Kalkulus.docx

1.0

Pengenalan Kalkulus adalah satu cabang matematik. Kalkulus telah diwujudkan di

sebahagian bezar oleh Newton dan Leibniz, walaupun beberapa idea-idea yang telah digunakan oleh Fermat dan juga Archimedes. Kalkulus dibahagikan kepada dua bahagian, yang berkait rapat. Satu bahagian dipanggil “kalkulus pembezaan” dan

bahagian

yang

lain

dipanggil

“kalkulus

kamiran”.

Kalkulus

kamiran

membayangkan satu bentuk matematik yang mengenal pasti isipadu, luas dan penyelesaian kepada persamaan. Kalkulus pembezaan adalah satu kajian terhadap fungsi dan kadar perubahan dalam fungsi apabila pembolehubah diubah. Kalkulus kamiran menumpukan kepada menentukan jawapan matematik seperti saiz jumlah atau nilai. Kalkulus adalah cabang matematik yang dikembangkan dari algerbra dan geometri. Kalkulus umumnya mempelajari perubahan laju (dalam fungsi), seperti halaju, lengkung, dan isipadu. Perkembangan kalkulus awalnya didukung oleh Archimedes, Leibniz dan Newton juga Barrow, Descartes, de Fermat Huygens, dan wallis. Dasar dari kalkulus adalah pengamiran, pembezaan dan had. Pembezaan digunakan untuk mengetahui isipadu kuboid. Pembezaan merupakan suatu ukuran bagi perubahan dalam fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) berhubung dengan perubahan pembolehubah bebas. Sesebuah ungkapan dalam bentuk ini

𝑑𝑦 𝑑𝑥

ditakrifkan sebagai pembezaan. Pembezaan yang dikenali sebagai ‘differentiation’ atau ‘derivate’ adalah pengukuran bagaimana sebuah fungsi perubahan sebagai perubahan daripada inputnya. Derivatif boleh dianggap perubahan sesuatu kuantiti sebagai tindak balas kepada perubahan dalam kuantiti yang lain. Pembezaan merupakan salah satu daripada aplikasi yang sangat berguna dalam kehidupan kita. Pembezaan membantu kita dalam menyenangkan kehidupan kita dan membantu dalam pengenalan pelbagai perkara baru dalam matematik dan juga dalam kehidupan harian. Kuantiti yang perlulah maksimum atau minimum dengan syarat satu pembolehubah sahaja yang diperoleh daripada informasi untuk menyelesaian persamaan dan juga mencari nilai bagi 𝑥.

𝑑𝑉 𝑑𝑥

= 0 digunakan

2.0 Soalan masalah harian Seorang pengusaha ladang kelapa sawit ingin memindahkan minyak kelapa sawit yang telah diproses dari kilang ke tangki minyak kelapa sawit. Beliau ingin memindahkan minyak kelapa sawit dengan menggunakan lori minyak kelapa sawit yang mempunyai nombor plat JRW 433. Tangki minyak kelapa sawit mempunyai tapak di mana tingginya ialah dua kali daripada panjangnya dan jumlah luas permukaan tangki minyak kelapa sawit itu ialah 972 𝑚2 . Jika panjang tangki minyak kelapa sawit ialah 𝑦 𝑚 dan

isipadu tangki minyak kelapa sawit itu ialah V 𝑚3 . 4

Tunjukkan bahawa 𝑉 = 324𝑦 − 3 𝑦 3 . Cari panjang, lebar dan tinggi tangki air apabila isipadu ialah maksimum dan cari isipadu maksimum bagi tangki minyak kelapa sawit tersebut. Cara penyelesaian : Langkah 1 : Diberi lebar tangki minyak kelapa sawit = 𝑥 𝑚 dengan itu panjang tangki minyak kelapa sawit =𝑦 𝑚 Katakan tinggi tangki minyak kelapa sawit = 2𝑦 𝑚

2Y m

Xm Ym

Jumlah luas permukaan tangki minyak kelapa sawit = 972 𝑚2 2(2𝑥𝑦) + 2𝑥𝑦 + 2(2𝑦 2 ) = 972 6𝑥𝑦 + 4𝑦 2 = 972 3𝑥𝑦 + 2𝑦 2 = 486 486 − 2𝑦 2 ∴𝑥= 3𝑦

Langkah 2 : Isipadu tangki minyak kelapa sawit, 𝑉 = 2𝑦 2 𝑥 𝑝(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 2 𝑥 𝑉 = 2𝑦 2 ( 𝑉=

486 − 2𝑦 2 ) 3𝑦

2 𝑦(486 − 3 4 3

2𝑦 2 )

Terbukti bahawa ; ∴ 𝑉 = 324𝑦 − 𝑦 3

Langkah 3 : Bezakan 𝑉 = 324 − 4𝑦 2 𝑑𝑉 = 324 − 4𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑉

Apabila 𝑉 adalah pemalar, 𝑑𝑥 = 0 Apabila

𝑑𝑉 𝑑𝑥

=0

324 − 4𝑦 2 = 0 4𝑦 2 = 324 𝑦 2 = 81 ∴𝑦=9

Langkah 4 : Panjang tangki minyak kelapa sawit = 𝑦 = 9 𝑚 tinggi tangki minyak kelapa sawit = 2𝑦 = 2(9) = 18 𝑚

Lebar tangki minyak kelapa sawit, 𝑥 =

486−2𝑦 2 3𝑦

=

486 − 2(9)2 3(9)

= 12 𝑚

Langkah 5 : Isipadu tangki minyak kelapa sawit 4 𝑉 = 324𝑦 − 𝑦 3 3 4 = 324(9) − (9)3 3 = 2916 −

=

2916 3

8748 − 2916 3 = 1944 𝑚3

𝑑2 𝑉 = 8𝑦 2 𝑑𝑥 2 Apabila 𝑦 = 9,

𝑑2 𝑉 = −8(𝑦) 𝑑𝑥 2 = −72 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓) ∴ 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑔𝑖 𝑉 𝑖𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 Maka nilai maksimum bagi isipadu tangki minyak kelapa sawit ialah 1944 𝑚3 .

3.0 Penggunaan aplikasi dalam masalah harian

Terdapat beberapa aplikasi kalkulus dalam kehidupan seharian. Sesuatu masalah dapat diselesaikan dengan penggunaan pembezaan dan pengamiran dalam menyelesaikan masalah tersebut. Secara keseluruhan, beberapa masalah dapat dikaitkan dengan pembezaan dalam kehidupan harian kita. Pembezaan digunakan dalam menganggarkan nilai maksimum dan minimum dalam sesuatu perkara. Sebagai contoh adalah menganggarkan keuntungan tertinggi dalam sesuatu ataupun juga kuantiti maksimum dan minimum yang boleh digunakan bagi mengelakkan kerugian. Dalam pembinaan bangunan, seseorang usahawan perlu tahu kuantiti bahan yang digunakan dan pembezaan membantu dalam mencari nilai maksimum atau minimum bagi memastikan kualiti pengeluarannya adalah terjamin dan dalam masa yang sama kita tidak mengalami kerugian. Bukan itu sahaja, penggunaan tenaga kerja serta bahan juga boleh dianggarkan menggunakan pembezaan ini. Oleh itu, secara keseluruhannya, penggunaan pembezaan dalam ekonomi adalah tidak dapat dielakkan dan mendapat membantu kita dalam meningkatkan kualiti keusahawanan seseorang itu dan membantu dalam membuat keputusan. Selain itu juga. Pembezaan juga membolehkan kita mengkaji perubahan saiz buih dalam air yang semakin membesar apabila naik ke permukaan. Tekanan yang semakin berkurangan menyebabkan saiznya semakin membesar dan kadar buih itu membesar bolehlah disukat menggunakan pembezaaan. Selain itu juga, kadar dimana paras air menaik dalam bekas yang berbentuk V dimana semakin tinggi air menaik semakin lama untuk paras air itu meningkat disebabkan oleh luas permukaan yang semakin membesar. Sebagai contohnya adalah dalam empangan, paras air boleh disukat dan dikawal dengan menyesuaikan saiz lubang dan ini dapat disukat menggunakan pembezaan dan ini adalah penting supaya tidak ada tekanan

berlebihan keatas empangan tersebut ataupun juga air yang mengalir secara berlebihan. 4.0 Kesimpulan Kesimpulannya, saya dapat memahami betapa pentingnya pembezaan (differentation) dalam kehidupan harian kita. Sepanjang hidup kita, kalkulus akan memberikan sumbangan terbesar kepada kita dalam menyelesaikan masalah serta memudahkan kerja kita. Walaupun ramai daripada kita tidak sedar atau tidak tahu, pembezaan ini memang terdapat di sekeliling kita dan memang digunakan dalam kegiatan harian. Ini jelas menunjukan bahawa kegunaan pembezaan adalah tidak dapat dinafikan dan adalah memang penting dalam kehidupan kita. Apabila masalah yang lebih kompleks untuk menyelesaikan atau ia melibatkan bentuk yang luar biasa, kalkulus menjadi alat yang digunakan untuk penyelesaian. Masalah yang dihadapi dalam kehidupan harian dapat dikaitkan dengan pembezaan, maka masalah tersebut dapat diselesaikan dengan mudah.