Jg Halving

Halving, and Beyond John Gough — [email protected] Mathematically, when we take “half” of something we split the thing into two equal  parts. Even pre­school children are likely to be familiar with a loose version of this,  namely, the splitting into two, or sharing something between two people. But young  children may not grasp the mathematical insistence on the two parts being EQUAL.  They will say, for example, “I am a nice sharey person: you cut this cake in half, and  I’ll take the smaller half”. Splitting straight down the middle is the first easy  experience of halving, and halves. But things become more complicated if we pursue  this a little. Note also that “down the middle” assumes we understand “middle”, and that the  object has some “middle”. If the object is asymmetrical (albeit, not the word a young  child would understand: we might accept “wonky” as a good alternative) this could be  problematic. For example, here is a wedge of pizza:

find the “middle”. (I will also ignore the way, pizza being pizza, there may be two  pieces of pineapple near one corner, and one piece near another corner, while there  are only two pieces of salami, … so that “equal” becomes a problem, if we are trying  to share more than just by abstract area or mass.) If the “object” happens to be a collection of Smarties, for example, we face different  issues. Splitting down the middle is possible, if, for example , we slice each Smarty  across a diameter of the circular cross­section, or slice it laterally through some  version of a Smartie’s equator. But the more obvious, and lolly­sensible alternative is  to do the sharing numerically: one for you, one for me, one for you, one for me, … all  the way to end, and only slice any odd­numbered remnant. But this leaves open the  issue of “equal”. Is the sharing “equal” if I end up with 3 Red and 2 Green, and 1  Brown, and you have 2 Red, and 4 Blue? (Color may be trivial with Smarties, but can  be problematic with Jelly Beans where color means flavour: anyone for Black? It  could even be the case that, for example, Green Smarties LAST longer than other  colors: is it “fair” if we have the same overall number, but you have more Green than I  do?) Hence, “half”, as an object (noun), not a process (verb), means “something that results  from splitting an object or collection in two equal parts”. (Notice that unavoidably  there is a bit of verb­like description of action or process in the noun­definition.) 

Sharing fairly between three people leads to the idea of a “third”. But this may not be  immediately obvious. Consider Laura Ingalls Wilder describing three children trying  to share two cookies. Visiting their Swedish neighbour in the big woods of Minnesota,  Laura and Mary are each given one delicious cookie,:   “… they nibbled the cookies very slowly while they walked home.  Laura nibbled exactly half of hers, and Mary nibbled exactly half of  hers, and the other halves they saved for Baby Carrie. Then when they  got home, Carrie had two half­cookies, and that was a whole cookie.  This wasn’t right. All they wanted to do was to divide the cookies  fairly with Carrie. Still, if Mary saved half her cookie, while Laura ate  the whole of hers, or of Laura saved her half, and Mary ate her whole  cookie, that wouldn’t be fair, either. They didn’t know what to do. So  each saved half, and gave it to Baby Carrie. But they always felt that  somehow that wasn’t quite fair” (p 101). (This story occurs in Chapter 10 of Wilder’s classic autobiographical memoir Little   House in the Big Woods— written when Laura was about 65 years­old, remembering  herself and her family when she had just turned 5 years­old. Note: please do not  confuse the books with the TV series, whose quality is dubious, and which veers  significantly from the real lives of the original outstanding books.) As with half, “third” means, “something that results from splitting an object or  collection in three equal parts”. Ditto “quarter, fifth, sixth, seventh, …”. Similarly,  “three­quarters” means “what you have when you have three its each of which has  been made by splitting an object or collection into four equal parts”.  There is more to these seemingly simple words than meets the eye. And there is an  invisible language­versus­concept problem. We are sharing between, successively: — Two, to get two equal parts, each called a half; — Three, to get three equal parts, each called a third; — Four, to get four equal parts, each called a quarter; — Five, to get five equal parts, each called a fifth;  — Six,  to get six equal parts, each called a sixth; … and so on.  The problem is the discrepancy between concept and vocabulary for the first five of  these fundamental fractions.  We might make this clearer if we shared and named them more consistently this way: — Two, to get two equal parts, each called a twoth; — Three, to get three equal parts, each called a threeth; — Four, to get four equal parts, each called a fourth; — Five, to get five equal parts, each called a fiveth; 

— Six,  to get six equal parts, each called a sixth; … and so on.  Aha! So that’s what these irregular “numberth” fraction words mean — a “numberth”  is “something that results from splitting an object or collection in number equal  parts”!  But don’t confuse them with the ordinal counting words, which are similarly irregular,  at first: namely, first, second, third, fourth, fifth, sixth, …. As with initially irregular  fraction names, these might be better regularised as: — “oneth, twoth, threeth, fourth, fifth, sixth, …”. For example: Anther, Braid, and Clam were in a race: Braid won the race, and came  oneth, Anther was next, and came twoth, and Clam was next and came threeth, but  that was really last — Clam lost the race! (English is full of irregularities in counting and number words: Chatsworth Osborne,  Jr. is the immediate second with that same name, hence tagged “Junior”; the winning  team are the premiers; the losers are the wooden­spooners, or the ultimate (as in  “ultima thule”, the furthest land, and as in bottom of the heap, or “nadir”, not “zenith”  or “acme”), or the last; the second­last are the penultimate or also­rans; the third­last  are the ante­penultimate — logical when you analyse the original Latin.) Let me stress that “splitting down the middle” is easy, mono­linearly, and yet not  enough to make the larger meaning clear. There are other non­mono­linear ways to  split, and still get two (mathematically) equal parts. Here are some examples. Are they  each an equal splitting? How could we tell?

Ron Smith (2003) makes other valuable suggestions for treating “half” in very careful,  not so ordinary, not conceptually limiting, or trivially stereotypical ways. Students at  all levels can have a lot of fun finding unusual ways of irregularly halving a square.  Many of these make excellent poster, stained­glass window, collage, or quilt displays!  (A chess or checker board is a red­half­and­black­half division into a pattern of bi­ color squares!) Incidentally, a Geoboard is a great way to investigate dissections of a unit square into  fractional parts! Which of the following (if any) display exact dissections into halves, quarters, or  eighths, possibly in some combination?

To understand not­down­the­middle halves (and equivalents, and other fractions) we  need to understand conservation of quantity (such as area, lines, and volumes — this  is a Piagetian idea, although as far as I am aware Piaget did not investigate non­ standard halvings and fractions, generally, as examples of area conservation). Cutting a square into a smaller square, and another shape, is mathematically subtle.  (Let me whisper that it involves a diagonal, Pythagoras’s Theorem and the square root  of 2.) It takes special care, geometric analysis, rotating, and further analysis to see that  here we have a smaller square that is half of the larger, with an L­shaped left­over  section.

As noted, cutting, with a straight line segment, down the middle (of a symmetrical)  shape is easy. But it is not the only way of halving. Importantly, it is also not the only  way of halving, and then halving, and then halving, … successively, through half,  quarter, eighth, and so on. Consider these not too obvious, quasi regular ways of  chopping a square into successively smaller halve, halve of a half, and so on. (Don’t  forget that successive halving is the mathematical inverse operation of successive  doubling!)

It should also be emphasised that cutting other simple fractions, such a thirds, and  thirds of thirds, and thirds of thirds of thirds, is not necessarily easy, and irregular  equal­area dissections are well worth exploring, to counteract stereotype imagery.  For example, which of the following, if any, are dissections into equal thirds? (N.B.  We are looking for equal areas, not equal shapes!)

Note also that, with the exception of successive halvings, and the familiar twelve­part  dissection of a circular clock­face, using circles as models for fractions is much less  useful or insightful than using squares, or rectangular strips, or lengths. (Of course the  oriental yin­yang dissection of a circle is particularly neat!) Finally, for the same reason that it is mathematically tricky to make a square­shaped  half of a (unit) square, it is also mathematically tricky to make a square­shaped  TENTH of a (unit) square. Happily, the easy alternative is to use a vertical cutting,  followed by a horizontal cutting (or vice versa, horizontal, then vertical): this is what  chefs, and Su­Doku puzzlers call “slicing and dicing”. First “slice” the square unit  into ten strips, … then “dice” each tenth­strip into ten squares — that is, ten one­ hundredths.

Of course this looks very different if we use a line as the model. Successive halvings:

Successive tenthings … ?

… Draw your own complete tenths­of­tenths (etc.) of a unit number­line, or find a  suitable school ruler or metre stick, and study the gradations of mm, cm, deci­cm, and  m. References and Further Reading Gough, J. (1998). “Benchmarking Fractions? — A Curriculum Repair Kit For a  ‘Hard’ Topic”. In J. Gough & J. Mousley (Eds.) (1998). Mathematics:   Exploring All Angles, Mathematical Association of Victoria [MAV], Brunswick,  pp. 136­143. Gough, J. (1998). “Fraction Walls”. Prime Number vol. 13, no. 4, pp. 30­31. Smith, R. (2003). “Never Teach it by Halves”, Classroom, vol. 23, no. 4, pp. 18­19. Wilder, L. I. (1932). Little House in the Big Woods, 1932: Harper, New York:  Methuen, London, 1956.