Funciones Racionales

FUNCIONES RACIONALES

Definición: SiP(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma:

f ( x) =

P( x ) Q( x )

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero. Ejemplos:

f ( x) =

1 x−3 , g( x) = , h( x ) = 3x 2 − 1 x x +1

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero. Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

1) f ( x ) =

1 x

2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 2 x −4 1 4) f ( x ) = 2x − 1 2) g ( x ) =

Teorema: Sea f una función racional definida de la forma:

f ( x) =

P( x ) Q( x )

dondeP(x) y Q(x) son polinomios. Si aes un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x).

Ejemplos para discusión: funciones:

1) f ( x ) =

Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes

1 x

2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 2 x −4 1 4) f ( x ) = 2x − 1 2) g ( x ) =

Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

a m x m +...+ a1 x + a 0 f ( x) = bn x n +...+b1 x + b0 entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

1) f ( x ) =

1 x

2 x +1 2x − 3 3)h( x ) = 3x + 1 3x 3 4) f ( x ) = 2 x +1 2) g ( x ) =

Gráfica de funciones racionales Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales. Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de:

1) f ( x) =

1 x

1 x +1 2x 3)h( x) = x−3 3 4) f ( x) = 2 x −1 3x + 6 5) g ( x) = x −1 2) g ( x) =

Ejercicio de práctica: Hallalas asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica.

3x x+2 1 2) f ( x ) = 2 x

1) f ( x ) =

Teorema: Si f es una función definida de la forma:

f ( x) =

P( x ) Q( x )

dondeP(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

f ( x ) = mx + b +

r ( x) Q( x )

dondeel grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f. Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

f ( x) =

x 2 − 3x − 4 x−2

Dibuja la gráfica. Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para:

x2 + 5 f ( x) = x +1

Dibuja la gráfica.