Kelompok 10.docx

LOGICAL REASONING (PENALARAN LOGIS)

MAKALAH untuk memenuhi tugas matakuliah Strategi Pemecahan Masalah (Matematika Rekreasi) yang dibina oleh Bapak Dr. H. Abdur Rahman As’ari, M.Pd, M.A

Oleh Abdul Kholik Lilik Fauziah

140311808487 140311808506

UNIVERSITAS NEGERI MALANG PASCASARJANA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA MARET 2016

PENDAHULUAN

Pada dasarnya, kemampuan berpikir logis, adalah kemampuan esensial yang perlu dimiliki oleh dan dikembangkan pada siswa yang belajar matematika. Rasional yang mendukung pernyataan di atas di antaranya karena kemampuan tersebut sesuai dengan visi matematika, tujuan pendidikan nasional, dan tujuan pembelajaran matematika sekolah yang diperlukan untuk menghadapi suasana bersaing yang semakin ketat. Dalam beberapa pembahasan istilah berfikir logis (logical thinking) sering kali dipertukarkan dengan istilah bernalar logis (logical reasoning), karena keduanya memuat beberapa kegiatan yang serupa. Sesungguhnya, istilah berfikir logis mempunyai cakupan yang lebih luas dari bernalar logis. Capie dan Tobin (1980, dalam Sumarmo, 1987) mengukur kemampuan berfikir logis berdasarkan teori perkembangan mental dari Piaget melalui Test of Logical Thinking (TOLT) yang meliputi lima komponen yaitu: mengontrol variabel (controling variable), penalaran proporsional (proportional reasoning), penalaran probabilistik (probalistics reasoning), penalaran korelasional (correlational reasoning), dan penalaran kombinatorik (combinatorial thinking). Berdasarkan teori yang sama, Sheehan (Sumarmo, 1987) mengklasifikasi perkembangan mental anak melalui terjemahan tes Longeot. Tes ini terdiri dari 26 butir tes yang meliputi komponen logik formal, kombinasi formal, dan proporsi formal. Dalam tes Longeot, sub tes logik formal atau penalaran proposisional disajikan dalam bentuk serangkaian pernyataan, diikuti dengan pilihan jawaban sebagai kesimpulan logis berdasarkan aturan inferensi. Selanjutnya penalaran berdasarkan aturan inferensi itu dinamakan penalaran logis. Ditinjau dari cakupannya, proses penalaran logis merupakan bagian dari proses penalaran matematik, dan proses penalaran matematik merupakan bagian dari proses berfikir matematik. Pengertian berpikir logis juga dikemukakan oleh beberapa pakar lainnya (Albrecht, 1984, Minderovic, 2001, Ioveureyes, 2008, Sonias, 2011, Strydom, 2000, Suryasumantri, 1996, dalam Aminah, 2011). Berpikir logis atau berpikir runtun didefinisikan sebagai: proses mencapai kesimpulan menggunakan penalaran secara konsisten (Albrecht, 1984), berpikir sebab akibat (Strydom, 2000), berpikir menurut pola tertentu atau aturan inferensi logis atau prinsip-prisnsip logika untuk memperoleh kesimpulan (Suryasumantri, 1996, Minderovic, 2001, Sponias, 2011), dan berpikir yang meliputi induksi, deduksi, analisis, dan sintesis (Ioveureyes, 2008).

2

Keraf, (1982), Shurter and Pierce (Sumarmo, 1987) mendefinisikan istilah penalaran serupa dengan pengertian penalaran proposisional atau penalaran logis yaitu sebagai proses berfikir yang memuat kegiatan menarik kesimpulan berdasarkan data dan peristiwa yang ada. Sumarmo (2005) merinci indikator penalaran matematik sebagai berikut: a) menarik kesimpulan analogi, generalisasi, dan menyusun konjektur, b) menarik kesimpulan logis berdasarkan aturan inferensi, memeriksa validitas argumen, dan menyusun argumen yang valid, c) menyusun pembuktian langsung, tak langsung, dan dengan induksi matematik. Berpikir logis memuat kegiatan penalaran logis dan kegiatan matematika lainnya yaitu: pemahaman, koneksi, komunikasi, dan penyelesaian masalah secara logis. Analisis tersebut melukiskan bahwa berpikir logis memiliki cakupan yang lebih luas dari pada penalaran logis.

3

PEMBAHASAN

CHAPTER 11 PENALARAN LOGIS

Ketika berurusan dengan teman dan kolega, kita menjumpai bahwa apa yang kita katakan akan sering menimbulkan respon tertentu. Respon tersebut kemudian dibawa ke yang lain dan seterusnya. Ketika kita mencoba memprediksi sebuah skenario percakapan atau diskusi/opini yang potensial, efeknya kita akan menggunakan penalaran yang logis. Dengan kata lain, jika kamu mengatakan A, kemudian yang diharapakan responnya B. Ini kemudian akan membawa pada pernyataan C, dimana ini akan direspon dengan pernyataan D. Ini merupakan penalaran logis pendek, terlaksana secara efektif, sangat membantu hubungan interpersonal dan dapat membantu menyelesaikan atau mungkin mencegah masalah sebelum muncul. Kita sering melakukan ini tanpa menyadari proses yang sebenarnya. Bagaimanapun dalam matematika, lebih formal kita membuat siswa kita mengetahui proses berpikir. Kita mencoba membimbing mereka atau melatih mereka untuk berpikir secara logis. Dimana ini dapat membuktikan bahwa pemikiran induktif (berdasarkan beberapa contoh spesifik untuk digeneralisasikan) lebih alami, bentuk penalaran logis membutuhkan beberapa latihan.

STRATEGI PENALARAN LOGIS DALAM PEMECAHAN MASALAH KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Dalam kehidupan sehari-hari, secara tipikal kita mengandalkan penalaran logis untuk merencanakan strategi rencana kerja, atau mungkin kita menggunakannya untuk berpendapat suatu hal dengan kolega atau bos. Kekuatan dari sebuah argumen sering bergantung pada validitas dari penalaran logis yang digunakan. Ini sering diartikan perbedaan antara kesuksesan dan kegagalan dalam proses peradilan. Ini bisa berakibat sukses atau promosi dalam jabatan. Status diperoleh ketika kamu meyakinkan bos bahwa kamu mempunyai cara yang lebih efisienuntuk memimpin proses daripada kasus-kasus sebelumnya. Kesuksesan atau kegagalan dalam perjanjian bisnis bergantung pada kecakapan penalaran logis. Ketika dalam situasi paling dasar, kita menggunakan strategi ini. Sebagai contoh, jika kamu berencana untuk bertemu seseorang pada lusa besok, kamu bergantung pada kesimpulan hari yang ditentukan tersebut, karena sekarang hari Kamis, hari besok lusa haruslah hari Sabtu. 4

MENGAPLIKASIKAN STRATEGI PENALARAN LOGIS UNTUK MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA

Penalaran logis dalam pengaturan matematis dapat sesederhana menghitung jumlah botol terkecil yang dibutuhkan untuk membawa pulang 10 qt air, jika ada 1-qt, 2-qt dan 1-gal botol tersedia. Untuk meminimalisir jumlah botol, kita akan beralasan bahwa kita membutuhkan untuk memaksimalkan ukuran botol. Bagaimanapun, 2 botol 1-gal dan 1 botol 2-qt akan menjadi jawaban yang benar. Penalaran logis pendek ini dapat diaplikasikan untuk berbagai situasi matematis.

BEBERAPA MASALAH YANG MENGGUNAKAN STRATEGI PENALARAN LOGIS

Masalah 11.1 Sebuah domino dapat menutup tepat 2 persegi berdekatan pada papan cek standar. Sehingga, 32 domino akan tepat menutup 64 persegi pada papan cek yang ditunjukkan pada gambar 11.1. Andaikan kita sekarang memindahkan 1 persegi dari masing-masing 2 diagonal dari pojok yang berlawanan pada papan cek (gambar 11.2) dan memindahkan 1 domino. Sekarang dapatkah kamu menutup papan cek berliku-liku dengan 31 domino yang tersisa? Mengapa atau mengapa tidak bisa?

Solusi Satu cara untuk menyelesaikan masalah ini adalah mendapatkan sebuah papan cek, pindahkan persegi pada pojok seperti yang ditinjukkan, kemudian ambil 31 domino dan lakukan ! bagaimanapun ini akan sedikit kacau dan menghabiskan waktu, karena ada banyak cara kita dapat memindahkan domino pada papan. Sebagai gantinya, mari mengaplikasikan strategi kita penalaran logis untuk menyelesaikan masalah. Catat bahwa satu domino menutup tepat dua persegi secara horizontal atau vertikal, satu diantaranya hitam, yang lain putih. Pada papan cek 64 persegi, ada 32 putih dan 32 persegi hitam dalam pola pilihan untuk ditutup. Ini sangat mudah. Pada papan cek berliku-liku, bagaimanapun kita telah memindahkan 2 persegi dengan warna sama yaitu hitam. Ini menyisakan kita dengan 30 persegi hitam dan 32 persegi putih. Karena domino harus selalu menutup satu dari masing-masing warna, ini tidak mungkin secara lengakap menuptup papan cek berliku dengan 31 domino. 5

Masalah 11.2 Carilah persamaan garis yang memuat bentuk umum dari dua lingkaran diberikan oleh persamaan berikut (𝑥 − 5)2 + (𝑦 + 2)2 = 15 (𝑥 − 4)2 + (𝑦 + 1)2 = 9

Solusi Kita dapat mengeplot grafik 2 lingkaran tersebut pada himpunan absis yang sama, temukan koordinat titik yang berpotongan, dan kemudian kita mempunyai koordinat dari 2 titik, gunakan bentuk 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 untuk menulis bentuk umum persamaan yang menggabungkan 2 titik tersebut. Walaupun demikian, mari kita gunakan penalaran logis. Menyelesaikan sepasang persamaan secara simultan berarti menemukan titik yang bersekutu pada grafik kedua persamaan. Jadi, jika kita menambah atau mengurangi dua persamaan tersebut, grafik dari persamaan yang dihasilkan haruslah memuat semua titik yang bersekutu pada 2 persamaan asli. Secara sederhana persamaan asli, kita memperoleh 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 + 4𝑦 + 14 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 2𝑦 + 8 = 0 Kurangi sehingga menghasilkan −2𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0 𝑦 =𝑥−3 Grafik persamaan ini adalah garis lurus yang harus melalui dua titik perpotongan dua lingkaran dan harus, oleh karena itu berisi tali busur yang sama. Kita tidak membutuhkan titik perpotongan yang sebenarnya, karena hanya persamaan dari garis yang memuat titik tersebut yang dicari dalam masalah ini.

Masalah 11.3 Brunnhilde mempunyai 20 $ dalam perempatan. Dia juga mempunyai lima kali sebanyaknikel sebagai peremapatan. Berapa uang yang dipunyai Brunnhilde dalam nikel?

6

Solusi Tipe solusi melibatkan seberapa banyakkah perempatan yang diperlukan dalam 20 $. Yaitu 4 perempatan dolar, Brunnhilde mempunyai 20 × 4 = 80 perempatan. Kemudian jika dia mempunyai lima kali sebanyak nikel, dia akan mempunyai 5 × 80 = 400 nikel. Pada masing-masing 5₡, 5 × 400 = 2000 sen, atau 20 $ dalam nikel. Dengan menggunakan penalaran logis kita hanya membutuhkan alasan bahwa masing-masing perempatan sama dengan lima nikel. Karena Brunnhilde mempunyai lima kali nikel sebagai perempatan, dia harus mempunyai jumlah uang yang sama dalam nikel seperti juga dlam perempatan, atau 20$ dalam nikel.

Masalah 11.4 Tentukan semua bilangan real untuk 𝑥 yang memenuhi persamaan 4−

3 3 = √4 − 𝑥 𝑥

Solusi Metode tradisional dimulai dengan menkuadratkan kedua ruas, 16 −

24 9 3 + 2 =4− 𝑥 𝑥 𝑥

Yang menghasilkan 12𝑥 2 − 21𝑥 + 9 = 0 3(4𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0 3

𝑥 = 4 atau 𝑥 = 1 Ini adalah solusi yang dihasilkan dari manipulasi aljabar untuk menghindari kesalahan. Bagaimanapun, kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan banyak cara yng lebih mudah dengan menggunakan strategi penalaran logis. Dalam sistem bilangan real, hanya ada dua bilangan yang mempunyai nilai sana dengan nilai akar kuadratnya. Yaitu 0 dan 1. Sehingga, 3

3

4 − 𝑥 = 1 atau 4 − 𝑥 = 0 3

𝑥 = 1 atau 𝑥 = 4 Pengecekan jawaban tersebut dengan mensubtitusikan ke dalam persamaan asli adalah penting.

7

Masalah 11.5 Selesaikan persamaan berikut untuk 𝑥 dan 𝑦, dimana 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan real: (𝑥 − 𝑦 2 )2 + (𝑥 − 𝑦 − 2)2 = 0

Solusi Tipe pendekatan siswa akan mengkuagratkan kedua bentuk: 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2 + 𝑦 4 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 𝑦 2 + 4𝑦 + 4 = 0 Jika kita mengumpulkan bentuk yang sama, kita peroleh 2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 𝑦 4 + 𝑦 2 + 4𝑦 + 4 = 0 Pada poin ini, kebanyakan siswa menyerah begitu saja. Setelah itu, mereka tidak mempunyai banyak waktu untuk mengerjakan masalah yang melibatkan persamaan tunggal dengan dua variabel. Bagaimanapun, mari kita menggunakan penalaran logis dengan menggunakan pengetahuan kita pada sistem bilangan. Persamaan dengan bentuk 𝑎2 + 𝑏 2 = 0 (dengan 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan real) adalah benar jika dan hanya jika 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 0 . Sehingga, 𝑥 − 𝑦 2 = 0 dan 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 𝑥 = 𝑦 2 dan 𝑥 = 𝑦 + 2 Subtitusikan 𝑥, kita peroleh (𝑦 + 2) − 𝑦 2 = 0 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0 (𝑦 − 2)(𝑦 + 1) = 0 𝑦 = 2 𝑦 = −1 𝑥=4 𝑥=1 Pengecekan jawaban tersebut dengan mensubtitusikan ke dalam persamaan asli adalah penting.

Masalah 11.6 Ruth, Stan, Ted, Una, Vicky, dan Walt akan pergi makan malam untuk merayakan kelulusan Vicky dan Walt dari SMA. Masing-masing biaya makan perorang sama jumlahnya. Vicky dan Walt disuguhi makanan mereka sendiri, sedangkan masing-masing harus berpatungan bersama untuk makanan yang lain. Berapakah yang masing-masingorang harus membayar jika total tagihan adalah 108.00 $

8

Solusi Solusi tipe siswa adalah aljabar: 108 $ : 6 = seharga 18.00 $ per makanan. Misal 2𝑥 merepresentasikan jumlah yang harus dibayar masing-masing orang untuk Vicky dan Walt. Maka Ruth membayar 18 $ + 2𝑥 Stan membayar 18 $ + 2𝑥 Ted membayar 18 $ + 2𝑥 Una membayar 18 $ + 2𝑥 Vicky membayar 𝑥 Walt membayar 𝑥 72 + 10𝑥 = 108 10𝑥 = 36 𝑥 = 3.6 Vicky dan Walt massing-masing membayar 3.60$; tiap orang yang lain membayar 18 $ + 7.20 $ = 25.20 $. Mari mencoba menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan strategi penalaran 1

1

logis. Kita ketahui bahwa Vicky membayar 5 dari makanan Walt, atau 5 dari 18 $ = 3.60 $. 1

Pada waktu yang sama, Walt membayar 5 dari makanan Vicky, atau 3.60 $, untuk total 7.20 $. Jika kita mengurangi 7.20 $ dari total tagihan 108 $, kita mempunyai 100.80 $ tersisa untuk dibagi 4 orang. Pembagian 100.80 $ dengan 4 kita peroleh 25.20 $ per orang, jumlah yang harus dibayar Ruth, Stan, Ted dan Una. Vicky dan Walt masing-masing 3.60 $.

Masalah 11.7 Jika sebuah bilangan bulat tertentu dibagi 15,sisanya adalah 7. Carilah jumlah sisanya jika kita membagi bilangan bulat yang sama dengan 3 dan kemudian dengan 5.

Solusi Secara tradisional, siswa menyelesaikan masalah tipe ini dengan pendekatan aljabar. Yaitu, jika bilangan dibagi oleh 15 dengan sisa 7, ini haruslah berbentuk 15𝑘 + 7. Pada poin ini siswa biasanya mengabaikan pendekatan aljabar dan memeriksa beberapa bilangan yang menyisakan 7 ketika dibagi 15. Kemungkinannya termasuk 22, 37, 52,dan selanjutnya. Tentu saja ini akan mengarah kepada jawaban, tetapi ini tidak memastikan jika jawaban yang mereka peroleh adalah benar untuk semua bilangan dengan bentuk tersebut. 9

Kita dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan strategi penalaran logis. Mari kita mulai pada poin dimana kita mengekspresikan bilangan dengan bentuk umum, 15𝑘 + 7. Sekarang kita membagi bilangan ini dengan 5, kita membagi 15𝑘 dengan 5 dan 7 dengan 5. Membagi 15𝑘 dengan 5 menghasilkan tidak ada sisa; membagi 7 dengan 5 menghasilkan sisa 2. Sekarang kita bagi 15𝑘 + 7 dengan 3. Membagi 15𝑘 dengan 3 menghasilkan tidakada sisa; membagi 7 dengan 3 mengasilkan sisa 1. Sehingga, jumlah sisanyaadalah 2 + 1 atau 3, dan masalah terselesaikan. Lebih formalnya ini akan dikerjakan dimulai dengan 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 15, dimana ini berakibat 𝑥 = 15𝑡 + 7. Sehingga 15𝑡 + 7 ≡ 𝛼 𝑚𝑜𝑑 3, yang berakibat bahwa 𝛼 = 1 dan 15𝑡 + 7 ≡ 𝛽 𝑚𝑜𝑑 5,yang berakibat bahwa 𝛽 = 2. Lagi 2 + 1 = 3.

Masalah 11.8 Nyonya Shuttleworth menjual 51 toples buah tangannya sendiri tepatnya dalam 3 hari. Masing-masing hari terjual 2 lebih banyak toples dari hari sebelumnya. Berapa banyak toples yang dia jual perharinya ?

Solusi Kebanyakan siswa dapat mendekati masalah denga sudut pandang aljabar : 𝑥 menotasikan banyaknya toples yang terjual pada hari pertama. 𝑥 + 2 menotasikan banyaknya toples yang terjual pada hari kedua. 𝑥 + 4 menotasikan banyaknya toples yang terjual pada hari ketiga. 𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 51 3𝑥 + 6 = 51 3𝑥 = 45 𝑥 = 15 Dia menjual 15 toples pada haripertama,17 toples pada hari kedua, dan 19 toples pda hari ketiga. Mari kita lihat masalah ini dari sudut pandang penalaran logis. Dia menjual 51 toples dalam 3 hari, rata-ratanya 17 toples perhari. Karena perbedaan antara jumlah yang terjual masing-masing hari konstan, 17 merepresentasikan jumlah yang terjual pada tengah hari. Maka pada hari sebelumnya, dia menjual 17 − 2 atau 15 toples dan pada hari berikutnya, dia menjual 17 + 2 atau 19 toples.

10

Masalah 11.9 Pasukan anggota pramuka wanita memanngang roti untuk dijual pada penjualan panggang pertahun. Mereka membuat antara 100 sampai 150 roti. Seperempat roti dengan lemon renyah dan seperlima roti dengan coklat biji kacang. Berapa jumlah terbanyak dari roti yang dipanggang anggota pasukan tersebut?

Solusi Kebanyakan siswa akan mendekati masalah secara aljabar sebagai berikut: Misalkan 𝑥 mempresentasikan jumlah keseluruhan roti. 𝑥 4 𝑥 5

merepresentasikan jumlah roti dengan lemon renyah. merepresentasikan jumlah roti dengan coklat biji kacang. 𝑥

𝑥

𝑥 − 4 − 5 merepresentasikan sisa roti yang dipanggang. Maka 100 <

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 + + [𝑥 − − ] < 150 4 5 4 5

2000 < 5𝑥 + 4𝑥 + 20𝑥 − 5𝑥 − 4𝑥 < 3000 2000 < 20𝑥 < 3000 100 < 𝑥 < 150, Yang telah kita ketahui. Sebagai hasil, pendekatan ini menampakkan arahan yang tidak jelas. Mari kita selesaikan masalah ini dengan penalaran logis. Karena jumlah roti harus tepat dapat dibagi 4 dan 5, maka ini haruslah dapat dibagi 20. Lebih jauh, karena ini terletak antara 100 dan 150, ini haruslah diantara 120 atau 140. Jadi jumlah maksimum roti yeng mereka panggang adalah 140, dan maslah terselesaikan.

Masalah 11.10 Seperangkat kartu standar terdiri dari 52 kartu yang dimainkan secara acak terbagi menjadi 2 tumpukan dengan masing-masing 26 kartu. Bagaimana perbandingan antara jumlah kartu merah pada satu tumpukan dengan jumlah kartu hitam pada tumpukan lainnya?

Solusi Kita dapat mempresentasikan situasi ini secara simbolik sebagai berikut: 𝐵1 merepresentasikan jumlah kartu hitam pada tumpukan 1. 11

𝐵2 merepresentasikan jumlah kartu hitam pada tumpukan 2. 𝑅1 merepresentasikan jumlah kartu merah pada tumpukan 1. 𝑅2 merepresentasikan jumlah kartu merah pada tumpukan 2. Kemudian karena jumlah total kartu hitam sama dengan 26, 𝐵1 + 𝐵2 = 26 Dimana jumlah total kartu pada tumpukan 2 sama dengan 26, 𝑅2 + 𝐵2 = 26 Dengan pengurangan, 𝐵1 − 𝑅2 = 0 dan 𝐵1 = 𝑅2 . Sehingga, jumlah kartu merah dalam 1 tumpukan sama dengan jumlah kartu hitam pada tumpukan lainnya. Meskipun solusi ini menuntun kepada jawaban benar, mari kita coba selesaikan masalah ini dengan strategi penalaran logis. Ambil semua kartu merah pada tumpukan pertama dan ganti dengan kartu hitam pada tumpukan kedua. Oleh karena itu, jumlah kartu merah pada tumpukan 1 dan jumlah kartu hitam pada tumpukan lainnya akan sama pada awalnya.

Masalah 11.11 1

1

Jika 𝑥+5 = 4, berapakah nilai dari 𝑥+6 ? Solusi Secara tradisional, siswa menghadapi masalah ini akan mencari nilai dari 𝑥 dengan menyelesaikan persamaan asli. Jika kita menyelesaikan persamaan ini untuk 𝑥,kita peroleh 19

1

4

𝑥 = − 4 . Kemudian kita substitusikan nilai 𝑥 pada pecahan 𝑥+6 dan menghasilkan 5. Tentu saja ini akan melibatkan jarang manuver aljabar dan manipulasi aritmatik. Dengan menggunakan strategi penalaran logis kita dapat mendekati masalah secara 1

berbeda. Jika 𝑥+5 = 4, kita dapat mengambil kebalikan dari kedua ruas dan kita peroleh 𝑥 + 1

5

5 = 4. Sekarang kita tambah 1 pada kedua ruas, hasilnya 𝑥 + 6 = 4. Kita kembali 1

5

mengambil kebalikan dari kedua sisi dan kita peroleh 𝑥+6 = 4. Masalah 11.12 Dalam 10 tim liga olahraga, masing-masing tim bermain dengan tim lain sebanyak 10 kali. Ketika musim berakhir, tidak ada yang seri di klasemen, dan masing-masing tim mempunyai

12

jumlah permainan yang sama menjelang tim segera setelah di klasemen. Berapa jumlah maksimum permainan tim agar tempat terakhir bisa menang?

Solusi Siswa harus memulai dengan menentukan jumlah total permainan yang dimainkan oleh 10 tim selama semusim. Akan ada 10 (9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) atau 450 permainan yang dimainkan bersama. Ini dapat juga dicari dengan menggunakan 𝐶210 atau 45 (jumlah permainan dari masing-masing tim yang dimainkan ketika bermain sekali dengan tim lain) dan kemudian dikalikan dengan 10. Siswa sekarang mendekati masalah secara aljabar sebagai berikut: Misal 𝑛 menotasikan jumlah permaianan yang dimenangkan oleh tim dengan tempat terakhir. Misal 𝑑 menotasikan permainan berbeda berurutan yang dimenangkan oleh masingmasing tim. Oleh karena itu, 𝑛 + (𝑛 + 𝑑) + (𝑛 + 2𝑑) + (𝑛 + 3𝑑) + ⋯ + (𝑛 + 8𝑑) + (𝑛 + 9𝑑) = 450 10𝑛 + 45𝑑 = 450 2𝑛 + 9𝑑 = 90 Agar 𝑛 maksimum, 𝑑 haruslah minimum. Kita tahu bahwa 𝑑 ≠ 0, karena tidak ada yang seri dalam klasemen. Nilai minimum untuk 𝑑 akan menjadi 2 : 2𝑛 + 18 = 90 2𝑛 = 72 𝑛 = 36 Jumlah maksimum permainan dari tim dengan tempat terakhir agar menang adalah 36. Kita juga dapat menyelesaikan maslah dengan menggunakan strategi penalaran logis. Kita tahu ada 450 permaianan yang dimainkan seluruhnya

Masalah 11.13 Jika 𝑎 dan 𝑏 keduanya bilangan bulat, berapa banyak pasangan terurut (𝑎, 𝑏) yang memenuhi persamaan 𝑎2 + 𝑏 2 = 10?

13

Solusi Siswa mungkin mencoba menggambar grafik lingkaran yang akurat, pusat pada titik asal dan jari-jari √10. Mereka akan mengecek grafik untuk melihat apakah ini memotong garis pada titik jeruji. Tentu saja ini haruslah dengan diagram yang digambar dengan teliti, cukup luas untuk membaca koordinat pada titik secara akurat. Mari kita lihat jika kita menggunakan strategi penalaran logis. Karena kita bekerja pada bilangan bulat untuk 𝑎 dan 𝑏, kita harus mencari solusi dimana 𝑎2 dan 𝑏 2 adalah bilangan cacah. Sebarang bilangan dengan nilai mutlak lebih dari 3 akan menghasilkan kuadrat lebih dari 10, berarti kita harus mengecek hanya 𝑎 = 1,2 𝑎𝑡𝑎𝑢 3. Jika 𝑎 = 1 (𝑎2 = 1) dan 𝑏 = 3 (𝑏 2 = 9), kita mempunyai himpunan yang memenuhi persamaan. Hanya ada satu nilai yang memenuhi persamaan yaitu 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 3 atau lawannya secara simetris, 𝑎 = 3 dan 𝑏 = 1. Bagaimanapun kita menyetujui pengkuadratan, kita juga mempertimbangkan kedua jawaban positif dan negatif. Ada delapan pasang jawaban yang memenuhi persamaan. Kita menyiapakan daftar untuk menghitung semua kemungkinan: (+1, +3), (+1, −3), (−1, +3), (−1, −3), (+3, +1), (+3, −1), (−3, +1) 𝑑𝑎𝑛 (−3, −1)

Masalah 11.14 Empat titik 𝐴(3,3), 𝐵(5,7), 𝐶(8,7) dan 𝐷 (12,3) adalah puncak trapesium. Titik 𝐴’, 𝐵’, 𝐶’, dan 𝐷’ ditentukan dengan mengalikan absis dari 𝐴, 𝐵, 𝐶, dan 𝐷 masing-masing dengan −1. Carilah perbedaan dalam satuan luas dari luas trapesium ABCD dan trapesium 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’.

Solusi Dengan jelas, masalah dapat diselesaikan oleh siswa dengan mencari luas masingmasing trapesium dankemudian mencari selisihnya. Ini membutuhkan waktu. Ini lebih mudah menyelesaikan masalah dengan menyelidikinya dengan menggunakan penalaran logis. Aturlah dengan menguji 𝑥 → 𝑥′. Dimana ini menghasilkan sebuah pencerminan dengan sumbu 𝑌 dari gambar asli, ini berakibat tidak ada perubahan luas. Catatan bahwa semua perkalian dengan −1 mengubah koordinat ke sisi berlawanan dari sumbu 𝑌. Ini berarti tidak ada perubahan ukuran atau bentuk dari gambar asli.sehingga perbedaan luasnya adalah 0.

14

Masalah 11.15 Satu dari bilangan berikut tepat sama dengan 13 !. Berapakah itu? (a) 6,227,020,800 (b) 6,227,028,000 (c) 6,227,280,000

Solusi Secara tradisional, siswa akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan menyalakan kalkulator dan memasukkan faktor dari 13!. Faktornya adalah 13, 12, 11, 10, . . . , 3, 2, 1. Ini proses yang membutuhkan waktu. Tentunya jika kalkulator mempunyai tanda “!” (faktorial), maka masalah menjadi mudah. Bagaimanapun strategi penyelesaian masalah yang kita gunakan disinimasih instruksional dan bermanfaat. Kita akan menggunakan strategi penalaran logis. Mari menyelidiki faktor dari 13! = 13, 12, 11, 10, . . .5, 4, 3, 2, 1. Karena hanya ada faktor yang menghasilkan perkalian 10 yaitu 10, 5 dan 2, maka 13! Akan berakhir dengan dua nol. Oleh karena itu hanya satu pilihan kemungkinan jawaban benar di atas adalah (a).

Masalah 11.16 Bilangan empat digit 𝑥56𝑦, dimana x dan y adalah masing-masing digit pertama dan terakhir, yang dapat dibagi 9. Berapakah nilai 𝑥 + 𝑦?

Solusi Biasanya, siswa secara sederhana akan mencoba berbagai nilai untuk x dan y untuk melihat yang mana yang bisa dibagi 9. Meskipun ini bentuk tebakan dan pengecekan, ini tidaklah cukup. Ini harus dikombinasikan dengan penalaran logis dari informasi yang telah diberikan. Ingat bahwa bilangan yang bisa dibagi 9, jumlah digit bilangan haruslah kelipatan 9. Oleh karena itu 𝑥 + 5 + 6 + 𝑦 = 9𝑀 atau 𝑥 + 𝑦 + 11 = 9𝑀. Bilangan terbesar dari 𝑥 + 𝑦 adalah 9 + 8 = 17, tetapi 17 + 11 = 28 dan 28 bukan kelipatan 9. Dapatkah kita memperoleh 27? Maka 𝑥 + 𝑦 harus menjadi 16 dan 7 + 9 = 16. Kelipatan 9 yang lebih kecil berikutnya dihitung mundur dari 27 yaitu 18. Sehingga 𝑥 + 𝑦 = 7. Kelipatan 9 yang lebih rendah lagi akan sulit dioperasikan. Tidak ada yang lain. Jadi, 𝑥 + 𝑦 = 16 atau 7.

15

Masalah 11.17 Carilah semua pasangan bilangan prima yang jumlahnya sama dengan 999.

Solusi Banyak siswa akan mulai dengan mengambil bilanganprima dan mencoba berbagai pasangan untuk melihat jika mereka mendapatkan jumlah 999. Ini jelas membosankan dan membutuhkan waktu,dan siswa tidak akan yakin dengan semua pasangan bilangan prima tersebut. Mari menggunakan strategi penalaran logis kita untuk menyelesaikan masalah ini. Untuk memperoleh jumlah ganjil dari dua bilangan (prima atau lainnya), tepat satu dari bilangan haruslah genap. Karena hanya ada satu bilangan prima genap, yaitu 2, maka hanya ada pasangan bilangan prima yang jumlahnya 999, yaitu pasangan 2 dan 997.

Masalah 11.18 Henry menyetir ke mall belanja setempat,jaraknya 2 mil. Dia mnyetir pada mil pertama tepat 30 mph kemudian menyadari bahwa dia akan terlambat pada pertemuan dan memutuskan menyetir lebih cepat. Pada kecepatan berapa dia harus menyetir pada mil kedua dengan ratarata 60 mph untuk 2 mil?

Solusi Siswa akan memulainya dengan membuat tabel untuk mengorganisir data yang mereka gunakan 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 . 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘: Rata-rata kecepatan

Waktu 1 30 1 𝑥

30 𝑥

jarak 1 1

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 = 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 2 1 1 30 + 𝑥

= 60

2= 2+

60 x 16

60 =0 x dimana ini tidak mungkin. Mari kita gunakan strategi penalaran logis. Untuk 2 mil perjalanan dilengkapi dengan kecepatan rata-rata 60 mph, ini membutuhkan waktu 2 menit. Pada kecepatan 30 mph, Henry telah mengambil 2 menit menyetir pada mil pertama. Ini tidak mungkin untuk merata-rata 60 mph untuk 2 mil.

Masalah 11.19 Rudy menawarkan Christie taruhan bahwa hasil kali dari skor New York Mets pada masingmasing permainan pada musim baseball 1998 kurang dari jumlah skor. Haruskah Christie mengambil taruhan tersebut?

Solusi Siswa mungkin mengharapkan untuk memperoleh rekor dan skor sesungguhnya dari New York Mets pada musim 1998. Dengan menggunakan kalkulator, mereka dapat mencari hasil kali dan jumlah skor yang diperoleh tim. Secara jelas, ini akan membutuhkan waktu dan kemungkinan tidak akurat. Alasan lainnya bahwa hasil kali bilangan lebih besar daripada jumlahnya. Bagaimanapun, jika kita menerapkan strategi penalaran logis, kita dapat berpikir secaralogis seperti berikut. Kemungkinan terbesar bahwa New York Mets memperoleh sedikitnya sekali selama 162 musim permaina mereka. Oleh karena itu, hasil kali skor akan menjadi 0, yang berakibat terlibatnya 0 dalam hasil kali. Sehingga, Christie haruslah tidak mengambil taruhan.

Masalah 11.20 Sebuah kubus kayu mempunyai ukuran 3 inch pada tiap rusuknya. Tuan Twain ingin memotong menjadi kubus yang lebih kecil, masing-masing 1 inch pada rusuknya. Setelah masing-masing dipotong, dia berhenti pada bagian kayu yang sebelumnya ingin dibuat pada pemotongan berikutnya. Berapa jumlah terkecil potongan yang harus dia buat?

17

Solusi Banyak siswa akan mencoba untuk menggambar diagram untuk menyelesaikan masalah. Yang lain mungkin akan mendapatkan sebenarnya sebuah kubus kayu (atau kertas) dan menjalankan permasalahan, mencoba menemukan jumlah potongan terkecil. Bagaimanapun, mari kita gunakan strategi penalaran logis kita. Tidak masalah potongan berhenti, ini masih sejumlah 6 potongan untuk membuat kubus pada pusat. Sehingga jumlah minimum potongan haruslah 6.

18

KESIMPULAN

Dalam menyelesaikan masalah matematis, strategi yang dapat digunakan diantaranya: 1. Bekerja mundur 2. Menemukan pola 3. Mengadopsi sudut pandang yang berbeda 4. Menyelesaikan dengan masalah analogis yang lebih sederhana 5. Berdasarkan kasus ekstrim 6. Membuat gambar 7. Tebakan dan pengecekan intelegen 8. Mendata semua kemungkinan 9. Mengorganisir data 10. Penalaran logis Semua strategi tersebut mempunyai kekurangan dan kelebihan masing-masing. Oleh karena itu sebagai seorang guru kita harus mampu menggunakan strategi tersebut dengan efektif dan tepat.

19

DAFTAR RUJUKAN

Posamentier, A.S & Krulik, S. 1998. Problem-Solving Strategies for Efficient and Elegant Solutions. USA: Corwin Press, Inc.

20