Aljebra Mat I Sol 08-09

MATEMATIKA I: ALJEBRA 1) LABURTU: x 3 − x 2 − 2x x 3 − 3x 2 + 2x ebazpena:

(

)

x ( x − 2) ( x + 1) x + 1 x 3 − x 2 − 2x x x2 − x − 2 = = = 3 2 2 x ( x − 2) ( x − 1) x −1 x − 3 x + 2x x x − 3 x + 2

(

)

2) Kalkulatu eta laburtu: 1

( x − 1) 2

+

2 1 + x −1 x2 −1

Ebazpena: 1

( x − 1) =

2

+

2 1 1 2 1 + = + + = x − 1 x 2 − 1 ( x − 1) 2 ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1)

(

)

x + 1 + 2 x 2 − 1 + ( x − 1)

( x − 1) 2 ( x + 1)

=

x + 1 + 2x 2 − 2 + x − 1

( x − 1) 2 ( x + 1)

=

2x 2 + 2x − 2

( x − 1) 2 ( x + 1)

3) Ebatzi ondorengo ekuazioak: a) x 2 +

15 3 x 2 − x + 3 = +3 4 4

b) x 4 − 21x 2 − 100 = 0

Ebazpena: a) x 2 +

15 3 x 2 − x + 3 = +3 4 4

4 x 2 15 3 x 2 − x + 3 12 + = + 4 4 4 4 4 x 2 + 15 = 3 x 2 − x + 3 + 12 x2 + x = 0 x ( x + 1) = 0

→

x = 0   x + 1 = 0

→

b) x 4 − 21x 2 − 100 = 0 Cambio: x 2 = z

→

z 2 − 21z − 100 = 0

x 4 = z2

x = −1

z=

21 ±

441 + 400 2

=

21 ±

841 2

21 ± 29 2

=

→

z = 25 → x = ±5   z = −4 (no vale)

Bi soluzio: x1 = −5, x2 = 5 4) Ebatzi ondorengo ekuazioak: a)

3x − 3 + x = 7

b)

2 x −2 5 + = x −1 x +1 4

Ebazpena: a)

3x − 3 + x = 7 3x − 3 = 7 − x 3x − 3 = ( 7 − x ) 2 3 x − 3 = 49 + x 2 − 14 x 0 = x 2 − 17 x + 52 x=

17 ±

289 − 208 2

=

17 ±

81

2

=

17 ± 9 2

 x = 13    x = 4

→

Egiaztapena: x = 13 x=4

→ →

36 + 13 = 6 + 13 = 19 ≠ 7 9 +4 = 3+4 = 7

→

→

x = 13 no vale

x = 7 sí vale

Soluzioa: x = 4

b)

2 x −2 5 + = x −1 x +1 4 4( x − 1) ( x − 2 ) 5( x − 1) ( x + 1) 8( x + 1) + = 4( x − 1) ( x + 1) 4( x − 1) ( x + 1) 4( x − 1) ( x + 1)

(

) (

)

8x + 8 + 4 x 2 − 3x + 2 = 5 x 2 − 1 2

2

8 x + 8 + 4 x − 12 x + 8 = 5 x − 5 0 = x 2 + 4 x − 21 x=

− 4 ± 16 + 84 2

=

− 4 ± 100 2

3 2 c) x − 2 x − 11x + 12 = 0

Ebazpena: Fakturizatuko dugu:

=

− 4 ± 10 2

→

x = 3    x = −7

x − 2 x − 11x + 12 = ( x − 1) ( x − 4 ) ( x + 3 ) = 0 3

2

→

x − 1 = 0 → x = 1  x − 4 = 0 → x = 4  x + 3 = 0 → x = −3 

Soluzioak: x1 = 1,

x 2 = 4,

x 3 = −3

6) Ebatzi ondoko ekuazioak: a) 2 2 x − 2 x +1 +

3 =0 4

b) log ( x − 2 ) + log ( x − 3 ) = log 6

Ebazpena: a) 2 2 x − 2 x +1 +

(2 ) x

2

3 =0 4

− 2 ⋅ 2x +

3 =0 4

Hacemos el cambio de variable: 2x = y y 2 − 2y +

y =

8±

3 =0 4

→

4y 2 − 8y + 3 = 0

64 − 48 8 ± 16 8 ± 4 = = 8 8 8

→

12 3  y = =  8 2  4 1 y = =  8 2

3 3 3 log 3 → 2x = → x = log 2 = log 2 3 − 1 = − 1 = 0,58 2 2 2 log 2 edo x = (log3 -log 2)/log 2=0,58 1 1 • y= → 2x = → x = −1 2 2 • y=

Bi soluzio: x1 = 0,58; x2 = −1 b) log ( x − 2) + log ( x − 3 ) = log 6 log [ ( x − 2 ) ( x − 3 ) ] = log 6

( x − 2) ( x − 3) = 6

x 2 − 5x + 6 = 6  x  0 (no vale) porque al sustituir en la ecuación x2  5x  0

x  x  5  0



 



quedaría log  2   log  3  , que no



existen.

  x 5 

Soluzioa: x  5

7) Ebatzi ondorengo ekuazio sistemak

1 2  x  y 5   1 1 5   x y 2 

a)

Ebazpena: 1 2   xy 5  1 1 5   x y 2  5  2x 

5  2 x  y  

5  2 x  2y  

2y  2 x  5 xy 

2 ; x

5  5 xy 

5 x  2 x 2  2;

 1  xy

5

25  16 4



5 4

9



53 4

 x2 

  

 x 



x1  2  Hay dos soluciones : 1 y1   2

y

x2 



y

2 1  4 2



1 2 

y2  2 

b)  2 x + y  32  ln x  ln y  ln 6 Ebazpena:  2 x + y = 32  ln x + ln y = ln 6

1 x

0  2x 2  5x  2 

x

y 

 2 x + y = 25  ln ( xy ) = ln 6

x + y = 5 xy = 6 

y =5−x x(5 − x ) = 6

1 2 y 2

5x − x 2 = 6

→ =

0 = x 2 − 5x + 6

5 ± 1 5 ±1 = 2 2

→

→ x= x = 3    x = 2

5±

25 − 24 = 2 → y = 5−3 = 2 →

y =5−2=3

Bi soluzio: x1 = 3, y1 = 2 x2 = 2, y2 = 3 8) Ebatzi ondoko inekuazio edota inekuazio sistemak: x2 – 3x – 4 ≥ 0 8 (–∞, –1] « [4, +∞)