Ketaksamaan Markov Dan Chebyshev.docx

KETAKSAMAAN MARKOV DAN CHEBYSHEV 1. KETAKSAMAAN MARKOV 𝐸 [𝑋] 𝑃[𝑋 ≥ 𝐾 ] ≤ ,𝐾 > 𝑂 𝐾 ∞ 𝐸 [𝑋] = ∫𝑂 𝑥𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 𝑘

∞

∞

= ∫0 𝑥𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 + ∫𝑘 𝑥𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ≥ ∫𝑘 𝑥𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ∞

𝐸 [𝑋] ≥ ∫𝑘 𝑥𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ∞

𝐸[𝑋] ≥ 𝑘 ∫𝑘 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ; (𝑥 = 𝑘) 𝐸[𝑥] 𝑘 𝐸[𝑋] 𝐾

∞

≥ ∫𝑘 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ≥ 𝑃[𝑋 ≥ 𝐾]

2. KETAKSAMAAN CHEBYSHEV P[ǀX-𝜇ǀ ≥ k] ≤ P[x ≥ k] ≤

𝜎2

,𝑘 > 𝑜

k2 𝐸[𝑋] 𝑘

𝑃[(𝑥 − 𝜇)2 ≥ 𝑘2] ≤

𝐸[(𝑥−𝜔)2

𝑃[[ǀx − 𝜇ǀ ≥ k] ≥ k] Contoh:

𝑘2 𝜎2 k2

1. Jika diketahui sebuah peubah acak kontinu memiliki mean 10 dan var 9, maka dengan ketaksamaan chebyshev, tentukan P[5˂x˂15] penyelesaian: missal: 𝑘 = 𝑘𝜎 𝑃[ǀx − 𝜇ǀ ≥ k𝜎] ≤

1 𝑘2

𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑠

𝑃[ǀx − 𝜇ǀ ˂ k𝜎] ≥ 1 −

1 𝑘2

𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ

Menggunakan batas bawah: 𝜇 = 10 𝜎2 = 9 𝜎 =3 𝜎2 = 9 𝑃[ǀx − 𝜇ǀ ˂ k𝜎] ≥ 1 − 𝑃[ǀx − 𝜇ǀ ˂ 3k] ≥ 1 −

1 𝑘2 1 𝑘2

𝑃[−3k˂(x − 10)˂3k] ≥ 1 −

1 𝑘2

𝑃[−3 + 10˂x˂3k + 10] ≥ 1 − -3k+10=5 k=5/3

1 𝑘2

3k+10=15 k=5/3

𝑃[−3 + 10˂x˂3k + 10] ≥ 1 −

1 5 3

( )2

𝑃[−5 + 10˂x˂5 + 10] ≥ 1 − 𝑃[ǀx − 10ǀ ˂ 5] ≥

16 25

9 25