Relaciones Y Funciones

Desde la antigüedad, el hombre ha observado que distintos objetos y fenómenos que aparecen en la naturaleza están relacionados entre sí, lo que posibilita establecer una correspondencia de causa-efecto entre ellos. Imagínese una función como una máquina que le hace corresponder a un elemento de un primer conjunto, un elemento bien definido de un segundo conjunto. Así también, es posible usar dos o más máquinas (funciones), de forma tal que el resultado de la primera máquina alimente a la segunda máquina (función de función). Por lo tanto, una función es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x, de un conjunto llamado dominio, un único objeto f(x) de un segundo conjunto. Esta definición no impone restricciones a los conjuntos citados, pero no permite que a una entrada le corresponda más de una salida. La teoría de funciones se convirtió en el problema preliminar del análisis infinitesimal. El concepto de función tenía dos aspectos: la función como correspondencia y la función como expresión analítica. En el transcurso de los años treinta y cuarenta del siglo XVIII, en lo fundamental gracias a Euler, fue cuando se elaboró, sistematizó y clasificó la teoría de las funciones elementales analíticas.

Joseph Louis Lagrange (Italia, 1736-1813)

Habitualmente se considera que Joseph Louis Lagrange era un matemático francés, pero la Enciclopedia italiana se refiere a él como un matemático Italiano, lo cual es muy razonable, pues Lagrange nació en Turín y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia. Una especulación insensata, llevada a cabo por su padre, abandonó a Lagrange a sus propios recursos a una edad temprana. Pero este cambio de fortuna no resultó ser una gran calamidad, «pues de otro modo –dijo él– tal vez nunca hubiera descubierto mi vocación».

Pero el trabajo más serio fue: Teoría de las funciones analíticas, de Lagrange.

Pasó sus primeros años en Turín, su activa madurez en Berlín y sus últimos años en París, donde logró su mayor fama. A los dieciséis años de edad fue nombrado profesor de matemáticas en la Escuela Real de Artillería de Turín, donde el tímido muchacho –que no poseía recursos de oratoria y era de muy pocas palabras– mantenía la atención de hombres bastante mayores que él.

En la actualidad, el concepto de función es una noción matemática fundamental en todas las ciencias. Ya sea en Física, Química, Mecánica, Medicina,... el estudio de numerosos problemas conduce a establecer fórmulas (funciones) que permiten relacionar dos (o más) cantidades variables.

Lagrange estaba dispuesto a apreciar el trabajo sutil de los demás, pero estaba igualmente capacitado para descubrir errores. En una temprana memoria sobre las matemáticas del sonido señaló defectos, incluso en la obra de Newton. Otros matemáticos lo reconocían, sin envidia, primero como su compañero y, más tarde, como el mayor matemático viviente.

16

GUSTAVO A. DUFFOUR

2 RELACIONES Y FUNCIONES 1 – CONCEPTOS GENERALES SOBRE CONJUNTOS 1.1. INTRODUCCIÓN Se entiende por conjunto una agrupación o colección de objetos reunidos en virtud de una propiedad común.

NOTACIÓN Es habitual anotar el nombre de los conjuntos con letras mayúsculas y escribir sus elementos entre llaves, separados entre sí por comas. Ejemplo: M = {1, 2, 3, 4}

1.2. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Se dice que un conjunto está bien determinado cuando, dado un elemento cualquiera, es posible decidir si pertenece o no al conjunto. Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran cada uno de sus elementos.

A = { a, b, c, d}

∈ significa: pertenece MATEMÁTICA DE CUARTO

A es el conjunto formado por: a, b, c y d (definido por extensión). Entonces d∈A (d pertenece al conjunto A), pero h∉A (h no pertenece a A). ∉ significa: no pertenece

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Un conjunto se determina por comprensión cuando se indica la propiedad común que tienen sus elementos: B = {x / x∈ ,

0 < x3 < 125}

Por extensión B = { 1, 2, 3, 4}           

B es el conjunto de los números naturales tales que, elevados al cubo, resultan entre cero y 125, (definido por comprensión). 4∈B pero 7∉B.







 

→ números naturales



/ significa: tal que

< significa: menor que

NOTA En todos los casos en que el dato del problema sea un conjunto determinado por comprensión, es necesario escribirlo por extensión para identificar sus elementos.

EJEMPLO:

Determinar por extensión:

i A = { x / x∈ , x = 2 ,

2 <   x < 10}

Son los números naturales ( ) múltiplos de 2, que se encuentran entre 2 (incluido este) y 10 (sin incluirlo). A = { 2, 4, 6, 8}

i 2 significa: múltiplo de 2

NOTA Los elementos de un conjunto numérico se representan generalmente por una variable x. En consecuencia, un conjunto numérico está formado por todos los números x que cumplen con una determinada propiedad que caracteriza los elementos del conjunto, y que se denominará p(x). A = {x / p(x)} A es el conjunto de elementos x, tal que x cumple la propiedad p.

18

GUSTAVO A. DUFFOUR

Conjunto unitario: es un conjunto formado por un solo elemento. Por ejemplo:

A = { a}

es un conjunto sin elementos. Se anota: φ

Conjunto vacío:

Puede suceder que ningún elemento satisfaga la condición de pertenencia, por ejemplo: a) El conjunto de los triángulos de cuatro lados es { } b) C = { x / x∈ ,

x + 2 = 0} = { }

(– 2 no es un número natural)

Todos los conjuntos vacíos son iguales, lo que significa que existe un solo conjunto vacío.

NOTA Se debe tener en cuenta que, el conjunto vacío φ no es el mismo que {φ} . El conjunto vacío se anota por extensión como: {  }

EJEMPLO:

A = { x / x∈ , 3 < (2x – 1) <  10}

Determinar por extensión

En este caso, los elementos del conjunto son los números naturales que hacen que la expresión (2x – 1) tenga un valor entre 3 y 10. Para Para Para Para Para Para

x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6

2(1) – 1 = 1 2(2) – 1 = 3 2(3) – 1 = 5 2(4) – 1 = 7 2(5) – 1 = 9 2(6) – 1 = 11

el resultado no es mayor que 3. el resultado no es mayor que 3. el resultado está entre 3 y 10, 3 pertenece al conjunto. el resultado está entre 3 y 10, 4 pertenece al conjunto. el resultado está entre 3 y 10, 5 pertenece al conjunto. el resultado es mayor que 10. A = { 3, 4, 5}

Dado el conjunto A = { 0, a, José María, 3 de enero}  Responder «verdadero» o «falso» y justificar la respuesta. 1)

0∈A

2)

3∉A

3)

María ∈ A

4)

3 de enero ∈ A

5)

φ∈A

6)

{}∈A

7)

José María ∈ A

8)

{ 0} ∉ A

Véanse los resultados en la página 240.

MATEMÁTICA DE CUARTO

19

2 – DIAGRAMAS DE VENN En el estudio de conjuntos resulta muy útil representar esquemáticamente los conceptos que se van a desarrollar. Se utilizan para ello los llamados diagramas de Venn. Por ejemplo, el conjunto A = { a, b, c} se representa:

C 13

D

a

11

3

E

b

11

A 10

13

4

c

I

15

11

8 A

G

11

B

H

F Ciertas propiedades de los conjuntos pueden ser mejor conceptualizadas a través del uso de los diagramas de Venn. Es importante recordar que estos diagramas solo son una aproximación que facilita la comprensión del tema, pero no constituyen una demostración rigurosa, ya que, aunque se examinaran exhaustivamente todos los casos posibles –lo que es muy engorroso, por cierto–, aún quedaría sin poder considerar por lo menos el conjunto vacío.

En el dibujo hay un grupo de nueve círculos, cada uno de ellos identificados por una letra, de la A a la I. Cada letra tiene un valor entre 1 y 9, que no se repite. Donde algunos círculos se superponen hay un número que es el resultado de la suma de los valores de los círculos. ¿Se anima a descubrir cuál es el valor de cada letra? Véase el resultado en la página 240.

Una objeción mucho más seria para las demostraciones con diagramas de Venn es que ocultan los pasos del pensamiento que se requieren para llevarlas a cabo; es decir, no se especifica la lógica que debe utilizarse para sombrear los diagramas.

John Venn

(Inglaterra, 1834-1923)

Publicó su primer libro, Lógica simbólica, en 1881, y Principios de lógica empírica, en 1889. El uso de diagramas en la lógica formal no es una historia fácil de seguir, pero es muy cierto que los diagramas son popularmente asociados con Venn, aunque su origen fue muy anterior.

20

GUSTAVO A. DUFFOUR

3 – PAR ORDENADO Un concepto muy importante es, el de par ordenado o cupla, o sea, dos elementos tomados en un orden.

Comúnmente se habla de cuplas, por ser pares ordenados: (a, b) o (x, y).

Con el par ordenado (a, b) se indicará que el elemento a se considera en el primer lugar y el b en segundo lugar.

Pueden ser ternas, con tres elementos: (a, b, c).

Recuérdese que el par ordenado se escribe entre paréntesis curvos.

En general se hablará de n-uplas con n elementos.

Dos cuplas son primer componente de componente de la componente de una componente de la otra.

iguales si y solo si el una es igual al primer otra, y el segundo es igual al segundo

(a, b) = (c, d)

si y solo si

a=c

y b=d

Es necesario no confundir el conjunto C = {a, b}, formado por dos elementos, con la cupla (a, b), pues se cumple: {a, b} = {b, a}

pero

(a, b) ≠ (b, a) si a ≠ b

4 – PRODUCTO CARTESIANO 4.1. DEFINICIÓN A partir de dos conjuntos (no vacíos) A y B, es posible definir un nuevo conjunto formado por todas las cuplas que se puedan formar, donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B. Se llamará producto cartesiano de dos conjuntos A y B, al conjunto de todas las cuplas (a, b) tales que a∈A y b∈B.

A × B = {(a, b) / a∈A ∧ b∈B}

Si el conjunto A es de m elementos y el conjunto B es de n elementos, el conjunto producto A × B es de m × n cuplas.

MATEMÁTICA DE CUARTO

21

EJEMPLO:

Dado

A = {2, 4, 6}

B = {m, n, q}

hallar A × B

Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponer sus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con los elementos del primer conjunto y una fila con los del segundo conjunto. 2 4 6

m (2, m) (4, m) (6, m)

n (2, n) (4, n) (6, n)

q (2, q) (4, q) (6, q)

La extensión de: A * B = {(2, m), (4, m), (6, m), (2, n), (4, n), (6, n), (2, q), (4, q), (6, q)}

EJEMPLO:

Dado A = {a, b, c}

hallar A * A

El producto cartesiano puede efectuarse entre los elementos de un solo conjunto, formando todos los pares ordenados posibles con los elementos de ese conjunto. a b c

a (a, a) (b, a) (c, a)

b (a, b) (b, b) (c, b)

c (a, c) (b, c) (c, c)

La extensión de: A * A = A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}

Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 6, de la página 34.

4.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO 1)

En el caso de tener en cuenta al conjunto vacío. El producto cartesiano entre dos conjuntos tiene como resultado el conjunto vacío, si por lo menos uno de los conjuntos es vacío. Sean los conjuntos E y F;

2)

E*F = φ

E=φ

y/o

F=φ

El producto cartesiano es distributivo con respecto a la unión y con respecto a la intersección de conjuntos. A * (B ∪ C) = (A * B) ∪ (A * C)

22

si y solo si

A * (B ∩ C) = (A * B) ∩ (A * C)

GUSTAVO A. DUFFOUR

3)

El producto cartesiano no es conmutativo.

4)

Si #(A) y #(B) son finitos: #(A * B) = #(A) * #(B)

El número de cuplas del producto cartesiano es igual al producto del número de elementos de los conjuntos que forman el producto cartesiano. Entre varios conjuntos finitos se cumple: #(A * B * C) = #(A) * #(B) * #(C)

El cardinal de un conjunto finito es la cantidad de elementos que tiene. NOTACIÓN:

# (A)

Téngase en cuenta que: # (φ) = 0

5 – RELACIÓN BINARIA A

R

B Dados dos conjuntos A y B, se llama relación binaria R de A en B, a una ley o criterio que hace corresponder a elementos de A, elementos de B.

Toda relación binaria de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano A*B. O sea que: R es una relación de A en B % R C A * B De modo que una relación binaria es un conjunto de cuplas, tal que sus elementos cumplen una determinada propiedad. La relación binaria R de A en B se anota:

R = {(a, b) / (a, b) ∈ A * B, a R b}

Una relación binaria R se puede establecer entre los elementos de un solo conjunto. Se anota:

R = {(a, b) / (a, b) e A * A,

a R b}

Los conjuntos A y B donde se define la relación binaria, se denominan: A: conjunto de partida. MATEMÁTICA DE CUARTO

B: conjunto de llegada.

23

Cada uno de los elementos a e A, que tiene su correspondiente en B, se denomina preimagen de b e B. El conjunto de todas las preimágenes se denomina dominio de la relación, y se anota D(R). El dominio de una relación no necesariamente es igual al conjunto de partida. Los elementos b e B que tienen por lo menos una preimagen se llaman imagen de a e A. El conjunto de todas las imágenes se denomina recorrido de la relación, y se anota R(R). El recorrido de una relación no necesariamente es igual al conjunto de llegada.

Si (1, 3) ∈ f se dice que 3 es la imagen de 1, y se escribe f(1) = 3 Si (– 4, 7) ∈ f se dice que – 4 es la preimagen de 7, y se escribe f(– 4) = 7

EJEMPLO:

Dados los conjuntos: A = {2, 3, 5, 8, 9} B = {3, 4, 6, 7, 9} y la relación R = {(x, y) / (x, y)eA * B, y = x + 1} 1) Hacer un diagrama de la relación. 2) Expresarla por extensión. 3) Determinar el dominio y el recorrido.

La relación esta definida por: R = {(x, y) / (x, y)eA * B, y = x + 1} 1) Diagrama

A

3 9

B

2

3 4

5

6

8

7 9

2) El conjunto de cuplas que pertenecen a la relación esta dada por: R = {(2, 3), (3, 4), (5, 6), (8, 9)} 3) Dominio de R. D(R) = {2, 3, 5, 8}

24

Recorrido de R. R(R) = {3, 4, 6, 9}

GUSTAVO A. DUFFOUR

6 – FUNCIONES 6.1. INTRODUCCIÓN Existencia. Se dice que una relación cumple existencia si todos los elementos del primer conjunto tienen, por lo menos, un correspondiente en el segundo. O sea, si su dominio es igual al conjunto de partida. Unicidad. Se dice que una relación cumple unicidad si cada elemento del dominio tiene una y una sola imagen. Una relación que cumpla unicidad y existencia se dice que es una relación funcional o, simplemente, una función.

Cuando no se especifica el dominio de una función real, siempre se supondrá que es el mayor conjunto de números reales para los cuales la fórmula funcional tenga sentido. Para ello es necesario estudiar sus condiciones de existencia analizando la estructura operativa de dicha fórmula.

6.2. DEFINICIÓN Una relación f entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B es una función de A en B, si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: t xeA E

yeB / (x, y)e f

(x, y) e f y (x, z) e f 6 y = z

(existencia) (unicidad)

6.3. NOTACIÓN Las funciones se nombran con una letra generalmente la f. Cuando es necesario hablar de varias funciones, se usan: g, h ... Es posible usar cualquier letra, salvo la x y la y, para evitar confusiones, pues estas generalmente indican números reales. En este caso, la letra x que representa a los elementos del conjunto preimagen (dominio), se llama variable independiente. Si f es la función, entonces el número que f asocia con x, se designa f(x). El conjunto de valores de f(x) se llama recorrido de la función. Recuérdese que el símbolo f(x) solamente tiene sentido cuando x pertenece al dominio de f; para otros x el símbolo f(x) no está definido. MATEMÁTICA DE CUARTO

Pues f representa la función, o sea, el conjunto de pares ordenados. Y f(x) es solo el segundo componente de cada par.

25

Es costumbre escribir y = f(x) Ello significa: «y es el valor que la función f asigna al elemento x». La letra y que representa los elementos del conjunto imagen (recorrido) se llama variable dependiente.

O sea, f: A → B es una función

⇔

f ⊆ A×B ∀ x∈A ⇒ existe un único y∈B / (x, y)∈f

NOTA En la práctica de trabajo se toleran algunas abreviaciones, tales como hablar de la función y = f(x) la cual confunde en rigor un número y una función, pero a pesar de todo resulta muy cómodo su uso. En este libro, en la mayoría de los casos se usará la forma abreviada, dada por el siguiente ejemplo: f: f(x) = x2 + 3x Se sobreentiende que está definida: D(f) →

D(f) ⊆

Los siguientes diagramas R1 y R2 son relaciones funcionales:

A

A

R1

R3

B

B

No es función la relación R3 porque a un elemento de corresponden varios en B.

26

A

A

dibujada, A le

R2

R4

B

B

No es función la relación R4 dibujada, porque hay elementos en A que no tienen un correspondiente en B. GUSTAVO A. DUFFOUR

7 – REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Se llama representación gráfica de una función f al conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas (x, f(x)) pertenecen a f. Es una muy buena manera de poder visualizar a todas las parejas (x, f(x))∈ f. Cada vez que se haga referencia a la representación gráfica de una función en un sistema de coordenadas cartesianas, se anotará por Gra(f). No son funciones las representaciones gráficas siguientes, porque existen valores de la variable x a los cuales les corresponden dos valores funcionales.

O

x

f(x) P

b O

x

a

Es el sistema formado por dos ejes perpendiculares x y cuyos orígenes coinciden en el punto O. Comúnmente se considera al eje x el horizontal, graduado positivamente hacia la derecha, y el eje y el vertical, graduado positivamente hacia arriba. A cada punto P del plano le corresponde uno y solo un par de (a, b) llamados valores coordenadas cartesianas o rectangulares del punto P.

O

x

Cuando se representa un punto en el plano, con un par de números reales (a, b), se conviene que la abscisa a se escribe en primer lugar, y la ordenada b, en segundo lugar. Por esa razón se considera

Estas representaciones gráficas sugieren una regla: Para que un dibujo sea la representación gráfica de una función f, cada recta vertical debe cortar al dibujo en un solo punto. Antes de continuar, es conveniente hacer los ejercicios 7 al 12, de la página 34.

MATEMÁTICA DE CUARTO

a

(a, b) como un par ordenado. El origen O coordenadas (0, 0).

tiene

como

Los puntos sobre el eje x tienen por coordenadas (x, 0). Los puntos sobre el eje y tienen por coordenadas (0, y).

27

La palabra función fue introducida por Leibniz, que utilizaba este término para designar cierto tipo de fórmulas matemáticas. Para los matemáticos del siglo XVIII, el concepto de relación funcional estaba más o menos identificado con la existencia de una fórmula matemática sencilla que expresara la naturaleza exacta de esa relación. Este concepto resultó demasiado restrictivo para las necesidades de la física matemática, por lo que la idea de función debió pasar por un largo proceso de generalización y clarificación.

Gottfried Leibniz Alemania, 1646–1716

8 – CERO DE LA FUNCIÓN O RAÍZ El valor de la variable, que anula a la función, se denomina cero de la función. Geométricamente, corresponde a la abscisa del punto de corte de la representación gráfica con el eje horizontal (eje x). Para calcularlo, se iguala la función a cero y se despeja el valor de la variable.

EJEMPLO:

α es raíz de f ⇔ f(α) = 0 El valor de la variable, que anula la función (raíz o cero) es: “la pre-imagen de cero”

Determinar los ceros de las funciones siguientes, dadas por sus representaciones gráficas.

f(x)

Cero en: x = –2

•

0

•

Cero en: x=2 x

La función f dada por su representación gráfica tiene dos ceros, dados por las abscisas de los puntos, en que la representación gráfica, corta al eje x. Ceros de f = {− 2, 2}

28

GUSTAVO A. DUFFOUR

g(x)

En algunos casos, se da, que la representación gráfica de la función, no corta al eje x, sino que lo toca.

1

●

1

●

En este caso dicho valor de la variable x, también es un cero de la función.

x

Ceros de g = {− 2, 3 }

9 – SIGNO DE UNA FUNCIÓN Si en la función f: f(x) = – 2x + 3 se efectúan los siguientes cálculos: f(– 3) = – 2(– 3) + 3 = 9 f(1) = – 2(1) + 3 = 1

→ →

f(– 3) = 9 f(1) = 1

( ) = − 2 ( 32 ) + 3 = 0

→

f 3 =0 2

f(2) = – 2(2) + 3 = – 1 f(3) = – 2(3) + 3 = – 3

→ →

f(2) = – 1 f(3) = – 3

f 3 2

Valores positivos de f(x).

()

Valores negativos de f(x).

Es costumbre dibujar la información anterior como:

f(x)

Signo (– 2x + 3)

1 1

x

+++++0 ––––– 3 2

En el eje horizontal, (eje x), se anota el cero de la función. Encima del eje horizontal se indica, el signo de los valores de f(x) El concepto geométrico de signo de una función f, en que los valores de la función son positivos si la representación gráfica de f, se encuentra por encima del eje horizontal, o sus valores son negativos, si su representación gráfica se encuentra por debajo del eje horizontal; es aplicable a cualquier tipo de función, posible de graficar en un sistema de coordenadas cartesiano. MATEMÁTICA DE CUARTO

29

EJEMPLO:

Indicar el signo de las siguientes funciones, dadas por sus representaciones gráficas.

f(x)

g(x)

1

1

x

1

Signo f(x)

––––0++++0–––– –2

2

x

1

Signo g(x)

+ + + 0 + + +0 – – – 0 + + + –2

2

4

NOTA

Observe el estudiante que, cuando la gráfica toca al eje x sin cortarlo, el valor de la variable x se cuenta como un cero doble (índice de multiplicidad par). En este caso, es posible observar que la función no cambia de signo. Suele indicarse con una doble rayita.

10 – DEFINICIÓN DE INTERVALO 10.1. INTERVALO ABIERTO El conjunto de todos los números reales estrictamente situados entre a y b (con a < b) se anota (a, b) y se llama intervalo abierto.

(a, b) = { x / x e , a < x < b }

Su representación gráfica en la recta es:

| a 

| b

 

10.2. INTERVALO CERRADO El conjunto de todos los números reales situados entre a y b (con a < b) y que incluye a los extremos a y b, se anota [a, b] y se llama intervalo cerrado.

[a, b] = { x / x e , a ≤ x ≤ b }

Su representación gráfica en la recta es:

|

a

30

| b

GUSTAVO A. DUFFOUR

10.3. INTERVALO SEMIABIERTO Existen dos intervalos semiabiertos que se anotan (a, b] y [a, b).

(a, b] = { x / x ∈ , a < x ≤ b } [a, b) = { x / x ∈ , a ≤ x < b } 10.4. INTERVALO INFINITO En algunos casos aparece en la notación de intervalos el símbolo ∞  (infinito). Se usará la notación (a, + 8) para designar el conjunto de todos los números reales mayores que a.

(a, +∞) = { x / x e , x > a }

Esta notación da origen, naturalmente, a cierta ambigüedad, puesto que (a, b) se usa también para designar un par de números. Generalmente el contexto brinda los indicios suficientes para evitar la confusión. Nótese que si a > b, entonces (a, b) = φ (el conjunto vacío). En la práctica de trabajo, siempre que se hable de un intervalo (a, b), se supone que a < b.

Los números reales menores que a se indicarán como:

(– ∞, a) = { x / x ∈ , x < a } También es posible usar en algunos casos la notación (– ∞, + ∞) para referirse al conjunto de todos los números reales.

El símbolo ∞, llamado infinito, es de utilidad en muchas situaciones. Sin embargo, al usar este símbolo se debe tener bien presente que no es un número en el sentido ordinario de la palabra, sino un concepto que representa a un número tan grande como se quiera. El concepto de infinito ha inspirado y hechizado a los matemáticos desde tiempos inmemoriales. Los problemas y paradojas más profundos de las matemáticas a menudo van unidos a esta palabra. A finales del siglo XVI y sobre todo durante el siglo XVIII, para resolver problemas prácticos, los matemáticos recurrían aisladamente al razonamiento sobre lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, pero rara vez en forma rigurosa.

MATEMÁTICA DE CUARTO

31

11 – FUNCIÓN CRECIENTE f(x)

Una función f, es creciente, cuando al aumentar los valores de la variable x, los respectivos valores de la función, también aumentan

f(b) f(a) a

b

x

t a∈D(f)

t b∈D(f)

f es creciente Si

b>a

→ f(b) > f(a)

12 – FUNCIÓN DECRECIENTE f(x)

Una función f, es decreciente, cuando al aumentar los valores de la variable x, los respectivos valores de la función disminuyen.

f(a)

f(b) a

b

x

t a∈D(f)

t b∈D(f)

Si b > a

→

f es decreciente f(b) < f(a)

NOTA El crecimiento o decrecimiento de una función, se indica como un intervalo de valores de la variable x.

32

GUSTAVO A. DUFFOUR

EJEMPLO:

Indicar los intervalos dónde las siguientes funciones, dadas por sus representaciones gráficas, son crecientes o decrecientes.

g(x)

f(x)

1

1

x

1

f es creciente en: (– ∞, 0) f es decreciente en: (0, + ∞)

x

1

g es creciente en: (– ∞, – 1) ∪ (2, + ∞) g es decreciente en: (– 1, 2)

13 – EXTREMOS RELATIVOS Se llaman extremos relativos de una función, al mayor o al menor valor de la función en algún intervalo incluido en el dominio. Los extremos relativos de una función son los: máximos relativos relativos.

y

mínimos

f(x)

Máximo relativo

La función f, cuya representación grafica se da, tiene: Máximo relativo en: x = 0

1 1

x

Mínimo relativo en: x = 2

Mínimo relativo

Realizar los ejercicios 13 al 17 de la página 35 y resolver los problemas 18 al 22 de la página 36

MATEMÁTICA DE CUARTO

33

14 – EJERCICIOS PROPUESTOS

Véanse los resultados en la página 240.

6)

Dados los conjuntos: A = {3, 5, 8} y B = {m, p} Determinar por extensión los conjuntos A*B y B*A

7)

Dados los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {x, y, z, w} Indicar cuales de las siguientes relaciones son funciones de A en B R1 = {(a, x), (b, y), (c, w)} R2 = {(a, w), (b, z), (c, y), (a, x)} R3 = {(a, z), (b, y), (c, y)}

8)

Dados los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {p, k} y las siguientes relaciones. Diagramarlas e indicar cuales son funciones de A en B. R1 = {(a, p), (b, p), (c, p)} R2 = {(a, p), (b, k), (c, p)} R3 = {(a, p), (a, k)}

9)

Dado el conjunto: A = {0, 2, 3, 4} i) Hallar A*A ii) Indicar cuales de las siguientes relaciones son funciones de A en A R1= {(x, y) / (x, y)e A*A, x + 2 = y} R2= {(x, y) / (x, y)e A*A,

x = y}

10)

Sabiendo que f = {(2, 5), (– 1,– 1), (0, 1), (3, 7), (– 2, – 3)} i) Dominio de f. ii) Recorrido de f. iii) Completar: f(3) = … f(…) = 5 f(0) = …

11)

¿Las siguientes representaciones gráficas son o no funciones? f(x)

1)

3)

2)

x

x

j(x)

n(x)

5)

x

34

x

k(x)

4)

12)

g(x)

h(x)

Sea el dibujo, la representación gráfica de una función f. Observando el dibujo contestar: i) f(2) =..... f(– 1) = ..... f(0) =..... ii) Encontrar {x / f(x) = 0} iii) Encontrar {x / f(x) = 4} iv) Encontrar las preimágenes de – 1 y la imagen de 3.

6)

x

x

f(x)

1 1

x

GUSTAVO A. DUFFOUR

13)

Dada la siguiente representación gráfica de una función g. Observando el dibujo contestar: i) Para que valores de x, g(x) > 0 ii) Para que valores de x, g(x) < 0 iii) Resolver g(x) = 0 iv) ¿Qué extremos relativos presenta? v) Completar: g(2) = . . .

g(x)

1 –2

x

1

g(8) = . . . g(…) = 6

f(x)

14)

La siguiente representación gráfica corresponde a una función f 1

Observando el dibujo contestar:

x

1

1) La imagen de – 7 en la función es: ………… 2) La imagen de 0 en la función es: ………… 3) Las preimágenes de 3 en la función son: ………… 4) La preimagen de 8 en la función es: ………… 5) El gráfico de f corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas (..,..) 6) La raíz de la función es: ………… 7) ………… es el máximo de la función f. 8) ………… es el mínimo de la función f. 9) En el intervalo (– 5, 0) la función es: …….. 10) En el intervalo (0, 2) la función es: ……… 11) El signo de f(5) es: ……….. 12) El signo de f(– 8) es: ………..

15)

Si encendemos una vela y graficamos su longitud a medida que pasa el tiempo. ¿Cuál de las siguientes gráficas es la que obtenemos?

long

1) 1

long

2) 1

1

16)

long

t

3) 1

1

t

long

4) 1

1

t

1

t

De la representación gráfica de cierta función se sabe que: i) Corta a los ejes coordenados en los puntos (– 6, 0), (0, 4), (2, 0), (6, 0) ii) Alcanza un máximo relativo en el punto (– 1, 6), otro en (8, 4) y un mínimo relativo en (4, – 4) iii) Cuando x toma valores muy grandes f(x) tiene a 0. iv) Cuando x toma valores negativos muy grandes, los valores de f(x) también son muy grandes negativos. Realizar un bosquejo gráfico.

MATEMÁTICA DE CUARTO

35

17)

En la clase anterior el profesor entregó una fotocopia con una representación gráfica, pero Teresa no fue a clase y llamó por teléfono a su amiga Ana, para que le explique cómo era esa gráfica. La siguiente es la descripción que hace Ana. “...la gráfica empieza cuando x vale 0, concretamente en el punto (0,2) y va hacia la derecha, subiendo. Sigue subiendo y pasa por el punto (3,4) y sube cada vez más rápido. La x se acerca 5, pero nunca llega a valer 5 y, mientras tanto, los valores de la función crecen más y más como si fueran a salirse de la hoja. Ojo que todo eso pasa sin que x llegue a valer 5, pero se va acercando mucho, cada vez más... cuanto más suben los valores de la función, más cerca está la x de 5, pero nunca lo alcanza. A partir del 5 pasa lo contrario: la curva viene desde abajo y va subiendo. Corta al eje de las x en 8 y sigue subiendo hasta el punto (12,4) y a partir de ahí empieza a bajar, pero cada vez más despacito... bueno, en realidad los que bajan cada vez más despacio son los valores de la función; la x va aumentando rápido. A ver si se entiende mejor: la curva sigue hacia la derecha, bajando poco a poco, sin tocar el eje de las x, pero acercándose mucho a él. Como se va pegando al eje, pero siempre está apenitas por arriba de él y nunca llega a tocarlo...” Realiza un bosquejo de la gráfica que Ana le describió a Teresa.

15 –

PROBLEMAS PROPUESTOS

18)

Cuando una persona sana toma 50 grs de glucosa en ayunas, su glucemia (porcentaje de glucosa en la sangre) aumenta desde 90 mgr/dl, que es el nivel normal, hasta 120 mgr/dl en aproximadamente una hora. Tres horas después de la ingesta, los valores de glucemia están un poco por debajo del nivel normal. Al cabo de cinco horas, los valores regresan a la normalidad. Representa en un sistema de ejes la curva de glicemia de una persona normal, de acuerdo a los datos anteriores.

19)

El costo de envío de correspondencia por una empresa privada está dado por la siguiente tabla: hasta 20 grs → $ 10 hasta 100 grs → $ 15 hasta 200 grs → $ 17 hasta 500 grs → $ 20 más de 500 grs → $ 35 Andrés quiere enviar correspondencia a unos amigos. La carta para Julio pesa 15 grs, la de María pesa 80 grs, un sobre para Cristina pesa 125 grs, y las encomiendas para Carlos y Estela pesan 625 grs y 500 grs respectivamente. i) ¿Cuánto paga por cada envío? ii) Enviando todo a uno de sus amigos para que éste lo reparta. ¿Ahorraría dinero? ¿Cuánto? iii) ¿Es posible que a dos cartas con diferente peso, les corresponda el mismo precio?

36

GUSTAVO A. DUFFOUR

Véanse los resultados en la página 241.

ºC

20)

La representación gráfica adjunta representa la variación de la temperatura (en ºC) según el tiempo (en hs) a lo largo del día.

15 5 2

12

24

h

i) ¿Con qué temperatura comenzó el día? ii) ¿Con cuál finalizó? iii) ¿Durante qué intervalo de tiempo la temperatura fue en ascenso? iv) ¿Cuál fue la máxima del día? ¿Y la mínima? v) ¿En qué horarios hubo menos de 5ºC? grs.

21) La siguiente representación gráfica, corresponde a la variación del peso de un bebé, que pesó 3300 grs al nacer.

100 2

A

12

24

días

i) ¿Qué ocurre en los primeros días de vida? ii) ¿Qué día pesó el niño 150 grs menos que al nacer? iii) Se sabe que en algún momento del mes el niño estuvo con fiebre. ¿Cuándo crees que sucedió esto? Explica tu respuesta. iv) Indica el aumento de peso durante la tercera semana de vida. v) ¿Cual fue el peso máximo del niño en el período graficado? ¿Y el mínimo? ¿En qué días se dieron?

22)

Tomado de: “PISA 2003”

Estatura (cm.)

La siguiente representación gráfica representa la estatura promedio de los hombres y mujeres jóvenes de Holanda en 1998.

Estatura promedio de hombres jóvenes en 1998

Estatura promedio de mujeres jóvenes en 1998

Edad (años)

i) Desde 1980 la estatura promedio de las mujeres de 20 años ha aumentado 2.3 cm hasta alcanzar los 170.6 cm en 1998. ¿Cuál era la estatura promedio de una mujer de 20 años de edad en 1980? ii) De acuerdo con este gráfico, en promedio, durante qué periodo de su vida son las mujeres más altas que los hombres de su misma edad iii) Explica cómo el gráfico muestra que el crecimiento promedio de las mujeres es más lento después de los 12 años.

MATEMÁTICA DE CUARTO

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