gráfica te hace capaz, con una sola mirada, de decidir cómo varían las magnitudes que la función relaciona, dónde están los intervalos de crecimiento y decrecimiento y cuáles son las tendencias generales del fenómeno que la función describe. Ejemplo: En el siguiente gráfico se muestra la evolución de las exportaciones de Yerba Mate, en la provincia de Misiones.

Elaborado en base de datos INDEC

1) ¿En qué año los volúmenes exportados superaron las 35.000 toneladas? 2) ¿Cuándo fue máximo el volumen de exportación?¿cuándo mínimo? 3) ¿En qué año tuvo mejor precio? 4) ¿Entre qué valores varía el precio por Kg de la Yerba mate?

161

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5) ¿Qué observas con respecto a la variación del precio de la Yerba mate? 6) ¿Qué observas con respecto a la variación de los volúmenes de exportación de este producto?

Un gráfico como este nos brinda información, pero por sobre todo nos muestra un panorama general de la relación entre dos variables. (En este caso, por un lado el tiempo y el volumen de exportación de la Yerba mate, y por otro el tiempo y el precio por Kg. De la Yerba mate)

No todas las relaciones entre variables son funciones.

8.1- Definición 1: Se dice que f es una función de A en B, si a cada valor de x (elemento de A), le corresponde como imagen uno y sólo un valor de y (elemento de B) En símbolos:

f : A  B se lee "f de A en B" x  y  f ( x) " y es función de x " " El valor de y depende del valor de x "

8.2-Definición 2: Las variables son magnitudes que pueden tomar cualquier valor. Generalmente las representamos con las últimas letras del abecedario: x , y , z . Como el valor de y depende del valor elegido para x , es la variable dependiente, y x es la variable independiente. 8.3- Definición 3: Al conjunto de valores que puede tomar la variable x , lo llamamos Dominio de la función. 8.4- Definición 4: El valor y0 que le corresponde a x0 del dominio, se llama imagen de x0 y se escribe y0  f ( x0 ) . Al conjunto de todos esos valores imagen se lo llama Rango o Imagen de la función.

PARA RESOLVER Analiza los siguientes gráficos. ¿Representan funciones?.¿Cómo puedes decidir si un gráfico corresponde a una función?. En cada caso escribe el dominio y el rango correspondiente. 1)

162

Unidad 8 – Funciones de una variable real Matemática I – CUC ____________________________________________________________________________________ ________ y

2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

2)

y 2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

3)

y 2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

2

4

6

-2

4)

y 2

x

0 -6

-4

-2

0

-2

5)

163

Unidad 8 – Funciones de una variable real Matemática I – CUC ____________________________________________________________________________________ ________ y

2

x

0 −2.5π

−2π

−1.5π

−1π

−0.5π

0

0.5π

1π

1.5π

2π

2.5π

-2

6) y 2

x

0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2

7)

y 2

x

0 −2.5π

−2π

−1.5π

−1π

−0.5π

0

0.5π

1π

1.5π

-2

8.5- Formas de definir funciones Las funciones pueden definirse de varias formas: 1) Mediante un gráfico

164

2π

2.5π

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toneladas

50.000 40.000

Té Yerba Mate Tabaco

30.000 20.000 10.000 0 1991 1992 1993 1994 1995 años 2) Mediante un conjunto de pares ordenados

f    x1 , y1  ,  x2 , y2  ,..........

Dom f   x1 , x2 ,.......

Im f   y1 , y2 ,....... Ejemplo:

f    1,1 ,  2, 4  ,  3,9  ..........

Dom f   1, 2,3,.......

Im f   1, 4,9,.......

3) Mediante una fórmula Cuando la función viene dada por una fórmula, el Dominio es el conjunto de valores de x para los cuales se puede calcular f ( x ) Por ejemplo: 1. Si f ( x)  2 x , x puede tomar cualquier valor real, ya que siempre se puede calcular 2.x ; en este caso Dom f  ¡ 2.

Si f ( x) 

2 , x 1

2El cociente y las raíces de índice par a x 1 veces no están Entonces Dom f   ,1   1,   definidas para algunos valores de En x  1 no puede calcularse

3.

Si f ( x)  x  2 165

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En este caso, para poder aplicar la fórmula, x debe se mayor o igual a -2. Por lo tanto

Dom f   2,  

Calcula el dominio de las funciones dadas por:

a ) f ( x)  3 x  1 2x c) f ( x )  x2 e) f ( x )  x 2  5

b) f ( x )  x  1 d ) f ( x )  x. x f ) f ( x) 

1 x

4) Mediante un enunciado Muchas veces oímos frases como:  “ a cada alumno le corresponde un número de la lista”  “la velocidad del automóvil depende de la aceleración aplicada al mismo”  “los ingresos dependen de las unidades vendidas”

No cualquier frase que implique dependencia expresa una función

Busca ejemplos de frases que indiquen funciones

5) Mediante una tabla de valores La siguiente tabla muestra las variaciones mensuales precio del trigo y de la soja en Bs. As. durante el año 1996. AÑO 1996 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto

TRIGO ($ / tn) 185 190 186 174 168 152 150 154

166

SOJA ($ / tn) 138 135 135 140 148 152 154 158

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Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

161 170 182 183

150 146 140 135

¿Entre qué meses se dio el mayor aumento del precio del trigo? ¿Entre qué meses se dio la mayor disminución en el precio de la soja?

Estas maneras de definir funciones son posibles, aunque no siempre una misma función puede expresarse de las cinco formas. A veces no es posible ni siquiera pasar de una forma a otra. 8.6- Escala No es necesario que las escalas de los ejes sean iguales, pues las variables suelen representar magnitudes diferentes. La elección de la escala debe realizarse atendiendo únicamente a la mejor lectura de la gráfica o a lo que se quiera mostrar de la situación. Ejemplo: Supongamos que el aumento en porcentajes del costo de vida en el primer trimestre del año, en cierto país, está dado por la siguiente tabla:

ENERO

1,5

FEBRERO

2,3

MARZO

3,5

Un diario oficialista mostraría estos datos de la siguiente manera:

167

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Porcentajes

COSTO DE VIDA 4 3 2 1 0

COSTO DE VIDA

ENERO

FEBRERO

MARZO

Meses

Un diario opositor al gobierno lo presentaría así:

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 M AR

O ER

FE BR

EN ER

ZO

COSTO DE VIDA

O

Porcentajes

COSTO DE VIDA

Meses

8.7- Variaciones de una función 8.7.1-Función creciente Una función es creciente si su gráfica, leída de izquierda a derecha, es ascendente. Esto significa que al aumentar la variable independiente “ x”, también aumenta la variable dependiente “ y “. y

168

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Si x1  x2  f ( x1 )  f  x2  f

f ( x2 ) f ( x1 ) x1

x2

x

8.7.2- Función decreciente Una función es decreciente si su gráfica es descendente. Esto significa que al aumentar la variable independiente “x “, la variable dependiente “ y “ disminuye.

y

Si x1  x2  f ( x1 )  f  x2  f

f ( x1 ) f ( x2 ) x1

x2

x

8.7.3- Intervalos de crecimiento Frecuentemente, las funciones poseen tramos donde crecen y tramos donde decrecen. Así para la función de la figura,

169

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y

f es decreciente en  a, b  f es creciente en  b, c  b a

c

x

8.7.4- Máximos y mínimos La gráfica muestra las exportaciones e importaciones de la Comunidad Andina con Suecia

Máximos: En el año 1998 y en el año 2001 las importaciones son mayores que en fechas inmediatamente próximas, los valores correspondientes a esos años son máximos locales o relativos. Pero el valor de las importaciones correspondientes al año 1998, es mayor en todo el período estudiado, por lo tanto éste es el máximo absoluto de la función. Mínimos:

170

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En los años 1996, 2000 y 2002 las importaciones son menores que en fechas inmediatamente próximas, los valores correspondientes a esos años son mínimos locales o relativos. Pero el valor de las importaciones correspondiente al año 2002, es el menor en todo el período estudiado, por lo tanto éste es el mínimo absoluto de la función.

Observa: En un máximo relativo la función pasa de ser creciente a decreciente y en un mínimo relativo pasa de ser decreciente a creciente. Determina los máximos y mínimos correspondientes a las exportaciones. 8.8- Discontinuidades-Continuidad Observemos estas tres gráficas: 1) Las ganancias mensuales de un representante de de televisores son $1000 fijos más $100 por cada aparato vendido. Esta es la gráfica de la función. y

2000

1000

x

0 0

2

4

6

8

La variable independiente sólo tiene sentido para los valores 0,1,2,3,4,….. , pues no se puede vender un número fraccionario de televisores

171

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2) En el envío de un paquete por correo, el precio depende del peso. Para pesos inferiores a 5Kg., el franqueo es constante (cuesta lo mismo mandar 1,5Kg. Que 3 Kg.) y 10

5

x

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3) Esta gráfica describe el crecimiento de una planta con el paso del tiempo 60 y

40

20

x

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Hay ocasiones en las que la variable independiente no es continua, sino que pasa dando saltos de cada valor al siguiente (gráfica 1). Cuando esto sucede la variable se llama discreta, y en esos casos, la gráfica de la función no es una línea sino una serie de puntos. En otras ocasiones, aunque la variable independiente sea continua, la función presenta saltos bruscos (gráfica 2). Esos saltos se llaman discontinuidades, y la función que los tiene se dice que es discontinua. Como vemos en la gráfica 3, la variación de la altura es suave, sin saltos bruscos. Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidad de ningún tipo. 8.9- Tendencias de una función Volvamos a analizar varias gráficas: 1) Ponemos al fuego una olla de agua hasta que hierva. Apagamos el fuego y la dejamos allí. La temperatura va bajando paulatinamente a

172

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medida que pasa el tiempo, según se ve en la gráfica que representa la función tiempo-temperatura. Es claro que la temperatura del agua se aproximará cada vez más a la temperatura de la habitación. Suponiendo que esta sea de 20o C, diremos que al pasar el tiempo, la temperatura del agua tiende a 20o C.

temperatura oC 100

20 Tiempo (en horas) 2) El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud de su lado. La gráfica representa la función lado-área y 15

10

5

00

1

2

3

4

x

Si el lado crece, el área también. Podemos conseguir que el área sea tan grande como queramos sin más que hacer crecer el lado. Eso se puede expresar diciendo que si el lado tiende a infinito, entonces el área también tiende a infinito. Estos son dos ejemplos de funciones en las que, aunque sólo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir como se comportarán lejos del intervalo en el que han sido investigadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.

173

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3) Este tercer caso es diferente al de los anteriores, pero también conociendo un trozo de la curva podemos hacer previsiones de lo que ocurrirá más allá. y 1

x

0 −2 . 5 π

−2 π

−1 . 5 π

−1 π

−0 . 5 π

0

0. 5π

1π

1. 5π

2π

2. 5π

-1

Período A este tipo de función se le llama función periódica. La forma de la gráfica se reproduce cada cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama período. Es evidente que una función periódica queda perfectamente determinada conociendo su comportamiento en un período. 8.10- Estudio comparativo de varias funciones del mismo tipo En muchas situaciones que se sintetizan con gráficos, la interpretación de las mismas suele ser más acertada si las funciones que son objeto de estudio se comparan y analizan en forma conjunta, para ello deben graficarse en un mismo sistema de ejes, con lo que la relación entre las mismas queda muy clara. Los puntos de intersección y las diferencias entre ellas suelen ser claves para la descripción del fenómeno.

Millones de pesos

Ejemplo: La siguiente gráfica nos muestra los ingresos y gastos de una empresa durante un período de tiempo.

Ingresos Gastos

25 20 15 10 5 0 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Año

a) ¿Cuál fue el mejor momento de la empresa? ¿Cuál el peor? b) ¿Qué significan los puntos de intersección de las dos gráficas? c) ¿Hubo algún momento en dónde la empresa trabajó en rojo? d) ¿Si hubieras analizado las gráficas por separado, las respuestas hubieran sido las mismas?, ¿Podrías haber contestado todos los interrogantes?

174

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Ingresos

30 20 10 0 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04

Millones de pesos

Ingresos

Gastos 20 15 10 5 0 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04

Millones de pesos

Año

Año 8.11- Funciones Pares e Impares Existen funciones cuyas gráficas obedecen a ciertas condiciones de simetría que facilitan la representación de las mismas. EJEMPLO 1: Si analizamos la función f : f ( x)  x 2 y observamos su gráfica:

175

Unidad 8 – Funciones de una variable real Matemática I – CUC ____________________________________________________________________________________ ________ y

8 6 4 2 x

0 -2

-1

0

1

2

f (1)  f (1) ; f (2)  f (2) ; ........ Vemos que ésta es simétrica respecto al eje “ y “, se dice entonces que es una función par 8.11.1- Definición 1: Una función es par cuando su gráfica es simétrica respecto del eje de las ordenadas. En símbolos:

f : y  f ( x ) es par  f ( x)  f ( x)

Ejemplo:

Si f ( x)  x 2

calculamos

f ( x)    x     x  .   x   x 2  f ( x) 2

 f ( x)  f ( x)  f ( x)  x 2 es par EJEMPLO 2: Si analizamos la función f : f ( x)  x 3 y 5

x

0 -2

-1

0

1

-5

176

2

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f (1)   f (1) ; f (2)   f ( 2) ; ......... Vemos que su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas, se dice entonces que es una función impar 8.11.2- Definición 2: Una función es impar cuando su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas. En símbolos:

f : y  f ( x) es impar  f ( x)   f ( x)

Ejemplo:

Si f : f ( x)  x 3 f ( x)    x     x  .   x  .   x    x 3   f ( x) 3



f ( x)   f ( x)

Si una función no es par ni impar se dice qu e no tiene paridad Determina si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen paridad:

1) f ( x )  5 x

2) f ( x )  x 2  5

4) f ( x)  x 2  5 x  6

3) f ( x )  x3  2

5) f ( x)  4 x 2  1

6) f ( x)  2 x  1

8.12- Ceros de una función Diremos que a es un cero de la función f sí y sólo si f ( a)  0 . Geométricamente son los puntos donde la gráfica de la función f interfecta al eje de las abscisas. Ejemplo: Si f : f ( x)  x 2  1 y queremos encontrar los ceros de siguiente procedimiento: a) Igualamos a cero la función b) Resolvemos la ecuación resultante c) Las raíces obtenidas son los ceros de la función.

177

f , seguimos el

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f : f ( x)  x 2  1  0  x 2  1  x  1  x  1  f (1)  0 y f (1)  0 son los ceros de f Si graficamos la función; y

2

x

0 -2

-1

0

1

2

Observamos que los puntos ( 1,0) y ( -1,0) son el resultado de la intersección de la gráfica de f con el eje de las abscisas. Encuentra los ceros de las siguientes funciones:

1) f ( x)  x 2  5 x  6 4) f ( x )  x3  x 2  x  1

2) f ( x)  x 3  1 5) f ( x) 

3) f ( x)  2 x  3

x2  4 x2

8.13- Función Biunívoca Una función f es biunívoca o uno a uno si no existen dos pares ordenados, que tengan la misma segunda componente. En otras palabras, cada elemento “ y “ del rango de f , está asociado un solo elemento “ x “ del dominio de f . En símbolos:

  a, b   f Una función f es biunívoca





 ac y   c, b   f 

Esto se puede observar más fácilmente en la gráfica de la función: Ejemplo 1: Sea la función:

f : f ( x) 

1 2 x  x3 2

178

Unidad 8 – Funciones de una variable real Matemática I – CUC ____________________________________________________________________________________ ________ 8

y

Trazando una recta paralela al eje OX, si ésta corta a la gráfica en más de un punto no es biunívoca.

6

4

2

-4

-3

-2

Si observamos:

-1

00

1

2

3

x

f (2)  f (0)  3 f (4)  f (2)  7

Es decir, existen valores de “y” para los cuales corresponde más de un valor de “x”, por lo tanto f no es biunívoca. Ejemplo 2: Sea f : f ( x)  x 3 y 4

2

x

0 -2

-1

0

1

2

3

A cada valor del rango le corresponde un único valor del dominio, por lo tanto f es biunívoca.

8.14- Funciones partidas En una compañía de productos químicos se promociona la venta de cierta sustancia de la siguiente forma:  Si el cliente compra de 0 a 4 litros, el precio es: $10 el litro y $10 por gastos de envío.  Si la compra es más de 4 litros y menor o igual a 8 litros, el precio es de $5 el litro y $40 por gastos de envío.

179

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 Si la compra supera los 8 litros, el precio es de $10 el litro, pero no se cobran los gastos de envío. a) Calcula el gasto de las siguientes compras, con el envío incluido. 3 litros  $......... 6 litros  $............. 10 litros  $.................

b) Analiza el cuadro, siendo “ x “ la cantidad de litros comprados.

0 x4 10 x  10

4 x8 5 x  40

x 8 10x

c) Esta información también puede escribirse así:

 10 x  10 si 0  x  4  f ( x)   5 x  40 si 4  x  8  10 x si x 8  Utilizando la expresión de f ( x) , calcula:

f (3)

f (6)

f (10)

d) ¿Cuál de los siguientes es el gráfico de f ( x) ? Justifica tu respuesta. 1)

85 Pesos 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 00

4

2)

180

8

litros

Unidad 8 – Funciones de una variable real Matemática I – CUC ____________________________________________________________________________________ ________ 85 Pesos 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 litros 4 8 00

3)

85 Pesos 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 00

4

8

litros

e) A partir del gráfico: ¿cuántos litros compró un cliente que pagó $65? f) Completa la tabla: GASTO

30

75

110

77,5

LITROS COMPRADOS

Las funciones de este tipo se llaman PARTIDAS. ¿Te imaginas porqué?

181

35

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8.15- Clasificación de funciones Las funciones se pueden clasificar en ALGEBRÁICAS y TRASCENDENTES, las algebraicas son aquellas donde su expresión analítica involucra las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Y las trascendentes son las que no son algebraicas.

Ejemplos:

f ( x)  x 2  5 x 

 3 x  g ( x)   son funciones algebraicas x 1  h( x)  x 3  1  f ( x)  senx   g ( x)  log x  son funciones trascendentes  h( x )  e x  2  

Clasifica las siguientes funciones en algebraicas y trascendentes:

1) f ( x )  3 x  5 4) f ( x ) 

2x x 1

2) f ( x)  x 2  5 5) f ( x )  2 x 3

3) f ( x)  cos  x  1 6) f ( x )  ln( x  2)

182

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PARA RESOLVER 1) El siguiente gráfico muestra la inflación en Perú. ¿Te animas a realizar un informe sobre la situación? Para ello analiza máximos y mínimos de la función, ceros, períodos de igual comportamiento, etc.

El informe realizado al respecto por el economista internacional Roberto Ayala para FLAR Estudios Económicos fue el siguiente, luego de leerlo compáralo con el tuyo. “A diciembre de 2004, la inflación anual fue 3,5%, nivel coincidente con el límite superior de la meta de inflación anunciada por el Banco Central de Reserva de Perú (1,5% - 3,5%). De esta manera, 2004 es el sexto año consecutivo en que la inflación anual a diciembre no supera 4%. Sin embargo, desde junio a noviembre, se registraron niveles de 4% o más, lo que no se presentaba desde noviembre de 2000. Las bajas tasas de inflación mensual de los últimos meses del año –incluidas deflaciones mensuales en agosto, octubre y diciembre contribuyeron a que se alcance el objetivo propuesta por las autoridades. Adicionalmente, como se observa en el gráfico, la inflación presenta una tendencia ascendente a partir de 2002. En dicho año, la inflación anual promedio fue de 0,2%, mientras que en 2003 y 2004 fue de 2,3% y 3,7% respectivamente. Dicha tendencia, sin embargo, se ha comenzado a revertir en los últimos meses de 2004.”

2) La producción mensual de computadoras de cierta empresa en el lapso de un año, es el que se muestra en la siguiente tabla: Meses

E

F

M

A

M

183

J

J

A

S

O

N

D

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Nº de comp. 20 producidas 0

40 0

70 0

80 0

90 0

80 0

60 0

80 0

90 0

70 0

90 0

50 0

a) Realiza el gráfico correspondiente b) ¿En qué meses la empresa tuvo mayor producción? c) ¿Cuál es el total de computadoras que la empresa produce por año? d) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? e) ¿La gráfica es continua o discontinua? Explica.

3) Una agencia de viajes paga a uno de sus promotores un sueldo básico de $400. Si vende en el mes más de 15 pasajes, le da una bonificación de $20 por cada uno de los que superan dicho número. a. Realiza el gráfico del sueldo en función de los pasajes vendidos. A otro vendedor se le ofreció un trato distinto, según se muestra en el gráfico Sueldo 700 600 500 400 300 200 100 0 0

Nºpasaj 5

10

15

20

25

30

35

b. Explica cómo es el trato que se hizo con este vendedor. c. Encuentra la fórmula que representa esta situación d. Superponiendo las dos gráficas, podrás comparar los sueldos de ambos promotores. ¿Alguna vez son iguales?¿Alguno de ellos es siempre mayor que el otro?¿Cuál de los dos tratos elegirías si fueras promotor de esa agencia?

4) Una empresa ofrece la siguiente promoción para un nuevo producto.  Menos de 10 litros  $3 el litro  10 litros o más y menos de 20 litros  $2 el litro  A partir de 20 litros  $1,5 el litro TODAS LAS COMPRAS SIN GASTOS DE ENVÍO

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Unidad 8 – Funciones de una variable real Matemática I – CUC ____________________________________________________________________________________ ________

a) Investiga los gastos para distintas compras. b) Identifica las variables. ¿cuál es la dependiente y cuál la independiente? c) Determina el dominio y la imagen de la función. d) ¿La función es continua?, en caso de no serlo indica los puntos de discontinuidad. e) Encuentra la fórmula que permite calcular el gasto y efectúa la gráfica correspondiente. f) Si tengo $15, ¿cuántos litros puedo comprar? ¿es única la respuesta? g) Si tengo $25, ¿cuántos litros puedo comprar? ¿es única la respuesta? ¿cuál es el significado de esta situación?. ¿Para qué cantidades de dinero sucede lo mismo? h) Un cliente iba a comprar 9 3 4 litros y decidió comprar 20 litros. Analiza por qué habrá cambiado de opinión. ¿Vos qué habrías elegido? 5) Una playa de estacionamiento tiene una tarifa de $ 2 la primera hora, $1 las tres siguientes y $ 0,75 cada una de las horas que estacione a partir de ese momento. a. Grafica el costo del estacionamiento en función del tiempo. b. ¿Es una función continua? Explica. c. Expresa en fórmula la función costo. d. ¿Cuánto más debe pagar un señor que estaciona 7 horas respecto de otro que estaciona 5? 6)

Analiza el siguiente gráfico y elabora un informe.

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