Ale.docx

MAKALAH ALJABAR LINIER ELEMENTER “Ruang-Ruang Vektor”

Disusun oleh : Kelompok 5  Bella Fiesta Rajagukguk

(4163311009)

 Iin Srimuliani Panggabean

(4163311023)

 Lidya Sihaloho

(4163311034)

 Muhammad Azhari Panjaitan

(4163311037)

 Sarah Ihza Mahfuza

(4162311005) Ekstensi A 2016

Pendidikan Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2018

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Ruang vektor dalam struktur aljabar diartikan sebagai himpunan vektor , bersama-sama dengan dua operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang harus memenuhi beberapa aksioma. Bicara tentang fungsi vektor, ada baiknya jika kita tahu terlebih dahulu apa itu vektor. Dalam fisika kita mengenal vektor sebagai sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah. Sedangkan dalam matematika, vektor adalah anggota dari ruang vektor. Secara geometris, vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan anak panah menyatakan arah vektor. Disini kami memaparkan bagian dari ruang vektor baik secara geometrik dan analitik serta pembuktian dari teorema-teorema.

B. RUMUSAN MASALAH 1. apa saja bagian dari ruang vektor? 2. bagaimana vektor secara geometrik dan secara analitik? C. TUJUAN MAKALAH Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elementer sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

BAB II PEMBAHASAN Ruang-Ruang Vektor 1. PENGANTAR VEKTOR (GEOMETRIK)

Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah dan panjang. Secara geometris vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai pangkal dan ujung.

.

Gambar 1.1

Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekivalen.

Gambar 1.2

Definisi : Jika v dan w adalah dua vektor sebarang maka v + w, disebut jumlah vektor v dan w, diperoleh sebagai berikut : letakkan vektor w sehingga titik awal w berimpit dengan titik akhir dari v, maka vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v ke titik ujung w.

Gambar 1.3

Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan 0+v=v+0=v Jika v sebarang vektor tak nol, maka −v (negatif v) adalah vektor yang mempunyai besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v. Pengurangan dua vektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan negatif vektor. v − w = v + (− w)

Gambar 1.4

Definisi : Perkalian vektor tak nol v dengan skalar (bilangan real tak nol) k didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k | kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan arah v jika k < 0.

Gambar 1.5 Definisi 3.1: sebuah vektor di Rn dinyatakan oleh n bilangan terurut u = (u1, u2, ..., un). Pada R2 atau R3 sebuah urutan bilangan di atas ada maknanya yaitu sebagai titik atau sebagai vektor. Dalam Rn keduanya dianggap sama sehingga Rn merupakan generalisasi titi seklaigus generalisasi vektor. Definisi 3.2 : vektor nol (zero vektor) di dalam Rn didefinisikan vektor yang semua entrinya nol, contoh 0 = ( 0, 0, ...,0).

Definisi 3.3: Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = ( v1, v2, .., vn) di dalam Rn dinamakan sama jika : u1 = v1, u2 = v2, un = vn Operasi – operasi pada Vektor di Rn 1. Penjumlahan Misalkan u, v ϵ Rn ,Maka: Jumlah u + v didefinisikan : u+v = (u1+v1, u2+v2, ..., un+vn) contoh 1 : jika u = (2, -1, 9, 3, 4), v = (1, 2, -2, 0, 3) dan w = (-1, 2, 0, -3, 7, -5) hitunglah : a. u + v dan b. u + w penyelesaian : a. u + v = (2 + 1, -1 + 2, 9+0, 3 + (-3) , 4 + 7) = ( 3, 1, 9, 0, 11) b. u + w = tidak terdefinisikan karena u ϵ R5 sedangkan w ϵ R6

2. Perkalian dengan skalar Jika k adalah sebarang skalar, maka kelipatan skalar k u didefinisikan oleh : k u = (ku1, ku2, ..., kun) contoh 2: diketahui u = ( 2, 0, -3, 3, -1) hitunglah -2u penyelesaian: -2u = (-4, 0, 6, -6, 2)

3. Pengurangan Pada Vektor Jika u = (u1, u2, ..., un) adalah vektor sebarang vektor dalam Rn, maka negatif atau invers aditif dari u dinyatakan oleh – u dn didefinisikan oleh : -u = (-u1,- u2, ...,- un) Pengurangan vektor-vektor didalam Rn didefinisikan menurut v - u = v + (- u) atau dalam komponen – komponennya : v - u = v + (- u) = ( v1, v2, .., vn) + (-u1,- u2, ...,- un) = ( v1 – u1, v2 – u2,..., vn – un )

Sifat- sifat penjumlahan dan perkalian dengan skalar Teorema 3.1 Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di ruang 2 atau ruang 3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut akan berlaku.

a. u + v = v + u b. (u + v) + w = u + (v + w) c. u + 0 = 0 + u = u d. u + (-u) = 0 e. k(lu) = (kl)u f. k(u + v) = ku + kv g. (k + l)u = ku + lu h. 1u = u

PEMBUKTIAN TEOREMA a. u + v = v + u Pembuktian analitik

Jika vektor u=(𝑢1,𝑢2,𝑢3), dan vektor v=(𝑣1,𝑣2,𝑣3) maka 𝑢+𝑣

=(𝑢1,𝑢2,𝑢3)+ (𝑣1,𝑣2,𝑣3) =(𝑢1+𝑣1),(𝑢2+𝑣2),(𝑢3+𝑣3) =(𝑣1+𝑢1),(𝑣2+𝑢2),(𝑣3+𝑢3) =(𝑣1,𝑣2,𝑣3)+(𝑢1,𝑢2,𝑢3)

Note: karena (𝑢1,𝑢2,𝑢3),(𝑣1,𝑣2,𝑣3)dan(𝑤1,𝑤2,𝑤3) ∈ R maka berlaku sifat sifat operasi bilangan real, maka: (𝑢+𝑣)=(𝑣+𝑢) sifat komutatif penjumlahan bilangan real

b. (u + v) + w = u + (v + w)

Pembuktian Analitik Jika u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3), v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3), dan w = (𝑤1,𝑤2,𝑤3), maka (𝑢+𝑣)+ 𝑤 = [(𝑢1,𝑢2,𝑢3)+ (𝑣1,𝑣2,𝑣3)]+ (𝑤1,𝑤2,𝑤3) =(𝑢1+𝑣1,𝑢2+𝑣2,𝑢3+𝑣3)+ (𝑤1,𝑤2,𝑤3) = ([𝑢1+𝑣1]+𝑤1,[𝑢2+𝑣2] + 𝑤2,[𝑢3+𝑣3]+𝑤3 =(𝑢1+[𝑣1+𝑤1],𝑢2+[𝑣2 + 𝑤2],𝑢3+[𝑣3+𝑤3]) = (𝑢1,𝑢2,𝑢3)+(𝑣1+𝑤1,𝑣2 + 𝑤2,𝑣3+𝑤3) =𝑢+(𝑣+𝑤) Note: karena (𝑢1,𝑢2,𝑢3),(𝑣1,𝑣2,𝑣3) dan (𝑤1,𝑤2,𝑤3) ∈ R maka berlaku sifat sifat operasi bilangan real, maka: (𝑢+𝑣)+𝑤=𝑢+(𝑣+𝑤) sifat asosiatif penjumlahan bilangan real.

c. u + 0 = 0 + u = u

Pembuktian analitik Jika vektor u=(𝑢1,𝑢2,𝑢3), maka 𝑢+0=(𝑢1,𝑢2,𝑢3)+ 0 =(𝑢1+0),(𝑢2+0),(𝑢3+0) =(0+𝑢1),(0+𝑢2),(0+𝑢3) =0+(𝑢1,𝑢2,𝑢3) =0+𝑢 =𝑢

Note: karena (𝑢1,𝑢2,𝑢3)𝑑𝑎𝑛 0∈ R maka berlaku sifat sifat operasi bilangan real, maka: 𝑢+0=0+𝑢 sifat komutatif penjumlahan bilangan real 𝑢+0=0+𝑢= 0 Identitas penjumlahan dengan 0

d. u + (-u) = 0 Jika u=(𝑢1,𝑢2,𝑢3) maka -u=(−𝑢1−,𝑢2,− 𝑢3) 𝑢+(−𝑢)=(𝑢1,𝑢2,𝑢3)+(−𝑢1−,𝑢2,− 𝑢3) =(𝑢1+(−𝑢1)),(𝑢2+(−𝑢2)),(𝑢3+(−𝑢3)) =(0,0,0) Note: karena (𝑢1,𝑢2,𝑢3)𝑑𝑎𝑛(−𝑢1−,𝑢2,− 𝑢3) ∈ R maka berlaku sifat sifat operasi bilangan real maka = 0

e. k(lu) = (kl)u Jika u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3) dan k serta l adalah skalar, maka 𝑘(𝑙𝑢) =𝑘[𝑙(𝑢1,𝑢2,𝑢3)] =𝑘(𝑙𝑢1,𝑙𝑢2,𝑙𝑢3) =(𝑘𝑙)𝑢1,(𝑘𝑙)𝑢2,(𝑘𝑙)𝑢3 =(𝑘𝑙)(𝑢1,𝑢2,𝑢3) =(𝑘𝑙)𝑢

f. k(u + v) = ku + kv Jika u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3), v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3), dan k adalah skalar, maka 𝑘(𝑢+𝑣) =𝑘[(𝑢1,𝑢2,𝑢3)+ (𝑣1,𝑣2,𝑣3)] =𝑘[(𝑢1+𝑣1,𝑢2+𝑣2,𝑢3+𝑣3)] =𝑘(𝑢1+𝑣1),𝑘(𝑢2+𝑣2),𝑘(𝑢3+𝑣3) =𝑘𝑢1+𝑘𝑣1,𝑘𝑢2+𝑘𝑣2,𝑘𝑢3+𝑘𝑣3 =(𝑘𝑢1,𝑘𝑢2,𝑘𝑢3)+(𝑘𝑣1,𝑘𝑣2,𝑘𝑣3) =𝑘𝑢+𝑘𝑣 Note: karena (𝑢1,𝑢2,𝑢3),(𝑣1,𝑣2,𝑣3)𝑑𝑎𝑛 𝑘∈ R maka berlaku sifat sifat operasi bilangan real, maka: k(u + v) = ku + kv sifat distributif penjumlahan bilangan real

g. (k + l)u = ku + lu Jika u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3) dan k serta l adalah skalar, maka

(𝑘+𝑙)𝑢

=(𝑘+𝑙)(𝑢1,𝑢2,𝑢3) =(𝑘+𝑙)𝑢1,(𝑘+𝑙)𝑢2,(𝑘+𝑙)𝑢3 =𝑘𝑢1+𝑙𝑢1,𝑘𝑢2+𝑙𝑢2,𝑘𝑢3+𝑙𝑢3 =𝑘𝑢1,𝑘𝑢2,𝑘𝑢3+𝑙𝑢1,𝑙𝑢2,𝑙𝑢3 =𝑘(𝑢1,𝑢2,𝑢3)+𝑙(𝑢1,𝑢2,𝑢3) =𝑘𝑢+𝑙𝑢

Note: karena (𝑢1,𝑢2,𝑢3),𝑙,𝑑𝑎𝑛 𝑘∈ R maka berlaku sifat sifat operasi bilangan real ,maka (k+l)u = ku + kv sifat distributif penjumlahan bilangan real

h. 1u = u Jika u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3), maka 1𝑢

=1(𝑢1,𝑢2,𝑢3) =1𝑢1,1𝑢2,1𝑢3 =𝑢1,𝑢2,𝑢3 =𝑢

Note: karena (𝑢1,𝑢2,𝑢3)𝑑𝑎𝑛 1∈ R maka berlaku sifat sifat operasi bilangan real, maka: 1u = u sifat identitas perkalian bilangan real

4. Hasil Kali Titik ( Hasil kali dalam Euclides) Sifat-sifat Hasilkali Titik Jika u v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3, dan k adalah skalar, maka: a. u∙v=v∙u b. u∙(v+w)=u∙v+u∙w c. 𝑘(u∙v)=(𝑘u)∙v=u∙(𝑘v) d. v∙v>0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑣≠0,𝑑𝑎𝑛 v∙v=0 jika v=0

Bukti: a. Misalkan u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3) dan v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3) , maka: u∙v=𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2+𝑢3𝑣3 karena 𝑢1,𝑢2,𝑢3,𝑣1,𝑣2,𝑑𝑎𝑛 𝑣3∈𝑅, maka berlaku 𝑢1𝑣1=𝑣1𝑢1, 𝑢2𝑣2=𝑣2𝑢2, dan 𝑢3𝑣3=𝑣3𝑢3 (sifat komutatif perkalian bilangan). Sehingga: u∙v=𝑣1𝑢1+𝑣2𝑢2+𝑣3𝑢3

u∙v=v∙u b. Misalkan u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3), v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3), dan w = (𝑤1,𝑤2,𝑤3) maka: u∙(v+w)=(𝑢1,𝑢2,𝑢3)∙((𝑣1,𝑣2,𝑣3)+(𝑤1,𝑤2,𝑤3)) u∙(v+w)=(𝑢1,𝑢2,𝑢3)∙((𝑣1+𝑤1),(𝑣2+𝑤2),( 𝑣3+𝑤3)) u∙(v+w)=(𝑢1(𝑣1+𝑤1),𝑢2(𝑣2+𝑤2),𝑢3(𝑣3+𝑤3)) karena 𝑢1,𝑢2,𝑢3,𝑣1,𝑣2,𝑣3,𝑤1,𝑤2,𝑑𝑎𝑛 𝑤3∈𝑅, maka berlaku: 𝑢1(𝑣1+𝑤1)=𝑢1𝑣1+𝑢1𝑤1 𝑢2(𝑣2+𝑤2)=𝑢2𝑣2+𝑢2𝑤2 𝑢3(𝑣3+𝑤3)=𝑢3𝑣3+𝑢3𝑤3 .......(Sifat distributif perkalian bilangan) Sehingga: u∙(v+w)=((𝑢1𝑣1+𝑢1𝑤1),( 𝑢2𝑣2+𝑢2𝑤2),(𝑢3𝑣3+𝑢3𝑤3)) u∙(v+w)=((𝑢1𝑣1,𝑢2𝑣2,𝑢3𝑣3)+(𝑢1𝑤1,𝑢2𝑤2,𝑢3𝑤3)) ....(penjumlahan vektor) u∙(v+w)=u∙v+u∙w c. Misalkan u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3) dan v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3) , maka: 𝑘(u∙v)=𝑘(𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2+𝑢3𝑣3) karena 𝑘,𝑢1,𝑢2,𝑢3,𝑣1,𝑣2,𝑑𝑎𝑛 𝑣3∈ 𝑅, maka berlaku: 𝑘(𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2+𝑢3𝑣3)=𝑘𝑢1𝑣1+𝑘𝑢2𝑣2+𝑘𝑢3𝑣3 (Sifat distributif perkalian bilangan) 𝑘𝑢1𝑣1+𝑘𝑢2𝑣2+𝑘𝑢3𝑣3=(𝑘𝑢1)𝑣1+(𝑘𝑢2)𝑣2+(𝑘𝑢3)𝑣3 (Sifat asosiatif perkalian bil) Sehingga: 𝑘(u∙v)=(𝑘𝑢1)𝑣1+(𝑘𝑢2)𝑣2+(𝑘𝑢3)𝑣3 𝑘(u∙v)=(𝑘𝑢1,𝑘𝑢2,𝑘𝑢3)∙(𝑣1,𝑣2,𝑣3) ....(perkalian vektor) 𝑘(u∙v)=(𝑘(𝑢1,𝑢2,𝑢3))∙(𝑣1,𝑣2,𝑣3) ....(Sifat distributif perkalian) 𝑘(u∙v)=(𝑘u)∙v Demikian juga, Misalkan u = (𝑢1,𝑢2,𝑢3) dan v = (𝑣1,𝑣2,𝑣3) , maka: 𝑘(u∙v)=𝑘(𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2+𝑢3𝑣3) karena 𝑘,𝑢1,𝑢2,𝑢3,𝑣1,𝑣2,𝑑𝑎𝑛 𝑣3∈ 𝑅, maka berlaku: 𝑘(𝑢1𝑣1+𝑢2𝑣2+𝑢3𝑣3)=𝑘𝑢1𝑣1+𝑘𝑢2𝑣2+𝑘𝑢3𝑣3 (Sifat distributif perkalian bilangan) 𝑘𝑢1𝑣1+𝑘𝑢2𝑣2+𝑘𝑢3𝑣3=𝑢1𝑘𝑣1+𝑢2𝑘𝑣2+𝑢3𝑘𝑣3 (Sifat komutatif perkalian bilangan) 𝑘𝑢1𝑣1+𝑘𝑢2𝑣2+𝑘𝑢3𝑣3=𝑢1(𝑘𝑣1)+𝑢2(𝑘𝑣2)+𝑢3(𝑘𝑣3) (Sifat asosiatif perkalian bil) Sehingga:

𝑘(u∙v)=𝑢1(𝑘𝑣1)+𝑢2(𝑘𝑣2)+𝑢3(𝑘𝑣3) 𝑘(u∙v)=(𝑢1,𝑢2,𝑢3)∙(𝑘𝑣1,𝑘𝑣2,𝑘𝑣3) ....(perkalian vektor) 𝑘(u∙v)=(𝑢1,𝑢2,𝑢3)∙(𝑘(𝑣1,𝑣2,𝑣3)) ....(Sifat distributif perkalian) 𝑘(u∙v)=u∙(𝑘v) d. Misalkan v = (v1,𝑣2,𝑣3) , maka: Untuk 𝐯.𝐯>0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑣≠0 𝐯∙𝐯=(𝑣1,𝑣2,𝑣3)(𝑣1,𝑣2,𝑣3) 𝐯∙𝐯=(𝑣1𝑣1+𝑣2𝑣2+ 𝑣3𝑣3) ....(perkalian vektor) 𝐯∙𝐯=(𝑣12+𝑣22+𝑣32) Karena 𝑣1,𝑣2,𝑣3∈𝑅, maka meskipun salah satu atau dua atau semua nilai 𝑣1,𝑣2,𝑣3 bernilai negatif, hasil dari 𝑣12+𝑣22+𝑣32 akan memberikan hasil yang positif (𝑣12+𝑣22+𝑣32>0). Sehingga: 𝐯∙𝐯>0 Untuk 𝐯.𝐯=0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐯=0 𝐯∙𝐯

= (𝑣1,𝑣2,𝑣3)(𝑣1,𝑣2,𝑣3)

𝐯∙𝐯

= (𝑣1𝑣1+𝑣2𝑣2+ 𝑣3𝑣3) ....(perkalian vektor)

𝐯∙𝐯

= (𝑣12+𝑣22+𝑣32)

𝐯∙𝐯

= (0+0+0)

𝐯∙𝐯

=0

5. Norma Vektor Panjang sebuah vektor sering dinamakan dengan norma vektor. Misalkan ada vektor v, maka norma vektor v dinyatakan dengan ||v|| . jika v merupakan vektor di ruang-2 dengan komponen v=(v1, v2) maka norma vektor v ||v|| = rumus tersebut didapat dari teorema phytagoras . perhatikan gambar dibawah ini

Dengan menggunakan cara di atas kita dapat dengan mudah mendapat kan rumus norma vektor untuk ruang-3. Misal u adalah vektor di ruang-3 maka norma vektor u adalah

6. Jarak Antara Dua Vektor Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = ( v1, v2, .., vn) maka Euclidean dari u dan v dinyatakan dengan d (u, v) = || u – v || = ((u – v ) . (u – v )) ½ = √(𝑢1 − 𝑣1 )2 + (𝑢2 − 𝑣2 )2 + ⋯ (𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 )2

7. Sudut Antara Dua Sudut Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3, dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasilkali titik (dot product)atau hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) u . v didefinisikan oleh :

Berdasarkan rumus diatas, maka sudut diantara vektor u dan v dinyatakan sebagai kosinusnya:

8. Proyeksi Ortogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga disebut vektor-vektor ortogonal. Dua vektor taknol adalah vektor ortogonal jika dan hanya jika hasilkali titiknya adalah nol. Jika kita setuju menganggap u dan v saling tegak lurus ketika salah satu atau keduanya adalah 0, maka kita dapat menyatakan tanpa pengecualian bahwa dua vektor u dan v ortogonal (tegak lurus)

jika dan hanya jika u∙v=0. Untuk menyatakan bahwa u dan v adalah vektor-vektor ortogonal, kita menulis u⊥v.

Teorema : Jika 𝐮 𝑑𝑎𝑛 𝒂 adalah vektor-vektor ruang dua atau ruang tiga dan jika 𝑎≠0, maka ,

Pembuktian : Misalkan : w1=𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝐮 dan w2=𝐮−𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝐮 Karena w1 sejajar dengan a maka w1 = ka. Sehingga u = w1 + w2 = ka + w2 Berdasarkan teorema (a), maka u.a

= (ka + w2) . a

𝐮.𝒂

= 𝑘‖𝒂‖𝟐 + 𝒘𝟐 .𝒂

𝐮.𝒂

= 𝑘‖𝒂‖𝟐

𝑘

=𝐮.𝒂/‖𝒂‖𝟐

𝑘.𝒂

=𝐮

.𝒂/‖𝒂‖𝟐.𝒂

𝒘𝟏

=𝐮

.𝒂/‖𝒂‖𝟐.𝒂

𝑝𝑟𝑜𝑦𝑎𝐮=𝐮

.𝒂/‖𝒂‖𝟐.𝒂

Karena w2 = 𝐮−𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝐮 dan 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑎𝐮=𝐮

.𝒂/‖𝒂‖𝟐.𝒂

maka, w2 = 𝐮 − 𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝐮 𝐮 – 𝑝𝑟𝑜𝑦𝒂𝐮 = 𝐮−

𝐮 .𝒂/‖𝒂‖𝟐.𝒂

RUANG VEKTOR DEFINISI 3.7 Misalkan V adalah sebarang himpunan benda pada mana didefinisikan dua jenis operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian skalar. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u,v,w, di dalam V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita menamakan V sebuah ruang vektor dan benda-benda di dalam V dinamakan vektor.

1. jika u dan v adalah benda-benda didalam V, maka u + v berada didalam V 2. u + v = v + u 3. u + (v + w)= (u + v) + w) 4. ada sebuah benda 0 di dalam V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di dalam V. 5. untuk setiap u di dalam V, ada sebuah benda –u di dalam V yang dinamakan negatif dari u sehingga u + (-u) + u = 0 6. jika k adalah sebarang bilangan real dan u adalah sebarang benda di dalam V, maka ku berada di dalam V 7. k(u + v) = ku + kv 8. (k + l)u = ku + lu 9. k(lu) = (kl)u. 10. 1u = u Untuk lebih jelasnya, kita masuk ke contoh soal. CONTOH 1 Periksa apakah himpunan V yang berisi semua matriks 2x2 dengan entri-entri bilangan real merupakan ruang vektor, jika operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku adalah operasi standar pada matriks. Ambil sebarang u,v,w € V dan k,m € R

SUB RUANG Definisi 3.8 Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut suatu sub ruang dari V jika W sendiri adalah suatu rang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V. Teorema 3.2 Jika W adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah sebuah sub ruang dari V jika dan hanya jika dipenuhi dua aksioma berikut : 1. jika u dan v vektor-vektor di dalam W maka u + v berada di dalam W. 2. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di dalam W maka ku berada di dalam W Kedua aksioma di atas ekuivalen dengan mengatakan : ⋁u,v € W, dan ⋁k,l € R, maka ku + lv = € W

Bukti: Jika W adalah suatu subruang dari V , maka semua aksioma ruang vektor terpenuhi, khususnya aksioma 1 dan 6 berlaku. Tetapi aksioma-aksioma ini secara tepat adalah syarat-syarat 1 dan 2 (teorema 1). Catatan Suatu himpunan W yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu subruang disebut tertutup terhadap penjumlahan (closed under addition) jika syarat a pada teorema 1 berlaku, dan dikatakan tertutup terhadap perkalian skalar (closed under scalar multiplication) jika syarat b berlaku. Jadi teorema 1 menyatakan bahwa W adalah subruang dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar.

KOMBINASI LINIER •

Defenisi 3.9

sebuah vektor w dinamakan kombinasi linier dari vektor-vektor 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3,…………. 𝑣𝑛 , jika vektorvektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : w = k𝑣1 + k𝑣2 + k𝑣3 .......+ 𝑘𝑛 𝑣𝑛 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3,………………………. 𝑘𝑛 adalah skalar. •

Contoh soal :

tunjukan u = (2,3,-1) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari w = [𝑎1 = (1,0,1), 𝑎2 = (0,1,-1), 𝑎3 = (1,1,-1). 

Jawab : Akan mencari skalar 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 yang memenuhi : U

= k𝑎1 + k𝑣𝑎2 + k𝑎3

(2,3,-1)

= 𝑘1 (1,0,1) + 𝑘2 (0,1,-1) + 𝑘3 (1,1,-1)

(2,3,-1)

= (𝑘1 ,0, 𝑘1 ) + (0, 𝑘2 ,- 𝑘2 ) + 𝑘3 (𝑘3 , 𝑘3 ,- 𝑘3 )

(2,3,-1)

= (𝑘1 + 𝑘3 , 𝑘2 + 𝑘3 , 𝑘1 - 𝑘2 - 𝑘3 )

Membentuk persamaan linier :

2 = 𝑘1 + 𝑘3 3 = 𝑘2 + 𝑘3 -1= 𝑘1 - 𝑘2 - 𝑘3 Dengan menggunakan eliminasi gaus Jordan ,SPL ini akan di selesaikan : 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 [(0 1 1 |3)] b3-b1 [(0 1 1 | 3 )]b3-b2 [(0 1 1 −1 −1 1 0 −1 −2 −3 0 0

1 2 1 |3)]b1+b3, b2+b3 −1 0

1 0 0 2 [(0 1 0 |3)] 0 0 −1 0 Jadi , 𝑘1, = 2 , 𝑘2, = 3 , 𝑘3 = 0 Kombinasi linier adalah u = 2a1 + 3a2 + 0a3

Membangun Dan Bebas Linier Definisi 3.10 : Jika u1, u2, ......., un adalah vektor-vektor dalam ruang V , dan jika tiap-tiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari : v1, v2, ....vn maka dinyatakan bahwa vektor-vektor tersebut membangun (merentang) V. Contoh soal : Apakah himpunan –himpunan dibawah ini membangun ruang vektor yang sesuai ?? a. B = { u1 = (1,2) , u2 = (-1,1 ) , u3 = (0,3) } b. Q = { P1 = 2 + x + 2x2 , P2 = -1 + 2x + 3x2 , P3 = 3x + 4x2 } c. M = m1 = {[

2 0 0 3 1 0 ] , m2 = [ ] , m3 = [ ]} −1 0 2 1 2 1

Penyelesaian : a. Karena B ⊆ R2, akan ditunjukkan bahwa B membangun R2 yang berarti apakah w = (a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari B yang berarti pula apakah persamaan w = k1u1 + k2u2 + k3u3 selalu mempunyai penyelesaian , (a,b ) = k1(1,2) + k2( -1,1) + k3(0,3) (a,b ) = (k1,2 k1) + (-k2, k2) + (0, 3k3) (a,b ) = ( k1 - k2, 2 k1 + k2 + 3k3 ) Dengan demikian , didapat sistem persamaan linear

a = k1 - k2 b = 2 k1 + k2 + 3k3 yang dapat diselesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan berikut . [

1 −1 0 𝑎 1 | ] b2 – 2b1 ∼ [ 2 1 3 𝑏 0

𝑎 −1 0 | ] 1/3 b2 ∼ 3 3 𝑏 − 2𝑎

𝑎 1 −1 0 (𝑏−2𝑎) 1 0 [ | ] b1 + b2 ∼ [ 0 1 1 0 1 3

𝑎+𝑏

1 | 3 ] 1 (𝑏−2𝑎) 3

Jika dikembalikan ke bentuk sistem persamaan linier akan didapat 𝑎+𝑏

k1 + k3 =

3

k2 + k3 =

𝑏−2𝑎 3

dengan subtitusi mundur didapat

k1 = k2 =

𝑎+𝑏 3

− k3

𝑏−2𝑎 3

− k3

Karena k3 dapat bernilai sebarang maka k3 dimisalkan sebagai sebuah parameter, k3 = t , sehingga akibatnya k1=

𝑎+𝑏 3

− 𝑡 dan k2 =

𝑏−2𝑎 3

– t , yang berarti selalu mempunyai

penyelesaian . Jadi B membangun R2 b. Karena Q ⊆ P2 , maka yang akan ditunjukkan ialah Q membangun P2 yang berarti pula akan ditunjukkan apakah persamaan w = k1p1 + k2p2 + k3p3 selalu mempunyai penyelesaian untuk bentuk umum w w = a + bx + cx2 a + bx + cx2 = k1( 2 + x + 2x2 ) + k2( -1 + 2x + 3x2 ) + k3( 3x + 4x2 ) a + bx + cx2 = ( 2 k1+ k1x + 2 k1x2 ) + (-k2+ 2 k2x + 3 k2x2) + (3 k3x + 4 k3x2) a + bx + cx2 = ( 2 k1-k2 ) +( k1x + 2 k2x + 3 k3x ) + (2 k1 x2 + 3 k2x2+ 4 k3x2) a + bx + cx2 = ( 2 k1-k2 ) +( k1 + 2 k2 + 3 k3) x + (2 k1 + 3 k2+ 4 k3) x2

yang menghasilkan sistem persamaan liniear a = 2 k1-k2

b = k1 + 2 k2 + 3 k3 c = 2 k1 + 3 k2+ 4 k3 Dengan demikian didaat persamaan matriks 𝑎 2 −1 0 k1 [1 2 3] ⌈ k2⌉ = [𝑏 ] 𝑐 2 3 4 k3 Persamaan matriks diatas selalu mempunyai penyelesaian jika matriks koefisiennya mempunyai invers , yang berarti determinan matriks koefisiennya tidak sama dengan nol 2 −1 0 0 −5 −6 𝑏1 − 2𝑏2 [1 2 3 ] = [1 2 3] 𝑏3 − 2𝑏2 2 3 4 0 −1 −2 −5 −6 = −⌈ ⌉ −1 −2 = - ( 30 -6 ) = -24 ≠ 0 Jadi terbukti Q membangun P2

c. Karena M ⊆ M 2X 2 maka akan ditunjukkan bahwa M membangun M 2X 2 tersebut . Berarti pula akan ditunjukkan apakah persamaan w = k1m1 + k2m2 + k3m3 selalu 𝑎 mempunyai penyelesaian untuk bentuk umum w = ⌈ 𝑐 2 0 𝑎 𝑏 0 3 1 0 ⌈ ⌉ = k1 ⌈ ⌉ + k2 ⌈ ⌉ + k3 ⌈ ⌉ −1 0 2 1 2 1 𝑐 𝑑 2𝑘1 + 𝑘3 3𝑘2 𝑎 𝑏 ⌈ ⌉= ⌈ ⌉ −𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 𝑘2 + 𝑘3 𝑐 𝑑

𝑏 ⌉ 𝑑

Dan didapat sistem persamaan linear a = 2 k1 + k3 b = 3 k2 c = -k1 + 2 k2+ 2 k3 d = k2+ k3

yang diselesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan sebagai berikut .

2 0 0 3 [ −1 2 0 1 −1 2 0 3 [ 0 4 0 1 −1 0 ~[ 0 0 −1 2 0 1 [ 0 0 0 0

1 𝑎 −1 2 2 𝑎 0 3 0 𝑏 0 𝑏 | ] 𝑏2 ↔ 𝑏1~ [ | ] B3 : b3 + 2b1 ~ 2 0 1 𝑐 2 𝑐 1 𝑑 0 1 1 𝑑 𝑐 𝑐 2 −1 2 2 𝑏 𝑑 0 1 1 0 𝐵3 ∶ 𝑏3 − 4𝑏2 |𝑎 + 2𝑐] 𝑏4 ↔ 𝑏2~ [ |𝑎 + 2𝑐 ] 0 4 5 5 𝐵4 ∶ 𝑏4 + 3𝑏2 𝑏 1 −2 0 3 0 𝑐 2 2 𝑑 1 1 | ] 𝐵4 ∶ b4 + 3b3 ~ 0 1 𝑎 + 2𝑐 − 4𝑑 𝑏 − 3𝑑 0 −3 𝑐 2 𝑑 1 | ] 𝐵4 ∶ b4 - 13b3 𝑎 + 2𝑐 − 4𝑑 1 0 3𝑎 + 6𝑐 + 𝑏 − 15 𝑑

Dari matriks diatas terlihat bahwa system persamaan linear tersebut hanya mempunyai penyelesaian jika 3𝑎 + 𝑏 + 6𝑐 − 15 𝑑 = 0, sedangkan yang diminta ialah sebarang nilai a,b,c,dan d. Jadi ada matriks 2 X 2 yang tidak bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari M .

Definisi 3.11 : Dari vektor v1 dan v2 membentuk sebuah himpunan yang bergantung linier jika dan hanya jika satu diantara vektor-vektor tersebut adalah kelipatan skalar dari yang lainnya. Misalkan S = { v1, v2 } bergantung linier , maka k1v1 + k2v2 = 0 mempunyai penyelesaian lain dari k1- k2 = 0 yang mempunyai penyelesaian k1≠ 0 persamaan tadi dapat ditulis seperti berikut : k2

k1

k2

k2

V1 = ( − k1 ) V2 atau V2 = ( − k2 ) V1 Sebaliknya jika V1 = ( − k1 ) V2 atau V2 = ( − k1 ) V1 , maka persamaan – persamaan itu dapat ditulis k1v1 + k2v2 = 0 yang mempunyai penyelesaian k1 ≠ 0 dan k2 ≠ 0 jadi { v1, v2 } bergantung linier. Dua vektor R2 atau R3 bergantung linier jika dan hanya jika vektor tersebut terletak pada garis yang sama. Jika S = {v1, v2, ....vn } adalah sebuah himpunan vektor k1v1 + k2v2......... knvn = 0 , mempunyai paling sedikit satu pemecahan , yakni : k1 = 0, k2 = 0, ......., kn = 0 Jika ini adalah satu-satunya pemecahan maka S dinamakan sebuah himpunan yang bebas linier ( linearly independent ) . Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan sebuah himpunan yang tak bebas linier .

Cara alternatif untuk menentukan suatu sistem bebas linear atau tak bebas linear, yaitu cukup dengan memeriksa/meninjau apakah matriks det (A) = 0 atau tidak. 

Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) = 0, maka antara satu vektor dan vektor lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear .



Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) ≠ 0, maka antara satu vektor dan vektor lainnya tidak saling tergantung atau S bebas linear

Contoh soal : Apakah himpunan-himpunan dibawah ini bebas linear ? a. B = { u1 = (1,2) , u2 = (-1,1 ) , u3 = (0,3) } b. Q = { P1 = 2 + x + 2x2 , P2 = -1 + 2x + 3x2 , P3 = 3x + 4x2 } 2 0 0 3 1 0 c. M = m1 = {[ ] , m2 = [ ] , m3 = [ ]} −1 0 2 1 2 1 Penyelesaian : a. Karena B ⊆ R2, maka untuk menunjukkan B bebas linear berarti harus ditunjukkan bahwa persamaan vektor o = k1u1 + k2u2 + k3u3 dimana o = (0,0) hanya mempunyai penyelesaian trivial saja. (0,0 ) = k1 (1,2) + k2 (-1,1) +3k3 (0,3) (0,0 ) = ( k1,2 k1) + ( - k2, k2) + (0,3 k3) (0,0 ) = ( k1- k2, 2 k1 + k2+ k3) Yang dari sini didapat sistem persamaan linear 0 = k1- k2 0 = 2 k1 + k2+ k3 Yang dapat diselesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss – Jordan sebagai berikut : 1 −1 0 0 1 −1 | ] b2 – 2b1 ∼ [ 2 1 3 0 0 3 1 −1 0 0 1 0 1 [ | ] b1 + b2 ∼ [ 0 1 1 0 0 1 1 [

0 0 | ]∼ 3 0 0 | ] 0

Jika dikembalikan ke bentuk sistem persamaan linier akan didapat k1 + k3 = 0 k2 + k3 = 0

dengan subtitusi mundur didapat

k1 = - k3 k2 = - k3 Karena k3 dapat bernilai sebarang maka k3 dimisalkan sebagai sebuah parameter, k3 = t , sehingga akibatnya k1= −𝑡 dan k2 = – t , yang berarti mempunyai penyelesaian yang tak trivial .. Jadi B tak bebas linear.

b. Karena Q ⊆ P2 , untuk menunjukkan bahwa Q bebas linear berarti harus pula ditunjukkan apakah persamaan vektor o = k1p1 + k2p2 + k3p3 hanya mempunyai penyelesaian trivial saja untuk o = 0 = 0 + 0x + 0x2 0 + 0x + 0x2 = k1( 2 + x + 2x2 ) + k2( -1 + 2x + 3x2 ) + k3( 3x + 4x2 ) 0 + 0x + 0x2 = ( 2 k1+ k1x + 2 k1x2 ) + (-k2+ 2 k2x + 3 k2x2) + (3 k3x + 4 k3x2) 0 + 0x + 0x2 = ( 2 k1-k2 ) +( k1x + 2 k2x 3 k3x ) + (2 k1 x2 + 3 k2x2+ 4 k3x2) 0 + 0x + 0x2 = ( 2 k1-k2 ) +( k1 + 2 k2 + 3 k3) x + (2 k1 + 3 k2+ 4 k3) x2

yang menghasilkan sistem persamaan liniear 0 = 2 k1-k2 0 = k1 + 2 k2 + 3 k3 0 = 2 k1 + 3 k2+ 4 k3 Dengan demikian didapat persamaan matriks 2 −1 0 k1 0 [1 2 3] ⌈ k2⌉ = [0] 2 3 4 k3 0 Persamaan matriks diatas selalu mempunyai penyelesaian trivial jika matriks koefisiennya mempunyai invers yang berarti determinan matriks koefisiennya tidak sama dengan nol 2 −1 0 0 −5 −6 𝐵1 ∶ 𝑏1 − 2𝑏2 [1 2 3 ] = [1 2 3] 𝐵3 ∶ 𝑏3 − 2𝑏2 2 3 4 0 −1 −2

−5 −6 = −⌈ ⌉ −1 −2 = - ( 30 -6 ) = -24 ≠ 0 Jadi terbukti Q bebas linear

c. Karena M ⊆ M 2X 2 untuk menunjukkan bahwa M bebas linear berarti harus ditunjukkan apakah persamaan vector o = k1m1 + k2m2 + k3m3 hanya mempunyai 0 0 ⌉ 0 0 0 0 2 0 0 3 1 0 ⌈ ⌉ = k1 ⌈ ⌉ + k2 ⌈ ⌉ + k3 ⌈ ⌉ 0 0 −1 0 2 1 2 1 0 0 2𝑘1 + 𝑘3 3𝑘2 ⌈ ⌉= ⌈ ⌉ 0 0 −𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 𝑘2 + 𝑘3 penyelesaian trivial untuk o = ⌈

Dan didapat system persamaan linear 0 = 2 k1 + k3 0 = 3 k2 0 = -k1 + 2 k2+ 2 k3 0 = k2+ k3

SPL ini dapat diselesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan sebagai berikut: 2 0 [ −1 0 −1 0 [ 0 0

0 3 2 1 2 3 4 1

−1 2 0 1 [ 0 4 0 3 −1 0 ~[ 0 0

1 0 −1 0 0 0 | ] 𝑏3 ↔ 𝑏1~ [ 2 2 0 1 0 0 2 0 0 0 | ] 𝑏4 ↔ 𝑏2~ 5 0 1 0

2 3 0 1

2 0 0 0 | ] B3 : b3 + 2b1 ~ 1 0 1 0

2 0 −1 1 0 𝐵3 ∶ 𝑏3 − 4𝑏2 0 | ] ~[ 5 0 𝐵4 ∶ 𝑏4 − 3𝑏2 0 0 0 0 2 2 0 1 1 0 𝐵1 ∶ 𝑏1 + 2𝑏3 | ] 0 1 0 𝐵2 ∶ 𝑏2 − 𝑏3 0 0 0

2 1 0 0

2 0 1 0 | ] 𝐵4 ∶ b4 + 3b3 1 0 −3 0

−1 0 [ 0 0

2 1 0 0

0 0 −1 0 0 0 | ] 𝐵1 ∶ 𝑏1 − 2𝑏2 ~ [ 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0 | ] 1 0 0 0

Jika dikembalikan ke sistem persamaan linear didapat -k1 = 0 , k2 = 0 , k3 = 0 yang berarti persamaan vektor diatas hanya mempunyai penyelesaian trivial saja. Jadi M bebas Linear . TEOREMA 3.3 Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut: (a) Tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S. (b) Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S. Pembuktian: (a) Anggap S = {v1, v2,..., vr} adalah suau himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika kita asumsikan bahwa S tak bebas secara linear, maka ada skalar-skalar k1, k2,..., kr tidak semuanya nol, sedemikian sehingga k1v2 + k2v2 + ... + krvr = 0

(1)

Secara khusus, anggap k1 ≠ 0. Maka (1) dapat ditulis ulang sebagai 𝑘

𝑘

V1 = − 𝑘2 v1 + ... + − 𝑘2 vr 1

1

Yang menyatakan v1 sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S. Demikian juga, jika kj ≠ 0 dalam (1) untuk j = 2, 3, ..., r, maka vj dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S. Sebaliknya, mari kita mengasumsikan bahwa paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Secara khusus, anggap bahwa v1 = c1v2 + c2v2 + ... + crvr sehingga v1 - c1v2 - c2v2 - ... - crvr = 0 dipenuhi oleh k1 = 1,

k2 = -c2,

... ,

kr = -cr

yang tidak semuanya nol. Bukti dalam kasus dimana suatu vektor selain v1 dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S adalah serupa. (b) Anggap S = {v1, v2,..., vr} adalah suau himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika kita asumsikan bahwa S bebas secara linear, maka skalar-skalar k1, k2,..., kr semuanya nol, sedemikian sehingga k1v2 + k2v2 + ... + krvr = 0 diperoleh k1 = 0,

k2 = 0, ... ,

kr = 0

Karena semua skalar bernilai nol, dengan demikian dapat dinyatakan bahwa suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor yang bebas secara linear, tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S.

BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Berdasarkan pemamaparan diatas dapat disimpulkan bahwa dari bab yang kami bahas bahwa bagian dari ruang vektor disini adalah operasi-operasi pada vektor ruang 3 dimensi dan sub ruang vektor , kombinasi linear beserta pembuktiannya. B. SARAN

Adapun kekurangan dari penulisan makalah ini , penulis berharap kritikan dari pembaca yang membangun pembuatan makalah ini kedepannya.