Resumen De Funciones Limites Y Ad

Funciones. Límites y continuidad

ANÁLISIS DE FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD. RESUMEN Problema Dominio de una función

Funciones lineales

Datos La ecuación de la función

Ecuación y=mx+n. “m” es la pendiente “n” es la ordenada del origen.

Procedimiento Casos en los que en dominio no es IR:
Irracionales (excluir valores que hagan negativo el radicando.


Logarítmicas (como en irracionales además del cero).




Racionales (excluir valores que anulen el denominador)

Casos:





Funciones cuadráticas

Ecuación y=ax2+bx+c

-

Ejemplo Dominio de

-3

Transformación de funciones

Ecuación

-

-

Funciones homográficas o hiperbólicas

Ecuación:

ax + b y= cx + d

-

-

+

2 + -

+ + +

Dom( y ) = ]−∞, −3[ ∪ [ 2, +∞[

m>0 y n>0 (corta a Y por encima del origen y forma con X ángulo agudo) m>0 y n<0 (corta a Y por debajo del origen y forma con X ángulo agudo) m<0 y n>0 (corta por encima y ángulo obtuso) m<0 y n<0 (corta por debajo y ángulo obtuso) La gráfica es una parábola. Vértice en el punto de absica

Corta eje X (cuando lo hace) en las soluciones de la ecuación de 2º grado asociada) Corta al aje Y en (0, c) Si a>0 es cóncava Si a<0 es convexa y=f(x)+k es como f(x) desplazada k unidades hacia arriba. y=-f(x) es simétrica de f(x) respecto al eje X y=(x+a) es como f(x) desplazada “a” unidades hacia la izquierda o derecha según “a” sea + ó -. Y=f(-x) es simétrica de f(x) respecto al eje Y La gráfica es una hipérbola. Tiene como asíntotas las rectas y=a/c (horizontal) y=d/c (vertical) Si a=d=0 y c=1 la hipérbola tiene por asíntotas los ejes.

y=

x-2 X+3 (x-2)/(x+3)

m>0 n>0

m>0 n<0

m<0 n>0

m<0 n<0

40

10

35

5

30

b x=− 2a -

x−2 . Se trata de una irracional: x+3

0 0

25

-5

20

-10

15

-15

10

-20

5

-4

-2

4

6

8

10

-25

0 -6

2

-30

0

2

4

6

-5

-35

a>0

a<0

Vemos las gráficas de y=x2 (trazo grueso) y la de y=(x-2)2 (trazo fino) desplazada 2 unidades a la derecha: 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -6

-4

-2

0

2

4

Representar la función

6

y=

x −1 : x+2

8 6 4 2 0 -6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -4 -6

Sus asíntotas son x=-2, y=1

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Funciones. Límites y continuidad

Funciones “a trozos”

Su dominio está Su forma es (en el dominio [a, d]: dividido en  g ( x) si a < x ≤ b varios  intervalos en f ( x) =  h( x) si b < x ≤ c los que la  i ( x) si c < x ≤ d  ecuación de la función cambia

Se representa cada tramo por separado sobre los mismos ejes, pudiendo los tramos de gráfica juntarse o no en los puntos de separación de los intervalos. Gráfica de:

3x − 2 si −3 < x ≤ 1 f ( x) =  2 si 1 < x ≤ 4  −x 2 0 -4

-2

-2

0

2

4

6

-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18

Funciones en valor absoluto

Su ecuación:

y = f (x)

Se interpreta como una función definida en dos trozos así:

 f ( x) si y=  − f ( x) si

f ( x) ≥ 0 f ( x) < 0

Hay que resolver la inecuación: f ( x) ≥ 0 para determinar los límites

  2 x + 1 si Gráfica de y = 2 x + 1 =  −2 x − 1 si 

1 2 1 x<− 2

x≥−

Donde el valor -1/2 sale de resolver la inecuación:

2x +1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −

de cada trozo

1 2

8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4

Composición de funciones

Las funciones: y=f(x) y=g(x)

-1

0

La función compuesta de ambas es:

La función compuesta

Es decir se sustituye la “x” en la función f por la función g(x). Puede calcularse también:

2 x g ( x) = 3x + 4

( f  g )( x) = f [ g ( x) ]

( g  f )( x) = g [ f ( x) ]

Donde ahora se sustituye la “x” de g por la función f(x)

Función recíproca La función o inversa y=f(x)

-2

La función recíproca de y=f(x) se obtiene (caso de existir), despejando x en función de y e intercambiando las variables en el resultado. Se ha de cumplir que:

( f  f −1 )( x) = ( f −1  f )( x) = I D ( x) Donde la función i(x) llamada identidad es: I(x)=x Es decir, asocia a cada valor él mismo. -1

Las gráficas de f(x) y f (x) son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

2

4

( g  f )( x) de las funciones:

f ( x) =

Es:

2 ( g  f )( x) = g [ f ( x)] = 3 ⋅ + 4 = x 6 6 + 4x = +4 = x x Inversa de

y=

3x − 2 = f ( x) 4x

Despejamos “x” en función de “y”:

4 xy = 3x − 2 ⇒ 4 xy − 3x = −2 ⇒

⇒ (4 y − 3) x = −2 ⇒ x =

−2 4y − 3

Cambiando ahora las variables:

y=

−2 = f −1 ( x ) 4x − 3

Vemos que la composición es la identidad:

( f  f −1 )( x) = f  f −1 ( x)  =

−6 − 8 x + 6 =x −8

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Funciones. Límites y continuidad

Función exponencial

La ecuación:

-

y = ax a≠0

Con

Pasan por (0, 1) y (1, a) Si a>1 es creciente Si a<1 es decreciente.

x

1 y =   es: 2

La gráfica de

4,5

a ≠1

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -4

Función logarítmica

La ecuación:

-

y = log a x

Es inversa de la exponencial Pasa por (1, 0) y (a,1) Si a>1 es creciente Si 0
-2

0

2

4

y = log x es:

La gráfica de 0,8

0,6

0,4

0,2

0 0

1

2

3

4

5

6

- 0,2

- 0,4

Trigonométricas inversas

y=arc sen x y=arc cos c y=arc tg x

Si sen x=a, entonces x=arc sen a Si cos x=b entonces x= arc cos b Si tg x=c entonces x= arc tg c La gráfica de cualquiera de las funciones trigonométricas inversas es la simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante, de la gráfica de la función trigonométrica correspondiente

Límite de una función en un punto. Límites por la izquierda y por la derecha.

Ecuación de la función y punto en estudio







Para calcular

1 sen(arccos( )) = 2 3 = sen60º = 2 O bien:

= sen300º = −

lím f ( x) se

3 2

6

x→a Calcula lím . x →0 x escribe una sucesión de valores de “x” que se acerque Veamos las sucesiones: a “a”, se calcula la sucesión de los valores de f(x) y se -1 -0,1 -0,01 -0,001 comprueba si se acerca ésta -6 -60 -600 -6000 última a algún valor real. Si se toma una sucesión de Por tanto: valores que crezca indefinidamente y la sucesión 6 de f(x) tiende a “l”, escribimos:

lím f ( x) = l x →∞




Calcula:

Si una sucesión de valores de “x” tiende a “a” y la sucesión de f(x) crece indefinidamente, escribimos:

lím

x → 0−

x

→ →

0

−∞

= −∞

Veamos ahora: 1 0,1 0,01 6

... ...

60

0,00 1 600 0

...

→

0

...

→

+∞

100

100 0

...

→

∞

5 97

5 ... 997

→

0

600

lím f ( x) = ∞ x→a




Si la sucesión de valores de “x” se aproxima a “a” pero se mantiene siempre menor que “a”, escribimos (límite por la izquierda):

lím f ( x) = l

x → a−




Si la sucesión de valores de “x” se aproxima a “a” pero se mantiene siempre mayor que “a”, escribimos (límite por la derecha):

lím+ f ( x) = l

x→a

Por tanto:

lím

x → 0+

6 = +∞ x

Calcula

lím

x →+∞

Sucesiones: 1 10

−

5 2

5 7

5 x −3




Cálculo práctico de límites

Ecuación de la función y punto.

La CNyS para que una función tenga límite cuando x tiende a “a” es que los límites por la derecha y por la izquierda coinciden. Si una función es continua para calcular lím f ( x) , en realidad calculamos f(a) x→a

Calcula

lím

x →−2

x + 1 −2 + 1 1 = = x − 4 −2 − 4 6

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Funciones. Límites y continuidad

Límites infinitos

Ecuación de la función y punto.







Si aplicando el método anterior a una función obtenemos

a ; a ≠ 0 , se 0

calculan los límites laterales.

x+3 x+3  +  = lim+ =  = −∞ x − 4 x + 3 x →1 ( x − 1)( x − 3)  + ⋅ − 

lim+

2

x →1

Límites en el infinito

Ecuación de la función




Si obtenemos ∞ / ∞ nos quedamos con los monomios de mayor grado de numerador y denominador

Calcula:

x+3 4 lim 2 = x →1 x − 4 x + 3 0 x+3 x+3  +  lim− 2 = lim− =  = +∞ x →1 x − 4 x + 3 x →1 ( x − 1)( x − 3 )  −⋅− 




Calcula:

4 x2 − 6 x + 1 lím x →∞ 2 x 2 + x − 9

Para x= ∞ tenemos

∞ / ∞ . Dividiendo todo por x2:

4x − 6x + 1 4 x2 = lím =2 x →∞ 2 x 2 + x − 9 x →∞ 2 x 2 2

lím







Si obtenemos ∞ − ∞ , en una función con radicales, multiplicamos y dividimos por el conjugado

Calcula:

( lím ( x − 1 − x ) = lím x →∞

x −1 − x 2

(

x →∞

Para calcular límites en cambiamos x por –x y −∞ por +∞

−∞ ,

= lím

)

x →∞

Calcula:

)(

x2 − 1 − x

x2 − 1 − x 1

(

x2 −1 − x

(

)

)

)

=0

2

x2 − 1 − x4  x −1 x3  lím  − 2 = lím =0  x →∞ x − 1  x →∞ x x 2 − 1  x 2







2

x2 − 1 − x


Si obtenemos ∞ − ∞ , en funciones racionales, efectuamos la operación.

(

x →∞

= lím




x2 − 1 − x

(

)

Calcula:

4(−x) − 6 (−x) +1 4x − 6x + 1 = lím = 2 2 x →−∞ 2 x + x − 9 x →+∞ 2(−x) + (−x) − 9 2

2

lím

4 x2 + 6 x + 1 4 x2 lím = =2 x →+∞ 2 x 2 − x − 9 x →−∞ 2 x 2

= lím Casos de indeterminación 0/0, ∞ / ∞ e

Ecuación de la función y punto.




∞−∞


Calcula: Si aplicando el método anterior a una función racional x−7 obtenemos el valor 0/0, lím 2 x →7 x − 8 x + 7 factorizamos numerador y denominador, simplificamos Haciendo x=7 se obtiene 0/0 los factores comunes y Factorizando el denominador: calculamos el límite de lo que x−7 1 resta. = lím lím x →7

( x − 1)( x − 7) •




Si la indeterminación 0/0 procede de funciones con radicales, multiplicamos y dividimos por el conjugado, simplificamos los factores comunes y calculamos el límite de lo que resta.

lím x →0

x →7

x −1

=

1 6

Calcula:

1− 1− x x

Haciendo x=0 se obtiene 0/0

(

)(

)

1− 1− x ⋅ 1+ 1− x 1− 1− x = lím = x →0 x →0 x x ⋅ 1+ 1− x

lím

= lím x →0

= lím x →0

12 −

(

(

1− x

)

(1 +

1− x

)

)

2

x ⋅ 1+ 1− x 1

(

)

=

= lím x →0

(

x

x ⋅ 1+ 1− x

1 2

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)

=

)=

Funciones. Límites y continuidad

Continuidad de una función

La ecuación de la función

Una función y=f(x) es continua en el punto x=a si se cumplen las condiciones: 1. Existe f(a) 2. Existe lím f ( x)

Estudia la continuidad de la función:

y=

3 x 2 − 3x + 2

x→a

3.

Los dos valores anteriores coinciden.

Si una función cumple: a) ∃f ( a ) y ∃ lím f ( x) pero ambos x→a

valores son distintos, decimos que en “a” hay una discontinuidad evitable. b) Si los límites laterales en x=a existen pero no coinciden y ambos son finitos, esto es: lím f ( x) ≠ lím f ( x) existe en “a” x→a

−

x →a

+

una discontinuidad de salto finito. c) Si alguno de los límites laterales es infinito, hay discontinuidad de salto infinito. Asíntotas

Ecuación de la función

-Sí

lím f ( x) = k , la recta y=k es una x →∞

asíntota horizontal. -Si lím f ( x) = ∞ , la recta x=k es una x→k

asíntota vertical -La recta y=mx+n es una asíntota oblicua si se cumple que:

f ( x) x n = lím [ f ( x) − mx ]

m = lím

x →∞

x →∞

-Si existen asíntotas horizontales no pueden existir asíntotas oblicuas hacia el mismo lado.

Ecuación de la función (funciones racionales)

Si

grado ( P( x) ) ≥ grado ( Q( x) )

Las asíntotas verticales u oblicuas se obtienen efectuando la división

f ( x) =

P( x) r ( x) = c( x) + Q( x) Q ( x)

Veamos qué valores de x anulan el denominador:

1 x 2 − 3x + 2 = 0 ⇒ x =  2 En x=1 y en x=2 la función no está definida y como además:

lím x →1

3 =∞ x 2 − 3x + 2

En x=1 hay una discontinuidad de salto infinito. Sea ahora la función:

 x − 1 si f ( x) =  si  5

x≠3 x=3

Como f(3)=5 y

lím f ( x) = 2 x →3

En x=3 hay una discontinuidad evitable Encuentra las asíntotas de la función:

f ( x) =

x+3 x2 − 4 x + 3

Como:

lím f ( x) = 1 = m x →∞

x2 − 4 x + 3 −7 x + 3 − x = lím = −7 = n x →∞ x →∞ x + 3 x+3

lím

La recta y=x-7 es una asíntota oblicua.

  xlim →1−   lim  x →1+ Como   lim  x →3−   lim  x →1+

x+3 = +∞ x − 4x + 3 x+3 = −∞ 2 x − 4x + 3 x+3 = −∞ x2 − 4x + 3 x+3 = +∞ x2 − 4x + 3 2

Las rectas x=1 y x=3 son asíntotas verticales. No existen asíntotas horizontales • Encuentra las asíntotas de la función:

f ( x) =

x2 − 4 x + 3 x+3

Como:

f ( x) =

x2 − 4x + 3 24 = ( x − 7) + x+3 x+3

La recta y=x-7 es una asíntota oblicua. • Encuentra las asíntotas de la función: Si

grado ( P( x) ) < grado ( Q( x) ) la

recta y=0 (eje OX) es una asíntota horizontal

x+3 x2 − 4 x + 3 Como grado ( P ( x) ) = 1 < grado ( Q( x) ) = 2 f ( x) =

y=0 es una asíntota horizontal.

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Funciones. Límites y continuidad

Ecuación de la función y asíntota

Posición de la curva:

f ( x) =

x2 − 4 x + 3 ; x+3

A.V. en x=-3: Para las asíntotas verticales, se estudian los límites laterales

lím− f ( x) = lím−

x2 − 4 x + 3  +  =   = −∞ x+3 −

lím+ f ( x) = lím−

x2 − 4 x + 3  +  =   = +∞ x+3 +

x →−3

x →−3

x →−3

x →−3

A.H. en y=x-7: Para las asíntotas horizontales y oblicuas se estudia el signo de f(x)-asíntota En el caso de funciones racionales, esto coincide con el signo de

Ecuación de la función y asíntota

x2 − 4 x + 3 24 < 0 si − ( x − 7) =  x+3 x + 3  rel="nofollow"> 0 si

r ( x) Q ( x)

Puntos de corte de curva y asíntota horizontal u oblicua : Para funciones racionales se obtienen igualando a cero el resto y despejando x. r ( x ) = 0

f ( x) =

x2 − x −x + 4 = 1+ 2 x2 − 4 x −4

Y=1 es una asíntota horizontal. Punto de corte de curva y asíntota:

− x + 4 = 0 ⇒ x = 4; y = 1 ⇒ ( 4,1)

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