Funciones Y Relaciones

1.FUNCIONES una función f de un conjunto X en un conjunto Y es una asignación o correspondencia matemática denotada por:

tal que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. También se usa llamar aplicaciones a las funciones. Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento se denota

con un (y sólo un)

, en lugar de

Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una. , Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,

2. Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Notación y nomenclatura Valor o imagen Sea (o sea, f es una función de (el conjunto) X en (el conjunto) Y. Cuando x es un elemento de X, se denota por f(x) al elemento de Y asignado por la función f a x. Decimos que f(x) es el valor o imagen de la función f en el argumento x. Dominio El dominio de

es el conjunto X. Dicho conjunto también se llama conjunto de

entrada o conjunto inicial. Se denota por

o

.

Codominio El codominio, conjunto de llegada, conjunto final o ``rango de Se denota por

o

es el conjunto Y.

.

Imagen La imagen, alcance o recorrido de la función

es el subconjunto de Y formado por

todos los valores o imágenes de elementos de X por f. Se denota por

o

o

.

Preimagen Una preimagen de un

es algún

tal que

.

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio. Ejemplos

•

La función definida por

, tiene como dominio, rango e imagen a

todos los números reales

Función con Dominio X y Rango Y

•

Para la función

tal que

, en cambio, si bien su dominio y

rango son iguales a , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

•

En la figura se puede apreciar una función

, con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta

función

representada

como

relación,

queda:

Igualdad de funciones Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:

1. tienen igual dominio, A=C, 2. tienen igual codomino, B=D, y 3. tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x). Representación de funciones Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

•

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el {\rm dominio naturl],} de la función. Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales. Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

•

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo: X| -2 -1 0 1 2 3 Y| 0 1 2 3 4 5

•

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos. Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

•

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas. Ejemplo: 5 4 3 2 1 0 y/x

X X X X X X -2

-1

0

1

2

3

Clasificación de las funciones Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

•

Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.

•

Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.

•

Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico. 'Definiciones alternas: sea Y. Consideremos la ecuación

dada y sea b un elemento cualquiera del codominio

. •

la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.

•

la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.

•

la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico. Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen. En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B. En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos. Ejemplo en el diagrama de la figura: todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva. Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

,

,

,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva. Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen. En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A. Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y. Ejemplo en el diagrama de la figura: el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva. todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva. Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos. Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

,

,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen. En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B. Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

•

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura: todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva. Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.

2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.

3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos. Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

,

,

,

y el de caras como conjunto final:

,

,

,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva. Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés. Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos. En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B. Ejemplo en el diagrama de la figura: el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utiliza en ningun momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la funcion se emplea de forma rotativa y no se representa en las graficas Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

,

,

,

y como conjunto final el de caras coloreadas:

,

,

,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática. Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva. _______________________________________________________________ RESUMEN ______________________________________________________________

Sobreyectiva, no inyectiva

Biyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones La Composición de funciones Artículo principal: Función compuesta Dadas funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

La función identidad Artículo principal: Función identidad

Dado un conjunto , la función que asigna a cada x de se denomina función identidad. También se simboliza por 1A o idA. Dada cualquier función es

, se cumple que también

igual

a

,

puesto

el mismo x de A,

es igual a f y que que

tenemos

que

para

todo

y también

Se verifica que •

la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.

•

la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.

•

la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La Restricción de una Función Sea C un subconjunto de A. La inclusión de C en A permite definir una función de C en A que asigna a cada elemento de C el mismo elemento,pero considerado como elemento de A. Decimos que tal función es la función definida por la inclusión. Sea

y sea

composición

define una función de

denota por

un subconjunto de en

. Sea i la función definida por la inclusión. La que se llama la restricción de f a C y que se

.

Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa Artículo principal: Función recíproca

Dada una función

, se llama una (función) inversa de

, a una función

tal que se cumple las siguientes condiciones: . Decimos también que la función f es invertible Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por

.

Se verifica también las siguientes propiedades. •

Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.

•

La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f.

•

La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su imversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido. .

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas Sea A un conjunto y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en si mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que

1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que

2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, tenemos que

,

.

3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que

.

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas

, Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de

composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de

.

Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.