Lawrie Publice

รังสรรค์ สายจันดี

1

A Unified Grand Tour of Theoretical Physics Second Edition โดย Ian D. Lawrie, Reader in Theoretical Physics The University of Leeds สรุปโดย รังสรรค์ สายจันดี นศ. ป. โท, มหาวิทยาลัยขอนแก่น

บทนำำ งำนเขียนต่อไปนี้เป็นกำรสรุปรวบรวมควำมเข้ำใจหลังจำกที่ได้อ่ำนหนังสือเล่มนี้และหลำยๆเล่ม และ จะเห็นว่ำมีหลำยอย่ำงที่ผู้เขียนได้สรุปตำมควำมเข้ำใจของตัวเองซึ่งได้มำจำกกำรอ่ำนจำกหลำยๆเล่มไม่เพียงแต่ใน หนังสือเล่มนี้ เพียงเพรำะว่ำเค้ำโครงในหนังสือเล่มนี้ได้จัดเนื้อหำไว้ดีมำกจึงขอจัดเนื้อหำตำมหนังสือเล่มนี้แทน หนังสือเล่มนี้เป็นหนังสือฟิสิกส์ทฤษฎีที่ถือว่ำ มีเนื้อหำขั้นสูงกว่ำหนังสือเล่มอื่นอีกหลำยเล่มในวงกำรเดียวกัน ผู้ ที่อ่ำนหนังสือเล่มนี้อย่ำงน้อยต้องมีควำมตั้งใจที่จะศึกษำควำมเป็นฟิสิกส์ทฤษฎีจริงจังขึ้นหนึ่ง ผู้แต่ง (Lawrie) หนังสือเล่มนี้ต้องกำรเชื่อมโยงเนื้อหำของหนังสือไปยังกำรศึกษำเอกภพวิทยำของเขำ หนังสือเล่มนี้อ่ำนง่ำย เป็นกำรเน้นเขียนถึงไอเดียทำงฟิสิกส์และเหตุผลของกำรนำำคณิตศำสตร์มำแทนได้ดี ไม่มสี ูตรคณิตศำสตร์ มำกมำย และเป็นสูตรที่ทำำให้เรียบง่ำยแล้ว บทที่ 1 บทนำำและวิถีของธรรมชำติ นักทฤษฎีทุกคนต่ำงก็ต้องหำพัฒนำวิธีกำรที่จะมำตรวจสอบควำมถูกต้องของทฤษฎี (คำำอธิบำย) ของ ตัวเองไม่มีใครที่เชื่อว่ำกำรอธิบำยของตนนั้นจะถูกต้อง คำำอธิบำยของนักฟิสิกส์โนเบลแต่ละท่ำนก็เป็นเพียงกำร คำดเดำอย่ำงอ้ำงอิงหลักฐำนที่สมเหตุสมผลที่สุดแล้วในตอนนั้นเท่ำนั้น นักทฤษฎีรุ่นหลังต้องเคำรพทฤษฎีของ คนรุ่นก่อน หรือถ้ำคิดว่ำสิ่งที่ตัวเองดีกว่ำก็สำมำรถแทนได้ แต่จะอธิบำยได้แค่ส่วนใดส่วนหนึ่งไม่ได้ เพรำะคำำว่ำ เหตุผลก็คือควำมเชื่อมโยงกันหมดนั่นเอง เหตุผล คือกำรเชื่อมโยงกัน กำรเป็นลำำดับขั้นตอนที่แน่นอน บทที่ 2 เรขำคณิต เนื่องจำกเรำรู้แล้วว่ำ แรงทำำให้เกิดเรขำคณิตได้ เนื่องจำกแรงนิยำมจำกส่วนของ เวลา ซึง่ ตอนแรกไม่ถือ ให้เป็นแกนพิกัด (หรือที่เรำมักเรียกว่ำ มิติ) ดังนั้น มันจึงเป็นกำรยำกที่จะฟอร์มสูตรที่ยุ่งขึ้น และไม่เหมำะกับ ทฤษฎีสัมพัทธภำพที่ถือให้เวลำเป็นแกนที่สขี่ องระบบพิกัดใดๆไปแล้ว โดยเฉพำะปัญหำแรงโน้มถ่วง ซึ่งดูแล้ว เป็นปัญหำที่มำจำกเรขำคณิตโดยตรง ดังนั้นจึงเป็นกำรง่ำยที่จะอำศัย เทนเซอร์ (เกิดจำกเรขำคณิตของรีแมนน์) ในกำรฟอร์มสูตร กำรกำำหนดว่ำ มวล (ประจุ กระแส เมซอน ฯลฯ) เป็นผลต่อควำมโค้งของปริภูมิเวลำ และควำม โค้งอันนี้ทำำให้วัตถุเคลื่อนที่ได้ ดังนั้นเรำจึงสนใจ ควำมโค้งมำกกว่ำ แรง รีแมนน์ได้พัฒนำคณิตศำสตร์สำขำเรขำคณิตไปไกลมำกแล้ว ภำยหลังไอน์สไตน์จึงนำำคณิตศำสตร์ของ รีแมนน์มำอธิบำย แรงเนื่องจำกควำมโน้มถ่วงผ่ำนไอเดียแห่งควำมสมมูล แทนที่จะอธิบำยสมกำรกำรเคลื่อนที่ ตำมแบบนิวตัน ไอน์สไตน์ก็เลือกที่จะอธิบำยมันแบบรีแมนน์แทน สังเกตว่ำในงำนของรีแมนน์นั้นไม่มีกำรกล่ำว ถึงเวลำเลยแม้แต่น้อย จำกไอเดียของบิดำแห่งฟิสิกส์แผนใหม่ ทุกวันนี้แรงต่ำงๆซึ่งนอกเหนือจำกแรงโน้มถ่วงก็ถูกฟอร์มสูตร แบบรีแมนน์เนื่องจำกควำมง่ำย, สวยงำมและมีพลังของมัน และอีกทั้งทฤษฎีแผนใหม่นี้ต้องเกี่ยวข้องกับปริภูมสิ ัม พัทธภำพ - สีเ่ วกเตอร์เสียเป็นส่วนใหญ่

รังสรรค์ สายจันดี

2

บทที่ 3 ฟิสิกส์แผนเดิมในปริภูมิเลำกำลิเลียนและมินคอฟสกี้ ถ้ำอนุภำคเคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วตำ่ำนั้น เรำสำมำรถอธิบำยว่ำ มันอยู่ในปริภูมิกำลิเลโอ แต่ถ้ำมันมี ควำมเร็วสูง เรำจะต้องบอกว่ำมันกำำลังอยู่ในปริภูมิมินคอฟสกี้ สำำหรับบทนี้เรำถือว่ำ เป็นบทที่อุทิศให้กับอนุภำค ที่เคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วคงที่ หรืออนุภำคไม่มีแรงมำกระทำำ บทที่ 4 สัมพัทธภำพทั่วไปและควำมโน้มถ่วง คำำว่ำ สัมพัทธภำพทั่วไปนั้น บำงคนอำจจะเข้ำใจว่ำมันเกี่ยวข้องกับ แรงโน้มถ่วงอย่ำงเดียวแต่ตำมจริง แล้วไม่ใช่ ทฤษฎีอันนี้ได้เกี่ยวข้องกับแรงพื้นฐำนทุกชนิด (แรงแม่เหล็กไฟฟ้ำจำกประจุ, แรงโน้มถ่วงจำกมวล, แรงนิวเคลียร์แข็งจำกนิวคลีออนเสถียร, และแรงนิวเคลียร์อ่อนจำกนิวคลีออนสลำยตัว) เพรำะว่ำทฤษฎีสัมพัทธ ภำพทั่วไปนั้นเป็นทฤษฎีสัมพัทธภำพของแรงทุกชนิด ดังนั้นทฤษฎีนี้จึงมีคุณค่ำแก่กำรเรียนรู้ และมีคุณค่ำแก่กำร ถือเป็นทฤษฎีพื้นฐำนที่น่ำจดจำำ แม้ไม่เพียงสำขำเอกภพวิทยำเท่ำนั้นแต่เป็นทุกสำขำของฟิสิกส์ กำรกล่ำวว่ำทฤษฎี นี้เป็นทฤษฎีสัมพัทธภำพของกฎข้อที่สองของนิวตันก็ ถือว่ำถูกต้องอยู่ ซึ่งจะแตกต่ำงจำกทฤษฎีสัมพัทธภำพพิเศษ ซึ่งเป็นบทขยำยของกฏนิวตันข้อที่หนึ่ง บทที่ 5 ทฤษฎีควอนตัม กำรที่นิวตันมองเห็นลูกแอปเปิลตกลงสู่พื้นโลก มันเป็นสิ่งดลใจให้เขำได้สร้ำงสูตรวิถีทำงเดินนั้นก็ เป็นกำรสมเหตุสมผลดีสำำหรับกำรสร้ำงสมกำรกำรเคลื่อนที่ของนิวตัน แต่ทำำไม มักจะมีคำำกล่ำวว่ำ ทฤษฎีควอน ตัม นั้นเป็นทฤษฎีที่ยังไม่แน่ใจว่าถูกต้อง ก็เพรำะว่ำ สูตรพื้นฐำนของควอนตัมนั้นไม่มีภำพอย่ำงง่ำยที่ทำำให้เรำ เข้ำใจเหมือนอย่ำงกรณีของทฤษฎีนิวตัน ควอนตัมถือกำำเนิดจำกกำรทดลองกลุ่มหนึ่งซึ่งไม่มีใครอธิบำยได้ ต่อมำ มีผเู้ สนอสูตรคณิตศำสตร์ที่ตรงกับผลกำรทดลองนั่นคือ พลังค์ โบร์ ไอน์สไตน์ ทั้งๆที่พวกเขำไม่สำมำรถบอกได้ ว่ำ มีอะไรมำดลใจให้เขำต้องสร้ำงสูตรอย่ำงนั้น มีหลำยคนที่อธิบำยช่วยเขำตรงนั้นแต่ถึงตอนนี้ก็ยังไม่เป็นที่พอใจ กำรพัฒนำทำงคณิตศำสตร์ของมันถูกพัฒนำไปเร็วกว่ำกำรย้อนกลับไปค้นหำไอเดียพื้นฐำนของที่มำ ถึงทุกวันนี้ก็ ยังไม่มีใครอธิบำยช่วยกลุ่มของพลังค์ได้ ว่ำทำำไมพวกเขำคิดอย่ำงนั้น แต่ทำำไมทฤษฎีนี้จึงอธิบำยสิ่งต่ำงๆได้อย่ำง ถูกต้องเสมอก็เพรำะว่ำมันถือกำำเนิดจำกทฤษฎีที่ถูกต้องอันเดียวกันก็คือ พวกมันเคำรพหลักของแฮมิลตันและ หลักอนุรักษ์พลังงานเหมือนกับทฤษฎีคลำสสิค ดังนั้นทฤษฎีควอนตัมจึงถูกต้องอย่ำงไม่ต้องสงสัย ถ้ำถำมว่ำอะไร คือภำพของควอนตัมก็จะตอบว่ำคือทฤษฎีบางอันทางคลาสสิคนั่นแหละ

บทที่ 6 กำรควอนไทซ์ครั้งที่สองและทฤษฎีควอนตัมสนำม ทำำไมจึงเรียก ทฤษฎีสนาม นั่นก็เพรำะว่ำ จำำนวนอนุภำคไม่คงที่ ดังนั้นเรำจะอธิบำยด้วย เงื่อนไขที่ว่ำ จำำนวนอนุภำคคงที่ไม่ได้ และจำำนวนอนุภำคมีมำกจนไม่สำมำรถระบุแน่นอนได้ จึงต้องวัดเป็นความหนาแน่น แทน เทอมควำมหนำแน่นในที่นี้เป็นผลที่ได้จำกกำรต้องทำำกำรประมำณอย่ำงหลีกเลี่ยงไม่ได้ ต่อมำควำมหนำ แน่นนี้สำมำรถฟอร์มสูตรได้ง่ำยๆในเทอมของควำมเป็นสนำม

รังสรรค์ สายจันดี

3

ทฤษฎีสนำมมี ตัวดำาเนินการสนาม ˆ (x) เป็นตัวเอกสำำคัญ ซึ่งมันถูกเขียนจำก ตัวดำำเนินกำรทำำลำย และสร้ำง ในรูปอินทิกรัล ควำมหนำแน่นต้องมีอินทิกรัลช่วยแสดงบทบำทของมันไม่อย่ำงนั้นมันจะไม่มีควำม หมำยใดๆเลย ˆ ( x)  (2 ) 3/2  d 3k eik x aˆ (k )  ˆ ,ˆ †   1

จำกกำรสร้ำงโอเปอเรเตอร์ตัวนี้ทำำให้ต้องมีกำรเสนอ คำำว่ำ กำรควอนไทซ์ตัวดำำเนินกำรอันนี้ซำ้ำกับตัวดำำเนินกำร ทำงด้ำนขวำมือ aˆ อีกครั้ง ดังนั้นจึงเป็นที่มำของคำำว่ำ ทฤษฎีแห่งการควอนไทซ์ครั้งที่สอง คอนเซ็ปท์แห่งควอน ไทซ์นี้ได้ถูกเสนอขึ้นโดยดิแรก ไอเดียของเขำได้มีควำมสำำคัญต่อกำรพัฒนำทฤษฎีสนำมควอนตัมมำกพอๆกับ ไอ เดียเรขำคณิตของไอน์สไตน์และไอเดียของกำรกำำจัดตัวดำำเนินกำรออกไปของไฟน์แมน บทที่ 7 สมกำรคลื่นสัมพัทธภำพและทฤษฎีสนำม สมการคลื่นสัมพัทธภาพ ถูกเขียนขึ้นครั้งแรกโดย ดิแรก สำำหรับกำรอธิบำยปัญหำอิเลกตรอนอิสระ เป็น ที่น่ำแปลกใจว่ำ ควำมเป็นสปินมีแม้ใน ปัญหำอิเลกตรอนฟรี จำกกำรแก้สมกำรพบว่ำ ต้องอำศัย คอนเซ็ปท์สปิน มำช่วยด้วยจึงจะหำผลเฉลยได้ E 2  p p  m 2

 Wm   ( x)  0 2

สำำหรับสมกำรคลื่นสัมพัทธภำพ ที่รวม สนำมแม่เหล็กและสนำมไฟฟ้ำ นั้น ยังไม่พบโดยตรงนอกจำก ในปัญหำกำรกระเจิงของอิเลกตรอนกับอะตอมและปัญหำกำรเร่งอนุภำคประจุ (สปิน) ที่ควำมเร็วสูง ซึง่ จะต้องมี กำรนำำมันมำพิจำรณำด้วย บทที่ 8 แรง, กำรเชื่อมโยง และสนำมเกจ เทอม เกจ แต่ก่อนมักสื่อถึง ทฤษฎีสนำมแม่เหล็ก โดยตรง เพรำะเกจเป็นแหล่งกำำเนิดของสนำมแม่เหล็ก ต่อมำไอเดียแห่งเกจ ก็ถูกขยำยไปสู่กำรอธิบำยแรงชนิดอื่นด้วย เนื่องจำกควำมง่ำยและควำมเป็นไปได้ ทั้งนี้มันได้ ตั้งอยู่ท่ำมกลำงควำมสอดคล้องของทฤษฎีพื้นฐำนต่ำงๆ ทำำให้ทฤษฎีเกจมีพลังในกำรอธิบำยอนุภำคพื้นฐำนทุก ชนิดใน โมเดลมำตรฐำน กำรแปลงเกจ มีสองฟอร์มด้วยกันคือ A ( x)  A ( x )    ( x )

nm  ei ( n  m )  ( x ) mn ( x )

ตัวอย่ำงของกำรแปลงเกจมักจะกล่ำวถึงกรณีของสนำมแม่เหล็กก่อน เนื่องจำกมันสำมำรถตรวจสอบด้วยกำร ทดลองได้ง่ำยและมันเกิดจำกตรงนี้มำอย่ำงยำวนำนแล้วในทฤษฎีคลำสสิค บทที่ 9 ทฤษฎีสนำมสัมพัทธภำพอันตรกิริยำ ทฤษฎีสนำมสัมพัทธภำพอันตรกิริยำ เป็นทฤษฎีของ สองอนุภาคขึ้นไป ซึ่งแตกต่ำงจำกกรณีของ ทฤษฎี สนำมฟรี ที่มีแค่อนุภำคเดียว ตัวอย่ำงเช่น กำรกระเจิง กำรรบกวน กำรรีนอมัลไลซ์ ไดนำมิกไฟฟ้ำเชิงควอนตัมก็มี

รังสรรค์ สายจันดี

4

ตัวอย่ำงที่นำำไปประยุกต์ใช้ได้จริงมำกมำยด้วยกันซึ่งก็คือ กำรโพรำไรซ์ที่ว่ำง กำรเลื่อนแลมป์ โมเมนต์แม่เหล็ก ผิดปกติ ทฤษฎีสนำมสัมพัทธภำพอันตรกิริยำ เป็นทฤษฎีที่สำำคัญมำกในวงกำรของค้นหำอนุภำคมูลฐำน แต่ เนื่องจำกควำมยุ่งในกำรฟอร์มสูตร จึง่ ไม่ค่อยมีนักฟิสิกส์ในวงกว้ำงที่จะได้ศึกษำมันอย่ำงลึกซึ้ง มีเพียงส่วนน้อย เท่ำนั้นที่ได้เป็นส่วนหนึ่งในกำรพัฒนำมัน และผลของกำรอธิบำยของพวกมันไม่ค่อยมีผลทำงกำรพัฒนำทำงด้ำน กำรค้ำโดยตรง ดังนั้นจึงไม่มใี ครสนใจอย่ำงกว้ำงขวำงในตอนนี้ ผูพ้ ัฒนำทฤษฎีเหล่ำนี้ไม่เพียงแต่ว่ำจะมีเฉพำะ ควำมฉลำดเท่ำนั้นแต่ยังต้องรวมเอำควำมอุตสำหะเข้ำไปด้วย บทที่ 10 กลศำสตร์สถิติภำวะสมดุล กำรทดลองกำรแผ่รังสีของวัตถุดำำ ค่ำควำมจุควำมร้อน แม้กระทั่งสภำพกำรนำำต่ำงๆ กำรวัดอุณหภูมิและ ควำมดัน ปริมำตร ก็เป็นปัญหำที่สำำคัญมำกอันหนึ่ง กำรกล่ำวว่ำกลศำสตร์สถิติเป็นทฤษฎีที่ใช้พิสูจน์กำรเชื่อมโยง ระหว่ำง ทฤษฎีแก็สอะตอมเชิงสถิติและค่าความดันของระบบ ก็น่ำจะว่ำอย่ำงนั้นได้ พวกมันเกี่ยวข้องกับ กลศำสตร์สถิติโดยตรง ต่อมำสถิติเหล่ำนี้ถูกพิสูจน์ว่ำพวกมันสำมำรถแปลงไปสู่ ทฤษฎีสนาม ได้โดยตรง บทที่ 11 กำรทรำนซิชั่นเฟส กำรทรำนซิชั่นเฟส เป็นทฤษฎีที่ต้องกำรอธิบำยกำรเปลี่ยนสถำนะของสสำรได้เช่น กำรควบแน่น กำร ระเหย และกำรหลอมเหลว เป็นต้น มักจะเป็นทฤษฎีที่กล่ำวถึง ผลของอันตรกิริยำระหว่ำงโดยตรง นั่นคือถ้ำ อนุภำคไม่มีกำรทำำอันตรกิริยำกำรทรำนซิชั่นจะไม่เกิด ตัวอย่ำงของมันเช่น กำรเกิดและหำยไปของสนำมแม่เหล็ก ในสสำรเมื่ออุณหภูมิสูงเปลี่ยนไป กำรควบแน่นโบส – ไอน์สไตน์ และกำรนำำยิ่งยวดในทฤษฎีแลนดำว ปรำกฏว่ำ เกิดจำก การแตกหักของความสมมาตรตามธรรมชาติอย่างทันทีทันใด คำำว่ำ เฟส นั้นนิยำมมำจำกเทอมยกกำำลัง ของเอกโปเนนเชียลที่แสดงบทบำทสำำคัญ ทฤษฎีแห่งเฟส นั้นตอนเริ่มต้นนั้นถูกรู้จักในนำมของ โมเดลอิสซิ่ง ในวงกำรฟิสิกส์สถำนะของแข็ง แต่ กำรหำผลเฉลยทำำได้ยำกมำก (ถึงตอนนี้ยังไม่มใี ครแก้ได้) ซึ่งได้เกิดกำรประมำณตำมมำมำกมำย เช่น กลุ่มกำรน อร์มัลไลซ์ เป็นตัวอย่ำงหนึ่งที่เห็นได้ชัด

บทที่ 12 ทฤษฎีเกจเอกภำพของอันตรกิริยำมูลฐำน สำำหรับบทนี้จะได้กล่ำวถึง ไอเดียของ การฟอร์มสูตรแบบวิธีเกจ ของอนุภำคมูลฐำนหลังจำกที่ได้อำศัย เกจในกำรค้นพบ ความเร็วคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามาแล้วโดยแมกเวลล์

บทที่ 13 โซลิตอน โซลิตอน เป็นวัตถุทจี่ ินตนำกำรขึ้นมำจำกคำำตอบที่ได้จำกการแก้สมการน็อนลิเนียร์ ในทฤษฎีสนำมสัม พัทธภำพ โซลิตอน เกี่ยวข้องกับ โทโปโลจี เป็นสำำคัญ แต่จนถึงทุกวันนี้ไอเดียอันนี้ยังไม่ถูกยอมรับเชิงกำร ทดลอง

รังสรรค์ สายจันดี

5

สมกำรทำงสนำมควอนตัม ที่เกี่ยวข้องกับ อันตรกิริยา เกือบทั้งหมด เป็นสมกำรน็อนลิเนียร์

บทที่ 14 เอกภพเริ่มต้น กำรศึกษำเอกภพวิทยำนั้นเนื่องจำก แรงทีม่ ีบทบำทสำำคัญก็คือ แรงโน้มถ่วง ดังนั้นผู้เรียนจะต้องศึกษำ คณิตศำสตร์ที่ไอน์สไตน์ใช้ศึกษำอย่ำงหลีกเลี่ยงไม่ได้ นั่นคือ เทนเซอร์ แต่ต้องยอมรับว่ำ ศำสตร์สำขำนี้เป็นกำร รวมเอำทฤษฎีของทุกอย่ำงในกำรศึกษำจริงๆ ตั้งแต่แรงระหว่ำงควำร์ก จนถึงแรงโน้มถ่วง อะไรจะทำำให้มวลหาย ไปได้ก็ต้องอำศัยกำรค้นหำจำกตรงนี้เป็นสำำคัญ บทที่ 15 แนะนำำสู่ทฤษฎีสตริง จะเห็นว่ำ การเดาตัวแปรและวิธีในกำรแก้สมกำรอย่ำงมำกมำย (หลำยไอเดียเกินไป) ในโมเดล มำตรฐำน (QCD, QED, EWT) นั่นก่อให้เกิดควำมไม่เป็นเอกภำพทำงไอเดีย และไม่มีวิธีหรือไอเดียพื้นฐำนเดียวกัน อย่ำงง่ำยๆ ต่อมำจึงมีผู้เสนอวิธีกำรแก้สมกำรสำำหรับอนุภำคอย่ำงเป็นเอกภำพ ซึง่ เรียกใหม่ว่ำ ทฤษฎีสตริง สตริง เปรียบเสมือน เส้นเชือกหรือแรงตึงเชือก (คล้ำยกับเส้นแรงนั่นเอง) ที่ผูกสิ่งต่ำงๆเข้ำด้วยกัน อนุภำคต่ำงๆต้องเกิดในเส้นเชือกเหล่ำนี้ กล่ำวง่ำยๆ คือ เส้นเชือกคือแหล่งกำำเนิดของอนุภำคพื้นฐำนแห่งแรง ทฤษฎีอันนี้เป็นทฤษฎีทสี่ รุปจำกหลำยๆ คำำตอบของทฤษฎีเก่ำทั้งหมดให้สอดคล้องกันเท่ำนั้นเอง กำรสร้ำง สมกำรสตริงแล้วลดรูปสมกำรของโมเดลย่อยต่ำงๆเป็นงำนค่อนข้ำงยำก ภาพตัดสั้นบางตอน บทเสริม โน้ตคณิตศำสตร์บำงอัน       

ฟังก์ชั่นเดลตำและอนุพันธ์เชิงฟังก์ชั่น ควำมหนำแน่นเทนเซอร์เลวี – ซิวิตำ ปริภูมเิ วกเตอร์และปริภูมิฮิลเบิร์ท ทฤษฎีบทเกำส์ พื้นที่ผิวและปริมำตรของทรงกลม หลำยมิติ อินทิกรัลเกำส์ ตัวแปรกลำสมำน

บทเสริม 2 บำงอันของทฤษฏีกลุ่ม

รังสรรค์ สายจันดี บทเสริม 3 หน่วยธรรมชำติ บทเสริม 4 ภำคตัดขวำงกำรกระเจิงและอัตรำกำรสลำยตัวอนุภำค ชีวประวัติ อ้ำงอิง 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ดัชนี

Ian D. Lawrie Poole Malcolm Longair Patil J. M. Thijssen Tobochnick John David Jackson David Park

6