Grandezas Escalares E Vetoriais

GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS Existem grandezas físicas que ficam completamente determinadas quando conhecidos os seus valores numéricos e suas respectivas unidades de medida. Estas grandezas são chamadas de grandezas escalares. Ex.: massa

temperatur

a 10 kg 22ºC

tempo energia 2h

50J

Por outro lado, existem grandezas que , além do valor numérico e da unidade de medida necessitam de uma direção e de um sentido para que fiquem completamente determinadas. Estas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. Ex.: aceleraçã

deslocamento velocidade 10 m vertical para baixo

o

10 km/h

50 m/s2

horizontal para

a

direita

vertical para cima

força

impulso

100 N

50 N.s

horizontal para esquerda

a

vertical para baixo

VETORES Vetor é um ente matemático representado por segmento de reta orientado. O comprimento desse segmento de reta representa o valor numérico (módulo ou intensidade do vetor); a reta suporte do segmento de reta determina a direção do vetor; e a orientação do segmento de reta indica o sentido.

•Um vetor pode ser deslocado no espaço, desde que mantenha seu módulo, direção e sentido.

•Um vetor só é negativo, se tiver seu sentido invertido.

V

-V

OPERAÇÕES COM VETORES 1.

Soma

1.1 Regra do polígono: A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer número de vetores. Para a sua aplicação, devemos colocar os vetores de modo tal que: a origem do segundo vetor coincida com a extremidade do primeiro; a origem do terceiro coincida com a extremidade do segundo; e assim sucessivamente. O vetor resultante ou vetor soma é determinado ligando-se a origem do primeiro à extremidade do último vetor traçado.

V V

1

V

V V

3

1

2

V

2

3

VR

1.2 Regra do paralelogramo: A regra do paralelogramo é aplicada somente à adição de dois vetores. Sem alterar o módulo, a direção e o sentido de cada vetor, desenhamos os dois vetores com suas origens coincidentes. A partir da extremidade do vetor segmento de reta paralelo ao vetor

 V1 , traçamos um

  V2 . Em seguida, a partir da extremidade do vetor V2 , traçamos um outro segmento



paralelo ao vetor V1 . O vetor resultante é obtido pela ligação do ponto de origem comum dos vetores ao ponto de cruzamento dos segmentos de reta traçados.

V1

V1

VR

V2 V2

  Sendo θ o ângulo formado entre os vetores V1 e V2 , calculamos o módulo do vetor soma através da expressão:  2 2 VR = V1 + V2 + 2.V1 .V2 . cos θ

V1 θ

V2

Casos Particulares da regra do paralelogramo: 1º) Ângulo θ = 0º

  V1 e o vetor V2 , mede 0º, os vetores possuem mesma direção e sentido. Nesse caso, o   módulo do vetor resultante é dado pela soma dos módulos dos vetores V1 e V2 . Se o ângulo θ, entre o vetor

V1

V1

V2 VR

V2 2º) Ângulo θ = 90º Nesse caso, o vetor

  V1 e o vetor V2 são perpendiculares entre si. O módulo do vetor resultante é obtido através da

aplicação do teorema de Pitágoras:

 VR = a 2 + b 2

V1

VR

V2 3º) Ângulo θ = 180º

  V1 e o vetor V2 possuem mesma direção, mas sentidos contrários. Nesse caso, o módulo do vetor soma é   dado pelo módulo da diferença entre os módulos dos vetores V1 e V2 . O vetor

V1 VR 2.

V2

Subtração Na subtração vetorial, faz-se uma soma, porém invertendo-se um dos vetores.

Ex:

  V1 - V2 Conserva-se o sentido de

V1

V2

  V1 e inverte-se o sentido de V2 , somando-se os vetores logo em seguida, como na figura.

V1

-V 2

VR

-V 2

V1

Também pode-se determinar a subtração unindo-se as origens dos vetores e traçando o vetor diferença nas extremidades dos vetores. O vetor diferença deve apontar para o primeiro vetor. (no exemplo o primeiro vetor seria o vetor

 V1

)

VR

V1

V 3.

Decomposição Vetorial Um vetor pode ser escrito como a soma de dois ou mais vetores quaisquer. Em algumas situações, podemos decompor

um vetor em suas componentes

x e y, traçando retas imaginárias paralelas aos eixos

que vão desde o final do vetor

eixo, conforme a figura abaixo. Podemos calcular o valor de vx e vy usando trigonometria básica. Assim:

y

Vx = V cos θ Vy = V sen θ

v

vy θ

vx

x

Exercícios 1) Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? 2) O que são vetores iguais? E vetores opostos? Dê exemplo de cada um deles. 3) Calcule o módulo do vetor resultante do vetor

e

em cada caso abaixo.

4) Qual o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 6 e 8 unidades?

v até o

5) Calcule o ângulo formando por dois vetores de módulos 5 unidades e 6 unidades e cujo vetor resultante tem módulo unidades? 6) Determine o módulo de dois vetores, módulos estão na razão de

e

, perpendiculares entre si e atuantes, num mesmo ponto, sabendo que seus

e que o vetor soma de e

tem módulo 10.

7) Observe a figura:

Qual o módulo, direção e sentido do vetor a)

=

+

b)

=

+

c)

=

, em cada caso: +

d)

= +

e)

= +

+

f)

=

+ +

8) A soma de dois vetores de um módulo diferente pode ser nula? Tente explicar. 9) Quais as condições para que o módulo do vetor resultante de dois vetores, não nulos, seja igual a zero? 10) Considere a figura ao abaixo.

Sabendo que a = 4 m, b = 6 m e cos 30º = 0,8, calcule o módulo do vetor diferença (3 - 2 ) 11) Determine o módulo das componentes de um vetor de módulo 4 m que forma um ângulo de 30º com a vertical. Adote 1,7.

=

12) Um projétil é atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ângulo de 45º com a horizontal. Determine as componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil. 13) Um vetor velocidade é decomposto em dois outros perpendiculares entre si. Sabendo-se que o módulo do vetor velocidade é 10 m/s e que uma das componentes é igual a 8 m/s, determine o módulo do vetor correspondente à outra componente. 14) Dados os vetores ,

a)

= +

, ,

e

, abaixo representado, obtenha graficamente os vetores

+

b)

=2

-

e

.

+

15) Um jovem caminha 100 metros para norte; em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 50 metros. Determine o módulo do deslocamento resultante. 16) Qual a diferença entre direção e sentido?