Juros Simples

1 FACULDADE DE ARACRUZ INTRODUÇÃO A TEORIA MACRO E MICRO ECONÔMICA 2009/2 ENGENHARIA QUÍMICA Professor Iatahanderson de Souza Barcelos

CONCEITOS GERAIS E JUROS SIMPLES A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos. Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade disponível amanha. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Então, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia. As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar: a) O risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente pela incerteza com ao relação ao futuro; b) A perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. A inflaçao é um fenômeno que corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo montante; c) O capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. TAXAS DE JURO A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária. Exemplo: 15% (quinze porcento) ou na forma de taxa unitária, 0,15. FLUXO DE CAIXA Os movimentos financeiros são indentificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa definido como fluxo de caixa. O fluxo de caixa nos permite visualizar no tempo o que ocorre com o capital (é o valor, em dinheiro, representativo de determinado momento)

REGRAS BÁSICAS Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo de operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.

2 Exemplo 1: um fundo de poupança oferece juros de 2% ao mês e os rendimentos são creditados mensalmente (coincidência). Exemplo 2: uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês, mas os juros definidos em uma taxa anual (não há coincidência), deve haver um rateio. CRITÉRIOS DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS O regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. a) Regime de capitalização simples (juros simples): comporta-se como se fosse uma PA (progressão aritmética), crescendo de forma linear ao longo do tempo. Neste caso os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo do juros acumulados. b) Regime de capitalização composta (juros compostos): incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momemento anterior. É um comportamento semelhante a uma progressão geométrica (PG) no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). Exemplo juros simples: admita um empréstimo de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 anos, pagandose juros simples à razão de 10% ao ano. O quadro abaixo ilustra a evolução desta operação ao período, indicando os vários resultados Ano Saldo no Juros apurados para Saldo devedor Crescimento início de cada cada ano (R$) ao final de anual do ano (R$) cada ano (R$) saldo devedor (R$) Início do 1º ano 1000,00 Fim do 1º ano 1000,00 0,1 X 1000 = 100,00 1100,00 100,00 Fim do 2º ano 1100,00 0,1 X 1000 = 100,00 1200,00 100,00 Fim do 3º ano 1200,00 0,1 X 1000 = 100,00 1300,00 100,00 Fim do 4º ano 1300,00 0,1 X 1000 = 100,00 1400,00 100,00 Fim do 5º ano 1400,00 0,1 X 1000 = 100,00 1500,00 100,00 Exemplo juros compostos: Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de R$ 1.000,00 deve ser paga em juros compostos de 10% ao ano, têm-se os resultados conforme o quadro a seguir: Ano Saldo no início Juros apurados para Saldo devedor ao final de cada ano cada ano (R$) de cada ano (R$) (R$) Início do 1º ano 1000,00 Fim do 1º ano 1000,00 0,1 X 1000,00 = 100,00 1100,00 Fim do 2º ano 1100,00 0,1 X 1100,00 = 110,00 1210,00 Fim do 3º ano 1210,00 0,1 X 1210,00 = 121,00 1331,00 Fim do 4º ano 1331,00 0,1 X 1331,00 = 133,10 1464,10 Fim do 5º ano 1464,10 0,1 X 1464,10 = 146,41 1610,51

Início do 1º ano Fim do 1º ano Fim do 2º ano Fim do 3º ano Fim do 4º ano Fim do 5º ano

Quadro comparativo Capitalização Capitalização simples composta Juros Saldo Juros Saldo anuais devedor anuais devedor (R$) (R$) (R$) (R$) 1000,00 1000,00 100,00 1100,00 100,00 1100,00 100,00 1200,00 110,00 1210,00 100,00 1300,00 121,00 1331,00 100,00 1400,00 133,10 1464,10 100,00 1500,00 146,41 1610,51

Diferença: composta – simples Juros Saldo anuais devedor (R$) (R$) 10,00 10,00 21,00 31,00 33,10 64,10 46,41 110,51

3 Os juros simples, principalmente diante de suas restrições técnicas, tem aplicações práticas bastante limitadas. O uso restringe-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo. NO entanto, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente prazos reduzidos, não constumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por este regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação ( encargos a pagar, para empréstimos, e rendimentos financeiros, para aplicações), e não para apuração do efetivo resultado percentual. Vale ressaltar, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado financeiro (nacional e internacional) estão referenciadas em juros simples, porém a formação dos montantes (valor acumulado de um determinado capital, quando este é aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo). CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA E DESCONTÍNUA Podem ser identificados dois regimes de capitalização: contínuo e descontínuo. a) Capitalização contínua é um regime que se processa em intervalos de tempo bastante reduzidos, promovendo grande frequência de capitalização. Por exemplo, o faturamento de um supermercado, a formação do custo de fabricação no processo fabril, a formação de depreciação de um equipamento etc. São capitalizações que se forma continuamente, e não somente ao final de um único período (mês, ano). b) Na capitalização descontínua os juros são formados somente ao final de cada período de capitalização. Por exemplo, a cadernete de poupança que paga juros unicamente ao final do período a que se refere sua taxa de juros FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:

J = C ×i × n

Onde: J é o valor dos juros expresso em unidades monetárias; C é o capital. I é a taxa de juros, expressa em sua forma unitária; N é o prazo.

Exemplo 1: Um capital de R$80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período. Exemplo 2: Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante nove meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total de juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo. Exemplo 3: Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação. Exemplo 4: Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicação. MONTANTE E CAPITAL O montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é: M = C + J . Mas J = C × i × n , então M = C + C ×i × J = C (1 + i ×n)

4 A expressão (1 +i x n) é definida como fator de capitalização ou valor futuro – FCS dos juros simples. O inverso, ou seja, 1/(1 +i x n) é denominado de fator de atualização ou de valor presente – FAS) Exemplo 1: Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste período. Exemplo 2: Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida. TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE Toda operação financeira envolve dois prazos: o prazo a que se refere a taxa de juros e o prazo de capitalizações dos juros. Por exemplo, um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal de 24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente à taxa de juros é anual. A seguir, deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos considerados são coincidentes. Para o caso das financeiras também é coincidente, pois a taxa cobrada é definida ao mês e os juros capitalizados também mensalmente. Mas há casos diferentes, como por exemplo, sabe-se que a caderneta de poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos – prazo da taxa: ano e prazo de capitalização: mês. No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também chamada taxa linear ou nominal. Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização). Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definidad mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será: Taxa proporcional =

18% = 1,5% ao mês . 12

A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária etc. Taxas de juros simples são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. Exemplo: Sobre um capital de R$ 500.000,00 pode ser aplicado, juros simples, 2,5% de juros ao mês ou 15% de juros ao semestre, produzindo um mesmo montante linear de juros: J(2,5% am) = R$ 500.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00 J(15% as) = R$ 500.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00 Exemplo 1: Calcular a taxa anual proporcional a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre. Exemplo 2: Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: (a) 60% ao ano; (b) 9% ao trimestre. Exemplo 3: Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimeste.

5 Exemplo 4: Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de uma e 5 meses. Exemplo 5: Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para a sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.

JURO EXATO E JURO COMERCIAL É comum nas operações de curto prazo, onde predominam taxas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Existem duas formas de cálculo: a) Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário civil ( 365 dias), ou seja, juro exato. b) Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias, juro comercial ou ordinário. EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum. Exemplo: R$ 120,00 vencíveis daqui a um ano e R$ 100,00, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$ 100,00, capitalizados, produziriam R$ 120,00 dentro de um ano, ou os R$ 120,00, do final do primeiro ano, resultariam em R$100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e a taxa de 20% ao ano, resultados idênticos.

Exemplo: Determinar se R$ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje R$ 296.000,00, admitindo-se uma taxa de juros simples de 6% ao mês. A equivalência de capitais pode então ser generalizada a partir da sequinte representação gráfica:

Os capitais A1, A2 e B1, B2, B3 dizem-se equivalentes se, quando expressos em valores de uma data comum (data de comparação ou data focal), e a mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais. Sendo a data de comparação o momento 0, tem-se:

A1 A2 B1 B2 B3 + = + + (1 + i +1) (1 + i + 2) (1 + i + 3) (1 + i + 4) (1 + i + 5) Sendo o momento 6 escolhido como data focal, tem-se:

6 A1(1 + i + 5) + A2 (1 + i + 4) = B1 (1 + i + 3) + B2 (1 + i + 2) + B3 (1 + i +1) e assim por diante. Na questão da equivalência financeira em juros simples, é importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em outra palavras, dois capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples. Admita ilustrativamente que o montante no final de dois anos de R$ 100,00 aplicados hoje, à taxa de juros simples de 20% ao ano, é igual a R$ 140,00. No entanto, este processo de capitalização lineao não pode ser fracionado de forma alguma. Por exemplo, apurar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e, a partir daí, chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalização dos juros (juros sobre juros), prática esta não adotada no regime de juros simples. Graficamente, tem-se:

O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes, dado que: C(1+0,2x2)≠ C(1+0,2x1) (1+0,2x1) Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do prazo, a equivalência de capitais em juro simples é dependente de comparação escolhida (data focal). Outra situação, admita que A deve a B os seguintes pagamentos: 1º de R$ 50.000,00 de hoje a 4 meses. 2º de R$ 80.000,00 de hoje a 8 meses. Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em substituição ao original. A proposta de A é a de pagar R$ 10.000,00 hoje, R$ 30.000,00 de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano. Sabe-se que B exige uma taxa de juros simples de 2,0% ao mês. Esta taxa é a que consegue obter normalmente em suas aplicações de capital. Pede-se apurar o saldo a ser pago.

7 Exercícios Resolvidos 1) Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00 quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. 2) Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano? 3) Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos. 4) Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular a valor dest título: a) Hoje; b) Dois meses antes de seu vencimento; c) Um mês após o seu vencimento. 5) Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O primeiro título vence de hoje a dois meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final de 5º mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento único. 6) Uma pessoa tem os seguites compromissos financeiros: R$ 35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses; R$ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-se em uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta. 7) Uma dívida no valor de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dívida pagando R$ 4.800,00 hoje, R$ 14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da operação, e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar o montante do pagamento.