Fuzzy Set Part 3

Dhyah Anita Kurnia Dewi Matematika NR’06 (06305144010)

OPERASI PADA HIMPUNAN SAMAR

A. Macam-Macam Operasi Operasi khusus pada komplemen, perpotongan, dan gabungan samar yang telah dibahas pada bab sebelumnya yang disebut dengan standar operasi samar : (3.1) (3.2) (3.3) Untuk semua x Є X.

B. Komplemen Samar Misal A adalah himpunan samar pada X, didefinisikan A(x) yang diartikan termasuk derajad x ke A. Kompleman samar di notasikan cA, misalkan cA didefinisikan oleh sebuah fungsi Dimana nilai c(A(x)) untuk setiap masing masing batas keanggotaan A(x) pada setiap himpunan bagian A yang diberikan. Nilai c(A(x)) menjelaskan nilai pada cA(x). sehingga, c(A(x)) = cA(x) untuk semua x Є X. Aksioma c1. c(0) = 1 dan c(1) = 0 (Syarat Batas)

(3.4)

Aksioma c2. Untuk semua a, b Є [0,1], jika a ≤ b, maka c(a) ≥ c(b) (Sifat Kemonotonan) Aksioma c3. c fungsi kontinu Aksioma c4. c involutive, yang mana c(c(a)) = a untuk setiap a Є [0, 1]. Aksioma c1 dan c2 disebut kerangka dari complemen samar. Ditegaskan lagi dengan menggunkan teorema.

Teorema 3.1 Misalkan c : [0, 1] → [0, 1] memenuhi aksioma c2 dan c4. Maka, c selalau memenuhi aksioma-aksioma c1 dan c3. Terlebih c adalah fungsi bijektif. Bukti : i)

Daerah pada c [0, 1], c (0) ≤ 1 dan c (1) ≥ 0. Oleh aksioma c2 c(c(0)) ≥ c(1); dan oleh aksioma c4, 0 = c(c(0)) ≥ c(1). Oleh karena itu c (1) = 0, lajutkan aksioma c4, didapat c (0) = c (c (1)) = 1. Sehingga, fungsi c memenuhi aksioma c1.

ii)

Tujukkan c adalah fungsi bijektif, untuk semua a Є [0, 1] terdapat b = c (a) Є [0, 1] sedemikian sehingga c (b) = c (a2); oleh aksioma c4, maka karena c adalah fungsi satu-satu; maka c adalah fungsi bijektif.

c bijektif dan memenuhi aksioma c2, c bukan nilai yang kontinu. Asumsikan c tidak kontinu pada a0, maka didapat

Jelas,

terdapat b1 Є [0, 1] sehingga b0 > b1 > c (a0), tidak untuk a1 Є [0, 1] sehingga terdapat c(a1) = b1. Hal ini kondiksi maka c adalah fungsi

bijektif. Kelas Sugeno merupakan kelas pertama pada compleman samar infolutif, didefinisikan oleh (3.5) Dimana λ Є (-1, ∞). Pada contoh kelas lainnya, kompleman samar infolutif, didefinisikan oleh (3.6)

Teorema 3.2. Setiap kompleman samar seimbang hanya pada 1. Bukti: Misalkan c adalah complemen samar. c adalah persamaan solusi yang seimbang dimana a Є [0, 1]. Tunjukkan setiap persamaan c(a) – a = b, dimana b adalah rill konstan, hanya terdapat satu solusi. Asumsikan a1 dan a2 adalah dua solusi yang berbeda dari persamaan c(a) – a = b,karena a1 < a2. Maka c(a1) – a1 = b dan c(a2) – a2 = b, diperoleh c(a1) – a1 = c(a2) – a2

(3.7)

oleh karena itu, karena c monoton tetap (menrut aksioma c2), c(a1) ≥ c(a2) dan, karena a1 < a2. c(a1) – a1 > c(a2) – a2, kontradiski dengan (3.7), menunjukkan bahwa hanya ada satu solusi.

Teorema 3.3

Diberikan c adalah komplemen samar yang setimbang ec, maka dan Bukti: Misal, asumsikan a < ec, a = ec, dan a > ec, maka, e monoton tetap oleh aksioma c2, c(a) ≥ c(ec) untuk a < ec, c(a) = c(ec) untuk a = ec, dan c(a) ≤ c(ec) untuk a > ec. karena c(ec) = ec, dapat ditulis c(a) ≥ ec, c(a) = ec,dan c(a) ≤ ec, berturut-turut. Selanjutnya c(a) > a, c (a) < a, berturut-turut. Maka a ≤ ec menyatakan c(a) ≥ a dan a ≥ ec, menyatakan c(a) ≤ a. menyatakan jenis invers yang sama. Teorema 3.4 Jika e kompleman samar yang kontinu, maka c adalah kesetimbangan tunggal. Bukti : Kesetimbangan ec pada komplemen samar c adalah solusi dari persamaan c(a) – a = 0. Hukum kekhususan pada persamaan umum c(a) – a = b, dimana b Є [-1, 1] konstan. Menurut aksioma c1, c(0) – 0 = 1 dan c(1) – 1 = -1. c komplemen kontinu, dari teorema nilai perantara untuk fungsi-fungsi kontinu untuk setiap b Є [-1, 1], paling sedikit terdapat a sehingga c(a) – a = b. Kesetimbangan untuk setiap masing-masing compleman samar c2 pada sugeno class dihasilkan dari

Dengan jelas didapatkan solusi positif dari persamaan Diberikan c kompleman samar dan memiliki nilai keanggotaan bilangan rill a Є [0, 1], maka

terdapat nilai keanggotaan yang dihasikan dari bilangan rill 4a Є [0, 1] sedemikian sehingga (3.8) Disebut Nilai Rangkap pada a ke c. Teorema 3.5 Jika kompleman c setimbang ec, maka Bukti: Jika a = ec, maka pad kesetimbangan di definisikan, c(a) = a dan a – c(a) = 0. tambahan, jika da = ec, maka c(da) = da dan c(da) – da = 0. Karena itu c(da) – da = a – c(a) hal ini memenuhi (3.8) ketika a = da = ec.oleh karena itu, kesetimbangan pada setiap kompleman masing-masing mempunyai nilai rangkap. Teorema 3.6 Untuk setiap a Є [0, 1]. da = c(a) jika hanya jika c(c(a)) = a, karena, ketika kompleman adalah infolutif. Bukti: Misalkan da = c(a), maka. Subtitusikan c(a) pada 4a di (3.8) menghasilkan c(c(a)) – c(a) = a – c(a). Karena itu, c(c(a)) = a, untuk implikasi sebaliknya, misal c(c(a)) = a. maka subtitusikan pada c(c(a)) pada a di (3.8) menghasilkan persamaan fungsi

c(4a) – 4a = c(c(a)) – c(a). Solusi 4a adalah 4a = c(a).

Teorema 3.7 (Sifat Pertama Pada Compleman Samar) c merupakan fungsi dari [0, 1] ke [0, 1]. Maka, c adalah komplemen samar jika hanya jika terdapat fungsi kontinu g untuk [0, 1] ke Rill sedemikian sehingga g(0) = 0, g naik, dan

c (a) = g-1 (g(1) – g(a))

(3.9)

untuk semua a Є [0, 1]

Fungsi g pada teorema 3.7 disebut increasing generators. Ukuran generator naik komplemen samar, adalah g(a) = a. untuk sugeno class pada komplemen samar, generatornya naik adalah (3.10) Untuk λ > -1. Untuk λ = 0; karena, ukuran kompleman samar dapat dihasilkan dari limit. Untuk Yager class, genaratonya naik adalah (3.11) Untuk w > 0. Kelas pada generator naik dengan dua parameter Untuk λ > -1 dan w > 0, diperoleh

(3.12) Sugeno class (untuk w = 1) sama halnya dengan Yager Class (untuk λ = 0) pada bagian kelas khusus. (3.13)

Yang menghasilakan kelas pada komplemen samar

(3.14) Menujukkan nilai γ untuk cγ. Teorema 3.8 (Sifat Kedua Pada Komplemen Samar) Missal c fungsi dari [0, 1] ke [0, 1]. Maka c adalah kompleman samar jika hanya jika terdapat fungsi kontinu dari [0, 1] ke R sedemikian sehingga f(1) =0, f pengurang dan (3.15) Untuk semua a Є [0, 1].

C. Perpotongan Samar : t-Norms Diberikan elemen x pada himpunan semasta, menyatakan bahwa berpasangan konsisten pada tingkat elemen keanggotaan himpunan A dan B, dan menghasilkan perpotongan untuk elemen himpunan keanggotaan pembentuk pada A dan B. (3.16) Untuk semua x Є X Perpotongan samar t-norm i adalah operasi biner pada unit interval yang memenuhi paling sedikit, menurut aksioma utnuk semua a, b, d Є [0, 1]: Aksioma i1. i(a, 1) = a (Syarat Batas) Aksioma i2

b ≤ d = i (b, a) ≤ i (a, d) (Sifat Kemonotonan)

Aksioma i3. i (a,b) = I (b, a) (Komutatif) Aksioma i4. i (a, i(b, d)) = i (i (a, b), d) (Asosiatif) Aksioma i5. i fungsi kontinu (Kontinu) Aksioma i6. i (a, a) < a (Kesamaan) Aksioma i7. a1 < a2 dan b1 < b2 menyatakan i (a1, b1) < i (a2, b2) (Kemonotonan).

Teorema 3.9. Ukuran perpotongan samar hanya sama t-norm. Bukti: Dengan jelas, min (a, a) = a untuk semua a Є [0, 1]. Asumsikan terdapat tnomr sedemikian sehingga i(a, a) = a untuk semua a Є [0, 1]. untuk setiap a, b Є [0, 1], jika a ≤ b. Maka, a = i (a, a) ≤ i (a, b) ≤ i (a, 1) = a karena sifat kemonotonan dan sifat batas, oleh karena itu, i (a, b) = a = min (a, b). dengan cara yang sama, jika a ≥ b, maka b = i (b, b) ≤ i (a, b) ≤ i (1, b) = b dan, sebagai akibatnya, i (a, b) = b = min (a, b). oleh karena itu, i (a, b) = min (a, b) untuk semua a, b Є [0, 1]. Teorema 3.10. Untuk semua a, b Є [0, 1]. (3.17) Untuk imin melambangkan perpotongan minimal.

Bukti : Batar atas. Dari kondisi batas dan kemonotonan,

komutatif

dengan Sehingga i (a,b) ≤ a dan i (a, b) ≤ b; berarti i (a,b) ≤ min (a,b). Batas Bawah. Dari kodisi batas, i (a,b) = a ketika b = 1, dan i (a,b) = b ketika a = 1. Karena i(a,b) ≤ min (a,b) dan i(a,b) Є [0, 1], dengan jelas

Sifat kemonotonan,

. Sehingga,perpotongan

imin (a, b) merupakan batas bawah pada i (a,b) untuk setiap a, b Є [0, 1].

Lemma 3.1

f generator turun, maka fungsi g didefinisikan oleh Untuk setiap a Є [0,1] adalah sebuah generator naik dengan g (1) = f(0), dan pseudo-invers untuk g-1 adalah

, untuk setiap a Є

R. Lemma 3.2.

g generator naik. Maka fungsi f didefinisikan oleh Untuk setiap a Є [0, 1] adalah fungsi turun dengan f(0) = g(1) dan pseudoinverse untuk f-1 adalah Teorema 3.11 (Teorema Karakter pada t-Norms)

untuk semua a Є R.

i operasi biner pada setiap interval. Maka, i adalah sebuah Archimedean t-norm jika hanya jika terdapat generator turun f sedemikian sehingga

(3.18) Untuk semua a, b Є [0, 1]. 1. [Schweizer and Sklar 1963] : Generator turun dengan parameter p dan didefinisikan

Maka,

Sesuai dengan kelas t-norm pada (3.18):

2. [Yager, 1980]: Kelompok pada generator turun

Diperoleh,

Dan

3. [Frank 1979]; Kelompok dasar pada t-norm dari kelompok generato turun

Dari pseudo-invers diperoleh

Menggunakan (3.18) diperoleh

Menguji salah satu dari tiga kelas yang dikenalkan pada t-norm, yaitu Yarge class

(3.19) Teorema 3.12. Misalkan kelompok pada Yarge t-norm dinosikan iw menurut (3.19). maka

. Untuk semua a, b Є [0, 1]. Bukti: Batas Bawah. iw (1, b) = b dan iw (a, 1) = a indefenden pada w. dapat ditunjukkan Sehingga, [0, 1). Batas Atas. Dari pembuktian teorema 3.17, diketahui

i∞ (a, b) = 1 – max [1 - a, 1 - b] = min (a,b), Terbukti.

Teorema 3.13.

, untuk semua a,b Є

Misalkan i adalah t-norm dan g : [0, 1] →[0, 1] merupakan suatu fungsi naik dan kontinu di (0, 1) dan g(0) = 0, g(1) = 1. Maka, fungsi igdidefinisikan oleh

(3.20) Untuk semua a, b Є [0, 1], dimana pseudo-inver pada g dinotasikan g-1, begitu juga pada t-norm.

D. Gabungan Samar : t-Conorms Gabungan samar t-conorm u adalah operasi biner pada unit interval terkecil, menurut aksioma untuk semua a, b, d Є [0, 1]: Aksioma u1. u (a, 0) = a (syarat batas) Aksioma u2. b ≤ d implikasi u (a, b) ≤ u (a, d) (monoton) Aksioma u3. u (a, b) = u (b, a) (komutatif) Aksioma u4. u (a, u(b, d) = u (u (a, b), d) (assosiatif) Aksioma u5. u adalah fungsi kontinu (sifat kekontinuan) Aksioma u6. u (a, a) > a (Kesamaan) Aksioma u7.

a1 < a2 dan b1 < b2 menunjukkan u(a1, b1) < u(a2, b2) (stirct monotonicity)

Teorema 3.14.

Ukuran gabungan samar hanya idempoten t-conorm. Teorema 3.15. Untuk semua a, b Є [0, 1] max (a, b) ≤ u (a, b) ≤ umax (a, b)

(3.22)

Teorema 3.16. (Teorema Karatristik t-conorm) Misalkan u operasi bilangan biner pada unit interval. Maka u sebuah archimedean t-conorm jika dan hanya jika terdapat generator naik sehingga u (a, b) = g(-1)(g(a) + g(b))

(3.23)

untuk semua a, b Є [0, 1] Teorema 3.17. Misalkan kelas pada Yarge t-conorm dilambangkan dengan uw, menurut (3.24). maka

,untuk semua a, b Є [0, 1].

Bukti: Batas Bawah. Akan dibuktikan (3.25) Dimana pada bagian (1) a atau b sama dengan 0, atau (2) a=b, karena limit pada 21/w dengan w → ∞ sama dengan 1, jika a ≠ b dan (aw + bw)1/w adalah minimal, dengan menggunakan penuurnan maka Dengan mengasumsikan, tidak ada penurunan pada awalnya, maka a < b, dan misalkan Q = (aw + bw)1/w. maka

Sehingga, Menunjukkan (3.25) ketika minimalnya adalah 1. atau Untuk semua w Є (0, ∞). Ketika w → ∞, ketidaksamaan jika a = 1 atau b = 1 (ketika a, b Є [0, 1]). Batas atas. Untuk u(0,b) = b dan u(a,0) = a bebas terhadap w, sehingga sehingga

, untuk semua a,b Є [0,1].

Teorema 3.18 Misalkan u adalah t-conorm dan g : [0,1]→ [0,1] sehingga g adalah fungsi naik dan kontinu di [0,1] dan g(0)=0, g(1)=1. Maka fungsi ug didefinisikan ,untuk semua a,b Є [0,1].

E. Operasi-operasi Kombinasi Dikatakan bahwa t-norm i dan t-conorm u adalah dual with respect pada komplemen samar c jika dan hanya jika (3.27) dan

(3.28) Teorema 3.19 {min,max,c} dan {imin, umax, c}adalah kesamaan untuk setiap komplemen samar c. Bukti : Asumsikan, tanpa memandang pada pembangkitnya, a ≤ b.maka c(a) ≥ c(b) untuk setiap kompleman samar, oleh karena itu,

Teorema 3.20. t-norm i dan komplemen samar c, u operasi biner pada [0,1] didefinisikan oleh

(3.29) Untuk semua a,b Є [0,1] adalah t- conorm sedemikian sehingga i,u,c sama.

Teorema 3.21 Diberikan t-conorm u dan komplemen samar c, i adalah operasi biner pada [0,1] didefinisikan oleh

(3.30) Untuk semua a,b Є [0,1] adalah t- norm sedemikian sehingga (i,u,c).

Teorema 3.22 C adalah kompleman samar dan g generator naik pada c, t-norm dan t-conorm pembangkit oleh g dengan kesamaan pada c. Teorema 3.23 Misalkan (i,u.c) adalah tiga pembangkit yang sama menurut teorema 3.22, maka i,u,c operasi samar menurut hukum middle dan hukum kontradiksi. Teorema 3.24 (i,u,c) sama menurut Hukum middle dan hukum kontradiksi, sehingga (i,u,c) bukan termasuk hukum distribusif.

F. Operasi Campuran

Aksioma h1. Aksioma h2.

Untuk setiap pasang (a1, a2,…., an) dan (b1, b2,…., bn) pada n-tupel sedemikian sehingga ai, bi Є [0,1] untuk semua i Є Nn, jika ai ≤ bi untuk semua i Є Nn, maka

h

monoton naik pada semua pernyataan tersebut.

Aksioma h3. h adalah fungsi kontinu Aksioma h4.

h fungsi simetrik;

untuk

setiap permutasi p pada Nn.

Aksioma h5.

h fungsi independent, sehingga

, untuk semua a Є

[0,1].

Teorema 3.25 H: [0,1]n→R+ yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h2, dan sifat (3.33) untuk ai,bi, ai + bi Є [0,1] untuk semua i Є Nn. maka, (3.34) Untuk wi > 0 untuk semua i Є Nn.

Teorema 3.26 h: [0,1]n→[0,1] yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat (3.35) (3.36) untuk

untuk semua i Є Nn. maka (3.37) untuk wi Є [0,1] untuk semua i Є Nn.

Teorema 3.27 h: [0,1]n→[0,1] yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat (3.38) (3.39) Untuk semua i Є Nn, dimana

maka, terdapat

bilangan α1, α2, ..., αn Є [0, 1], sedemikian sehingga

Teorema 3.28 Operasi norm h adalah kontinu dan idempotent maka terdapat λ sedemikian sehingga

Untuk setiap a,b Є [0,1]

Є [0,1]