Geometrie Descriptiva

  • Uploaded by: Monica Hristea
  • 0
  • 0
  • December 2019
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Geometrie Descriptiva as PDF for free.

More details

  • Words: 69,253
  • Pages: 204
Traian Valeriu Popescu

Traian Valeriu Popescu

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

TRAIAN VALERIU POPESCU

TRAIAN VALERIU POPESCU

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

Editura Universitaria

Editura Universitaria

Craiova, 2004

Craiova, 2004

Referent útiinĠific: Prof.univ.dr.ing. Filip Ciolacu

Referent útiinĠific: Prof.univ.dr.ing. Filip Ciolacu

Prof.univ.dr.ing. Gheorghe Gherghina

Copyright © 2004 Universitaria Toate drepturile sunt rezervate Editurii Universitaria

Descrierea C.I.P. a Bibliotecii NaĠionale

Prof.univ.dr.ing. Gheorghe Gherghina

Copyright © 2004 Universitaria Toate drepturile sunt rezervate Editurii Universitaria

Descrierea C.I.P. a Bibliotecii NaĠionale

POPESCU TRAIAN VALERIU

POPESCU TRAIAN VALERIU

Geometrie descriptivă, Traian Valeriu Popescu

Geometrie descriptivă, Traian Valeriu Popescu

Editura Universitaria, Craiova, 2004

Editura Universitaria, Craiova, 2004

204 p. 21 cm

204 p. 21 cm

Bibliografie

Bibliografie

ISBN: 973 – 8043 – 259 - 9

ISBN: 973 – 8043 – 259 - 9

Redactor: Octavian Lohon

Redactor: Octavian Lohon

Tehnoredactor: dr.ing. Traian Valeriu Popescu

Tehnoredactor: dr.ing. Traian Valeriu Popescu

Copertă: dr.ing. Traian Valeriu Popescu

Copertă: dr.ing. Traian Valeriu Popescu

Bun de tipar: 10.10.2004 Apărut: 2004 Tipografia UniversităĠii din Craiova Str. Brestei, nr.156A , Craiova, Dolj, România Tel: +40 251 598054

Bun de tipar: 10.10.2004 Apărut: 2004 Tipografia UniversităĠii din Craiova Str. Brestei, nr.156A , Craiova, Dolj, România Tel: +40 251 598054

Tipărit în ROMÂNIA

Tipărit în ROMÂNIA

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

INTRODUCERE

INTRODUCERE

DefiniĠie. Geometria descriptivă este útiinĠa care studiază

DefiniĠie. Geometria descriptivă este útiinĠa care studiază

metodele de reprezentare exacte ale corpurilor prin metoda

metodele de reprezentare exacte ale corpurilor prin metoda

proiecĠiilor.

proiecĠiilor.

Geometria descriptivă este, prin esenĠă, o útiinĠă grafică.

Geometria descriptivă este, prin esenĠă, o útiinĠă grafică.

ConstrucĠia reprezentărilor grafice tratate de geometria

ConstrucĠia reprezentărilor grafice tratate de geometria

descriptivă se bazează pe metoda proiecĠiilor care derivă din

descriptivă se bazează pe metoda proiecĠiilor care derivă din

mecanismul vederii umane. În 1799 francezul GASPARD

mecanismul vederii umane. În 1799 francezul GASPARD

MONGE,

MONGE,

în

lucrarea

GEOMETRIE

DESCRIPTIVE

în

lucrarea

GEOMETRIE

DESCRIPTIVE

descrie metoda dublei proiecĠii ortogonale care constă în

descrie metoda dublei proiecĠii ortogonale care constă în

proiecĠia corpurilor din spaĠiu pe două plane principale de

proiecĠia corpurilor din spaĠiu pe două plane principale de

proiecĠie perpendiculare între ele, planul orizontal >H@ úi

proiecĠie perpendiculare între ele, planul orizontal >H@ úi

planul frontal (vertical) >V@.

planul frontal (vertical) >V@.

În cazul în care aceste două plane nu sunt suficiente

În cazul în care aceste două plane nu sunt suficiente

pentru definirea corpului din spaĠiu atunci se foloseúte un al

pentru definirea corpului din spaĠiu atunci se foloseúte un al

treilea plan perpendicular pe cele două plane >H@ úi >V@ numit

treilea plan perpendicular pe cele două plane >H@ úi >V@ numit

plan de profil (lateral) >L@. În acest fel se pot reprezenta

plan de profil (lateral) >L@. În acest fel se pot reprezenta

corpurile din spaĠiu tridimensional în spaĠiul cu două

corpurile din spaĠiu tridimensional în spaĠiul cu două

dimensiuni (foaia de hârtie), reprezentare numită epură care

dimensiuni (foaia de hârtie), reprezentare numită epură care

apoi dă posibilitatea cunoaúterii corpului cu ajutorul

apoi dă posibilitatea cunoaúterii corpului cu ajutorul

proiecĠiilor deducându-se atât forma úi dimensiunile, cât úi

proiecĠiilor deducându-se atât forma úi dimensiunile, cât úi

poziĠionarea în spaĠiu.

poziĠionarea în spaĠiu.

7

7

1. SISTEME DE PROIECğIE

1. SISTEME DE PROIECğIE

1.1 GeneralităĠi

1.1 GeneralităĠi

Sistemele de proiecĠie folosite de geometria descriptivă asociază

Sistemele de proiecĠie folosite de geometria descriptivă asociază

elemente de bază ale vederii umane (teoremele privind fasciculele de

elemente de bază ale vederii umane (teoremele privind fasciculele de

lumină) cu elemente geometrice componente ale sistemului de proiecĠie

lumină) cu elemente geometrice componente ale sistemului de proiecĠie

respectiv.

respectiv.

Reprezentarea unui corp prin proiecĠie se obĠine ducând prin punctele

Reprezentarea unui corp prin proiecĠie se obĠine ducând prin punctele

aferente conturului raze vizuale (de proiecĠie) numite proiectante, adică

aferente conturului raze vizuale (de proiecĠie) numite proiectante, adică

linii drepte care, la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie (planul pe care

linii drepte care, la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie (planul pe care

se face proiecĠia) dau pe acesta imaginea (proiecĠia) corpului.

se face proiecĠia) dau pe acesta imaginea (proiecĠia) corpului.

Elementele de bază ale unei proiecĠii sunt (Fig.1.1) :

Elementele de bază ale unei proiecĠii sunt (Fig.1.1) :

- punctul 0 (ochiul observatorului), numit centru de proiecĠie;

- punctul 0 (ochiul observatorului), numit centru de proiecĠie;

- suprafaĠa P pe care se proiectează obiectul (dreapta AB), numit plan

- suprafaĠa P pe care se proiectează obiectul (dreapta AB), numit plan

de proiecĠie;

de proiecĠie;

- dreptele sau razele vizuale care trec prin punctele caracteristice (A úi

- dreptele sau razele vizuale care trec prin punctele caracteristice (A úi

B) ale corpului úi intersectează planul de proiecĠie [P] în a úi b,

B) ale corpului úi intersectează planul de proiecĠie [P] în a úi b,

numite proiectante;

numite proiectante;

- punctele a úi b obĠinute pe planul [P], care constituie proiecĠia punctelor A úi B.

- punctele a úi b obĠinute pe planul [P], care constituie proiecĠia punctelor A úi B.

Fig. 1.1

Fig. 1.1

8

8

La proiecĠia corpului AB pe planul de proiecĠie [P] se duc din centrul 0

La proiecĠia corpului AB pe planul de proiecĠie [P] se duc din centrul 0

de proiecĠie proiectante prin punctele caracteristice A úi B, acestea

de proiecĠie proiectante prin punctele caracteristice A úi B, acestea

determină punctele a úi b la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie.

determină punctele a úi b la intersecĠia lor cu planul de proiecĠie.

În raport de distanĠa centrului de proiecĠie faĠă de corp, proiecĠia

În raport de distanĠa centrului de proiecĠie faĠă de corp, proiecĠia

corpului din spaĠiu se realizează prin două metode:

corpului din spaĠiu se realizează prin două metode:

- proiecĠia centrală sau conică (Fig.1.2a) când centrul de proiecĠie se

- proiecĠia centrală sau conică (Fig.1.2a) când centrul de proiecĠie se

află la o distanĠă finită faĠă de corp; - proiecĠia paralelă sau cilindrică (Fig.1.2 b,c) când centrul de

află la o distanĠă finită faĠă de corp; - proiecĠia paralelă sau cilindrică (Fig.1.2 b,c) când centrul de

proiecĠie se află la distanĠă infinită faĠă de corp.

proiecĠie se află la distanĠă infinită faĠă de corp.

La rândul ei, proiecĠia paralelă este de două feluri:

La rândul ei, proiecĠia paralelă este de două feluri:

x proiecĠia paralelă oblică (Fig.1.2b) când direcĠia de proiecĠie

x proiecĠia paralelă oblică (Fig.1.2b) când direcĠia de proiecĠie

este înclinată faĠă de planul de proiecĠie >P@;

este înclinată faĠă de planul de proiecĠie >P@;

x proiecĠia paralelă ortogonală (Fig.1.2c), când direcĠia de

x proiecĠia paralelă ortogonală (Fig.1.2c), când direcĠia de

proiecĠie este perpendiculară pe planul de proiecĠie >P@.

proiecĠie este perpendiculară pe planul de proiecĠie >P@.

Fig. 1.2

Fig. 1.2

Oricare ar fi sistemul de proiecĠie utilizat, corpurile din spaĠiu apar

Oricare ar fi sistemul de proiecĠie utilizat, corpurile din spaĠiu apar

deformate în proiecĠia din planul de proiecĠie datorită mecanismului

deformate în proiecĠia din planul de proiecĠie datorită mecanismului

fasciculelor de lumină, deformări care se produc după anumite teoreme

fasciculelor de lumină, deformări care se produc după anumite teoreme

geometrice specifice fiecărui sistem în parte, care transformă corpul din

geometrice specifice fiecărui sistem în parte, care transformă corpul din

spaĠiul tridimensional într-o imagine în spaĠiul bidimensional (foaia de

spaĠiul tridimensional într-o imagine în spaĠiul bidimensional (foaia de

hârtie).

hârtie).

9

9

Pentru reprezentarea corpurilor DESENUL TEHNIC utilizează metoda

Pentru reprezentarea corpurilor DESENUL TEHNIC utilizează metoda

proiecĠiei cilindrice ortogonale.

proiecĠiei cilindrice ortogonale.

1.2 Sisteme de referinĠă

1.2 Sisteme de referinĠă

Pentru a proiecta un corp oarecare din spaĠiu pe un plan de proiecĠie,

Pentru a proiecta un corp oarecare din spaĠiu pe un plan de proiecĠie,

trebuie să îl încadrăm într-un sistem de referinĠă denumit sistem de

trebuie să îl încadrăm într-un sistem de referinĠă denumit sistem de

proiecĠie.

proiecĠie.

DefiniĠie. Sistemul de proiecĠie reprezintă un ansamblu de elemente úi

DefiniĠie. Sistemul de proiecĠie reprezintă un ansamblu de elemente úi

metode care permit trecerea de la un spaĠiu cu un număr de dimensiuni la

metode care permit trecerea de la un spaĠiu cu un număr de dimensiuni la

un alt spaĠiu cu un alt număr de dimensiuni.

un alt spaĠiu cu un alt număr de dimensiuni.

Gaspard Monge a definit sistemul de proiecĠie ortogonal format de două

Gaspard Monge a definit sistemul de proiecĠie ortogonal format de două

plane de proiecĠie perpendiculare între ele, planul de proiecĠie orizontal >H@

plane de proiecĠie perpendiculare între ele, planul de proiecĠie orizontal >H@

úi planul de proiecĠie vertical >V@, care se intersectează după dreapta Ox (O

úi planul de proiecĠie vertical >V@, care se intersectează după dreapta Ox (O

în dreapta) numită linie de pământ. Având în vedere că spaĠiul este infinit

în dreapta) numită linie de pământ. Având în vedere că spaĠiul este infinit

úi că planele sunt suprafeĠe infinite, împărĠirea spaĠiului se consideră în

úi că planele sunt suprafeĠe infinite, împărĠirea spaĠiului se consideră în

4(patru) subspaĠii, denumite diedre (Fig. 1.3), cel mai utilizat în tehnică

4(patru) subspaĠii, denumite diedre (Fig. 1.3), cel mai utilizat în tehnică

fiind Diedrul I, unde toate coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.1).

fiind Diedrul I, unde toate coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.1).

DefiniĠie. Diedrul este figura formată de două semiplane mărginite de

DefiniĠie. Diedrul este figura formată de două semiplane mărginite de

dreapta lor de intersecĠie (porĠiunea din spaĠiu cuprinsă între aceste

dreapta lor de intersecĠie (porĠiunea din spaĠiu cuprinsă între aceste

semiplane).

semiplane).

Fig. 1.3

a.

b.

10

Fig. 1.3

a.

b.

10

Tabelul 1.1

Tabelul 1.1

DIEDRUL / Coordonata

I

II

III

IV

DIEDRUL / Coordonata

I

II

III

IV

Depărtarea

+

-

-

+

Depărtarea

+

-

-

+

Cota

+

+

-

-

Cota

+

+

-

-

Nu tot timpul acest sistem de proiecĠie poate defini complet corpul

Nu tot timpul acest sistem de proiecĠie poate defini complet corpul

din spaĠiul tridimensional; din această cauză, Gaspard Monge a introdus

din spaĠiul tridimensional; din această cauză, Gaspard Monge a introdus

sistemului de proiecĠie anterior prezentat un al treilea plan de proiecĠie

sistemului de proiecĠie anterior prezentat un al treilea plan de proiecĠie

perpendicular pe planele >H@ úi >V@ numit plan lateral >L@. Sistemul de

perpendicular pe planele >H@ úi >V@ numit plan lateral >L@. Sistemul de

plane >H@, >V@ úi >L@ a căror intersecĠie două câte două formează sistemul

plane >H@, >V@ úi >L@ a căror intersecĠie două câte două formează sistemul

de axe rectangulare OXZY este cel mai utilizat sistem de referinĠă fiind

de axe rectangulare OXZY este cel mai utilizat sistem de referinĠă fiind

denumit triedrul ortogonal de proiecĠie, Fig.1.4.

denumit triedrul ortogonal de proiecĠie, Fig.1.4.

linia de pământ Ox Ÿ >H @ ˆ >V @;

linia de pământ Ox Ÿ >H @ ˆ >V @;

axa secundară Oy Ÿ >H @ ˆ >L@ ;

axa secundară Oy Ÿ >H @ ˆ >L@ ;

axa secundară Oz Ÿ >V @ ˆ >L@ ;

axa secundară Oz Ÿ >V @ ˆ >L@ ;

originea axelor O Ÿ >H @ ˆ >V @ ˆ >L @

originea axelor O Ÿ >H @ ˆ >V @ ˆ >L@

Având în vedere infinitatea spaĠiului úi a suprafeĠelor împărĠirea

Având în vedere infinitatea spaĠiului úi a suprafeĠelor împărĠirea

spaĠiului se consideră în 8 (opt) subspaĠii denumite triedre, cel mai utilizat

spaĠiului se consideră în 8 (opt) subspaĠii denumite triedre, cel mai utilizat

în tehnică fiind triedrul I unde coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.2);

în tehnică fiind triedrul I unde coordonatele sunt pozitive (Tab. 1.2);

pentru uúurinĠa limbajului úi a construcĠiilor în literatura de specialitate se

pentru uúurinĠa limbajului úi a construcĠiilor în literatura de specialitate se

foloseúte denumirea de diedru úi pentru triedre, notaĠiile consacrate fiind de

foloseúte denumirea de diedru úi pentru triedre, notaĠiile consacrate fiind de

cele opt diedre.

cele opt diedre.

Tabelul 1.2 DIEDRUL /

Tabelul 1.2 I

II

III

IV

V

VI

VII VIII

Coordonata

DIEDRUL /

I

II

III

IV

V

VI

VII VIII

Coordonata

Abscisa

+

+

+

+

_

_

_

_

Abscisa

+

+

+

+

_

_

_

_

Depărtarea

+

_

_

+

+

_

_

+

Depărtarea

+

_

_

+

+

_

_

+

Cota

+

+

_

_

+

+

_

_

Cota

+

+

_

_

+

+

_

_

11

11

a.

Fig. 1.4

b.

c.

1.3 Sisteme de reprezentare

a.

Fig. 1.4

b.

c.

1.3 Sisteme de reprezentare

Sistemele cele mai utilizate în DESENUL TEHNIC sunt:

Sistemele cele mai utilizate în DESENUL TEHNIC sunt:

Perspectiva este sistemul de reprezentare care are la bază proiecĠia centrală

Perspectiva este sistemul de reprezentare care are la bază proiecĠia centrală

pe un plan de proiecĠie [P], aúezat între corp úi centrul de proiecĠie (ochiul

pe un plan de proiecĠie [P], aúezat între corp úi centrul de proiecĠie (ochiul

observatorului), Fig.1.5. Este folosit cu precădere în arhitectură úi

observatorului), Fig.1.5. Este folosit cu precădere în arhitectură úi

construcĠii.

construcĠii.

12

12

Fig. 1.5

a.

b.

Fig. 1.5

a.

b.

Dubla proieĠie ortogonală este sistemul de reprezentare cunoscut

Dubla proieĠie ortogonală este sistemul de reprezentare cunoscut

sub denumirea de METODA MONGE úi are la bază proiecĠia paralel

sub denumirea de METODA MONGE úi are la bază proiecĠia paralel

ortogonală pe două sau mai multe plane de proiecĠie perpendiculare

ortogonală pe două sau mai multe plane de proiecĠie perpendiculare

între ele; planul orizontal >H@ úi planele verticale de front >V@ úi de

între ele; planul orizontal >H@ úi planele verticale de front >V@ úi de

profil >L@, Fig.1.6.

profil >L@, Fig.1.6.

Fig. 1.6

Fig. 1.7

Fig. 1.6

Fig. 1.7

Se alege în aúa fel proiecĠia corpului astfel încât diversele feĠe ale lui

Se alege în aúa fel proiecĠia corpului astfel încât diversele feĠe ale lui

să fie paralele cu planele de proiecĠie, astfel încât feĠele corpului să se

să fie paralele cu planele de proiecĠie, astfel încât feĠele corpului să se

proiecteze în “adevărata” lor mărime pe planele de proiecĠie. După

proiecteze în “adevărata” lor mărime pe planele de proiecĠie. După

proiecĠia corpului pe cele trei plane de proiecĠie ale sistemului de

proiecĠia corpului pe cele trei plane de proiecĠie ale sistemului de

referinĠă (triedrul ortogonal de proiecĠie OXZY) se procedează la

referinĠă (triedrul ortogonal de proiecĠie OXZY) se procedează la

13

13

rabaterea planelor, planul orizontal >H@ înspre în jos iar planul de profil

rabaterea planelor, planul orizontal >H@ înspre în jos iar planul de profil

>L@ lateral spre spate, până când se suprapun pe extensia planului

>L@ lateral spre spate, până când se suprapun pe extensia planului

vertical (foaia de hârtie). Rabaterea se face în jurul axelor sistemului

vertical (foaia de hârtie). Rabaterea se face în jurul axelor sistemului

0

rectangular OXZY cu 90 ; figura asfel obĠinută se numeúte epură,

rectangular OXZY cu 900 ; figura asfel obĠinută se numeúte epură,

Fig.1.7.

Fig.1.7.

DefiniĠie. Epura este desenul care conĠine rezolvarea grafică a unor

DefiniĠie. Epura este desenul care conĠine rezolvarea grafică a unor

probleme de geometrie în spaĠiu prin intermediul geometriei

probleme de geometrie în spaĠiu prin intermediul geometriei

descriptive.

descriptive.

Un corp în spaĠiu (structură spaĠială) poate fi proiectat cu unghiuri

Un corp în spaĠiu (structură spaĠială) poate fi proiectat cu unghiuri

drepte pe úase planuri care formează suprafaĠa unui cub (Fig.1.8 a, b, c).

drepte pe úase planuri care formează suprafaĠa unui cub (Fig.1.8 a, b, c).

a.

a.

A

B

E

vedere de jos

vedere din stinga

vedere din dreapta

E

A

F

E

D

G

vedere din spate

H

vedere de sus

14

vedere de jos

D

G

C G

Fig. 1.8

B

F

D

H

vedere din spate

E1

din fata

C

G1

A

F

F vedere din stinga

vedere din dreapta

G

c.

E E

H

H

b.

B

E1 E

D

C G

Fig. 1.8

F

B din fata

C

G

A

F

vedere de sus

H

H

b.

c.

14

G1

Această reprezentare cunoscută sub denumirea celor “6 proiecĠii

Această reprezentare cunoscută sub denumirea celor “6 proiecĠii

principale” nu oferă tot timpul proiecĠia elementelor geometrice ale

principale” nu oferă tot timpul proiecĠia elementelor geometrice ale

corpului în adevărata mărime pe planele de proiecĠie datorită deformărilor

corpului în adevărata mărime pe planele de proiecĠie datorită deformărilor

imaginilor din spaĠiul tridimensional în spaĠiul bidimensional.

imaginilor din spaĠiul tridimensional în spaĠiul bidimensional.

Reprezentarea axonometrică este sistemul de reprezentare a corpurilor

Reprezentarea axonometrică este sistemul de reprezentare a corpurilor

din spaĠiu pe un singur plan de proiecĠie >P@ numit plan axonometric prin

din spaĠiu pe un singur plan de proiecĠie >P@ numit plan axonometric prin

proiecĠie paralelă, oblică sau ortogonală úi prin care se urmăreúte ca

proiecĠie paralelă, oblică sau ortogonală úi prin care se urmăreúte ca

imaginea obĠinută să sugereze spaĠial corpul. Metoda foloseúte raportarea

imaginea obĠinută să sugereze spaĠial corpul. Metoda foloseúte raportarea

prealabilă la triedrul ortogonal OXYZ, Fig.1.9.

prealabilă la triedrul ortogonal OXYZ, Fig.1.9.

Fig. 1.9

Fig. 1.9

Reprezentarea cotată este sistemul de reprezentare a suprafeĠelor úi

Reprezentarea cotată este sistemul de reprezentare a suprafeĠelor úi

utilizează atât elemente geometrice ( proiecĠia paralelă ortogonală pe

utilizează atât elemente geometrice ( proiecĠia paralelă ortogonală pe

planul de proiecĠie orizontal >H@ ) cât úi elemente numerice ce definesc

planul de proiecĠie orizontal >H@ ) cât úi elemente numerice ce definesc

cotele ( adâncimi sau înălĠimi ).

cotele ( adâncimi sau înălĠimi ).

15

15

x Curbele de nivel. Urma din plan rezultată după intersecĠia unei

x Curbele de nivel. Urma din plan rezultată după intersecĠia unei

forme de relief cu un plan >P@ paralel cu planul de proiecĠie

forme de relief cu un plan >P@ paralel cu planul de proiecĠie

orizontal >H@ de cotă zero (plan de comparaĠie – nivelul constant

orizontal >H@ de cotă zero (plan de comparaĠie – nivelul constant

al mării) se numeúte curbă de nivel (Fig.1.10, Fig.1.11) úi se

al mării) se numeúte curbă de nivel (Fig.1.10, Fig.1.11) úi se

utilizează în topografie úi cartografie.

utilizează în topografie úi cartografie.

Fig. 1.10

Fig. 1.10

Fig. 1.11

Fig. 1.11

x Liniile de plutire Carcasa unei nave are o formă destul de

x Liniile de plutire Carcasa unei nave are o formă destul de

complicată. Pentru reprezentare se duc trei sisteme de plane

complicată. Pentru reprezentare se duc trei sisteme de plane

verticale úi se construiesc intersecĠiile lor cu suprafaĠa exterioară

verticale úi se construiesc intersecĠiile lor cu suprafaĠa exterioară

a carcasei, Fig.1.12.

a carcasei, Fig.1.12.

16

16

Fig. 1.12

Planele secante se duc:

Fig. 1.12

Planele secante se duc:

a. orizontal, curbele de intersecĠie I . . . VI se numesc linii de plutire, fiind

a. orizontal, curbele de intersecĠie I . . . VI se numesc linii de plutire, fiind

curbele pe care le trasează apa pe carcasa navei pe măsură ce aceasta se

curbele pe care le trasează apa pe carcasa navei pe măsură ce aceasta se

scufundă în funcĠie de greutatea încărcăturii. Pe vederea laterală a carcasei,

scufundă în funcĠie de greutatea încărcăturii. Pe vederea laterală a carcasei,

precum úi pe vederea de sus (dinspre proră) úi din spate (dinspre pupă),

precum úi pe vederea de sus (dinspre proră) úi din spate (dinspre pupă),

liniile de plutire sunt reprezentate de drepte orizontale. Toate liniile de

liniile de plutire sunt reprezentate de drepte orizontale. Toate liniile de

plutire se obĠin în plan în mărime naturală.

plutire se obĠin în plan în mărime naturală.

b. vertical, paralel cu axa longitudinală a navei, curbele de intersecĠie

b. vertical, paralel cu axa longitudinală a navei, curbele de intersecĠie

corespunzătoare A, B, C sunt reprezentate în plan úi pe vederea din faĠă (úi

corespunzătoare A, B, C sunt reprezentate în plan úi pe vederea din faĠă (úi

din spate) prin linii drepte, iar în vederea laterală prin linii curbe.

din spate) prin linii drepte, iar în vederea laterală prin linii curbe.

c. vertical, perpendicular pe axa longitudinală a navei, planele de coastă

c. vertical, perpendicular pe axa longitudinală a navei, planele de coastă

sunt planele perpendiculare pe axa longitudinală a navei. Curbele de

sunt planele perpendiculare pe axa longitudinală a navei. Curbele de

intersecĠie 0, 1, 2, . . . 10, sunt reprezentate în plan úi pe vederea laterală

intersecĠie 0, 1, 2, . . . 10, sunt reprezentate în plan úi pe vederea laterală

prin linii drepte, iar pe vederea din faĠă ( úi din spate) prin linii curbe.

prin linii drepte, iar pe vederea din faĠă ( úi din spate) prin linii curbe.

17

17

2. PUNCTUL

2. PUNCTUL

2.1 Reprezentarea punctului în epură

2.1 Reprezentarea punctului în epură

Folosind cele două plane de proiecĠie perpendiculare ( [H] –

Folosind cele două plane de proiecĠie perpendiculare ( [H] –

orizontal úi [V] – vertical ) care se intersectează după dreapta (OX) – axă

orizontal úi [V] – vertical ) care se intersectează după dreapta (OX) – axă

de proiecĠie sau linie de pământ, un punct A din spaĠiu se va proiecta pe

de proiecĠie sau linie de pământ, un punct A din spaĠiu se va proiecta pe

[H] în a – proiecĠia orizontală a punctului úi pe [V] în a’– proiecĠia

[H] în a – proiecĠia orizontală a punctului úi pe [V] în a’– proiecĠia

verticală a punctului. DistanĠa de la punctul A la [H] se numeúte cotă úi se

verticală a punctului. DistanĠa de la punctul A la [H] se numeúte cotă úi se

notează cu z, iar distanĠa de la punctul A la [V] se numeúte depărtare úi se

notează cu z, iar distanĠa de la punctul A la [V] se numeúte depărtare úi se

notează cu y , (Fig. 2.1).

notează cu y , (Fig. 2.1).

Fig. 2.1

Fig. 2.2

Fig. 2.1

Fig. 2.2

Prin rotirea [H] în sensul acelor de ceasornic până la suprapunerea

Prin rotirea [H] în sensul acelor de ceasornic până la suprapunerea

peste [V] se obĠine epura, (Fig. 2.2). EPURA este reprezentare plană

peste [V] se obĠine epura, (Fig. 2.2). EPURA este reprezentare plană

convenĠională a corpurilor spaĠiale, proiectate ortogonal pe planele de

convenĠională a corpurilor spaĠiale, proiectate ortogonal pe planele de

proiecĠie, utilizând numai axele de proiecĠie. În proiecĠia dublu ortogonală

proiecĠie, utilizând numai axele de proiecĠie. În proiecĠia dublu ortogonală

(sistemul Monge), un punct A din spaĠiu este definit în epură de două

(sistemul Monge), un punct A din spaĠiu este definit în epură de două

proiecĠii a úi a’, iar două proiecĠii aflate pe aceeaúi linie de ordine definesc

proiecĠii a úi a’, iar două proiecĠii aflate pe aceeaúi linie de ordine definesc

un punct din spaĠiu.

un punct din spaĠiu.

2.2 Punctul în diedre

2.2 Punctul în diedre

Diedrul – unghiul format între două plane care se intersectează. În cazul

Diedrul – unghiul format între două plane care se intersectează. În cazul

proiecĠiei ortogonale, planele [H] úi [V] împart spaĠiul în 4 diedre

proiecĠiei ortogonale, planele [H] úi [V] împart spaĠiul în 4 diedre

18

18

(Fig.2.3), notate I, II, III úi IV. În Fig. 2.4 sunt prezentate în epură puncte

(Fig.2.3), notate I, II, III úi IV. În Fig. 2.4 sunt prezentate în epură puncte

situate în cele 4 diedre. În funcĠie de diedrul în care sunt conĠinute,

situate în cele 4 diedre. În funcĠie de diedrul în care sunt conĠinute,

semnele lui z úi y sunt pozitive sau negative, (Tab. 2.1).

semnele lui z úi y sunt pozitive sau negative, (Tab. 2.1).

Diedrul

I

II

III IV

+ +

– +

– –

Diedrul

Coordonata

Depărtarea Cota

I

II

III IV

+ +

– +

– –

Coordonata

+ –

Fig. 2.3

Depărtarea Cota

+ –

Fig. 2.3

Fig. 2.4

Fig. 2.4

2.3 Punctul în triedre

2.3 Punctul în triedre

Unghiul format de 3 plane concurente se numeúte unghi triedru. În

Unghiul format de 3 plane concurente se numeúte unghi triedru. În

cazul folosirii celui de-al treilea plan de proiecĠie [W] – plan lateral de

cazul folosirii celui de-al treilea plan de proiecĠie [W] – plan lateral de

proiecĠie, care este perpendicular pe [H] úi [V], un punct A din spaĠiu (Fig.

proiecĠie, care este perpendicular pe [H] úi [V], un punct A din spaĠiu (Fig.

19

19

2.5) va avea úi o a treia proiecĠie a’’. DistanĠa de la punctul A la planul [W]

2.5) va avea úi o a treia proiecĠie a’’. DistanĠa de la punctul A la planul [W]

se numeúte abscisă úi se notează cu x. Epura se obĠine prin rotirea planului

se numeúte abscisă úi se notează cu x. Epura se obĠine prin rotirea planului

[H] în sensul acelor de ceasornic úi prin rotirea planului [W] în sens invers

[H] în sensul acelor de ceasornic úi prin rotirea planului [W] în sens invers

acelor de ceasornic, până se suprapun peste [V] (Fig. 2.6). ProiecĠia a’’

acelor de ceasornic, până se suprapun peste [V] (Fig. 2.6). ProiecĠia a’’

descrie în această rotaĠie un arc de cerc de rază egală cu depărtarea. Pla-

descrie în această rotaĠie un arc de cerc de rază egală cu depărtarea. Pla-

nele [H], [V] úi [W] împart spaĠiul în 8 triedre, notate cu I, II, III, ... VIII.

nele [H], [V] úi [W] împart spaĠiul în 8 triedre, notate cu I, II, III, ... VIII.

Puncte situate în cele opt triedre sunt prezentate în epură în Fig. 2.7, iar în

Puncte situate în cele opt triedre sunt prezentate în epură în Fig. 2.7, iar în

Tab. 2.2 este sistematizat semnul coordonatelor x, y úi z în cele 8 triedre.

Tab. 2.2 este sistematizat semnul coordonatelor x, y úi z în cele 8 triedre.

Tabelul 2.2 Triedrul I Semnul x + Semnul y + Semnul z +

II III IV + + + – – + + – –

V – + +

Tabelul 2.2 Triedrul I Semnul x + Semnul y + Semnul z +

VI VII VIII – – – – – + + – –

II III IV + + + – – + + – –

V – + +

VI VII VIII – – – – – + + – –

z

0

x

a

abscisa x dep[rtarea y

cota z dep[rtarea y

abscisa x

ax

az

a'

a''

cota z

az

a' x

z

ay1

0

ax

a

ay

ay1

ay

y

Fig. 2.5

y

Fig. 2.6

Fig. 2.5

Fig. 2.6

Triedrul III

Triedrul III z

c

cy

x

ax

0

z

a'' ay1

b'

Triedrul II b''

ay y

bz

az

a'

z

x cy1

cx

a''

O x

ax

0

ay1

b'

by

b a

cy

Triedrul I

z

az

z

c

Triedrul I a'

a''

x

0 by1

bx

20

y

Triedrul II b''

c'

ay

cz y

a

y

bz

x cy1

cx

O

by

b c''

z

x

0 by1

bx

20

y

c''

c'

cz y

x

dx

d

d'

Triedrul IV z 0

x

dy1

dy

dx

d dz y

d''

d'

Fig. 2.7

Triedrul IV z 0

dy1

dy

dz y

d''

Fig. 2.7

2.4 Puncte situate în plane bisectoare

2.4 Puncte situate în plane bisectoare

Aceste puncte au distanĠa egală cu cota.

Aceste puncte au distanĠa egală cu cota.

Se cunosc două plane bisectoare: planul bisector unu care împarte

Se cunosc două plane bisectoare: planul bisector unu care împarte

diedrele unu úi trei în aúa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea

diedrele unu úi trei în aúa fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea

egală cu cota úi planul bisector doi care împarte diedrele doi úi patru în aúa

egală cu cota úi planul bisector doi care împarte diedrele doi úi patru în aúa

fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota.

fel încât toate punctele acestui plan au depărtarea egală cu cota.

ConvenĠional, aceste plane se notează [B1] úi [B2],(Fig. 2.8).

ConvenĠional, aceste plane se notează [B1] úi [B2],(Fig. 2.8).

Fig. 2.8

21

Fig. 2.8

21

Dacă E (e, e’)  [B1] úi se găseúte în diedrul I, atunci cota va fi

Dacă E (e, e’)  [B1] úi se găseúte în diedrul I, atunci cota va fi

egală cu depărtarea úi ambele vor fi pozitive, (Fig. 2.9). Epura unui astfel

egală cu depărtarea úi ambele vor fi pozitive, (Fig. 2.9). Epura unui astfel

de punct va arata ca în Fig. 2.9, proiecĠiile e úi e’ fiind simetrice faĠă de

de punct va arata ca în Fig. 2.9, proiecĠiile e úi e’ fiind simetrice faĠă de

linia de pământ.

linia de pământ.

Fig. 2.9 Idem cu punctele F (f, f’)  [B2], G (g, g’)  [B1] úi H (e,e’)  [B2].

Fig. 2.9 Idem cu punctele F (f, f’)  [B2], G (g, g’)  [B1] úi H (e,e’)  [B2].

2.5 Puncte situate pe linia de pământ

2.5 Puncte situate pe linia de pământ

Sunt situate pe dreapta de intersecĠie dintre planele [H] úi [V] - (OX)

Sunt situate pe dreapta de intersecĠie dintre planele [H] úi [V] - (OX)

úi aparĠin concomitent ambelor planuri deci, aceste puncte au atât cotele

úi aparĠin concomitent ambelor planuri deci, aceste puncte au atât cotele

cât úi depărtările egale cu zero. În această situaĠie, proiecĠiile orizontale úi

cât úi depărtările egale cu zero. În această situaĠie, proiecĠiile orizontale úi

verticale se vor confunda cu însăúi punctul din spaĠiu.

verticale se vor confunda cu însăúi punctul din spaĠiu.

2.6 Puncte situate în planele de proiecĠie

2.6 Puncte situate în planele de proiecĠie

Caracteristica unor astfel de puncte este că una din coordonatele

Caracteristica unor astfel de puncte este că una din coordonatele

descriptive este egală cu zero úi, prin urmare, una din proiecĠii se va

descriptive este egală cu zero úi, prin urmare, una din proiecĠii se va

22

22

confunda cu însăúi punctul din spaĠiu , în timp ce cealaltă proiecĠie se va

confunda cu însăúi punctul din spaĠiu , în timp ce cealaltă proiecĠie se va

găsi pe linia de pământ, (punctele I, J, K, L din Fig. 2.9).

găsi pe linia de pământ, (punctele I, J, K, L din Fig. 2.9).

Epurele tuturor punctelor prezentate la punctele: 2.2, 2.3, 2.4 úi 2.5 sunt prezentate în Fig. 2.10.

Epurele tuturor punctelor prezentate la punctele: 2.2, 2.3, 2.4 úi 2.5 sunt prezentate în Fig. 2.10.

Fig. 2.10

Fig. 2.10

2.7 Alfabetul punctului

2.7 Alfabetul punctului

Sintetizând cele expuse la reprezentarea punctului, se poate

Sintetizând cele expuse la reprezentarea punctului, se poate

concluziona că: un punct poate ocupa 17 poziĠii în regiunile spaĠiului

concluziona că: un punct poate ocupa 17 poziĠii în regiunile spaĠiului

limitat la planele de proiecĠie úi planele bisectoare (Fig. 2.11). Această

limitat la planele de proiecĠie úi planele bisectoare (Fig. 2.11). Această

succesiune de poziĠii se numeúte alfabetul punctului.

succesiune de poziĠii se numeúte alfabetul punctului.

Comparând cele 17 poziĠii ale punctelor de la A la S din Fig. 2.11 úi din epurele punctelor (Fig. 2.12), rezultă următoarele:

Comparând cele 17 poziĠii ale punctelor de la A la S din Fig. 2.11 úi din epurele punctelor (Fig. 2.12), rezultă următoarele:

- A (a, a’)  >H@ Ÿ a’{ A š a’  Ox ;

- A (a, a’)  >H@ Ÿ a’{ A š a’  Ox ;

- B (b, b’) – situat în diedrul I, sub >B1@, deoarece are depărtarea mai

- B (b, b’) – situat în diedrul I, sub >B1@, deoarece are depărtarea mai

mare decât cota, úi ambele sunt pozitive; - C (c, c’)  >B1@ Ÿ Cc { Cc c ;

mare decât cota, úi ambele sunt pozitive; - C (c, c’)  >B1@ Ÿ Cc { Cc c ;

23

23

- D (d, d’) – situat în diedrul I, deasupra lui >B1@, deoarece are depărtarea mai mică decât cota, úi ambele sunt pozitive;

- D (d, d’) – situat în diedrul I, deasupra lui >B1@, deoarece are depărtarea mai mică decât cota, úi ambele sunt pozitive;

- E (e, e’)  >Vs@ Ÿ e’ { E š e  Ox ;

- E (e, e’)  >Vs@ Ÿ e’ { E š e  Ox ;

- F (f, f’) – situat în diedrul II, deasupra lui >B2@, deoarece are cota mai

- F (f, f’) – situat în diedrul II, deasupra lui >B2@, deoarece are cota mai

mare decât depărtarea în valoare absolută (cota este pozitivă iar

mare decât depărtarea în valoare absolută (cota este pozitivă iar

depărtarea negativă);

depărtarea negativă);

- G (g, g’)  >B2@ Ÿ Gg { Gg c – ambele proiecĠii coincid, deci cota

- G (g, g’)  >B2@ Ÿ Gg { Gg c – ambele proiecĠii coincid, deci cota

este egală cu depărtarea absolută úi fiind situate ambele deasupra lui

este egală cu depărtarea absolută úi fiind situate ambele deasupra lui

Ox rezultă că depărtarea este negativă úi cota este pozitivă, semne

Ox rezultă că depărtarea este negativă úi cota este pozitivă, semne

caracteristice diedrului II;

caracteristice diedrului II;

- I (i, i’) – în diedrul II, sub >B2@;

- I (i, i’) – în diedrul II, sub >B2@;

- J (j, j’)  >Hp@ Ÿ j { J š j’  Ox ;

- J (j, j’)  >Hp@ Ÿ j { J š j’  Ox ;

- K (k, k’) – în diedrul III, deasupra lui >B1@;

- K (k, k’) – în diedrul III, deasupra lui >B1@;

- L (l, l’)  >B1@ Ÿ Ll { Ll c - cota egală cu depărtarea în valoare úi

- L (l, l’)  >B1@ Ÿ Ll { Ll c - cota egală cu depărtarea în valoare úi

ambele negative;

ambele negative;

- M (m, m’) – în diedrul III, cota mai mare decât depărtarea în valoare úi ambele negative;

- M (m, m’) – în diedrul III, cota mai mare decât depărtarea în valoare úi ambele negative;

- N (n, n’)  >Vi@ Ÿ n’ { N š n  Ox - depărtarea zero, cota negativă;

- N (n, n’)  >Vi@ Ÿ n’ { N š n  Ox - depărtarea zero, cota negativă;

- P (p, p’) – în diedrul IV, sub >B2@, depărtarea pozitivă iar cota

- P (p, p’) – în diedrul IV, sub >B2@, depărtarea pozitivă iar cota

negativă; în valoare absolută cota este mai mare decât depărtarea;

negativă; în valoare absolută cota este mai mare decât depărtarea;

- R (r, r’)  >B2@ Ÿ Rr { Rr c - cota egală cu depărtarea în valoare

- R (r, r’)  >B2@ Ÿ Rr { Rr c - cota egală cu depărtarea în valoare

absolută, în diedrul IV;

absolută, în diedrul IV;

- S (s, s’) – deasupra lui >B1@ în diedrul IV, depărtarea este pozitivă úi

- S (s, s’) – deasupra lui >B1@ în diedrul IV, depărtarea este pozitivă úi

cota negativă; în valoare absolută cota este mai mică decât

cota negativă; în valoare absolută cota este mai mică decât

depărtarea;

depărtarea;

- O (o, o’)  Ox cota úi depărtarea egale cu zero.

24

- O (o, o’)  Ox cota úi depărtarea egale cu zero.

24

Vs B2

f'

G

J

i'

ix

j

gx l

k

B1

C

dx cx bx p d r c s b k' s'

1

A

Ha

y (-x)

J

x Hp

a

r'

k' s' l'

P

N

7

f'

i

lx

ix

gx

k'

bx ax a'

e ex

0

0 0’ 0x 0 X T

sx

lx

p

ix

gx

fx

cx

bx ax a'

e ex

c

m'

b

n'

a

Fig. 2.12

Fig. 2.12

25

25

0

0 0’ 0x 0 X T

d

l'

p'

b'

kx k'

s'

s a

mx

f dx

jx j'

r r' b

n'

rx

c'

i'

x

c

m'

px n nx

d'

g g'

m

d

l'

p'

fx

cx

f'

i

l b'

dx jx j'

e'

k

f

kx

x s'

d' c'

i'

m

7

y (-z)

j

g g'

l

P

Fig. 2.11 e'

k

s

R

N Vi

j

p

r'

6

Fig. 2.11

r r'

y (-x)

S

m' p'

M

y (-z)

Vi

mx

Ha

a

L

6

rx

A

8

R

m' p'

M

sx

dx cx bx p d r c s b

1

5

L

px n nx

B

b'

fx m

K 8

C

g' c'

gx l

k

B1

D

d'

i'

ix

j

S

5

l'

f'

I

4

2

E

G B

fx m

K

B2

F

b'

z (-y)

3

D

d'

g' c'

I

x Hp

Vs 2

E

F

4

z (-y)

3

3 DREAPTA

3 DREAPTA

3.1 Urmele dreptei

3.1 Urmele dreptei

Urmele dreptei: punctele în care dreapta din spaĠiu intersectează

Urmele dreptei: punctele în care dreapta din spaĠiu intersectează

planele de proiecĠie. O dreaptă oarecare poate intersecta cele trei plane de

planele de proiecĠie. O dreaptă oarecare poate intersecta cele trei plane de

proiecĠie, deci poate avea trei urme.

proiecĠie, deci poate avea trei urme.

Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [H] se numeúte

Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [H] se numeúte

urmă orizontală; se notează cu H (h, h’), H  [H], deci, H (x, y, 0).

urmă orizontală; se notează cu H (h, h’), H  [H], deci, H (x, y, 0).

Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [V] se numeúte urmă

Punctul de intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [V] se numeúte urmă

verticală; se notează cu V (v, v’), V  [V], deci, V (x, 0, z). Punctul de

verticală; se notează cu V (v, v’), V  [V], deci, V (x, 0, z). Punctul de

intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [W] se numeúte urmă laterală; se

intersecĠie dintre o dreaptă D úi planul [W] se numeúte urmă laterală; se

notează cu W (w,w’), W  [W], deci, W (0, y, z).

notează cu W (w,w’), W  [W], deci, W (0, y, z).

În Fig. 3.1 sunt prezentate proiecĠiile urmelor pe epura dreptei D (d, d’).

În Fig. 3.1 sunt prezentate proiecĠiile urmelor pe epura dreptei D (d, d’).

X

0

Fig. 3.1

3.2 PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte

X

0

Fig. 3.1

3.2 PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte

3.2.1 Drepte paralele cu planele de proiecĠie: Dreapta de nivel (orizontala) – dreapta paralelă cu [H], deci toate

3.2.1 Drepte paralele cu planele de proiecĠie: Dreapta de nivel (orizontala) – dreapta paralelă cu [H], deci toate

punctele orizontalei au aceeaúi cotă. Punctele ce definesc o astfel de

punctele orizontalei au aceeaúi cotă. Punctele ce definesc o astfel de

dreaptă se vor găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [H], proiecĠia verticală va

dreaptă se vor găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [H], proiecĠia verticală va

fi paralelă cu linia de pământ Ox , iar proiecĠia orizontală poate fi

fi paralelă cu linia de pământ Ox , iar proiecĠia orizontală poate fi

înclinată oricum faĠă de Ox , Fig. 3.2;

înclinată oricum faĠă de Ox , Fig. 3.2;

26

26

z

z

0

x

0

x y'

y

y'

y

Fig. 3.2

Fig. 3.2

Dreapta de front (frontala) – dreaptă paralelă cu [V], deci toate

Dreapta de front (frontala) – dreaptă paralelă cu [V], deci toate

punctele frontalei au aceeaúi depărtare. Punctele ce o definesc se vor

punctele frontalei au aceeaúi depărtare. Punctele ce o definesc se vor

găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [V], proiecĠia orizontală va fi paralelă cu

găsi la aceeaúi distanĠă faĠă de [V], proiecĠia orizontală va fi paralelă cu

Ox úi cea verticală, înclinată faĠă de Ox , Fig. 3.3;

Ox úi cea verticală, înclinată faĠă de Ox , Fig. 3.3; z

b

z

b

0

x

0

x

y'

y'

y

y

Fig. 3.3

Fig. 3.3

Dreapta de profil – dreaptă paralelă cu [W], deci toate punctele dreptei

Dreapta de profil – dreaptă paralelă cu [W], deci toate punctele dreptei

de profil au aceeaúi abscisă. Punctele ce o definesc se vor găsi la

de profil au aceeaúi abscisă. Punctele ce o definesc se vor găsi la

aceeaúi distanĠă faĠă de [W], iar proiecĠiile orizontală úi verticală sunt

aceeaúi distanĠă faĠă de [W], iar proiecĠiile orizontală úi verticală sunt

perpendiculare pe Ox , Fig. 3.4.

perpendiculare pe Ox , Fig. 3.4. z

g'

i'

i' x

y'

g d

i''

O

y'

g d

i

i y

y

Fig. 3.4

Fig. 3.4

27

27

g'' d''

d' i''

O

z

g' d''

d'

x

g''

3.2.2 Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie:

3.2.2 Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie:

Dreapta verticală – dreaptă perpendiculară pe [H] úi simultan paralelă

Dreapta verticală – dreaptă perpendiculară pe [H] úi simultan paralelă

cu [V] úi [W]. Punctele ce o definesc au atât abscisele cât úi depărtările

cu [V] úi [W]. Punctele ce o definesc au atât abscisele cât úi depărtările

egale. ProiecĠia orizontală se reduce la un punct iar proiecĠiile verticală

egale. ProiecĠia orizontală se reduce la un punct iar proiecĠiile verticală

úi laterală vor fi paralele cu axa secundară de proiecĠie Oz , Fig. 3.5;

úi laterală vor fi paralele cu axa secundară de proiecĠie Oz , Fig. 3.5;

z

e' d' f'

e''

e'

d''

d'

f''

f'

0

x

e'' d'' f'' 0

x

y'

e=f

z

y'

e=f

y

Fig. 3.5

y

Fig. 3.5

Dreapta de capăt – dreapta perpendiculară pe [V]. Punctele ce o

Dreapta de capăt – dreapta perpendiculară pe [V]. Punctele ce o

definesc au abscisele úi cotele egale. ProiecĠia verticală se reduce la un

definesc au abscisele úi cotele egale. ProiecĠia verticală se reduce la un

punct iar proiecĠiile orizontală úi laterală sunt perpendiculare pe Ox úi

punct iar proiecĠiile orizontală úi laterală sunt perpendiculare pe Ox úi

pe Oz , Fig. 3.6;

pe Oz , Fig. 3.6;

b=c

z

b''

d'' c''

b=c

0

b''

d'' c''

0 y'

x

y'

x

b

b

d

d

c

z

c

y

Fig. 3.6

Fig. 3.6

28

28

y

Dreapta fronto-orizontală – dreapta perpendiculară pe [W], dar úi

Dreapta fronto-orizontală – dreapta perpendiculară pe [W], dar úi

paralelă cu [H] úi [V]; este simultan o dreaptă de nivel úi o dreaptă

paralelă cu [H] úi [V]; este simultan o dreaptă de nivel úi o dreaptă

frontală. Punctele ce o definesc vor avea aceleaúi cote úi depărtări.

frontală. Punctele ce o definesc vor avea aceleaúi cote úi depărtări.

ProiecĠia laterală se reduce la un punct, Fig. 3.7;

ProiecĠia laterală se reduce la un punct, Fig. 3.7; z

a'

z

a''=b''

b'

d'

a'

a''=b''

b'

d'

0 x

0 y'

a

d

b

y

x

a

Fig. 3.7

3.2.3 Drepte conĠinute în planele de proiecĠie:

y'

d

b

y

Fig. 3.7

3.2.3 Drepte conĠinute în planele de proiecĠie:

Dreapta conĠinută în planul orizontal [H] – orizontala de cotă zero.

Dreapta conĠinută în planul orizontal [H] – orizontala de cotă zero.

ProiecĠia orizontală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile verticală

ProiecĠia orizontală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile verticală

úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oy , Fig. 3.8;

úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oy , Fig. 3.8;

z a'=aX x

d'

z a'=aX

b'=bX 0 a''=aY b''=bY d'' y'

x

a

d'

b'=bX 0 a''=aY b''=bY d'' y'

a d

d b

y

b

Fig. 3.8

y

Fig. 3.8

Dreapta conĠinută în planul vertical [V] – frontala de depărtare zero.

Dreapta conĠinută în planul vertical [V] – frontala de depărtare zero.

ProiecĠia verticală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile orizontală

ProiecĠia verticală se confundă cu însăúi dreapta; proiecĠiile orizontală

úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oz , Fig. 3.9;

úi laterală se suprapun pe axele de proiecĠie Ox úi Oz , Fig. 3.9;

29

29

Fig. 3.9 z g'=gZ

Fig. 3.9 z g'=gZ

G=g'' D=d''

d'' h'=hZ

D=d''

d'' h'=hZ

H=h'' 0

x

G=g''

H=h'' 0

y'

g=gY

x

d

y'

g=gY d

h=hY

h=hY y

y

Fig. 3.10

Fig. 3.10

Dreapta conĠinută în planul lateral [W] – dreapta de profil cu

Dreapta conĠinută în planul lateral [W] – dreapta de profil cu

abscisele zero. ProiecĠia laterală se confundă cu dreapta iar proiecĠiile

abscisele zero. ProiecĠia laterală se confundă cu dreapta iar proiecĠiile

orizontală úi verticală se suprapun pe axele de proiecĠie Oy úi Oz , Fig.

orizontală úi verticală se suprapun pe axele de proiecĠie Oy úi Oz , Fig.

3.10.

3.10.

3.2.4 Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie

3.2.4 Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie

O dreaptă ce coincide cu una din axele de proiecĠie va avea

O dreaptă ce coincide cu una din axele de proiecĠie va avea

proiecĠiile ei pe planele adiacente, confundate chiar cu axa respectivă, în

proiecĠiile ei pe planele adiacente, confundate chiar cu axa respectivă, în

timp ce proiecĠia pe cel de al treilea plan se va reduce la un punct ce se

timp ce proiecĠia pe cel de al treilea plan se va reduce la un punct ce se

confundă cu originea axelor. Denumirile úi proprietăĠile unor astfel de

confundă cu originea axelor. Denumirile úi proprietăĠile unor astfel de

drepte sunt aceleaúi ca úi pentru dreptele perpendiculare pe unul din

drepte sunt aceleaúi ca úi pentru dreptele perpendiculare pe unul din

planele de proiecĠie ( verticala, fronto - orizontala úi dreapta de capăt ).

planele de proiecĠie ( verticala, fronto - orizontala úi dreapta de capăt ).

Aceste drepte úi epurele lor sunt prezentate în Fig. 3.11.

Aceste drepte úi epurele lor sunt prezentate în Fig. 3.11.

30

30

e'=e''

z

e'=e''

d'=d'' f '=f '' b=b' 0 x d=d' g 0=a''=b'' d=d'' 0=e=f 0=g'=f ' h

z

d'=d'' g''

a=a'

f '=f '' b=b' 0 x d=d' g 0=a''=b'' d=d'' 0=e=f 0=g'=f ' h

h'' d=d''

g''

a=a'

y'

y

Fig. 3.11

h'' d=d''

y'

y

Fig. 3.11

3.3 PoziĠia relativă a două drepte

3.3 PoziĠia relativă a două drepte

3.3.1 Drepte paralele Două drepte paralele în spaĠiu vor avea proiecĠiile de acelaúi nume

3.3.1 Drepte paralele Două drepte paralele în spaĠiu vor avea proiecĠiile de acelaúi nume

paralele între ele. Reciproc: dacă proiecĠiile de acelaúi nume a două drepte

paralele între ele. Reciproc: dacă proiecĠiile de acelaúi nume a două drepte

din spaĠiu pe fiecare din planele de proiecĠie sunt paralele între ele, rezultă

din spaĠiu pe fiecare din planele de proiecĠie sunt paralele între ele, rezultă

că úi dreptele din spaĠiu vor fi paralele între ele. Desenul úi epura a două

că úi dreptele din spaĠiu vor fi paralele între ele. Desenul úi epura a două

drepte paralele este prezentat în Fig. 3.12.

drepte paralele este prezentat în Fig. 3.12.

Fig. 3.12

Fig. 3.12

3.3.2 Drepte concurente

3.3.2 Drepte concurente

Două drepte din spaĠiu vor fi concurente dacă proiecĠiile lor de

Două drepte din spaĠiu vor fi concurente dacă proiecĠiile lor de

acelaúi nume se intersectează, iar proiecĠiile punctului de concurenĠă se vor

acelaúi nume se intersectează, iar proiecĠiile punctului de concurenĠă se vor

31

31

afla pe aceeaúi linie de ordine. Desenul úi epura a două drepte concurente

afla pe aceeaúi linie de ordine. Desenul úi epura a două drepte concurente

este prezentat în Fig. 3.13.

este prezentat în Fig. 3.13.

Fig. 3.13

Fig. 3.13

3.3.3 Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare)

3.3.3 Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare)

Dacă într-o epură punctele de concurenĠă a proiecĠiilor de acelaúi

Dacă într-o epură punctele de concurenĠă a proiecĠiilor de acelaúi

nume a două drepte nu se găsesc pe aceeaúi linie de ordine, dreptele din

nume a două drepte nu se găsesc pe aceeaúi linie de ordine, dreptele din

spaĠiu nu sunt concurente úi nici nu îndeplinesc condiĠii de neparalelism,

spaĠiu nu sunt concurente úi nici nu îndeplinesc condiĠii de neparalelism,

înseamnă că ele sunt situate în plane diferite. Desenul úi epura a două

înseamnă că ele sunt situate în plane diferite. Desenul úi epura a două

drepte oarecare este prezentat în Fig. 3.14.

drepte oarecare este prezentat în Fig. 3.14.

Fig. 3.14

Fig. 3.14

32

32

4. PLANUL

4. PLANUL

4.1 Reprezentarea úi urmele planului

4.1 Reprezentarea úi urmele planului

Un plan poate fi determinat de:

Un plan poate fi determinat de:

- trei puncte necoliniare, Fig. 4.1;

Fig. 4.1

- trei puncte necoliniare, Fig. 4.1;

Fig. 4.2

Fig. 4.1

Fig. 4.2

- două drepte concurente, Fig. 4.2;

- două drepte concurente, Fig. 4.2;

- două drepte paralele, Fig. 4.3;

- două drepte paralele, Fig. 4.3;

Fig. 4.3

Fig. 4.4

- o dreaptă úi un punct exterior dreptei, Fig. 4.4. Urmele planului sunt dreptele de intersecĠie ale planului proiectat

Fig. 4.3

Fig. 4.4

- o dreaptă úi un punct exterior dreptei, Fig. 4.4. Urmele planului sunt dreptele de intersecĠie ale planului proiectat

[P] cu cele trei plane de proiecĠie [H], [V] úi [W].

[P] cu cele trei plane de proiecĠie [H], [V] úi [W].

- urma orizontală – se notează cu PhPx, este o dreaptă comună a planului

- urma orizontală – se notează cu PhPx, este o dreaptă comună a planului

[P] úi a planului orizontal de proiecĠie [H];

[P] úi a planului orizontal de proiecĠie [H];

- urma verticală – se notează cu PvPx, este o dreaptă comună planului [P]

- urma verticală – se notează cu PvPx, este o dreaptă comună planului [P]

úi a planului vertical de proiecĠie [V];

úi a planului vertical de proiecĠie [V];

- urma laterală – se notează PwPy, este o dreaptă comună a planului [P] úi

- urma laterală – se notează PwPy, este o dreaptă comună a planului [P] úi

a planului lateral de proiecĠie [W].

a planului lateral de proiecĠie [W].

33

33

În Fig. 4.5 sunt reprezentate în desen úi în epură cele trei urme ale planului proiectat [P].

În Fig. 4.5 sunt reprezentate în desen úi în epură cele trei urme ale planului proiectat [P].

z

z

Pz

Pz

Pv

Pw

Px

Pv

Pw

Px

0

Py1

x

0

Py1

x

Ph

Ph Py

Py

y

y

Fig. 4.5

Fig. 4.5

4.2 PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie

4.2 PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie

4.2.1 Plan de poziĠie generală

4.2.1 Plan de poziĠie generală

Acest plan se intersectează cu cele trei plane de proiecĠie úi taie cele

Acest plan se intersectează cu cele trei plane de proiecĠie úi taie cele

trei axe. Urmele unui astfel de plan pot forma cu axele de proiecĠie

trei axe. Urmele unui astfel de plan pot forma cu axele de proiecĠie

unghiuri ascuĠite sau obtuze, Fig. 4.6.

unghiuri ascuĠite sau obtuze, Fig. 4.6.

z

z

Pw

Pv

Pw

Pv

0 x

Px P-v

Ph

0 Py1

x

Py P-w

Px P-v

Ph

Py1 Py P-w

P-z

P-z

y

y

Fig. 4.6

Fig. 4.6

34

34

4.2.2 Plane proiectante (perpendiculare) pe unul din planele de proiecĠie

4.2.2 Plane proiectante (perpendiculare) pe unul din planele de proiecĠie

- plan proiectant faĠă de planul orizontal de proiecĠie [H] – urma

- plan proiectant faĠă de planul orizontal de proiecĠie [H] – urma

orizontală a planului [P] este o dreaptă oarecare a planului orizontal de

orizontală a planului [P] este o dreaptă oarecare a planului orizontal de

proiecĠie [H], Fig. 4.7.

proiecĠie [H], Fig. 4.7. z

z

Pv

Pv

Pw a'

aZ

a''

0

Px Ph

0 Ph

aY

a''

aX

x

Py1

a

aZ

Px

aX

x

Pw a'

Py1 aY

a

Py

Py

y

y

Fig. 4.7

Fig. 4.7

- plan proiectant faĠă de planul vertical de proiecĠie [V] – urma verticală a

- plan proiectant faĠă de planul vertical de proiecĠie [V] – urma verticală a

planului [Q] ( perpendicular pe planul de proiecĠie [V] ), poate fi în orice

planului [Q] ( perpendicular pe planul de proiecĠie [V] ), poate fi în orice

poziĠie, Fig. 4.8.

poziĠie, Fig. 4.8. z

Pv a' Px x

ax a

z

Pw Py az

Pv a'

a'' Px

0 x

a

ay

Ph

az

a''

0

ay

Ph y

Fig. 4.8 - plan proiectant faĠă de planul lateral de proiecĠie [W] – Fig. 4.9.

35

ax

Pw Py

y

Fig. 4.8 - plan proiectant faĠă de planul lateral de proiecĠie [W] – Fig. 4.9.

35

z

Pv

Pz a' x

z

Pv

Pw

Pz

a''

az

a' x

0

Pw a''

az 0

ax

ax

a

a

ay

Ph

ay

Ph

Py

Py

y

y

Fig. 4.9

Fig. 4.9

4.2.3 Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare pe celelalte două

4.2.3 Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare pe celelalte două

- Planul de front – paralel cu planul vertical de proiecĠie [V], are urma

- Planul de front – paralel cu planul vertical de proiecĠie [V], are urma

orizontală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oz. Depărtările tuturor

orizontală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oz. Depărtările tuturor

punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fy de pe axa Oy, iar

punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fy de pe axa Oy, iar

Fh este paralelă cu Ox úi Fl paralelă cu Oz. Orice figură geometrică situată

Fh este paralelă cu Ox úi Fl paralelă cu Oz. Orice figură geometrică situată

în acest plan se proiecteză în adevărata formă úi mărime pe planul vertical

în acest plan se proiecteză în adevărata formă úi mărime pe planul vertical

de proiecĠie [V] úi total deformată pe planele de proiecĠie orizontal [H] úi

de proiecĠie [V] úi total deformată pe planele de proiecĠie orizontal [H] úi

lateral [W]. În epură prezintă numai urmă orizontală, Fig. 4.10.

lateral [W]. În epură prezintă numai urmă orizontală, Fig. 4.10.

z

z

Pw b''

b' c'

a' x

a'',c''

b

c'

a' x

0 Ph a

Pw b''

b'

c

a'',c'' 0

Ph a

y

b

c

y

Fig. 4.10

Fig. 4.10

36

36

- Planul de nivel – paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], are urma

- Planul de nivel – paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], are urma

verticală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oy. Depărtările tuturor

verticală paralelă cu Ox úi cea laterală paralelă cu Oy. Depărtările tuturor

punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fz de pe axa Oz, iar Fv

punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fz de pe axa Oz, iar Fv

este paralelă cu Ox úi Fl este paralelă cu Oy. Orice figură geometrică

este paralelă cu Ox úi Fl este paralelă cu Oy. Orice figură geometrică

situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi mărime pe planul

situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi mărime pe planul

orizontal de proiecĠie [H] úi total deformată pe planele de proiecĠie vertical

orizontal de proiecĠie [H] úi total deformată pe planele de proiecĠie vertical

[V] úi lateral [W]. În epură prezintă numai urmă verticală, Fig. 4.11.

[V] úi lateral [W]. În epură prezintă numai urmă verticală, Fig. 4.11.

z

Pv

c' a'

z

b' b'' a'' c'' Pw

x

Pv

c' a'

x

0

0

a c

b' b'' a'' c'' Pw

a b

c

y

b

y

Fig. 4.11

Fig. 4.11

- Planul de profil – paralel cu planul lateral de proiecĠie [W], are urma

- Planul de profil – paralel cu planul lateral de proiecĠie [W], are urma

orizontală paralelă cu Oy úi urma verticală paralelă cu Oz. Depărtările

orizontală paralelă cu Oy úi urma verticală paralelă cu Oz. Depărtările

tuturor punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fx de pe axa

tuturor punctelor planului sunt egale cu depărtarea tăieturii Fx de pe axa

Ox, iar Fh este paralelă cu Oy úi Fv este paralelă cu Oz. Orice figură

Ox, iar Fh este paralelă cu Oy úi Fv este paralelă cu Oz. Orice figură

geometrică situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi

geometrică situată în acest plan se proiectează în adevărata formă úi

mărime pe planul lateral de proiecĠie [W] úi total deformată pe planele de

mărime pe planul lateral de proiecĠie [W] úi total deformată pe planele de

proiecĠie vertical [V] úi orizontal [H]. În epură prezintă numai urmă

proiecĠie vertical [V] úi orizontal [H]. În epură prezintă numai urmă

laterală, Fig.4.12.

laterală, Fig.4.12.

37

37

z

Pv

b''

b' a' x

c''

0

b''

b' a'

a''

c'

z

Pv

x

a''

c'

b c a

b c a

Ph

Ph

c''

0

y

y

Fig. 4.12

Fig. 4.12

4.3 Drepte particulare ale planului

4.3 Drepte particulare ale planului

4.3.1 Orizontala planului

4.3.1 Orizontala planului

Este o dreaptă conĠinută într-un plan oarecare [P] úi paralelă cu

Este o dreaptă conĠinută într-un plan oarecare [P] úi paralelă cu

planul orizontal de proiecĠie [H]. ProiecĠia ei verticală este paralelă cu Ox

planul orizontal de proiecĠie [H]. ProiecĠia ei verticală este paralelă cu Ox

úi se sprijină pe urma verticală P’Px. ProiecĠia orizontală este paralelă cu

úi se sprijină pe urma verticală P’Px. ProiecĠia orizontală este paralelă cu

urma orizontală PPx a planului. Toate orizontalele unui plan sunt paralele

urma orizontală PPx a planului. Toate orizontalele unui plan sunt paralele

între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele. Desenul úi

între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele. Desenul úi

epura sunt prezentate în Fig. 4.13.

epura sunt prezentate în Fig. 4.13. z

z

Pv

a'

d'

Pw

d''

Pv

a'

a''

O

Px

d''

x

Py1 Ph

a''

O

Px

x

d'

Pw

Py1

Ph Py

Py

y

y

Fig. 4.13

Fig. 4.13

4.3.2 Frontala planului

4.3.2 Frontala planului

Este o dreaptă conĠinută într-un plan oarecare [P] úi paralelă cu

Este o dreaptă conĠinută într-un plan oarecare [P] úi paralelă cu

planul vertical de proiecĠie [V]. ProiecĠia orizontală este paralelă cu axa Ox

planul vertical de proiecĠie [V]. ProiecĠia orizontală este paralelă cu axa Ox

38

38

úi se sprijină pe urma orizontală PPx, iar proiecĠia verticală a dreptei este

úi se sprijină pe urma orizontală PPx, iar proiecĠia verticală a dreptei este

paralelă cu urma verticală a planului P’Px. Toate frontalele unui plan sunt

paralelă cu urma verticală a planului P’Px. Toate frontalele unui plan sunt

paralele între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele.

paralele între ele, deci au proiecĠiile de acelaúi nume paralele între ele.

Desenul úi epura sunt prezentate în Fig. 4.14.

Desenul úi epura sunt prezentate în Fig. 4.14. z

z

Pv

Pv

Pw a''

d'

d'

Px

d''

0

x

a

Pw a''

Px x

Py1

d

d''

0 a

Ph

Py1

d Ph

Py

Py

y

y

Fig. 4.14

Fig. 4.14

4.3.3 Dreapta de profil a unui plan

4.3.3 Dreapta de profil a unui plan

Este o dreaptă a planului [P] úi paralelă cu planul lateral de proiecĠie

Este o dreaptă a planului [P] úi paralelă cu planul lateral de proiecĠie

[W]. ProiecĠia laterală este paralelă cu urma laterală a planului. Celelalte

[W]. ProiecĠia laterală este paralelă cu urma laterală a planului. Celelalte

două proiecĠii (orizontală úi verticală) sunt paralele cu axele secundare de

două proiecĠii (orizontală úi verticală) sunt paralele cu axele secundare de

proiecĠie Oz úi Oy, Fig. 4.15.

proiecĠie Oz úi Oy, Fig. 4.15. z

Pv n'

m'=n

x

Pw n''

n'

d''

d' Px

m''

0

Py1

d

Ph

Pv

d''

d' Px

z

Pw n''

m'=n

x

Py1

d

Ph

m

m''

0

m Py

Py

y

y

Fig. 4.15

Fig. 4.15

4.3.4 Dreapta de cea mai mare pantă

4.3.4 Dreapta de cea mai mare pantă

Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate orizontalele

Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate orizontalele

acestuia, deci úi pe urma lui orizontală. ProiecĠia ei orizontală vh este

acestuia, deci úi pe urma lui orizontală. ProiecĠia ei orizontală vh este

39

39

perpendiculară pe urma orizontală a planului , iar proiecĠia verticală v’h’

perpendiculară pe urma orizontală a planului , iar proiecĠia verticală v’h’

apare ca în desen, Fig. 4.16. Fiind dată o dreaptă de cea mai mare pantă a

apare ca în desen, Fig. 4.16. Fiind dată o dreaptă de cea mai mare pantă a

unui plan, se pot determina urmele planului, conform epurei din Fig. 4.16.

unui plan, se pot determina urmele planului, conform epurei din Fig. 4.16.

Pz v' v''

z

Pz v' v''

Pw

Pv x

Px

Pw

Pv h' v

o

90

Ph

z

h'' 0

x

Px

h' v

o

90

Py1

Ph

h

h'' 0

Py1

h

Py

Py

y

y

Fig. 4.16

Fig. 4.16

4.3.5 Dreapte de cea mai mare înclinaĠie

4.3.5 Dreapte de cea mai mare înclinaĠie

Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate frontalele

Este o dreaptă a planului [P], perpendiculară pe toate frontalele

planului, deci úi pe urma lui verticală. Ca urmare, proiecĠia verticală, v’h’,

planului, deci úi pe urma lui verticală. Ca urmare, proiecĠia verticală, v’h’,

a dreptei de cea mai mare înclinaĠie, este perpendiculară pe urma verticală,

a dreptei de cea mai mare înclinaĠie, este perpendiculară pe urma verticală,

P’Px a planului, iar proiecĠia orizontală apare aúa cum iese din Fig. 4.17.

P’Px a planului, iar proiecĠia orizontală apare aúa cum iese din Fig. 4.17.

z

v'

v'

o

Px

v h' Ph

Pw

o

90 x

a

Pv

Pw

Fro nt al

Fro nt al

Pv

z

Pz

a

Pz

h'' 0

90

Py1

x

Px

v h' Ph

h Py y

h'' 0

Py1

h Py y

Fig. 4.17

Fig. 4.17

4.4 PoziĠiile relative a două plane

4.4 PoziĠiile relative a două plane

4.4.1 Plane concurente

4.4.1 Plane concurente

Pentru a arăta că două plane sunt concurente trebuie aflată dreapta

Pentru a arăta că două plane sunt concurente trebuie aflată dreapta

de intersecĠie a acestora pentru care este suficient să se găsească două

de intersecĠie a acestora pentru care este suficient să se găsească două

40

40

puncte care să aparĠină celor două plane. Atunci când planele sunt date

puncte care să aparĠină celor două plane. Atunci când planele sunt date

prin urme úi urmele de acelaúi nume se intersectează în cadrul desenului,

prin urme úi urmele de acelaúi nume se intersectează în cadrul desenului,

intersecĠia urmelor de acelaúi nume reprezintă chiar urmele dreptei de

intersecĠia urmelor de acelaúi nume reprezintă chiar urmele dreptei de

intersecĠie a planului, Fig. 4.18.

intersecĠie a planului, Fig. 4.18.

Fig. 4.18

Fig. 4.18

4.4.2 Plane paralele

4.4.2 Plane paralele

Pentru a arăta că cele două plane sunt paralele, trebuie verificat dacă

Pentru a arăta că cele două plane sunt paralele, trebuie verificat dacă

unul dintre plane are două drepte paralele cu două drepte din celălalt plan.

unul dintre plane are două drepte paralele cu două drepte din celălalt plan.

Dacă se consideră două plane paralele, cu orice plan ar fi tăiate acestea,

Dacă se consideră două plane paralele, cu orice plan ar fi tăiate acestea,

dreptele de intersecĠie rezultate sunt tot paralele. În caz particular, tăiate cu

dreptele de intersecĠie rezultate sunt tot paralele. În caz particular, tăiate cu

plane de proiecĠie, urmele lor de acelaúi nume sunt paralele úi viceversa.

plane de proiecĠie, urmele lor de acelaúi nume sunt paralele úi viceversa.

Dacă urmele de acelaúi nume a două plane sunt paralele, atunci úi planele

Dacă urmele de acelaúi nume a două plane sunt paralele, atunci úi planele

sunt paralele, Fig. 4.19.

sunt paralele, Fig. 4.19.

Fig. 4.19

Fig. 4.19

41

41

5. INTERSECğIA DE PLANE ùI PLĂCI

5. INTERSECğIA DE PLANE ùI PLĂCI

5.1 Vizibilitate

5.1 Vizibilitate

În aplicaĠiile prezentate se consideră punctul, dreapta úi planul ca

În aplicaĠiile prezentate se consideră punctul, dreapta úi planul ca

fiind opace; se pune problema stabilirii în epură a elementelor vizibile úi a

fiind opace; se pune problema stabilirii în epură a elementelor vizibile úi a

celor invizibile, în cazul în care proiecĠiile lor se suprapun.

celor invizibile, în cazul în care proiecĠiile lor se suprapun.

FaĠă de planul de proiecĠie [H], dintre două puncte este întotdeauna

FaĠă de planul de proiecĠie [H], dintre două puncte este întotdeauna

vizibil cel care are cota mai mare (Fig. 5.1 a). FaĠă de planul de proiecĠie

vizibil cel care are cota mai mare (Fig. 5.1 a). FaĠă de planul de proiecĠie

[V], dintre două puncte este întotdeauna vizibil cel care are depărtarea mai

[V], dintre două puncte este întotdeauna vizibil cel care are depărtarea mai

mare (Fig. 5.1 b). FaĠă de planul de proiecĠie [W], dintre două puncte este

mare (Fig. 5.1 b). FaĠă de planul de proiecĠie [W], dintre două puncte este

întotdeauna vizibil cel care are abscisa mai mare (Fig. 5.1 c).

întotdeauna vizibil cel care are abscisa mai mare (Fig. 5.1 c).

Fig. 5.1

Fig. 5.1

5.2 IntersecĠia figurilor plane

5.2 IntersecĠia figurilor plane

În cazul intersecĠiei a două figuri plane, pentru determinarea liniei

În cazul intersecĠiei a două figuri plane, pentru determinarea liniei

lor de intersecĠie se pot utiliza două soluĠii: - se consideră cele două figuri ca două plane ale căror urme nu se întâlnesc în cadrul epurei;

lor de intersecĠie se pot utiliza două soluĠii: - se consideră cele două figuri ca două plane ale căror urme nu se întâlnesc în cadrul epurei;

42

42

- se consideră laturile unei figuri (plăci) ca niúte drepte ce

- se consideră laturile unei figuri (plăci) ca niúte drepte ce

intersectează cealaltă placă.

intersectează cealaltă placă.

5.2.1 IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară

5.2.1 IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară

Se consideră placa triunghiulară ABC dată prin proiecĠia vârfurilor

Se consideră placa triunghiulară ABC dată prin proiecĠia vârfurilor

sale: A(a, a'), B(b, b') úi C(c, c'), precum úi dreapta RS (rs, r's') ce o

sale: A(a, a'), B(b, b') úi C(c, c'), precum úi dreapta RS (rs, r's') ce o

intersectează. Pentru determinarea punctului unde dreapta RS intersectează

intersectează. Pentru determinarea punctului unde dreapta RS intersectează

placa ABC se va duce prin dreaptă un plan auxiliar, adică un plan

placa ABC se va duce prin dreaptă un plan auxiliar, adică un plan

proiectant (vertical [Q] sau de capăt). Astfel [Q] Ł rs úi Qv A Qx în Qx.

proiectant (vertical [Q] sau de capăt). Astfel [Q] Ł rs úi Qv A Qx în Qx.

Planul vertical Q intersectează placa ABC după dreapta definită de

Planul vertical Q intersectează placa ABC după dreapta definită de

punctele (k,k’)  AC úi (l,l’)  CB. Punctul T(t,t’) unde dreapta (kl, k’l’)

punctele (k,k’)  AC úi (l,l’)  CB. Punctul T(t,t’) unde dreapta (kl, k’l’)

intersectează dreapta RS reprezintă punctul de intersecĠie căutat. S-a

intersectează dreapta RS reprezintă punctul de intersecĠie căutat. S-a

determinat în primul rînd proiecĠia verticală (t’) a acestui punct úi apoi prin

determinat în primul rînd proiecĠia verticală (t’) a acestui punct úi apoi prin

linie de ordine corespunzătoare úi proiecĠia sa orizontală t  RS Ł QH.

linie de ordine corespunzătoare úi proiecĠia sa orizontală t  RS Ł QH.

r' r' b'

m' a' t'

x

n'

s'

c' a r

m

a' t'

r

t n

l

c

s'

c' a

l'

n'

k'

s'

c'

c

s

x

t'

b t

s

a

b

m1 k

b'

m'

b t

k'

a'

r' s'

a

b'

m'

t' c'

l'

r'

b'

m' a'

r

m

r

s

c

b t n

m1 k

l

s

c

Fig. 5.2

Fig. 5.2

5.2.2 IntersecĠia a două plane definite de urmele lor

5.2.2 IntersecĠia a două plane definite de urmele lor

IntersecĠia a două plane este o dreaptă. Este suficient să cunoaútem

IntersecĠia a două plane este o dreaptă. Este suficient să cunoaútem

două puncte ale dreptei sau punctele de intersecĠie A úi B ale celor două

două puncte ale dreptei sau punctele de intersecĠie A úi B ale celor două

urme de acelaúi nume aparĠinând fiecărui plan.

urme de acelaúi nume aparĠinând fiecărui plan.

43

43

În epură proiectăm pe Ox pe a’ în a úi pe b în b’; rezultă că ab úi a’b’ sunt proiecĠiile intersecĠiei a două plane, Fig. 5.3.

În epură proiectăm pe Ox pe a’ în a úi pe b în b’; rezultă că ab úi a’b’ sunt proiecĠiile intersecĠiei a două plane, Fig. 5.3.

Fig. 5.3

Fig. 5.3

5.3 IntersecĠia a două plăci

5.3 IntersecĠia a două plăci

IntersecĠia a două plăci prezintă două variante: PĂTRUNDEREA úi

IntersecĠia a două plăci prezintă două variante: PĂTRUNDEREA úi

SMULGEREA.

SMULGEREA.

5.3.1 Patrunderea – se întâlneúte atunci când o placă intră complet în cealaltă.

5.3.1 Patrunderea – se întâlneúte atunci când o placă intră complet în cealaltă.

Avem o placă triunghiulară ABC úi o placă patrulateră DEFG,

Avem o placă triunghiulară ABC úi o placă patrulateră DEFG,

ambele date prin proiecĠiile vârfurilor. Se cere să se stabilească proiecĠiile

ambele date prin proiecĠiile vârfurilor. Se cere să se stabilească proiecĠiile

liniei de intersecĠie dintre aceste două plăci úi să se determine vizibilitatea.

liniei de intersecĠie dintre aceste două plăci úi să se determine vizibilitatea.

Se consideră laturile unei plăci ca niúte drepte ce intersectează

Se consideră laturile unei plăci ca niúte drepte ce intersectează

cealaltă placă úi, prin urmare, se va aplica metoda generală de determinare

cealaltă placă úi, prin urmare, se va aplica metoda generală de determinare

a punctului unde o dreaptă intersectează un plan. S-a dus prin latura AB

a punctului unde o dreaptă intersectează un plan. S-a dus prin latura AB

(ab, acbc) un plan proiectant (planul de capăt) >P@, care a determinat

(ab, acbc) un plan proiectant (planul de capăt) >P@, care a determinat

punctul (D, Dc ), iar planul de capăt >R@ dus prin latura AC, va determina

punctul (D, Dc ), iar planul de capăt >R@ dus prin latura AC, va determina

punctul ( E, Ec ). Unindu-se proiecĠiile de acelaúi nume ale acestor două

punctul ( E, Ec ). Unindu-se proiecĠiile de acelaúi nume ale acestor două

puncte astfel determinate, se vor obĠine cele două proiecĠii ale dreptei de

puncte astfel determinate, se vor obĠine cele două proiecĠii ale dreptei de

intersecĠie, Fig.5.4.

intersecĠie, Fig.5.4.

44

44

Fig. 5.4 5.3.2 Smulgerea (ruperea) – se întâlneúte atunci când o placă pătrunde parĠial în cealaltă placă.

Fig. 5.4 5.3.2 Smulgerea (ruperea) – se întâlneúte atunci când o placă pătrunde parĠial în cealaltă placă.

Se consideră plăcile triunghiulare ABC úi DEF date prin proiecĠiile

Se consideră plăcile triunghiulare ABC úi DEF date prin proiecĠiile

vârfurilor. Se utilizează planele proiectante (de capăt) >P@ úi >R@ duse prin

vârfurilor. Se utilizează planele proiectante (de capăt) >P@ úi >R@ duse prin

laturile DF úi DE ale plăcii DEF. Din Fig. 5.5 se poate observa că placa

laturile DF úi DE ale plăcii DEF. Din Fig. 5.5 se poate observa că placa

DEF pătrunde parĠial în placa ABC.

DEF pătrunde parĠial în placa ABC.

45

45

Fig. 5.5

Fig. 5.5

5.3.3 IntersecĠia a două plăci triunghiulare

5.3.3 IntersecĠia a două plăci triunghiulare

Deoarece două plane se intersectează după o dreaptă, linia de

Deoarece două plane se intersectează după o dreaptă, linia de

intersecĠie a două poligoane convexe limitate este un segment de dreaptă.

intersecĠie a două poligoane convexe limitate este un segment de dreaptă.

Pentru aflarea acestui segment, este suficient să se găsească cele două

Pentru aflarea acestui segment, este suficient să se găsească cele două

capete ale sale, adică două puncte, fiecare dintre ele fiind punctul de

capete ale sale, adică două puncte, fiecare dintre ele fiind punctul de

intersecĠie al conturului unei figuri cu planul celeilalte figuri.

intersecĠie al conturului unei figuri cu planul celeilalte figuri.

În problema intersecĠiei a două plăci triunghiulare, putem deosebi trei cazuri principale:

În problema intersecĠiei a două plăci triunghiulare, putem deosebi trei cazuri principale:

46

46

a) două laturi ale unei plăci intersectează cea de-a doua placă, Fig.5.6a;

a) două laturi ale unei plăci intersectează cea de-a doua placă, Fig.5.6a;

b) o latură a primei plăci intersectează cea de-a doua placă úi o latură a

b) o latură a primei plăci intersectează cea de-a doua placă úi o latură a

celei de-a doua plăci intersectează prima placă, Fig. 5.6 b;

celei de-a doua plăci intersectează prima placă, Fig. 5.6 b;

c) nici o latură a unei plăci nu intersectează cealaltă placă, Fig. 5.6 c.

c) nici o latură a unei plăci nu intersectează cealaltă placă, Fig. 5.6 c.

Fig. 5.6

Fig. 5.6

În afara acestor cazuri principale, pot exista úi următoarele cazuri speciale:

În afara acestor cazuri principale, pot exista úi următoarele cazuri speciale:

a) vărful unei plăci se află în planul celei de-a doua plăci, Fig. 5.7 a;

a) vărful unei plăci se află în planul celei de-a doua plăci, Fig. 5.7 a;

b) vârful unei plăci se află pe o latură a celei de-a doua plăci, Fig. 4.7b;

b) vârful unei plăci se află pe o latură a celei de-a doua plăci, Fig. 4.7b;

c) latura unei plăci intersectează latura celeilalte plăci, Fig. 4.7 c.

c) latura unei plăci intersectează latura celeilalte plăci, Fig. 4.7 c.

Fig. 5.7

Fig. 5.7

47

47

6. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

6. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

Prin metodele Geometriei Descriptive se realizează transformarea

Prin metodele Geometriei Descriptive se realizează transformarea

proiecĠiilor elementelor geometrice, din poziĠiile iniĠiale date, în alte poziĠii

proiecĠiilor elementelor geometrice, din poziĠiile iniĠiale date, în alte poziĠii

mai avantajoase pentru rezolvarea unor probleme. Măsurarea unei distanĠe,

mai avantajoase pentru rezolvarea unor probleme. Măsurarea unei distanĠe,

suprafeĠe sau a unui unghi se poate face pe o proiecĠie în care elementul ce

suprafeĠe sau a unui unghi se poate face pe o proiecĠie în care elementul ce

trebuie măsurat se găseúte în adevărata mărime. Dacă acestea sunt

trebuie măsurat se găseúte în adevărata mărime. Dacă acestea sunt

proiectate deformat este necesară aflarea mărimii lor reale. În general este

proiectate deformat este necesară aflarea mărimii lor reale. În general este

necesară fie o modificare a sistemului de referinĠă (plan de proiecĠie) fie o

necesară fie o modificare a sistemului de referinĠă (plan de proiecĠie) fie o

modificare a poziĠiei din spaĠiu, a elementului geometric pentru a obĠine

modificare a poziĠiei din spaĠiu, a elementului geometric pentru a obĠine

adevărata lui mărime de proiecĠie.

adevărata lui mărime de proiecĠie.

Metodele geometriei descriptive de transformare a proiecĠiilor sunt:

Metodele geometriei descriptive de transformare a proiecĠiilor sunt:

metoda schimbării planelor de proiecĠie úi metoda rotaĠiei, cu un caz

metoda schimbării planelor de proiecĠie úi metoda rotaĠiei, cu un caz

particular al acesteia – rabaterea.

particular al acesteia – rabaterea.

6.1 Metoda schimbării de plan

6.1 Metoda schimbării de plan

6.1.1 GeneralităĠi

6.1.1 GeneralităĠi

Prin metoda schimbării de plan se aduce un plan de proiecĠie în

Prin metoda schimbării de plan se aduce un plan de proiecĠie în

poziĠie de paralelism sau perpendicularitate faĠă de elementul geometric

poziĠie de paralelism sau perpendicularitate faĠă de elementul geometric

studiat, păstrând totodată úi condiĠia de perpendicularitate faĠă de unul

studiat, păstrând totodată úi condiĠia de perpendicularitate faĠă de unul

dintre cele două plane de proiecĠie. Din tripletul imaginilor epurei, la

dintre cele două plane de proiecĠie. Din tripletul imaginilor epurei, la

schimbarea unui plan de proiecĠie rămâne neschimbată o singură proiecĠie.

schimbarea unui plan de proiecĠie rămâne neschimbată o singură proiecĠie.

6.1.2 Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie

6.1.2 Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie

Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >H@ , Fig. 6.1.

Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >H@ , Fig. 6.1.

Fie un punct M (m, m’); dacă se ia un nou plan de proiecĠie >H1@ A

Fie un punct M (m, m’); dacă se ia un nou plan de proiecĠie >H1@ A

>V@, se obĠine noua axă de proiecĠie (O1X1) Ÿ >H1@ ˆ >V@.

48

>V@, se obĠine noua axă de proiecĠie (O1X1) Ÿ >H1@ ˆ >V@.

48

Linia de ordine dusă din M, perpendiculară pe >H1@, determină noua

Linia de ordine dusă din M, perpendiculară pe >H1@, determină noua

proiecĠie orizontală a punctului, m1, depărtarea y rămânând aceeaúi ca

proiecĠie orizontală a punctului, m1, depărtarea y rămânând aceeaúi ca

valoare. În epură, faĠă de noua axă de proiecĠie O1x1, se determină noua

valoare. În epură, faĠă de noua axă de proiecĠie O1x1, se determină noua

proiecĠie orizontală m1, la aceeaúi depărtare y, pe linia de ordine dusă din

proiecĠie orizontală m1, la aceeaúi depărtare y, pe linia de ordine dusă din

m’1 { m’.

m’1 { m’.

În schimbarea de plan orizontal de proiecĠie pentru un punct,

În schimbarea de plan orizontal de proiecĠie pentru un punct,

proiecĠia verticală úi depărtarea sunt elemente invariabile, proiecĠia

proiecĠia verticală úi depărtarea sunt elemente invariabile, proiecĠia

orizontală úi cota sunt elemente variabile.

orizontală úi cota sunt elemente variabile.

Fig. 6.1

Fig. 6.1

Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >H@ , Fig. 6.2.

Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >H@ , Fig. 6.2.

Se efectuează prin transformarea proiecĠiilor a două puncte

Se efectuează prin transformarea proiecĠiilor a două puncte

conĠinute de dreaptă. Dreapta D(d, d’), în noul reper >H1, V@, devine

conĠinute de dreaptă. Dreapta D(d, d’), în noul reper >H1, V@, devine

D1(d1,d1’) păstrându-se neschimbată proiecĠia verticală d1’ { d’. se face

D1(d1,d1’) păstrându-se neschimbată proiecĠia verticală d1’ { d’. se face

schimbarea

de

>H@

pentru două puncte conĠinute de dreaptă,

A(a, a’) š B(b, b’)  D(d, d’), care îúi păstrează depărtarea în noul reper. Noua proiecĠie orizontală a dreptei se determină unind punctele a1 úi b1; d1  a1 š b1

49

schimbarea

de

>H@

pentru două puncte conĠinute de dreaptă,

A(a, a’) š B(b, b’)  D(d, d’), care îúi păstrează depărtarea în noul reper. Noua proiecĠie orizontală a dreptei se determină unind punctele a1 úi b1; d1  a1 š b1

49

Fig. 6.2

Fig. 6.2

Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >H@ , Fig. 6.3.

Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >H@ , Fig. 6.3.

Are ca elemente invariabile urma verticală p’V { p’V1 úi depărtarea

Are ca elemente invariabile urma verticală p’V { p’V1 úi depărtarea

unui punct I, conĠinut în planele >P@, >H@ úi >H1@; i { i1; i’ { i’1. Se schimbă

unui punct I, conĠinut în planele >P@, >H@ úi >H1@; i { i1; i’ { i’1. Se schimbă

urma orizontală a planului, PH în PH1. În epură , I (i, i’) Ÿ Ox ˆ O1x1;

urma orizontală a planului, PH în PH1. În epură , I (i, i’) Ÿ Ox ˆ O1x1;

px1 Ÿ Ox1 ˆ p’v { p’v1. Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1,

px1 Ÿ Ox1 ˆ p’v { p’v1. Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1,

pe care se determină i, menĠinând aceeaúi depărtare. Se trasează

pe care se determină i, menĠinând aceeaúi depărtare. Se trasează

pH1  i1 š px1. În noul reper >H1, V@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, pV1).

pH1  i1 š px1. În noul reper >H1, V@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, pV1).

Fig. 6.3 6.1.3 Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie

Fig. 6.3 6.1.3 Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie

Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >V@ , Fig. 6.4.

Transformarea proiecĠiilor unui punct prin schimbare de >V@ , Fig. 6.4.

Punctul M (m, m’) din reperul [H, V] devine un nou reper [H, V1],

Punctul M (m, m’) din reperul [H, V] devine un nou reper [H, V1],

M1 (m1, m1’); m { m1; m’ devine m1’, păstrându-úi neschimbată cota z.

50

M1 (m1, m1’); m { m1; m’ devine m1’, păstrându-úi neschimbată cota z.

50

În schimbarea de plan vertical de proiecĠie pentru un punct, proiecĠia

În schimbarea de plan vertical de proiecĠie pentru un punct, proiecĠia

orizontală úi cota sunt elemente invariabile, proiecĠia verticală úi depărtarea

orizontală úi cota sunt elemente invariabile, proiecĠia verticală úi depărtarea

sunt elemente variabile.

sunt elemente variabile.

Fig. 6.4

Fig. 6.4

Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >V@ , Fig. 6.5.

Transformarea proiecĠiilor unei drepte prin schimbare de >V@ , Fig. 6.5.

Dreapta D (d, d’), din reperul >H, V@, devine D1 (d1, d1’), d1 { d, în

Dreapta D (d, d’), din reperul >H, V@, devine D1 (d1, d1’), d1 { d, în

noul reper >H, V1@. Pentru determinarea d1’ se face schimbarea de >V@

noul reper >H, V1@. Pentru determinarea d1’ se face schimbarea de >V@

pentru punctele A (a, a’) š B (b, b’)  (D); d1’  a1’ š b1’.

pentru punctele A (a, a’) š B (b, b’)  (D); d1’  a1’ š b1’.

Fig. 6.5 Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >V@ , Fig. 6.6.

Fig. 6.5 Transformarea proiecĠiilor unui plan >P@ prin schimbare de >V@ , Fig. 6.6.

Are ca elemente invariabile urma orizontală PH { PH1 úi cota unui

Are ca elemente invariabile urma orizontală PH { PH1 úi cota unui

punct I conĠinut de >P@, >V@ úi >V1@ ; i { i1. Se schimbă urma verticală a

punct I conĠinut de >P@, >V@ úi >V1@ ; i { i1. Se schimbă urma verticală a

planului, p’V în p’V1. În epură, I (i, i’) Ÿ OxˆO1x1; px1 ŸOx1ˆP’H { P’H1.

planului, p’V în p’V1. În epură, I (i, i’) Ÿ OxˆO1x1; px1 ŸOx1ˆP’H { P’H1.

51

51

Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1, pe care se

Se duce o perpendiculară în i’ pe noua axă O1x1, pe care se

determină i, menĠinând aceeaúi cotă. Se trasează p’V1 Š px1 š i1. În noul

determină i, menĠinând aceeaúi cotă. Se trasează p’V1 Š px1 š i1. În noul

reper >H, V1@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, p’V1).

reper >H, V1@, planul >P@ devine >P1@ (pH1, p’V1).

Fig. 6.6

Fig. 6.6

6.2 Metoda rotaĠiei

6.2 Metoda rotaĠiei

6.2.1 GeneralităĠi

6.2.1 GeneralităĠi

În metoda rotaĠiei planele de proiecĠie [H] úi [V] rămân

În metoda rotaĠiei planele de proiecĠie [H] úi [V] rămân

nemodificate, iar elementul geometric din spaĠiu îúi modifică poziĠia (prin

nemodificate, iar elementul geometric din spaĠiu îúi modifică poziĠia (prin

rotire) până când ocupă o poziĠie particulară faĠă de planele de proiecĠie, în

rotire) până când ocupă o poziĠie particulară faĠă de planele de proiecĠie, în

general o poziĠie paralelă.

general o poziĠie paralelă.

RotaĠia elementelor geometrice se face în jurul unei axe de rotaĠie,

RotaĠia elementelor geometrice se face în jurul unei axe de rotaĠie,

care este o dreaptă perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie. În cazul

care este o dreaptă perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie. În cazul

în care axa de rotaĠie este o dreaptă oarecare, aceasta se duce, prin

în care axa de rotaĠie este o dreaptă oarecare, aceasta se duce, prin

schimbare de plan, să fie perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie.

schimbare de plan, să fie perpendiculară pe unul din planele de proiecĠie.

Punctele se rotesc în plane perpendiculare pe axa de rotaĠie. Dacă

Punctele se rotesc în plane perpendiculare pe axa de rotaĠie. Dacă

axa de rotaĠie este o dreaptă verticală, deci perpendiculară pe [H], punctele

axa de rotaĠie este o dreaptă verticală, deci perpendiculară pe [H], punctele

se rotesc în plane de nivel úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de nivel.

se rotesc în plane de nivel úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de nivel.

Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă de capăt, deci perpendiculară pe

Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă de capăt, deci perpendiculară pe

[V], punctele se rotesc în plane frontale úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de

[V], punctele se rotesc în plane frontale úi rotaĠia se numeúte: rotaĠie de

front. Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă fronto-orizontală, deci

front. Dacă axa de rotaĠie este o dreaptă fronto-orizontală, deci

52

52

perpendiculară pe [W], punctele se rotesc în plane de profil úi rotaĠia se

perpendiculară pe [W], punctele se rotesc în plane de profil úi rotaĠia se

numeúte: rotaĠie de profil.

numeúte: rotaĠie de profil.

Fiecare punct în rotire se deplasează pe un cerc (Fig. 6.7) cu centrul

Fiecare punct în rotire se deplasează pe un cerc (Fig. 6.7) cu centrul

în punctul de intersecĠie dintre axa de rotaĠie úi planul în care se roteúte; s-a

în punctul de intersecĠie dintre axa de rotaĠie úi planul în care se roteúte; s-a

convenit ca să se noteze centrul de rotaĠie cu : (Z, Zc). Raza R a cercului

convenit ca să se noteze centrul de rotaĠie cu : (Z, Zc). Raza R a cercului

este distanĠa de la axa de rotaĠie la punctul rotit. Rotirea punctului se face

este distanĠa de la axa de rotaĠie la punctul rotit. Rotirea punctului se face

într-un sens convenabil ales úi de un unghi D dat.

într-un sens convenabil ales úi de un unghi D dat.

6.2.2 RotaĠia de nivel

6.2.2 RotaĠia de nivel

În rotaĠia de nivel, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [H], iar

În rotaĠia de nivel, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [H], iar

planul [N] în care se roteúte fiecare punct este plan de nivel. În consecinĠă,

planul [N] în care se roteúte fiecare punct este plan de nivel. În consecinĠă,

pentru orice poziĠie a punctului A, giratorie în jurul axei Z (z, z’), cota

pentru orice poziĠie a punctului A, giratorie în jurul axei Z (z, z’), cota

punctului rămânea ceeaúi, deci: z = constant.

punctului rămânea ceeaúi, deci: z = constant.

RotaĠia de nivel pentru un punct

RotaĠia de nivel pentru un punct

Fie un punct A (a, a’), dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un

Fie un punct A (a, a’), dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un

unghi D. În Fig. 6.7 este reprezentată în spaĠiu úi în epură rotaĠia punctului

unghi D. În Fig. 6.7 este reprezentată în spaĠiu úi în epură rotaĠia punctului

A (a, a’), axa de rotaĠie fiind dreapta Z A [H] (dreaptă verticală). Planul în

A (a, a’), axa de rotaĠie fiind dreapta Z A [H] (dreaptă verticală). Planul în

care se face rotaĠia este [N] A [Z], având cota egală cu cota punctului A.

care se face rotaĠia este [N] A [Z], având cota egală cu cota punctului A.

Fig. 6.7

Fig. 6.7

53

53

Raza de rotaĠie R este distanĠa de la A (a, a’) la Z (z, z’), R = :A. Unghiul de rotaĠie D este măsurat în sens trigonometric. RotaĠia de nivel pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate în Fig.6.8 úi Fig.6.9.

Raza de rotaĠie R este distanĠa de la A (a, a’) la Z (z, z’), R = :A. Unghiul de rotaĠie D este măsurat în sens trigonometric. RotaĠia de nivel pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate în Fig.6.8 úi Fig.6.9.

Fig. 6.8 54

Fig. 6.8 54

Fig. 6.9

Fig. 6.9

6.2.3 RotaĠia de front

6.2.3 RotaĠia de front

În rotaĠia de front, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [V].

În rotaĠia de front, axa Z (z, z’) este perpendiculară pe planul [V].

Planul în care se roteúte fiecare punct este perpendicular pe axa de rotaĠie,

Planul în care se roteúte fiecare punct este perpendicular pe axa de rotaĠie,

deci, plan de front. Pentru oricare dintre poziĠiile ocupate de un punct în

deci, plan de front. Pentru oricare dintre poziĠiile ocupate de un punct în

rotirea lui în jurul axei, depărtarea rămâne aceeaúi, deci z = constant.

rotirea lui în jurul axei, depărtarea rămâne aceeaúi, deci z = constant.

RotaĠia de front pentru un punct

RotaĠia de front pentru un punct

Fie un punct A (a, a’) dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un unghi

Fie un punct A (a, a’) dat prin proiecĠii, care trebuie rotit de un unghi

D. În Fig. 6.10 este reprezentată în spaĠiu si în epură rotaĠia de front pentru

D. În Fig. 6.10 este reprezentată în spaĠiu si în epură rotaĠia de front pentru

punctul A (a, a’).

punctul A (a, a’).

Axa de rotaĠie Z (z, z’) A [V] este o dreaptă de capăt. Planul pe care

Axa de rotaĠie Z (z, z’) A [V] este o dreaptă de capăt. Planul pe care

se face rotaĠia este [F] A [Z], plan frontal.

se face rotaĠia este [F] A [Z], plan frontal.

Centrul de rotaĠie : (Z, Z’) = (Z) ˆ [F]. Raza de rotaĠie R este distanĠa de

Centrul de rotaĠie : (Z, Z’) = (Z) ˆ [F]. Raza de rotaĠie R este distanĠa de

la A (a, a’) la Z (z, z’), deci R = Z’ a’. Unghiul de rotaĠie D se măsoară în

la A (a, a’) la Z (z, z’), deci R = Z’ a’. Unghiul de rotaĠie D se măsoară în

sensul arătat în Fig. 6.10. Axa de rotaĠie Z (z, z’) intersectează planul [F] în

sensul arătat în Fig. 6.10. Axa de rotaĠie Z (z, z’) intersectează planul [F] în

punctul : (Z, Z’) care este úi centru de rotaĠie; proiecĠia Z’ { z’.

punctul : (Z, Z’) care este úi centru de rotaĠie; proiecĠia Z’ { z’.

Cercul situat în planul [F], pe care se deplasează punctul A (a, a’),

Cercul situat în planul [F], pe care se deplasează punctul A (a, a’),

se proiectează în mărime reală pe planul [V], deci unghiul a’Z’a1’ notat cu

se proiectează în mărime reală pe planul [V], deci unghiul a’Z’a1’ notat cu

D1, se măsoară în planul [V].

D1, se măsoară în planul [V].

55

55

Deoarece proiecĠia verticală a’ a punctului se deplasează pe cerc ( în

Deoarece proiecĠia verticală a’ a punctului se deplasează pe cerc ( în

a1’ ) úi proiecĠia orizontală a se deplasează pe urma orizontală fh (în a1).

a1’ ) úi proiecĠia orizontală a se deplasează pe urma orizontală fh (în a1).

Orice poziĠie ar ocupa punctul A în rotaĠie, proiecĠia lui orizontală se va

Orice poziĠie ar ocupa punctul A în rotaĠie, proiecĠia lui orizontală se va

deplasa pe urma orizontală fh, deci depărtarea y este invariabilă. Punctul

deplasa pe urma orizontală fh, deci depărtarea y este invariabilă. Punctul

A1(a1, a1’) este rotit punctului A (a, a’) în jurul axei de capăt Z (z, z’).

A1(a1, a1’) este rotit punctului A (a, a’) în jurul axei de capăt Z (z, z’).

Fig. 6.10 RotaĠia de front pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate în Fig.6.11 úi Fig. 6.12.

Fig. 6.10 RotaĠia de front pentru o dreaptă úi pentru un plan sunt prezentate în Fig.6.11 úi Fig. 6.12.

56

56

Fig. 6.11

Fig. 6.11

Fig. 6.12

Fig. 6.12

57

57

6.2.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei

6.2.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei

Se consideră placa triunghiulară ABC determinată prin proiecĠia

Se consideră placa triunghiulară ABC determinată prin proiecĠia

vârfurilor sale: A (a, a’), B (b, b’) úi C (c, c’). Se cere să se găsească, prin

vârfurilor sale: A (a, a’), B (b, b’) úi C (c, c’). Se cere să se găsească, prin

metoda rotaĠie, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.13.

metoda rotaĠie, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.13.

Pentru ca placa triunghiulară ABC (abc, a’b’c’) să se proiecteze în

Pentru ca placa triunghiulară ABC (abc, a’b’c’) să se proiecteze în

adevărata mărime a plăcii pe unul din planele de proiecĠie, trebuie ca

adevărata mărime a plăcii pe unul din planele de proiecĠie, trebuie ca

planul plăcii să devină paralel cu unul din planele de proiecĠie, adică să

planul plăcii să devină paralel cu unul din planele de proiecĠie, adică să

devină fie un plan de front, fie un plan de nivel.

devină fie un plan de front, fie un plan de nivel.

S-a dus planul plăcii triunghiulare ABC astfel încât acesta să fie

S-a dus planul plăcii triunghiulare ABC astfel încât acesta să fie

paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], adică să devină un plan de

paralel cu planul orizontal de proiecĠie [H], adică să devină un plan de

nivel. Pentru aceasta va trebui să se facă două rotaĠii.

nivel. Pentru aceasta va trebui să se facă două rotaĠii.

Fig. 6.13

Fig. 6.13

58

58

Prima rotaĠie. Se face o rotaĠie de nivel în jurul verticalei ' (G, G’), aducându-se planul triunghiului în poziĠia plan de capăt.

Prima rotaĠie. Se face o rotaĠie de nivel în jurul verticalei ' (G, G’), aducându-se planul triunghiului în poziĠia plan de capăt.

Pentru simplificarea construcĠiilor grafice, axul de rotaĠie (G, G’) a

Pentru simplificarea construcĠiilor grafice, axul de rotaĠie (G, G’) a

fost luat în aúa fel încât să treacă printr-unul din vârfurile plăcii, de

fost luat în aúa fel încât să treacă printr-unul din vârfurile plăcii, de

exemplu prin punctul A (a, a’) úi în acest caz, acest punct va rămâne

exemplu prin punctul A (a, a’) úi în acest caz, acest punct va rămâne

propriul său rotit.

propriul său rotit.

Deci:

a1 { a š a’1 { a’.

Deci:

a1 { a š a’1 { a’.

Apoi, se duce în planul plăcii o orizontală : (Z, Z’) care, tot pentru

Apoi, se duce în planul plăcii o orizontală : (Z, Z’) care, tot pentru

simplificarea construcĠiilor grafice, s-a luat să treacă printr-unul din

simplificarea construcĠiilor grafice, s-a luat să treacă printr-unul din

vârfurile plăcii, úi anume prin C (c, c’). Deci, Z  Ox úi va trece prin c’

vârfurile plăcii, úi anume prin C (c, c’). Deci, Z  Ox úi va trece prin c’

determinându-se astfel punctul 1’  ab, dar úi 1  ab.

determinându-se astfel punctul 1’  ab, dar úi 1  ab.

Se roteúte această orizontală în jurul verticalei ' (G, G’) până ce

Se roteúte această orizontală în jurul verticalei ' (G, G’) până ce

devine perpendiculară pe Ox, adică dreapta de capăt :1 (Z1, Z1’). RotaĠia

devine perpendiculară pe Ox, adică dreapta de capăt :1 (Z1, Z1’). RotaĠia

s-a făcut cu ajutorul perpendicularei comune Gm. Apoi, s-au determinat

s-a făcut cu ajutorul perpendicularei comune Gm. Apoi, s-au determinat

punctele (11, 11’), respectiv (c1, c1’). Se uneúte a1 { a cu c1 úi 11, rotindu-se

punctele (11, 11’), respectiv (c1, c1’). Se uneúte a1 { a cu c1 úi 11, rotindu-se

apoi proiecĠia orizontală b a punctului B, până ce ajunge în b1  a111.

apoi proiecĠia orizontală b a punctului B, până ce ajunge în b1  a111.

Unindu-se a1 cu b1 úi cu c1 se va obĠine proiecĠia orizontală a plăcii

Unindu-se a1 cu b1 úi cu c1 se va obĠine proiecĠia orizontală a plăcii

triunghiulare ABC după rotire. Imediat se determină úi proiecĠiile lui

triunghiulare ABC după rotire. Imediat se determină úi proiecĠiile lui

verticale a1’, b1’ úi c1’; observându-se că ele sunt coliniare, fiind duse pe

verticale a1’, b1’ úi c1’; observându-se că ele sunt coliniare, fiind duse pe

planul plăcii ABC ca să devină un plan de capăt (proiecĠia verticală a plăcii

planul plăcii ABC ca să devină un plan de capăt (proiecĠia verticală a plăcii

s-a redus la o dreaptă care se confundă cu urma verticală a planului de

s-a redus la o dreaptă care se confundă cu urma verticală a planului de

capăt care conĠine dreapta placa triunghiulară).

capăt care conĠine dreapta placa triunghiulară).

A doua rotaĠie. Se face în jurul axului de capăt Z (z, z’) – deci o

A doua rotaĠie. Se face în jurul axului de capăt Z (z, z’) – deci o

rotaĠie de front – dus tot prin punctul (a, a’) úi se va aduce în planul

rotaĠie de front – dus tot prin punctul (a, a’) úi se va aduce în planul

triunghiului, din poziĠia plan de capăt, să devină plan de nivel (urma

triunghiului, din poziĠia plan de capăt, să devină plan de nivel (urma

verticală să fie paralelă cu linia de pământ Ox úi să treacă prin a2’ { a1’ ).

verticală să fie paralelă cu linia de pământ Ox úi să treacă prin a2’ { a1’ ).

59

59

Se vor afla imediat proiecĠiile verticale ale punctelor A2, B2 úi C2:

Se vor afla imediat proiecĠiile verticale ale punctelor A2, B2 úi C2:

a2’’, b2’’ úi c2’’ (se determină ducând din a2’ { a1’ câte un arc de cerc de

a2’’, b2’’ úi c2’’ (se determină ducând din a2’ { a1’ câte un arc de cerc de

rază R = a1’b1’ ) după care, prin linii de ordine corespunzătoare se vor

rază R = a1’b1’ ) după care, prin linii de ordine corespunzătoare se vor

determina úi proiecĠiile lor orizontale: a2 { a1, iar b2 úi c2 la intersecĠia

determina úi proiecĠiile lor orizontale: a2 { a1, iar b2 úi c2 la intersecĠia

acestor linii de ordine cu paralelele duse la linia de pământ Ox prin b1 úi c1.

acestor linii de ordine cu paralelele duse la linia de pământ Ox prin b1 úi c1.

Unindu-se aceste puncte astfel determinate, a2 cu b2 úi cu c2, se va

Unindu-se aceste puncte astfel determinate, a2 cu b2 úi cu c2, se va

determina triunghiul a2b2c2 care reprezintă adevărata mărime a triunghiului

determina triunghiul a2b2c2 care reprezintă adevărata mărime a triunghiului

ABC din spaĠiu; deci, ' a2b2c2 { ' ABC.

ABC din spaĠiu; deci, ' a2b2c2 { ' ABC.

6.3. Metoda rabaterii

6.3. Metoda rabaterii

6.3.1 GeneralităĠi

6.3.1 GeneralităĠi

Rabaterea este un caz particular al rotaĠiei. Prin rabatere se înĠelege

Rabaterea este un caz particular al rotaĠiei. Prin rabatere se înĠelege

rotirea unui plan oarecare >P@ în jurul uneia din urmele sale, până când

rotirea unui plan oarecare >P@ în jurul uneia din urmele sale, până când

planul >P@ se suprapune unuia din planele de proiecĠie, Fig.6.14. Axa de

planul >P@ se suprapune unuia din planele de proiecĠie, Fig.6.14. Axa de

rabatere (rotaĠie) este urma planului >P@ pe planul de proiecĠie pe care se

rabatere (rotaĠie) este urma planului >P@ pe planul de proiecĠie pe care se

face rabaterea. Rabaterea planului >P@ se poate face úi pe un plan paralel cu

face rabaterea. Rabaterea planului >P@ se poate face úi pe un plan paralel cu

unul din planele de proiecĠie. În acest caz axa de rabatere este urma

unul din planele de proiecĠie. În acest caz axa de rabatere este urma

planului >P@ pe planul paralel cu planul de proiecĠie.

planului >P@ pe planul paralel cu planul de proiecĠie.

Fig. 6.14

Fig. 6.14

60

60

Deoarece urma planului >P@ a fost definită ca dreaptă de intersecĠie

Deoarece urma planului >P@ a fost definită ca dreaptă de intersecĠie

dintre planul >P@ úi planul de proiecĠie, atunci axa de rabatere poate fi

dintre planul >P@ úi planul de proiecĠie, atunci axa de rabatere poate fi

definită ca dreaptă de intersecĠie dintre planul care se rabate úi planul pe

definită ca dreaptă de intersecĠie dintre planul care se rabate úi planul pe

care se face rabaterea. Spre deosebire de rotaĠie, unde axa de rotaĠie se

care se face rabaterea. Spre deosebire de rotaĠie, unde axa de rotaĠie se

alege cât mai convenabil, în rabatere, axa de rabatere rezultă.

alege cât mai convenabil, în rabatere, axa de rabatere rezultă.

Toate elementele constructive utilizate în metoda rotaĠiei sunt

Toate elementele constructive utilizate în metoda rotaĠiei sunt

valabile úi la rabatere precum: axa de rabatere, centrul de rabatere, raza de

valabile úi la rabatere precum: axa de rabatere, centrul de rabatere, raza de

rabatere, unghiul de rabatere úi sensul de rabatere. Dacă un punct este

rabatere, unghiul de rabatere úi sensul de rabatere. Dacă un punct este

situat pe axa de rabatere, el este în acelaúi timp úi propriul său rabătut.

situat pe axa de rabatere, el este în acelaúi timp úi propriul său rabătut.

6.3.2 Rabaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie

6.3.2 Rabaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie

Se consideră planul oarecare >P@ limitat de planele de proiecĠie >H@

Se consideră planul oarecare >P@ limitat de planele de proiecĠie >H@

úi >V@ (Fig. 6.15) úi se cere să se rabată acest plan >P@ până când se aúterne

úi >V@ (Fig. 6.15) úi se cere să se rabată acest plan >P@ până când se aúterne

pe planul orizontal de proiecĠie >H@. Rabaterea se va face în jurul dreptei de

pe planul orizontal de proiecĠie >H@. Rabaterea se va face în jurul dreptei de

intersecĠie dintre planele > P@ úi > H@, după urma orizontală a planului

intersecĠie dintre planele > P@ úi > H@, după urma orizontală a planului

>P@ - PH.

>P@ - PH.

Fig. 6.15

Fig. 6.15

61

61

Urma orizontală PH a planului >P@, fiind aleasă drept axă de rabatere

Urma orizontală PH a planului >P@, fiind aleasă drept axă de rabatere

nu-úi va modifica poziĠia, în timp ce urma verticală PV se va roti în jurul lui

nu-úi va modifica poziĠia, în timp ce urma verticală PV se va roti în jurul lui

PH păstrând punctul Px (comun celor două urme) fix. Deci, mai este

PH păstrând punctul Px (comun celor două urme) fix. Deci, mai este

necesar un punct pentru a determina poziĠia rebătută a urmei verticale PV.

necesar un punct pentru a determina poziĠia rebătută a urmei verticale PV.

Pentru aceasta se va considera un punct oarecare M  PV, deci un punct

Pentru aceasta se va considera un punct oarecare M  PV, deci un punct

comun atât al planului >P@ cât úi planului vertical de proiecĠie >V@, care se

comun atât al planului >P@ cât úi planului vertical de proiecĠie >V@, care se

află pe dreapta lor de intersecĠie. ProiecĠia verticală a punctului se va

află pe dreapta lor de intersecĠie. ProiecĠia verticală a punctului se va

confunda cu însăúi punctul din spaĠiu (m’ { M), în timp ce proiecĠia

confunda cu însăúi punctul din spaĠiu (m’ { M), în timp ce proiecĠia

orizontală se va găsi pe linia de pământ Ox (m  Ox). Acest punct, în

orizontală se va găsi pe linia de pământ Ox (m  Ox). Acest punct, în

timpul rabaterii, se va roti într-un plan >Q@ A PH; rezultă că planul >Q@ va fi

timpul rabaterii, se va roti într-un plan >Q@ A PH; rezultă că planul >Q@ va fi

un plan vertical. Urmele acestui plan sunt: QH – trece prin m (proiecĠia

un plan vertical. Urmele acestui plan sunt: QH – trece prin m (proiecĠia

orizontală a punctului M ), este perpendiculară pe PH; QV – va trece prin m’

orizontală a punctului M ), este perpendiculară pe PH; QV – va trece prin m’

(proiecĠia verticală a punctului M ), este perpendiculară pe Ox. În timpul

(proiecĠia verticală a punctului M ), este perpendiculară pe Ox. În timpul

rabaterii, punctul M descrie în planul >Q@ un arc de cerc cu centrul în N –

rabaterii, punctul M descrie în planul >Q@ un arc de cerc cu centrul în N –

punctul de intersecĠie dintre QH úi PH úi de rază R = NM (ipotenuza

punctul de intersecĠie dintre QH úi PH úi de rază R = NM (ipotenuza

triunghiului dreptunghic NmM). Acest triunghi dreptunghic se poate

triunghiului dreptunghic NmM). Acest triunghi dreptunghic se poate

construi uúor în planul orizontal de proiecĠie >H@, deoarece i se cunosc

construi uúor în planul orizontal de proiecĠie >H@, deoarece i se cunosc

două catete: NM – distanĠa de la proiecĠia orizontală a punctului la axa de

două catete: NM – distanĠa de la proiecĠia orizontală a punctului la axa de

rabatere úi mM1 – cota punctului considerat. Prin unirea lui M1 cu N se

rabatere úi mM1 – cota punctului considerat. Prin unirea lui M1 cu N se

obĠine triunghiul dreptunghic NmM1 { NmM. Ipotenuza măsoară în

obĠine triunghiul dreptunghic NmM1 { NmM. Ipotenuza măsoară în

adevărata mărime raza de rabatere R = NM. Deci, cu centrul în N úi cu raza

adevărata mărime raza de rabatere R = NM. Deci, cu centrul în N úi cu raza

R = NM1 = NM, se descrie un arc de cerc ce va intersecta urma orizontală

R = NM1 = NM, se descrie un arc de cerc ce va intersecta urma orizontală

QH a planului >Q@ în MO (poziĠia rabătută a punctului M pe planul orizontal

QH a planului >Q@ în MO (poziĠia rabătută a punctului M pe planul orizontal

de proiecĠie >H@ ).

de proiecĠie >H@ ).

Unindu-se punctul MO astfel determinat cu PX (rămas fix) se va

Unindu-se punctul MO astfel determinat cu PX (rămas fix) se va

obĠine PVo (poziĠia rabătută a urmei verticale PV a planului >P@ pe planul

obĠine PVo (poziĠia rabătută a urmei verticale PV a planului >P@ pe planul

orizontal de proiecĠie >H@.

orizontal de proiecĠie >H@.

62

62

Triunghiul dreptunghic NmM1 (cu ajutorul căruia s-a determinat

Triunghiul dreptunghic NmM1 (cu ajutorul căruia s-a determinat

adevărata mărime a axei de rabatere) se numeúte triunghiul de poziĠie al

adevărata mărime a axei de rabatere) se numeúte triunghiul de poziĠie al

punctului M. Pe baza celor stabilite mai sus, se poate trece la determi-

punctului M. Pe baza celor stabilite mai sus, se poate trece la determi-

narea în epură a poziĠiei rabătute a planului >P@, aúa cum apare în Fig. 6.16.

narea în epură a poziĠiei rabătute a planului >P@, aúa cum apare în Fig. 6.16.

Fig. 6.16

Fig. 6.16

6.3.3 Rabaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie

6.3.3 Rabaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie

Prin analogie cu cele expuse la rabaterea planului >P@ pe planul

Prin analogie cu cele expuse la rabaterea planului >P@ pe planul

orizontal de proiecĠie >H@ (Subcap. 6.3.2) construcĠia rabaterii unui plan

orizontal de proiecĠie >H@ (Subcap. 6.3.2) construcĠia rabaterii unui plan

oarecare >P@ până ce se aúterne pe planul vertical de proiecĠie >V@, apare ca

oarecare >P@ până ce se aúterne pe planul vertical de proiecĠie >V@, apare ca

în epura din Fig. 6.17.

în epura din Fig. 6.17.

Fig. 6.17

Fig. 6.17

6.3.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii

6.3.4 Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii

Se consideră placa triunghiulară ABC determinată prin proiecĠia

Se consideră placa triunghiulară ABC determinată prin proiecĠia

vârfurilor sale: A (a, a’), B (b, b’) úi C (c, c’). Se cere să se găsească, prin

vârfurilor sale: A (a, a’), B (b, b’) úi C (c, c’). Se cere să se găsească, prin

metoda rabaterii, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.18.

metoda rabaterii, adevărata mărime a plăcii ABC, Fig. 6.18.

63

63

Adevărata mărime a acestui triunghi se poate obĠine rabatându-se

Adevărata mărime a acestui triunghi se poate obĠine rabatându-se

planul triunghiului ABC pe un plan paralel cu planul orizontal de proiecĠie

planul triunghiului ABC pe un plan paralel cu planul orizontal de proiecĠie

>H@ úi anume planul de nivel >N@, care se duce prin vârful A (a, a’) – pentru

>H@ úi anume planul de nivel >N@, care se duce prin vârful A (a, a’) – pentru

simplificarea construcĠiilor grafice.

simplificarea construcĠiilor grafice.

IntersecĠia dintre planul de nivel >N@ úi planul plăcii va fi dreapta de

IntersecĠia dintre planul de nivel >N@ úi planul plăcii va fi dreapta de

nivel : (Z, Z’), care se alege drept axă de rabatere. Se rabate punctul

nivel : (Z, Z’), care se alege drept axă de rabatere. Se rabate punctul

B (b, b’), cu ajutorul triunghiului de poziĠie ZbB1, determinându-se astfel

B (b, b’), cu ajutorul triunghiului de poziĠie ZbB1, determinându-se astfel

punctul B0, care, unit cu A0 { a úi cu m să determine punctul C0 la

punctul B0, care, unit cu A0 { a úi cu m să determine punctul C0 la

intersecĠia dreptei B0m cu perpendiculara dusă din c (proiecĠia orizontală a

intersecĠia dreptei B0m cu perpendiculara dusă din c (proiecĠia orizontală a

vârfului C pe axa de rabatere Z ).

vârfului C pe axa de rabatere Z ).

S-au determinat astfel punctele A0, B0, C0 – vârfurile triunghiului

S-au determinat astfel punctele A0, B0, C0 – vârfurile triunghiului

ABC rabătute pe planul de nivel >N@. Unindu-se cele trei puncte, se

ABC rabătute pe planul de nivel >N@. Unindu-se cele trei puncte, se

determină triunghiul A0B0C0 ce reprezintă adevărata mărime a triunghiului

determină triunghiul A0B0C0 ce reprezintă adevărata mărime a triunghiului

ABC din spaĠiu.

ABC din spaĠiu.

Fig. 6.18

64

Fig. 6.18

64

7. POLIEDRE

7. POLIEDRE

7.1 Reprezentare

7.1 Reprezentare

Poliedrele sunt corpuri mărginite numai de suprafeĠe plane. Aceste

Poliedrele sunt corpuri mărginite numai de suprafeĠe plane. Aceste

plane se numesc feĠele poliedrului; intersecĠia a două feĠe determină o

plane se numesc feĠele poliedrului; intersecĠia a două feĠe determină o

muchie, iar punctele de întâlnire ale muchiilor se numesc vârfuri.

muchie, iar punctele de întâlnire ale muchiilor se numesc vârfuri.

Din punct de vedere constructiv se cunosc poliedre cu o singură

Din punct de vedere constructiv se cunosc poliedre cu o singură

bază plană precum piramidele, Fig. 7.1.h,j ,úi cu două baze (de obicei

bază plană precum piramidele, Fig. 7.1.h,j ,úi cu două baze (de obicei

paralele între ele) precum prisma Fig. 7.1 a ... g , paralelipipedul

paralele între ele) precum prisma Fig. 7.1 a ... g , paralelipipedul

dreptunghic Fig. 7.1.c,d , trunchiul de piramidă Fig. 7.1.i,k.

dreptunghic Fig. 7.1.c,d , trunchiul de piramidă Fig. 7.1.i,k.

Din punct de vedere al formei poligonale a feĠelor se cunosc:

Din punct de vedere al formei poligonale a feĠelor se cunosc:

poliedre regulate Fig. 7.1.l,m,n,o,p, unde feĠele poliedrului sunt poligoane

poliedre regulate Fig. 7.1.l,m,n,o,p, unde feĠele poliedrului sunt poligoane

regulate úi poliedre neregulate, unde feĠele poliedrului sunt poligoane

regulate úi poliedre neregulate, unde feĠele poliedrului sunt poligoane

neregulate.

neregulate.

De asemenea se cunosc poliedre convexe sau concave după cum planele feĠelor intersectează sau nu poliedrul.

De asemenea se cunosc poliedre convexe sau concave după cum planele feĠelor intersectează sau nu poliedrul.

Poliedrele trunchiate sau retezate se obĠin prin înlăturarea dintr-un

Poliedrele trunchiate sau retezate se obĠin prin înlăturarea dintr-un

poliedru regulat a unor vârfuri în aúa fel încât să rezulte secĠiuni plane

poliedru regulat a unor vârfuri în aúa fel încât să rezulte secĠiuni plane

congruente; poliedrul rămas va fi tot un poliedru regulat sau semiregulat

congruente; poliedrul rămas va fi tot un poliedru regulat sau semiregulat

(arhimedic) după cum poliedrul retezat are toate feĠele congruente sau în

(arhimedic) după cum poliedrul retezat are toate feĠele congruente sau în

fiecare vârf se unesc poligoane regulate diferite, Fig. 7.1.r,s .

fiecare vârf se unesc poligoane regulate diferite, Fig. 7.1.r,s .

x POLIEDRE REGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane regulate,

x POLIEDRE REGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane regulate,

care pot fi inscriptibile úi circumscriptibile sferei;

care pot fi inscriptibile úi circumscriptibile sferei;

- TETRAEDRUL – poliedrul mărginit de patru feĠe, triunghiuri

- TETRAEDRUL – poliedrul mărginit de patru feĠe, triunghiuri

echilaterale, Fig. 7.1.l;

echilaterale, Fig. 7.1.l;

- HEXAEDRUL sau CUBUL – poliedrul mărginit de úase feĠe pătrate,

- HEXAEDRUL sau CUBUL – poliedrul mărginit de úase feĠe pătrate,

Fig.7.1.m;

Fig.7.1.m;

65

65

a.

f.

b.

c.

d.

g.

h.

j.

l.

e.

a.

i.

f.

k

m.

n.

66

b.

c.

d.

g.

h.

j.

o.

l.

e.

i.

k

m.

n.

66

o.

p.

r.

s.

p.

r.

s.

Fig. 7.1

Fig. 7.1

- OCTAEDRUL – poliedrul mărginit de opt feĠe triunghiuri echilaterale,

- OCTAEDRUL – poliedrul mărginit de opt feĠe triunghiuri echilaterale,

Fig. 7.1.n;

Fig. 7.1.n;

- ICOSAEDRUL – poliedrul mărginit de douăzeci de feĠe triunghiuri

- ICOSAEDRUL – poliedrul mărginit de douăzeci de feĠe triunghiuri

echilaterale, Fig. 7.1.o;

echilaterale, Fig. 7.1.o;

- DODECAEDRUL – poliedrul mărginit de douăsprezece feĠe pentagoane

- DODECAEDRUL – poliedrul mărginit de douăsprezece feĠe pentagoane

regulate, Fig. 7.1.p.

regulate, Fig. 7.1.p.

x POLIEDRE NEREGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane

x POLIEDRE NEREGULATE – feĠele poliedrului sunt poligoane

neregulate.

neregulate.

- PRISMA – este solidul mărginit de feĠe plane, dintre care două,

- PRISMA – este solidul mărginit de feĠe plane, dintre care două,

poligonale, egale úi paralele, formează bazele, iar celelalte, în formă de

poligonale, egale úi paralele, formează bazele, iar celelalte, în formă de

paralelograme, paralele cu o direcĠie dată, formează feĠele laterale.

paralelograme, paralele cu o direcĠie dată, formează feĠele laterale.

Dacă cele două baze nu sunt paralele, prisma este TRUNCHIATĂ.

Dacă cele două baze nu sunt paralele, prisma este TRUNCHIATĂ.

Dacă muchiile prismei sunt oblice faĠă de bază, prisma va fi

Dacă muchiile prismei sunt oblice faĠă de bază, prisma va fi

OBLICĂ Fig. 7.1.b,e, iar dacă muchiile sunt perpendiculare pe cele două

OBLICĂ Fig. 7.1.b,e, iar dacă muchiile sunt perpendiculare pe cele două

baze, prisma va fi DREAPTĂ Fig. 7.1 a,f,g. Prisma se denumeúte după

baze, prisma va fi DREAPTĂ Fig. 7.1 a,f,g. Prisma se denumeúte după

forma poligonului de bază (triunghiulară, patrulateră, pentagonală,

forma poligonului de bază (triunghiulară, patrulateră, pentagonală,

hexagonală, etc.).

hexagonală, etc.).

În Fig. 7.2.a se prezintă spaĠial úi în epură prisma neregulată úi

În Fig. 7.2.a se prezintă spaĠial úi în epură prisma neregulată úi

înclinată, aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.2.b se prezintă spaĠial úi

înclinată, aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.2.b se prezintă spaĠial úi

în epură un paralelipiped dreptunghic drept aúezat în acelaúi plan orizontal.

în epură un paralelipiped dreptunghic drept aúezat în acelaúi plan orizontal.

67

67

a

a

b

b

Fig. 7.2

Fig. 7.2

- PIRAMIDA – poliedru neregulat ale cărui muchii sunt

- PIRAMIDA – poliedru neregulat ale cărui muchii sunt

concurente într-un punct numit vârf úi limitate de o bază plană.

concurente într-un punct numit vârf úi limitate de o bază plană.

Piramida se denumeúte după poligonul de bază.

Piramida se denumeúte după poligonul de bază.

În Fig. 7.3.a se prezintă spaĠial úi în epură piramida

În Fig. 7.3.a se prezintă spaĠial úi în epură piramida

pentagonală aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.3.b, se prezintă

pentagonală aúezată în planul orizontal, iar în Fig. 7.3.b, se prezintă

spaĠial úi în epură piramida dreptunghiulară aúezată în planul

spaĠial úi în epură piramida dreptunghiulară aúezată în planul

orizontal.

orizontal.

68

68

Fig. 7.3.a

Fig. 7.3.a

Fig. 7.3.b

Fig. 7.3.b

- TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ – piramidă patrulateră aúezată în

- TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ – piramidă patrulateră aúezată în

planul orizontal úi secĠionată de un plan paralel cu baza. Fig. 7.4 –

planul orizontal úi secĠionată de un plan paralel cu baza. Fig. 7.4 –

reprezentare spaĠială úi în epură;

reprezentare spaĠială úi în epură;

Fig. 7.4

Fig. 7.4

69

69

În Fig. 7.5 se prezintă spaĠial úi în epură un icosaedru, iar în Fig. 7.6 un

În Fig. 7.5 se prezintă spaĠial úi în epură un icosaedru, iar în Fig. 7.6 un

dodecaedru.

dodecaedru.

Fig. 7.5

Fig. 7.6

Fig. 7.5

Fig. 7.6

7.2 SecĠiuni plane în poliedre

7.2 SecĠiuni plane în poliedre

SecĠiunea într-un poliedru este, de fapt, intersecĠia dintre un plan de

SecĠiunea într-un poliedru este, de fapt, intersecĠia dintre un plan de

secĠiune úi feĠele sau muchiile poliedrului. SuprafaĠa obĠinută prin unirea

secĠiune úi feĠele sau muchiile poliedrului. SuprafaĠa obĠinută prin unirea

punctelor de intersecĠie formează poligonul de intersecĠie.

punctelor de intersecĠie formează poligonul de intersecĠie.

70

70

7.2.1 IntersecĠia unui plan cu o prismă

7.2.1 IntersecĠia unui plan cu o prismă

Se consideră prisma dreaptă, MNRST, cu baza în planul orizontal de

Se consideră prisma dreaptă, MNRST, cu baza în planul orizontal de

proiecĠie úi un plan de capăt >P@, Fig. 7.7.a.

proiecĠie úi un plan de capăt >P@, Fig. 7.7.a.

Deoarece planul de capăt este perpendicular pe planul >V@,

Deoarece planul de capăt este perpendicular pe planul >V@,

proiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu uúurinĠă,

proiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu uúurinĠă,

ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile verticale ale

ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile verticale ale

muchiilor (Fig. 7.7.b); se vor nota cu a’, b’, c’, d’, e’. ProiecĠiile lor

muchiilor (Fig. 7.7.b); se vor nota cu a’, b’, c’, d’, e’. ProiecĠiile lor

orizontale se găsesc în vârfurile poligonului de bază, deoarece muchiile

orizontale se găsesc în vârfurile poligonului de bază, deoarece muchiile

prismei sunt perpendiculare pe >H@: a { m, b { n, c { r, d { s, e { t.

prismei sunt perpendiculare pe >H@: a { m, b { n, c { r, d { s, e { t.

Pentru determinarea adevăratei mărimi a poligonului de intersecĠie,

Pentru determinarea adevăratei mărimi a poligonului de intersecĠie,

se foloseúte metoda rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale

se foloseúte metoda rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale

până la suprapunerea lui pe planul >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

până la suprapunerea lui pe planul >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

rabaterii, proiecĠiile verticale a’, b’, c’, d’, e’ descriu arce de cerc cu

rabaterii, proiecĠiile verticale a’, b’, c’, d’, e’ descriu arce de cerc cu

centrul în PX, până intersectează axa Ox; în acelaúi timp, proiecĠiile

centrul în PX, până intersectează axa Ox; în acelaúi timp, proiecĠiile

orizontale execută o miúcare de translaĠie paralelă cu axa Ox. Punctele de

orizontale execută o miúcare de translaĠie paralelă cu axa Ox. Punctele de

întâlnire, A0, B0, C0, D0, E0, determină adevărata mărime a poligonului de

întâlnire, A0, B0, C0, D0, E0, determină adevărata mărime a poligonului de

intersecĠie.

intersecĠie.

a.

b.

71

a.

b.

71

c.

c.

d.

d.

Fig. 7.7

Fig. 7.7

În epura din Fig. 7.7.c este prezentată o prismă hexagonală regulată

În epura din Fig. 7.7.c este prezentată o prismă hexagonală regulată

situată în planul orizontal de proiecĠie >H@, care este secĠionată de un plan

situată în planul orizontal de proiecĠie >H@, care este secĠionată de un plan

de capăt >Q@.

de capăt >Q@.

ProiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu

ProiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu

uúurinĠă, ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile

uúurinĠă, ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile

verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, s’, p’, r’, q’. ProiecĠiile lor

verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, s’, p’, r’, q’. ProiecĠiile lor

orizontale se găsesc în vârfurile hexagonului de bază, deoarece muchiile

orizontale se găsesc în vârfurile hexagonului de bază, deoarece muchiile

prismei sunt perpendiculare pe planul orizontal de proiecĠie >H@: a { m, b {

prismei sunt perpendiculare pe planul orizontal de proiecĠie >H@: a { m, b {

n, c { p, d { q, e { t.

n, c { p, d { q, e { t.

72

72

Pentru determinarea adevăratei mărimi a hexagonului de intersecĠie,

Pentru determinarea adevăratei mărimi a hexagonului de intersecĠie,

se foloseúte metoda rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale

se foloseúte metoda rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale

până la suprapunerea lui pe planul >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

până la suprapunerea lui pe planul >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, s’, p’, r’, q’ descriu arce de cerc cu

rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, s’, p’, r’, q’ descriu arce de cerc cu

centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, S1,

centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, S1,

P1, R1, Q1 determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.

P1, R1, Q1 determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.

În epura din Fig. 7.7.d este prezentată o prismă tetragonală înclinată,

În epura din Fig. 7.7.d este prezentată o prismă tetragonală înclinată,

cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este secĠionată de

cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este secĠionată de

planul de capăt >Q@, plan ce este perpendicular pe muchiile prismei.

planul de capăt >Q@, plan ce este perpendicular pe muchiile prismei.

ProiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu

ProiecĠiile verticale ale punctelor de intersecĠie se determină cu

uúurinĠă, ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile

uúurinĠă, ele găsindu-se la intersecĠia dintre urma verticală úi proiecĠiile

verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, p’, q’. ProiecĠiile lor pe

verticale ale muchiilor; se vor nota cu m’, n’, p’, q’. ProiecĠiile lor pe

planul orizontal de proiecĠie >H@ se găsesc prin proiectarea vârfurilor

planul orizontal de proiecĠie >H@ se găsesc prin proiectarea vârfurilor

tetragonului de bază úi a celui superior.

tetragonului de bază úi a celui superior.

Pentru determinarea adevăratei mărimi a tetragonului de intersecĠie,

Pentru determinarea adevăratei mărimi a tetragonului de intersecĠie,

se foloseúte metoda rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale

se foloseúte metoda rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale

până la suprapunerea lui pe planul >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

până la suprapunerea lui pe planul >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, p’, q’ descriu arce de cerc cu centrul

rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, p’, q’ descriu arce de cerc cu centrul

în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, P1, Q1,

în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, P1, Q1,

determină adevărata mărime a tetragonului de intersecĠie.

determină adevărata mărime a tetragonului de intersecĠie.

7.2.2 IntersecĠia unui plan cu o piramidă

7.2.2 IntersecĠia unui plan cu o piramidă

Fie piramida pentagonală oarecare SJKLMN, cu baza în planul

Fie piramida pentagonală oarecare SJKLMN, cu baza în planul

orizontal de proiecĠie (Fig. 7.8.a). Planul de secĠiune este planul de capăt

orizontal de proiecĠie (Fig. 7.8.a). Planul de secĠiune este planul de capăt

>P@. Determinarea poligonului de secĠiune se face la fel ca la paragraful

>P@. Determinarea poligonului de secĠiune se face la fel ca la paragraful

anterior.

anterior.

73

73

În epură, (Fig. 7.8.b) s-a prezentat piramida în epură cu proiecĠiile orizontală (abcde) úi verticală (a’b’c’d’e’) ale poligonului de intersecĠie.

În epură, (Fig. 7.8.b) s-a prezentat piramida în epură cu proiecĠiile orizontală (abcde) úi verticală (a’b’c’d’e’) ale poligonului de intersecĠie.

Determinarea adevăratei mărimi úi a formei reale ale acestui poligon

Determinarea adevăratei mărimi úi a formei reale ale acestui poligon

(A0B0C0D0E0) se va face la fel ca în metoda expusă la intersecĠia unui plan

(A0B0C0D0E0) se va face la fel ca în metoda expusă la intersecĠia unui plan

cu o prismă ( prin rabatere ).

cu o prismă ( prin rabatere ).

a.

b.

a.

b.

c.

c.

Fig. 7.8

Fig. 7.8

În Fig. 7.8.c este prezentată epura unei piramide regulate

În Fig. 7.8.c este prezentată epura unei piramide regulate

hexagonală, cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este

hexagonală, cu baza situată în planul orizontal de proiecĠie >H@. Este

secĠionată de planul de capăt >Q@.

secĠionată de planul de capăt >Q@.

74

74

ProiecĠiile verticale sunt: s’, a’, b’ { f’, c’ { e’, d’, m’, n’ { t’, p’ { r’ úi q’; cele orizontale fiind: s, a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r, t.

ProiecĠiile verticale sunt: s’, a’, b’ { f’, c’ { e’, d’, m’, n’ { t’, p’ { r’ úi q’; cele orizontale fiind: s, a, b, c, d, e, f, m, n, p, q, r, t.

Pentru aflarea adevăratei mărimi a hexagonului se foloseúte metoda

Pentru aflarea adevăratei mărimi a hexagonului se foloseúte metoda

rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale până la

rotirii planului de secĠiune în jurul urmei lui orizontale până la

suprapunerea lui pe planul orizontal >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

suprapunerea lui pe planul orizontal >H@. OperaĠiunea se numeúte rabaterea

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

planului de secĠiune peste planul orizontal de proiecĠie >H@. În timpul

rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, t’, p, r’, q’ descriu arce de cerc cu

rabaterii, proiecĠiile verticale m’, n’, t’, p, r’, q’ descriu arce de cerc cu

centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, T1,

centrul în PD, până intersectează axa Ox. Punctele de întâlnire, M1, N1, T1,

P1, R1, Q1, determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.

P1, R1, Q1, determină adevărata mărime a hexagonului de intersecĠie.

7.3 Desfăúuratele unor poliedre mai importante

7.3 Desfăúuratele unor poliedre mai importante

Reprezentarea în care se aduc toate feĠele unui poliedru pe un singur

Reprezentarea în care se aduc toate feĠele unui poliedru pe un singur

plan se numeúte desfăúurarea poliedrului. Figura poligonală plană astfel

plan se numeúte desfăúurarea poliedrului. Figura poligonală plană astfel

obĠinută se numeúte desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a

obĠinută se numeúte desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a

poliedrului. Prin desfăúurarea unui poliedru se regăseúte forma reală a

poliedrului. Prin desfăúurarea unui poliedru se regăseúte forma reală a

fiecărei feĠe, adică a poligoanelor care limitează feĠele.

fiecărei feĠe, adică a poligoanelor care limitează feĠele.

Lungimile laturilor úi unghiurile dintre laturile unei feĠe apar în

Lungimile laturilor úi unghiurile dintre laturile unei feĠe apar în

desfăúurată în adevărată mărime. Pentru a trasa desfăúurata unui poliedru

desfăúurată în adevărată mărime. Pentru a trasa desfăúurata unui poliedru

este necesar să se determine adevăratele mărimi ale muchiilor úi adevărata

este necesar să se determine adevăratele mărimi ale muchiilor úi adevărata

mărime a distanĠelor dintre ele.

mărime a distanĠelor dintre ele.

Desfăúurarea suprafeĠei unui poliedru (suprafaĠă poliedrală) constă

Desfăúurarea suprafeĠei unui poliedru (suprafaĠă poliedrală) constă

în aducerea feĠelor acestuia în acelaúi plan, respectând succesiunea din

în aducerea feĠelor acestuia în acelaúi plan, respectând succesiunea din

spaĠiu. Planul de desfăúurare poate fi un plan oarecare sau planul uneia

spaĠiu. Planul de desfăúurare poate fi un plan oarecare sau planul uneia

dintre feĠe. În operaĠia de desfăúurare nu se admit suprapuneri, totale sau

dintre feĠe. În operaĠia de desfăúurare nu se admit suprapuneri, totale sau

parĠiale, ale feĠelor.

parĠiale, ale feĠelor.

75

75

Desfăúurarea suprafeĠelor poliedrelor regulate constă în alăturarea în

Desfăúurarea suprafeĠelor poliedrelor regulate constă în alăturarea în

plan a unui număr de poligoane regulate, corespunzător feĠelor poliedrului.

plan a unui număr de poligoane regulate, corespunzător feĠelor poliedrului.

De exemplu, desfăúurarea unui cub se face în 6 pătrate, a unui octaedru

De exemplu, desfăúurarea unui cub se face în 6 pătrate, a unui octaedru

regulat – în 8 triunghiuri echilaterale, a unui dodecaedru regulat – în 12

regulat – în 8 triunghiuri echilaterale, a unui dodecaedru regulat – în 12

pentagoane regulate, etc.

pentagoane regulate, etc.

x Desfăúurata tetraedrului, Fig.7.9.

x Desfăúurata tetraedrului, Fig.7.9.

Fig. 7.9

Fig.7.10

Fig. 7.9

Fig.7.10

x Desfăúurata cubului, Fig.7.10.

x Desfăúurata cubului, Fig.7.10.

x Desfăúurata octaedrului, Fig.7.11.

x Desfăúurata octaedrului, Fig.7.11.

Fig. 7.11

Fig. 7.12

Fig. 7.11

Fig. 7.12

x Desfăúurata icosaedrului, Fig. 7.12.

x Desfăúurata icosaedrului, Fig. 7.12.

x Desfăúurata dodecaedrului, Fig. 7.13.

x Desfăúurata dodecaedrului, Fig. 7.13.

76

76

Fig. 7.13

Fig. 7.14

Fig. 7.13

Fig. 7.14

x Desfăúurata paralelipipedului, Fig. 7.14.

x Desfăúurata paralelipipedului, Fig. 7.14.

x Desfăúurata prismei hexagonale drepte, Fig. 7.15.

x Desfăúurata prismei hexagonale drepte, Fig. 7.15.

Fig. 7.15

Fig. 7.15

x Desfăúurata unei piramide hexagonale regulate (zona haúurată

x Desfăúurata unei piramide hexagonale regulate (zona haúurată

reprezintă desfăúurarea piramidei după intersecĠia cu un plan,

reprezintă desfăúurarea piramidei după intersecĠia cu un plan,

Fig.7.8.c), Fig.7.16.

Fig.7.8.c), Fig.7.16.

Fig. 7.16

Fig. 7.16

77

77

x Desfăúurata unei prisme drepte intersectată de un plan sub unghiul D, Fig.7.17.

x Desfăúurata unei prisme drepte intersectată de un plan sub unghiul D, Fig.7.17.

a.

a.

b.

b.

Fig. 7.17

Fig. 7.17

78

78

8. CORPURI DE ROTAğIE

8. CORPURI DE ROTAğIE

8.1 Reprezentare

8.1 Reprezentare

Corpurile de rotaĠie se mai numesc úi corpuri rotunde; iau naútere

Corpurile de rotaĠie se mai numesc úi corpuri rotunde; iau naútere

prin rotirea unei linii oarecare în jurul unei axe. Linia care dă naútere

prin rotirea unei linii oarecare în jurul unei axe. Linia care dă naútere

corpului se numeúte generatoare, iar cea pe care se sprijină – directoare.

corpului se numeúte generatoare, iar cea pe care se sprijină – directoare.

Un solid de rotaĠie este generat de o suprafaĠă plană limitată de o

Un solid de rotaĠie este generat de o suprafaĠă plană limitată de o

generatoare, suprafaĠă ce se roteúte în jurul unei axe care este o dreaptă a

generatoare, suprafaĠă ce se roteúte în jurul unei axe care este o dreaptă a

planului.

planului.

Corpurile de rotaĠie mai cunoscute sunt:

Corpurile de rotaĠie mai cunoscute sunt:

- cilindrul (Fig. 8.1) este o suprafaĠă generată de o dreaptă

- cilindrul (Fig. 8.1) este o suprafaĠă generată de o dreaptă

(generatoare), care se deplasează pe o curbă fixă (directoare) úi care

(generatoare), care se deplasează pe o curbă fixă (directoare) úi care

rămâne mereu paralelă cu o direcĠie oarecare dată. Curba directoare poate

rămâne mereu paralelă cu o direcĠie oarecare dată. Curba directoare poate

fi cerc, elipsă, parabolă sau hiperbolă, cilindrul numindu-se după natura

fi cerc, elipsă, parabolă sau hiperbolă, cilindrul numindu-se după natura

directoarei (parabolic sau hiperbolic)

directoarei (parabolic sau hiperbolic)

Fig. 8.1 -

conul (Fig. 8.2) este suprafaĠa generată de o dreaptă (generatoare),

Fig. 8.1 -

conul (Fig. 8.2) este suprafaĠa generată de o dreaptă (generatoare),

care trece printr-un punct fix (vârful conului) úi se deplasează pe o curbă

care trece printr-un punct fix (vârful conului) úi se deplasează pe o curbă

(directoare). Curba directoare poate fi cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă.

(directoare). Curba directoare poate fi cerc, elipsă, parabolă, hiperbolă.

ConvenĠional, conul este denumit după curba directoare: circular, eliptic, parabolic, etc.

ConvenĠional, conul este denumit după curba directoare: circular, eliptic, parabolic, etc.

79

79

Fig.8.2 - trunchiul de con (Fig. 8.3) este un con secĠionat de un plan paralel cu baza sa.

Fig.8.2 - trunchiul de con (Fig. 8.3) este un con secĠionat de un plan paralel cu baza sa.

Fig. 8.3

Fig. 8.3

- sfera (Fig. 8.4) este generată de un cerc care se roteúte în jurul axei

- sfera (Fig. 8.4) este generată de un cerc care se roteúte în jurul axei

sale. Ea se proiectează după un cerc pe fiecare din planele de proiecĠie.

sale. Ea se proiectează după un cerc pe fiecare din planele de proiecĠie.

ProiecĠiile punctelor aflate pe sferă se obĠin secĠionând sfera cu plane

ProiecĠiile punctelor aflate pe sferă se obĠin secĠionând sfera cu plane

perpendiculare pe axă.

perpendiculare pe axă.

Fig. 8.4

80

Fig. 8.4

80

- torul (Fig. 8.5) este corpul geometric generat prin rotirea unei curbe

- torul (Fig. 8.5) este corpul geometric generat prin rotirea unei curbe

plane în jurul unui ax coplanar cu curba úi care nu trece prin centrul

plane în jurul unui ax coplanar cu curba úi care nu trece prin centrul

acestuia. ProiecĠiile punctelor situate pe suprafaĠa torului se determină tot

acestuia. ProiecĠiile punctelor situate pe suprafaĠa torului se determină tot

cu ajutorul planelor perpendiculare pe axa de rotaĠie.

cu ajutorul planelor perpendiculare pe axa de rotaĠie.

Fig. 8.5

Fig. 8.5

- elipsoidul (Fig. 8.6) este corpul geometric generat prin rotirea unei

- elipsoidul (Fig. 8.6) este corpul geometric generat prin rotirea unei

elipse în jurul axei mari. ProiecĠiile punctelor aflate pe elipsoid se găsesc

elipse în jurul axei mari. ProiecĠiile punctelor aflate pe elipsoid se găsesc

prin secĠionarea elipsoidului cu plane de profil perpendiculare pe axa de

prin secĠionarea elipsoidului cu plane de profil perpendiculare pe axa de

rotaĠie.

rotaĠie.

Fig. 8.6

Fig. 8.6

- paraboloidul (Fig. 8.7) este corpul geometric generat prin rotirea

- paraboloidul (Fig. 8.7) este corpul geometric generat prin rotirea

unei parabole în jurul axei sale. ProiecĠiile punctelor aflate pe

unei parabole în jurul axei sale. ProiecĠiile punctelor aflate pe

81

81

suprafaĠa paraboloidului se găsesc prin secĠionarea cu plane

suprafaĠa paraboloidului se găsesc prin secĠionarea cu plane

perpendiculare pe axa de rotaĠie.

perpendiculare pe axa de rotaĠie.

Fig. 8.7

Fig. 8.7

- hiperboloidul (Fig. 8.8) este corpul geometric (suprafaĠă) generat de

- hiperboloidul (Fig. 8.8) este corpul geometric (suprafaĠă) generat de

o dreaptă care se roteúte în jurul unui ax necoplanar cu dreapta. Mai

o dreaptă care se roteúte în jurul unui ax necoplanar cu dreapta. Mai

poate fi generat úi de o hiperbolă care se roteúte în jurul axei ei

poate fi generat úi de o hiperbolă care se roteúte în jurul axei ei

imaginare (netraverse).

imaginare (netraverse).

Fig. 8.8

82

Fig. 8.8

82

8.2 SecĠiuni plane în solide de rotaĠie

8.2 SecĠiuni plane în solide de rotaĠie

Prin analogie cu secĠiunea într-un poliedru, secĠiunea într-un solid de

Prin analogie cu secĠiunea într-un poliedru, secĠiunea într-un solid de

rotaĠie este intersecĠia dintre planul de secĠiune úi generatoarele solidului.

rotaĠie este intersecĠia dintre planul de secĠiune úi generatoarele solidului.

SuprafaĠa de intersecĠie se determină prin unirea punctelor de intersecĠie

SuprafaĠa de intersecĠie se determină prin unirea punctelor de intersecĠie

astfel obĠinute.

astfel obĠinute.

8.2.1. SecĠiunea într-un cilindru circular drept

8.2.1. SecĠiunea într-un cilindru circular drept

Un cilindru circular drept se secĠionează cu planul de capăt >P@;

Un cilindru circular drept se secĠionează cu planul de capăt >P@;

conform teoremei lui Dandelin secĠiunea este o elipsă, Fig. 8.9.

conform teoremei lui Dandelin secĠiunea este o elipsă, Fig. 8.9.

Punctele cu ajutorul cărora se trasează elipsa, sunt punctele aflate la

Punctele cu ajutorul cărora se trasează elipsa, sunt punctele aflate la

intersecĠia dintre proiecĠiile verticale ale generatoarelor (a’b’c’d’…k’l’) úi

intersecĠia dintre proiecĠiile verticale ale generatoarelor (a’b’c’d’…k’l’) úi

urma verticală (P’PX). Se obĠin proiecĠiile verticale (1’, 2’…11’, 12’) ale

urma verticală (P’PX). Se obĠin proiecĠiile verticale (1’, 2’…11’, 12’) ale

punctelor elipsei, proiecĠiile orizontale găsindu-se pe cercul de bază (1, 2,

punctelor elipsei, proiecĠiile orizontale găsindu-se pe cercul de bază (1, 2,

3…11, 12).

3…11, 12).

Determinarea adevăratei mărimi a elipsei de secĠiune se obĠine se obĠine prin rabaterea planului de capăt >P@ în jurul urmei orizontale PPX.

Fig. 8.9

83

Determinarea adevăratei mărimi a elipsei de secĠiune se obĠine se obĠine prin rabaterea planului de capăt >P@ în jurul urmei orizontale PPX.

Fig. 8.9

83

8.2.2 SecĠiunea într-un con circular drept

8.2.2 SecĠiunea într-un con circular drept

Un con circular drept cu baza în planul orizontal de proiecĠie >H@ se

Un con circular drept cu baza în planul orizontal de proiecĠie >H@ se

secĠionează cu un plan de capăt >P@, Fig. 8.10.

secĠionează cu un plan de capăt >P@, Fig. 8.10.

Fig. 8.10

Fig. 8.10

Determinarea elipsei de secĠiune se face la fel ca la cilindru. În

Determinarea elipsei de secĠiune se face la fel ca la cilindru. În

schimb, la secĠiunea conului cu un plan, se întâlnesc următoarele cazuri

schimb, la secĠiunea conului cu un plan, se întâlnesc următoarele cazuri

speciale:

speciale:

- secĠiunea cu un plan vertical ce trece prin vârful conului, este un

- secĠiunea cu un plan vertical ce trece prin vârful conului, este un

triunghi, Fig. 8.11.

triunghi, Fig. 8.11.

Fig. 8.11

Fig. 8.12

- secĠiunea cu un plan înclinat, paralel cu una din generatoarele conului este o parabolă, Fig. 8.12.

Fig. 8.11

Fig. 8.12

- secĠiunea cu un plan înclinat, paralel cu una din generatoarele conului este o parabolă, Fig. 8.12.

84

84

- secĠiunea cu un plan paralel cu axa conului circular drept este o hiperbolă,

- secĠiunea cu un plan paralel cu axa conului circular drept este o hiperbolă,

Fig. 8.13.

Fig. 8.13.

Fig.8.13

Fig.8.13

8.3 Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante

8.3 Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante

Reprezentarea în care se aduce atât suprafaĠa laterală, cât úi baza

Reprezentarea în care se aduce atât suprafaĠa laterală, cât úi baza

(bazele) unui con, respectiv cilindru în acelaúi plan se numeúte

(bazele) unui con, respectiv cilindru în acelaúi plan se numeúte

desfăúurare. Figura poligonală plană astfel obĠinută se numeúte

desfăúurare. Figura poligonală plană astfel obĠinută se numeúte

desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a conului, respectiv a

desfăúurată sau transformată prin desfăúurare a conului, respectiv a

cilindrului. Pentru trasarea desfăúuratelor cilindrului úi conurilor este

cilindrului. Pentru trasarea desfăúuratelor cilindrului úi conurilor este

necesară determinarea adevăratelor mărimi ale generatoarelor úi bazelor.

necesară determinarea adevăratelor mărimi ale generatoarelor úi bazelor.

Unei curbe trasate pe suprafaĠa laterală a unui cilindru îi corespunde o

Unei curbe trasate pe suprafaĠa laterală a unui cilindru îi corespunde o

curbă de aceeaúi lungime pe desfăúurată, numită transformată prin

curbă de aceeaúi lungime pe desfăúurată, numită transformată prin

desfăúurare a curbei date. Unghiul a două curbe ale suprafeĠei este egal cu

desfăúurare a curbei date. Unghiul a două curbe ale suprafeĠei este egal cu

unghiul transformatelor lor prin desfăúurare.

unghiul transformatelor lor prin desfăúurare.

Pentru trasarea corectă a desfăúuratelor se Ġine cont de teorema lui

Pentru trasarea corectă a desfăúuratelor se Ġine cont de teorema lui

Olivier: transformata prin desfăúurare a secĠiunii făcute de un plan într-un

Olivier: transformata prin desfăúurare a secĠiunii făcute de un plan într-un

cilindru sau un con prezintă inflexiuni în punctele în care planul tangent la

cilindru sau un con prezintă inflexiuni în punctele în care planul tangent la

cilindru/con este perpendicular pe planul secant.

cilindru/con este perpendicular pe planul secant.

85

85

În cazul sferei, pentru că este o suprafaĠă nedesfăúurabilă, există

În cazul sferei, pentru că este o suprafaĠă nedesfăúurabilă, există

diferite metode aproximative pentru a o desfăúura. Mai cunoscute sunt

diferite metode aproximative pentru a o desfăúura. Mai cunoscute sunt

metodele prin care suprafaĠa sferei se divizează în fusuri egale (prin

metodele prin care suprafaĠa sferei se divizează în fusuri egale (prin

secĠionarea cu plane proiectante verticale care trec prin centrul sferei) sau

secĠionarea cu plane proiectante verticale care trec prin centrul sferei) sau

se divizează suprafaĠa sferei în zone sferice (prin secĠionarea cu plane de

se divizează suprafaĠa sferei în zone sferice (prin secĠionarea cu plane de

nivel).

nivel).

x Desfăúurata cilindrului drept, Fig. 8.14.

x Desfăúurata cilindrului drept, Fig. 8.14.

Fig. 8.14

Fig. 8.14

x Desfăúurata cilindrului drept intersectat de un plan sub un unghi D,

x Desfăúurata cilindrului drept intersectat de un plan sub un unghi D,

Fig. 8.15.

Fig. 8.15.

Fig. 8.15

Fig. 8.15

86

86

x Desfăúurata conului, Fig. 8.16.

x Desfăúurata conului, Fig. 8.16.

Fig. 8.16 x Desfăúurata conului circular drept intersectat de un plan sub un unghi D faĠă de axa sa, Fig. 8.17.

Fig. 8.17

87

Fig. 8.16 x Desfăúurata conului circular drept intersectat de un plan sub un unghi D faĠă de axa sa, Fig. 8.17.

Fig. 8.17

87

- Desfăúurata sferei:

- Desfăúurata sferei:

* prin zone sferice ( 2 conuri, un cilindru úi 4 trunchiuri de con ),

* prin zone sferice ( 2 conuri, un cilindru úi 4 trunchiuri de con ),

Fig.8.18.

Fig.8.18.

Fig. 8.18 * prin fusuri sferice ( secĠiuni mediane ), Fig. 8.19.

88

Fig. 8.18 * prin fusuri sferice ( secĠiuni mediane ), Fig. 8.19.

88

Fig. 8.19

89

Fig. 8.19

89

9. INTERSECğII DE CORPURI - DESFĂùURATELE LOR

9. INTERSECğII DE CORPURI - DESFĂùURATELE LOR

9.1 IntersecĠia dintre doi cilindri cu diametre diferite úi axe

9.1 IntersecĠia dintre doi cilindri cu diametre diferite úi axe

perpendiculare

perpendiculare

Pentru construirea desfăúuratelor acestor cilindrii este necesar ca în

Pentru construirea desfăúuratelor acestor cilindrii este necesar ca în

prealabil să se determine linia de intersecĠie a acestora, în care scop baza

prealabil să se determine linia de intersecĠie a acestora, în care scop baza

cilindrului mic se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece, în cazul nostru).

cilindrului mic se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece, în cazul nostru).

Din punctele de împărĠire se duc orizontale care intersectează orizontalele

Din punctele de împărĠire se duc orizontale care intersectează orizontalele

cu aceleaúi numere, în punctele 1O, 2O, 3O, etc.

cu aceleaúi numere, în punctele 1O, 2O, 3O, etc.

Unind aceste puncte printr-o curbă continuă, se obĠine linia de

Unind aceste puncte printr-o curbă continuă, se obĠine linia de

intersecĠie care serveúte la desfăúurarea celor doi cilindrii conform indi-

intersecĠie care serveúte la desfăúurarea celor doi cilindrii conform indi-

caĠiilor din figură.

caĠiilor din figură.

În desfăúurata cilindrului A sunt determinate punctele 1’O, 2’O, 3’O,

În desfăúurata cilindrului A sunt determinate punctele 1’O, 2’O, 3’O,

etc., care unite, dau curba de intersecĠie desfăúurată a acestui cilindru.

etc., care unite, dau curba de intersecĠie desfăúurată a acestui cilindru.

Desfăúurata cilindrului mic B este dată în aceeaúi figură. Se observă că

Desfăúurata cilindrului mic B este dată în aceeaúi figură. Se observă că

distanĠele I–II; II–III, etc. din desfăúurata A sunt egale cu lungimile arcelor

distanĠele I–II; II–III, etc. din desfăúurata A sunt egale cu lungimile arcelor

I–II; II–III, etc. Lungimea cercului bazei, egală cu SD, a fost împărĠită în

I–II; II–III, etc. Lungimea cercului bazei, egală cu SD, a fost împărĠită în

acelaúi număr de părĠi egale (douăsprezece), iar pe verticalele

acelaúi număr de părĠi egale (douăsprezece), iar pe verticalele

corespunzătoare cu aceleaúi numere se iau lungimile marcate prin săgeĠi.

corespunzătoare cu aceleaúi numere se iau lungimile marcate prin săgeĠi.

Deoarece corpurile intersectate sunt simetrice, în construcĠia desfăúuratelor s-au notat numai un sfert din numărul de diviziuni, Fig.9.1.

9.2 IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de diametre diferite

Deoarece corpurile intersectate sunt simetrice, în construcĠia desfăúuratelor s-au notat numai un sfert din numărul de diviziuni, Fig.9.1.

9.2 IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de diametre diferite

Aúa cum s-a arătat în Fig. 9.1, mai întâi se determină linia de

Aúa cum s-a arătat în Fig. 9.1, mai întâi se determină linia de

intersecĠie după metoda folosită la intersecĠia dintre doi cilindrii, apoi se

intersecĠie după metoda folosită la intersecĠia dintre doi cilindrii, apoi se

procedează la construcĠia desfăúuratelor celor doi cilindri.

procedează la construcĠia desfăúuratelor celor doi cilindri.

90

90

Fig. 9.1

Fig. 9.1

Pe prelungirea extremităĠii libere a cilindrului mic (linia 0 – 8

Pe prelungirea extremităĠii libere a cilindrului mic (linia 0 – 8

perpendiculară pe axa cilindrului) se aúează lungimea desfăúurată a

perpendiculară pe axa cilindrului) se aúează lungimea desfăúurată a

cercului cilindrului mic împărĠită în acelaúi număr de părĠi egale ca úi

cercului cilindrului mic împărĠită în acelaúi număr de părĠi egale ca úi

circumferinĠa cilindrului mic. Prin punctele de diviziune se duc

circumferinĠa cilindrului mic. Prin punctele de diviziune se duc

perpendiculare pe linia 0 – 8 (paralele cu axa cilindrului mic). Se

perpendiculare pe linia 0 – 8 (paralele cu axa cilindrului mic). Se

proiectează punctele a, b, c pe generatoarea cilindrului mic până se

proiectează punctele a, b, c pe generatoarea cilindrului mic până se

intersectează cu perpendicularele corespunzătoare duse din punctele 0, 1,

intersectează cu perpendicularele corespunzătoare duse din punctele 0, 1,

2, obĠinându-se punctele a’, b’, etc., care unite, dau curba de intersecĠie

2, obĠinându-se punctele a’, b’, etc., care unite, dau curba de intersecĠie

desfăúurată pentru cilindrul mic.

desfăúurată pentru cilindrul mic.

Pentru a determina desfăúurata tăieturii din cilindrul mare se

Pentru a determina desfăúurata tăieturii din cilindrul mare se

procedează astfel: se trasează linia x, y, perpendiculară pe axa cilindrului

procedează astfel: se trasează linia x, y, perpendiculară pe axa cilindrului

mare în punctul e al liniei de intersecĠie. La intersecĠia acestei linii cu

mare în punctul e al liniei de intersecĠie. La intersecĠia acestei linii cu

generatoarele cilindrului mare duse prin punctele j, h, g, f se obĠin punctele

generatoarele cilindrului mare duse prin punctele j, h, g, f se obĠin punctele

I, II, III, IV.

I, II, III, IV.

91

91

Pe dreapta oarecare OO’ se aúează lungimile arcelor ab, bc, cd, etc.,

Pe dreapta oarecare OO’ se aúează lungimile arcelor ab, bc, cd, etc.,

iar prin punctele obĠinute I, II, III, IV se duc perpendiculare pe OO’. Pe

iar prin punctele obĠinute I, II, III, IV se duc perpendiculare pe OO’. Pe

aceste perpendiculare, se ridică distanĠele I – a, II – b, etc. úi se coboară

aceste perpendiculare, se ridică distanĠele I – a, II – b, etc. úi se coboară

I – j, II – h, etc. Unind între ele punctele a, b, c, etc., se obĠine jumătate din

I – j, II – h, etc. Unind între ele punctele a, b, c, etc., se obĠine jumătate din

tăietura cilindrului mare.

tăietura cilindrului mare.

Având desfăúuratele celor două tăieturi, se pot construi úi desfăúuratele cilindrilor intersectaĠi, Fig. 9.2.

Având desfăúuratele celor două tăieturi, se pot construi úi desfăúuratele cilindrilor intersectaĠi, Fig. 9.2.

Fig. 9.2

Fig. 9.2

9.3 IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă

9.3 IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă

Construirea defăúuratei prismei úi a tăieturii în cilindru se realizează

Construirea defăúuratei prismei úi a tăieturii în cilindru se realizează

ca úi în cazul intersecĠiei a doi cilindri, cu simpla deosebire că în cazul de

ca úi în cazul intersecĠiei a doi cilindri, cu simpla deosebire că în cazul de

faĠă, în loc de a împărĠi întregul perimetru al prismei în părĠi egale (aúa

faĠă, în loc de a împărĠi întregul perimetru al prismei în părĠi egale (aúa

cum s-a făcut la cilindrul mic din cazul anterior) se va împărĠi fiecare

cum s-a făcut la cilindrul mic din cazul anterior) se va împărĠi fiecare

latură în părĠi egale conform Fig. 9.3.

latură în părĠi egale conform Fig. 9.3.

92

92

Fig. 9.3

Fig. 9.3

9.4 IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic în

9.4 IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic în

cilindru

cilindru

Se trasează jumătate din cercul de bază al conului úi se împarte într-

Se trasează jumătate din cercul de bază al conului úi se împarte într-

un număr de părĠi egale (douăsprezece); din punctele de diviziune se duc

un număr de părĠi egale (douăsprezece); din punctele de diviziune se duc

perpendiculare pe diametrul cercului de bază al conului. Punctele de

perpendiculare pe diametrul cercului de bază al conului. Punctele de

intersecĠie se unesc cu vârful S al conului. ProiecĠia corespunzătoare a

intersecĠie se unesc cu vârful S al conului. ProiecĠia corespunzătoare a

acestor puncte (1’, 2’, 3’…, 12’ se unesc cu vârful S1. Punctele de

acestor puncte (1’, 2’, 3’…, 12’ se unesc cu vârful S1. Punctele de

intersecĠie ale razelor S1 – 1’, S1 – 2’, etc. cu cilindrul I, II, III, IV, etc. se

intersecĠie ale razelor S1 – 1’, S1 – 2’, etc. cu cilindrul I, II, III, IV, etc. se

proiectează în vederea din stânga, obĠinându-se linia de intersecĠie dintre

proiectează în vederea din stânga, obĠinându-se linia de intersecĠie dintre

cilindru úi con. La fel se procedează úi pentru determinarea liniei de

cilindru úi con. La fel se procedează úi pentru determinarea liniei de

intersecĠie de la ieúirea conului din cilindru.

intersecĠie de la ieúirea conului din cilindru.

Pentru a obĠine desfăúurata conului se procedează la fel ca la

Pentru a obĠine desfăúurata conului se procedează la fel ca la

desfăúurarea unui con oblic. În Fig. 9.4 se arată jumătate din desfăúurata

desfăúurarea unui con oblic. În Fig. 9.4 se arată jumătate din desfăúurata

cilindrului; se observă că în această construcĠie distanĠele dintre dreptele

cilindrului; se observă că în această construcĠie distanĠele dintre dreptele

93

93

I – II, II – III, III – IV, etc. sunt luate de pe linia de intersecĠie.

Fig. 9.4

I – II, II – III, III – IV, etc. sunt luate de pe linia de intersecĠie.

Fig. 9.4

9.5 IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru

9.5 IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru

În Fig. 9.5 se redă în două vederi intersecĠia dintre cilindrul B cu

În Fig. 9.5 se redă în două vederi intersecĠia dintre cilindrul B cu

axa verticală úi poliedrul A cu baza dreptunghiulară, a cărui axă este

axa verticală úi poliedrul A cu baza dreptunghiulară, a cărui axă este

înclinată faĠă de axa cilindrului (axele celor două corpuri nu se

înclinată faĠă de axa cilindrului (axele celor două corpuri nu se

intersectează). Pentru construcĠia desfăúuratelor acestor două corpuri se

intersectează). Pentru construcĠia desfăúuratelor acestor două corpuri se

determină mai întâi linia de intersecĠie a feĠelor poliedrului cu cilindrul dat.

determină mai întâi linia de intersecĠie a feĠelor poliedrului cu cilindrul dat.

Aceasta se face astfel: se împarte cercul din proiecĠia plană a cilindrului B

Aceasta se face astfel: se împarte cercul din proiecĠia plană a cilindrului B

într-un număr oarecare de părĠi (în acest caz, jumătatea cercului s-a

într-un număr oarecare de părĠi (în acest caz, jumătatea cercului s-a

împărĠit în 6 părĠi), iar prin punctele de diviziune 1, 2, 3,…, 7 se duc razele

împărĠit în 6 părĠi), iar prin punctele de diviziune 1, 2, 3,…, 7 se duc razele

corespunzătoare care intersectează perimetrul bazei poliedrului în punctele

corespunzătoare care intersectează perimetrul bazei poliedrului în punctele

I, II, III,…, VII. Cu ajutorul compasului se duc aceste puncte pe orizontala

I, II, III,…, VII. Cu ajutorul compasului se duc aceste puncte pe orizontala

xx, apoi se proiectează pe vederea laterală obĠinându-se punctele I’, II’, III’

xx, apoi se proiectează pe vederea laterală obĠinându-se punctele I’, II’, III’

la intersecĠia razelor SI’, SII’, etc. cu generatoarea cilindrului se determină

la intersecĠia razelor SI’, SII’, etc. cu generatoarea cilindrului se determină

94

94

punctele 1’, 2’, 3’, etc. Prin aceste puncte se duc orizontalele, care, prin

punctele 1’, 2’, 3’, etc. Prin aceste puncte se duc orizontalele, care, prin

intersecĠia lor cu verticalele ridicate din punctele de diviziune ale cercului

intersecĠia lor cu verticalele ridicate din punctele de diviziune ale cercului

din proiecĠia plană, determină punctele 1, 2, 3,…, 7. Unind aceste puncte

din proiecĠia plană, determină punctele 1, 2, 3,…, 7. Unind aceste puncte

se obĠine curba de intersecĠie dintre cilindru úi poliedru.

se obĠine curba de intersecĠie dintre cilindru úi poliedru.

Desfăúuratele cilindrului úi poliedrului sunt cunoscute. Pentru a afla

Desfăúuratele cilindrului úi poliedrului sunt cunoscute. Pentru a afla

desfăúurata secĠiunii de intersecĠie de pe poliedru, se determină pe

desfăúurata secĠiunii de intersecĠie de pe poliedru, se determină pe

poliedrul desfăúurat punctele: I, II, III,…, IX. Pe razele care unesc vârful S

poliedrul desfăúurat punctele: I, II, III,…, IX. Pe razele care unesc vârful S

cu punctele I, II, III,…, IX, se aúează distanĠele I’ – 1’, II’ – 2’, III’ – 3’,

cu punctele I, II, III,…, IX, se aúează distanĠele I’ – 1’, II’ – 2’, III’ – 3’,

etc., determinându-se astfel punctele 1, 2, 3, etc., care unite dau tăietura

etc., determinându-se astfel punctele 1, 2, 3, etc., care unite dau tăietura

făcută de cilindru în poliedru.

făcută de cilindru în poliedru.

Fig. 9.5

Fig. 9.5

9.6 IntersecĠia unui cilindru cu o sferă

9.6 IntersecĠia unui cilindru cu o sferă

Deoarece desfăúurata sferei intersectată de alte corpuri se reduce la

Deoarece desfăúurata sferei intersectată de alte corpuri se reduce la

desfăúurarea sferei intersectată de mai multe plane, înainte de a trece la

desfăúurarea sferei intersectată de mai multe plane, înainte de a trece la

descrierea

descrierea

determinării

desfăúuratelor

ansamblurilor

respective,

în

determinării

desfăúuratelor

ansamblurilor

respective,

în

Fig.9.6.a se arată sfera intersectată de un plan úi desfăúurarea acesteia. Un

Fig.9.6.a se arată sfera intersectată de un plan úi desfăúurarea acesteia. Un

plan intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Un plan

plan intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Un plan

intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Prin punctele de

intersectează meridianele sferei în punctele 11, 21, 31, etc. Prin punctele de

95

95

intersecĠie 1’1, 2’1, 3’1, etc. se duc drepte orizontale ce intersectează

intersecĠie 1’1, 2’1, 3’1, etc. se duc drepte orizontale ce intersectează

meridianul OP’1 în punctele 1’’1, 2’’1, 3’’1, etc. Diferitele puncte de pe

meridianul OP’1 în punctele 1’’1, 2’’1, 3’’1, etc. Diferitele puncte de pe

linia de intersecĠie pe desfăúurată se obĠin luând arcele 001 egal cu 00’1, 111

linia de intersecĠie pe desfăúurată se obĠin luând arcele 001 egal cu 00’1, 111

egal cu 01’’1, 221 egal cu 02’’1, etc. punctele intermediare se obĠin ducând

egal cu 01’’1, 221 egal cu 02’’1, etc. punctele intermediare se obĠin ducând

plane de intersecĠie suplimentare >P’1 4g P’2@, cu care se poate determina

plane de intersecĠie suplimentare >P’1 4g P’2@, cu care se poate determina

punctul 41g. Desfăúurarea sferei se construieúte cu una din metodele

punctul 41g. Desfăúurarea sferei se construieúte cu una din metodele

prezentate în capitolul anterior.

prezentate în capitolul anterior.

În Fig. 9.6.b este prezentat cazul general de intersecĠie dintre un

În Fig. 9.6.b este prezentat cazul general de intersecĠie dintre un

cilindru úi o sferă când axa cilindrului nu trece prin centrul sferei, ci

cilindru úi o sferă când axa cilindrului nu trece prin centrul sferei, ci

intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1. Pentru construirea

intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1. Pentru construirea

desfăúuratei acestui ansamblu, este necesar ca în prealabil, să se determine

desfăúuratei acestui ansamblu, este necesar ca în prealabil, să se determine

linia de intersecĠie a corpurilor. Aceasta se obĠine folosind una din

linia de intersecĠie a corpurilor. Aceasta se obĠine folosind una din

următoarele metode:

următoarele metode:

a) cu ajutorul compasului, din C1 se descrie un arc de

cerc ce

a) cu ajutorul compasului, din C1 se descrie un arc de

cerc ce

intersectează sfera în punctele MS úi cilindrul în punctele MZ. Un

intersectează sfera în punctele MS úi cilindrul în punctele MZ. Un

punct oarecare M de pe linia de intersecĠie se obĠine prin intersecĠia

punct oarecare M de pe linia de intersecĠie se obĠine prin intersecĠia

dreptelor duse prin punctele MS úi MZ (MSMS, MZMZ).

dreptelor duse prin punctele MS úi MZ (MSMS, MZMZ).

b) prin punctele de împărĠire ale cercului de bază al cilindrului se duc

b) prin punctele de împărĠire ale cercului de bază al cilindrului se duc

generatoarele care intersectează conturul sferei în punctele 11, 21,

generatoarele care intersectează conturul sferei în punctele 11, 21,

etc. Din aceste puncte se duc drepte verticale ce intersectează axa

etc. Din aceste puncte se duc drepte verticale ce intersectează axa

sferei în punctele 12, 22, 32, etc., iar razele C32, C22, etc. úi cu centrul

sferei în punctele 12, 22, 32, etc., iar razele C32, C22, etc. úi cu centrul

în C (centrul sferei) se descriu arce de cerc ce întâlnesc

în C (centrul sferei) se descriu arce de cerc ce întâlnesc

generatoarele cilindrului în punctele 1O, 2O, 3O, etc. Unind punctele

generatoarele cilindrului în punctele 1O, 2O, 3O, etc. Unind punctele

1O, 2O, 3O, etc. printr-o curbă continuă, obĠinem linia de intersecĠie.

1O, 2O, 3O, etc. printr-o curbă continuă, obĠinem linia de intersecĠie.

Având linia de intersecĠie (lungimile reale ale generatoarelor

Având linia de intersecĠie (lungimile reale ale generatoarelor

cilindrului) în Fig. 9.6.b se arată jumătate din desfăúurata cilindrului.

cilindrului) în Fig. 9.6.b se arată jumătate din desfăúurata cilindrului.

Pentru a obĠine desfăúurata sferei se procedează ca úi în cazul Fig. 9.6.a, cu

Pentru a obĠine desfăúurata sferei se procedează ca úi în cazul Fig. 9.6.a, cu

96

96

deosebirea că în cazul de faĠă, proiecĠia liniei de intersecĠie nu este o

deosebirea că în cazul de faĠă, proiecĠia liniei de intersecĠie nu este o

dreaptă, ci o linie curbă.

dreaptă, ci o linie curbă.

Fig. 9.6

Fig. 9.6

9.7 IntersecĠia dintre un con cu o sferă

9.7 IntersecĠia dintre un con cu o sferă

În cazul în care axa conului trece prin centrul sferei Fig. 9.7.a,

În cazul în care axa conului trece prin centrul sferei Fig. 9.7.a,

desfăúuratele conului úi sferei se reduc la cazul intersectării acestora de

desfăúuratele conului úi sferei se reduc la cazul intersectării acestora de

către un plan. Se consideră cazul general când axa conului nu trece prin

către un plan. Se consideră cazul general când axa conului nu trece prin

centrul sferei, ci intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1.

centrul sferei, ci intersectează axa acesteia într-un punct oarecare C1.

Pentru construcĠia desfăúuratelor conului úi sferei trebuie determinată linia

Pentru construcĠia desfăúuratelor conului úi sferei trebuie determinată linia

de intersecĠie a acestora.

de intersecĠie a acestora.

Din punctul C1, cu compasul se descrie un arc de cerc care

Din punctul C1, cu compasul se descrie un arc de cerc care

intersectează sfera în punctele MS úi conul în punctele MK. Un punct

intersectează sfera în punctele MS úi conul în punctele MK. Un punct

97

97

oarecare M, de pe linia de intersecĠie, se obĠine prin intersecĠia dreptelor

oarecare M, de pe linia de intersecĠie, se obĠine prin intersecĠia dreptelor

duse prin punctele MS úi MK (MSMS, MKMK). În continuare, baza conului se

duse prin punctele MS úi MK (MSMS, MKMK). În continuare, baza conului se

împarte într-un număr de părĠi egale, iar prin punctele de diviziune 0, 1, 2,

împarte într-un număr de părĠi egale, iar prin punctele de diviziune 0, 1, 2,

etc. se duc generatoarele conului ce determină, la intersecĠia lor cu linia de

etc. se duc generatoarele conului ce determină, la intersecĠia lor cu linia de

intersecĠie a celor două corpuri, punctele 0O, 1O, 2O, etc. DistanĠa de la

intersecĠie a celor două corpuri, punctele 0O, 1O, 2O, etc. DistanĠa de la

punctele obĠinute până la vârf, úi respectiv până la baza conului, determină

punctele obĠinute până la vârf, úi respectiv până la baza conului, determină

lungimea reală a generatoarelor ce sunt transpuse cu ajutorul compasului

lungimea reală a generatoarelor ce sunt transpuse cu ajutorul compasului

(respectând numerele de ordine) – Fig. 9.7.b, unde este reprezentată

(respectând numerele de ordine) – Fig. 9.7.b, unde este reprezentată

desfăúurata conului.

desfăúurata conului.

Desfăúurata sferei se construieúte după metoda descrisă în Fig. 8.6.a,

Desfăúurata sferei se construieúte după metoda descrisă în Fig. 8.6.a,

cu deosebirea că în acest caz, linia de intersecĠie nu este o linie dreaptă, ci

cu deosebirea că în acest caz, linia de intersecĠie nu este o linie dreaptă, ci

o linie curbă.

o linie curbă.

9.8 Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată

9.8 Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată

x Cazul în care latura pătratului a este mai mare decât diametrul D al

x Cazul în care latura pătratului a este mai mare decât diametrul D al

cercului

cercului

Pentru determinarea desfăúuratei ansamblului se procedează astfel:

Pentru determinarea desfăúuratei ansamblului se procedează astfel:

cercul de diametru D se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece),

cercul de diametru D se împarte în 2n părĠi egale (douăsprezece),

obĠinându-se punctele 1, 2, 3, etc.

obĠinându-se punctele 1, 2, 3, etc.

ConstrucĠia este formată din patru elemente plane: triunghiurile I – 1 – II;

ConstrucĠia este formată din patru elemente plane: triunghiurile I – 1 – II;

II – 4 – III, etc. úi din patru conuri eliptice înclinate identice, având baza

II – 4 – III, etc. úi din patru conuri eliptice înclinate identice, având baza

circulară comună, cu diametrul D úi vârfurile I, II, III úi IV.

circulară comună, cu diametrul D úi vârfurile I, II, III úi IV.

Determinarea desfăúuratei se reduce la determinarea elementelor

Determinarea desfăúuratei se reduce la determinarea elementelor

plane úi conice. În Fig. 9.8 sunt determinate lungimile reale ale

plane úi conice. În Fig. 9.8 sunt determinate lungimile reale ale

generatoarelor elementelor conice, unde segmentul AV este egal cu

generatoarelor elementelor conice, unde segmentul AV este egal cu

înălĠimea h, iar segmentele A1, A2, A3, etc. sunt egale cu segmentele II 1,

înălĠimea h, iar segmentele A1, A2, A3, etc. sunt egale cu segmentele II 1,

II 2, etc. lungimile reale ale generatoarelor sunt 1V, 2 V, etc.

II 2, etc. lungimile reale ale generatoarelor sunt 1V, 2 V, etc.

98

98

Fig. 9.7

Fig. 9.7

În Fig. 9.8 se ia segmentul A1 = h = m, iar din punctele A úi 1, cu

În Fig. 9.8 se ia segmentul A1 = h = m, iar din punctele A úi 1, cu

ajutorul compasului se descriu arce de cerc cu razele 1V úi a/2, care se

ajutorul compasului se descriu arce de cerc cu razele 1V úi a/2, care se

intersectează în punctul II. Cu centrul în II se descrie un arc cu raza

intersectează în punctul II. Cu centrul în II se descrie un arc cu raza

II 2 = V 2. Cu centrul în 1 úi cu raza r = 12 se descrie un arc de cerc care

II 2 = V 2. Cu centrul în 1 úi cu raza r = 12 se descrie un arc de cerc care

intersectează pe precedentul în punctul 2. ConstrucĠia se continuă în

intersectează pe precedentul în punctul 2. ConstrucĠia se continuă în

acelaúi mod până când se determină întreaga desfăúurată. Analitic,

acelaúi mod până când se determină întreaga desfăúurată. Analitic,

parametrii racordării se pot determina folosind următoarele relaĠii:

parametrii racordării se pot determina folosind următoarele relaĠii:

r SD ; 2n

l

K

2

m

§a D·  ¨  ¸ h ©2 2 ¹

§a D · ¨¨  sin M K ¸¸ ©2 2 ¹

2

r SD ;

2

2n

2

§a D · ¨ ¨  cos M K ¸¸  h ©2 2 ¹

2

unde: 2n – numărul de părĠi în care se împarte cercul; JK = KH, unde H

0

360 (unghiul la centru); 2n

99

l

K

2

m

§a D·  ¨  ¸ h ©2 2 ¹

§a D · ¨¨  sin M K ¸¸ ©2 2 ¹

2

2

2

§a D · ¨ ¨  cos M K ¸¸  h ©2 2 ¹

2

unde: 2n – numărul de părĠi în care se împarte cercul; JK = KH, unde H

0

360 (unghiul la centru); 2n

99

m – înălĠimea feĠei triunghiului;

m – înălĠimea feĠei triunghiului;

K – numărul de ordine al punctului de împărĠire a cercului;

K – numărul de ordine al punctului de împărĠire a cercului;

lK – lungimea reală a muchiilor.

lK – lungimea reală a muchiilor.

Fig. 9.8

Fig. 9.8

x Cazul în care latura pătratului a este mai mică decât diametrul D al

cercului.

x Cazul în care latura pătratului a este mai mică decât diametrul D al

cercului.

Se procedează la fel ca úi în cazul în care latura pătratului este mai mare

Se procedează la fel ca úi în cazul în care latura pătratului este mai mare

decât diametrul D al cercului, Fig.9.8.

decât diametrul D al cercului, Fig.9.8.

x Cazul în care latura pătratului a este egală cu diametrul D al cercului

x Cazul în care latura pătratului a este egală cu diametrul D al cercului

ConstrucĠia desfăúuratei acestui ansamblu (Fig.9.9) este similară cu cea

ConstrucĠia desfăúuratei acestui ansamblu (Fig.9.9) este similară cu cea

descrisă la primul caz. RelaĠiile analitice pentru determinarea parametrilor

descrisă la primul caz. RelaĠiile analitice pentru determinarea parametrilor

racordării sunt:

racordării sunt:

r SD ; m h ; 2n

l

K

§D ¨¨ © 2

100

2

· ¸¸ >3  2 sin M ¹

K



cos M

K

@ h

2

r SD ; m h ; 2n

l

K

§D ¨¨ © 2

100

2

· ¸¸ >3  2 sin M ¹

K



cos M

K

@ h

2

Fig. 9.9

Fig. 9.9

Fig. 9.10

Fig. 9.10

x Cazul în care latura pătratului a este egală cu diametrul D al cercului

x Cazul în care latura pătratului a este egală cu diametrul D al cercului

ConstrucĠia desfăúuratei acestui ansamblu (Fig.9.10) este similară cu cea

ConstrucĠia desfăúuratei acestui ansamblu (Fig.9.10) este similară cu cea

descrisă la primul caz. RelaĠiile analitice pentru determinarea parametrilor

descrisă la primul caz. RelaĠiile analitice pentru determinarea parametrilor

racordării sunt:

racordării sunt:

r SD ; 2n

m h;

l

K

§D ¨¨ © 2

2

· ¸¸ >3  2 sin M ¹ 101

K



cos M

K

@ h

2

r SD ; 2n

m h;

l

K

§D ¨¨ © 2

2

· ¸¸ >3  2 sin M ¹ 101

K



cos M

K

@ h

2

10. LINII, SUPRAFEğE ùI CORPURI ELICOIDALE

10. LINII, SUPRAFEğE ùI CORPURI ELICOIDALE

10.1 Linii elicoidale

10.1 Linii elicoidale

10.1.1 Elicea cilindrică

10.1.1 Elicea cilindrică

Elicea cilindrică sau linia elicoidală cilindrică este curba trasată pe

Elicea cilindrică sau linia elicoidală cilindrică este curba trasată pe

suprafaĠa unui cilindru care intersectează generatoarele cilindrului sub un

suprafaĠa unui cilindru care intersectează generatoarele cilindrului sub un

unghi constant. Când cilindrul este de rotaĠie, elicea trasată se numeúte

unghi constant. Când cilindrul este de rotaĠie, elicea trasată se numeúte

elice circulară. DistanĠa dintre două puncte succesive de intersecĠie a

elice circulară. DistanĠa dintre două puncte succesive de intersecĠie a

elicei cu aceeaúi generatoare se numeúte pas úi se notează cu p. Unghiul

elicei cu aceeaúi generatoare se numeúte pas úi se notează cu p. Unghiul

elicei este unghiul constant pe care îl face tangenta la elice cu planul unei

elicei este unghiul constant pe care îl face tangenta la elice cu planul unei

secĠiuni drepte.

secĠiuni drepte.

Fig. 10.1

102

Fig. 10.1

102

Pentru a trasa, pe cilindrul drept cu bazele cercuri cu centrele în

Pentru a trasa, pe cilindrul drept cu bazele cercuri cu centrele în

:1 (Z1, Z’1) úi :2 (Z2, Z’2) – Fig. 10.1.a, elicea care este generată prin

:1 (Z1, Z’1) úi :2 (Z2, Z’2) – Fig. 10.1.a, elicea care este generată prin

deplasarea punctului A ( a, a’ ) se împart în douăsprezece părĠi egale atât

deplasarea punctului A ( a, a’ ) se împart în douăsprezece părĠi egale atât

§

cercul de bază al cilindrului, ¨¨ aa1

a1a2

©

pasul p al elicei §¨ a'1 12 ..... 11a'12 ©

.....

a10 a11

a11a12

360o · ¸ , cât úi 12 ¸¹

p· ¸ . În mod succesiv, considerându12 ¹

§

cercul de bază al cilindrului, ¨¨ aa1

a1a2

©

pasul p al elicei §¨ a'1 12 ..... 11a'12 ©

.....

a10 a11

a11a12

360o · ¸ , cât úi 12 ¸¹

p· ¸ . În mod succesiv, considerându12 ¹

se deplasările proporĠionale, se determină proiecĠiile verticale a’, a1’,……,

se deplasările proporĠionale, se determină proiecĠiile verticale a’, a1’,……,

a12’, prin care se trasează elicea Ġinând seama de vizibilitate. Prin simetrie,

a12’, prin care se trasează elicea Ġinând seama de vizibilitate. Prin simetrie,

se trasează elicea úi pe cealaltă porĠiune a cilindrului. Pentru a desfăúura

se trasează elicea úi pe cealaltă porĠiune a cilindrului. Pentru a desfăúura

elicea, se desfăúoară cilindrul úi se transpun pe desfăúurată punctele prin

elicea, se desfăúoară cilindrul úi se transpun pe desfăúurată punctele prin

care s-a trasat elicea. Desfăúurata elicei este linia dreaptă A*A*1 conform

care s-a trasat elicea. Desfăúurata elicei este linia dreaptă A*A*1 conform

Fig. 10.1.b.

Fig. 10.1.b.

10.1.2 Elicea conică

10.1.2 Elicea conică

Se numeúte elice conică, curba generată de un punct care se

Se numeúte elice conică, curba generată de un punct care se

deplasează de-a lungul unei generatoare a unui con circular drept, în timp

deplasează de-a lungul unei generatoare a unui con circular drept, în timp

ce conul execută o miúcare de rotaĠie în jurul axei sale, traiectoria

ce conul execută o miúcare de rotaĠie în jurul axei sale, traiectoria

punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.

punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.

Pentru construcĠia elicei, pe conul circular drept cu baza un cerc, cu

Pentru construcĠia elicei, pe conul circular drept cu baza un cerc, cu

centrul în : ( Z, Z’ ) úi vârful în S ( s, s’ ) – Fig. 10.2.a, se împart în

centrul în : ( Z, Z’ ) úi vârful în S ( s, s’ ) – Fig. 10.2.a, se împart în

douăsprezece părĠi egale atât cercul de bază al conului în proiecĠie

douăsprezece părĠi egale atât cercul de bază al conului în proiecĠie

orizontală (12111=1121=……=111121) cât úi pasul p în proiecĠie verticală

orizontală (12111=1121=……=111121) cât úi pasul p în proiecĠie verticală

(12’11’=1’2’=……=11’12’). Cu ajutorul liniilor de ordine se determină în

(12’11’=1’2’=……=11’12’). Cu ajutorul liniilor de ordine se determină în

proiecĠie orizontală 1, 2,……, 11, 12. Cu vârful compasului în s se descrie

proiecĠie orizontală 1, 2,……, 11, 12. Cu vârful compasului în s se descrie

un arc de cerc din 1 până la intersecĠia cu s11 úi se determină 10. Cu linie

un arc de cerc din 1 până la intersecĠia cu s11 úi se determină 10. Cu linie

de ordine din 10 se determină, pe paralela din 1’ la axa Ox, proiecĠia

de ordine din 10 se determină, pe paralela din 1’ la axa Ox, proiecĠia

verticală 1’0. Similar se determină úi celelalte puncte ale elicei, notate în

verticală 1’0. Similar se determină úi celelalte puncte ale elicei, notate în

103

103

figură numai pe porĠiunea pasului p. Prin desfăúurarea conului se obĠine úi

figură numai pe porĠiunea pasului p. Prin desfăúurarea conului se obĠine úi

transformata prin desfăúurare a elicei, care este o spirală Arhimede,

transformata prin desfăúurare a elicei, care este o spirală Arhimede,

Fig.9.2.b.

Fig.9.2.b.

Fig. 10.2

Fig. 10.2

10.1.3 Elicea sferică

10.1.3 Elicea sferică

Se numeúte elice sferică curba generată de un punct care se

Se numeúte elice sferică curba generată de un punct care se

deplasează pe cercuri paralele ale unei sfere, în timp ce sfera execută o

deplasează pe cercuri paralele ale unei sfere, în timp ce sfera execută o

miúcare de rotaĠie în jurul unei axe perpendiculare pe planele paralelelor,

miúcare de rotaĠie în jurul unei axe perpendiculare pe planele paralelelor,

traiectoria punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.

traiectoria punctului fiind proporĠională cu unghiul de rotaĠie.

Pentru construcĠia elicei pe sfera cu centrul în : (Z, Z’) – Fig. 10.3,

Pentru construcĠia elicei pe sfera cu centrul în : (Z, Z’) – Fig. 10.3,

se poate utiliza semisfera superioară, pe care se împarte sfertul de cerc

se poate utiliza semisfera superioară, pe care se împarte sfertul de cerc

1’13’ în douăsprezece părĠi egale (1'2' 2'3' ...... 12'13'

90o ). Cu linie de 12

1’13’ în douăsprezece părĠi egale (1'2' 2'3' ...... 12'13'

90o ). Cu linie de 12

ordine se determină în proiecĠie orizontală 1, 2,……, 12, 13 pe Zg.

ordine se determină în proiecĠie orizontală 1, 2,……, 12, 13 pe Zg.

Conturul aparent al sferei în proiecĠie orizontală se împarte în acelaúi

Conturul aparent al sferei în proiecĠie orizontală se împarte în acelaúi

număr de părĠi ( ab bc ...... pa

360o ). 12

104

număr de părĠi ( ab bc ...... pa

360o ). 12

104

Cu vârful compasului în Z úi cu raza Z2 se trasează un arc de cerc,

Cu vârful compasului în Z úi cu raza Z2 se trasează un arc de cerc,

care întâlneúte Zb în b2. Cu linie de ordine din b2 se determină, pe paralela

care întâlneúte Zb în b2. Cu linie de ordine din b2 se determină, pe paralela

din 2’ la axa Ox, proiecĠia verticală b’2. Similar se determină úi celelalte

din 2’ la axa Ox, proiecĠia verticală b’2. Similar se determină úi celelalte

puncte ale elicei sferice, care se trasează Ġinând seama de vizibilitate. Prin

puncte ale elicei sferice, care se trasează Ġinând seama de vizibilitate. Prin

simetrie faĠă de a1’1’, se trasează elicea úi în semisfera interioară.

simetrie faĠă de a1’1’, se trasează elicea úi în semisfera interioară.

Fig. 10.3

Fig. 10.3

10.2 SuprafeĠe elicoidale

10.2 SuprafeĠe elicoidale

SuprafeĠele elicoidale se pot încadra foarte bine úi la suprafeĠe curbe.

SuprafeĠele elicoidale se pot încadra foarte bine úi la suprafeĠe curbe.

Ele au particular numai aceea că punctele elementului generator al

Ele au particular numai aceea că punctele elementului generator al

suprafeĠei fie riglat, fie neriglat, se deplasează după linii elicoidale. Având

suprafeĠei fie riglat, fie neriglat, se deplasează după linii elicoidale. Având

în vedere larga lor aplicaĠie în tehnică vor fi expuse detaliat.

în vedere larga lor aplicaĠie în tehnică vor fi expuse detaliat.

105

105

SuprafeĠele elicoidale riglate pot fi strâmbe, atunci când segmentul

SuprafeĠele elicoidale riglate pot fi strâmbe, atunci când segmentul

generator formează cu axa liniei elicoidale un unghi diferit de 900 úi drepte

generator formează cu axa liniei elicoidale un unghi diferit de 900 úi drepte

când segmentul generator face 900 cu axa.

când segmentul generator face 900 cu axa.

10.2.1 SuprafaĠa elicoidală strâmbă

10.2.1 SuprafaĠa elicoidală strâmbă

Este generată de un segment a cărui dreaptă este concurentă cu axa

Este generată de un segment a cărui dreaptă este concurentă cu axa

(segmentul AB (ab, a’b’) din Fig. 10.4. Pasul este p úi diferenĠa cotelor

(segmentul AB (ab, a’b’) din Fig. 10.4. Pasul este p úi diferenĠa cotelor

punctelor A úi B este de 3p/12, această diferenĠă păstrându-se tot timpul.

punctelor A úi B este de 3p/12, această diferenĠă păstrându-se tot timpul.

Dacă această diferenĠă nu este un multiplu de p/12, în general p/n,

Dacă această diferenĠă nu este un multiplu de p/12, în general p/n,

atunci apar mai multe linii de construcĠie, necesitând o mai mare atenĠie în

atunci apar mai multe linii de construcĠie, necesitând o mai mare atenĠie în

timpul lucrului. Pe linia elicoidală a punctului A (a, a’), acesta ajunge după

timpul lucrului. Pe linia elicoidală a punctului A (a, a’), acesta ajunge după

360O în A12 (a12, a’12), iar punctul B (b, b’), pe linia elicoidală respectivă,

360O în A12 (a12, a’12), iar punctul B (b, b’), pe linia elicoidală respectivă,

ajunge în B12 (b12, b’12).

ajunge în B12 (b12, b’12).

În proiecĠie orizontală, suprafaĠa generată se proiectează după o

În proiecĠie orizontală, suprafaĠa generată se proiectează după o

coroană circulară, la care cercul mic are diametrul cilindrului miez úi

coroană circulară, la care cercul mic are diametrul cilindrului miez úi

diametrul cercului mare egal cu diametrul cilindrului pe care se deplasează

diametrul cercului mare egal cu diametrul cilindrului pe care se deplasează

punctul B.

punctul B.

ProiecĠia verticală cere mai multă atenĠie, în sensul că se trasează

ProiecĠia verticală cere mai multă atenĠie, în sensul că se trasează

linii elicoidale pentru cât mai multe puncte ale segmentului generator AB.

linii elicoidale pentru cât mai multe puncte ale segmentului generator AB.

Înfăúurătoarea acestor linii elicoidale va fi protecĠia verticală a suprafeĠei.

Înfăúurătoarea acestor linii elicoidale va fi protecĠia verticală a suprafeĠei.

În acest scop, în Fig. 10.4 alături de punctele A úi B mai sunt luate úi

În acest scop, în Fig. 10.4 alături de punctele A úi B mai sunt luate úi

punctele C (c, c’) úi D (d, d’), care, ajung în C12 (c12, c’12) úi D12 (d12, d’12).

punctele C (c, c’) úi D (d, d’), care, ajung în C12 (c12, c’12) úi D12 (d12, d’12).

Odată cu trasarea celor patru linii elicoidale se pot trasa úi diferitele poziĠii

Odată cu trasarea celor patru linii elicoidale se pot trasa úi diferitele poziĠii

ale generatoarei úi apoi înfăúurătoarea acestora, obĠinând astfel proiecĠia

ale generatoarei úi apoi înfăúurătoarea acestora, obĠinând astfel proiecĠia

verticală a suprafeĠei.

verticală a suprafeĠei.

Dacă diametrul cilindrului miez este redus la axa de simetrie, se

Dacă diametrul cilindrului miez este redus la axa de simetrie, se

poate uúor vedea că generatoarea se deplasează pe această axă úi pe linia

poate uúor vedea că generatoarea se deplasează pe această axă úi pe linia

elicoidală a lui B, care sunt cele două directoare.

elicoidală a lui B, care sunt cele două directoare.

106

106

Caracteristic pentru această suprafaĠă este faptul că generatoarea

Caracteristic pentru această suprafaĠă este faptul că generatoarea

intersectează axa cilindrului mereu sub acelaúi unghi, rămânând, în

intersectează axa cilindrului mereu sub acelaúi unghi, rămânând, în

miúcarea ei, paralelă cu generatoarea unui con circular drept, coaxial cu

miúcarea ei, paralelă cu generatoarea unui con circular drept, coaxial cu

suprafaĠă elicoidală, con care poartă numele de con director (conul cu

suprafaĠă elicoidală, con care poartă numele de con director (conul cu

vârful în S ( s, s’ )).

vârful în S ( s, s’ )).

SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei elicoidale este

SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei elicoidale este

o spirală Arhimede. Fie >H1@ un astfel de plan, care este intersectat de

o spirală Arhimede. Fie >H1@ un astfel de plan, care este intersectat de

liniile elicoidale ale punctelor A úi B, respectiv A4 (a4, a’4) úi B7 (b7, b’7).

liniile elicoidale ale punctelor A úi B, respectiv A4 (a4, a’4) úi B7 (b7, b’7).

PoziĠiile intermediare ale generatoarei intersectează planul >H1@ în punctele

PoziĠiile intermediare ale generatoarei intersectează planul >H1@ în punctele

C6 (c6, c’6) úi D5 (d5, d’5). Dacă nu sunt suficiente punctele pentru trasarea

C6 (c6, c’6) úi D5 (d5, d’5). Dacă nu sunt suficiente punctele pentru trasarea

curbei se pot lua úi alte poziĠii ale generatoarei.

curbei se pot lua úi alte poziĠii ale generatoarei.

Fig. 10.4

107

Fig. 10.4

107

În Fig. 10.4 este luată poziĠia EF a cărei proiecĠie orizontală este ef,

În Fig. 10.4 este luată poziĠia EF a cărei proiecĠie orizontală este ef,

cu proiecĠia verticală e’f ’ care intersectează urma verticală H1v în punctul

cu proiecĠia verticală e’f ’ care intersectează urma verticală H1v în punctul

i’, de unde se găseúte i, aúa cum arată săgeata. Punctele A4, I, D5, C6 úi B7

i’, de unde se găseúte i, aúa cum arată săgeata. Punctele A4, I, D5, C6 úi B7

determină curba de secĠiune.

determină curba de secĠiune.

Din cele două miúcări proporĠionale (rotaĠie úi translaĠie) în lungul

Din cele două miúcări proporĠionale (rotaĠie úi translaĠie) în lungul

axei cilindrului, atunci când generatoarea înaintează planul de nivel >H1@,

axei cilindrului, atunci când generatoarea înaintează planul de nivel >H1@,

punctul de intersecĠie execută a treia miúcare de translaĠie, radială, care în

punctul de intersecĠie execută a treia miúcare de translaĠie, radială, care în

proiecĠie orizontală generează curba a4id5c6b7. Având în vedere miúcările

proiecĠie orizontală generează curba a4id5c6b7. Având în vedere miúcările

proporĠionale de rotaĠie úi de translaĠie radială, curba de secĠiune cu planul

proporĠionale de rotaĠie úi de translaĠie radială, curba de secĠiune cu planul

>H1@ este o spirală Arhimede.

>H1@ este o spirală Arhimede.

10.2.2 SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă care nu intersectează axa

10.2.2 SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă care nu intersectează axa

Fie dat segmentul de dreaptă, în poziĠie iniĠială AB (ab, a’b’) tangent

Fie dat segmentul de dreaptă, în poziĠie iniĠială AB (ab, a’b’) tangent

la cilindrul indicat în Fig. 10.5, a cărui rază este perpendiculara comună

la cilindrul indicat în Fig. 10.5, a cărui rază este perpendiculara comună

dintre axă úi generatoare. Elicea generată de punctul de tangenĠă A ( a, a’ )

dintre axă úi generatoare. Elicea generată de punctul de tangenĠă A ( a, a’ )

poartă numele de elice colier. Dreapta generatoare nu este tangentă la linia

poartă numele de elice colier. Dreapta generatoare nu este tangentă la linia

elicoidală a punctului A ( a, a’ ).

elicoidală a punctului A ( a, a’ ).

Trasarea suprafeĠei elicoidale se poate face ca úi în cazul precedent

Trasarea suprafeĠei elicoidale se poate face ca úi în cazul precedent

sau trasând liniile elicoidale ale punctelor A úi B, diferitele poziĠii ale

sau trasând liniile elicoidale ale punctelor A úi B, diferitele poziĠii ale

generatoarei úi apoi, înfăúurătoarea acestora.

generatoarei úi apoi, înfăúurătoarea acestora.

Deoarece generatoarea, în diferitele ei poziĠii, făcând acelaúi unghi D

Deoarece generatoarea, în diferitele ei poziĠii, făcând acelaúi unghi D

cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei (planul >H@) are con director de

cu un plan perpendicular pe axa suprafeĠei (planul >H@) are con director de

rotaĠie. În Fig.10.5 se arată modul de găsire a mărimii unghiului D úi se

rotaĠie. În Fig.10.5 se arată modul de găsire a mărimii unghiului D úi se

pune în evidenĠă conul director cu vârful în S (s, s’). De asemenea se vede

pune în evidenĠă conul director cu vârful în S (s, s’). De asemenea se vede

în proiecĠie orizontală secĠiunea cu planul >H1@, care, de data aceasta nu

în proiecĠie orizontală secĠiunea cu planul >H1@, care, de data aceasta nu

este o spirală Arhimede.

este o spirală Arhimede.

108

108

Fig. 10.5

Fig. 10.6

Fig. 10.5

Fig. 10.6

SuprafeĠele elicoidale, în general, nu sunt desfăúurabile. În cazul

SuprafeĠele elicoidale, în general, nu sunt desfăúurabile. În cazul

special când dreapta generatoare este tangentă la elicea colier, suprafaĠa

special când dreapta generatoare este tangentă la elicea colier, suprafaĠa

care apare poate fi desfăúurată úi este prezentată în Fig. 10.6.

care apare poate fi desfăúurată úi este prezentată în Fig. 10.6.

10.2.3 SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a

10.2.3 SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a

cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este

cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este

concurentă cu aceasta

concurentă cu aceasta

Fie pe Fig. 10.7 segmentul AB ( ab, a’b’ ), punctul A fiind pe

Fie pe Fig. 10.7 segmentul AB ( ab, a’b’ ), punctul A fiind pe

suprafaĠa cilindrului miez de diametru d. În deplasarea lui elicoidală,

suprafaĠa cilindrului miez de diametru d. În deplasarea lui elicoidală,

segmentul rămâne tot timpul paralel cu planul >H@, deci, va genera o

segmentul rămâne tot timpul paralel cu planul >H@, deci, va genera o

suprafaĠă cu plan director, care, în cazul de faĠă, este un conoid elicoidal.

suprafaĠă cu plan director, care, în cazul de faĠă, este un conoid elicoidal.

109

109

Fig. 10.7

Fig. 10.8

Fig. 10.7

Fig. 10.8

Reprezentarea este mai simplă decât la suprafeĠele elicoidale simple

Reprezentarea este mai simplă decât la suprafeĠele elicoidale simple

ca la suprafeĠe elicoidale strâmbe. Când segmentul generator ajunge în

ca la suprafeĠe elicoidale strâmbe. Când segmentul generator ajunge în

poziĠie de capăt, cele două linii elicoidale ale punctelor A úi B, în proiecĠie

poziĠie de capăt, cele două linii elicoidale ale punctelor A úi B, în proiecĠie

verticală, trec prin proiecĠia segmentului, care este un punct situat pe axă.

verticală, trec prin proiecĠia segmentului, care este un punct situat pe axă.

SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după o poziĠie a

SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după o poziĠie a

generatoarei. De exemplu, planul >H1@ intersectează suprafaĠa elicoidală

generatoarei. De exemplu, planul >H1@ intersectează suprafaĠa elicoidală

după A8B8 (a8b8, a’8b’8).

după A8B8 (a8b8, a’8b’8).

10.2.4. SuprafaĠa elicoidală generată de o dreaptă care nu este concurentă cu axa, dar face un unghi de 900 cu aceasta

10.2.4. SuprafaĠa elicoidală generată de o dreaptă care nu este concurentă cu axa, dar face un unghi de 900 cu aceasta

Dreapta rămâne în toate poziĠiile paralelă cu un plan perpendicular

Dreapta rămâne în toate poziĠiile paralelă cu un plan perpendicular

pe axă úi se reazemă tot timpul pe două linii elicoidale. Pe elicea colier

pe axă úi se reazemă tot timpul pe două linii elicoidale. Pe elicea colier

generată de punctul A de tangenĠă a generatoarei cu cilindrul úi pe elicea

generată de punctul A de tangenĠă a generatoarei cu cilindrul úi pe elicea

punctului B, a doua extremitate a segmentului generator, suprafaĠa obĠinută

punctului B, a doua extremitate a segmentului generator, suprafaĠa obĠinută

este un cilindroid elicoidal (Fig. 10.8).

este un cilindroid elicoidal (Fig. 10.8).

110

110

În cazul de faĠă, în proiecĠie verticală, când generatoarea ajunge în

În cazul de faĠă, în proiecĠie verticală, când generatoarea ajunge în

poziĠie de capăt, apar trecând prin aceste puncte (pe generatoarele de

poziĠie de capăt, apar trecând prin aceste puncte (pe generatoarele de

contur aparent ale cilindrului) úi cele două linii elicoidale.

contur aparent ale cilindrului) úi cele două linii elicoidale.

În baza celor prezentate, conoidul úi cilindroidul elicoidal pot fi

În baza celor prezentate, conoidul úi cilindroidul elicoidal pot fi

recunoscute úi numai după proiecĠiile lor verticale. SecĠiunea cu un plan

recunoscute úi numai după proiecĠiile lor verticale. SecĠiunea cu un plan

>H@ perpendicular pe axă se face după poziĠia generatoarei care se află în

>H@ perpendicular pe axă se face după poziĠia generatoarei care se află în

acel plan. Pe figură se observă indicat planul >H1@ prin urma verticală úi

acel plan. Pe figură se observă indicat planul >H1@ prin urma verticală úi

intersecĠia acestuia cu suprafaĠa elicoidală după poziĠia generatoarei A3B3

intersecĠia acestuia cu suprafaĠa elicoidală după poziĠia generatoarei A3B3

(a3b3, a’3b’3).

(a3b3, a’3b’3).

10.3 Corpuri elicoidale (elipsoide)

10.3 Corpuri elicoidale (elipsoide)

Corpurile elicoidale sunt generate de suprafeĠe ale căror puncte se

Corpurile elicoidale sunt generate de suprafeĠe ale căror puncte se

rotesc după linii elicoidale. De cele mai multe ori acestea fac corp comun

rotesc după linii elicoidale. De cele mai multe ori acestea fac corp comun

cu un cilindru miez, aúa cum este în cazul filetelor, al roĠilor dinĠate

cu un cilindru miez, aúa cum este în cazul filetelor, al roĠilor dinĠate

cilindrice cu dinĠi elicoidali, al stâlpilor cu nervură elicoidală pentru

cilindrice cu dinĠi elicoidali, al stâlpilor cu nervură elicoidală pentru

fundaĠii, etc.

fundaĠii, etc.

Uneori, un corp adus sub formă elicoidală este lipit de un cilindru

Uneori, un corp adus sub formă elicoidală este lipit de un cilindru

miez, formând un organ pentru o anumită instalaĠie de transport (încărcare,

miez, formând un organ pentru o anumită instalaĠie de transport (încărcare,

descărcare). Alteori pentru acelaúi scop, se întrebuinĠează úuruburi cu pas

descărcare). Alteori pentru acelaúi scop, se întrebuinĠează úuruburi cu pas

sau cu diametru variabil. Apoi sunt cazuri când corpurile elicoidale se

sau cu diametru variabil. Apoi sunt cazuri când corpurile elicoidale se

întrebuinĠează fără a fi rigid fixate de un cilindru (arcuri úi conducte

întrebuinĠează fără a fi rigid fixate de un cilindru (arcuri úi conducte

elicoidale, etc.).

elicoidale, etc.).

Alteori, elementul generator are un anumit profil, determinat

Alteori, elementul generator are un anumit profil, determinat

hidrodinamic sau aerodinamic, pentru a asigura o rezistenĠă minimă la

hidrodinamic sau aerodinamic, pentru a asigura o rezistenĠă minimă la

înaintare úi o tracĠiune sau o împingere maximă. Este cazul elicelor de

înaintare úi o tracĠiune sau o împingere maximă. Este cazul elicelor de

vapoare úi de avioane, unde, pentru a obĠine un randament maxim,

vapoare úi de avioane, unde, pentru a obĠine un randament maxim,

elementul generator îúi schimbă mărimea úi pasul.

elementul generator îúi schimbă mărimea úi pasul.

111

111

O suprafaĠă elicoidală generată de un dreptunghi, cu dimensiuni

O suprafaĠă elicoidală generată de un dreptunghi, cu dimensiuni

corespunzătoare, în cazul când panta este mică, poate servi la urcarea úi

corespunzătoare, în cazul când panta este mică, poate servi la urcarea úi

coborârea autovehiculelor la garajele colective cu 1 – 4 nivele sau chiar

coborârea autovehiculelor la garajele colective cu 1 – 4 nivele sau chiar

mai multe. Când panta depăúeúte o anumită limită, pe partea superioară pot

mai multe. Când panta depăúeúte o anumită limită, pe partea superioară pot

fi practicate trepte pentru urcare úi coborâre (la scările elicoidale sau la

fi practicate trepte pentru urcare úi coborâre (la scările elicoidale sau la

racordarea a două pante orientate în direcĠii opuse).

racordarea a două pante orientate în direcĠii opuse).

La corpurile elicoidale generate de suprafeĠe poligonale, problema

La corpurile elicoidale generate de suprafeĠe poligonale, problema

revine la a intersecta suprafeĠele elicoidale generate de dreptele din care

revine la a intersecta suprafeĠele elicoidale generate de dreptele din care

fac parte laturile poligonului.

fac parte laturile poligonului.

Fig. 10.9

112

Fig. 10.9

112

Astfel, nervura elicoidală generată de triunghiul (DEJ, D’E’J’) –

Astfel, nervura elicoidală generată de triunghiul (DEJ, D’E’J’) –

Fig.10.9 are faĠa generată de latura (DE,D’E’) identică, tot timpul, cu

Fig.10.9 are faĠa generată de latura (DE,D’E’) identică, tot timpul, cu

suprafaĠa laterală a cilindrului úi limitată de liniile elicoidale ale

suprafaĠa laterală a cilindrului úi limitată de liniile elicoidale ale

extremităĠilor segmentului generator. Celelalte două suprafeĠe elicoidale

extremităĠilor segmentului generator. Celelalte două suprafeĠe elicoidale

sunt generate de dreptele din care fac parte laturile (DJ, D’J’) úi (EJ, E’J’)

sunt generate de dreptele din care fac parte laturile (DJ, D’J’) úi (EJ, E’J’)

ale triunghiului generator úi au, ca linie de intersecĠie, linia elicoidală a

ale triunghiului generator úi au, ca linie de intersecĠie, linia elicoidală a

vârfului (J, J’).

vârfului (J, J’).

De cele mai multe ori, în cazul acestui profil, pasul este egal cu

De cele mai multe ori, în cazul acestui profil, pasul este egal cu

latura triunghiului, rezultând filetul triunghiular cu un început – Fig. 10.10.

latura triunghiului, rezultând filetul triunghiular cu un început – Fig. 10.10.

Fig. 10.10

Fig. 10.11

Fig. 10.10

Fig. 10.11

Uneori, se cere ca filetele să aibă două începuturi, pasul fiind de

Uneori, se cere ca filetele să aibă două începuturi, pasul fiind de

două ori un plin úi un gol. Trasarea úi secĠionarea se fac la fel ca la figurile

două ori un plin úi un gol. Trasarea úi secĠionarea se fac la fel ca la figurile

anterioare. Având în vedere însă că sunt două nervuri elicoidale, fiecare

anterioare. Având în vedere însă că sunt două nervuri elicoidale, fiecare

nervură va fi mărginită în secĠiune de două arce, deci în total de patru arce

nervură va fi mărginită în secĠiune de două arce, deci în total de patru arce

de spirală Arhimede, Fig. 10.11.

de spirală Arhimede, Fig. 10.11.

113

113

10.4 Profilul filetelor

10.4 Profilul filetelor

După cum se útie, profilul filetelor este de mai multe forme.

După cum se útie, profilul filetelor este de mai multe forme.

În Fig. 10.12 este prezentat un filet pătrat pe stânga, cu un început,

În Fig. 10.12 este prezentat un filet pătrat pe stânga, cu un început,

nervura elicoidală fiind limitată de două porĠiuni de suprafeĠe cilindrice,

nervura elicoidală fiind limitată de două porĠiuni de suprafeĠe cilindrice,

cuprinse între liniile elicoidale respective úi de două suprafeĠe elicoidale

cuprinse între liniile elicoidale respective úi de două suprafeĠe elicoidale

drepte. În tot timpul miúcării, pătratul generator se găseúte într-un plan care

drepte. În tot timpul miúcării, pătratul generator se găseúte într-un plan care

trece prin axa cilindrului, iar două dintre laturile pătratului generează

trece prin axa cilindrului, iar două dintre laturile pătratului generează

suprafeĠe elicoidale drepte.

suprafeĠe elicoidale drepte.

Fiind vorba de un filet cu un singur început, pasul p este un plin úi

Fiind vorba de un filet cu un singur început, pasul p este un plin úi

un gol. SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după poziĠiile

un gol. SecĠiunea cu un plan perpendicular pe axă este după poziĠiile

generatoarelor celor două suprafeĠe elicoidale, care sunt cuprinse în acest

generatoarelor celor două suprafeĠe elicoidale, care sunt cuprinse în acest

plan.

plan.

Fig. 10.12

Fig. 10.13

Fig. 10.12

Fig. 10.13

Fig. 10.14

114

Fig. 10.14

114

Profilul filetelor poate să fie úi trapez dreptunghic (Fig. 10.13). La

Profilul filetelor poate să fie úi trapez dreptunghic (Fig. 10.13). La

un astfel de filet pe dreapta cu două începuturi, pasul p cuprinde două

un astfel de filet pe dreapta cu două începuturi, pasul p cuprinde două

plinuri úi două goluri. Cele două suprafeĠe elicoidale, care mărginesc

plinuri úi două goluri. Cele două suprafeĠe elicoidale, care mărginesc

nervurile, sunt una dreaptă úi una strâmbă.

nervurile, sunt una dreaptă úi una strâmbă.

În secĠiunea cu planul >H1@, suprafeĠele elicoidale drepte sunt

În secĠiunea cu planul >H1@, suprafeĠele elicoidale drepte sunt

mărginite de segmentele AB (ab, a’b’) úi CD (cd, c’d’). În ceea ce priveúte

mărginite de segmentele AB (ab, a’b’) úi CD (cd, c’d’). În ceea ce priveúte

suprafeĠele elicoidale strâmbe, secĠiunea lor cu un plan perpendicular pe

suprafeĠele elicoidale strâmbe, secĠiunea lor cu un plan perpendicular pe

axă este mărginită de arcele de spirală Arhimede EI (ei, e’i’) úi FG (fg,

axă este mărginită de arcele de spirală Arhimede EI (ei, e’i’) úi FG (fg,

f’g’). În Fig. 10.14 este indicat un filet cu profil trapez isoscel cu trei

f’g’). În Fig. 10.14 este indicat un filet cu profil trapez isoscel cu trei

începuturi, adică pasul p cuprinde trei plinuri úi trei goluri, suprafeĠe

începuturi, adică pasul p cuprinde trei plinuri úi trei goluri, suprafeĠe

elicoidale care mărginesc nervurile sunt suprafeĠe elicoidale strâmbe.

elicoidale care mărginesc nervurile sunt suprafeĠe elicoidale strâmbe.

Pe figură este executată úi secĠiunea cu planul de nivel >H1@,

Pe figură este executată úi secĠiunea cu planul de nivel >H1@,

perpendicular pe axă fiind indicate pentru una dintre nervuri, punctele A

perpendicular pe axă fiind indicate pentru una dintre nervuri, punctele A

(a, a’), B (b, b’), C (c, c’) úi D (d, d’), unde liniile elicoidale

(a, a’), B (b, b’), C (c, c’) úi D (d, d’), unde liniile elicoidale

corespunzătoare intersectează planul >H@. Numărul de începuturi se poate

corespunzătoare intersectează planul >H@. Numărul de începuturi se poate

citi cu mare uúurinĠă în proiecĠie orizontală, unde apar, pentru fiecare

citi cu mare uúurinĠă în proiecĠie orizontală, unde apar, pentru fiecare

nervură, câte două arce de spirală Arhimede.

nervură, câte două arce de spirală Arhimede.

În Fig. 10.15 este prezentat corpul elicoidal care rezultă prin

În Fig. 10.15 este prezentat corpul elicoidal care rezultă prin

înfăúurarea unei bare cilindrice sau sârme de oĠel pe un cilindru,

înfăúurarea unei bare cilindrice sau sârme de oĠel pe un cilindru,

asigurându-se acelaúi pas p între spire. În acest mod s-a obĠinut arcul

asigurându-se acelaúi pas p între spire. În acest mod s-a obĠinut arcul

elicoidal cilindric, care poate fi considerat úi ca rezultatul deplasării

elicoidal cilindric, care poate fi considerat úi ca rezultatul deplasării

centrului unei sfere, de diametru egal cu diametrul barei cilindrice

centrului unei sfere, de diametru egal cu diametrul barei cilindrice

(sârmei), după linia elicoidală de pas p úi de diametru corespunzător.

(sârmei), după linia elicoidală de pas p úi de diametru corespunzător.

ProiecĠiile

diferitelor

poziĠii

sunt

trasate

cu

linii

subĠiri.

ProiecĠiile

diferitelor

poziĠii

sunt

trasate

cu

linii

subĠiri.

Înfăúurătoarea acestora va fi reprezentarea cilindrului adus sub formă

Înfăúurătoarea acestora va fi reprezentarea cilindrului adus sub formă

elicoidală. Ea este tangentă la fiecare sferă după cercul mare care aparĠine

elicoidală. Ea este tangentă la fiecare sferă după cercul mare care aparĠine

planului ce trece prin centrul sferei úi este normal la axa elicoidală.

planului ce trece prin centrul sferei úi este normal la axa elicoidală.

115

115

Pe planul cu care este paralelă axa, după fiecare 1800, înfăúurătoarea

Pe planul cu care este paralelă axa, după fiecare 1800, înfăúurătoarea

are puncte de întoarcere. Conturul corespunzător semispirelor din spatele

are puncte de întoarcere. Conturul corespunzător semispirelor din spatele

planului de front dus prin axă, pe porĠiunea suprapusă a înfăúurătoarei,

planului de front dus prin axă, pe porĠiunea suprapusă a înfăúurătoarei,

precum úi arcele dintre cele două puncte de întoarcere sunt nevăzute.

precum úi arcele dintre cele două puncte de întoarcere sunt nevăzute.

Fig. 10.15

Fig. 10.15

În proiecĠie orizontală, înfăúurătoarea sferelor arată cele două cercuri

În proiecĠie orizontală, înfăúurătoarea sferelor arată cele două cercuri

concentrice. Tot aici se vede conturul secĠiunii făcute cu planul de nivel

concentrice. Tot aici se vede conturul secĠiunii făcute cu planul de nivel

>H1@. Acest plan secĠionează unele sfere după cercuri de raze r, r1, r2, etc.,

>H1@. Acest plan secĠionează unele sfere după cercuri de raze r, r1, r2, etc.,

care, în proiecĠie orizontală, apar în mărime reală. Înfăúurătoarea acestor

care, în proiecĠie orizontală, apar în mărime reală. Înfăúurătoarea acestor

cercuri dă în această proiecĠie conturul secĠiunii. SecĠiunea cu planul >H@ se

cercuri dă în această proiecĠie conturul secĠiunii. SecĠiunea cu planul >H@ se

trasează la fel, însă cu linie întreruptă, fiind nevăzută. SuprafeĠele care iau

trasează la fel, însă cu linie întreruptă, fiind nevăzută. SuprafeĠele care iau

naútere prin înfăúurarea sferelor de acelaúi diametru, trasate din centre

naútere prin înfăúurarea sferelor de acelaúi diametru, trasate din centre

situate pe o curbă plană sau spaĠială se mai numesc úi suprafeĠe canal.

situate pe o curbă plană sau spaĠială se mai numesc úi suprafeĠe canal.

116

116

CONSTRUCğII GEOMETRICE

CONSTRUCğII GEOMETRICE

11. NOTIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE

11. NOTIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE

11.1 Originea noĠiunilor geometrice fundamentale

11.1 Originea noĠiunilor geometrice fundamentale

Desenul geometric stă la baza geometriei descriptive úi a desenului

Desenul geometric stă la baza geometriei descriptive úi a desenului

tehnic prin aplicarea construcĠiilor geometrice din cadrul geometriei plane.

tehnic prin aplicarea construcĠiilor geometrice din cadrul geometriei plane.

NoĠiunile geometriei plane, postulatele úi teoremele s-au format de-a

NoĠiunile geometriei plane, postulatele úi teoremele s-au format de-a

lungul timpului prin abstractizarea unor realităĠi obiective. S-a convenit ca

lungul timpului prin abstractizarea unor realităĠi obiective. S-a convenit ca

obiectele din spaĠiul tridimensional ( lumea înconjurătoare ) să nu se

obiectele din spaĠiul tridimensional ( lumea înconjurătoare ) să nu se

deosebească în ceea ce priveúte masa, culoarea, forma, úi prin neglijarea

deosebească în ceea ce priveúte masa, culoarea, forma, úi prin neglijarea

neregularităĠilor corpurilor s-a ajuns la forme spaĠiale care se întind în trei

neregularităĠilor corpurilor s-a ajuns la forme spaĠiale care se întind în trei

dimensiuni: lungime, lăĠime úi înălĠime. Astfel un corp în spaĠiu are trei

dimensiuni: lungime, lăĠime úi înălĠime. Astfel un corp în spaĠiu are trei

dimensiuni, o suprafaĠă plană are două dimensiuni, o dreaptă are o singură

dimensiuni, o suprafaĠă plană are două dimensiuni, o dreaptă are o singură

dimensiune, iar punctul geometric nu are dimensiuni.

dimensiune, iar punctul geometric nu are dimensiuni.

“ Punctul geometric ” este o noĠiune matematică abstractă

“ Punctul geometric ” este o noĠiune matematică abstractă

(latinescul abstractus – îndepărtat de realitate) care nu poate fi văzut úi

(latinescul abstractus – îndepărtat de realitate) care nu poate fi văzut úi

nici desenat [p.21].

nici desenat [p.21].

NoĠiunile fundamentale ( care nu se definesc ) ale geometriei plane sunt

NoĠiunile fundamentale ( care nu se definesc ) ale geometriei plane sunt

constituite de punct , dreaptă, plan úi distanĠă. Prin intermediul acestora

constituite de punct , dreaptă, plan úi distanĠă. Prin intermediul acestora

se definesc noĠiunile de: semidreaptă, segment, linie frântă, unghi, etc.

se definesc noĠiunile de: semidreaptă, segment, linie frântă, unghi, etc.

11.2 Punctul úi mulĠimea de puncte

11.2 Punctul úi mulĠimea de puncte

Punctul ( A ) este determinat úi reprezentat prin intersecĠia a două drepte ('1 úi '2 ); A Ÿ '1 ˆ '2

Punctul ( A ) este determinat úi reprezentat prin intersecĠia a două drepte ('1 úi '2 ); A Ÿ '1 ˆ '2

Reprezentarea cea mai precisă a punctului este atunci când unghiul 0

Reprezentarea cea mai precisă a punctului este atunci când unghiul

rezultat din intersecĠia celor două drepte are valoarea de 90 . Pe planul foii

rezultat din intersecĠia celor două drepte are valoarea de 900. Pe planul foii

punctul se reprezintă printr-un cerc mic trasat cu balustrul úi care are

punctul se reprezintă printr-un cerc mic trasat cu balustrul úi care are

centrul situat la intersecĠia imaginară a două drepte conform Fig.11.1.

centrul situat la intersecĠia imaginară a două drepte conform Fig.11.1.

119

119

Orice mulĠime de puncte formează o figură geometrică.

Orice mulĠime de puncte formează o figură geometrică.

MulĠimea face parte din noĠiunile fundamentale ale întregii

MulĠimea face parte din noĠiunile fundamentale ale întregii

matematici.

matematici. 2

1

2

A

1

A

Fig. 11.1

Fig. 11.1

11.3 Linii úi tipuri de linii

11.3 Linii úi tipuri de linii

11.3.1 Linia dreaptă, linia frântă úi linia curbă

11.3.1 Linia dreaptă, linia frântă úi linia curbă

Dreapta sau linia dreaptă este determinată úi se reprezintă ca urma

Dreapta sau linia dreaptă este determinată úi se reprezintă ca urma

punctului care se miúcă în plan (orizontal), urmând drumul cel mai scurt

punctului care se miúcă în plan (orizontal), urmând drumul cel mai scurt

dintre două puncte úi fără să-úi schimbe direcĠia.

dintre două puncte úi fără să-úi schimbe direcĠia.

Dreapta se reprezintă precis atunci când punctele sunt suficient de

Dreapta se reprezintă precis atunci când punctele sunt suficient de

depărtate astfel încât să poată determina o dimensiune măsurabilă conform

depărtate astfel încât să poată determina o dimensiune măsurabilă conform

Fig.11.2.

Fig.11.2.

B

A

Fig. 11.2

Dreapta se mai reprezintă ca “urma” intersecĠiei a două plane [H] úi [V] conform Fig.11.2; AB Ÿ [H] ˆ [V]

B

A

Fig. 11.2

Dreapta se mai reprezintă ca “urma” intersecĠiei a două plane [H] úi [V] conform Fig.11.2; AB Ÿ [H] ˆ [V]

[V]

[V]

B

B

A

A

[H]

[H] Fig. 11.3

120

Fig. 11.3

120

Numărul dreptelor prin mai multe puncte:

Numărul dreptelor prin mai multe puncte:

x Prin două puncte diferite trece o dreaptă úi numai una,

x Prin două puncte diferite trece o dreaptă úi numai una,

x Prin trei puncte diferite care nu sunt situate pe aceeaúi dreaptă trec

x Prin trei puncte diferite care nu sunt situate pe aceeaúi dreaptă trec

trei úi numai trei drepte care unesc fiecare câte două puncte

trei úi numai trei drepte care unesc fiecare câte două puncte

determinând un plan,

determinând un plan,

x Printr-un punct se pot duce în plan o infinitate de drepte; mulĠimea

x Printr-un punct se pot duce în plan o infinitate de drepte; mulĠimea

tuturor dreptelor din plan care au numai un singur punct comun

tuturor dreptelor din plan care au numai un singur punct comun

costituie un fascicul de drepte.

costituie un fascicul de drepte.

Semidreapta conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care se

Semidreapta conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care se

găsesc de aceeaúi parte a unui punct O situat pe această dreaptă, inclusiv

găsesc de aceeaúi parte a unui punct O situat pe această dreaptă, inclusiv

punctul O.

punctul O.

Semidreptei aparĠin numai acele puncte care pot fi atinse din O printr-o

Semidreptei aparĠin numai acele puncte care pot fi atinse din O printr-o

miúcare rectilinie fără nici o schimbare de sens.

miúcare rectilinie fără nici o schimbare de sens.

Segmentul AB conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care se găsesc între punctele A úi B, inclusiv aceste puncte.

Segmentul AB conĠine mulĠimea tuturor punctelor unei drepte care se găsesc între punctele A úi B, inclusiv aceste puncte.

Segmentul este cea mai scurtă legătură dintre punctele A úi B din

Segmentul este cea mai scurtă legătură dintre punctele A úi B din

plan; lungimea segmentului AB reprezintă distanĠa dintre punctele A úi B.

plan; lungimea segmentului AB reprezintă distanĠa dintre punctele A úi B.

Când se ia în considerare sensul segmentului, atunci se notează prin AB

Când se ia în considerare sensul segmentului, atunci se notează prin AB

segmentul care începe în A úi se termină în B.

segmentul care începe în A úi se termină în B.

Linia frântă este de două tipuri: - Linie frântă deschisă; - Linie frântă închisă.

Linia frântă este de două tipuri: - Linie frântă deschisă; - Linie frântă închisă.

Linia frântă deschisă reprezintă reuniunea a două sau mai multe

Linia frântă deschisă reprezintă reuniunea a două sau mai multe

segmente de dreaptă, astfel încât capătul fiecărui segment (înafară de al

segmente de dreaptă, astfel încât capătul fiecărui segment (înafară de al

ultimului) este originea următorului segment, fără ca segmentele alăturate

ultimului) este originea următorului segment, fără ca segmentele alăturate

să se afle pe aceeaúi dreaptă (Fig.11.4 úi Fig.11.5).

să se afle pe aceeaúi dreaptă (Fig.11.4 úi Fig.11.5).

121

121

A3

A2

A1

A6

A4

A2

A1

A2

A1

A6

A5

A3

A3

A4

A5

A4

Fig. 11.4

Fig. 11.5

A3

A2

A1

A6

A5

A5

A4

Fig. 11.4

A6

Fig. 11.5

Linia frântă închisă reprezintă reuniunea a trei sau mai multe

Linia frântă închisă reprezintă reuniunea a trei sau mai multe

segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este originea

segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este originea

primului segment (Fig.11.5 úi Fig.11.6)

primului segment (Fig.11.5 úi Fig.11.6)

Linia frântă închisă simplă reprezintă reuniunea a trei sau mai

Linia frântă închisă simplă reprezintă reuniunea a trei sau mai

multe segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este

multe segmente de dreaptă, astfel încât capătul ultimului segment este

originea primului segment fără ca acestea să se intersecteze (Fig.6).

originea primului segment fără ca acestea să se intersecteze (Fig.6).

A4

A5

A2

A4

A5

A3

A5 A1

A1

A3

Fig. 11.6

A2

A4

A3

A1

A1 A2

A4

A5

A2

Fig. 11.7

Linia curbă este de două tipuri: - Linie curbă deschisă;

A3

Fig. 11.6

Fig. 11.7

Linia curbă este de două tipuri: - Linie curbă deschisă; - Linie curbă închisă.

- Linie curbă închisă. Linia curbă deschisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei punctului

Linia curbă deschisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei punctului

după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri (Fig.11.8).

după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri (Fig.11.8).

B

A

A

B

A B

B Fig. 11.8

122

Fig. 11.8

122

A

Linie curbă

închisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei

Linie curbă

închisă reprezintă schimbarea succesivă a poziĠiei

punctului după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri

punctului după o direcĠie fără ca traictoria acestuia să formeze unghiuri

astfel încât punctul de capăt să coincidă cu originea (Fig.11.9).

astfel încât punctul de capăt să coincidă cu originea (Fig.11.9).

A=B

A=B

Fig. 11.9

Fig. 11.9

11.3.2 Drepte paralele

11.3.2 Drepte paralele

Paralelele sunt dreptele care nu au nici un punct comun (sau nu se

Paralelele sunt dreptele care nu au nici un punct comun (sau nu se

intersectează niciodată).

intersectează niciodată).

Paralela ('’) la dreapta (') se obĠine prin translaĠia în acelaúi sens a

Paralela ('’) la dreapta (') se obĠine prin translaĠia în acelaúi sens a

unui echer de-a lungul unei rigle cu distanĠa l astfel încât toate punctele

unui echer de-a lungul unei rigle cu distanĠa l astfel încât toate punctele

dreptei (') se translatează într-o nouă poziĠie ('’) cum se prezintă în

dreptei (') se translatează într-o nouă poziĠie ('’) cum se prezintă în

Fig.11.10.

Fig.11.10. P

( )

P

A L

A L

( )

( )

( ) A

A

P

P

Fig. 11.10

Fig. 11.10

11.3.2.1 Paralela la o dreată printr-un punct dat

11.3.2.1 Paralela la o dreată printr-un punct dat

Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă printr-un punct O exterior

Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă printr-un punct O exterior

dreptei (') se procedează ca în Fig.11.11: cu vârful compasului în O úi cu

dreptei (') se procedează ca în Fig.11.11: cu vârful compasului în O úi cu

o răză oarecare “r” se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta

o răză oarecare “r” se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta

(') în punctul A, iar din acest punct cu aceeaúi rază “r” se trasează un arc

(') în punctul A, iar din acest punct cu aceeaúi rază “r” se trasează un arc

de cerc care trece prin punctul O úi intersectează dreapta (') în punctul B.

de cerc care trece prin punctul O úi intersectează dreapta (') în punctul B.

123

123

Cu vârful compasului în B se ia raza r’ = OB iar din punctul A se duce

Cu vârful compasului în B se ia raza r’ = OB iar din punctul A se duce

un arc de cerc care intersectează primul arc de cerc în punctul P.

un arc de cerc care intersectează primul arc de cerc în punctul P.

Fig. 11.11

Fig. 11.12

Fig. 11.11

Fig. 11.12

ConstrucĠie cu rigla úi echerul conform Fig.11.12: se suprapune una

ConstrucĠie cu rigla úi echerul conform Fig.11.12: se suprapune una

din laturile echerului (ipotenuza) pe o riglă, iar pe o altă latură se trasează

din laturile echerului (ipotenuza) pe o riglă, iar pe o altă latură se trasează

dreapta ('), după care acesta se translatează de-a lungul riglei în aceeaúi

dreapta ('), după care acesta se translatează de-a lungul riglei în aceeaúi

direcĠie până când aceeaúi latură trece prin punctul A, după care se trasează

direcĠie până când aceeaúi latură trece prin punctul A, după care se trasează

dreapta ('’) de-a lungul acestei laturi a echerului.

dreapta ('’) de-a lungul acestei laturi a echerului.

11.3.2.2 Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată

11.3.2.2 Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată

Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă (') cu o distanĠă dată “d”

Pentru trasarea unei paralele la o dreaptă (') cu o distanĠă dată “d”

se procedează ca în Fig.11.13: se aleg două puncte oarecare A úi B situate

se procedează ca în Fig.11.13: se aleg două puncte oarecare A úi B situate

pe dreapta (') din care se trasează arce de cerc cu raza egală cu distanĠa

pe dreapta (') din care se trasează arce de cerc cu raza egală cu distanĠa

“d” de aceeaúi parte a dreptei ('). Dreapta ('’) tangentă la arcele de cerc

“d” de aceeaúi parte a dreptei ('). Dreapta ('’) tangentă la arcele de cerc

în punctele O úi P reprezintă paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată.

în punctele O úi P reprezintă paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată.

Fig. 11.13

124

Fig. 11.13

124

11.3.3 Drepte perpendiculare

11.3.3 Drepte perpendiculare

Perpendiculara este acea dreaptă care face cu o altă dreaptă în

Perpendiculara este acea dreaptă care face cu o altă dreaptă în

punctul de intersecĠie un unghi drept (900).

punctul de intersecĠie un unghi drept (900).

Dacă se uneúte un punct comun al dreptei (') cu toate punctele

Dacă se uneúte un punct comun al dreptei (') cu toate punctele

dreptei ('’), (') ll ('’), printre aceste segmente de legătură există unul care

dreptei ('’), (') ll ('’), printre aceste segmente de legătură există unul care

este cel mai scurt AA ' ; acest segment reprezintă distanĠa dintre paralelele

este cel mai scurt AA ' ; acest segment reprezintă distanĠa dintre paralelele

(') úi ('’) formând cu (') în A úi cu ('’) în A’ câte o pereche de unghiuri

(') úi ('’) formând cu (') în A úi cu ('’) în A’ câte o pereche de unghiuri

drepte, Fig.11.14.

drepte, Fig.11.14.

A

A

( )

L

L

( )

L

L

( )

( ) A

A

Fig. 11.14

Fig. 11.14

13.3.3.1 Perpendiculara pe o dreaptă într-un punct dat

13.3.3.1 Perpendiculara pe o dreaptă într-un punct dat

Pentru trasarea unei perpendiculare pe dreapta (') în punctul O se

Pentru trasarea unei perpendiculare pe dreapta (') în punctul O se

procedează ca în Fig.11.15: cu vârful compasului în O se trasează un arc de

procedează ca în Fig.11.15: cu vârful compasului în O se trasează un arc de

cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în punctele A úi B, după care

cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în punctele A úi B, după care

cu o rază mai mare decât OA (sau OB) se trasează din punctul A úi

cu o rază mai mare decât OA (sau OB) se trasează din punctul A úi

respectiv B arce de cerc care se intersectează în punctul P. Se uneúte

respectiv B arce de cerc care se intersectează în punctul P. Se uneúte

punctul P cu O obĠinându-se segmentul de dreaptă OP perpendicular pe

punctul P cu O obĠinându-se segmentul de dreaptă OP perpendicular pe

dreapta (') în punctul O.

dreapta (') în punctul O.

125

125

P

( )

P

A

B 0

( )

A

B 0

Fig. 11.15

Fig. 11.15

11.3.3.2 Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă

11.3.3.2 Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă

Pentru trasarea unei perpendiculare dintr-un punct O (exterior

Pentru trasarea unei perpendiculare dintr-un punct O (exterior

dreptei) pe dreapta (') se procedează ca în Fig.11.16: cu vârful compasului

dreptei) pe dreapta (') se procedează ca în Fig.11.16: cu vârful compasului

în O se trasează un arc de cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în

în O se trasează un arc de cerc (oarecare) care intersectează dreapta (') în

punctele A úi B, după care cu rază oarecare (mai mare decât jumătatea

punctele A úi B, după care cu rază oarecare (mai mare decât jumătatea

distanĠei dintrea A úi B) se trasează din punctul A úi respectiv B arce de

distanĠei dintrea A úi B) se trasează din punctul A úi respectiv B arce de

cerc care se intersectează de o parte úi de alta a dreptei (') în punctele C úi

cerc care se intersectează de o parte úi de alta a dreptei (') în punctele C úi

D. Unind punctele C úi D se obĠine perpendiculara pe dreapta (') care

D. Unind punctele C úi D se obĠine perpendiculara pe dreapta (') care

trece prin punctul O exterior dreptei.

trece prin punctul O exterior dreptei.

( )

0

0

C

C

A

B

D

( )

Fig. 11.16

A

B

D

Fig. 11.16

11.3.3.3 Perpendiculara la capătul dreptei

11.3.3.3 Perpendiculara la capătul dreptei

Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul A situat la

Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul A situat la

extremitatea dreptei (') se procedează ca în Fig.11.17: cu vârful

extremitatea dreptei (') se procedează ca în Fig.11.17: cu vârful

compasului în punctul (oarecare) C exterior dreptei (') se trasează un arc

compasului în punctul (oarecare) C exterior dreptei (') se trasează un arc

126

126

de cerc care trece prin punctul A úi intersectează dreapta (') în punctul B,

de cerc care trece prin punctul A úi intersectează dreapta (') în punctul B,

după care se uneúte punctul B cu C úi se prelungeúte până intersectează

după care se uneúte punctul B cu C úi se prelungeúte până intersectează

cercul în punctul D. Unind punctele D úi A se obĠine perpendiculara la

cercul în punctul D. Unind punctele D úi A se obĠine perpendiculara la

capătul dreptei (').

capătul dreptei (').

D

D C

C B

(

B

)

A

Fig. 11.17

11.3.3.4 Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în afara dreptei

(

)

A

Fig. 11.17

11.3.3.4 Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în afara dreptei

Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul O situat deasupra úi

Pentru trasarea unei perpendiculare în punctul O situat deasupra úi

înafara dreptei se procedează ca în Fig.11.18: se aleg două puncte A úi B

înafara dreptei se procedează ca în Fig.11.18: se aleg două puncte A úi B

situate pe dreapta ('), iar cu vârful compasului în aceste puncte se trasează

situate pe dreapta ('), iar cu vârful compasului în aceste puncte se trasează

arce de cerc ce trec prin punctul O de o parte úi de alta a dreptei la

arce de cerc ce trec prin punctul O de o parte úi de alta a dreptei la

intersecĠia lor rezultând punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine

intersecĠia lor rezultând punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine

perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în afara dreptei.

perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi în afara dreptei.

0

0

A

B

P

(

)

A

Fig. 11.18

127

B

P

(

)

Fig. 11.18

127

11.3.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă

11.3.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă

11.3.4.1 Determinarea mijlocului unui segment Pentru determinarea mijlocului unui segment se procedează conform

11.3.4.1 Determinarea mijlocului unui segment Pentru determinarea mijlocului unui segment se procedează conform

Fig.11.19: din fiecare extremitate a segmentului (punctele A úi B) se

Fig.11.19: din fiecare extremitate a segmentului (punctele A úi B) se

trasează cu aceeaúi rază mai mare decât jumătatea segmentului câte un arc

trasează cu aceeaúi rază mai mare decât jumătatea segmentului câte un arc

de cerc care se intersectează în punctele O úi P. Unind aceste puncte printr-

de cerc care se intersectează în punctele O úi P. Unind aceste puncte printr-

o dreaptă se obĠine axa de simetrie ('’), care intersectează segmentul AB

o dreaptă se obĠine axa de simetrie ('’), care intersectează segmentul AB

în punctul S care determină mijlocul segmentului.

în punctul S care determină mijlocul segmentului.

( )

( ) 0

( )

A

0

( )

B S

P

A

B S

Fig. 11.19

Mediatoarea este dreapta care împarte un segment de dreapră în părĠi egale úi este perpendiculară pe acesta.

P

Fig. 11.19

Mediatoarea este dreapta care împarte un segment de dreapră în părĠi egale úi este perpendiculară pe acesta.

11.3.4.2 ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale

11.3.4.2 ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale

Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AB în cinci părĠi egale se

Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AB în cinci părĠi egale se

procedează ca în Fig.11.20: se trasează prin punctul A o semidreaptă

procedează ca în Fig.11.20: se trasează prin punctul A o semidreaptă

oarecare (') pe care, cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas, plecând

oarecare (') pe care, cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas, plecând

din acelaúi punct, A se marchează cinci segmente egale: A – 1 = 1 – 2 = 2

din acelaúi punct, A se marchează cinci segmente egale: A – 1 = 1 – 2 = 2

– 3 = 3 – 4 = 4 – C. Unind punctele B cu C iar prin punctele 1, 2, 3, 4

– 3 = 3 – 4 = 4 – C. Unind punctele B cu C iar prin punctele 1, 2, 3, 4

ducând paralele la segmentul BC acestea intersectează segmentul AB în

ducând paralele la segmentul BC acestea intersectează segmentul AB în

punctele a, b, c, d, puncte care împart segmentul AB în cinci părĠi egale.

punctele a, b, c, d, puncte care împart segmentul AB în cinci părĠi egale.

128

128

(

)

(

C

C

4

4

3

2

3

2

1

1 a

A

)

c

b

d

B

a

A

Fig. 11.20

c

b

d

B

Fig. 11.20

ConstrucĠie cu rigla úi echerul, Fig.11.21: se trasează prin punctul A o

ConstrucĠie cu rigla úi echerul, Fig.11.21: se trasează prin punctul A o

semidreaptă oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de

semidreaptă oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de

compas plecând din acelaúi punct A se marchează cinci segmente egale: A

compas plecând din acelaúi punct A se marchează cinci segmente egale: A

– 1 = 1– 2 = 2 – 3 = 3 – 4 = 4 – 5; se unesc punctele 5 cu B, iar cu ajutorul

– 1 = 1– 2 = 2 – 3 = 3 – 4 = 4 – 5; se unesc punctele 5 cu B, iar cu ajutorul

unei rigle úi al unui echer se trasează paralele la segmentul 5B prin

unei rigle úi al unui echer se trasează paralele la segmentul 5B prin

punctele 1, 2, 3, 4, 5, prin traslaĠia echerului pe riglă într-un singur sens

punctele 1, 2, 3, 4, 5, prin traslaĠia echerului pe riglă într-un singur sens

rezultând punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’ care împart segmentul AB în cinci părĠi

rezultând punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’ care împart segmentul AB în cinci părĠi

egale.

egale. 4’

1’

2’

5’

4’

B

3’

1’

A

2’

5’

B

3’

A 1

2

3

4

1

( )

5

2

3

4

( )

5

Fig. 11.21

11.3.4.3 Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat

Fig. 11.21

11.3.4.3 Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat

Pentru reducerea unui segment de dreaptă AB într-un raport dat de 3/4 se

Pentru reducerea unui segment de dreaptă AB într-un raport dat de 3/4 se

procedează ca în Fig.11.22: se trasează prin punctul A o semidreaptă

procedează ca în Fig.11.22: se trasează prin punctul A o semidreaptă

oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas plecând

oarecare (') pe care cu ajutorul distanĠierului din trusa de compas plecând

din acelaúi punct A se marchează trei segmente egale: A – 1, 1 – 2, 2 - 3,

din acelaúi punct A se marchează trei segmente egale: A – 1, 1 – 2, 2 - 3,

iar segmentul AB se împarte în patru părĠi egale cu primele: A – 1’, 1’ – 2’,

iar segmentul AB se împarte în patru părĠi egale cu primele: A – 1’, 1’ – 2’,

2’ – 3’, 3’ – 4’, 4’ – B. Se uneúte punctul 3 cu 4’ iar prin punctul B se duce

2’ – 3’, 3’ – 4’, 4’ – B. Se uneúte punctul 3 cu 4’ iar prin punctul B se duce

o paralelă la 34' care intersectează semidreaptă (') în punctul C.

o paralelă la 34' care intersectează semidreaptă (') în punctul C.

129

129

Segmentul AC reprezintă segmentul redus cu raportul 3/4 faĠă de

Segmentul AC reprezintă segmentul redus cu raportul 3/4 faĠă de

segmentul AB .

segmentul AB .

( )

( )

C 3

2

1

2’

3’

4’

B

Fig. 11.22

11.3.4.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă în părĠi proporĠionale cu două segmente date

3

2

1

1’

A

C

1’

A

2’

3’

4’

B

Fig. 11.22

11.3.4.4 ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă în părĠi proporĠionale cu două segmente date

Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AC în părĠi proporĠionale cu

Pentru a împărĠi un segment de dreaptă AC în părĠi proporĠionale cu

două segmente date se procedează ca în Fig.11.23: se trasează prin punctul

două segmente date se procedează ca în Fig.11.23: se trasează prin punctul

A o semidreaptă oarecare (') pe care se măsoară din punctul A segmentele

A o semidreaptă oarecare (') pe care se măsoară din punctul A segmentele

s úi u obĠinându-se extremităĠile lor în punctele B’ úi C’. Unind punctele C’

s úi u obĠinându-se extremităĠile lor în punctele B’ úi C’. Unind punctele C’

cu C úi ducând prin punctul B’ o paralelă la CC ' care

cu C úi ducând prin punctul B’ o paralelă la CC ' care

intersectează

intersectează

segmentul AC în punctul B se obĠine împărĠirea acestui segment în

segmentul AC în punctul B se obĠine împărĠirea acestui segment în

segmentele AB úi BC proporĠionale cu segmentele s repectiv u.

segmentele AB úi BC proporĠionale cu segmentele s repectiv u.

S

U

C’

S

( )

C’

U

B’

( )

U

B’

S

A

U

S

B

C

Fig. 11.23

A

B

C

Fig. 11.23

11.4. Plan. Semiplan

11.4. Plan. Semiplan

Planul notat cu [ P ] este suprafaĠa care care conĠine odată cu două

Planul notat cu [ P ] este suprafaĠa care care conĠine odată cu două

puncte oarecare ale sale, dreapta care trece prin aceste puncte, Fig.11.24;

puncte oarecare ale sale, dreapta care trece prin aceste puncte, Fig.11.24;

planul este nemărginit (nu are limite sau margini)

planul este nemărginit (nu are limite sau margini)

130

130

În geometria euclidiană ((plană) Euclid – matematician grec, anul

În geometria euclidiană ((plană) Euclid – matematician grec, anul

300 î.c.) noĠiunile fundamentale sunt punctul, dreapta úi planul care

300 î.c.) noĠiunile fundamentale sunt punctul, dreapta úi planul care

reprezintă un cadru geometric fundamental mai larg faĠă de care se fac

reprezintă un cadru geometric fundamental mai larg faĠă de care se fac

toate consideraĠiile geometrice.

toate consideraĠiile geometrice.

Semiplanul este suprafaĠa care care conĠine mulĠimea nedivizibilă a punctelor situate de o parte a unei drepte din plan (Fig.11.25).

Semiplanul este suprafaĠa care care conĠine mulĠimea nedivizibilă a punctelor situate de o parte a unei drepte din plan (Fig.11.25).

În cadrul geometriei în spaĠiu care este o subdiviziune a geometriei

În cadrul geometriei în spaĠiu care este o subdiviziune a geometriei

euclidiene planul este unul din elementele de bază ale formelor

euclidiene planul este unul din elementele de bază ale formelor

tridimensionale. În practică se folosesc porĠiuni plane ca suprafeĠe ce

tridimensionale. În practică se folosesc porĠiuni plane ca suprafeĠe ce

mărginesc diferite forme geometrice.

mărginesc diferite forme geometrice.

Planul în spaĠiu se obĠine prin rotirea unei drepte ǻ în jurul unui

Planul în spaĠiu se obĠine prin rotirea unei drepte ǻ în jurul unui

punct A al ei, astfel încât să se sprijine pe a altă dreaptă ǻ’ care nu conĠine

punct A al ei, astfel încât să se sprijine pe a altă dreaptă ǻ’ care nu conĠine

pe A (Fig.11.26).

pe A (Fig.11.26).

În practică pentru uúurinĠa lucrului planul se consideră delimitat sau mărginit.

În practică pentru uúurinĠa lucrului planul se consideră delimitat sau mărginit.

PoziĠia unui plan în spaĠiu este perfect determinată prin:

PoziĠia unui plan în spaĠiu este perfect determinată prin:



- o dreaptă ǻ úi un punct A care nu se găseúte pe dreaptă;

- o dreaptă ǻ’ úi un punct A care nu se găseúte pe dreaptă;

- două drepte care se intersectează ǻ úi ǻ’;

- două drepte care se intersectează ǻ úi ǻ’;

- două drepte paralele ( caz particular când ǻ Œ ǻ’;

- două drepte paralele ( caz particular când ǻ Œ ǻ’;

- trei puncte care nu se găsesc pe aceeaúi dreaptă ( A úi două puncte

- trei puncte care nu se găsesc pe aceeaúi dreaptă ( A úi două puncte

ce determină pe ǻ’).

ce determină pe ǻ’). [P]

[P] C

C B

A

[P]

0

N

A

M

( )

Fig. 11.25

131

( )

B

0 M

Fig. 11.24

A

[P]

( )

B

( )

B

N

A

Fig. 11.24

Fig. 11.25

131

( )

( )

( )

( )

( ‘)

( ‘)

( )

( )

[P]

A

[P]

A

Fig. 11.26

Fig. 11.26

11.5. Unghiuri

11.5. Unghiuri

Se pot defini două tipuri de unghiuri: - unghiul plan, Fig.11.27;

Se pot defini două tipuri de unghiuri: - unghiul plan, Fig.11.27;

- unghiul în spaĠiu, Fig.11.28.

- unghiul în spaĠiu, Fig.11.28.

Unghiul (plan) este figura geometrică formată din două semidrepte

Unghiul (plan) este figura geometrică formată din două semidrepte

Punctul comun formează vârful unghiului O, iar semidreptele OA úi OB -

Punctul comun formează vârful unghiului O, iar semidreptele OA úi OB -

laturile lui, (Fig.11.27). Deschiderea unghiului notată în grade ( 0 ) este

laturile lui, (Fig.11.27). Deschiderea unghiului notată în grade ( 0 ) este

spaĠiul cuprins între laturile acestuia.

spaĠiul cuprins între laturile acestuia.

( )

cu originea comună úi dintr-una din părĠile planului mărginită de ele.

( )

cu originea comună úi dintr-una din părĠile planului mărginită de ele.

A [V]

B

1

A [V]

B

ȕ

0

1

ȕ

0 2

( ) 0

2

B

A

Fig. 11.27 Fig. 11.28 Punctul comun formează vârful unghiului, A, iar dreptele '1 úi '2 –

B

( )

[H]

0

[H]

A Fig. 11.27 Fig. 11.28 Punctul comun formează vârful unghiului, A, iar dreptele '1 úi '2 –

laturile lui. Deschiderea unghiului măsurată în grade ( 0 ) este

laturile lui. Deschiderea unghiului măsurată în grade ( 0 ) este

reprezentată de spaĠiul cuprins între laturile unghiului. Se notează cu trei

reprezentată de spaĠiul cuprins între laturile unghiului. Se notează cu trei

litere ( ¬ AOB ) astfel încât litera cu care s-a notat vârful să fie la mijloc.

litere ( ¬ AOB ) astfel încât litera cu care s-a notat vârful să fie la mijloc.

Unghiul în spaĠiu este determinat de două semiplane (Fig.11.28).

Unghiul în spaĠiu este determinat de două semiplane (Fig.11.28).

11.5.1. ConstrucĠia unui unghi dat

11.5.1. ConstrucĠia unui unghi dat

Pentru trasarea unui unghi dat (270) se procedează ca în Fig.11.29:

Pentru trasarea unui unghi dat (270) se procedează ca în Fig.11.29:

se alege un punct O reprezentând vârful unghiului úi un alt punct A care se

se alege un punct O reprezentând vârful unghiului úi un alt punct A care se

132

132

uneúte cu O, rezultând astfel una din laturile unghiului (ex: OA = 100

uneúte cu O, rezultând astfel una din laturile unghiului (ex: OA = 100

mm.). În punctul A se ridică o perpendiculară la OA pe care se măsoară

mm.). În punctul A se ridică o perpendiculară la OA pe care se măsoară

valoarea AB = OA x tg 270 = 100 x 0,51 = 51. Unind punctul O cu punctul

valoarea AB = OA x tg 270 = 100 x 0,51 = 51. Unind punctul O cu punctul

B rezultă cea de a doua latură a unghiului (OB); unghiul astfel format

B rezultă cea de a doua latură a unghiului (OB); unghiul astfel format

( ¬ AOB ) este cel căutat.

( ¬ AOB ) este cel căutat. B

0

27

0

100

A

R=

B

57

R’

0

17

0

=

17

A

Fig. 11.29

100 x tg 27 = 51

100 x tg 27 = 51

B

0

0

27

100

A

R=

B R’

0

0

17

Fig. 11.29

Fig. 11.30

57

=

17

A

Fig. 11.30

ConstrucĠia aproximativă - Metoda coardelor

ConstrucĠia aproximativă - Metoda coardelor

Are la bază observaĠia că pentru unghiuri de până la 300 lungimea

Are la bază observaĠia că pentru unghiuri de până la 300 lungimea

corzii este cu suficientă aproximaĠie, proporĠională cu valoarea unghiului

corzii este cu suficientă aproximaĠie, proporĠională cu valoarea unghiului

pe care îl subântide; pe de altă parte coarda corespunzătoare unghiului de

pe care îl subântide; pe de altă parte coarda corespunzătoare unghiului de

1 este egală cu 1/57 din valoarea razei învecinate. În concluzie pentru “n”

10 este egală cu 1/57 din valoarea razei învecinate. În concluzie pentru “n”

grade (n  300 ) lungimea coardei are valoarea de n/57 din lungimea razei

grade (n  300 ) lungimea coardei are valoarea de n/57 din lungimea razei

(unde R = 57 mm.).

(unde R = 57 mm.).

0

Pentru trasarea unghiului mai mic de 30 (de exemplu 17 conform

Pentru trasarea unghiului mai mic de 300 (de exemplu 170 conform

Fig.11.30) trasăm un arc de cerc cu raza de 57 mm. pe care se alege un

Fig.11.30) trasăm un arc de cerc cu raza de 57 mm. pe care se alege un

punct A. Cu vârful compasului în A úi cu o rază egală cu valoarea unghiului

punct A. Cu vârful compasului în A úi cu o rază egală cu valoarea unghiului

pe care dorim să îl construim trasăm un arc de cerc care intersectează arcul

pe care dorim să îl construim trasăm un arc de cerc care intersectează arcul

de cerc iniĠial în punctul B. Unind centrul arcului de cerc iniĠial cu raza de

de cerc iniĠial în punctul B. Unind centrul arcului de cerc iniĠial cu raza de

57 mm. cu punctele A úi B se obĠine unghiul de 170 căutat ¬ AOB.

57 mm. cu punctele A úi B se obĠine unghiul de 170 căutat ¬ AOB.

0

0

11.5.2. ConstrucĠia unui unghi oarecare egal cu un unghi dat

11.5.2. ConstrucĠia unui unghi oarecare egal cu un unghi dat

Metoda arcelor de cerc: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu

Metoda arcelor de cerc: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu

un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.31: cu vârful compasului

un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.31: cu vârful compasului

133

133

în punctul O úi cu o rază oarecare R se intersectează semidreapta Ox în

în punctul O úi cu o rază oarecare R se intersectează semidreapta Ox în

punctul A iar semidreapta Oy în punctul B rezultând segmentele OA = OB .

punctul A iar semidreapta Oy în punctul B rezultând segmentele OA = OB .

Se alege punctul O’ úi se trasează o semidreaptă oarecare O’x’ după care

Se alege punctul O’ úi se trasează o semidreaptă oarecare O’x’ după care

cu vârful compasului în O’ úi cu o rază egală cu OA se descrie un arc de

cu vârful compasului în O’ úi cu o rază egală cu OA se descrie un arc de

cerc care intersectează semidreapta O’x’ în punctul A’. Din punctual A’ se

cerc care intersectează semidreapta O’x’ în punctul A’. Din punctual A’ se

trasează un arc de cerc cu raza egală cu AB care intersectează primul cerc

trasează un arc de cerc cu raza egală cu AB care intersectează primul cerc

în punctul B’. Unind punctul O’ cu B’ úi prelungind construcĠia se obĠine

în punctul B’. Unind punctul O’ cu B’ úi prelungind construcĠia se obĠine

semidreapta O’y’ astfel încât unghiul ¬ A’O’B’ astfel format este egal cu

semidreapta O’y’ astfel încât unghiul ¬ A’O’B’ astfel format este egal cu

unghiul oarecare ¬ AOB dat iniĠial.

unghiul oarecare ¬ AOB dat iniĠial.

B’

0’

B R

0

X

R

R’

R’

R

R’ A

B’

0’

B

A’

X’

R’

R Fig. 11.31

A

0

X

A’

X’

Fig. 11.31

Metoda paralelelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu un

Metoda paralelelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal cu un

unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.32: prin punctul O’’ se

unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.32: prin punctul O’’ se

trasează paralele O’’A’’ úi O’’B’’ la segmentele de dreaptă OA úi respectiv

trasează paralele O’’A’’ úi O’’B’’ la segmentele de dreaptă OA úi respectiv

OB, unghiul astfel format ¬ A’’O’’B’’ este egal ca mărime cu unghiul dat

OB, unghiul astfel format ¬ A’’O’’B’’ este egal ca mărime cu unghiul dat

iniĠial ¬ AOB.

iniĠial ¬ AOB. B’’

B’’

B

B

A’’ A

A’’

Fig.11.32

A

Fig.11.32

Metoda perpendicularelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal

Metoda perpendicularelor: pentru trasarea unui unghi oarecare egal

cu un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.33: se prelungesc

cu un unghi dat ¬ AOB se procedează ca în Fig.11.33: se prelungesc

laturile OA úi OB până depăúesc poziĠia punctului O’, după care din

laturile OA úi OB până depăúesc poziĠia punctului O’, după care din

punctul O’ se coboară perpendiculare pe prelungirile laturilor OA úi OB

punctul O’ se coboară perpendiculare pe prelungirile laturilor OA úi OB

134

134

ulterior rezultând unghiul ¬ A’O’B’ egal ca mărime cu unghiul dat iniĠial

ulterior rezultând unghiul ¬ A’O’B’ egal ca mărime cu unghiul dat iniĠial

¬ AOB.

¬ AOB. B

B’

B

A’

A

B’

A’

A

Fig. 11.33

Fig. 11.33

11.5.3 ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale

11.5.3 ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale

11.5.3.1 ConstrucĠia bisectoarei unui unghi cu ajutorul

11.5.3.1 ConstrucĠia bisectoarei unui unghi cu ajutorul

compasului

compasului

Bisectoarea unui unghi este linia dreaptă OP care trece prin vârful

Bisectoarea unui unghi este linia dreaptă OP care trece prin vârful

unghiului ¬ AOB=¬ Į úi împarte spaĠiul cuprins între laturi în două spaĠii

unghiului ¬ AOB=¬ Į úi împarte spaĠiul cuprins între laturi în două spaĠii

egale, adică împarte unghiul ¬ Į în două unghiuri egale ¬ Į1 = ¬ Į2.

egale, adică împarte unghiul ¬ Į în două unghiuri egale ¬ Į1 = ¬ Į2.

Pentru construcĠia bisectoarei unui unghi, ¬ Į, se procedează ca în

Pentru construcĠia bisectoarei unui unghi, ¬ Į, se procedează ca în

Fig.11.34: din punctul O se trasează un arc de cerc cu o rază oarecare R úi

Fig.11.34: din punctul O se trasează un arc de cerc cu o rază oarecare R úi

care taie laturile unghiului în punctele A úi B. Din aceste puncte cu o rază

care taie laturile unghiului în punctele A úi B. Din aceste puncte cu o rază

oarecare R’ se trasează arce de cerc în interiorul unghiului care se

oarecare R’ se trasează arce de cerc în interiorul unghiului care se

intersectează în punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine dreapta OP

intersectează în punctul P. Unind punctele O úi P se obĠine dreapta OP

care reprezintă bisectoarea unghiului Į.

care reprezintă bisectoarea unghiului Į.

A

2

0

A

R’

M

P

D1

1

R’

2

0

M

P

D1

1

A Q

R’

R B

F

Fig. 11.34

B R N

Fig. 11.35

135

A Q

R’

R B

F

D2 Fig. 11.34

B R N

Fig. 11.35

135

D2

11.5.3.2 ÎmpărĠirea în două părĠi egale a unghiului al cărui vârf se situează în afara desenului

11.5.3.2 ÎmpărĠirea în două părĠi egale a unghiului al cărui vârf se situează în afara desenului

Pentru împărĠirea în două părĠi egale a unui unghi al cărui vârf se

Pentru împărĠirea în două părĠi egale a unui unghi al cărui vârf se

află în afara desenului se procedează conforn Fig.11.35 astfel: fiind date

află în afara desenului se procedează conforn Fig.11.35 astfel: fiind date

laturile D1 úi D2 ale unghiului respectiv printr-un punct F situat pe dreapta

laturile D1 úi D2 ale unghiului respectiv printr-un punct F situat pe dreapta

D2 se trasează paralela FR la latura D1; ca atare, această paralelă formează

D2 se trasează paralela FR la latura D1; ca atare, această paralelă formează

cu latura D2 un unghi egal cu unghiul dat. Cu vârful compasului în punctul

cu latura D2 un unghi egal cu unghiul dat. Cu vârful compasului în punctul

F úi cu o rază oarecare se descrie un arc de cerc care intersectează

F úi cu o rază oarecare se descrie un arc de cerc care intersectează

semidreapta FR în punctul Q úi latura D2 în punctul N astfel încât coarda

semidreapta FR în punctul Q úi latura D2 în punctul N astfel încât coarda

NQ intersectează latura D1 în punctul M. Se construieúte mediatoarea AB a

NQ intersectează latura D1 în punctul M. Se construieúte mediatoarea AB a

segmentului MN care este în acelaúi timp úi bisectoarea unghiului dat

segmentului MN care este în acelaúi timp úi bisectoarea unghiului dat

(unghiul dintre laturile D1 úi D2).

(unghiul dintre laturile D1 úi D2).

11.5.4 ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate: 0

0

0

0

0

15 , 30 , 45 , 60 , 75 , 90

0

11.5.4 ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate: 150, 300, 450, 600, 750, 900

ConstrucĠia unghiului de 900

ConstrucĠia unghiului de 900

Pentru construcĠia cu echerul unghiul de 900 se poate obĠine prin

Pentru construcĠia cu echerul unghiul de 900 se poate obĠine prin

ridicarea unei perpendiculare pe o dreaptă, deoarece în punctul de

ridicarea unei perpendiculare pe o dreaptă, deoarece în punctul de

intersecĠie al perpendicularei cu aceea dreaptă se formează unghiuri drepte,

intersecĠie al perpendicularei cu aceea dreaptă se formează unghiuri drepte,

adică unghiuri a căror valoare este de 900. Pentru aceasta se aúează echerul

adică unghiuri a căror valoare este de 900. Pentru aceasta se aúează echerul

(având catetele neegale) cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să

(având catetele neegale) cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să

trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă dreaptă de-a

trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă dreaptă de-a

lungul riglei, conform Fig.11.36.

lungul riglei, conform Fig.11.36. 0

Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 90 se poate obĠine prin trasarea mediatoarei conform paragrafului 11.2.4.1.

136

Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 900 se poate obĠine prin trasarea mediatoarei conform paragrafului 11.2.4.1.

136

Fig. 11.36

Fig. 11.36

ConstrucĠia unghiului de 600

ConstrucĠia unghiului de 600

Pentru construcĠia cu echerul (având catetele neegale) conform

Pentru construcĠia cu echerul (având catetele neegale) conform

Fig.11.37, acesta se aúează cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să

Fig.11.37, acesta se aúează cu cateta mică suprapusă pe o riglă urmând să

trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă dreaptă de-a

trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă dreaptă de-a

0

lungul riglei. Unghiul mai mic de 90 format de cele două drepte este

lungul riglei. Unghiul mai mic de 900 format de cele două drepte este

unghiul de 600.

unghiul de 600.

Pentru construcĠia cu compasul conform Fig.11.38 din punctele A úi B ale

Pentru construcĠia cu compasul conform Fig.11.38 din punctele A úi B ale

unui segment de dreaptă se trasează arcele oarecare de cerc 1 respectiv 2

unui segment de dreaptă se trasează arcele oarecare de cerc 1 respectiv 2

care se intersectează în punctul O.

care se intersectează în punctul O.

Unind punctul O cu punctul A se obĠine unghiul de 600.

Unind punctul O cu punctul A se obĠine unghiul de 600.

Fig. 11.37

Fig. 11.38

Fig. 11.37

Fig. 11.38

ConstrucĠia unghiului de 300

ConstrucĠia unghiului de 300

Pentru construcĠia cu echerul (având catetele neegale) conform

Pentru construcĠia cu echerul (având catetele neegale) conform

Fig.11.39, acesta se aúează cu latura mare suprapusă pe o riglă urmând să

Fig.11.39, acesta se aúează cu latura mare suprapusă pe o riglă urmând să

trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă dreaptă de-a

trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă dreaptă de-a

0

lungul riglei. Unghiul mai mic de 90 format de cele două drepte este

lungul riglei. Unghiul mai mic de 900 format de cele două drepte este

unghiul de 300.

unghiul de 300.

137

137

ConstrucĠie prin ridicarea perpendicularei din vărful unghiului de 600

ConstrucĠie prin ridicarea perpendicularei din vărful unghiului de 600

Conform Fig.11.40 după ridicarea perpendicularei din vărful

Conform Fig.11.40 după ridicarea perpendicularei din vărful

unghiului de 600 se face diferenĠa: 900 - 600 = 300, acesta fiind unghiul

unghiului de 600 se face diferenĠa: 900 - 600 = 300, acesta fiind unghiul

căutat.

căutat.

ConstrucĠie prin ridicarea bisectoarei unghiului de 60

0

ConstrucĠie prin ridicarea bisectoarei unghiului de 600

Conform Fig.41 úi a descrierii din paragraful 11.5.3 se construieúte 0

0

bisectoarea unghiului de 600, rezultând astfel unghiul de 300.

bisectoarea unghiului de 60 , rezultând astfel unghiul de 30 .

Fig. 11.39

Conform Fig.41 úi a descrierii din paragraful 11.5.3 se construieúte

Fig. 11.40

Fig. 11.41

Fig. 11.39

Fig. 11.40

Fig. 11.41

ConstrucĠie prin împărĠirea unghiului drept ( 900) în trei părĠi egale

ConstrucĠie prin împărĠirea unghiului drept ( 900) în trei părĠi egale

Pentru construcĠie, conform Fig.11.42, cu vârful compasului în

Pentru construcĠie, conform Fig.11.42, cu vârful compasului în

punctul O úi cu o rază oarecare se trasează un arc de cerc care intersectează

punctul O úi cu o rază oarecare se trasează un arc de cerc care intersectează

0

laturile unghiului ¬ POR = 90 în punctele A úi B, după care cu aceeaúi

laturile unghiului ¬ POR = 900 în punctele A úi B, după care cu aceeaúi

rază úi succesiv se descriu două arce de cerc care intersectează arcul AB în

rază úi succesiv se descriu două arce de cerc care intersectează arcul AB în

punctele C úi respectiv D. Unind punctul O cu punctele C úi D rezultă

punctele C úi respectiv D. Unind punctul O cu punctele C úi D rezultă

semidreptele OC úi OD care împart unghiul drept ¬ POR în trei unghiuri

semidreptele OC úi OD care împart unghiul drept ¬ POR în trei unghiuri

egale.

egale.

C

C

B

B

0

0

90 D

Fig. 11.42

138

90 0

0

0

0

0

60

30

D

A

Fig. 11.43

Fig. 11.42

138

60

30

0

A

Fig. 11.43

ConstrucĠia unghiurilor de 300, 600 úi 900 cu vârfurile pe cerc

ConstrucĠia unghiurilor de 300, 600 úi 900 cu vârfurile pe cerc

Pentru construcĠia cu compasul a unghiurilor de 300, 600 úi 900 se

Pentru construcĠia cu compasul a unghiurilor de 300, 600 úi 900 se

procedează conforn Fig.11.43: se trasează un cerc cu raza oarecare R pe

procedează conforn Fig.11.43: se trasează un cerc cu raza oarecare R pe

care se alege un punct A; din acest punct se trasează pe circumferinĠa

care se alege un punct A; din acest punct se trasează pe circumferinĠa

cercului de trei ori valoarea razei rezultând punctele B, C úi D.

cercului de trei ori valoarea razei rezultând punctele B, C úi D.

Unind punctul A cu D rezultă diametrul cercului, iar unind punctul B cu

punctele A úi D se obĠin unghiurile de 300, 600 úi 900 astfel; ¬ ADB = 300,

¬ DAB = 600 iar ¬ABD = 900.

¬ DAB = 600 iar ¬ABD = 900.

0

0

Unind punctul A cu D rezultă diametrul cercului, iar unind punctul B cu

punctele A úi D se obĠin unghiurile de 30 , 60 úi 90 astfel; ¬ ADB = 30 ,

0

0

ConstrucĠia unghiului de 450

ConstrucĠia unghiului de 450

Pentru construcĠia cu echerul (având catetele egale úi două unghiuri

Pentru construcĠia cu echerul (având catetele egale úi două unghiuri

de 450) conform Fig.11.44, acesta se aúează cu una din catete pe o riglă

de 450) conform Fig.11.44, acesta se aúează cu una din catete pe o riglă

urmând să trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă

urmând să trasăm o dreaptă de-a lungul ipotenuzei echerului úi o altă

dreaptă de-a lungul riglei. Unghiul astfel format, mai mic de 900, este

dreaptă de-a lungul riglei. Unghiul astfel format, mai mic de 900, este

unghiul căutat de 450.

unghiul căutat de 450.

Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 450 rezultă úi în urma construcĠiei bisectoarei unghiului de 900.

Fig.11.44

Pentru construcĠia cu compasul unghiul de 450 rezultă úi în urma construcĠiei bisectoarei unghiului de 900.

Fig. 11.45

Fig.11.44

ConstrucĠia unghiului de 750

Fig. 11.45

ConstrucĠia unghiului de 750

Pentru construcĠia cu echerul conform Fig.11.45 se folosesc două 0

Pentru construcĠia cu echerul conform Fig.11.45 se folosesc două

echere, unul având catetele egale ( cu unghiurile ascuĠite de 45 ) úi un altul

echere, unul având catetele egale ( cu unghiurile ascuĠite de 450) úi un altul

având catetele neegale (cu unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600).

având catetele neegale (cu unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600).

Echerul oarecare se aúează cu cateta mai mare suprapusă pe o riglă iar pe

Echerul oarecare se aúează cu cateta mai mare suprapusă pe o riglă iar pe

ipotenuza acestuia se suprapune ipotenuza echerului isoscel urmănd să

ipotenuza acestuia se suprapune ipotenuza echerului isoscel urmănd să

139

139

trasăm o dreaptă de-a lungul catetei echerului isoscel úi o altă dreaptă de-a

trasăm o dreaptă de-a lungul catetei echerului isoscel úi o altă dreaptă de-a

lungul riglei. Unghiul mai mic de 900 astfel format este unhiul căutat cu

lungul riglei. Unghiul mai mic de 900 astfel format este unhiul căutat cu

valoarea de: 300 + 450 = 750.

valoarea de: 300 + 450 = 750.

ConstrucĠia unghiului de 150

ConstrucĠia unghiului de 150

Pentru construcĠia cu compasul se trasează bisectoarea unghiului de 0

Pentru construcĠia cu compasul se trasează bisectoarea unghiului de 0

30 .

30 . Pentru construcĠia cu echerul conform Fig.11.46 se folosesc două

Pentru construcĠia cu echerul conform Fig.11.46 se folosesc două

echere, unul având catetele egale úi unghiurile ascuĠite de câte 450 iar altul

echere, unul având catetele egale úi unghiurile ascuĠite de câte 450 iar altul

cu catetele neegale úi unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600. Echerul

cu catetele neegale úi unghiurile ascuĠite de 300 úi respectiv 600. Echerul

oarecare se aúează cu cateta mare suprapusă pe o riglă după care echerul

oarecare se aúează cu cateta mare suprapusă pe o riglă după care echerul

isoscel se aúează cu ipotenuza suprapusă pe ipotenuza echerului oarecare .

isoscel se aúează cu ipotenuza suprapusă pe ipotenuza echerului oarecare .

Unghiul format de catetele celor două echere are valoarea: 300 + 450 = 750,

Unghiul format de catetele celor două echere are valoarea: 300 + 450 = 750,

iar prin ridicarea unei perpendiculare la dreaptă úi făcând diferenĠa 900 –

iar prin ridicarea unei perpendiculare la dreaptă úi făcând diferenĠa 900 –

750 = 150 rezultă unghiul căutat.

750 = 150 rezultă unghiul căutat.

Fig. 11.46

11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de unghiuri

Fig. 11.46

11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de unghiuri

Se pot trasa sau construi o serie se alte unghiuri ca sumă sau ca diferenĠă de unghiuri.

Se pot trasa sau construi o serie se alte unghiuri ca sumă sau ca diferenĠă de unghiuri.

140

140

15.5.5.1 ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri

15.5.5.1 ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri

Pentru construcĠia unghiului ¬ AOD = ș din Fig.11.49 ca sumă a

Pentru construcĠia unghiului ¬ AOD = ș din Fig.11.49 ca sumă a

unghiurilor ¬ AOB= Į (Fig.11.48) úi ¬COD = ȕ (Fig.11.47) se

unghiurilor ¬ AOB= Į (Fig.11.48) úi ¬COD = ȕ (Fig.11.47) se

procedează prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬ COD peste latura

procedează prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬ COD peste latura

OB a unghiului ¬ AOB.

OB a unghiului ¬ AOB. D

D

D

D B=C

B

B=C

B

T E

0

T

E C

0

Fig. 11.47

0

A

Fig. 11.48

E

0

A

Fig. 11.49

E C

0

Fig. 11.47

0

A

A

Fig. 11.48

Fig. 11.49

11.5.5.2 ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri

11.5.5.2 ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri

Pentru construcĠia unghiului ¬ BOD = ș din Fig.11.52 ca diferenĠă a

Pentru construcĠia unghiului ¬ BOD = ș din Fig.11.52 ca diferenĠă a

unghiurilor ¬COD = ȕ (Fig.11.50) úi ¬AOB= Į (Fig.11.51) se procedează

unghiurilor ¬COD = ȕ (Fig.11.50) úi ¬AOB= Į (Fig.11.51) se procedează

prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬COD peste latura OA

prin suprapunerea laturii OC a unghiului ¬COD peste latura OA

a

unghiului ¬ AOB.

unghiului ¬ AOB.

D

D

D

T

B

0

a

C

Fig. 11.50

0

A

Fig. 11,51

0

C=A

Fig. 11.52

11.5.5.3 ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi egale

T

B

B

E

E

D

0

B

E

E C

Fig. 11.50

0

A

Fig. 11,51

0

C=A

Fig. 11.52

11.5.5.3 ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi egale

Pentru a împărĠi un unghi oarecare ¬ AOB într-un număr oarecare

Pentru a împărĠi un unghi oarecare ¬ AOB într-un număr oarecare

de părĠi egale se procedează conform Fig.11.53: cu centrul în vârful O úi cu

de părĠi egale se procedează conform Fig.11.53: cu centrul în vârful O úi cu

141

141

o rază oarecare se descrie semicercul ABA1, iar cu centrele în punctele A úi

o rază oarecare se descrie semicercul ABA1, iar cu centrele în punctele A úi

A1, cu raza AA1 se descriu două arce de cerc care se intersectează în

A1, cu raza AA1 se descriu două arce de cerc care se intersectează în

punctul C. Dreapta BC intersectează latura OA în punctul D. Segmentul

punctul C. Dreapta BC intersectează latura OA în punctul D. Segmentul

AD se împarte într-un număr de părĠi egale (spre exemplu în 7 părĠi egale).

AD se împarte într-un număr de părĠi egale (spre exemplu în 7 părĠi egale).

Dreptele ce unesc punctul C cu punctele 1, 2, 3, 4, 5, 6, se prelungesc până

Dreptele ce unesc punctul C cu punctele 1, 2, 3, 4, 5, 6, se prelungesc până

ce intersectează semicercul ABA1 în punctele a, b, c, d, e, f úi care unite cu

ce intersectează semicercul ABA1 în punctele a, b, c, d, e, f úi care unite cu

vârful O împart unghiul oarecare ¬ AOB în úapte părĠi egale.

vârful O împart unghiul oarecare ¬ AOB în úapte părĠi egale.

H

B

I J

G F E A 1 234 5

H

0 6

A1

D

C

G F E A 1 234 5

dreaptă

0 6

A1

D

C

Fig. 11.53

11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o înclinaĠie dată faĠă de o altă

B

I J

Fig. 11.53

11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o înclinaĠie dată faĠă de o altă dreaptă

Pentru construcĠia unei drepte (D2) cu o înclinaĠie dată (1:4) faĠă de

Pentru construcĠia unei drepte (D2) cu o înclinaĠie dată (1:4) faĠă de

o altă dreaptă (D1) comform Fig.11.54 se procedează astfel: pe dreaptă D1

o altă dreaptă (D1) comform Fig.11.54 se procedează astfel: pe dreaptă D1

se alege un punct O din care se trasează patru segmente egale unul în

se alege un punct O din care se trasează patru segmente egale unul în

prelungirea celuilalt rezultând punctul A. Din acest punct se ridică o

prelungirea celuilalt rezultând punctul A. Din acest punct se ridică o

perpendiculară pe care se trasează un segment egal cu cel iniĠial rezultând

perpendiculară pe care se trasează un segment egal cu cel iniĠial rezultând

punctul B. Unind punctul O cu punctul B úi prelungind construcĠia rezultă

punctul B. Unind punctul O cu punctul B úi prelungind construcĠia rezultă

dreapta căutată D2 a cărei inclinaĠie faĠă de dreaptă D1 este de 1:4.

dreapta căutată D2 a cărei inclinaĠie faĠă de dreaptă D1 este de 1:4.

142

142

In

0

B

e 1:4 r a n i l c

D2 In

900

1

2

3

0

D1

A

Fig. 11.54

B

e 1:4 r a n i l c

D2

900

1

2

3

A

D1

Fig. 11.54

11.5.7 ConstrucĠia unghiului de 1800

11.5.7 ConstrucĠia unghiului de 1800

Pentru construcĠia unghiului de 1800 se alege un punct oarecare O,

Pentru construcĠia unghiului de 1800 se alege un punct oarecare O,

care reprezintă vârful unghiului ¬ AOB, pe dreapta AB conform Fig.11.55.

care reprezintă vârful unghiului ¬ AOB, pe dreapta AB conform Fig.11.55.

ConstrucĠia se demonstrează prin ridicarea perpendicularei D1 în punctul O

ConstrucĠia se demonstrează prin ridicarea perpendicularei D1 în punctul O

0

úi însumarea celor două unghiuri de 900 (Fig.11.56).

úi însumarea celor două unghiuri de 90 (Fig.11.56). D1

A

B A

0 Fig. 11.55

0

D1

B

Fig. 11.56

A

B A

0 Fig. 11.55

0

B

Fig. 11.56

11.5.8 ConstrucĠia unghiului de 3600

11.5.8 ConstrucĠia unghiului de 3600

Pentru construcĠia unghiului de 3600 conform Fig.11.57 se

Pentru construcĠia unghiului de 3600 conform Fig.11.57 se

procedează la construcĠia unui cerc cu centrul în O úi de rază oarecare

procedează la construcĠia unui cerc cu centrul în O úi de rază oarecare

R = OA începând din punctul A.

R = OA începând din punctul A.

0

0

360

360

0

0

A

A

Fig. 11.57

Fig. 11.57

143

143

12. CERCUL

12. CERCUL

Cercul este locul geometric al tuturor punctelor din plan care se

Cercul este locul geometric al tuturor punctelor din plan care se

găsesc la o distanĠă constantă de un punct fix.

găsesc la o distanĠă constantă de un punct fix.

Această linie curbă închisă se mai numeúte úi circumferinĠă, noĠiunea de cerc deosebindu-se de noĠiunea de suprsfaĠă a cercului.

Această linie curbă închisă se mai numeúte úi circumferinĠă, noĠiunea de cerc deosebindu-se de noĠiunea de suprsfaĠă a cercului.

Locul geometric este curba sau suprafaĠa ale căror puncte au toate aceeaúi proprietate geometrică, definite de anumite relaĠii matematice.

Locul geometric este curba sau suprafaĠa ale căror puncte au toate aceeaúi proprietate geometrică, definite de anumite relaĠii matematice.

12.1 Elementele cercului

12.1 Elementele cercului

Elementele cercului conform figurilor 12.1, 12.2, 12.3 úi 12.4 sunt

Elementele cercului conform figurilor 12.1, 12.2, 12.3 úi 12.4 sunt

următoarele:

următoarele:

Centrul cercului ( O ) este punctul fix egal depărtat de toate punctele cercului.

Centrul cercului ( O ) este punctul fix egal depărtat de toate punctele cercului.

Raza cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte centrul

Raza cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte centrul

cercului cu un punct de pe cerc.

cercului cu un punct de pe cerc.

Secanta cercului este oricare dreaptă care uneúte două puncte de pe cerc.

Secanta cercului este oricare dreaptă care uneúte două puncte de pe cerc.

Coarda cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte două puncte de pe cerc.

Coarda cercului este oricare segment de dreaptă care uneúte două puncte de pe cerc.

Diametrul cercului este coarda care trece prin centrul cercului (cu

Diametrul cercului este coarda care trece prin centrul cercului (cu

cea mai mare valoare).

cea mai mare valoare).

Tangenta cercului este dreapta care are un singur punct comun cu cercul.

Tangenta cercului este dreapta care are un singur punct comun cu cercul.

Secanta

Perimetru E

Suprafata cercului Raza

A

A

0

C

Cerc (circumferinta)

Fig. 12.1

F

Raza

A D

144

A

0

C

Tangenta

Cerc (circumferinta)

T

Fig. 12.2

E

Suprafata cercului

B

etru Diam 0 Coarda

Secanta

Perimetru

Fig. 12.1

F B

etru Diam 0 Coarda

D T

Fig. 12.2

144

Tangenta

Unghiul ( înscris ) în cerc este unghiul care are vârful pe cerc úi laturile secante ale cercului.

laturile secante ale cercului.

Unghiul la centru ( unghiul cu vârful în centrul cercului) este unghiul care are vârful în centrul cercului úi laturile raze ale cercului. Arcul de cerc este partea de pe cerc (circumferinĠă) care este delimitată de un unghi la centru.

Unghiul la centru ( unghiul cu vârful în centrul cercului) este unghiul care are vârful în centrul cercului úi laturile raze ale cercului. Arcul de cerc este partea de pe cerc (circumferinĠă) care este delimitată de un unghi la centru.

Sectorul circular este partea din suprafaĠa cercului delimitată de două raze úi un arc de cerc.

Sectorul circular este partea din suprafaĠa cercului delimitată de două raze úi un arc de cerc.

Segmentul de cerc este partea din suprafaĠa cercului delimitată de un arc úi coarda corespunzătoare lui.

Segmentul de cerc este partea din suprafaĠa cercului delimitată de un arc úi coarda corespunzătoare lui.

Sector circular

Unghi inscris

Un la ghi ce ntr u

0

0

Segment circular

Fig. 12.3

Sector circular

Unghi inscris

0

0

Arc de cerc

Unghiul ( înscris ) în cerc este unghiul care are vârful pe cerc úi

Arc de cerc

Un la ghi ce ntr u

Fig. 12.4

Segment circular

Fig. 12.3

Fig. 12.4

12.2. ConstrucĠia grafică a cercului

12.2. ConstrucĠia grafică a cercului

ConstrucĠia grafică a cercului este determinată de elementele date

ConstrucĠia grafică a cercului este determinată de elementele date

ale cercului:

ale cercului:

- poziĠia centrului úi raza sau diametrul cercului;

- poziĠia centrului úi raza sau diametrul cercului;

- două puncte situate pe cerc úi raza cercului;

- două puncte situate pe cerc úi raza cercului;

- trei puncte situate pe cerc.

- trei puncte situate pe cerc.

12.2.1 ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi

12.2.1 ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi

raza

raza

Pentru construcĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza

Pentru construcĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza

se procedează conform Fig.12.5: cu vârful compasului în centrul cercului

se procedează conform Fig.12.5: cu vârful compasului în centrul cercului

145

145

O de poziĠie dată (se cunosc coordonatele cercului) úi cu deschiderea egală

O de poziĠie dată (se cunosc coordonatele cercului) úi cu deschiderea egală

cu raza R (dată ca valoare) se trasează cercul căutat.

cu raza R (dată ca valoare) se trasează cercul căutat.

12.2.2 ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe cerc úi raza

12.2.2 ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe cerc úi raza

Pentru construcĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe

Pentru construcĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe

cerc úi raza se procedează conform Fig.12.6: cu centrul în punctele date A

cerc úi raza se procedează conform Fig.12.6: cu centrul în punctele date A

úi B úi cu raza R cunoscută ca valoare se descriu două arce de cerc care se

úi B úi cu raza R cunoscută ca valoare se descriu două arce de cerc care se

intersectează în punctul O numit centrul cercului. În continuare cu vârful

intersectează în punctul O numit centrul cercului. În continuare cu vârful

compasului în centrul cercului O úi cu deschiderea egală cu raza R (dată ca

compasului în centrul cercului O úi cu deschiderea egală cu raza R (dată ca

valoare) se trasează cercul căutat.

valoare) se trasează cercul căutat.

ObservaĠie: în cazul în care punctele A úi B sunt situate pe o coardă se obĠin două soluĠii: - două cercuri fiecare cu centrul opus faĠă de coardă; - un singur cerc atunci când punctele A úi B sunt situate diametral opus.

ObservaĠie: în cazul în care punctele A úi B sunt situate pe o coardă se obĠin două soluĠii: - două cercuri fiecare cu centrul opus faĠă de coardă; - un singur cerc atunci când punctele A úi B sunt situate diametral opus.

R

R

R

R

A

R 0

0

Fig. 12.5

A

R

B

0

Fig. 12.6

0

Fig. 12.5

B

Fig. 12.6

12.2.3 ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte

12.2.3 ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte

Pentru construcĠia cercurilor care trec prin două puncte se

Pentru construcĠia cercurilor care trec prin două puncte se

procedează conform Fig.12.7: se unesc punctele date A úi B rezultând

procedează conform Fig.12.7: se unesc punctele date A úi B rezultând

segmentul de dreaptă AB prin mijlocul căruia (punctul O) se ridică o

segmentul de dreaptă AB prin mijlocul căruia (punctul O) se ridică o

perpendiculară pe care se ia un punct C pentru delimitarea lungimii

perpendiculară pe care se ia un punct C pentru delimitarea lungimii

acesteia. În continuare pe dreapta OC se alege O1 centrul cercului, iar cu

acesteia. În continuare pe dreapta OC se alege O1 centrul cercului, iar cu

raza O1 A sau O1 B se trasează cercul de rază R1. Pe aceeaúi dreaptă OC se

raza O1 A sau O1 B se trasează cercul de rază R1. Pe aceeaúi dreaptă OC se

146

146

alege O2 centrul cercului, iar cu raza O2 A sau O2 B se trasează cercul de

alege O2 centrul cercului, iar cu raza O2 A sau O2 B se trasează cercul de

rază R2; continuând raĠionamentul rezultă că prin două puncte date se pot

rază R2; continuând raĠionamentul rezultă că prin două puncte date se pot

duce o infinitate de cercuri.

duce o infinitate de cercuri.

R2 R1

R2 R1

C F

A R 1 0 0 1 2 0 02 C R B

0

R

A

Fig. 12.7

E

B

Fig. 12.8

12.2.4 ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare

C F

A R 1 0 0 1 2 0 02 C R B

0

R

A

Fig. 12.7

E

B

Fig. 12.8

12.2.4 ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare

Pentru construcĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare se

Pentru construcĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare se

procedează conform Fig.12.8: se unesc cele trei puncte cunoscute A, cu B

procedează conform Fig.12.8: se unesc cele trei puncte cunoscute A, cu B

úi C , iar pe segmentele AB úi AC astfel obĠinute se ridică mediatoarele lor

úi C , iar pe segmentele AB úi AC astfel obĠinute se ridică mediatoarele lor

care se întâlnesc în punctul O numit centrul cercului. Din punctul O cu

care se întâlnesc în punctul O numit centrul cercului. Din punctul O cu

raza OA se trasează cercul căutat.

raza OA se trasează cercul căutat.

12.3 Determinarea grafică a unora din elementele cercului

12.3 Determinarea grafică a unora din elementele cercului

12.3.1 Determinarea centrului unui cerc dat

12.3.1 Determinarea centrului unui cerc dat

Pentru determinarea centrului unui cerc dat se procedează conform

Pentru determinarea centrului unui cerc dat se procedează conform

Fig.12.9: se trasează două coarde AB úi CD cu recomandarea ca mărimea

Fig.12.9: se trasează două coarde AB úi CD cu recomandarea ca mărimea

unghiului format prin prelungirea lor să fie cât mai apropiată de 900, după

unghiului format prin prelungirea lor să fie cât mai apropiată de 900, după

care se trasează mediatoarele lor EF úi GH. Punctul de intersecĠie O al

care se trasează mediatoarele lor EF úi GH. Punctul de intersecĠie O al

mediatoarelor reprezintă centrul cercului căutat.

mediatoarelor reprezintă centrul cercului căutat.

147

147

E

E

B A

H

A

0

G

F

B

C

C

E

F

A

B

H

A

0

G

F

0

D Fig. 12.9

C

C

E

F 0

D

Fig. 12.10

B

Fig. 12.9

Fig. 12.10

12.3.2 Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB

12.3.2 Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB

Pentru determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB se

Pentru determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB se

procedează conform Fig.12.10: se trasează două coarde AC úi CB cu

procedează conform Fig.12.10: se trasează două coarde AC úi CB cu

recomandarea ca mărimea unghiului format de ele să fie cât mai apropiată

recomandarea ca mărimea unghiului format de ele să fie cât mai apropiată

de 900, după care se trasează mediatoarele lor prin punctele E úi F. Punctul

de 900, după care se trasează mediatoarele lor prin punctele E úi F. Punctul

de intersecĠie O al mediatoarelor este centrul cercului căutat.

de intersecĠie O al mediatoarelor este centrul cercului căutat.

12.3.3 Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara planului de lucru cunoscând o coardă úi săgeata

12.3.3 Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara planului de lucru cunoscând o coardă úi săgeata

Pentru determinarea unui arc de cerc de rază mare al cărui centru se

Pentru determinarea unui arc de cerc de rază mare al cărui centru se

află înafara planului de lucru (foii de hârtie) cunoscând o coardă AB úi

află înafara planului de lucru (foii de hârtie) cunoscând o coardă AB úi

săgeata CD se procedează conform Fig.12.11: se unesc punctele A úi B cu

săgeata CD se procedează conform Fig.12.11: se unesc punctele A úi B cu

C după care se trasează două arce de cerc de rază oarexare R, dar mai mică

C după care se trasează două arce de cerc de rază oarexare R, dar mai mică

decât AC, din punctele A úi B. Pe aceste arce se iau diviziuni egale astfel:

decât AC, din punctele A úi B. Pe aceste arce se iau diviziuni egale astfel:

se împarte arcul cuprins între AC úi AD în patru părĠi egale rezultând

se împarte arcul cuprins între AC úi AD în patru părĠi egale rezultând

punctele 1, 2 úi 3 după care pe celălalt arc de cerc înafara dreptei CB se ia

punctele 1, 2 úi 3 după care pe celălalt arc de cerc înafara dreptei CB se ia





trei arce de cerc egale unul în prelungirea celuilalt rezultând punctele 1’, 2’

úi 3’. Se uneúte punctul A cu punctele 1, 2 úi 3, iar punctul B cu punctele 1’,

úi 3’. Se uneúte punctul A cu punctele 1, 2 úi 3, iar punctul B cu punctele 1’,

2’ úi 3’, după care aceste semidrepte se prelungesc până se intersectează

2’ úi 3’, după care aceste semidrepte se prelungesc până se intersectează

148

148

trei arce de cerc egale unul în prelungirea celuilalt rezultând punctele 1 , 2

rezultând punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie

rezultând punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie

curbă continuă obĠinem arcul de cerc căutat.

curbă continuă obĠinem arcul de cerc căutat.

Metoda a-II-a de determinare a unui arc de cerc de rază mare al

Metoda a-II-a de determinare a unui arc de cerc de rază mare al

cărui centru se află înafara planului cunoscând o coardă AB úi săgeata CD

cărui centru se află înafara planului cunoscând o coardă AB úi săgeata CD

constă conform Fig.12.12 în: construcĠia dreptei BH perpendiculară pe CB

constă conform Fig.12.12 în: construcĠia dreptei BH perpendiculară pe CB

după care segmentul DB (este jumătatea corzii AB) úi CH se împarte în

după care segmentul DB (este jumătatea corzii AB) úi CH se împarte în

acelaúi număr de părĠi egale (ex: 4 părĠi egale) rezultând punctele 1, 2 úi 3

acelaúi număr de părĠi egale (ex: 4 părĠi egale) rezultând punctele 1, 2 úi 3

(4 { B) úi 1’, 2’ úi 3’ (4’ { H) care se unesc între ele două câte două 1 cu 1’, 2

(4 { B) úi 1’, 2’ úi 3’ (4’ { H) care se unesc între ele două câte două 1 cu 1’, 2

cu 2’ úi 3 cu 3’. În continuare se ridică o perpendiculară din B pe CH úi se

cu 2’ úi 3 cu 3’. În continuare se ridică o perpendiculară din B pe CH úi se

împarte în patru părĠi egale rezultând punctele a, b, c úi d care se unesc cu

împarte în patru părĠi egale rezultând punctele a, b, c úi d care se unesc cu

punctul C; la intersecĠia acestor drepte (Ca, Cb, Cc) cu dreptele 11’, 22’ úi

punctul C; la intersecĠia acestor drepte (Ca, Cb, Cc) cu dreptele 11’, 22’ úi

33’ rezultă punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie

33’ rezultă punctele E, F úi G. Unind punctele C, E, F úi G printr-o linie

curbă continuă obĠinem arcul de cerc căutat.

curbă continuă obĠinem arcul de cerc căutat.

C

E

C F G

R

A

D

E

F G

R

B

Fig.12.11

C

A

c

B

Fig.12.11

C

d

E

D

d

E

H

F

c

F b

b

G

G a

A

H

B

D

a

Fig. 12.12

A

B

D

Fig. 12.12

12.3.4 Determinarea lungimii unui semicerc

12.3.4 Determinarea lungimii unui semicerc

Pentru determinarea lungimii unui semicerc se procedează conform

Pentru determinarea lungimii unui semicerc se procedează conform

Fig.12.13: se duc două diametre perpendiculare AB úi DE după care cercul

Fig.12.13: se duc două diametre perpendiculare AB úi DE după care cercul

se intersectează în punctul F cu un arc de cerc cu centrul în punctul D úi cu

se intersectează în punctul F cu un arc de cerc cu centrul în punctul D úi cu

raza egală cu cea a cercului dat. În continuare se duce tangenta AG la cerc

raza egală cu cea a cercului dat. În continuare se duce tangenta AG la cerc

149

149

în punctul A, după care se uneúte centrul cercului O cu punctul F úi se

în punctul A, după care se uneúte centrul cercului O cu punctul F úi se

prelungeúte dreapta până intersectează tangenta în punctul C. Din acest

prelungeúte dreapta până intersectează tangenta în punctul C. Din acest

punct se ia pe tangentă un segment egal cu de trei ori raza cercului dat

punct se ia pe tangentă un segment egal cu de trei ori raza cercului dat

rezultând punctul H care se uneúte cu punctul B. Segmentul HB este egal

rezultând punctul H care se uneúte cu punctul B. Segmentul HB este egal

cu ʌR (jumătatea lungimii cercului dat) ceea ce reprezintă valoarea

cu ʌR (jumătatea lungimii cercului dat) ceea ce reprezintă valoarea

semicercului căutat.

semicercului căutat.

B

B R

C

0

D

R E

D

E F C

30

F H

A

GA

Fig. 12.13

D

B

Fig. 12.14

12.3.5 Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct de pe cerc

E

E

F

0

C

0

C

30

F

0

H

A

GA

Fig. 12.13

D

B

Fig. 12.14

12.3.5 Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct de pe cerc

Pentru determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda AB úi un punct

Pentru determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda AB úi un punct

E de pe cerc (al cărui centru se află înafara planului) se procedează

E de pe cerc (al cărui centru se află înafara planului) se procedează

conform Fig.12.14: se uneúte punctul E cu A úi B după care se ia pe AE

conform Fig.12.14: se uneúte punctul E cu A úi B după care se ia pe AE

segmentul EF = EB.

segmentul EF = EB.

Se uneúte punctul F cu punctul B úi se obĠine Į = ¬ EBF. În

Se uneúte punctul F cu punctul B úi se obĠine Į = ¬ EBF. În

continuare se construieúte pe latura AB unghiul ¬ ABC = Į = Į1, iar din

continuare se construieúte pe latura AB unghiul ¬ ABC = Į = Į1, iar din

punctul D care se găseúte la jumătatea coardei AB se ridică perpendiculara

punctul D care se găseúte la jumătatea coardei AB se ridică perpendiculara

DC. Prin intersecĠia perpendicularei DC cu BC se obĠine punctul C astfel

DC. Prin intersecĠia perpendicularei DC cu BC se obĠine punctul C astfel

încât segmentul DC va fi săgeata căutată pentru arcul ACB.

încât segmentul DC va fi săgeata căutată pentru arcul ACB.

12.3.6 Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de rază R

12.3.6 Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de rază R

Pentru determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de

Pentru determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de

rază R se procedează conform Fig.12.15: prin punctele A úi B ale arcului de

rază R se procedează conform Fig.12.15: prin punctele A úi B ale arcului de

150

150

cerc AB se duce coarda AB subântinsă arcului. Se determină punctul D ca

cerc AB se duce coarda AB subântinsă arcului. Se determină punctul D ca

mijlocul segmentului AB după care se uneúte cu centrul cercului O úi se

mijlocul segmentului AB după care se uneúte cu centrul cercului O úi se

prelungeúte până intersectează arcul AB în punctul C punct prin care se

prelungeúte până intersectează arcul AB în punctul C punct prin care se

duce tangenta la cerc. Pe prelungirea dreptei OC se ia din punctul C de trei

duce tangenta la cerc. Pe prelungirea dreptei OC se ia din punctul C de trei

ori lungimea razei R până în punctul O1. În continuare se duc dreptele AO

ori lungimea razei R până în punctul O1. În continuare se duc dreptele AO

úi BO1 care determină pe tangentă segmentul EF care are o lungime

úi BO1 care determină pe tangentă segmentul EF care are o lungime

aproximativ egală cu lungimea arcului de cerc AB. ConstrucĠia este

aproximativ egală cu lungimea arcului de cerc AB. ConstrucĠia este

suficient de exactă pentru arce de cerc cu unghiul la centru ȕ până la 800.

suficient de exactă pentru arce de cerc cu unghiul la centru ȕ până la 800.

01

01

A F

R

0

R

0 D C

B E

A

Fig. 12.15

F

D C

B E

Fig. 12.15

12.4 ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale

12.4 ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale

12.4.1 ÎmpărĠirea cercului în două, în patru úi în opt părĠi egale

12.4.1 ÎmpărĠirea cercului în două, în patru úi în opt părĠi egale

Pentru împărĠirea unui cerc în două părĠi egale conform Fig.12.16

Pentru împărĠirea unui cerc în două părĠi egale conform Fig.12.16

este suficient să construim diametul cercului AB. Pentru împărĠirea unui cerc în patru părĠi egale conform Fig.12.17 se vor construi două diametre perpendiculare între ele.

este suficient să construim diametul cercului AB. Pentru împărĠirea unui cerc în patru părĠi egale conform Fig.12.17 se vor construi două diametre perpendiculare între ele.

La împărĠirea unui cerc în opt părĠi egale conform Fig.12.18 după

La împărĠirea unui cerc în opt părĠi egale conform Fig.12.18 după

construcĠia celor două diametre perpendiculare din punctele A, C, E úi G cu

construcĠia celor două diametre perpendiculare din punctele A, C, E úi G cu

o rază oarecare R se descriu arce de cerc care se intersectează în punctele I,

o rază oarecare R se descriu arce de cerc care se intersectează în punctele I,

K, L úi M. Unind punctele I cu L úi K cu M se obĠine a doua pereche de

K, L úi M. Unind punctele I cu L úi K cu M se obĠine a doua pereche de

diametre perpendiculare care împart cercul în opt părĠi egale.

diametre perpendiculare care împart cercul în opt părĠi egale.

151

151

A

A

A

I H

0

0

C

D

Fig. 12.16

Fig. 12.17

A

0

0

0

C

D

0

G L

Fig. 12.18

12.4.2 ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece

B

M

B

Fig. 12.16

Fig. 12.17

K E

C

F B

A

I H

C

M

B

A

E

G B

K

F B

L

Fig. 12.18

12.4.2 ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece

părĠi egale

părĠi egale

Pentru împărĠirea cercului în trei părĠi egale se procedează conform

Pentru împărĠirea cercului în trei părĠi egale se procedează conform

Fig.12.19: se trasează diametrul cercului AB, după care din punctul A cu

Fig.12.19: se trasează diametrul cercului AB, după care din punctul A cu

raza R egală cu raza cercului se duc două arce de cerc de o parte úi de alta a

raza R egală cu raza cercului se duc două arce de cerc de o parte úi de alta a

punctului A până intersectează cercul în punctele C úi D. Punctele A, C úi

punctului A până intersectează cercul în punctele C úi D. Punctele A, C úi

D împart cercul dat de rază R în trei părĠi egale.

D împart cercul dat de rază R în trei părĠi egale.

Pentru împărĠirea cercului în úase

părĠi egale se procedează

Pentru împărĠirea cercului în úase

părĠi egale se procedează

conform Fig.12.20: se trasează diametrul cercului AB, după care din

conform Fig.12.20: se trasează diametrul cercului AB, după care din

punctele A úi B cu raza R egală cu raza cercului se duc arce de cerc de o

punctele A úi B cu raza R egală cu raza cercului se duc arce de cerc de o

parte úi de alta a punctelor A úi B până intersectează cercul în punctele C,

parte úi de alta a punctelor A úi B până intersectează cercul în punctele C,

D, E úi F. Punctele A, B, C, D, E úi F împart cercul dat de rază R în úase

D, E úi F. Punctele A, B, C, D, E úi F împart cercul dat de rază R în úase

părĠi egale.

părĠi egale.

Pentru împărĠirea cercului în douăsprezece părĠi egale se procedează

Pentru împărĠirea cercului în douăsprezece părĠi egale se procedează

conform Fig.12.21: pornind de la construcĠia anterioară se împart arcele

conform Fig.12.21: pornind de la construcĠia anterioară se împart arcele

AE, AF, BC úi BD în câte două părĠi egale. Pentru arcul AF se procedează

AE, AF, BC úi BD în câte două părĠi egale. Pentru arcul AF se procedează

astfel: din punctele A úi F cu o rază oarecare R’< AF se duc arce de cerc

astfel: din punctele A úi F cu o rază oarecare R’< AF se duc arce de cerc

care se intersectează în punctul I. Unind punctul I cucentrul cercului O

care se intersectează în punctul I. Unind punctul I cucentrul cercului O

printr-o dreaptă aceasta intersectează cercul în punctul 2, punct care

printr-o dreaptă aceasta intersectează cercul în punctul 2, punct care

împarte arcul de cerc AF în două părĠi egale. Procedând similar úi pentru

împarte arcul de cerc AF în două părĠi egale. Procedând similar úi pentru

152

152

arcele de cerc FD, DB, BC, CE, úi EA se obĠin punctele de pe cerc 4, 6, 8,

arcele de cerc FD, DB, BC, CE, úi EA se obĠin punctele de pe cerc 4, 6, 8,

10 úi 12. Renumerotând punctele A, F, D, B, C úi E cu 1, 3, 5, 7, 9 úi 11

10 úi 12. Renumerotând punctele A, F, D, B, C úi E cu 1, 3, 5, 7, 9 úi 11

obĠinem punctele pe cerc 1, 2, 3, ..... 12 puncte care împart cercul dat de

obĠinem punctele pe cerc 1, 2, 3, ..... 12 puncte care împart cercul dat de

rază R în douăsprezece părĠi egale.

rază R în douăsprezece părĠi egale.

A

A E

0 C

R

C

B

Fig. 12.19

R

B

Fig. 12.20

D

A

I

A

F

E

0

0

C L

D B

K

Fig. 12.21

C

R

D

C

B

Fig. 12.19

R

B

Fig. 12.20

D

I

F

E

F

0

0

J

M

A

N

R

E

F 0

D

A

N

R

J

M

C L

D B

K

Fig. 12.21

12.4.3 ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale

12.4.3 ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale

Pentru împărĠirea cercului în cinci părĠi egale se procedează

Pentru împărĠirea cercului în cinci părĠi egale se procedează

conform Fig.12.22: se trasează două diametre perpendiculare AB úi CD

conform Fig.12.22: se trasează două diametre perpendiculare AB úi CD

după care se determină punctul E ca mijlocul razei (mijlocul segmentului

după care se determină punctul E ca mijlocul razei (mijlocul segmentului

OB). În continuare cu vârful compasului în punctul E úi cu o rază egală ca

OB). În continuare cu vârful compasului în punctul E úi cu o rază egală ca

valoare cu segmentul EC se trasează un arc de cerc care intersectează

valoare cu segmentul EC se trasează un arc de cerc care intersectează

diametrul AB în punctul F. Segmentul CF este egal cu coarda care

diametrul AB în punctul F. Segmentul CF este egal cu coarda care

subântinde arcul căutat; acest segment se ia de cinci ori pe cerc, unul în

subântinde arcul căutat; acest segment se ia de cinci ori pe cerc, unul în

preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4 úi 5 puncte care împart

preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4 úi 5 puncte care împart

cercul dat în cinci părĠi egale.

cercul dat în cinci părĠi egale.

Pentru împărĠirea cercului în zece părĠi egale se procedează conform

Pentru împărĠirea cercului în zece părĠi egale se procedează conform

Fig.12.23: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea cercului în

Fig.12.23: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea cercului în

cinci părĠi egale – Fig.12.22) unde s-a obĠinut segmentul OF. Acest

cinci părĠi egale – Fig.12.22) unde s-a obĠinut segmentul OF. Acest

segment se ia de zece ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând

segment se ia de zece ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând

punctele 1, 2, 3, .... 10 puncte care împart cercul dat în zece părĠi egale.

punctele 1, 2, 3, .... 10 puncte care împart cercul dat în zece părĠi egale.

153

153

C 5

1

4

1 A

F

E

0

2

B A

C 5

C 10

8

5 10 0 E F

4

3

D

Fig. 12.22

A

F

E

0

2

B A

C 10

9 8

5 10 0 E F

B 7

3

6

2

5

D

4

1

B 7

3

2

1

9

D

Fig. 12.23

4

3

Fig. 12.22

6 5

D

Fig. 12.23

12.4.4 ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale

12.4.4 ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale

Pentru împărĠirea cercului în úapte părĠi egale se procedează

Pentru împărĠirea cercului în úapte părĠi egale se procedează

conform Fig.12.24: se trasează diametrul AB, după care cu vârful

conform Fig.12.24: se trasează diametrul AB, după care cu vârful

compasului în punctul B úi cu o rază egală cu raza cercului R se trasează un

compasului în punctul B úi cu o rază egală cu raza cercului R se trasează un

arc de cerc care intersectează cercul în punctele C úi D. Unind punctele C

arc de cerc care intersectează cercul în punctele C úi D. Unind punctele C

úi D cu un segment, acesta intersectează raza OB în punctul E. Segmentul

úi D cu un segment, acesta intersectează raza OB în punctul E. Segmentul

CE se ia de úapte ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând

CE se ia de úapte ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat, rezultând

punctele 1, 2, 3, .... 7 puncte care împart cercul dat în úapte părĠi egale.

punctele 1, 2, 3, .... 7 puncte care împart cercul dat în úapte părĠi egale.

A 7

1

1

C 9

A 7

8

1

6 2 A

0 2

5 D

7

C

E 3 B

1

4

6 4

Fig. 12.24

D

5

Fig. 12.25

154

F

2 A

0 2

E 3

8

6

7 B G

9 H 20 O

C 9

5 D

7

C

E 3 B

7 B G

9 H 20 O

E 3

4

6 4

Fig. 12.24

D

5

Fig. 12.25

154

F

12.4.5 ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale

12.4.5 ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale

Pentru împărĠirea cercului în nouă

Pentru împărĠirea cercului în nouă

părĠi egale se procedează

părĠi egale se procedează

conform Fig.12.25: se trasează două diametre perpendiculare AB úi CD

conform Fig.12.25: se trasează două diametre perpendiculare AB úi CD

după care cu vârful compasului în punctul D úi cu o rază egală cu raza

după care cu vârful compasului în punctul D úi cu o rază egală cu raza

cercului R se trasează un arc de cerc care intersectează cercul în punctele E

cercului R se trasează un arc de cerc care intersectează cercul în punctele E

úi F. În continuare cu centrul în punctul C úi cu raza CF se descrie un arc

úi F. În continuare cu centrul în punctul C úi cu raza CF se descrie un arc

de cerc care intersectează prelungirea diametrului AB în punctul G, după

de cerc care intersectează prelungirea diametrului AB în punctul G, după

care din acest punct cu raza CG se duce un alt arc de cerc care

care din acest punct cu raza CG se duce un alt arc de cerc care

intersectează diametrul AB în interiorul cercului în punctul H. Segmentul

intersectează diametrul AB în interiorul cercului în punctul H. Segmentul

AH este egal cu coarda care subântinde arcul căutat; acest segment se ia de

AH este egal cu coarda care subântinde arcul căutat; acest segment se ia de

nouă ori pe cerc, unul în preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4

nouă ori pe cerc, unul în preluhgirea celuilalt, rezultând punctele 1, 2, 3, 4

.... 9 puncte care împart cercul dat în nouă părĠi egale.

.... 9 puncte care împart cercul dat în nouă părĠi egale.

Pentru împărĠirea cercului în douăzeci de părĠi egale se procedează

Pentru împărĠirea cercului în douăzeci de părĠi egale se procedează

conform Fig.12.25: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea

conform Fig.12.25: se porneúte de la construcĠia anterioară (împărĠirea

cercului în nouă părĠi egale) unde s-a obĠinut segmentul OH. Acest

cercului în nouă părĠi egale) unde s-a obĠinut segmentul OH. Acest

segment se ia de douăzeci de ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat,

segment se ia de douăzeci de ori pe cerc, unul în prelungirea celuilat,

rezultând punctele 1, 2, 3, .... 20 puncte care împart cercul dat în douăzeci

rezultând punctele 1, 2, 3, .... 20 puncte care împart cercul dat în douăzeci

de părĠi egale.

de părĠi egale.

12.4.6 ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de

părĠi

egale

12.4.6 ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de

părĠi

egale

Pentru împărĠirea cercului în într-un număr oarecare de părĠi egale

Pentru împărĠirea cercului în într-un număr oarecare de părĠi egale

se procedează conform Fig.12.26: se consideră spre exemplificare un

se procedează conform Fig.12.26: se consideră spre exemplificare un

număr de unsprezece părĠi. Se trasează diametrul AB care se împarte în

număr de unsprezece părĠi. Se trasează diametrul AB care se împarte în

unsprezece părĠi egale ( punctele 1, 2, 3, 4 .... 11 ) după care din punctele A

unsprezece părĠi egale ( punctele 1, 2, 3, 4 .... 11 ) după care din punctele A

úi B se duc două arce de cerc, cu raza egală ca valoare cu diametrul AB,

úi B se duc două arce de cerc, cu raza egală ca valoare cu diametrul AB,

care se intersectează în punctele C úi D. Din punctele C úi D de duc drepte

care se intersectează în punctele C úi D. Din punctele C úi D de duc drepte

prin diviziunile cu număr par (sau impar) ale diametrului AB până

prin diviziunile cu număr par (sau impar) ale diametrului AB până

155

155

intersectează cercul în punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’…11’. Aceste puncte impart

intersectează cercul în punctele 1’, 2’, 3’, 4’, 5’…11’. Aceste puncte impart

cercul dat într-un număr (în exemplul arătat de 11 părĠi) de părĠi egale.

cercul dat într-un număr (în exemplul arătat de 11 părĠi) de părĠi egale.

A

A

P

P

E

N

N

F

C

D

0 G

M H

L K

B

E F

C

D

0 G

M H

L

J

K

Fig. 12.26

B

J

Fig. 12.26

12.5 Tangenta. Cercuri tangente

12.5 Tangenta. Cercuri tangente

12.5.1 Tangenta la cerc

12.5.1 Tangenta la cerc

Tangenta la un cerc (în oricare punct al cercului) este

Tangenta la un cerc (în oricare punct al cercului) este

perpendiculara pe rază care trece prin acel punct (Fig.12.27).

perpendiculara pe rază care trece prin acel punct (Fig.12.27).

Tangenta la un cerc se mai poate defini úi ca poziĠia limită a unei

Tangenta la un cerc se mai poate defini úi ca poziĠia limită a unei

secante care trece prin două puncte ale unei curbe atunci când secanta se

secante care trece prin două puncte ale unei curbe atunci când secanta se

roteúte úi cele două puncte se confundă.

roteúte úi cele două puncte se confundă.

ConstrucĠia cu echerul a tangentei la cerc constă conform Fig.12.28

ConstrucĠia cu echerul a tangentei la cerc constă conform Fig.12.28

în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o riglă astfel încât una din

în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o riglă astfel încât una din

laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul

laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul

cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei până când

cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei până când

cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept intersectează

cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept intersectează

cercul într-un singur punct ( T ). Linia trasată de-a lungul acestei laturi a

cercul într-un singur punct ( T ). Linia trasată de-a lungul acestei laturi a

echerului este tangenta la cerc căutată.

echerului este tangenta la cerc căutată.

156

156

Tangenta

Tangenta

T

T

2

0

1

Fig. 12.27

Fig. 12.28

0

1

Fig. 12.27

2

Fig. 12.28

12.5.2 Tangenta dintr-un punct exterior la cerc

12.5.2 Tangenta dintr-un punct exterior la cerc

Pentru construcĠia tangentei dintr-un punct exterior la cerc se

Pentru construcĠia tangentei dintr-un punct exterior la cerc se

procedează conform Fig.12.29: din punctul O2 exterior cercului dat cu

procedează conform Fig.12.29: din punctul O2 exterior cercului dat cu

centrul O se duce o dreaptă care uneúte aceste două puncte. În continuare

centrul O se duce o dreaptă care uneúte aceste două puncte. În continuare

se determină punctul O1 situat la jumătatea segmentului OO2, după care se

se determină punctul O1 situat la jumătatea segmentului OO2, după care se

trasează un cerc cu centrul în punctul O1 cu raza R = O1O2 care

trasează un cerc cu centrul în punctul O1 cu raza R = O1O2 care



intersectează cercul dat iniĠial în punctele T úi T . Unind aceste puncte cu

intersectează cercul dat iniĠial în punctele T úi T’. Unind aceste puncte cu

punctul O2 se obĠin tangentele la cerc O2T úi O2T’ căutate.

punctul O2 se obĠin tangentele la cerc O2T úi O2T’ căutate.

ConstrucĠia cu echerul a tangentei dintr-un punct exterior la cerc

ConstrucĠia cu echerul a tangentei dintr-un punct exterior la cerc

constă conform Fig.12.30 în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o

constă conform Fig.12.30 în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o

riglă care uneúte centrul cercului O cu punctul exterior cercului O2 astfel

riglă care uneúte centrul cercului O cu punctul exterior cercului O2 astfel

încât una din laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin

încât una din laturile echerului care formează unghiul drept să treacă prin

centrul cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei

centrul cercului dat, după care echerul se translatează de-a lungul riglei

până când cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept

până când cea de a doua latură a echerului care formează unghiul drept

trece prin punctul O2 úi intersectează cercul într-un singur punct ( T ). Linia

trece prin punctul O2 úi intersectează cercul într-un singur punct ( T ). Linia

trasată de-a lungul acestei laturi a echerului este tangenta dintr-un punct

trasată de-a lungul acestei laturi a echerului este tangenta dintr-un punct

exterior la cerc căutată.

exterior la cerc căutată.

157

157

T

T

Tangenta

Tangenta

0

02

01

2

T

1

02

0

02

01

02

0

2

T

1

0

T’

T’

Fig. 12.29

Fig. 12.30

Fig. 12.29

Fig. 12.30

Dreapta (OO2) care uneúte centrul cercului (O) cu un punct exterior

Dreapta (OO2) care uneúte centrul cercului (O) cu un punct exterior

acestuia (O2) din care sunt duse tangente la cerc împarte unghiul format de

acestuia (O2) din care sunt duse tangente la cerc împarte unghiul format de

acestea în două părĠi egale (Fig.88).

acestea în două părĠi egale (Fig.88).

Coarda ( TT’ ) care uneúte punctele de tangenĠă ( T úi T’ ) la

R

01

0

intersecĠia (O1) cu dreapta OO2 formează un unghi drept (Fig.12.31).

R

intersecĠia (O1) cu dreapta OO2 formează un unghi drept (Fig.12.31).

Coarda ( TT’ ) care uneúte punctele de tangenĠă ( T úi T’ ) la

02

Fig. 12.31

0

Fig. 12.32

01

02

Fig. 12.31

Fig. 12.32

12.5.3 Tangente exterioare la două cercuri

12.5.3 Tangente exterioare la două cercuri

Pentru construcĠia tangentelor exterioare la două cercuri date de rază

Pentru construcĠia tangentelor exterioare la două cercuri date de rază

r úi R conforn Fig.12.32 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R – r

r úi R conforn Fig.12.32 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R – r

se trasează un cerc ajutător úi se construiesc tangentele din O la acest cerc

se trasează un cerc ajutător úi se construiesc tangentele din O’ la acest cerc

în punctele C úi D. În continuare se duc paralele la distanĠa r la aceste

în punctele C úi D. În continuare se duc paralele la distanĠa r la aceste



tangente ( AA úi BB’ ); acestea sunt tangentele exterioare la cercurile date.

tangente ( AA’ úi BB’ ); acestea sunt tangentele exterioare la cercurile date.

158

158



12.5.4 Tangente interioare la două cercuri

12.5.4 Tangente interioare la două cercuri

Pentru construcĠia tangentelor interioare la două cercuri date de rază

Pentru construcĠia tangentelor interioare la două cercuri date de rază

r úi R conforn Fig.12.33 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R + r

r úi R conforn Fig.12.33 se procedează astfel: din centrul O cu o rază R + r

se trasează un cerc ajutător úi se construiesc tangentele din O’ la acest cerc

se trasează un cerc ajutător úi se construiesc tangentele din O’ la acest cerc

în punctele C úi D. În continuare se construiesc paralele la distanĠa r la

în punctele C úi D. În continuare se construiesc paralele la distanĠa r la



aceste tangente ( AA úi BB’ ); acestea sunt tangentele interioare la cercurile

aceste tangente ( AA’ úi BB’ ); acestea sunt tangentele interioare la cercurile

date.

date. ConstrucĠia cu echerul a tangentelor interiore la două cercuri

ConstrucĠia cu echerul a tangentelor interiore la două cercuri

constă conform Fig.12.34 în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o

constă conform Fig.12.34 în aúezarea echerului cu latura cea mai mare pe o

riglă care uneúte centrele cercurilor ( O úi O’ ) astfel încât una din laturile

riglă care uneúte centrele cercurilor ( O úi O’ ) astfel încât una din laturile

echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul O. În locul în

echerului care formează unghiul drept să treacă prin centrul O. În locul în

care această latură a echerului intersectează cercul (cu centrul în O) se

care această latură a echerului intersectează cercul (cu centrul în O) se

marchează punctul A. În continuare se translatează echerul de-a lungul

marchează punctul A. În continuare se translatează echerul de-a lungul

riglei până când aceeaúi latură a echerului trece prin centrul celui de al

riglei până când aceeaúi latură a echerului trece prin centrul celui de al



doilea cerc (O ) úi se marchează locul unde aceasta intersectează cercul

doilea cerc (O’) úi se marchează locul unde aceasta intersectează cercul

prin punctul A’. Unind punctele A cu A’ se obĠine tangenta interioară la cele

prin punctul A’. Unind punctele A cu A’ se obĠine tangenta interioară la cele

două cercuri.

două cercuri.

1

Fig. 12.33

2

1

3

Fig. 12.34

Fig. 12.33

2

3

Fig. 12.34

12.5.5 Cercuri tangente interior

12.5.5 Cercuri tangente interior

Pentru construcĠia a două cercuri tangente interioare date de rază R1

Pentru construcĠia a două cercuri tangente interioare date de rază R1

úi R2 conform Fig.12.35 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se

úi R2 conform Fig.12.35 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se

159

159

poziĠionează centrul O1; din acest punct cu raza R1 se trasează un cerc care

poziĠionează centrul O1; din acest punct cu raza R1 se trasează un cerc care

intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă úi de aceeaúi

intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă úi de aceeaúi

parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui de al

parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui de al

doilea cerc ( O2 ). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care se

doilea cerc ( O2 ). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care se

intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul de

intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul de

tangenĠă.

tangenĠă.

Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1T se obĠine tangenta comună la cele două cercuri.

R1 R2

T

obĠine tangenta comună la cele două cercuri.

R1 R2

Tangenta

01

Fig. 12.35

R1 R2

Tangenta

R1

02 01

Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1T se

T

R2

02

T

R1 R2

Tangenta

R1

02 01

Fig. 12.36

Tangenta

01

Fig. 12.35

T

R2

02

Fig. 12.36

12.5.6 Cercuri tangente exterior

12.5.6 Cercuri tangente exterior

Pentru construcĠia a două cercuri tangente exterior date de rază R1 úi

Pentru construcĠia a două cercuri tangente exterior date de rază R1 úi

R2 conform Fig.12.36 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se

R2 conform Fig.12.36 se procedează astfel: se ia o dreaptă pe care se

poziĠionează centrul O1; din acest punct cu raza R1 se trasează un cerc care

poziĠionează centrul O1; din acest punct cu raza R1 se trasează un cerc care

intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă dar de

intersectează dreapta iniĠială în punctul T. Pe aceeaúi dreaptă dar de

cealaltă parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui

cealaltă parte a punctului T se măsoară raza R2 obĠinându-se centrul celui

de al doilea cerc (O2). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care

de al doilea cerc (O2). Din acest punct se trasează un cerc cu raza R2 care

se intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul

se intersectează cu primul cerc într-un singur punct ( T ) care este punctul

de tangenĠă.

de tangenĠă.

160

160

Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1O2 se obĠine tangenta comună la cele două cercuri.

Dacă din punctul T se ridică o perpendiculară pe dreapta O1O2 se obĠine tangenta comună la cele două cercuri.

12.6 Cercuri concentrice

12.6 Cercuri concentrice

12.6.1 Cercuri concentrice interior

12.6.1 Cercuri concentrice interior

Pentru construcĠia unui cerc concentric interior cu cerc dat conform

Pentru construcĠia unui cerc concentric interior cu cerc dat conform

Fig.12.37 se procedează astfel: la cercul dat de rază R úi cu centrul în

Fig.12.37 se procedează astfel: la cercul dat de rază R úi cu centrul în

punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente interior

punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente interior

la cercul dat. Unind centrele cercurilor de rază r se obĠine cercul cu centrul

la cercul dat. Unind centrele cercurilor de rază r se obĠine cercul cu centrul

în O de rază R – r concentric interior cu cercul dat.

în O de rază R – r concentric interior cu cercul dat.

12.6.2 Cercuri concentrice exterior

12.6.2 Cercuri concentrice exterior

Pentru construcĠia unui cerc concentric exterior cu cerc dat conform

Pentru construcĠia unui cerc concentric exterior cu cerc dat conform

Fig.12.38 se procedează astfel: la cercul dat de rază R úi cu centrul în

Fig.12.38 se procedează astfel: la cercul dat de rază R úi cu centrul în

punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente exterior

punctul O se construiesc mai multe cercuri de rază r < R tangente exterior

la cercul dat. Unind centrele cercurilor de rază r se obĠine cercul cu centrul

la cercul dat. Unind centrele cercurilor de rază r se obĠine cercul cu centrul

în O de rază R + r concentric interior cu cercul dat.

în O de rază R + r concentric interior cu cercul dat.

Fig. 12.37

Fig. 12.38

161

Fig. 12.37

Fig. 12.38

161

13. RACORDARI

13. RACORDARI

Racordarea este operaĠia de legătură prin intermediul a unu sau

Racordarea este operaĠia de legătură prin intermediul a unu sau

două arce de cerc între: două linii, o linie úi un cerc, două cercuri. Racordarea este operaĠia prin care două linii dintr-un plan sunt unite printr-un arc de curbă tangent la fiecare dintre cele două linii [20].

două arce de cerc între: două linii, o linie úi un cerc, două cercuri. Racordarea este operaĠia prin care două linii dintr-un plan sunt unite printr-un arc de curbă tangent la fiecare dintre cele două linii [20].

Racordările au la baza construcĠiilor geometrice următoarea

Racordările au la baza construcĠiilor geometrice următoarea

proprietate pe care o are tangenta comună la două cercuri tangente:

proprietate pe care o are tangenta comună la două cercuri tangente:

tangenta este perpendiculară pe razele celor două cercuri în punctul de

tangenta este perpendiculară pe razele celor două cercuri în punctul de

contact, respectiv pe dreapta care uneúte centrele lor.

contact, respectiv pe dreapta care uneúte centrele lor.

Regulile racordărilor:

Regulile racordărilor:

x La racordarea unei drepte cu un arc de cerc, punctul de

x La racordarea unei drepte cu un arc de cerc, punctul de

racordare T se găseúte la intersecĠia perpendicularei trasate

racordare T se găseúte la intersecĠia perpendicularei trasate

din centrul cercului pe dreapta respectivă conform Fig.13.1;

din centrul cercului pe dreapta respectivă conform Fig.13.1;

x La racordarea a două cercuri sau arce de cerc, punctul de

x La racordarea a două cercuri sau arce de cerc, punctul de

racordare T se găseúte pe dreapta care uneúte centrele celor

racordare T se găseúte pe dreapta care uneúte centrele celor

două cercuri conform Fig.13.2.

două cercuri conform Fig.13.2.

0

0 T

T

90

90

01

T

01 02

Fig. 13.1

T 02

Fig. 13.2

Fig. 13.1

Fig. 13.2

13.1 Elementele racordării

13.1 Elementele racordării

Elementele racordării conform Fig.13.2 sunt:

Elementele racordării conform Fig.13.2 sunt:

x Centrul de racordare ( O ) este centrul arcului de racordare;

x Centrul de racordare ( O ) este centrul arcului de racordare;

x Punctul de racordare ( A ) este punctul de contact între elementele

x Punctul de racordare ( A ) este punctul de contact între elementele

ce se racordează;

ce se racordează;

162

162

x Arcul de racordare ( AB) este arcul de cerc cu care se execută racordarea.

x Arcul de racordare ( AB) este arcul de cerc cu care se execută racordarea.

A Arc de racordare

Centru de racordare

0

B

A Arc de racordare

Punct de racordare Fig. 13.3

Centru de racordare

0

B

Punct de racordare Fig. 13.3

13.2 Racordarea a două drepte

13.2 Racordarea a două drepte

13.2.1 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată

13.2.1 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată

13.2.1.1 Metoda paralelelor

13.2.1.1 Metoda paralelelor

Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de racordare de

Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de racordare de

rază dată R conform Fig.13.4 se procedează astfel: se trasează câte o

rază dată R conform Fig.13.4 se procedează astfel: se trasează câte o

paralelă la dreptele (ǻ1) úi (ǻ2), la o distanĠă R, la intersecĠia lor

paralelă la dreptele (ǻ1) úi (ǻ2), la o distanĠă R, la intersecĠia lor

determinându-se centrul de racordare O din care se ridică câte o

determinându-se centrul de racordare O din care se ridică câte o

perpendiculară pe cele două drepte pe care le intersectează în punctele A

perpendiculară pe cele două drepte pe care le intersectează în punctele A

respectiv B rezultând punctele de racordare. În continuare cu vârful

respectiv B rezultând punctele de racordare. În continuare cu vârful

compasului în O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de racordare

compasului în O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de racordare

AB căutat.

AB căutat.

Fig. 13.4

Fig. 13.5

163

Fig. 13.4

Fig. 13.5

163

13.2.1.2 Metoda bisectoarei

13.2.1.2 Metoda bisectoarei

Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de racordare de

Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de racordare de

rază dată R conform Fig.13.5 se procedează astfel: se împarte unghiul

rază dată R conform Fig.13.5 se procedează astfel: se împarte unghiul

format de cele două drepte în părĠi egale úi se trasează bisectoarea după

format de cele două drepte în părĠi egale úi se trasează bisectoarea după

care se trasează o paralelă la una din cele două drepte la distanĠa R. În locul

care se trasează o paralelă la una din cele două drepte la distanĠa R. În locul

de intersecĠie al paralelei cu bisectoarea rezultă punctul O numit úi centru

de intersecĠie al paralelei cu bisectoarea rezultă punctul O numit úi centru

de racordare. În continuare se trasează din punctul O câte o perpendiculară

de racordare. În continuare se trasează din punctul O câte o perpendiculară

pe cele două drepte iniĠiale în punctele A respectiv B numite úi puncte de

pe cele două drepte iniĠiale în punctele A respectiv B numite úi puncte de

racordare, după care cu vârful compasului în O úi cu o rază R=OA=OB se

racordare, după care cu vârful compasului în O úi cu o rază R=OA=OB se

trasează arcul de racordare AB.

trasează arcul de racordare AB.

13.2.2 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul din punctele de racordare

13.2.2 Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul din punctele de racordare

Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de cerc fiind

Pentru racordarea a două drepte (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de cerc fiind

dat unul din punctele de racordare (punctul B) conform Fig.13.6 se

dat unul din punctele de racordare (punctul B) conform Fig.13.6 se

procedează astfel: se prelungesc dreptele (ǻ1) úi (ǻ2) până se intersectează

procedează astfel: se prelungesc dreptele (ǻ1) úi (ǻ2) până se intersectează

în punctul A, după care se trasează bisectoarea unghiului format de cele

în punctul A, după care se trasează bisectoarea unghiului format de cele

două drepte. În continuare se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ1) în

două drepte. În continuare se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ1) în

punctul B până se intersectează cu bisectoarea trasată anterior rezultând

punctul B până se intersectează cu bisectoarea trasată anterior rezultând

punctul O care este centrul de racordare. Din punctul O se duce o

punctul O care este centrul de racordare. Din punctul O se duce o

perpendiculară pe dreapta (ǻ2) iar piciorul acesteia se notează cu C, care

perpendiculară pe dreapta (ǻ2) iar piciorul acesteia se notează cu C, care

este cel de al doilea punct de racordare. În continuare cu vârful compasului

este cel de al doilea punct de racordare. În continuare cu vârful compasului

în punctul O úi cu raza R = OB = OC se trasează un arc de cerc din punctul

în punctul O úi cu raza R = OB = OC se trasează un arc de cerc din punctul

B până în punctul C, arcul AB fiind arcul de racordare căutat pentru

B până în punctul C, arcul AB fiind arcul de racordare căutat pentru

racordarea dreptelor (ǻ1) úi (ǻ2).

racordarea dreptelor (ǻ1) úi (ǻ2).

164

164

Fig. 13.6

13.2.3 Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind date punctele de racordare

Fig. 13.6

13.2.3 Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind date punctele de racordare

Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de

Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc de

cerc conform Fig.13.7 se procedează astfel: se aleg punctele de racordare A

cerc conform Fig.13.7 se procedează astfel: se aleg punctele de racordare A

pe dreapta (ǻ1) úi B pe dreapta (ǻ2), după care se duce dreapta (ǻ’1) paralelă

pe dreapta (ǻ1) úi B pe dreapta (ǻ2), după care se duce dreapta (ǻ’1) paralelă

la dreapta (ǻ1) la distanĠa R = AB. În continuare din punctul B se duce un

la dreapta (ǻ1) la distanĠa R = AB. În continuare din punctul B se duce un

arc de cerc cu raza R = AB care intersectează dreapta (ǻ’1) în punctul O

arc de cerc cu raza R = AB care intersectează dreapta (ǻ’1) în punctul O

numit centru de racordare. Din acest punct O, cu aceeaúi rază R = AB se

numit centru de racordare. Din acest punct O, cu aceeaúi rază R = AB se

trasează un arc de cerc care uneúte punctele de racordare A úi B rezultând

trasează un arc de cerc care uneúte punctele de racordare A úi B rezultând

arcul de racordare AB căutat.

arcul de racordare AB căutat.

Caz particular: unul din punctele de racordare (B) conform Fig.13.8 poate

Caz particular: unul din punctele de racordare (B) conform Fig.13.8 poate

să fie un punct al unei muchii; este cel mai frecvent caz întâlnit în practica

să fie un punct al unei muchii; este cel mai frecvent caz întâlnit în practica

construcĠiilor de maúini la strunjitra suprafeĠelor. ConstrucĠia este

construcĠiilor de maúini la strunjitra suprafeĠelor. ConstrucĠia este

asemănătoare cazului prezentat anterior (Fig.13.7).

asemănătoare cazului prezentat anterior (Fig.13.7).

Fig. 13.7

165

Fig. 13.7

165

Fig. 13.8

13.2.4 Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de cerc de rază dată

Fig. 13.8

13.2.4 Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de cerc de rază dată

Pentru racordarea a două drepte perpendiculare (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc

Pentru racordarea a două drepte perpendiculare (ǻ1) úi (ǻ2) cu un arc

de racordare de rază dată R conform Fig.13.9 se procedează astfel: cu

de racordare de rază dată R conform Fig.13.9 se procedează astfel: cu

vârful compasului în punctul de intersecĠie P úi cu raza R se trasează arce

vârful compasului în punctul de intersecĠie P úi cu raza R se trasează arce

de cerc care intersectează dreptele în punctele A respectiv B care sunt

de cerc care intersectează dreptele în punctele A respectiv B care sunt

centrele de racordare. În continuare cu aceeaúi rază R din punctele A úi B se

centrele de racordare. În continuare cu aceeaúi rază R din punctele A úi B se

duce câte un arc de cerc care se intersectează în punctul O numit centru de

duce câte un arc de cerc care se intersectează în punctul O numit centru de

racordare. Din punctul O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de

racordare. Din punctul O úi cu o rază R = OA = OB se trasează arcul de

racordare AB căutat.

racordare AB căutat.

Fig. 13.9

Fig. 13.10

166

Fig. 13.9

Fig. 13.10

166

13.2.5 Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc

13.2.5 Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc

fiind date punctele de racordare

fiind date punctele de racordare

Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) prin două arce

Pentru racordarea a două drepte paralele (ǻ1) úi (ǻ2) prin două arce

de cerc fiind date punctele de racordare A1 úi A2 conform Fig.13.10 se

de cerc fiind date punctele de racordare A1 úi A2 conform Fig.13.10 se

procedează astfel: se trasează dreapta A1A2 pe care se alege un punct

procedează astfel: se trasează dreapta A1A2 pe care se alege un punct

oarecare A3, după care se ridică mediatoarele segmentelor A1A2 úi A2A3 de o

oarecare A3, după care se ridică mediatoarele segmentelor A1A2 úi A2A3 de o

parte úi de alta a dreptei în sens invers. În continuare se ridică

parte úi de alta a dreptei în sens invers. În continuare se ridică

perpendiculare în punctul A1 pe dreapta (ǻ1) úi în punctul A2 pe dreapta

perpendiculare în punctul A1 pe dreapta (ǻ1) úi în punctul A2 pe dreapta

(ǻ2) care intersectează mediatoarele în centrele de racordare O1 úi O2 . Din

(ǻ2) care intersectează mediatoarele în centrele de racordare O1 úi O2 . Din

punctul O1 cu raza R1=O1A1 se trasează arcul de racordare A1A3, iar din

punctul O1 cu raza R1=O1A1 se trasează arcul de racordare A1A3, iar din

punctul O2 cu raza R2=O2A2 se trasează arcul de racordare A2A3, acestea

punctul O2 cu raza R2=O2A2 se trasează arcul de racordare A2A3, acestea

fiind arcele de racordare căutate pentru racordarea celor două drepte

fiind arcele de racordare căutate pentru racordarea celor două drepte

paralele.

paralele.

13.2.6 Racordarea a două perechi de drepte paralele egal

13.2.6 Racordarea a două perechi de drepte paralele egal

depărtate între ele prin două arce de cerc fiind date

depărtate între ele prin două arce de cerc fiind date

punctele de racordare

punctele de racordare

Pentru racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate între

Pentru racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate între

ele (ǻ1)úi (ǻ2) cu (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) prin două arce de cerc fiind date două puncte

ele (ǻ1)úi (ǻ2) cu (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) prin două arce de cerc fiind date două puncte

de racordare C1 úi C2 conform Fig.13.11 se procedează astfel: se trasează

de racordare C1 úi C2 conform Fig.13.11 se procedează astfel: se trasează

iniĠial dreapta C1C2, după care se determină mijlocul acesteia prin

iniĠial dreapta C1C2, după care se determină mijlocul acesteia prin

construcĠia punctului C3; în continuare se ridică mediatoarele segmentelor

construcĠia punctului C3; în continuare se ridică mediatoarele segmentelor

C1C2 úi C2C3 în sens invers rezultând punctele A respectiv B. Din punctele

C1C2 úi C2C3 în sens invers rezultând punctele A respectiv B. Din punctele

C1 úi C2 se ridică perpendiculare care intersectează mediatoarele în centrele

C1 úi C2 se ridică perpendiculare care intersectează mediatoarele în centrele

de racordare O1 úi O2. Perpendiculara ridicată din punctul C1 pe dreapta

de racordare O1 úi O2. Perpendiculara ridicată din punctul C1 pe dreapta





(ǻ1) intersectează paralela (ǻ 1) în C 1 iar prelungirea perpendicularei în C2

(ǻ1) intersectează paralela (ǻ’1) în C’1 iar prelungirea perpendicularei în C2

pe dreapta (ǻ2) intersectează dreapta (ǻ’2) în C’2. În continuare se unesc

pe dreapta (ǻ2) intersectează dreapta (ǻ’2) în C’2. În continuare se unesc

punctele C’1 cu C’2 rezultând dreapta C’1C’2 úi O1 cu O2 rezultând dreapta

punctele C’1 cu C’2 rezultând dreapta C’1C’2 úi O1 cu O2 rezultând dreapta

167

167

O1O2 care se intersectează în punctul C’3. Din punctul O1 cu raza egală cu

O1O2 care se intersectează în punctul C’3. Din punctul O1 cu raza egală cu

O1C1 se trasează arcul de cerc C1C3 iar din O2 cu raza egală cu O2C2 se

O1C1 se trasează arcul de cerc C1C3 iar din O2 cu raza egală cu O2C2 se

trasează arcul de cerc C2C3 , arce prin care se racordează paralele (ǻ1)úi

trasează arcul de cerc C2C3 , arce prin care se racordează paralele (ǻ1)úi

(ǻ2). Din punctul O1 cu raza egală cu O1C’1 se trasează arcul de cerc C’1C’3

(ǻ2). Din punctul O1 cu raza egală cu O1C’1 se trasează arcul de cerc C’1C’3

iar din O2 cu raza egală cu O2C’2 se trasează arcul de cerc C’2C’3, arce prin

iar din O2 cu raza egală cu O2C’2 se trasează arcul de cerc C’2C’3, arce prin

care se racordează dreptele paralele (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) care sunt paralele cu

care se racordează dreptele paralele (ǻ’1) úi (ǻ’ 2) care sunt paralele cu

dreptele (ǻ1)úi (ǻ2).

dreptele (ǻ1)úi (ǻ2).

Fig.13.11

Fig.13.12

Fig.13.11

Fig.13.12

13.3 Racordarea unei drepte cu un cerc dat

13.3 Racordarea unei drepte cu un cerc dat

13.3.1 Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată

13.3.1 Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată

Pentru racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată R conform

Pentru racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată R conform

Fig.13.12 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la dreapta (ǻ) la

Fig.13.12 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la dreapta (ǻ) la

o distanĠă egală cu valoarea razei R, după care din centrul cercului O1 se

o distanĠă egală cu valoarea razei R, după care din centrul cercului O1 se

trasează un arc de cerc cu raza egală cu R1+R care intersectează dreapta

trasează un arc de cerc cu raza egală cu R1+R care intersectează dreapta

(ǻ1) în punctul O numit úi centru de racordare. În continuare din punctul O

(ǻ1) în punctul O numit úi centru de racordare. În continuare din punctul O

se duce o perpendiculară pe dreapta (ǻ) rezultând punctul de racordare B

se duce o perpendiculară pe dreapta (ǻ) rezultând punctul de racordare B

iar unind punctul O cu O1 dreapta rezultată intersectează cercul în punctul

iar unind punctul O cu O1 dreapta rezultată intersectează cercul în punctul

de racordare A. În final cu vârful compasului în O úi cu deschiderea egală

de racordare A. În final cu vârful compasului în O úi cu deschiderea egală

cu raza R se trasează un arc de cerc care uneúte punctele A úi B rezultând

cu raza R se trasează un arc de cerc care uneúte punctele A úi B rezultând

arcul de racordare AB căutat.

arcul de racordare AB căutat.

168

168

13.3.2. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de racordare de pe dreaptă

13.3.2. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de racordare de pe dreaptă

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc de rază oarecare R1

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc de rază oarecare R1

fiind dat punctul de racordare de pe dreapta A conform Fig.13.13 se

fiind dat punctul de racordare de pe dreapta A conform Fig.13.13 se

procedează astfel: se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ) în punctual A

procedează astfel: se ridică o perpendiculară pe dreapta (ǻ) în punctual A

pe care se trasează segmental AB=R1 úi se uneúte punctul B astfel

pe care se trasează segmental AB=R1 úi se uneúte punctul B astfel

determinat cu centrul cercului O1. Din punctul A se duce o perpendiculară

determinat cu centrul cercului O1. Din punctul A se duce o perpendiculară

la AB care intersectează cercul în punctul de racordare C. Unind punctul O1

la AB care intersectează cercul în punctul de racordare C. Unind punctul O1

cu C rezultă dreapta O1C care prelungită se intersectează cu prelungirea

cu C rezultă dreapta O1C care prelungită se intersectează cu prelungirea

perpendicularei AB în centrul de racordare O2. Cu centrul în punctul O2 úi

perpendicularei AB în centrul de racordare O2. Cu centrul în punctul O2 úi

cu raza R = O2A se descrie arcul de racordare AC care racordează dreapta

cu raza R = O2A se descrie arcul de racordare AC care racordează dreapta

(ǻ) cu cercul dat.

(ǻ) cu cercul dat.

Fig.13.13

Fig.13.14

13.3.3 Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de racordare de pe cerc

Fig.13.13

Fig.13.14

13.3.3 Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de racordare de pe cerc

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc de rază oarecare R1

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc de rază oarecare R1

fiind dat punctul de racordare A de pe cerc se procedează conform

fiind dat punctul de racordare A de pe cerc se procedează conform

Fig.13.14 astfel: se construieúte tangenta în punctul A la cercul cu centrul

Fig.13.14 astfel: se construieúte tangenta în punctul A la cercul cu centrul

în O1 úi de rază R1 care se intersectează cu prelungirea dreptei (ǻ) în

în O1 úi de rază R1 care se intersectează cu prelungirea dreptei (ǻ) în

punctul B. Se construieúte bisectoarea unghiului format de dreapta (ǻ) úi

punctul B. Se construieúte bisectoarea unghiului format de dreapta (ǻ) úi

169

169

tangenta la cerc care se intersectează cu prelungirea razei O1A în centrul de

tangenta la cerc care se intersectează cu prelungirea razei O1A în centrul de

racordare O2. Din punctul O2 se coboară o perpendiculară pe dreapta (ǻ)

racordare O2. Din punctul O2 se coboară o perpendiculară pe dreapta (ǻ)

rezultând punctul de racordare C. Cu vârful compasului în O2 se descrie un

rezultând punctul de racordare C. Cu vârful compasului în O2 se descrie un

arc de cerc cu raza R2=O2C care este arcul de cerc care racordează dreapta

arc de cerc cu raza R2=O2C care este arcul de cerc care racordează dreapta

(ǻ) cu cercul dat.

(ǻ) cu cercul dat.

13.3.4 Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc

13.3.4 Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc

tangent exterior într-un punct dat de pe cerc

tangent exterior într-un punct dat de pe cerc

printr-un arc de cerc de rază dată R tangent exterior la punctul B dat pe

printr-un arc de cerc de rază dată R tangent exterior la punctul B dat pe

cerc conform Fig.13.15 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la

cerc conform Fig.13.15 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la

dreapta (ǻ) la distanĠa dată R după care din punctul O1 se trasează un arc

dreapta (ǻ) la distanĠa dată R după care din punctul O1 se trasează un arc

de cerc cu raza egală cu R+r care intersectează paralela în centrul de

de cerc cu raza egală cu R+r care intersectează paralela în centrul de

racordare O. Coborând o perpendiculară din O pe dreapta (ǻ) se obĠine

racordare O. Coborând o perpendiculară din O pe dreapta (ǻ) se obĠine

punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1; dreapta

punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1; dreapta

OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu centrul în O úi cu

OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu centrul în O úi cu

raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează dreapta

raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează dreapta

(ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent exterior într-un punct dat de

(ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent exterior într-un punct dat de

pe cerc.

pe cerc.

r

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc dat de rază oarecare r

r

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc dat de rază oarecare r

r

Fig. 13.15

Fig. 13.16

170

r

Fig. 13.15

Fig. 13.16

170

Caz particular: unul din punctele de racordare (A) conform Fig.13.16

Caz particular: unul din punctele de racordare (A) conform Fig.13.16

poate să fie un punct al unei muchii; este cazul frecvent întâlnit în practica

poate să fie un punct al unei muchii; este cazul frecvent întâlnit în practica

construcĠiilor de maúini la strunjitra articulaĠiilor sferice. ConstrucĠia este

construcĠiilor de maúini la strunjitra articulaĠiilor sferice. ConstrucĠia este

asemănătoare cazului prezentat anterior (Fig.13.15).

asemănătoare cazului prezentat anterior (Fig.13.15).

13.3.5 Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc tangent interior într-un punct dat de pe cerc

13.3.5 Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc tangent interior într-un punct dat de pe cerc

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc dat de rază oarecare r

Pentru racordarea unei drepte (ǻ) cu un cerc dat de rază oarecare r

printr-un arc de cerc de rază dată R tangent interior la punctul B dat pe

printr-un arc de cerc de rază dată R tangent interior la punctul B dat pe

cerc conform Fig.13.17 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la

cerc conform Fig.13.17 se procedează astfel: se trasează o paralelă (ǻ1) la

dreapta (ǻ) la distanĠa dată R după care din punctul O1 se trasează un arc

dreapta (ǻ) la distanĠa dată R după care din punctul O1 se trasează un arc

de cerc cu raza egală cu R-r care intersectează paralela în centrul de

de cerc cu raza egală cu R-r care intersectează paralela în centrul de

racordare O. Coborând o perpendiculară din O pe dreapta (ǻ) se obĠine

racordare O. Coborând o perpendiculară din O pe dreapta (ǻ) se obĠine

punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1,

punctul de racordare A de pe dreaptă iar unind punctul O cu O1,

prelungirea dreaptei OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu

prelungirea dreaptei OO1 intersectează cercul în punctul de racordare B. Cu

centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care

centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care

racordează dreapta (ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent interior

racordează dreapta (ǻ) cu cercul dat printr-un arc de cerc tangent interior

într-un punct dat de pe cerc.

într-un punct dat de pe cerc.

r

r

Fig. 13.17

Fig. 13.17

171

171

13.4 Racordarea a două cercuri

13.4 Racordarea a două cercuri

13.4.1 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată

13.4.1 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată

tangent exterior la cercurile date

tangent exterior la cercurile date

Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r’ úi cercul O2 de

Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r’ úi cercul O2 de

rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent exterior la cele

rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent exterior la cele

două cercuri conform Fig.13.18 se procedează astfel: din punctul O1 se

două cercuri conform Fig.13.18 se procedează astfel: din punctul O1 se



trasează un arc de cerc cu raza R+r iar din punctul O2 se trasează un alt

trasează un arc de cerc cu raza R+r’ iar din punctul O2 se trasează un alt

arc de cerc cu raza R+r care se intersectează în centrul de racordare O.

arc de cerc cu raza R+r care se intersectează în centrul de racordare O.

Unind punctul O cu O2 rezultă punctul de racordare A iar unind punctul O

Unind punctul O cu O2 rezultă punctul de racordare A iar unind punctul O

cu O1 rezultă punctul de racordare B. În continuare cu centrul în O úi cu

cu O1 rezultă punctul de racordare B. În continuare cu centrul în O úi cu

raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează cercurile

raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează cercurile

O1 úi O2 în punctele A úi B úi este tangent exterior la cercurile date.

O1 úi O2 în punctele A úi B úi este tangent exterior la cercurile date.

r

r

r’

r

r’

r

r’

r’

Fig. 13.18

Fig. 13.19

13.4.2 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată tangent interior la cercurile date

Fig. 13.18

Fig. 13.19

13.4.2 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată tangent interior la cercurile date



Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r úi cercul O2 de

Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r’ úi cercul O2 de

rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la cele

rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la cele

două cercuri conform Fig.13.19 se procedează astfel: din punctul O1 se

două cercuri conform Fig.13.19 se procedează astfel: din punctul O1 se

trasează un arc de cerc cu raza R-r’ iar din punctul O2 se trasează un alt arc

trasează un arc de cerc cu raza R-r’ iar din punctul O2 se trasează un alt arc

de cerc cu raza R-r care se intersectează în centrul de racordare O. Unind

de cerc cu raza R-r care se intersectează în centrul de racordare O. Unind

172

172

punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează cercul O2

punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează cercul O2

în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 úi prelungind dreapta

în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 úi prelungind dreapta

OO1 aceasta intersectează cercul O2 în punctul de racordare B. În

OO1 aceasta intersectează cercul O2 în punctul de racordare B. În

continuare cu centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de

continuare cu centrul în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de

racordare AB care racordează cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B úi este

racordare AB care racordează cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B úi este

tangent interior la cercurile date.

tangent interior la cercurile date.

13.4.3 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată, tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc

13.4.3 Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată, tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc

Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r’ úi cercul O2 de

Pentru racordarea a două cercuri ( cercul O1 de rază r’ úi cercul O2 de

rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la unul

rază r ) cu un arc de cerc (racordare) dat de rază R tangent interior la unul

úi exterior la celălalt se procedează conform Fig.13.20 astfel: din punctul

úi exterior la celălalt se procedează conform Fig.13.20 astfel: din punctul

O1 se trasează un arc de cerc cu raza R+ r iar din punctul O2 se trasează un

O1 se trasează un arc de cerc cu raza R+ r iar din punctul O2 se trasează un



alt arc de cerc cu raza R- r care se intersectează în centrul de racordare O.

alt arc de cerc cu raza R- r’care se intersectează în centrul de racordare O.

Unind punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează

Unind punctul O cu O2 úi prelungind dreapta OO2 aceasta intersectează

cercul O2 în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 dreapta OO1

cercul O2 în punctul de racordare A iar unind punctul O cu O1 dreapta OO1

intersectează cercul O1 în punctul de racordare B. În continuare cu centrul

intersectează cercul O1 în punctul de racordare B. În continuare cu centrul

în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează

în O úi cu raza egală cu R se trasează arcul de racordare AB care racordează

cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B tangent interior la unul úi tangent

cercurile O1 úi O2 în punctele A úi B tangent interior la unul úi tangent

exterior la celălalt.

exterior la celălalt.

r

r

r’

r’

Fig. 13.20

173

Fig. 13.20

173

14. CURBE

14. CURBE

14.1 Curbe plane

14.1 Curbe plane

14.1.1 Curbe definite prin arce de cerc

14.1.1 Curbe definite prin arce de cerc

14.1.1.1 ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică

14.1.1.1 ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică

Curba ovoid este o curbă plană închisă definită de arce de cerc

Curba ovoid este o curbă plană închisă definită de arce de cerc

racordate úi cu centrele situate pe două axe (axa mică úi axa mare) a cărei

racordate úi cu centrele situate pe două axe (axa mică úi axa mare) a cărei

formă este asemănătoare cu secĠiunea centrală a unui ou.

formă este asemănătoare cu secĠiunea centrală a unui ou.

Obs: a nu se confunda cu ovoidul ca úi corp solid care are forma unui ou.

Obs: a nu se confunda cu ovoidul ca úi corp solid care are forma unui ou.

Pentru construcĠia ovoidului atunci când se cunoaúte axa mică conform Fig.14.1 se procedează astfel: fiind dată axa mică

AA1 se

Pentru construcĠia ovoidului atunci când se cunoaúte axa mică conform Fig.14.1 se procedează astfel: fiind dată axa mică

AA1 se

determină punctul O ca fiind mijlocul acesteia din care se ridică o

determină punctul O ca fiind mijlocul acesteia din care se ridică o

perpendiculară de o parte úi de alta a acesteia reprezentând axa mare. Din

perpendiculară de o parte úi de alta a acesteia reprezentând axa mare. Din

punctul O cu raza r = OA = OA1 se duce un cerc care intersectează axa

punctul O cu raza r = OA = OA1 se duce un cerc care intersectează axa

mare în punctele B úi B1 astfel arcul ABA1 formează un prim arc de cerc a

mare în punctele B úi B1 astfel arcul ABA1 formează un prim arc de cerc a

curbei ovoid, după care din punctele de racordare A úi A1 se duc arce de

curbei ovoid, după care din punctele de racordare A úi A1 se duc arce de

cerc cu raza R = AA1 de cealaltă parte parte a axei mici. Unind punctele A

cerc cu raza R = AA1 de cealaltă parte parte a axei mici. Unind punctele A

cu B1 úi A1 cu B1 úi prelungind dreptele astfel obĠinute până intersectează

cu B1 úi A1 cu B1 úi prelungind dreptele astfel obĠinute până intersectează

arcele de cerc anterior construite se obĠin punctele de racordare C úi C1.

arcele de cerc anterior construite se obĠin punctele de racordare C úi C1.

Din centrul de racordare B1 úi cu raza r’ = B1C = B1C1 se trasează un arc

Din centrul de racordare B1 úi cu raza r’ = B1C = B1C1 se trasează un arc

(cerc) de racordare la arcele de cerc construite anterior. Figura formată din

(cerc) de racordare la arcele de cerc construite anterior. Figura formată din

arcele de cerc ABA1, A1 C, CC1 úi CA reprezintă curba ovoid căutată.

arcele de cerc ABA1, A1 C, CC1 úi CA reprezintă curba ovoid căutată.

B

B A1

A 0

A

0

A

A1

B1 C

A1

A

A1

B1

Fig. 14.1

C1

174

C

Fig. 14.1

C1

174

14.1.1.2 ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare

14.1.1.2 ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare

Ovalul este curba convexă închisă care are o axă de simetrie úi curba

Ovalul este curba convexă închisă care are o axă de simetrie úi curba

maximă în punctul de pe axă.

maximă în punctul de pe axă.

Curba convexă este curba a cărei formă reprezintă în secĠiune dosul

Curba convexă este curba a cărei formă reprezintă în secĠiune dosul

unei scobituri / este arcul de curbă faĠă de care un punct este situat într-o

unei scobituri / este arcul de curbă faĠă de care un punct este situat într-o

parte a curbei opusă celei a punctelor faĠă de care arcul este concav.

parte a curbei opusă celei a punctelor faĠă de care arcul este concav.

Curba concavă conform Fig.14.2 este definită prin calitatea unui arc

Curba concavă conform Fig.14.2 este definită prin calitatea unui arc

de curbă, faĠă de un punct exterior A, de a avea, între două puncte P1 úi P2

de curbă, faĠă de un punct exterior A, de a avea, între două puncte P1 úi P2

de pe el, o coardă care să fie intersectată de segmentul de dreaptă care

de pe el, o coardă care să fie intersectată de segmentul de dreaptă care

uneúte punctul A cu orice punct P de pe arc dintre P1 úi P2, într-un punct M

uneúte punctul A cu orice punct P de pe arc dintre P1 úi P2, într-un punct M

situat între A úi P.

situat între A úi P.

A1

A

P1

P

M

P1

0’3 C2 0

C’2

P2

01

C2 A1

P

M

Fig. 14.3

C1 02

AA

0

C’2

C’1 03

Fig. 14.2

0’3

C1 02

AA

A1

A

P2

01

A1

C’1 03

Fig. 14.2

Fig. 14.3

Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunoaúte axa mare,

Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunoaúte axa mare,

conform Fig.14.3, se procedează astfel: fiind dată axa mare AA1 aceasta se

conform Fig.14.3, se procedează astfel: fiind dată axa mare AA1 aceasta se

împarte în patru părĠi rezultând punctele O, O1 úi O2. Din punctele O1 úi O2

împarte în patru părĠi rezultând punctele O, O1 úi O2. Din punctele O1 úi O2

se trasează câte un cerc cu raza r = O1 A1 = O2 A = OO1 = OO2, cercuri ce

se trasează câte un cerc cu raza r = O1 A1 = O2 A = OO1 = OO2, cercuri ce

sunt tangente în punctul O. Din aceleaúi puncte O1 úi O2 se trasează de o

sunt tangente în punctul O. Din aceleaúi puncte O1 úi O2 se trasează de o

parte úi de alta a axei mari două cerce de cerc cu raza R = O1 O2 care se

parte úi de alta a axei mari două cerce de cerc cu raza R = O1 O2 care se

175

175

intersectează în punctele O3 úi O4 (centre de racordare). Prelungiind

intersectează în punctele O3 úi O4 (centre de racordare). Prelungiind

dreptele ce unesc centrul O1 cu O3 úi O4 acestea intersectează cercul în

dreptele ce unesc centrul O1 cu O3 úi O4 acestea intersectează cercul în

punctele C1 úi C1’ iar prelungind dreptele ce unesc centrul O2 cu O3 úi O4

punctele C1 úi C1’ iar prelungind dreptele ce unesc centrul O2 cu O3 úi O4

acestea intersectează cel de al doilea cerc în punctele C2 úi C2’ obĠinând

acestea intersectează cel de al doilea cerc în punctele C2 úi C2’ obĠinând

astfel punctele de racordare C1, C1’, C2 úi C2’.

astfel punctele de racordare C1, C1’, C2 úi C2’.

Din punctele O3 úi O4 se trasează arcele C1’ C2’ úi C1C2 care racordează

Din punctele O3 úi O4 se trasează arcele C1’ C2’ úi C1C2 care racordează

arcele de cerc C1’A1C1 úi C2’AC2 obĠinând astfel ovalul căutat.

arcele de cerc C1’A1C1 úi C2’AC2 obĠinând astfel ovalul căutat.

14.1.1.3 ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele

14.1.1.3 ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele

Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunosc cele două axe (AA1

Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunosc cele două axe (AA1

úi BB1) conform Fig.14.4 se procedează astfel: din punctul O (prin care s-a

úi BB1) conform Fig.14.4 se procedează astfel: din punctul O (prin care s-a

notat punctul de intersecĠie a axelor perpendiculare AA1 úi BB1 situat la

notat punctul de intersecĠie a axelor perpendiculare AA1 úi BB1 situat la

mijlocul celor două axe) se trasează un cerc cu raza R = OA = OB care

mijlocul celor două axe) se trasează un cerc cu raza R = OA = OB care

intersectează prelungirea axei mici BB1 în punctele D úi E. Din punctul B

intersectează prelungirea axei mici BB1 în punctele D úi E. Din punctul B

se trasează un arc de cerc cu raza r = BD care intersectează dreptele AB úi

se trasează un arc de cerc cu raza r = BD care intersectează dreptele AB úi

A1B în punctele F respectiv G, după care pe dreptele AF úi A1G la mijlocul

A1B în punctele F respectiv G, după care pe dreptele AF úi A1G la mijlocul

acestora se ridică perpendiculare de o parte úi de alta a acestora

acestora se ridică perpendiculare de o parte úi de alta a acestora

intersectând axa mare în punctele O1 úi O2, iar axa mică în punctul O3

intersectând axa mare în punctele O1 úi O2, iar axa mică în punctul O3

respectiv O4 (pentru o construcĠie similară celei din punctul B în punctul

respectiv O4 (pentru o construcĠie similară celei din punctul B în punctul

B1). În continuare se procedează la construcĠia ovalului prin arce de cerc

B1). În continuare se procedează la construcĠia ovalului prin arce de cerc

construind din punctele O1 úi O2 cu raza O1A = O2A arce de cerc care

construind din punctele O1 úi O2 cu raza O1A = O2A arce de cerc care

intersectează perpendicularele ridicate anterior în punctele de racordare C1,

intersectează perpendicularele ridicate anterior în punctele de racordare C1,

C’1 respective C2, C’2, după care din centrele de racordare O3 úi O4 se

C’1 respective C2, C’2, după care din centrele de racordare O3 úi O4 se

trasează arce de cerc cu raza O3B = O4B1. Curba alcătuită din arcele de

trasează arce de cerc cu raza O3B = O4B1. Curba alcătuită din arcele de

cerc C’2AC2, C2BC1, C1A1C’1 úi C’1B1C’2 reprezintă ovoidul căutat atunci

cerc C’2AC2, C2BC1, C1A1C’1 úi C’1B1C’2 reprezintă ovoidul căutat atunci

când se cunosc cele două axe.

când se cunosc cele două axe.

176

176

A

A1

B

A

B1

D C2

F

04 B G

01 C’2

A

0 B1 03

A1

B

04 G

C1 02

A1

A

C’1

01 F

C

B 0

A1

02

B1

E 03

E

Fig. 14.4

C2

D

Fig. 14.5

A

B1

D F

04 B G

01 C’2

0 B1 03

04 G

C1 02

A1

A

C’1

01 F

C D

B 0

A1

02

B1

E 03

E

Fig. 14.4

Fig. 14.5

14.1.1.4 ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului

14.1.1.4 ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului

Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunosc cele două axe (AA1

Pentru construcĠia ovalului atunci când se cunosc cele două axe (AA1

úi BB1) se mai poate folosi úi metoda dreptunghiului pentru care conform

úi BB1) se mai poate folosi úi metoda dreptunghiului pentru care conform

Fig.14.5 se procedează astfel: se notează cu O punctul de intersecĠie a celor

Fig.14.5 se procedează astfel: se notează cu O punctul de intersecĠie a celor

două axe perpendiculare la mijlocul lor. Din puctele B úi A1 se ridică către

două axe perpendiculare la mijlocul lor. Din puctele B úi A1 se ridică către

o perpendiculară care se intersectează în punctul C formând dreptunghiul

o perpendiculară care se intersectează în punctul C formând dreptunghiul

A1OBC, după care se trasează diagonala A1B úi bisectoarele unghiurilor

A1OBC, după care se trasează diagonala A1B úi bisectoarele unghiurilor

CBA1 úi BA1C care se intersectează în punctul de racordare D din care se

CBA1 úi BA1C care se intersectează în punctul de racordare D din care se

ridică o perpendiculară pe diagonala A1B care intersectează axa nare în

ridică o perpendiculară pe diagonala A1B care intersectează axa nare în

punctul O2 iar axa mică în punctul O3. Celelalte centre (O1 úi O4) úi

punctul O2 iar axa mică în punctul O3. Celelalte centre (O1 úi O4) úi

punctele de racordare (E, F úi G) se determină prin construcĠii similare

punctele de racordare (E, F úi G) se determină prin construcĠii similare

(dreptunghi) faĠă de axele avalului cu care sunt simetrice.

(dreptunghi) faĠă de axele avalului cu care sunt simetrice.

14.1.2 Spirale

14.1.2 Spirale

14.1.2.1 Spirale definite prin arce de cerc

14.1.2.1 Spirale definite prin arce de cerc

Spiralele definite prin arce de cerc sunt curbe plane construite dintr-

Spiralele definite prin arce de cerc sunt curbe plane construite dintr-

o succesiune de arce de cerc racordate între ele úi a cărei formă este

o succesiune de arce de cerc racordate între ele úi a cărei formă este

asemănătoare cu secĠiunea centrală făcută printr-o cochilă de melc.

asemănătoare cu secĠiunea centrală făcută printr-o cochilă de melc.

177

177

14.1.2.1.1 ConstrucĠia spiralei cu două centre

14.1.2.1.1 ConstrucĠia spiralei cu două centre

Pentru construcĠia spiralei cu două centre atunci când se cunoaúte

Pentru construcĠia spiralei cu două centre atunci când se cunoaúte

pasul spiralei pe dreapta (ǻ) se procedează conform Fig.14.6 astfel: se

pasul spiralei pe dreapta (ǻ) se procedează conform Fig.14.6 astfel: se

determină punctul O1 ca fiind mijlocul segmentului O2A (pasul spiralei),

determină punctul O1 ca fiind mijlocul segmentului O2A (pasul spiralei),

după care cu vârful compasului în O1 se trasează un arc de cerc cu raza

după care cu vârful compasului în O1 se trasează un arc de cerc cu raza

O1O2 până în punctul A după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza

O1O2 până în punctul A după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza

O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta (ǻ) în punctul C,

O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta (ǻ) în punctul C,

după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2C se trasează un alt arc

după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2C se trasează un alt arc

de cerc până intersectează dreapta (ǻ) în punctul D úi tot aúa prin

de cerc până intersectează dreapta (ǻ) în punctul D úi tot aúa prin

alternarea centrelor O1 úi O2 úi prin adăugarea la raza existentă anterior a

alternarea centrelor O1 úi O2 úi prin adăugarea la raza existentă anterior a

unei mărimi echivalente cu jumătate de pas se continuă construcĠia elicei.

unei mărimi echivalente cu jumătate de pas se continuă construcĠia elicei.

Fig. 14.6

Fig. 14.7

Fig. 14.6

Fig. 14.7

14.1.2.1.2 ConstrucĠia spiralei cu trei centre

14.1.2.1.2 ConstrucĠia spiralei cu trei centre

Pentru construcĠia spirslei cu trei centre stunci când se cunoaúte

Pentru construcĠia spirslei cu trei centre stunci când se cunoaúte

pasul spiralei se procedează conform Fig.14.7 astfel: se trasează un

pasul spiralei se procedează conform Fig.14.7 astfel: se trasează un

triunghi echilateral cu latura egală cu pasul elicei úi cu vârfurile O1, O2, O3,

triunghi echilateral cu latura egală cu pasul elicei úi cu vârfurile O1, O2, O3,

după care se prelungesc laturile acestuia rezultând semidreptele ǻ1, ǻ2 úi

după care se prelungesc laturile acestuia rezultând semidreptele ǻ1, ǻ2 úi

ǻ3. Din punctul O1 cu raza O1O2 = O1O3 se trasează un arc de cerc care

ǻ3. Din punctul O1 cu raza O1O2 = O1O3 se trasează un arc de cerc care

intersectează dreapta ǻ1 în punctul A, după care cu centrul în punctul O2 úi

intersectează dreapta ǻ1 în punctul A, după care cu centrul în punctul O2 úi

cu raza egală cu O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta

cu raza egală cu O2A se trasează un arc de cerc care intersectează dreapta

ǻ2 în punctul B continuându-se cu un arc de cerc cu centrul în O3 úi raza

ǻ2 în punctul B continuându-se cu un arc de cerc cu centrul în O3 úi raza

178

178

egală cu OB care intersectează dreapta ǻ3 în punctul C. ConstrucĠia spiralei

egală cu OB care intersectează dreapta ǻ3 în punctul C. ConstrucĠia spiralei

se poate continua prin trasarea de arce de cerc succesive din centrele O1,

se poate continua prin trasarea de arce de cerc succesive din centrele O1,

O2, O3 cu raze egale cu O1C,O2D,O3E respectiv O1F,O2G,O3H.

O2, O3 cu raze egale cu O1C,O2D,O3E respectiv O1F,O2G,O3H.

14.1.2.1.3 ConstrucĠia spiralei cu patru centre

14.1.2.1.3 ConstrucĠia spiralei cu patru centre

Pentru construcĠia spiralei cu patru centre atunci când se cunoaúte

Pentru construcĠia spiralei cu patru centre atunci când se cunoaúte

pasul spiralei se procedează conform Fig.14.8 astfel: se construieúte un

pasul spiralei se procedează conform Fig.14.8 astfel: se construieúte un

pătrat cu latura egală cu pasul spiralei úi cu vârfurile O1, O2, O3 úi O4, iar

pătrat cu latura egală cu pasul spiralei úi cu vârfurile O1, O2, O3 úi O4, iar

laturile pătratului se prelungesc obĠinând semidreptele ǻ1, ǻ2 , ǻ3 úi ǻ4. Cu

laturile pătratului se prelungesc obĠinând semidreptele ǻ1, ǻ2 , ǻ3 úi ǻ4. Cu

vârful compasului din punctul O1 se trasează un arc de cerc cu raza egală

vârful compasului din punctul O1 se trasează un arc de cerc cu raza egală

cu pasul elicei, din punctul O4 până unde arcul intersectează dreapta ǻ1 în

cu pasul elicei, din punctul O4 până unde arcul intersectează dreapta ǻ1 în

punctul A, după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2A se trasează

punctul A, după care cu vârful compasului în O2 úi cu raza O2A se trasează

un arc de cerc din punctul A până când arcul intersectează dreapta ǻ2 în

un arc de cerc din punctul A până când arcul intersectează dreapta ǻ2 în

punctul B urmând ca din punctul O3 cu raza O3B să se traseze un arc de

punctul B urmând ca din punctul O3 cu raza O3B să se traseze un arc de

cerc din punctul B până când arcul intersectează dreapta ǻ3 în punctul C ca

cerc din punctul B până când arcul intersectează dreapta ǻ3 în punctul C ca

în continuare din punctul O4 cu raza O4C să se traseze un arc de cerc din

în continuare din punctul O4 cu raza O4C să se traseze un arc de cerc din

punctul C până când arcul intersectează dreapta ǻ4 în punctul D.

punctul C până când arcul intersectează dreapta ǻ4 în punctul D.

ConstrucĠia spiralei se poate continua prin trasarea de arce de cerc

ConstrucĠia spiralei se poate continua prin trasarea de arce de cerc

succesive din centrele O1, O2, O3 úi O4 cu raze egale cu O1D, O2E, O3F,

succesive din centrele O1, O2, O3 úi O4 cu raze egale cu O1D, O2E, O3F,

O4G respectiv O1H, O2J, O3K, O4L.

O4G respectiv O1H, O2J, O3K, O4L.

Fig. 14.8

179

Fig. 14.8

179

14.1.2.2 Spiralele definite ca rotaĠii

14.1.2.2 Spiralele definite ca rotaĠii

Spirala este locul geometric al poziĠiilor ocupate în plan de un punct

Spirala este locul geometric al poziĠiilor ocupate în plan de un punct

mobil care înaintează după o lege anumită, pe o dreaptă, aceasta având o

mobil care înaintează după o lege anumită, pe o dreaptă, aceasta având o

miúcare de rotaĠie determinată, în acelaúi sens, în jurul unui punct fix.

miúcare de rotaĠie determinată, în acelaúi sens, în jurul unui punct fix.

Spirala este o curbă plană deschisă a cărei spiră corespunde unei

Spirala este o curbă plană deschisă a cărei spiră corespunde unei

rotaĠii complete a dreptei, iar distanĠa dintre două spire consecutive se

rotaĠii complete a dreptei, iar distanĠa dintre două spire consecutive se

numeúte pas.

numeúte pas.

14.1.2.2.1 ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte

14.1.2.2.1 ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte

pasul spiralei

pasul spiralei

Spirala lui Arhimede este o curbă plană deschisă úi descrisă de un

Spirala lui Arhimede este o curbă plană deschisă úi descrisă de un

punct care se miúcă pe o dreaptă cu o viteză constantă, dreapta rotindu-se

punct care se miúcă pe o dreaptă cu o viteză constantă, dreapta rotindu-se

în acelaúi timp în jurul unui centru cu viteza unghiului constantă Ȧ ; altfel

în acelaúi timp în jurul unui centru cu viteza unghiului constantă Ȧ ; altfel

spus deplasarea punctului pe dreaptă este proporĠională cu unghiul de

spus deplasarea punctului pe dreaptă este proporĠională cu unghiul de

rotaĠie al dreptei.

rotaĠie al dreptei.

Expresia analitică a spiralei lui Arhimede este dată de relaĠia:

Expresia analitică a spiralei lui Arhimede este dată de relaĠia:

r = aij unde:

r = aij

ij – este unghiul de rotire al razei; a

v

Z

unde:

ct , unde v este viteza periferică a punctului.

ij – este unghiul de rotire al razei; a

v

Z

ct , unde v este viteza periferică a punctului.

Pentru construcĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte pasul

Pentru construcĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte pasul

spiralei, se procedează conform Fig.14.9 astfel: se trasează un cerc cu raza

spiralei, se procedează conform Fig.14.9 astfel: se trasează un cerc cu raza

egală cu pasul spiralei, (OA = r0 = 2ʌ ra , unde ra este drumul parcurs de

egală cu pasul spiralei, (OA = r0 = 2ʌ ra , unde ra este drumul parcurs de

0

un punct pe dreaptă în timp ce aceasta se roteúte cu 360 (pasul spiralei).

un punct pe dreaptă în timp ce aceasta se roteúte cu 3600 (pasul spiralei).

Acest cerc se împarte într-un număr de părĠi egale (de exemplu opt)

Acest cerc se împarte într-un număr de părĠi egale (de exemplu opt)

punctele de împărĠire notându-se cu A1, A2 ........ A8, după care se împarte úi

punctele de împărĠire notându-se cu A1, A2 ........ A8, după care se împarte úi

raza cercului OA în acelaúi număr (opt) de părĠi egale rezultând punctele de

raza cercului OA în acelaúi număr (opt) de părĠi egale rezultând punctele de

intersecĠie 1, 2........ 8. Din centrul cercului (O) se duc raze în punctele de

intersecĠie 1, 2........ 8. Din centrul cercului (O) se duc raze în punctele de

180

180

intersecĠie A1, A2 .......A8. Cu piciorul compasului în centrul O úi cu raza O1

intersecĠie A1, A2 .......A8. Cu piciorul compasului în centrul O úi cu raza O1

se descrie un arc de cerc ce intersectează raza OA1 în punctul a1, după care

se descrie un arc de cerc ce intersectează raza OA1 în punctul a1, după care

se descrie un arc de cerc cu raza OA2 în punctul a2 ú.a.m.d. pentru toate

se descrie un arc de cerc cu raza OA2 în punctul a2 ú.a.m.d. pentru toate

cele opt puncte, iar în final prin unirea punctelor O, a1, a2 ..... a8 se obĠine

cele opt puncte, iar în final prin unirea punctelor O, a1, a2 ..... a8 se obĠine

spirala căutată (spirala lui Arhimede).

spirala căutată (spirala lui Arhimede).

A6 A5

a4

A5

A7

a6 a7

a5

A4

A6

0 123456 7 8 A8 a a

a3 a2

A7

a6 a7

a5

1

A4

a4

A3

A1

1

8

A3

Fig. 14.9

A2

0 123456 7 8 A8 a a

a3 a2

8

14.1.2.2.2 ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte

A1

Fig. 14.9

A2

14.1.2.2.2 ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte

distanĠa asimptotei faĠă de originea coordonatelor

distanĠa asimptotei faĠă de originea coordonatelor

Spirala hiperbolică rezultă din miúcarea unui punct pe o rază astfel

Spirala hiperbolică rezultă din miúcarea unui punct pe o rază astfel

încât distanĠa acestuia faĠă de centrul de rotire este tot timpul invers

încât distanĠa acestuia faĠă de centrul de rotire este tot timpul invers

proporĠională cu unghiul de rotire M al razelor, măsurat faĠă de o poziĠie

proporĠională cu unghiul de rotire M al razelor, măsurat faĠă de o poziĠie

iniĠială.

iniĠială.

EcuaĠia spiralei hiperbolice este:

EcuaĠia spiralei hiperbolice este:

rM = a unde: a – determină distanĠa asimptotei acestei spirale faĠă de originea coordonatelor,

rM = a unde: a – determină distanĠa asimptotei acestei spirale faĠă de originea coordonatelor,

Pentru construcĠia spiralei hiperbolice conform Fig. 14.10 se

Pentru construcĠia spiralei hiperbolice conform Fig. 14.10 se

procedează astfel: din punctul O, ca centru, se trasează un cerc cu o rază

procedează astfel: din punctul O, ca centru, se trasează un cerc cu o rază

oarecare, care se împarte la un număr de părĠi egale. Punctele 1, 2, 3, ...

oarecare, care se împarte la un număr de părĠi egale. Punctele 1, 2, 3, ...

etc., astfel obĠinute se unesc prin raze cu punctul O. Spre exemplu dacă

etc., astfel obĠinute se unesc prin raze cu punctul O. Spre exemplu dacă

cercul se împarte în 12 părĠi egale atunci unghiul M1 corespunzător primei

cercul se împarte în 12 părĠi egale atunci unghiul M1 corespunzător primei

raze este egal cu zero iar r1 = f .

raze este egal cu zero iar r1 = f .

181

181

M2 = S/6 Ÿ r2 = 6a/S ,

Pentru:

M2 = S/6 Ÿ r2 = 6a/S ,

Pentru:

M3 = 2S/6 Ÿ r3 = 6a/2S , M4 = 3S/6 Ÿ r4 = 6a/3S ,

M3 = 2S/6 Ÿ r3 = 6a/2S , M4 = 3S/6 Ÿ r4 = 6a/3S ,

........................................ Caz general rn = 6a/(n-1)S.

........................................ Caz general rn = 6a/(n-1)S.

Segmentele astfel obĠinute se iau pe razele corespunzătoare

Segmentele astfel obĠinute se iau pe razele corespunzătoare

rezultând punctele II, III, IV, ... etc., prin unirea cărora se obĠine spirala

rezultând punctele II, III, IV, ... etc., prin unirea cărora se obĠine spirala

hiperbolică căutată.

hiperbolică căutată.

Când M o 0, curba asimptotică se apropie de dreapta CB, iar când M o f,

Când M o 0, curba asimptotică se apropie de dreapta CB, iar când M o f,

curba asimptotică se apropie de polul O.

curba asimptotică se apropie de polul O.

R

V VI

6

0

VIII

R 12 12

A

VI

M2

R1 1

8

R

VIII

8

R

8

11

9

11 R10

Fig. 14.10

6

VII 7 R7

R 12 12

9 R10

R6

V

10

R9

11

5

2 M 3

R9

R

IV

0 8

10

4

3

R2

6

VII 7 R7

11

B

III

R4

5

M2

R1 1

Asimptota

R

D

IV

2 M 3

II

R3

R3

R2

A

4

3

C

R5

B

III

D

Asimptota

R5

II

R4

C

Fig. 14.10

14.1.3 Curbe conice

14.1.3 Curbe conice

14.1.3.1 Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele

14.1.3.1 Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele

Elipsa este locul geometric al curbelor din plan pentru care suma

Elipsa este locul geometric al curbelor din plan pentru care suma

distanĠelor fiecăruia din punctela sale cu două puncte fixe (F úi F’ ) este

distanĠelor fiecăruia din punctela sale cu două puncte fixe (F úi F’ ) este

constantă (Fig.14.11).

constantă (Fig.14.11).

Punctele F, F’ se numesc focare, iar distanĠele MF respectiv MF’ de

Punctele F, F’ se numesc focare, iar distanĠele MF respectiv MF’ de

la un punct M al elipsei la focare se numesc raze vectoare. DistanĠa

la un punct M al elipsei la focare se numesc raze vectoare. DistanĠa

constantă 2a trebuie să fie mai mare decât distanĠa dintre focare. Punctele

constantă 2a trebuie să fie mai mare decât distanĠa dintre focare. Punctele

M1, M2, M3, M4 ca úi întreaga elipsă admit ca axă de simetrie

M1, M2, M3, M4 ca úi întreaga elipsă admit ca axă de simetrie

perpendiculara pe mijlocul segmentului ce leagă focarele. Punctul de

perpendiculara pe mijlocul segmentului ce leagă focarele. Punctul de

intersecĠie al celor două axe de simetrie notat cu O se numeúte centrul de

intersecĠie al celor două axe de simetrie notat cu O se numeúte centrul de

182

182

simetrie al elipsei (centru). DistanĠa de la focare la centru, OF1=O2F= e,

simetrie al elipsei (centru). DistanĠa de la focare la centru, OF1=O2F= e,

se numeúte excentricitate liniară sau distanĠă focală.

se numeúte excentricitate liniară sau distanĠă focală.

ProprietăĠi:

ProprietăĠi:

x Elipsa are două axe de simetrie: AA’- axa mare úi BB’- axa mică;

x Elipsa are două axe de simetrie: AA’- axa mare úi BB’- axa mică;

x Suma razelor vectoare este egală cu AA’;

x Suma razelor vectoare este egală cu AA’;

x BF=BF’=AA’/2; cu această proprietate se pot determina focarele

x BF=BF’=AA’/2; cu această proprietate se pot determina focarele

elipsei atunci când se cunosc axele ei AA’ úi BB’; x Tangenta într-un punct M este bisectoarea exterioară a unghiului FMF’.

elipsei atunci când se cunosc axele ei AA’ úi BB’; x Tangenta într-un punct M este bisectoarea exterioară a unghiului FMF’.

Tangenta într-un punct oarecare M al elipsei se obĠine dacă se uneúte

Tangenta într-un punct oarecare M al elipsei se obĠine dacă se uneúte

punctul de intersecĠie L al dreptelor AB cu B1M cu punctul E úi se

punctul de intersecĠie L al dreptelor AB cu B1M cu punctul E úi se

prelungeúte dreapta EL până intersectează dreapta BD în punctul de

prelungeúte dreapta EL până intersectează dreapta BD în punctul de

intersecĠie T, care aparĠine tangentei (Fig.14.12). Al doilea punct P al

intersecĠie T, care aparĠine tangentei (Fig.14.12). Al doilea punct P al

tangentei se situează la intersecĠia paralelei duse prin punctul L la dreapta

tangentei se situează la intersecĠia paralelei duse prin punctul L la dreapta

OA cu segmental AD. Normala este perpendiculara MN dusă în punctul M

OA cu segmental AD. Normala este perpendiculara MN dusă în punctul M

pe tangenta PT.

pe tangenta PT.

Pentru construcĠia elipsei când se cunosc axele AA1 úi BB1 se

Pentru construcĠia elipsei când se cunosc axele AA1 úi BB1 se

procedează conform Fig.14.12 astfel: se trasează cele două axe

procedează conform Fig.14.12 astfel: se trasează cele două axe

perpendiculare la mijlocul lor, după care se construieúte dreptunghiul

perpendiculare la mijlocul lor, după care se construieúte dreptunghiul

CDEF úi se împart segmentele OA1 úi A1C în acelaúi număr de părĠi egale

CDEF úi se împart segmentele OA1 úi A1C în acelaúi număr de părĠi egale

(de exemplu cinci) rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe OA1 úi 1’,

(de exemplu cinci) rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe OA1 úi 1’,

2’, 3’, 4’ pe A1C. La intersecĠia dreptelor ce unesc punctul B1 cu 1, 2, 3, 4

2’, 3’, 4’ pe A1C. La intersecĠia dreptelor ce unesc punctul B1 cu 1, 2, 3, 4

úi punctul B cu 1’, 2’, 3’, 4’ rezultă punctele G, H, J, C. Se unesc punctele

úi punctul B cu 1’, 2’, 3’, 4’ rezultă punctele G, H, J, C. Se unesc punctele

B, G, H, J, K úi A printr-o dreaptă curbă obĠinându-se astfel un sfert de

B, G, H, J, K úi A printr-o dreaptă curbă obĠinându-se astfel un sfert de

elipsă. Se procedează la construcĠii similare (simetrice) faĠă de celelalte

elipsă. Se procedează la construcĠii similare (simetrice) faĠă de celelalte

semiaxe obĠinând în final elipsa căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă

semiaxe obĠinând în final elipsa căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă

cu cât axele se împart într-un număr mai mare de părĠi.

cu cât axele se împart într-un număr mai mare de părĠi.

183

183

B

T

G

M

B

A

0

F

F’

0

L

A

A1

1 2

N

R

2b

P

E

MF+MF’=AA’=2a

C H 1’ I 2’ 3’ K 4’ 3 4 A1

A1

B1 D

B

T

G

M

M

B

P A

0

F

F’

B1

0

L

A

A1

C 1’ I 2’ 3’ K 4’ 4 A1

H 3

1 2

N

R

D

M

A B

A1

B1

2b

A B

E

MF+MF’=AA’=2a

B1

2a

E

B1

Fig. 14.11

2a

F

Fig. 14.12

E

Fig. 14.11

B1

F

Fig. 14.12

14.1.3.2 Parabola

14.1.3.2 Parabola

Parabola este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de

Parabola este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de

un punct fix (F) úi de o dreaptă fixă (d) din plan (Fig.14.13).

un punct fix (F) úi de o dreaptă fixă (d) din plan (Fig.14.13).

Parabola este o curbă deschisă cu o singură ramură.

Parabola este o curbă deschisă cu o singură ramură.

Punctul F se numeúte focar, iar dreapta fixă (d) se numeúte

Punctul F se numeúte focar, iar dreapta fixă (d) se numeúte

directoare. DistanĠa de la focar la directoare se notează cu p úi se numeúte

directoare. DistanĠa de la focar la directoare se notează cu p úi se numeúte

parametrul hiperbolei. Orice paralelă la dreapta directoare pentru o

parametrul hiperbolei. Orice paralelă la dreapta directoare pentru o

distanĠă mai mare de p/2 este intersectată de un cerc oarecare cu centrul în

distanĠă mai mare de p/2 este intersectată de un cerc oarecare cu centrul în

F în două puncte ale parabolei T úi T’ ..... M úi M’. Aceste puncte sunt

F în două puncte ale parabolei T úi T’ ..... M úi M’. Aceste puncte sunt

simetrice faĠă de perpendiculara pe directoare prin focar. Axa de simetrie

simetrice faĠă de perpendiculara pe directoare prin focar. Axa de simetrie

se numeúte axa para-bolei úi atinge parabola în punctul A care are distanĠa

se numeúte axa para-bolei úi atinge parabola în punctul A care are distanĠa

de la directoare la focar egală cu p/2.

de la directoare la focar egală cu p/2.

ProprietăĠi:

ProprietăĠi: ’

x Parabola are o singură axă de simetrie AA ;

x Parabola are o singură axă de simetrie AA’;

x Vârful A este la gală depărtare de focar úi de directoare;

x Vârful A este la gală depărtare de focar úi de directoare;

x Tangenta într-un punct M este bisectoarea unghiului PMP.

x Tangenta într-un punct M este bisectoarea unghiului PMP.

184

184

R

R 5’ M Q

2’

P

Fig. 14.13

3

2

1

P

1’ B

N 4

Q

2’

1’ B 5

M

4’ 3’

R

4’ 3’

R

5’

A

Fig. 14.14

14.1.3.2.1 ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A, axa AX úi un punct M

5

N 4

Fig. 14.13

3

2

1

A

Fig. 14.14

14.1.3.2.1 ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A, axa AX úi un punct M

Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunoaúte vârful A, axa

Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunoaúte vârful A, axa

AX úi un punct oarecare M se procedează conform Fig.14.14 astfel: se

AX úi un punct oarecare M se procedează conform Fig.14.14 astfel: se

trasează o dreaptă AY perpendiculară pe axa AX în vârful parabolei A, după

trasează o dreaptă AY perpendiculară pe axa AX în vârful parabolei A, după

care din punctul M coborâm perpendiculara MB pe AY. DistanĠele AB úi

care din punctul M coborâm perpendiculara MB pe AY. DistanĠele AB úi

MB se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu în patru)

MB se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu în patru)

rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe AB úi 1’, 2’, 3’, 4’ pe MB

rezultând punctele de împărĠire 1, 2, 3, 4 pe AB úi 1’, 2’, 3’, 4’ pe MB

(segmentele de pe cele două perpendiculare nu sunt egale ca mărime

(segmentele de pe cele două perpendiculare nu sunt egale ca mărime

1A  B1’ ). Prin punctele 1, 2, 3 se duc paralele la AX după care se uneúte

1A  B1’ ). Prin punctele 1, 2, 3 se duc paralele la AX după care se uneúte

punctul A cu punctele 1’, 2’, 3’ rezultând N, P, Q.

punctul A cu punctele 1’, 2’, 3’ rezultând N, P, Q.

Unind punctele A, N, P, Q, M rezultă o latură a parabolei căutate. Aceeaúi

Unind punctele A, N, P, Q, M rezultă o latură a parabolei căutate. Aceeaúi

construcĠie se execută simetric faĠă de axa AX rezultând parabola căutată.

construcĠie se execută simetric faĠă de axa AX rezultând parabola căutată.

ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart într-un număr

ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart într-un număr

mai mare de părĠi.

mai mare de părĠi.

185

185

14.1.3.2.2 ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea úi

14.1.3.2.2 ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea úi

focarul

focarul

Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunosc focarul F úi

Pentru construcĠia parabolei atunci când se cunosc focarul F úi

directoarea (d) conform Fig.14.15 se procedesză astfel: din punctul F se

directoarea (d) conform Fig.14.15 se procedesză astfel: din punctul F se

coboară perpendiculara BF pe directoarea (d), după care această distanĠă se

coboară perpendiculara BF pe directoarea (d), după care această distanĠă se

împarte în două părĠi egale rezultând vârful parabolei A.

împarte în două părĠi egale rezultând vârful parabolei A.

Se prelungeúte dreapta BF care devine axa parabolei, aceasta împărĠindu-se

Se prelungeúte dreapta BF care devine axa parabolei, aceasta împărĠindu-se

într-un număr oarecare de părĠi egale cu FB rezultând punctele de împărĠire

într-un număr oarecare de părĠi egale cu FB rezultând punctele de împărĠire

1, 2, 3, 4, 5, 6. Prin punctul F se trasează o perpendiculară pe axa parabolei

1, 2, 3, 4, 5, 6. Prin punctul F se trasează o perpendiculară pe axa parabolei

úi se ia FC = FC’ = FB rezultând punctele C úi C’ ale parabolei.

úi se ia FC = FC’ = FB rezultând punctele C úi C’ ale parabolei.

L

P C A B

R C A

N X

K’

L

P

K 1

C’

P M O

B

2 3 4 5 6

L’ M’ O’ P’ R’

Fig. 14.15

R

K N X 1

C’

P M O

K’

2 3 4 5 6

L’ M’ O’ P’ R’

Fig. 14.15

Pentru determinarea altor puncte ale parabolei, prin punctele de

Pentru determinarea altor puncte ale parabolei, prin punctele de

împărĠire se trasează perpendiculare pe axă, după care cu centrul în focarul

împărĠire se trasează perpendiculare pe axă, după care cu centrul în focarul

F úi cu raze egale cu distanĠa de la punctele de împărĠire (1, 2, 3, 4, 5, 6) la

F úi cu raze egale cu distanĠa de la punctele de împărĠire (1, 2, 3, 4, 5, 6) la

punctul B se trasează arce de cerc care determină pe perpendiculare

punctul B se trasează arce de cerc care determină pe perpendiculare

punctele de intersecĠie K, L, M, O, P, R úi K’, L’, M’, O’, P’, R’. Prin

punctele de intersecĠie K, L, M, O, P, R úi K’, L’, M’, O’, P’, R’. Prin

unirea punctelor R’, P’, O’, M’, L’, K’, C’, A, C, K, L, M, O, P, R se obĠine

unirea punctelor R’, P’, O’, M’, L’, K’, C’, A, C, K, L, M, O, P, R se obĠine

parabola căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart

parabola căutată. ConstrucĠia este cu atât mai exactă cu cât axele se împart

într-un număr mai mare de părĠi.

într-un număr mai mare de părĠi.

186

186

14.1.3.3 Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc

14.1.3.3 Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc

distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri.

distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri.

Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care

Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care

diferenĠa distanĠelor a două puncte fixe ( F úi F’ ) este constantă

diferenĠa distanĠelor a două puncte fixe ( F úi F’ ) este constantă

(Fig.14.16).

(Fig.14.16).

Punctele fixe F úi F’ se numesc focare, iar segmentele R úi r care

Punctele fixe F úi F’ se numesc focare, iar segmentele R úi r care

unesc un punct de pe hiperbolă cu focarele se numesc raze vectoare.

unesc un punct de pe hiperbolă cu focarele se numesc raze vectoare.

DistanĠa 2a trebuie să fie mai mică decât distanĠa dintre focare. Hiperbola

DistanĠa 2a trebuie să fie mai mică decât distanĠa dintre focare. Hiperbola

are două axe de simetrie, axa XX’ care trece prin focarele F úi F’ úi axa YY’

are două axe de simetrie, axa XX’ care trece prin focarele F úi F’ úi axa YY’

care este mediatoarea segmentului FF’. Punctul lor de intersecĠie notat cu

care este mediatoarea segmentului FF’. Punctul lor de intersecĠie notat cu

O se numeúte centrul de simetrie al hiperbolei. DistanĠa de la fiecare focar

O se numeúte centrul de simetrie al hiperbolei. DistanĠa de la fiecare focar

la centrul de hiperbolă ( OF = OF’= e ) se numeúte excentricitate.

la centrul de hiperbolă ( OF = OF’= e ) se numeúte excentricitate.

Hiperbola intersectează axa principală XX’ în vârfurile principale A úi A’.

Hiperbola intersectează axa principală XX’ în vârfurile principale A úi A’.

Hiperbola are două asimptote ZZ’ úi WW’ ; aceasta taie perpendicularele pe

Hiperbola are două asimptote ZZ’ úi WW’ ; aceasta taie perpendicularele pe

axa principală în vârfurile A úi A’.

axa principală în vârfurile A úi A’.

P

R

T

1 2 3 4

T

N

2a

P’

R’

Q’

R

1 2 3 4

2a

P’

S’

R

R

M r

M

N

R

Q

S

r

R

P

Q

S

R’

S’

Q’

Fig. 14.16

Fig. 14.16

187

187

ProprietăĠi:

ProprietăĠi:

x Hiperbola are două axe de simetrie XX’ úi YY’;

x Hiperbola are două axe de simetrie XX’ úi YY’;

x Hiperbola are două vârfuri A úi A’ astfel încât A A’ = MF’ – MF =

x Hiperbola are două vârfuri A úi A’ astfel încât A A’ = MF’ – MF =

2a ;

2a ;

x Hiperbola este o curbă deschisă cu două ramuri, care are vârfurile

x Hiperbola este o curbă deschisă cu două ramuri, care are vârfurile

pe axa principală úi ramurile se apropie la infinit de două asimptote

pe axa principală úi ramurile se apropie la infinit de două asimptote

ZZ’ úi WW’ ;

ZZ’ úi WW’ ;

x Tangenta într-un punct M al hiperbolei este bisectoarea interioară a unghiului FMF’.

x Tangenta într-un punct M al hiperbolei este bisectoarea interioară a unghiului FMF’.

Tangenta într-un punct oarecare al hiperbolei este bisectoarea MT a

Tangenta într-un punct oarecare al hiperbolei este bisectoarea MT a

unghiului FMF’ format de dreptele ce unesc focarele F úi F’ cu punctul de

unghiului FMF’ format de dreptele ce unesc focarele F úi F’ cu punctul de

tangenĠă, iar normala MN este perpendiculara dusă pe tangenta MT în

tangenĠă, iar normala MN este perpendiculara dusă pe tangenta MT în

punctul M.

punctul M.

Pentru construcĠia hiperbolei când se cunosc distanĠa FF’ dintre

Pentru construcĠia hiperbolei când se cunosc distanĠa FF’ dintre

focare úi distanĠa A A’ dintre vârfuri se procedează conform Fig.14.16

focare úi distanĠa A A’ dintre vârfuri se procedează conform Fig.14.16

astfel: se uneúte punctul F cu F’ úi se prelungeúte acest segment rezultând

astfel: se uneúte punctul F cu F’ úi se prelungeúte acest segment rezultând

axa principală a hiperbolei XX’. Se duce mediatoarea segmentului FF’

axa principală a hiperbolei XX’. Se duce mediatoarea segmentului FF’

notată cu YY’ rezultând ce-a de a doua axă de simetrie, iar punctul de

notată cu YY’ rezultând ce-a de a doua axă de simetrie, iar punctul de

intersecĠie se notează cu O úi reprezintă centrul de simetrie al hiperbolei.

intersecĠie se notează cu O úi reprezintă centrul de simetrie al hiperbolei.

ùtiind că vârfuile sunt simetrice, acestea se trasează de o parte úi de alta a

ùtiind că vârfuile sunt simetrice, acestea se trasează de o parte úi de alta a

punctului O pe axa XX’ astfel încât OA = OA’ = A A’ /2. Pe semidreptele

punctului O pe axa XX’ astfel încât OA = OA’ = A A’ /2. Pe semidreptele

F’X’ se ia un număr de segmente egale (de exemplu patru) obĠinându-se

F’X’ se ia un număr de segmente egale (de exemplu patru) obĠinându-se

punctele de intersecĠie 1, 2, 3, 4, după care se trasează perechi de arce de

punctele de intersecĠie 1, 2, 3, 4, după care se trasează perechi de arce de

cerc cu centrul în F’ de rază A’1 (A’2, A’3, A’4) úi în F de rază A1 (A2, A3,

cerc cu centrul în F’ de rază A’1 (A’2, A’3, A’4) úi în F de rază A1 (A2, A3,

A4) care se intersectează de o parte úi de alta a axei XX’. Unind punctele

A4) care se intersectează de o parte úi de alta a axei XX’. Unind punctele

Q’, S’, R’, P’, A’, P, R, S, Q rezultă ramura dreaptă a hiperbolei. Ramura

Q’, S’, R’, P’, A’, P, R, S, Q rezultă ramura dreaptă a hiperbolei. Ramura

din stânga se construieúte în mod similar cu observaĠia că arcele de cerc

din stânga se construieúte în mod similar cu observaĠia că arcele de cerc

188

188

descrise cu centrul în F’ au razele egale cu A1 (A2, A3, A4), iar cele

descrise cu centrul în F’ au razele egale cu A1 (A2, A3, A4), iar cele

descrise cu centrul în punctul F au razele egale cu A’1 (A’2, A’3, A’4).

descrise cu centrul în punctul F au razele egale cu A’1 (A’2, A’3, A’4).

Unind punctele de intersecĠie ale arcelor de cerc rezultă ramura stângă a

Unind punctele de intersecĠie ale arcelor de cerc rezultă ramura stângă a

hiperbolei. Întraga construcĠie prezentată reprezintă hiperbola căutată.

hiperbolei. Întraga construcĠie prezentată reprezintă hiperbola căutată.

14.1.4 Curbe ciclice

14.1.4 Curbe ciclice

Curbele ciclice (de rostogolire) sunt curbe descrise fie de un punct

Curbele ciclice (de rostogolire) sunt curbe descrise fie de un punct

fix ce aparĠine unei drepte úi care se rostogoleúte fără alunecare pe

fix ce aparĠine unei drepte úi care se rostogoleúte fără alunecare pe

circumferinĠa unui cerc fie de un punct fix ce aparĠine unui cerc úi care se

circumferinĠa unui cerc fie de un punct fix ce aparĠine unui cerc úi care se

rostogoleúte fără alunecare pe o dreaptă sau pe un arc de cerc.

rostogoleúte fără alunecare pe o dreaptă sau pe un arc de cerc.

Dreapta (cercul) pe care se găseúte punctul (fix) care descrie curba

Dreapta (cercul) pe care se găseúte punctul (fix) care descrie curba

se numeúte element generator (dreaptă generatoare sau cerc generator), iar

se numeúte element generator (dreaptă generatoare sau cerc generator), iar

dreapta (cercul) pe care se rostogoleúte elementul generator se numeúte

dreapta (cercul) pe care se rostogoleúte elementul generator se numeúte

element director (dreaptă directoare sau cerc director).

element director (dreaptă directoare sau cerc director).

ConstrucĠia curbelor ciclice are ca aplicaĠii în tehnică trasarea

ConstrucĠia curbelor ciclice are ca aplicaĠii în tehnică trasarea

profilului danturii roĠilor dinĠate ce formează angrenaje de transmitere a

profilului danturii roĠilor dinĠate ce formează angrenaje de transmitere a

miúcării de rotaĠie sau la trasarea profilelor camelor.

miúcării de rotaĠie sau la trasarea profilelor camelor.

14.1.4.1 ConstrucĠia evolventei

14.1.4.1 ConstrucĠia evolventei

Evolventa sau desfăúurata cercului este curba descrisă de un punct

Evolventa sau desfăúurata cercului este curba descrisă de un punct

al unei drepte (tangentă) generatoare care se rostogoleúte fără alunecare pe

al unei drepte (tangentă) generatoare care se rostogoleúte fără alunecare pe

un cerc director (fix).

un cerc director (fix).

Pentru construcĠia evolventei conform Fig. 14.17 a. se procedează

Pentru construcĠia evolventei conform Fig. 14.17 a. se procedează

astfel: se împarte cercul director (O) într-un număr de părĠi egale, de

astfel: se împarte cercul director (O) într-un număr de părĠi egale, de

exemplu în 12 părĠi rezultând punctele de împărĠire 1, 2, .... 12, prin care se

exemplu în 12 părĠi rezultând punctele de împărĠire 1, 2, .... 12, prin care se

trasează tangente la cerc. Din punctele de contact se trasează pe tangente

trasează tangente la cerc. Din punctele de contact se trasează pe tangente

segmente egale cu lungimile arcelor de cerc 0 -1, 0 -2, .... 0 -12, (Fig.

segmente egale cu lungimile arcelor de cerc 0 -1, 0 -2, .... 0 -12, (Fig.

14.17.b) rezultând pe tangente punctele 1’, 2’, …12’.

14.17.b) rezultând pe tangente punctele 1’, 2’, …12’.

189

189

N

N

9 8

9 8

T

0

T

0

a.

0

1’

3’

2’

0

4’

1

2

3

4

a. 5

6

R

0

1’

0

4’

1

2

3

4

5

6

R

1

1 2 3 4

6

3’

2’

2

5’ 90

11’ = arc 01 22’ = arc 02

0

5 6’

Fig. 14.17 b. Prin unirea acestor puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu ajutorul florarului se obĠine evolventa căutată sau desfăúurata cercului.

3 4 6

5’ 90

11’ = arc 01 22’ = arc 02

0

5 6’

Fig. 14.17 b. Prin unirea acestor puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu ajutorul florarului se obĠine evolventa căutată sau desfăúurata cercului.

În punctul de împărĠire 5 din Fig. 14.17 a. s-a trasat tangenta la

În punctul de împărĠire 5 din Fig. 14.17 a. s-a trasat tangenta la

cercul director care este normala la evolventa construită, iar perpendiculara

cercul director care este normala la evolventa construită, iar perpendiculara

pe această normală în punctul 5’ este tangenta la evolventă.

pe această normală în punctul 5’ este tangenta la evolventă.

14.1.4.2 ConstrucĠia cicloidei

14.1.4.2 ConstrucĠia cicloidei

Cicloida este curba descrisă de un punct al unui cerc prin rostogolire

Cicloida este curba descrisă de un punct al unui cerc prin rostogolire

fără alunecare pe o dreaptă fixă situată în planul cercului.

fără alunecare pe o dreaptă fixă situată în planul cercului.

Pentru construcĠia cicloidei atunci când se cunosc cercul generator úi

Pentru construcĠia cicloidei atunci când se cunosc cercul generator úi

dreapta directoare conform Fig. 14.18 se procedează astfel: pe dreapta

dreapta directoare conform Fig. 14.18 se procedează astfel: pe dreapta

directoare AA’ se trasează segmentul A0A8 egal cu lungimea cercului

directoare AA’ se trasează segmentul A0A8 egal cu lungimea cercului

generator (SD) după care atât segmentul A0A8 cât úi cercul generator de

generator (SD) după care atât segmentul A0A8 cât úi cercul generator de

190

190

centru O0 se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu 8)

centru O0 se împart în acelaúi număr de părĠi egale (de exemplu 8)

rezultând punctele de împărĠire 1, 2, ... 8, respectiv 1’, 2’, … 8’.

rezultând punctele de împărĠire 1, 2, ... 8, respectiv 1’, 2’, … 8’.

Se ridică perpendiculare în punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’ după

Se ridică perpendiculare în punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’ după

care se trasează prin centrul cercului generator (O0) o paralelă la AA’ care

care se trasează prin centrul cercului generator (O0) o paralelă la AA’ care

intersectează aceste perpendiculare în punctele O1, O2, ... O8. În continuare

intersectează aceste perpendiculare în punctele O1, O2, ... O8. În continuare

prin punctele de împărĠire 1, 2, ... 8 ale cercului generator (O0) se trasează

prin punctele de împărĠire 1, 2, ... 8 ale cercului generator (O0) se trasează



paralele la dreapta AA ; astfel: arcul de cerc cu centrul în punctul O1 úi cu

paralele la dreapta AA’; astfel: arcul de cerc cu centrul în punctul O1 úi cu

raza O11’ intersectează paralela prin punctul 1 la AA’ în punctul A1 (punct

raza O11’ intersectează paralela prin punctul 1 la AA’ în punctul A1 (punct

al cicloidei) úi tot aúa luând ca centre succesive punctele O2, O3, ... O8, se

al cicloidei) úi tot aúa luând ca centre succesive punctele O2, O3, ... O8, se

procedează în mod similar pentru obĠinerea celorlalte puncte ale cicloidei

procedează în mod similar pentru obĠinerea celorlalte puncte ale cicloidei

A2, A3, ... A8. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu

A2, A3, ... A8. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu

ajutorul florarului se obĠine cicloida căutată.

ajutorul florarului se obĠine cicloida căutată.

0

3

A

00 A2

2 1

A4

A3

5

6 02 03

01 A1 7 1’ 8

04

4

A5 05

A6 08

06 07

2’

3’

4’

5’

6’ 7’ 8’

A7 A8

ʌd

Fig. 14.18

A

00 A2

2 1

A4

A3

5

3 0

4

6 02 03

01 A1 7 1’ 8

04

A5 05

A6 08

06 07

2’

3’

4’

5’

6’ 7’ 8’

A7 A8

ʌd

Fig. 14.18

14.1.4.3 ConstrucĠia epicicloidei

14.1.4.3 ConstrucĠia epicicloidei

Epicicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul

Epicicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul

generator, cerc care se rostogoleúte fără alunecare pe un cerc director.

generator, cerc care se rostogoleúte fără alunecare pe un cerc director.

Pentru construcĠia epicicloidei atunci când se cunosc D0 diametrul

Pentru construcĠia epicicloidei atunci când se cunosc D0 diametrul

cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.19 se

cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.19 se

procedează astfel: se trasează cercul de rază R cu centrul în O úi tangent

procedează astfel: se trasează cercul de rază R cu centrul în O úi tangent

exterior cu acesta în punctul A0 se trasează cercul de rază R0 = D0 /2 cu

exterior cu acesta în punctul A0 se trasează cercul de rază R0 = D0 /2 cu

191

191

centrul în O0. Pe cercul de rază R se determină arcul (A0A8 = SD0 ) de cerc

centrul în O0. Pe cercul de rază R se determină arcul (A0A8 = SD0 ) de cerc

egal cu lungimea cercului generator; pentru aceasta se determină unghiul la

egal cu lungimea cercului generator; pentru aceasta se determină unghiul la

centru D0 = 3600 Ro /R. În continuare arcul A0A8 se împarte într-un număr

centru D0 = 3600 Ro /R. În continuare arcul A0A8 se împarte într-un număr

de părĠi egale (de exemplu 8) rezultând punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’

de părĠi egale (de exemplu 8) rezultând punctele de împărĠire 1’, 2’, … 8’

după care acestea se unesc prin raze cu centrul O.

după care acestea se unesc prin raze cu centrul O.

Se trasează un nou arc de cerc cu raza R + R0 cu centrul în O iar

Se trasează un nou arc de cerc cu raza R + R0 cu centrul în O iar

prelungirile razelor trasate anterior intersectează acest cerc în punctele O1,

prelungirile razelor trasate anterior intersectează acest cerc în punctele O1,

O2, ... O8. De asemenea se împarte cercul de rază R0 în opt părĠi egale

O2, ... O8. De asemenea se împarte cercul de rază R0 în opt părĠi egale

rezultând punctele de intersecĠie 1, 2, ... 8, după care se construiesc cerc-

rezultând punctele de intersecĠie 1, 2, ... 8, după care se construiesc cerc-

urile concentrice de rază 01, 02, 03, 04 care trec prin punctele 4, 5, 6, 7.

urile concentrice de rază 01, 02, 03, 04 care trec prin punctele 4, 5, 6, 7.



Cercul cu centrul în O1 úi cu raza O11 , intersectează cercul cu

Cercul cu centrul în O1 úi cu raza O11’, intersectează cercul cu

centrul în punctul O úi cu raza O1 în punctul A1 (punct ce aparĠine

centrul în punctul O úi cu raza O1 în punctul A1 (punct ce aparĠine

elipsoidului) úi tot aúa rezultă punctele A2, ... A8. Unind aceste puncte

elipsoidului) úi tot aúa rezultă punctele A2, ... A8. Unind aceste puncte

printr-o linie curbă continuă trasată cu ajutorul fluorarului rezultă

printr-o linie curbă continuă trasată cu ajutorul fluorarului rezultă

epicicloida căutată.

epicicloida căutată.

A4 A3

03 04 05 06 A6 A2 02 0 7 6 01 4 4’ 5’ 6’ 7 2’ 3’ 7’ A7 0 8 1 A 1’ 3 8’ 00 A8 A0=8 2 1 R D0 5

0

A4

A5

A3

A5

03 04 05 06 A6 A2 02 0 7 6 01 4 4’ 5’ 6’ 7 2’ 3’ 7’ A7 0 8 1 A 1’ 3 8’ 00 A8 A0=8 2 1 R D0 5

0

Fig. 14.19

Fig. 14.19

192

192

14.1.4.4 ConstrucĠia hipocicloidei

14.1.4.4 ConstrucĠia hipocicloidei

Hipocicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul

Hipocicloida este curba descrisă de un punct fix de pe cercul

generator care se rostogoleúte fără alunecare pe interiorul unui cerc

generator care se rostogoleúte fără alunecare pe interiorul unui cerc

director.

director.

ConstrucĠia hipocicloidei atunci când se cunoaúte D0 diametrul

ConstrucĠia hipocicloidei atunci când se cunoaúte D0 diametrul

cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.20 este

cercului generator úi R raza cercului director conform Fig. 14.20 este

asemănătoare epicicloidei cu deosebirea că după trasarea cercului de rază

asemănătoare epicicloidei cu deosebirea că după trasarea cercului de rază

R cu centrul în O úi a celui tangent interior cu acesta în punctul A0 de rază

R cu centrul în O úi a celui tangent interior cu acesta în punctul A0 de rază

R0 = D0 /2 cu centrul în O0 se trasează un cerc cu centrul în O de rază

R0 = D0 /2 cu centrul în O0 se trasează un cerc cu centrul în O de rază

R – R0 pentru determinarea punctelor O1, O2, ... O8.

R – R0 pentru determinarea punctelor O1, O2, ... O8.

1’

A0=8 1 2

2’ 3’

5’

4’

6’

7’ A8=8’ A7 A6

1’

A0=8 1 2 D0

D0

06 7 6 02 04 A1 03 05 07 A2 01 08 A5 00 A3=5 A4 R 3 4

2’ 3’

6’

7’ A8=8’ A7 A6

06 7 6 02 04 A1 03 05 07 A2 01 08 A5 00 A3=5 A4 R 3 4

0 Fig. 14.20

5’

4’

0 Fig. 14.20

14.2 Curbe în spaĠiu. Elicea

14.2 Curbe în spaĠiu. Elicea

Elicea este o curbă în spaĠiu descrisă de un punct situat într-un plan

Elicea este o curbă în spaĠiu descrisă de un punct situat într-un plan

meridian care are o miúcare uniformă de translaĠie de-a lungul unei cilindru

meridian care are o miúcare uniformă de translaĠie de-a lungul unei cilindru

circular drept, sau a unui con, aflat în miúcare uniformă de rotaĠie.

circular drept, sau a unui con, aflat în miúcare uniformă de rotaĠie.

Pasul elicei notat cu p este distanĠa dintre două puncte consecutive ale elicei măsurată pe aceeaúi generatoare.

193

Pasul elicei notat cu p este distanĠa dintre două puncte consecutive ale elicei măsurată pe aceeaúi generatoare.

193

14.2.1 ConstrucĠia elicei cilindrice

14.2.1 ConstrucĠia elicei cilindrice

Pentru construcĠia elicei cilindrice când se cunosc diametrul d al

Pentru construcĠia elicei cilindrice când se cunosc diametrul d al

cilindrului úi pasul A’B al elicei conform Fig. 14.21 úi 14.22 se procedează

cilindrului úi pasul A’B al elicei conform Fig. 14.21 úi 14.22 se procedează

astfel: se construieúte cercul de diametru d cât úi proiecĠia verticală a

astfel: se construieúte cercul de diametru d cât úi proiecĠia verticală a

cilindrului, după care se continuă din punctul A cu construcĠia triunghiului

cilindrului, după care se continuă din punctul A cu construcĠia triunghiului

dreptunghic AA’B care are ca laturi lungimea cercului úi pasul elicei iar

dreptunghic AA’B care are ca laturi lungimea cercului úi pasul elicei iar



unghiul D = AA’B = Pas / S d.

unghiul D = AA B = Pas / S d. Se împarte atât cercul cât úi lungimea cercului într-un număr de părĠi

Se împarte atât cercul cât úi lungimea cercului într-un număr de părĠi

egale (de exemplu 8) rezultând punctele de impărĠire 1, 2, ... 8. Prin

egale (de exemplu 8) rezultând punctele de impărĠire 1, 2, ... 8. Prin

punctele de împărĠire a cercului se trasează paralele la generatoarea

punctele de împărĠire a cercului se trasează paralele la generatoarea

cilindrului, iar prin punctele de împărĠire ale lungimii cercului (AA’ ) se

cilindrului, iar prin punctele de împărĠire ale lungimii cercului (AA’ ) se

ridică perpendiculare care intersectează dreapta AB cu înclinaĠia D faĠă de

ridică perpendiculare care intersectează dreapta AB cu înclinaĠia D faĠă de

orizontală în punctele 1’, 2’, …8’.

orizontală în punctele 1’, 2’, …8’.

Prin punctele de împărĠire 1’, 2’, …8’ se duc paralele la AA’ care

Prin punctele de împărĠire 1’, 2’, …8’ se duc paralele la AA’ care

intersectează paralelele la generatoare în punctele 1”, 2”, …8” puncte care

intersectează paralelele la generatoare în punctele 1”, 2”, …8” puncte care

aparĠin elicei. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu

aparĠin elicei. Unind aceste puncte printr-o linie curbă continuă trasată cu

ajutorului florarului se obĠine elicea cilindrică căutată.

ajutorului florarului se obĠine elicea cilindrică căutată.

3’

3 2

2’

1 6

5

1’ 1 2 3 4 5 6 7 0=8

tg Į

7

Pas ʌd

Fig. 14.21

2 6

4

3

5’

0=8

7 6 5 4 3 2 1 0

tg Į

6 7

Pas ʌd

1

3

8’

ʌd

7

4

4’

7’

2’ 1’ 1 2 3 4 5 6 7

1 6

5

5

8 0

Fig. 14.22

194

3’

3

1

2

6’

6

5

4

7

1

3

8

7 6 5 4 3 2 1 0

ʌd

7

4

4’

5’

8’

Pas

6’

6

5

4

7’

Pas

8 7

8 0

4 1

2

Fig. 14.21

Fig. 14.22

194

5

3

14.2.2 ConstrucĠia elicei conice

14.2.2 ConstrucĠia elicei conice

Elicea conică este curba trasată prin intersecĠia unei drepte antrenate

Elicea conică este curba trasată prin intersecĠia unei drepte antrenate

într-o miúcare elicoidală care alunecă fără frecare în lungul axei unui con

într-o miúcare elicoidală care alunecă fără frecare în lungul axei unui con

de revoluĠie coaxială cu mărimi proporĠionale unghiului de rotaĠie.

de revoluĠie coaxială cu mărimi proporĠionale unghiului de rotaĠie.

Pentru construcĠia elicei conice când se cunosc conul pe care este

Pentru construcĠia elicei conice când se cunosc conul pe care este

trasată elicea, pasul úi sensul acesteia, conform Fig. 14.23 se procedează

trasată elicea, pasul úi sensul acesteia, conform Fig. 14.23 se procedează

astfel: se reprezintă conul în cele două vederi, după care cercul de diametru

astfel: se reprezintă conul în cele două vederi, după care cercul de diametru

AB se împarte într-un număr oarecare de părĠi egale (de exemplu 8)

AB se împarte într-un număr oarecare de părĠi egale (de exemplu 8)

împreună cu raza OB. În planul de bază (care cuprinde cercul de bază al

împreună cu raza OB. În planul de bază (care cuprinde cercul de bază al

conului) proiecĠia elicei conice este o spirală arhimedică ale cărei puncte I,

conului) proiecĠia elicei conice este o spirală arhimedică ale cărei puncte I,

II, … VIII rezultă din intersecĠia razelor O1, O2,…O8 duse prin diviziunile

II, … VIII rezultă din intersecĠia razelor O1, O2,…O8 duse prin diviziunile

razei OB. În continuare se coboară din vârful S înălĠimea O’S a conului

razei OB. În continuare se coboară din vârful S înălĠimea O’S a conului

egală cu pasul elicei care se împarte în acelaúi număr de părĠi egale (de

egală cu pasul elicei care se împarte în acelaúi număr de părĠi egale (de

exemplu 8), rezultând punctele 1”, 2’, …8”. Prin aceste puncte se duc

exemplu 8), rezultând punctele 1”, 2’, …8”. Prin aceste puncte se duc

perpendiculare la axa conului care prin intersectare (perpendicularele úi

perpendiculare la axa conului care prin intersectare (perpendicularele úi

paralelele de acelaúi număr) determină punctele de intersecĠie I”, II”,

paralelele de acelaúi număr) determină punctele de intersecĠie I”, II”,

…VIII”. Unind aceste puncte printr-o curbă continuă trasată cu ajutorul

…VIII”. Unind aceste puncte printr-o curbă continuă trasată cu ajutorul

fluorarului obĠinem elicea conică căutată.

fluorarului obĠinem elicea conică căutată.

S

IV’

S

1 I’ 2 3 II’ III’4

IV’

V’ 5

V’ 5

6 VI’ 7 H

A’

6’ VI

B’

H’

H

A’

7’

0 IV III

1 I23 456 7

6’ VI

S’

A

0 IV III

1’

195

H’

7’

B 1 I23 456 7

II

3’

Fig. 14.23

2’

B’

VII

V B

II

3’

VII’

0’

VII

V A

6 VI’ 7

VII’

0’ S’

1 I’ 2 3 II’ III’4

1’

Fig. 14.23

2’

195

Bibliografie

Bibliografie

1. Kh.A.Arustamov, Problems in Descriptive Geometrie, Moscou,

1. Kh.A.Arustamov, Problems in Descriptive Geometrie, Moscou,

1972;

1972;

2. M.St.Botez, , Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1965;

2. M.St.Botez, , Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1965;

3. V.Bunjulov, Desfăúuratele pieselor din tablă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1965;

3. V.Bunjulov, Desfăúuratele pieselor din tablă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1965;

4. N.F.Cetveruhin, Geometrie proiectivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1956;

4. N.F.Cetveruhin, Geometrie proiectivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1956;

5. V.Dragomir, St. Teodorescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1963; 6. J.Earle, Engineering design graphics, Massachusetts, Addison – Wesley Publishing Co., 1970; 7. A. Ene, Curs de geometrie descriptivă, Craiova, Ed. Sitech, 1995, Vol.I úi Vol.II;

5. V.Dragomir, St. Teodorescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1963; 6. J.Earle, Engineering design graphics, Massachusetts, Addison – Wesley Publishing Co., 1970; 7. A. Ene, Curs de geometrie descriptivă, Craiova, Ed. Sitech, 1995, Vol.I úi Vol.II;

8. C.Florea, ú.a., Geometrie descriptivă. SuprafeĠe úi corpuri cu aplicaĠii in tehnică, Cluj-Napoca, Ed. UTPres, 2002;

8. C.Florea, ú.a., Geometrie descriptivă. SuprafeĠe úi corpuri cu aplicaĠii in tehnică, Cluj-Napoca, Ed. UTPres, 2002;

9. S.Gordon, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1952;

9. S.Gordon, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1952;

10. R.P.Hoelscher, ú.a., Graphics for engineers, Illinois, Willey

10. R.P.Hoelscher, ú.a., Graphics for engineers, Illinois, Willey

International Edition, 1968; 11. T.Ivăceanu, ú.a., Geometrie descriptivă úi desen tehnic, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1982; 12. A.Javary, Traité de Géométrie Descriptive, Paris, Ed. Delagrave, 1921;

International Edition, 1968; 11. T.Ivăceanu, ú.a., Geometrie descriptivă úi desen tehnic, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1982; 12. A.Javary, Traité de Géométrie Descriptive, Paris, Ed. Delagrave, 1921;

196

196

13. Al.Matei, V.Gaba, T.Tacu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1982;

Tehnică, 1982;

14. Al.Matei, ú.a., Geometrie descriptivă. Culegere de probleme, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1967; 15. J.Moncea, Geometrie descriptivă úi desen tehnic. Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1982; 16. J.Moncea,

13. Al.Matei, V.Gaba, T.Tacu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed.

ú.a., Desfăúurarea suprafeĠelor, Bucureúti, Ed.

Tehnică, 1966;

14. Al.Matei, ú.a., Geometrie descriptivă. Culegere de probleme, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1967; 15. J.Moncea, Geometrie descriptivă úi desen tehnic. Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1982; 16. J.Moncea,

ú.a., Desfăúurarea suprafeĠelor, Bucureúti, Ed.

Tehnică, 1966;

17. A.I.Ostrovski, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1953;

17. A.I.Ostrovski, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1953;

18. P.PrecupeĠu, C.Dale, ú.a. Geometrie descriptivă úi desen tehnic, Partea I. Geometrie descriptivă, Bucureúti, Litografia IPB, 1980; 19. P.PrecupeĠu, C.Dale, Probleme de geometrie descriptivă cu aplicaĠii in tehnică, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1987; 20. R.ğiĠeica, ú.a., DicĠionar politehnic, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1967;

18. P.PrecupeĠu, C.Dale, ú.a. Geometrie descriptivă úi desen tehnic, Partea I. Geometrie descriptivă, Bucureúti, Litografia IPB, 1980; 19. P.PrecupeĠu, C.Dale, Probleme de geometrie descriptivă cu aplicaĠii in tehnică, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1987; 20. R.ğiĠeica, ú.a., DicĠionar politehnic, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1967;

21. R. RăduleĠ, ùt. Bălan, Lexiconul Tehnic Român, Bucureúti, Ed.

Tehnică, 1952, Vol. I .... V; 22. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi

Pedagogică, 1965;

21. R. RăduleĠ, ùt. Bălan, Lexiconul Tehnic Român, Bucureúti, Ed.

Tehnică, 1952, Vol. I .... V; 22. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Didactică úi

Pedagogică, 1965;

23. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie,

Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1975;

23. A.Tănăsescu, Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie,

Bucureúti, Ed. Didactică úi Pedagogică, 1975;

24. I.Simion, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Bren, 2002;

24. I.Simion, Geometrie descriptivă, Bucureúti, Ed. Bren, 2002;

25. H.W.Yankee, Engineering graphics, Boston, PWS Publishers,

25. H.W.Yankee, Engineering graphics, Boston, PWS Publishers,

1985;

1985;

26. *** Mică Enciclopedie Matematică, traducere după Klaine

Enzyklopädie der Mathematik, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1980;

197

26. *** Mică Enciclopedie Matematică, traducere după Klaine

Enzyklopädie der Mathematik, Bucureúti, Ed. Tehnică, 1980;

197

CUPRINS

CUPRINS

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

Introducere

7

Introducere

7

Cap. 1 Sisteme de proiecĠie 1.1. GeneralităĠi 1.2. Sisteme de referinĠă 1.3. Sisteme de reprezentare

8 10 12

Cap. 1 Sisteme de proiecĠie 1.1. GeneralităĠi 1.2. Sisteme de referinĠă 1.3. Sisteme de reprezentare

8 10 12

Cap. 2 Punctul 2.1. Reprezentarea punctului in epură 2.2. Punctul in diedre 2.3. Punctul in triedre 2.4. Puncte situate in planele bisectoare 2.5. Puncte situate pe linia de pămint 2.6. Puncte situate in planele de proiecĠie 2.7. Alfabetul punctului

18 18 19 21 22 22 23

Cap. 2 Punctul 2.1. Reprezentarea punctului in epură 2.2. Punctul in diedre 2.3. Punctul in triedre 2.4. Puncte situate in planele bisectoare 2.5. Puncte situate pe linia de pămint 2.6. Puncte situate in planele de proiecĠie 2.7. Alfabetul punctului

18 18 19 21 22 22 23

26 26 26 28 29 30 31 31 31 32

Cap. 3 Dreapta 3.1. Urmele dreptei 3.2. PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte 3.2.1. Drepte paralele cu planele de proiecĠie 3.2.2. Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie 3.2.3. Drepte conĠinute in planele de proiecĠie 3.2.4. Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie 3.3. PoziĠia relativă a două drepte 3.3.1. Drepte paralele 3.3.2. Drepte concurente 3.3.3. Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare)

26 26 26 28 29 30 31 31 31 32

Cap. 3 Dreapta 3.1. Urmele dreptei 3.2. PoziĠiile remarcabile (particulare) ale unei drepte 3.2.1. Drepte paralele cu planele de proiecĠie 3.2.2. Drepte perpendiculare pe planele de proiecĠie 3.2.3. Drepte conĠinute in planele de proiecĠie 3.2.4. Drepte ce coincid cu una din axele de proiecĠie 3.3. PoziĠia relativă a două drepte 3.3.1. Drepte paralele 3.3.2. Drepte concurente 3.3.3. Drepte disjuncte (necoplanare, oarecare) Cap.4 Planul 4.1. Reprezentarea úi urmele planului 4.2. PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie 4.2.1. Plan de poziĠie generală 4.2.2. Plane proiectante pe unul din planele de proiecĠie 4.2.3. Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare pe celelalte două 4.3. Drepte particulare ale planului

198

33 34 34 35 36 38

Cap.4 Planul 4.1. Reprezentarea úi urmele planului 4.2. PoziĠiile planului în raport cu planele de proiecĠie 4.2.1. Plan de poziĠie generală 4.2.2. Plane proiectante pe unul din planele de proiecĠie 4.2.3. Plane paralele cu un plan de proiecĠie úi perpendiculare pe celelalte două 4.3. Drepte particulare ale planului

198

33 34 34 35 36 38

4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.5. 4.4. 4.4.1. 4.4.2.

Orizontala planului Frontala planului Dreapta de profil a unui plan Dreapta de cea mai mare pantă Dreapta de cea mai mare inclinaĠie PoziĠiile relative a două plane Plane concurente Plane paralele

38 38 39 39 40 40 40 41

4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4. 4.3.5. 4.4. 4.4.1. 4.4.2.

Cap.5 IntersecĠia de plane úi plăci 5.1. Vizibilitate 5.2. IntersecĠia figurilor plane 5.2.1. IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară 5.2.2. IntersecĠia a două plane definite de urmele lor 5.3. IntersecĠia a două plăci 5.3.1. Pătrunderea 5.3.2. Smulgerea 5.3.3. Intersec Ġia a două plăci triunghiulare

42 42 43 43 44 44 45 46

Cap.5 IntersecĠia de plane úi plăci 5.1. Vizibilitate 5.2. IntersecĠia figurilor plane 5.2.1. IntersecĠia unei drepte cu o placă triunghiulară 5.2.2. IntersecĠia a două plane definite de urmele lor 5.3. IntersecĠia a două plăci 5.3.1. Pătrunderea 5.3.2. Smulgerea 5.3.3. Intersec Ġia a două plăci triunghiulare

42 42 43 43 44 44 45 46

Cap.6 Metodele geometriei descriptive 6.1. Metoda schimbării de plan 6.1.1. GeneralităĠi 6.1.2. Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie 6.1.3. Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie 6.2. Metoda rotaĠiei 6.2.1. GeneralităĠi 6.2.2. RotaĠia de nivel 6.2.3. RotaĠia de front 6.2.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei 6.3. Metoda rabaterii 6.3.1. GeneralităĠi 6.3.2. Robaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie 6.3.3. Robaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie 6.3.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii

48 48 48 50 52 52 53 55 58 60 60 61 63 63

Cap.6 Metodele geometriei descriptive 6.1. Metoda schimbării de plan 6.1.1. GeneralităĠi 6.1.2. Metoda schimbării de plan orizontal de proiecĠie 6.1.3. Metoda schimbării de plan vertical de proiecĠie 6.2. Metoda rotaĠiei 6.2.1. GeneralităĠi 6.2.2. RotaĠia de nivel 6.2.3. RotaĠia de front 6.2.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rotaĠiei 6.3. Metoda rabaterii 6.3.1. GeneralităĠi 6.3.2. Robaterea unui plan pe planul orizontal de proiecĠie 6.3.3. Robaterea unui plan pe planul vertical de proiecĠie 6.3.4. Adevărata mărime a unei figuri plane prin metoda rabaterii

48 48 48 50 52 52 53 55 58 60 60 61 63 63

65 70 71 73 75

Cap.7 Poliedre 7.1. Reprezentare 7.2. SecĠiuni plane in poliedre 7.2.1. IntersecĠia unui plan cu o prismă 7.2.2. IntersecĠia unui plan cu o piramidă 7.3. Desfăúuratele unor poliedre mai importante

65 70 71 73 75

Cap.7 Poliedre 7.1. Reprezentare 7.2. SecĠiuni plane in poliedre 7.2.1. IntersecĠia unui plan cu o prismă 7.2.2. IntersecĠia unui plan cu o piramidă 7.3. Desfăúuratele unor poliedre mai importante

199

Orizontala planului Frontala planului Dreapta de profil a unui plan Dreapta de cea mai mare pantă Dreapta de cea mai mare inclinaĠie PoziĠiile relative a două plane Plane concurente Plane paralele

199

38 38 39 39 40 40 40 41

Cap.8 Corpuri de rotaĠie 8.1. Reprezentare 8.2. SecĠiuni plane în solide de rotaĠie 8.2.1. SecĠiunea într-un cilindru circular drept 8.2.2. SecĠiunnea într-un con circular drept 8.3. Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante Cap.9 IntersecĠii de corpuri; desfăúuratele lor 9.1. IntersecĠia dintre doi cilindrii cu diametre diferite úi axe perpendiculare 9.2. IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de diametre diferite 9.3. IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă 9.4. IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic în cilindru 9.5. IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru 9.6. IntersecĠia unui cilindru cu o sferă 9.7. IntersecĠia dintre un con cu o sferă 9.8. Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată

79 83 83 84 85

90 90 92 93 94 95 97 98

Cap.8 Corpuri de rotaĠie 8.1. Reprezentare 8.2. SecĠiuni plane în solide de rotaĠie 8.2.1. SecĠiunea într-un cilindru circular drept 8.2.2. SecĠiunnea într-un con circular drept 8.3. Desfăúuratele unor corpuri de rotaĠie mai importante Cap.9 IntersecĠii de corpuri; desfăúuratele lor 9.1. IntersecĠia dintre doi cilindrii cu diametre diferite úi axe perpendiculare 9.2. IntersecĠia sub un unghi oarecare a doi cilindri de diametre diferite 9.3. IntersecĠia dintre un cilindru úi o prismă 9.4. IntersecĠia dintre un cilindru úi un con ce pătrunde oblic în cilindru 9.5. IntersecĠia dintre un cilindru úi un poliedru 9.6. IntersecĠia unui cilindru cu o sferă 9.7. IntersecĠia dintre un con cu o sferă 9.8. Racordarea unei secĠiuni circulare la o secĠiune pătrată

79 83 83 84 85

90 90 92 93 94 95 97 98

Cap.10 Linii, suprafeĠe úi corpuri elicoidale 10.1 Linii elicoidale 102 10.1.1. Elicea cilindrică 102 10.1.2. Elicea conică 103 10.1.3. Elicea sferică 104 10.2. SuprafeĠe elicoidale 105 10.2.1. SuprafaĠa elicoidală strâmbă 106 10.2.2. SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă 108 care nu intersectează axa 10.2.3. SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a 109 cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este concurentă cu aceasta 10.2.4. SuprafaĠa elicoidală generată de o dreaptă care nu este 110 concurentă cu axa, dar face un unghi de 900 cu aceasta 10.3. Corpuri elicoidale (elipsoide) 111 10.4. Profilul filetelor 114

Cap.10 Linii, suprafeĠe úi corpuri elicoidale 10.1 Linii elicoidale 102 10.1.1. Elicea cilindrică 102 10.1.2. Elicea conică 103 10.1.3. Elicea sferică 104 10.2. SuprafeĠe elicoidale 105 10.2.1. SuprafaĠa elicoidală strâmbă 106 10.2.2. SuprafaĠa elicoidală strâmbă generată de o dreaptă 108 care nu intersectează axa 10.2.3. SuprafaĠa elicoidală dreaptă generată de un segment a 109 cărui dreaptă face un unghi de 900 cu axa úi este concurentă cu aceasta 10.2.4. SuprafaĠa elicoidală generată de o dreaptă care nu este 110 concurentă cu axa, dar face un unghi de 900 cu aceasta 10.3. Corpuri elicoidale (elipsoide) 111 10.4. Profilul filetelor 114

200

200

CONSTRUCTII GEOMETRIE

CONSTRUCTII GEOMETRIE

Cap.11 NoĠiuni geometrice fundamentale 11.1. Originea noĠiunilor geometrice fundamentale 11.2. Punctul úi mulĠimea de puncte 11.3. Linii úi tipuri de linii 11.3.1. Linia dreaptă, linia frintă úi linia curbă 11.3.2. Drepte paralele 11.3.2.1. Paralela la o dreaptă printr-un punct dat 11.3.2.2. Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată 11.3.3. Drepte perpendiculare 11.3.3.1. Perpendiculara pe o dreptă într-un punct dat 11.3.3.2. Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă 11.3.3.3. Perpendiculara la capătul dreptei 11.3.3.4. Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi înafara dreptei 11.3.4. ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă 11.3.4.1. Determinarea mijlocului unui segment 11.3.4.2. ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale 11.3.4.3. Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat 11.3.4.4. ÎmpărĠirea unui segment în părĠi proporĠionale cu două segmente date 11.4 Plan.Semiplan 11.5 Unghiuri 11.5.1. ConstrucĠia unui unghi dat 11.5.2. ConstrucĠia unui unghi oarecare egal cu un unghi dat 11.5.3. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale 11.5.3.1. ConstrucĠia bisectorei unui unghi cu ajutorul compasului 11.5.3.2. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale a unghiului al cărui vârf se situează în afara desenului 11.5.4. ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate 11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de unghiuri 11.5.5.1. ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri 11.5.5.2. ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri 11.5.5.3. ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi egale 11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o inclinaĠie dată faĠă de o altă dreaptă 11.5.7. ConstrucĠia unghiului de 1800 11.5.8. ConstrucĠia unghiului de 3600

201

119 119 120 120 123 123 124 125 125 126 126 127 128 128 128 129 130 130 132 132 133 135 135 136 136 140 141 141 141 142 143 143

Cap.11 NoĠiuni geometrice fundamentale 11.1. Originea noĠiunilor geometrice fundamentale 11.2. Punctul úi mulĠimea de puncte 11.3. Linii úi tipuri de linii 11.3.1. Linia dreaptă, linia frintă úi linia curbă 11.3.2. Drepte paralele 11.3.2.1. Paralela la o dreaptă printr-un punct dat 11.3.2.2. Paralela la o dreaptă cu o distanĠă dată 11.3.3. Drepte perpendiculare 11.3.3.1. Perpendiculara pe o dreptă într-un punct dat 11.3.3.2. Perpendiculara dintr-un punct exterior pe o dreaptă 11.3.3.3. Perpendiculara la capătul dreptei 11.3.3.4. Perpendiculara dintr-un punct dat situat deasupra úi înafara dreptei 11.3.4. ÎmpărĠirea unui segment de dreaptă 11.3.4.1. Determinarea mijlocului unui segment 11.3.4.2. ÎmpărĠirea unui segment în mai multe părĠi egale 11.3.4.3. Reducerea unui segment de dreaptă într-un raport dat 11.3.4.4. ÎmpărĠirea unui segment în părĠi proporĠionale cu două segmente date 11.4 Plan.Semiplan 11.5 Unghiuri 11.5.1. ConstrucĠia unui unghi dat 11.5.2. ConstrucĠia unui unghi oarecare egal cu un unghi dat 11.5.3. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale 11.5.3.1. ConstrucĠia bisectorei unui unghi cu ajutorul compasului 11.5.3.2. ÎmpărĠirea unghiului în două părĠi egale a unghiului al cărui vârf se situează în afara desenului 11.5.4. ConstrucĠia unghiurilor cu valori consacrate 11.5.5. ConstrucĠia unghiurilor ca sumă sau diferenĠă de unghiuri 11.5.5.1. ConstrucĠia unui unghi ca sumă a două unghiuri 11.5.5.2. ConstrucĠia unui unghi ca diferenĠă a două unghiuri 11.5.5.3. ÎmpărĠirea unghiului într-un număr oarecare de părĠi egale 11.5.6. ConstrucĠia unei drepte cu o inclinaĠie dată faĠă de o altă dreaptă 11.5.7. ConstrucĠia unghiului de 1800 11.5.8. ConstrucĠia unghiului de 3600

201

119 119 120 120 123 123 124 125 125 126 126 127 128 128 128 129 130 130 132 132 133 135 135 136 136 140 141 141 141 142 143 143

Cap.12 12.1 12.2 12.2.1. 12.2.2. 12.2.3. 12.2.4. 12.3. 12.3.1. 12.3.2. 12.3.3. 12.3.4. 12.3.5. 12.3.6. 12.4. 12.4.1. 12.4.2. 12.4.3. 12.4.4. 12.4.5. 12.4.6. 12.5. 12.5.1. 12.5.2. 12.5.3. 12.5.4. 12.5.5. 12.5.6. 12.6. 12.6.1. 12.6.2.

Cercul Elementele cercului ConstrucĠia grafică a cercului ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe cerc úi raza ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare Determinarea grafică a unora din elementele cercului Determinarea centrului unui punct dat Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara planului de lucru cunoscând o coardă úi săgeata Determinarea lungimii unui semicerc Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct de pe cerc Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de rază R ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în două în patru úi în opt părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de părĠi egale Tangenta. Cercuri tangente Tangenta la cerc Tangenta dintr-un punct exterior la cerc Tangente exterioare la două cercuri Tangente interioare la două cercuri Cercuri tangente interior Cercuri tangente exterior Cercuri concentrice Cercuri concentrice interior Cercuri concentrice exterior

Cap.13 Racordări 13.1. Elementele racordării 13.2. Racordarea a două drepte 13.2.1. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată

202

144 145 145 146

Cap.12 12.1 12.2 12.2.1. 12.2.2.

Cercul Elementele cercului ConstrucĠia grafică a cercului ConstrucĠia cercului când se cunosc poziĠia centrului úi raza ConstrucĠia cercului când se cunosc două puncte situate pe cerc úi raza ConstrucĠia cercurilor care trec prin două puncte ConstrucĠia cercului care trece prin trei puncte necoliniare Determinarea grafică a unora din elementele cercului Determinarea centrului unui punct dat Determinarea centrului unui cerc când se dă arcul AB Determinarea arcului de cerc cu centrul în afara planului de lucru cunoscând o coardă úi săgeata Determinarea lungimii unui semicerc Determinarea săgeĠii când se cunoaúte coarda úi un punct de pe cerc Determinarea lungimii unui arc oarecare AB al unui cerc de rază R ÎmpărĠirea cercului în părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în două în patru úi în opt părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în trei, în úase úi în douăsprezece părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în cinci úi în zece părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în úapte părĠi egale ÎmpărĠirea cercului în nouă úi în douăzeci de părĠi egale ÎmpărĠirea cercului într-un număr oarecare de părĠi egale Tangenta. Cercuri tangente Tangenta la cerc Tangenta dintr-un punct exterior la cerc Tangente exterioare la două cercuri Tangente interioare la două cercuri Cercuri tangente interior Cercuri tangente exterior Cercuri concentrice Cercuri concentrice interior Cercuri concentrice exterior

146 147 147 147 148 148

12.2.3. 12.2.4. 12.3. 12.3.1. 12.3.2. 12.3.3.

149 150

12.3.4. 12.3.5.

150

12.3.6.

151 151 152

12.4. 12.4.1. 12.4.2.

153 154 155 155 156 156 157 158 159 159 160 161 161 161

12.4.3. 12.4.4. 12.4.5. 12.4.6. 12.5. 12.5.1. 12.5.2. 12.5.3. 12.5.4. 12.5.5. 12.5.6. 12.6. 12.6.1. 12.6.2.

162 163 163

Cap.13 Racordări 13.1. Elementele racordării 13.2. Racordarea a două drepte 13.2.1. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc de rază dată

202

144 145 145 146 146 147 147 147 148 148 149 150 150 151 151 152 153 154 155 155 156 156 157 158 159 159 160 161 161 161

162 163 163

13.2.1.1. Metoda paralelelor 163 13.2.1.2. Metoda bisectoarei 164 13.2.2. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul 164 din punctele de racordare 13.2.3. Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind 165 date punctele de racordare 13.2.4. Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de cerc 166 de rază dată 13.2.5. Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc 167 fiind date punctele de racordare 13.2.6. Racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate 167 între ele prin două arce de cerc fiind date punctele de racordare 13.3. Racordarea unei drepte cu un cerc dat 168 13.3.1. Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată 168 13.3.2. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de 169 racordare de pe dreaptă 13.3.3. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctual de 169 racordare de pe cerc 13.3.4. Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc 170 tangent exterior într-un punct dat de pe cerc 13.3.5. Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc 171 tangent interior într-un punct dat de pe cerc 13.4. Racordarea a două cercuri 172 13.4.1. Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată 172 tangent exterior la cercurile date 13.4.2. Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată 172 tangent interior la cercurile date 13.4.3. Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată 173 tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc

13.2.1.1. Metoda paralelelor 163 13.2.1.2. Metoda bisectoarei 164 13.2.2. Racordarea a două drepte cu un arc de cerc fiind dat unul 164 din punctele de racordare 13.2.3. Racordarea a două drepte paralele cu un arc de cerc fiind 165 date punctele de racordare 13.2.4. Racordarea a două drepte perpendiculare cu un arc de cerc 166 de rază dată 13.2.5. Racordarea a două drepte paralele prin două arce de cerc 167 fiind date punctele de racordare 13.2.6. Racordarea a două perechi de drepte paralele egal depărtate 167 între ele prin două arce de cerc fiind date punctele de racordare 13.3. Racordarea unei drepte cu un cerc dat 168 13.3.1. Racordarea unei drepte cu un cerc de rază dată 168 13.3.2. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctul de 169 racordare de pe dreaptă 13.3.3. Racordarea unei drepte cu un cerc fiind dat punctual de 169 racordare de pe cerc 13.3.4. Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc 170 tangent exterior într-un punct dat de pe cerc 13.3.5. Racordarea unei drepte cu un cerc printr-un arc de cerc 171 tangent interior într-un punct dat de pe cerc 13.4. Racordarea a două cercuri 172 13.4.1. Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată 172 tangent exterior la cercurile date 13.4.2. Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată 172 tangent interior la cercurile date 13.4.3. Racordarea a două cercuri cu un arc de cerc de rază dată 173 tangent interior la unul úi exterior la celălalt cerc

Cap.14 Curbe 14.1. Curbe plane 14.1.1. Curbe definite prin arce de cerc 14.1.1.1. ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică 14.1.1.2. ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare 14.1.1.3. ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele 14.1.1.4. ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului 14.1.2. Spirale 14.1.2.1. Spirale definite prin arce de cerc 14.1.2.1.1. ConstrucĠia spiralei cu două centre 14.1.2.1.2. ConstrucĠia spiralei cu trei centre

Cap.14 Curbe 14.1. Curbe plane 14.1.1. Curbe definite prin arce de cerc 14.1.1.1. ConstrucĠia ovoidului când se cunoaúte axa mică 14.1.1.2. ConstrucĠia ovalului când se cunoaúte axa mare 14.1.1.3. ConstrucĠia ovalului când se cunosc axele 14.1.1.4. ConstrucĠia ovalului prin metoda dreptunghiului 14.1.2. Spirale 14.1.2.1. Spirale definite prin arce de cerc 14.1.2.1.1. ConstrucĠia spiralei cu două centre 14.1.2.1.2. ConstrucĠia spiralei cu trei centre

203

174 174 174 175 176 177 177 177 178 178

203

174 174 174 175 176 177 177 177 178 178

14.1.2.1.3. ConstrucĠia spiralei cu patru centere 14.1.2.2. Spirale definite ca rotaĠii 14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte pasul spiralei 14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte distanĠa asimptotei faĠă de originea coordonatelor 14.1.3. Curbe conice 14.1.3.1. Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele 14.1.3.2. Parabola 14.1.3.2.1. ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A, axa AX úi un punct M 14.1.3.2.2. ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea úi focarul 14.1.3.3. Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri 14.1.4. Curbe ciclice 14.1.4.1. ConstrucĠia evolventei 14.1.4.2. ConstrucĠia cicloidei 14.1.4.3. ConstrucĠia epicicloidei 14.1.4.4. ConstrucĠia hipocicloidei 14.2. Curbe în spaĠiu. Elicea 14.2.1. ConstrucĠia elicei cilindrice 14.2.2. ConstrucĠia elicei conice

189 189 190 191 193 193 194 195

14.1.2.1.3. ConstrucĠia spiralei cu patru centere 14.1.2.2. Spirale definite ca rotaĠii 14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei lui Arhimede când se cunoaúte pasul spiralei 14.1.2.2.1. ConstrucĠia spiralei hiperbolice când se cunoaúte distanĠa asimptotei faĠă de originea coordonatelor 14.1.3. Curbe conice 14.1.3.1. Elipsa. ConstrucĠia elipsei când se cunosc axele 14.1.3.2. Parabola 14.1.3.2.1. ConstrucĠia parabolei când se cunosc vârful A, axa AX úi un punct M 14.1.3.2.2. ConstrucĠia parabolei când se cunosc directoarea úi focarul 14.1.3.3. Hiperbola. ConstrucĠia hiperbolei când se cunosc distanĠele dintre focare úi dintre vârfuri 14.1.4. Curbe ciclice 14.1.4.1. ConstrucĠia evolventei 14.1.4.2. ConstrucĠia cicloidei 14.1.4.3. ConstrucĠia epicicloidei 14.1.4.4. ConstrucĠia hipocicloidei 14.2. Curbe în spaĠiu. Elicea 14.2.1. ConstrucĠia elicei cilindrice 14.2.2. ConstrucĠia elicei conice

Bibliografie

196

Bibliografie

196

Cuprins

198

Cuprins

198

204

179 180 180 181 182 182 184 185 186 187

204

179 180 180 181 182 182 184 185 186 187 189 189 190 191 193 193 194 195

Related Documents

Geometrie Descriptiva
December 2019 10
Geometrie
April 2020 6
Geometrie
May 2020 11
Geometrie
May 2020 5
Geometrie
May 2020 6
Geometrie
May 2020 7

More Documents from ""

May 2020 7
May 2020 2
May 2020 10