Funtzioak

4. GAIA: FUNTZIOAK (aurreko ikasturtetako birpasa arina) 4.1 FUNTZIO-KONTZEPTUA Funtzioaren bidez, modu erabilgarri deskribatzen dira magnitudeen arteko erlazioak. Adibidez, y izeneko magnitudea, x magnitudearen bikoitza bada, horrela idatziko dugu. y = 2x Adierazpen hau begiratuta, jakin badakigu x-ren balioa y-rena lor dezakegu . Adb)

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALA Kuestio matematiko guztian parte hartzen duten magnitudeak konstante eta aldagaietan sailkatzen dira: Konstantea: Balio finkoa eta determinatua duen magnitudea da. Aldagaia: Balio ezberdinak har ditzaken magnitudea da. Bere aldetik, aldagaiak independente eta dependenteetan sailkatzen dira: Aldagai independentea: x letraz izendaturik gehienetan, bere aldakortasuneremuan barne dagoen edozein balio edonola har dezakena da. Aldagai dependentea: y letraz izendaturik gehienetan, edonola hartu ezin dena da, bere balioak aurretik aldagai independenteari esleitu zaizkionaren menpe baitago. Adibidez: Konsidera dezagun 60 kilometro orduko abiaduraz higitzen den autoa, eta denbora tarte batean ibiltzen den espazioa kalkulatu nahi dela. Abiadura zehatz batez higitzen den higikari batek ibilitako espazioa, abiadura denboraz biderkatzen kalkulatzen da: e=v.t Ondorioz, abiadura v = 60 km/h denez, lortzen da: e = 60 . t

Adierazpen honetan abiadura, balio finko eta zehatza duena, konstantea da; denbora, t, nolanahi ezarri daitekeena, aldagai independentea: eta espazio, e, bere balioa denboraren menpe dagoena , aldagai dependentea. FUNTZIO-KONTZEPTUA Intuitiboki, funtzio bat bi aldagairen arteko erlazio bat da; hain zuzen ere, lehen aldagaiaren (independentearen) balio bakoitzari bigarren aldagaiaren (dependentaren) balio bakar bat (edo bat ere ez) dagokio. Funtzio hauei aldagai errealeko funtzio errealak deitzen zaie, "x" aldagaiak eta "y" edo f(x) funtzioko balio errealak hartzen dituelako, hain zuzen ere. Hau da: Funtzioa, aldagai independenteak har ditzaken balioen multzoaren eta ondorioz aldagai dependenteak hartzen dituen balioen multzoaren arteko erlazioa da eta honela adierazten da:

y=f(x) "y, x-en funtzioa da" irakurtzen delarik. Bertan, f letrak funtzioa adierazten du eta y aldagai dependenteari dagokion balioa lortzeko, x aldagai independentearen balio baikoitzarentzat ezarritako eragiketa guztiak egingo ditugu. Adb) y0=f(x0) eta f(x0) zenbakizko balioa, x0-ren irudia ere deitzen da. • •

f(x)=3x+5 ---> x0=3-->y0=3 . 3 +5=9+5=14, hau da, x0=3 eta y0=14=f(3) bada

Modu analitikoa ez da funtzioa adierazteko modu bakarra, enuntziatu bat, taula edo grafikoen bidez ere eman daitezke. Nicolas Oresmeko apezpiku frantziarra datuen taula eta grafikoen arteko baliokidetasunlogikoaz jabetu zen. Datuen taula bat funtzio baten ekintzaren zerrenda ordenatu bat da elementuz elementu. Egiten ditugun ekintzei eta fenomeno gehienei buruzko taulak aurki daitezke. Honako taula honek tenperaturaren aldaketa adierazten da , itsaso-mailatik gora goazen arabera:

Altuera (km)

10 20 30 40 50 70

Tenperatura (ºC) -48 -50 -38 -18 6

90 110

-56 -90 -20

Funtzio bat grafikoaren bidez ere adieraz daiteke R2 -n definitutako erreferentzi sistema kartesiarrean egiten da, eta horren arabera (x, y) pare bakoitzari planoko puntu bakar bat dagokio.

GRAFIKO MOTA BATZUK

4.2 FUNTZIOEN SAILKAPENA Hasieran, funtzioak analitiko eta enpirikoetan sailkatzen dira. •

Funtzio enpirikoa: Aldagairenarteko menpekotasuna fenomenoren bat esperimentatetik badator, edo behaketa hutsetik, funtzioari enpiriko esaten zaio.

•

Funtzio analitikoa: Aldagairen arteko menpekotasuna lege matematikoetan oinarritutiko azterketa baten bidez definituta badago, funtzioari analitiko esaten zaio.

Funtzio analitikoak, adierazten diren moduaren arabera, esplizituak ala inplizituak izan daitezke: •

Funtzio esplizitua: Aldagai dependentea (y) berdintzako atal batean aske agertzen denean, hau da y=f(x) moduan agertzen denean.

•

Funtzio inplizitua: funtzioaren gai guztiak elkarturik agertzen dira atal batean, berdinketaren beste atala "0" delarik, hau da F(x,y)=0

Era inplizituan emandako funtzio guztiak era esplizituan eman daitezke eta alderantziz. Adb) • funtzioa era esplizituan dago, gai guztiak elkartutik jarri ostean, funtzioa era inplizituan emango dugu: 2x-y+7=0. • dugu:

funtzioa era inplizituan dago, "y" bakantzean era esplizituan jarriko

Funtzio esplizituen artean, mota berezi batekoak daude zatikako funtzioak alegia. Horien berezitasun zera da: ez daude adierazpen matematiko bakar baten bidez definituta, batek baino gehiagok baizik definitzen dute, aztergai dugun tartearen arabera.

Alde berean, funtzio esplizituak aljebraiko eta tranzendentetan sailkatzen dira: •

•

Funtzio aljebraikoa: Aldagai independenteari ezarritako eragiketak hauexek dira: batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa, berreketaren berrekizunen eta erroketaren errokizunen eragiketak. Funtzio transzendentea:Funtzio ezaljebraikoak dira. Bestealde,funtzio aljebraikoak osoa,arrazionala eta irrazionaletan sailkatzen

dira • • •

Funtzio aljebraiko osoa: Funtzioa, polinomio baten eran emanda dagoenean. Funtzio aljebraiko arrazionala: Funtzioa, zatiketa eran emanda dagoenean (izendatzailea era polinomikoan emanda) Funtzio aljebraiko irrazionala: Adagai independentea errokari ikurraren barruan agertzen denean.

Bestealde funzio traszendenteak esponentziala, logaritmikoa eta trigonometrikoetan sailkatzen dira. 4.3 FUNTZIOEN EREMUA Funtzio baten eremua (izate eremua), aldagai independenteak (x) hartzen dituen balio guztien multzoa da. Hasieran, funtzio bat zehazki definiturik egon dadin, bere eremua zein den adieraztea beharrezkoa da, normalean D letraz adierazten da [D(f)]. Edozein kasutan, eremua edo izate eremua ezartzeko, nahikoa da "x" aldagai independentearen balioak zehaztea, hauentzat "y" aldagai dependenteak balio erreal bat hartzen duelarik. Azkenik, adierazi beharra dago menpeko aldagaiak hartzen dituen balio guztien multzoak "ibilbidea" izena jasotzen duela. (ikusi liburuko 106.orrialdeko ezkerreko irudia)

•

f funtzioa abzisa -ardatzeko tarte bateko balio guztietarako definituta badago, f funtzioaren eremua jarraitua dela esaten da.

•

f funtzioa x aldagaiaren balio isolatu batzuetarako bakarrik badago definituta, f funtzioaren eremua diskretua dela esaten da.

Ez dago arau orokorrik funtzioen eremua kalkulatzeko; dena den, aintzat hartu behar dira honako hauek:

•

Funtzio polinomikoak : : eremua R da, x aldagaiaren balio erreal guztietarako y aldagaiaren balioa kalkula daitekeelako.

Adb)

•

f(x)= x2 - 5x + 6

D(f )= R

Funtzio arrazionala :eremua zenbaki erreal guztiek osatzen dute, izendatzailea zero egiten dutenek izan ezik; izan ere R multzoan ez da bidezkoa zeroz zatitzea.

Adb)

X 2 - 5x +6=0  x 1 =2; x 2 =3 D( f ) =R- {2, 3}

•

Funtzio irrazionala : funtzio irrazional baten eremua zehazteko, bi kasu bereiz behar dira, errotzaile bakoitia den kasua eta bikoitia den kasua; izan ere, zenbaki negatiboen errotzaile bikoitiko erroketek ez dira bidezkoak R multzoan. Beraz: a) Errotzaile bakoitia bada eremua R osoa da:

Adb)

(eremutik kendu behar ditugu errokizunaren izendatzailea 0 egiten duten balioak)

b) Errotzaile bikoitia bada P(x) positiboa egiten duen balio multzoa izango da eremua. Adb)

•

Funtzio esponentziala: (f(x)=ag(x)): Funtzio esponentzial baten eremua funtzioaren berretzailean agertzen den funtzioaren eremuaren berdina da (a>0 eta a≠1).

•

Funtzio logaritmikoa (f(x)=loga[g(x)]):zenbaki positiboen logaritmoak bakarrik bidezkoak direnez, g(x)>0 egiten duten x balio multzoa eremua izan behar da (a>0 eta a≠1). Adb)

ARIKETAK: Egin liburuko 107. orrialdeko ariketak