Fungsi

Fungsi Definisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan tak hampa. Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Bilamana fungsi ini kita beri nama f, maka unsur y di B yang merupakan pasangan unsur x di A kita beri lambang y = f(x). Jadi kita mempunyai fungsi: f : a →B y = f(x) dalam kasus ini y = f(x) dinamakan persamaan fungsi f, dan pada suatu fungsi seringkali yang diberikan hanya persamaan fungsinya saja. Disini x ∈ A dan y ∈ B pada persamaan fungsi y = f(x) masing-masing dinamakan variabel bebas dan variabel tak bebas. Diagram Venn Setiap unsur di A harus mempunyai pasangan. Pasangannya adalah tepat satu unsur di B, ini berarti bahwa tidak mungkin terjadi satu unsur di a mempunyai lebih dari satu pasangan unsur di B Himpunan A dinamakan daerah definisi (daerah asal/wilayah/domain) fungsi f dan diberi lambang Df. Kemudian himpunan semua nilai y di B yang mempunyai pasangan dengan unusr di A dinamakan daerah nilai (daerah hasil/jelajah/rangkuman/range) fungsi f dan diberi lambang Rf. Jadi pada fungsi f : A → B, y = f(x) daerah definisinya adalah Df = A dan daerah nilainya adalah Rf = { y ∈ B | y = f(x), x ∈ A} = { f(x) ∈ B | x ∈ A}. Dari definisi menyatakan bahwa setiap fungsi selalu menghasilkan himpunan pasangan terurut dengan pasangan pertama di A dan pasangan kedua di B. Sebaliknya, suatu pasangan terurut yang diberikan akan memenuhi definisi fungsi bilamana semua pasangan terurut tersebut memenuhi komponen pertama yang berbeda. Ini berarti bahwa komponen pertama dari pasangan terurutnya muncul satu kali dalam setiap pasangan. Karena itu fungsi dapat juga didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut yaitu:

Definisi : Suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana semua pasangan terurut mempunyai komponen pertama yang berbeda dinamakan fungsi. Dengan demikian fungsi f ditulis F = {(x,y) | y = f(x)}, Atau disingkat

1

y = f(x) disini y = f(x) adalah suatu aturan atau persamaan yang membuat suatu himpunan pasangan terurut menjadi fungsi. Aturan y = f(x) ini dinamakan persamaan fungsi, x dinamakan variabel bebas dan y variabel tak bebas. y = f(x) Df = himpunan semua nilai x sehingga nilai y ada, dan Rf = himpunan semua nilai y dengan x berasal dari daerah definisinya. Kesamaan dua fungsi didefinisikan sebagai berikut: Dua fungsi f dan G dikatakan sama, ditulis f = g jika Df = Dg = D dan f(x) = g(x) untuk setiap x ∈ D. Contoh: Diketahui A = {3, 4, 5, 6, 8, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Jika f : A → B, f(n) = banyaknya faktor dari n, Vn ∈ A, tentukan unsur-unsur fungsi f, daerah definisi dan daerah nilainya. Grafik suatu fungsi di R2 didefinisikan sebagai berikut.

Definisi Jika A ⊂ R dan f : A → R adalah suatu fungsi, maka grafik fungsi f adalah himpunan semua titik (x,y) di R2 sehingga (x,y) merupakan suatu pasangan terurut dalam f. Contoh: Diketahui fungsi -x2 + 1, x < 0 f(x) =

x2

,0 ≤ x ≤ 2

-x + 6 , x ≥ 2.

Definisi Operasi pada fungsi Jika f dan g masing-masing adalah fungsi, maka 1. Jumlah dari f dan g, dinyatakan dengan f + g, adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh ( f + g )(x) = f(x) + g(x) 2. Selisih dari f dan g, dinyatakan dengan f – g, adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh ( f – g )(x) = f(x) – g(x) 3. Hasil kali dari f dan g, dinyatakan dengan fg, adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh (fg)(x) = f(x)g(x) Khususnya, hasil kali konstanta c dengan fungsi f, di nyatakan dengan cf, adalah fungsi yang didefinisikan oleh (cf)(x) = c f(x) 4. Hasil bagi dari f dan g, dinyatakan dengan f/g, adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh 2

(f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0 Dalam setiap kasus daerah definisi dari hasil operasi fungsi ini adalah irisan dari daerah definisi fungsi asalnya, yaitu Df ∩ Dg, kecuali dalam kasus, f/g, nilai-nilai x yang membuat g(x) = 0 dibuang. Bilamana grafik fungsi f dan g diberikan, maka grafik fungsi hasil operasi f dan g dapat dibuat sketsanya dengan cara menentukan hasil operasi di setiap titik sepanjang daerah definisinya. Contoh:

1− x 1 dan g ( x) = , tentukan fungsi f + g, f – g, fg, f/g dan g/f beserta 1+ x x daerah definisinya. Jika f ( x) =

Definisi Titik (x1, y1) terletak pada grafik fungsi f jika y1 = f(x1) merupakan suatu pernyataan yang benar. Sebagai ilustrasi, titik (½π, 1) terletak pada grafik fungsi y = sin x karena 1 = sin ½π adalah pernyataan yang benar, sedangkan titik (π, ½) tidak terletak pada grafik fungsi y = sin x karena ½ = sin π adalah pernyataan yang salah. Pergeseran grafik fungsi y = f(x) sepanjang garis berarah (a, b) diberikan oleh rumus berikut ini. Grafik fungsi y = f(x – a) + b, a > 0 dan b > 0 diperoleh dengan menggeserkan grafik fungsi y = f(x) sejauh a satuan ke kanan (ke arah sumbu X positif) dan b satuan ke atas ( ke arah sumbu Y positif). Catatan: Dalam kasus a < 0 atau b < 0, maka arah pergeserah berubah sebagai berikut: 1. a > 0 dan b > 0; arah pergeseran ke kanan dan ke atas 2. a < 0 dan b > 0; arah pergeseran ke kiri dan ke atas 3. a > 0 dan b < 0; arah pergeseran ke kanan dan ke bawah 4. a < 0 dan b < 0; arah pergeseran ke kiri dan ke bawah Contoh Grafik fungsi y = x2 – 2x diperoleh dengan menggeserkan grafik fungsi y = x2 sejauh 1 satuan ke kanan dan 1 satuan ke bawah, karena y = x2 – 2x = (x – 1)2 – 1 Fungsi dengan nilai mutlak dan fungsi bilangan bulat terbesar Untuk menggambarkan grafik fungsi dengan nilai mutlak, langkah pertama adalah mengubah bentuk persamaan fungsinya ke bentuk yang tiak mengandung nilai mutlak. Kemudian gambarkan fungsinya pada setiap selang yang terlibat. Contoh: Gambarkan grafik fungsi F(x) = x | x | + | x – 2 |

3

Dari definisi nilai mutlak, kita memperoleh | x| = x bilamana x ≥ 0 dan | x | = -x bilamana x < 0. Juga | x – 2| = x – 2 bilamana x ≥ 2 dan | x – 2 | = -x + 2 bilamana x < 2. Titik x = 0 dan x = 2 ini membagi garis bilangan menjadi tiga daerah yaitu x < 0, 0 ≤ x < 2 dan x ≥ 2. Jika x < 0, yang berarti juga x < 2, maka | x | = -x dan | x – 2| = -x + 2, sehingga f(x) = x(-x) + (-x + 2) = -x2 – x +2 Jika 0 ≤ x < 2, maka | x | = x dan | x – 2 | = -x + 2, sehingga f(x) = x.x + (-x+2) = x2 – x +2. Jika x ≥ 2, yang berarti juga x > 0, maka | x | = x dan | x – 2 | = x – 2, sehingga f(x) = x.x + ( x – 2 ) = x2 + x – 2. Jadi

f(x)

-x2 – x +2

,x<0

x2 – x +2

,0≤x<2

x2 + x – 2

,x≥2

Definisi Jika x suatu bilangan real, lambang [[ x ]] digunakan untuk menyatakan biangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x yaitu [[ x ]] = n jika n ≤ x n + 1, n bilangan bulat Fungsi f(x) = [[ x ]] dinamangan fungsi bilangan bulat terbesar. Jika x suatu bilangan real, maka ada tak berhingga banyaknya bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan x, yang pada garis bilangan digambarkan di sebelah kiri x. Diantara semua bilangan bulat tersebut ada yang terbesar, dan bilangan terbesar inilah yang dimaksud dengan [[ x ]]. Sebagai ilustrasi, jika x = 1½, maka bilangan bulat ..., -3, -2, -1, 0, 1 Semuanya kurang dari 1½. Diantara jajaran bilangan ini, 1 adalah yang terbesar, sehingga [[ 1½ ]] = 1. Demikian juga jika x = -3, maka bilangan bulat ..., -6, -5, -4, -3 Semuanya kurang dari atau sama dengan -3. Diantara jajaran bilangan ini, -3 adalah yang terbesar, sehingga [[ -3 ]] = -3

4