Cantidades Escalares Y Vectoriales

Universidad Nacional Autónoma de México Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Vallejo Materia: Física I Nombre de la alumna: Domínguez Espinosa Jeannette Grupo: 308A Nombre del profesor: Roberto Laguna Luna

INDICE • • • • • • • • •

Suma de cantidades escalares. Componentes rectangulares de un vector. Cálculo de las componentes rectangulares. Suma de vectores. Resta de vectores. Trigonometría y vectores. Preguntas Problemas Bibliografía

• Para algunas cantidades físicas tales como el desplazamiento, la velocidad y la fuerza, la dirección y el sentido son tan importantes como la magnitud, por lo que es necesario distinguir entre cantidades escalares y cantidades vectoriales.

• Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una unidad. Ejemplo: masa, potencia, energía.

SUMA DE CANTIDADES ESCALARES • Cuando necesitamos sumar 2 o más cantidades escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente: por ejemplo 2 Kg. + 5 Kg. = 7 Kg., 3 horas + 7 horas= 10 horas, 200 Km. + 300 Km. = 500 km.

• Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en un número, una unidad y una dirección. Ejemplo: desplazamiento, velocidad, fuerza. Las cantidades vectoriales se representan gráficamente mediante una flecha llamada vector. Un vector es un segmento de recta dirigido que posee un punto de origen, cabeza o flecha (sentido), dirección (ángulo de inclinación respecto de la horizontal) y metrización (valor numérico).

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR • Todo vector que no coincida con los ejes horizontales (X) y vertical (Y), puede descomponerse en dos componentes rectangulares: una, según la dirección del eje horizontal “x” y otra según la dirección del eje vertical “y”. Ejemplo: • Las componentes rectangulares del vector a son: ax componente horizontal. • ay componente vertical.

CALCULO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES •

Observa que la componente rectangular ax horizontal forma el ángulo α con el vector a. De manera que para hallar el valor numérico de las componentes se tiene: • La dirección de un vector puede indicarse tomando como referencia las direcciones convencionales, norte (N), este (E), oeste (O) y sur (S). • Por ejemplo: • Los vectores 20m, O, y 40m a 30° NE. La expresión al noroeste indica que el ángulo se forma haciendo girar una línea hacia el norte, a partir de la dirección este.

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Otro método para especificar la dirección, consiste en tomar como referencia líneas perpendiculares llamadas ejes. Estas líneas imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, pero pueden estar orientadas en otras direcciones siempre y cuando sean perpendiculares entre sí. En general, una línea horizontal imaginaria se llama eje “x”, y una línea vertical imaginaria se llama eje “y”. Las direcciones se indican mediante ángulos medidos en sentido directo, es decir, contrario al avance de las manecillas del reloj, a partir de la posición del eje “x” positivo; los vectores 40m a 60° y 50m a 210° se indican en la figura.

SUMA DE VECTORES • Para sumar dos vectores existen dos métodos: Método gráfico: Llamado ley del paralelogramo; con este método sólo es posible sumar DOS vectores, y a menos que se realice una medida exacta con transportador y regla, solamente sirve para determinar la dirección del vector resultante. Es conveniente anotar que para sumar vectores, estos deben aplicarse sobre el mismo punto. Los vectores que se desea sumar se colocan de tal forma que sus orígenes coincidan; se construye el paralelogramo que determina estos dos vectores, y el vector resultante estará determinado por la diagonal que va desde el origen de los dos vectores hasta el vértice opuesto del paralelogramo.

Ejemplo. Sumar los vectores a y b:

Entonces:

Si tenemos que sumar varios vectores, podemos aplicar el método anterior, sumando primero dos y a la suma, añadirle un tercero y así sucesivamente.

• Método analítico: Utilizando este método es posible sumar cualquier número de vectores. Consiste en ubicar en el plano cartesiano los vectores dados de manera que coincidan sus puntos de origen con el origen del plano cartesiano; luego se hallan las componentes rectangulares de cada vector, a continuación se suman las respectivas componentes, es decir, las componentes en x y las componentes en y. Finalmente, mediante el teorema de Pitágoras, se halla la resultante o suma que será: • Ejemplo. Sumar analíticamente los vectores de la figura. Solución: Se determinan las componentes rectangulares en x de cada vector:

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Se hallan las componentes rectangulares en y de cada vector:

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Se hallan las respectivas sumas algebraicas de las componentes:

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Se calcula la resultante o suma final:

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Para determinar el ángulo θ de la resultante:

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De donde:

RESTA DE VECTORES • La resta de dos vectores se logra sumando un vector al negativo del otro. El negativo de un vector se determina construyendo un vector igual en magnitud, pero de dirección opuesta. Por ejemplo, si A es un vector cuya magnitud es 40m y cuya dirección es hacia el este, entonces el vector –A es un desplazamiento de 40m dirigido al oeste. Igual que en algebra, se puede decir que a – b = a + (- b)

TRIGONOMETRIA Y VECTORES El conocimiento del teorema de Pitágoras y cierta experiencia en el manejo de las funciones seno, coseno y tangente, serán de gran ayuda. Lo s métodos trigonométricos pueden mejorar la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante o para encontrar los componentes de un vector. En la mayoría de los casos, es útil utilizar ejes x y e imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analítica. Cualquier vector puede dibujarse haciendo coincidir su origen con el cruce de esas líneas imaginarias. Ejemplo: ¿Cuáles son las componentes x y y de una fuerza de 200 N, con un ángulo de 60°? Se dibuja un diagrama ubicando el origen del vector de 200 N en el centro de los ejes x y y.

• En el primer lugar se calcula el componente x, o sea Fx, tomando en cuenta que se trata del lado adyacente. El vector de 200 N es la hipotenusa. Si se usa la función coseno, se obtiene • cos 60° =Fx/200 N • por lo cual • Fx= (200 N) cos 60° = 100N • Para estos cálculos notamos que el lado opuesto a 60° es igual en longitud a Fy • Por lo consiguiente, escribimos • Sen60°=Fy/200N • O bien • Fy= (2000N) sen60°=173.2N

PREGUNTAS • 1.- ¿Qué cantidad se especifica totalmente por su magnitud? • 2.- Da ejemplos de cantidades escalares. • 3.- ¿En que consiste una cantidad vectorial? • 4.- Da ejemplos de cantidades vectoriales. • 5.- ¿Cómo se representan las cantidades vectoriales? • 6.- ¿Qué es un vector? • 7.- ¿Cuáles son los componentes rectangulares de un vector? • 8.- ¿Cuántos métodos existen para sumar dos vectores? • 9.-Menciónalos • 10.- ¿Cuántas formulas existen en las cantidades vectoriales?

PROBLEMAS • Una cortadora de césped se empuja hacia abajo con una fuerza de 40 N, en un ángulo de 50° con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la magnitud del efecto horizontal de esta fuerza?

• Tres perros tiran de un trineo como se aprecia en el dibujo. Encuentra la dirección hacia donde se mueve el trineo.

BIBLIOGRAFIA • http://www.cespro.com/Materias/MatContenidos/ ContFisica/FisicaTeoria1c.htm • http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpd b/recursos/r2718.DOC • http://html.rincondelvago.com/física_44htm/ • http://www.xuletas.es/ficha/formulas-devectores-cantidades-escalares-fricicon-energiagravedad-caida-libre-equilibrio-friccion • Física concepto y aplicaciones, Tippens, McGRAW-HILL INTERAMERICA S.A. de C.V.