Teory Himpunan Samar Part 3

Resume

===== OPERASI PADA HIMPUNAN SAMAR ===== Epri Kuriawan (06305144031)

3.1 Macam-Macam Operasi Ingat Operasi-operasi khusus pada komplemen, perpotongan, dan gabungan samar:
   



    
  
     
 

(3.1) (3.2) (3.3)

Untuk semua x Є X. operasi-operasi tersebut disebut dengan standar operasi samar.

3.2 Komplemen Samar Misalkan A himpunan samar pada X, didefinisikan oleh, A(x) diartikan termasuk derajad x ke A. Kompleman samar di notasikan cA, artinya A merupakan komlemen samar pada tipe c. misalkan cA sebuah komplemen yang didefinisikan oleh sebuah fungsi         

Yang mana nilai c(A(x)) untuk setiap masing masing batas keanggotaan A(x) pada setiap Himpunan bagian A yang diberikan. Nilai c(A(x)) menjelaskan nilai pada cA(x). sehingga, c(A(x)) = cA(x) untuk semua x Є X. Aksioma c1. c(0) = 1 dan c(1) = 0 (Syarat Batas)

(3.4)

Aksioma c2. Untuk semua a, b Є [0,1], jika a ≤ b, maka c(a) ≥ c(b) (Sifat Kemonotonan) Aksioma c1 dan c2 disebut kerangka dari complemen samar. Aksioma c3. c fungsi kontinu Aksioma c4. c involutive, yang mana c(c(a)) = a untuk setiap a Є [0, 1]. Keempat aksioma tersebut ditegaskan lagi dengan menggunkan teorema. Teorema 3.1 Misalkan c : [0, 1] → [0, 1] memenuhi aksioma c2 dan c4. Maka, c selalau memenuhi aksioma-aksioma c1 dan c3. Terlebih c adalah fungsi bijektif. Bukti : (i)

Daerah pada c [0, 1], c (0) ≤ 1 dan c (1) ≥ 0. Oleh aksioma c2 c(c(0)) ≥ c(1); dan oleh aksioma c4, 0 = c(c(0)) ≥ c(1). Oleh karena itu c (1) = 0, lajutkan aksioma c4, didapat c (0) = c (c (1)) = 1. Sehingga, fungsi c memenuhi aksioma c1.

(ii)

Tujukkan c adalah fungsi bijektif, untuk semua a Є [0, 1] terdapat b = c (a) Є [0, 1] sedemikian sehingga c (b) = c (a2); oleh aksioma c4, maka           

karena, c adalah fungsi satu-satu; maka c adalah fungsi bijektif.

(iii)

c bijektif dan memenuhi aksioma c2, c bukan nilai yang kontinu. Asumsikan c tidak         

kontinu pada a0, maka didapat 

Jealas, terdapat b1 Є [0, 1] sehingga b0 > b1 > c (a0), tidak untuk a1 Є [0, 1] sehingga terdapat c(a1) = b1. Hal ini kondiksi maka c adalah fungsi bijektif. Kelas Sugeno adalah Kelas pertama pada compleman samar infolutif, didefinisikan oleh      

(3.5)

Dimana λ Є (-1, ∞). Pada contoh kelas lainnya, kompleman samar infolutif, didefinisikan oleh         

(3.6)

Teorema 3.2. Setiap kompleman samar seimbang hanya pada 1. Bukti: Misalkan c adalah complemen samar. c adalah persamaan solusi yang seimbang     

Dimana a Є [0, 1]. Tunjukkan setiap persamaan c(a) – a = b, dimana b adalah rill konstan, hanya terdapat satu solusi. Asumsikan a1 dan a2 adalah dua solusi yang berbeda dari persamaan c(a) – a = b,karena a1 < a2. Maka c(a1) – a1 = b dan c(a2) – a2 = b, diperoleh c(a1) – a1 = c(a2) – a2

(3.7)

oleh karena itu, karena c monoton tetap (menrut aksioma c2), c(a1) ≥ c(a2) dan, karena a1 < a2 c(a1) – a1 > c(a2) – a2 kontradiski dengan (3.7), menunjukkan bahwa hanya ada satu solusi.

Teorema 3.3 Asuumsi diberikan c adalah komplemen samar yang setimbang ec, maka  ! "#$%&%'(%"#$% !  ) 

dan

Bukti:

 * "#$%&%'(%"#$% *  ) 

Misal, asumsikan a < ec, a = ec, dan a > ec, maka, e monoton tetap oleh aksioma c2, c(a) ≥ c(ec) untuk a < ec, c(a) = c(ec) untuk a = ec, dan c(a) ≤ c(ec) untuk a > ec. karena c(ec) = ec, dapat ditulis c(a) ≥ ec, c(a) = ec,dan c(a) ≤ ec, berturut-turut. Selanjutnya c(a) > a, c (a) < a, berturut-turut. Maka a ≤ ec menyatakan c(a) ≥ a dan a ≥ ec, menyatakan c(a) ≤ a. menyatakan jenis invers yang sama. Teorema 3.4 Jika e compleman samar yang kontinu, maka c adalah kesetimbangan unik. Bukti : Kesetimbangan ec pada komplemen samar c adalah solusi dari persamaan c(a) – a = 0. Hokum kekhususan pada persamaan umum c(a) – a = b, dimana b Є [-1, 1] konstan. Menurut aksioma c1, c(0) – 0 = 1 dan c(1) – 1 = -1. c komplemen kontinu, dari teorema nilai perantara untuk fungsi-fungsi kontinu untuk setiap b Є [-1, 1], paling sedikit terdapat a sehingga c(a) – a = b. Kesetimbangan untuk setiap masing-masing compleman samar c2 pada sugeno class dihasilkan dari 

  , -,./ 0  )    +  , -,./   

1

Dengan jelas didapatkan solusi positif dari persamaan

  )  )    ) Diberikan c kompleman samar dan memiliki nilai keanggotaan bilangan rill a Є [0, 1], maka terdapat nilai keanggotaan yang dihasikan dari bilangan rill 4a Є [0, 1] sedemikian sehingga  2     

(3.8)

Disebut sebagai Nilai Rangkap pada a ke c. Teorema 3.5 Jika kompleman c setimbang ec, maka 3)



  )

Bukti: Jika a = ec, maka pad kesetimbangan di definisikan, c(a) = a dan a – c(a) = 0. tambahan, jika da = ec, maka c(da) = da dan c(da) – da = 0. Karena itu c(da) – da = a – c(a) hal ini memenuhi (3.8) ketika a = da = ec.oleh karena itu, kesetimbangan pada setiap kompleman masing-masing mempunyai nilai rangkap. Teorema 3.6 Untuk setiap a Є [0, 1]. da = c(a) jika hanya jika c(c(a)) = a, karena, ketika kompleman adalah infolutif. Bukti: Misalkan da = c(a), maka. Subtitusikan c(a) pada 4a di (3.8) menghasilkan c(c(a)) – c(a) = a – c(a). karena itu, c(c(a)) = a, untuk implikasi sebaliknya, misal c(c(a)) = a. maka subtitusikan pada c(c(a)) pada a di (3.8) menghasilkan persamaan fungsi

c(4a) – 4a = c(c(a)) – c(a). Solusi 4a adalah 4a = c(a). Teorema 3.7 (Sifat Pertama Pada Compleman Samar) c merupakan fungsi dari [0, 1] ke [0, 1]. Maka, c adalah komplemen samar jika hanya jika terdapat fungsi kontinu g untuk [0, 1] ke Rill sedemikian sehingga g(0) = 0, g naik, dan c (a) = g-1 (g(1) – g(a))

(3.9)

untuk semua a Є [0, 1] fungsi g pada teorema 3.7 disebut increasing generators. setiap fungsi g yang terbatas mempuyai determinan komplemen samar increasing generator oleh (3.9). Ukuran generator naik komplemen samar, adalah g(a) = a. untuk sugeno class pada komplemen samar, generatornya naik adalah 4/    /    / 

(3.10)

  4 5  

Untuk λ > -1. Catatan /

Untuk λ = 0; karena, ukuran kompleman samar dapat dihasilkan dari limit. Untuk Yager 4    

class, genaratonya naik adalah (3.11)

Untuk w > 0.

 4/6       7   Untuk λ > -1 dan w > 0, diperoleh

Kelas pada generator naik dengan dua parameter

: 7

7    879 7

   7  

(3.12)

Sugeno class (untuk w = 1) sama halnya dengan Yager Class (untuk λ = 0) pada bagian kelas khusus. Satu contoh, dengan memperhaikan kelas-kelas pada generator naik

4;    <<  <   

(3.13)

Yang menghasilakan kelas pada komplemen samar <    <=  <   < 

(3.14)

Menujukkan nilai γ untuk cγ. Teorema 3.8 (Sifat Kedua Pada Komplemen Samar) Missal c fungsi dari [0, 1] ke [0, 1]. Maka c adalah kompleman samar jika hanya jika terdapat fungsi kontinu dari [0, 1] ke R sedemikian sehingga f(1) =0, f pengurang dan

   >? >  >

(3.15)

Untuk semua a Є [0, 1]. Bukti: Menurut teorema 3.7, fungsi c adalah kompleman samar jika hanya jika terdapat generator naik g sedemikian sehingga c(a) = g-1(g(1) - a). Misalkan f(a) = g(1) – g(a). Maka, f(1) = 0 dan, karena g naik, f turun. Selain itu, > 

Karena

  4 ? 4  

  4 ? >  

>  4  4  4

 >>?   4  4 8>? 9

 4  4 84 ? 4  9  

Dan > >

   4 4  >

 4 84  4  49

  4 ? 4 

Sekarang,

   4 ? 4  4  >? 4

  >? @4  84  49A

 >? >  >B

Jika diberikan f generator turun, maka dapat didefinisikan g adalah genarator naik

Maka, (3.15) dapat ditulis

4  >  >B

C   >? >  >   4 ? 4  4

Oleh karena itu, definisi c pada (3.15) adalah sebuah kompleman samar.

3.3 Perpotongan Samar : t-Norms Perpotongan pada dua himpunan samar A dan B umum terjadi pada operasi biner pada kelompok interval;

Diberikan elemen x pada himpunan semasta, menyatakan bahwa berpasangan konsisten pada tingkat elemen keanggotaan himpunan A dan B, dan menghasilkan perpotongan tingkat elemen himpunan keanggotaan pembentuk pada A dan B. ini, 
  D
 

(3.16)

Untuk semua x Є X

Sebuah perpotongan samar/t-norm i adalah operasi biner pada unit interval yang memenuhi paling sedikit, menurut aksioma utnuk semua a, b, d Є [0, 1]: Aksioma i1. i(a, 1) = a (Syarat Batas) Aksioma i2 b ≤ d = i (b, a) ≤ i (a, d) (Sifat Kemonotonan) Aksioma i3. i (a,b) = I (b, a) (Komutatif) Aksioma i4. i (a, i(b, d)) = i (i (a, b), d) (Asosiatif) Sebut keempat aksioma tersebut adalah kerangka aksioma dari perpotongan samar/ t-norms. Ingat hal-hal yang membatasi kelompok pada perpotongan samar (t-norms). Tiga aksioma yang perlu di ingat: Aksioma i5. i fungsi kontinu (Kontinu) Aksioma i6. i (a, a) < a (Kesamaan)

Aksioma i7. a1 < a2 dan b1 < b2 menyatakan i (a1, b1) < i (a2, b2) (Kemonotonan. Teorema 3.9. Ukuran perpotongan samar hanya sama t-norm. Bukti: Dengan jelas, min (a, a) = a untuk semua a Є [0, 1]. Asumsikan terdapat t-nomr sedemikian sehingga i(a, a) = a untuk semua a Є [0, 1]. untuk setiap a, b Є [0, 1], jika a ≤ b. Maka, a = i (a, a) ≤ i (a, b) ≤ i (a, 1) = a karena sifat kemonotonan dan sifat batas, oleh karena itu, i (a, b) = a = min (a, b). dengan cara yang sama, jika a ≥ b, maka b = i (b, b) ≤ i (a, b) ≤ i (1, b) = b dan, sebagai akibatnya, i (a, b) = b = min (a, b). oleh karena itu, i (a, b) = min (a, b) untuk semua a, b Є [0, 1]. Teorema 3.10. Untuk semua a, b Є [0, 1].

D   ! D  !   

Dimana imin melambangkan perpotongan minimal. Bukti : Batar atas. Dari kondisi batas dan kemonotonan, D  ! D   

Dan, komutatif dengan

D   D  ! D   

(3.17)

Oleh karena itu, i (a,b) ≤ a dan i (a, b) ≤ b; berarti i (a,b) ≤ min (a,b). Batas Bawah. Dari kodisi batas, i (a,b) = a ketika b = 1, dan i (a,b) = b ketika a = 1. Karena i(a,b) ≤ min (a,b) dan i(a,b) Є [0, 1], dengan jelas D   D    Sifat kemonotonan, D  * D   D    Oleh karena itu, perpotongan imin (a, b) merupakan batas bawah pada i (a,b) untuk setiap a, b Є [0, 1]. Lemma 3.1 f generator turun. Maka fungsi g didefinisikan oleh 4  >  > Untuk setiap a Є [0,1] adalah sebuah generator naik dengan g (1) = f(0), dan pseudoinvers untuk g-1 adalah   4   >  >  

Untuk setiap a Є R. Lemma 3.2. g generator naik. Maka fungsi f didefinisikan oleh >  4  4 Untuk setiap a Є [0, 1] adalah fungsi turun dengan f(0) = g(1) dan pseudo-inverse untuk f-1 adalah >   4 4  

Untuk semua a Є R. Teorema 3.11 (teorema karakter pada t-Norms) i operasi biner pada setiap intval. Maka, i adalah sebuah Archimedean t-norm jika hanya jika terdapat generator turun f sedemikian sehingga D    >? >  >

(3.18)

Untuk semua a, b Є [0, 1]. 1. [Schweizer and Sklar 1963] : >E     E E 0 

Kelompok pada generator turun dikelas sebgai parameter p dan didefinisikan

Maka

>E



.H- .5IJ∞  F   G  FKE .H- .5FL 1 .H- .5FL ∞

Sama dengan kelas pada t-norm yang digunakan (3.18): DE    >E @>E   >E A 

  >E

M 2. [Yager, 1980]:



?

  E  E 

E  E  KE N)ODN   E  E L 1 , -,. 5 P5 45

  5 E   E  

>      

 B

KE

B

Diberikan kelompok pada generator turun

    FK N)ODNFL 1 >  F   M N)ODNFL ∞

Didapat

Dan

  D     >  8>   > 9

>

?




       

          K N)ODN       L 1 M QROQNRDSDTRUSDR             KV 

3. [Frank 1979];

W   W   W 0  W Dari pseudo-invers didapatkan

Kelompok dasar pada t-norm dari kelompok generato turun >W     

  >W F  X4W   W  ) B

Dengan menggunakan (3.18) didadat

DW     >W 8>W   >W 9 



W ?   >W Y 

 W   Z W  

W  W   Z  X4 W Y  W   W  

W  W   Z  X4 W Y  W

Dengan menguji salah satu dari tiga kelas yang dikenalkan pada t-norm, yaitu D               K 

Yarge class

 

(3.19)

Teorema 3.12. Misalkan kelompok pada Yarge t-norm dinosikan iw menurut (3.19). maka D   ! D   ! [DR 

Untuk semua a, b Є [0, 1]. Bukti: Batas Bawah. iw (1, b) = b dan iw (a, 1) = a indefenden pada w. dapat ditunjukkan

        K  ∞\ 

Oleh karena itu,   D     

Untuk semua a,b Є [0, 1). Batas Atas. Dari pembuktian teorema 3.17, diketahui ]#^ ^#' `a a  b_  a  c_ aK_ d  ^%ea  b a  cB

_∞

i∞ (a, b) = 1 – max [1 - a, 1 - b] = min (a,b), Terbukti. Teorema 3.13. Misalkan i adalah t-norm dan g : [0, 1] →[0, 1] merupakan suatu fungsi naik dan kontinu di (0, 1) dan g(0) = 0, g(1) = 1. Maka, fungsi igdidefinisikan oleh D4     4 8D4 49

(3.20)

Untuk semua a, b Є [0, 1], dimana pseudo-inver pada g dinotasikan g-1, begitu juga pada t-norm.

3.4 Gabungan Samar : t-Conorms Gabungan samar /t-conorm u adalah operasi biner pada unit interval terkecil, menurut aksioma untuk semua a, b, d Є [0, 1]: Aksioma u1. u (a, 0) = a (syarat batas) Aksioma u2. b ≤ d implikasi u (a, b) ≤ u (a, d) (monoton)

Aksioma u3. u (a, b) = u (b, a) (komutatif) Aksioma u4. u (a, u(b, d) = u (u (a, b), d) (assosiatif) Aksioma u5. u adalah fungsi kontinu (sifat kekontinuan) Aksioma u6. u (a, a) > a (Kesamaan) Aksioma u7. a1 < a2 dan b1 < b2 menunjukkan u(a1, b1) < u(a2, b2) (stirct monotonicity) Teorema 3.14. Ukuran gabungan samar hanya idempoten t-conorm. Teorema 3.15. Untuk semua a, b Є [0, 1] Max (a, b) ≤ u (a, b) ≤ umax (a, b)

(3.22)

Teorema 3.16. (teorema karatristik pada t-conorm) Misalkan u operasi bilangan biner pada unit interval. Maka u sebuah archimedean t-conorm jika dan hanya jika terdapat generator naik sehingga u (a, b) = g(-1)(g(a) + g(b)) untuk semua a, b Є [0, 1]

(3.23)

Teorema 3.17. Misalkan kelas pada Yarge t-conorm dilambangkan dengan uw, menurut (3.24). maka

  !  Q   !  Q[  

Untuk semua a, b Є [0, 1]. Bukti: Batas Bawah. Akan dibuktikan  

∞  f 

 

K

g  5  

(3.25)

Yang mana pada bagian (1) a atau b sama dengan 0, atau (2) a=b, karena limit pada 21/w dengan w → ∞ sama dengan 1, jika a ≠ b dan (aw + bw)1/w adalah minimal, dengan menggunakan penuurnan maka       ∞

K

 5  B

Dengan mengasumsikan, tidak ada penurunan pada kadaaan awalnya, maka a < b, dan misalkan Q = (aw + bw)1/w. maka    h     ∞

∞

∞

∞

   h        

∞

Oleh karena itu,

     B

      

 

8:9       8:9  

  h        ∞

K

  

  5 

Menunjukkan (3.25) ketika minimalnya adalah 1.

   

K

Atau

*

  *

Untuk semua w Є (0, ∞). Ketika w → ∞, ketidaksamaan jika a = 1 atau b = 1 (ketika a, b Є [0, 1]). Batas atas. Untuk u(0,b) = b dan u(a,0) = a bebas terhadap w, sehingga       ∞

K

 ∞\

Oleh karena itu,

  Q     ∞

Untuk semua a,b Є [0,1]. Teorema 3.18 Misalkan u adalah t-conorm dan g : [0,1]→ → [0,1] sehingga g adalah fungsi naik dan kontinu di [0,1] dan g(0)=0, g(1)=1. Maka fungsi ug didefinisikan Q4    4 8Q4 49 Untuk semua a,b Є [0,1].

3.5 Operasi-operasi Kombinasi Dikatakan bahwa t-norm i dan t-conorm u adalah dual with respect pada komplemen samar c jika dan hanya jika D   Q  Dan

(3.27)

Q   D 

(3.28)

Teorema 3.19 {min,max,c} dan {imin, umax, c}adalah kesamaan untuk setiap komplemen samar c. Bukti : Asumsikan, dengan tidak memandang pada pembangkitnya, a ≤ b.maka c(a) ≥ c(b) untuk setiap kompleman samar, oleh karena itu, 5       B       5 B

Teorema 3.20. t-norm i dan komplemen samar c, u operasi biner pada [0,1] didefinisikan oleh Q    8DB 9

(3.29)

Untuk semua a,b Є [0,1] adalah t- conorm sedemikian sehingga i,u,c sama. Bukti: (u1)

Untuk setiap a Є [0, 1] Q    8DB 9  DB   

(u2)



(3.29) (aksioma c1) (aksioma i1) (aksiomac4)

Untuk setiap a, b, d Є [0,1], jika b ≤ d, maka c(b) ≥ c(d). sehingga DB  * DB 3

Menurut aksioma i2. Oleh karena itu menurut (3.29), Q    8DB 9 !  8DB 39  Q 3 (u3)

Untuk setiap a, b Є [0,1], didapatkan Q    8DB 9 !  8DB 9  Q  Menurut (3.29) dan aksioma i3.

(u4)

Untuk setiap a, b, d Є [0,1], i Q3 3    @D 8 Q 39A

  jD k  @ 8D 39Alm   @D 8 D 39A

  @D 8D  39A

  jD k @ 8D 9A  3lm  QQQ  3

(3.29)

(3.29)

(Aksioma c4)

(Aksioma i4)

(Aksioma c4)

(3.29)

Dari (3.29) dan aksioma c4. Kiata dapat tunjukkan bahawa u sesuai dengan hukun De-Morgan: Q    @ 8 9A  D 

Q    @D 8 9A  D 

Oleh karena itu, i dan u dua hal yang sama ke c.

Teorema 3.21 Diberikan t-conorm u dan komplemen samar c, i adalah operasi biner pada [0,1] didefinisikan oleh D    8Q 9

(3.30)

Untuk semua a,b Є [0,1] adalah t- norm sedemikian sehingga (i,u,c). Teorema 3.22 C adalah kompleman samar dan g generator naik pada c, t-norm dan tconorm pembangkit oleh g dengan kesamaan pada c. Teorema 3.23 Misalkan (i,u.c) adalah tiga pembangkit yang sama menurut teorema 3.22, maka i,u,c operasi samar menurut hukum middle dan hukum kontradiksi. Teorema 3.24 (i,u,c) sama menurut Hukum middle dan hukum kontradiksi, sehingga (i,u,c) bukan termasuk hukum distribusif.

3.6 Operasi Campuran Aksioma h1.

Aksioma h2.

n  o    p5 n  o    WTqOOW

Untuk setiap pasang (a1, a2,…., an) dan (b1, b2,…., bn) pada n-tupel sedemikian rbs  bt  o  bu  ! rcs  ct  o  cu \

sehingga ai, bi Є [0,1] untuk semua i Є Nn, jika ai ≤ bi untuk semua i Є Nn, maka

h monoton naik pada semua pernyataan tersebut.

Aksioma h3. h adalah fungsi kontinu

Aksioma h4. n    o  R   nE  E  o  ER 

h fungsi simetrik;

untuk setiap permutasi p pada Nn.

Aksioma h5. h fungsi independent, sehingga n  o    

untuk semua a Є [0,1].

Teorema 3.25 h: [0,1]n→R+ yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h2, dan sifat

n       o  R  R   n    o  R   n    o  R  (3.33) n    o  R   vRDw

D D

Dimana ai,bi, ai + bi Є [0,1] untuk semua i Є Nn. maka,

Dimana wi > 0 untuk semua i Є Nn.

(3.34)

Teorema 3.26 h: [0,1]n→[0,1] yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat

n5    o  5R  R   5n  o  R  n  o  R  (3.35) nD nD D   nD D 

Dimana nD D   n o   D   o   untuk semua i Є Nn. maka n  o  R   5 

Dimana wi Є [0,1] untuk semua i Є Nn.

    o   

R   

(3.36)

(3.37)

Teorema 3.27 h: [0,1]n→[0,1] yang memenuhi Aksioma h1, Aksioma h3, dan sifat

n     o   R  R    n  o  R  n  o  R  (3.38) nD   nD nD p5 nD   

Untuk semua i Є Nn, dimana nD   nD  o   D   o  B maka, terdapat bilangan α1,

α2, ..., αn Є [0, 1], sedemikian sehingga

(3.39)

n    o  R        o  

 x

x

x

Teorema 3.28 Operasi norm h adalah kontinu dan idempotent maka terdapat λ Є [0,1] sedemikian sehingga

5 .H- .5 J y n  G   .H- .5 Jy  1 yQROQNRDSDTRUSDR

Untuk setiap a,b Є [0,1]