Fungsi Determinan Aman.docx

1. Fungsi determinan Sebelum memepelajari fungsi determinan, harus kenal terlebih dahulu tentang permutasi. Perhatikan definisi dibawah ini DEFINISI 2.1.1 Permutasi suatu himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …., n} adalah suatu susunan bilangan-bilangan bulat dalam suatu urutan tanpa pengulangan Akan lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini CONTOH 2.1.1 Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3} permutasi tersebut adalah (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) CONTOH 2.1.2 Ada 24 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4}, permutasi tersebut adalah (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2) (2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1) (3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 2, 1), (3, 4, 1, 2) (4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 3, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 2)

Metode yang lebih mudah, yaitu dengan menggunakan pohon permutasi, seperti pada Gambar 2.1

Dari contoh diatas, ada 24 permuatasi dari {1, 2, 3, 4}. Hasil tersebut merupakan perkalian dari posisi, yaitu posisi pertama terdiri dari empat, posisi kedua terdiri dari tiga, posisi ketiga terdiri dari dua dan posisi ke-empat hanya satu atau dapat ditulis permutasi - empat = 4.3.2.1 = 4! = 24

Untuk permutasi n bilangan yang berbeda, dapat dicari dengan cara yang sama, yaitu

Selanjutnya akan dibahas tentang pembalikan. Pembalikan adalah suatu urutan bilangan besar mendahului bilangan yang lebih kecil. Sedangkan jumlah pembalikan adalah banyaknya bilangan yang lebih besar menadahuli bilangan yang lebih kecil. Lebih lengkapnya perhatikan contoh dibawah ini. CONTOH 2.1.3 Hasil permutasi adalah (6, 1, 4, 3, 2, 5) 

bilangan 6, mendahului bilangan 1, 2,3,4, dan 5, sehingga ada 5 pembalikan.



bilangan 5, tidak mendahului



bilangan 4, mendahului 3,2,, sehingga ada 2 pembalikan



bilangan 3, mendahului 2, sehingga ada satu pembalikan



bilangan 2, tidak mendahului, begitu juga bilangan 1

jadi jumlah pembalikannya adalah 5 + 2 + 1 = 8 pembalikan Perhatikan definisi dibawah ini DEFINISI 2.1.2 Jika dalam suatu permutasi terdapat jumlah pembalikan yang genapmaka permutasi tersebut disebut permutasi genap, begitu juga jika terjadi jumlah pembalikan yang ganjil maka disebut dengan permutasi ganjil CONTOH 2.1.4 Dari Contoh 2.1.1 hasil permutasi tercantum dalam tabel berikut

Hasil kali dasar dari suatu matriks persegi yaitu perkalian dari semua elemen matriks terhadap elemen matriks yang lain dengan mengikuti aturan tertentu. Jika matriks tersebut berukuran n x n, maka perkalian dasarnya terdiri dari n elemen yaitu a1_a2_ a3 … an_

sedangkan banyaknya perkalian dasar adalah n! yaitu banyaknya permutasi yang diisikan pada tanda setrip dan tanda positif atau negatif tergantung dari hasil pembalikan, jika permutasi genap bertanda positif dan sebaliknya permutasi ganjil betanda negatif.

Perhatikan definisi fungsi determinan berikut ini DEFINISI 2.1.3 Pandang matriks A matriks persegi. Fungsi determinan A atau biasanya disingkat dengan determinan A dinyatakan dengan det(A) sebagai jumlahan hasil kali dasar beserta tanda dari A.

Akan lebih jelas perhatikan contoh-contoh berikut CONTOH 2.1.5 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 2 x 2, misalkan

Sekarang perhatikan contoh untuk matriks berukuran 3 x 3 berikut ini CONTOH 2.1.6 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 3 x 3, misalkan

Sehingga

Contoh yang lain CONTOH 2.1.7 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 3 x 3, misalkan