Fotometria

ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA DE TELECOMUNICACIÓN

APUNTES DE

FOTOMETRÍA

Alfonso Martín Marcos

INDICE 1.1.- FUNDAMENTOS BASICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.- ASPECTO ONDULATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1.- LONGITUD DE ONDA DE LAS RADIACIONES LUMINOSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2.- FRECUENCIA Y LONGITUD DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3.- VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.- LEYES DE SNELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.- DISPERSION DE LA LUZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.- ANCHO DE SUBESPECTRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.- INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.- RELACION ENTRE MAGNITUDES FOTOMETRICAS Y RADIOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.- ENERGÍA RADIANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.- ENERGIA LUMINOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5.- DENSIDAD ESPECTRAL DE UNA MAGNITUD D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6.- POTENCIA RADIANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7.- POTENCIA LUMINOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8.- RENDIMIENTO LUMINOSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.9.- INTENSIDAD RADIANTE O INTENSIDAD DE RADIACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.10.- INTENSIDAD LUMINOSA DE UNA FUENTE PUNTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.11.- UNIDADES FOTOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.12.-GRÁFICO DE ROUSSEAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.13.-LUMINANCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.14.- ILUMINACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.15.- SUPERFICIE PERFECTAMENTE DIFUSORA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.16.-POTENCIA LUMINOSA TOTAL EMITIDA POR UNA FUENTE EXTENSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.17.- ILUMINACION PRODUCIDA POR UNA FUENTE PUNTUAL EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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2.18.-ILUMINACION PRODUCIDA POR UNA FUENTE EXTENSA PERFECTAMENTE DIFUSORA EN UN PUNTO SUFICIENTEMENTE ALEJADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.19.-ILUMINACION PRODUC. POR FOCO CIRCULAR EN UN PUNTO DE SU EJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.20- EXITANCIA LUMINOSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.21.- RADIACION DEL CUERPO NEGRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.22.- LEY DE STEFAN-BOLTZMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.23.- LEY DE PLANCK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.24.- LEY DE DESPLAZAMIENTO DE WIEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.25.- LUMINANCIA DEL CUERPO NEGRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.26.- TEMPERATURA DE COLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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CARACTERÍSTICAS DE LA LUZ.

CAPITULO 1 CARACTERÍSTICAS DE LA LUZ

1.1.- FUNDAMENTOS BÁSICOS La definición de la luz, dada por la OSA (Optical Society of America) se expresa en los siguientes términos: "La luz es aquel aspecto de la energía radiante que un observador humano percibe a través de las sensaciones visuales producidas por el estímulo de la retina del ojo". La luz parece tener una doble naturaleza ondulatoria-corpuscular. Cuando estamos estudiando determinados fenómenos, como por ejemplo, el caso de las interferencias y la difracción, o cuando nos preocupa la propagación de la luz, la teoría ondulatoria electromagnética da una explicación completa de estos fenómenos. Sin embargo, cuando se intenta explicar las interacciones luz-materia, como por ejemplo en la emisión y absorción de luz, (piénsese en los tubos de imagen y en los tubos de cámara), se presentan serias dificultades para explicar estos efectos con la teoría ondulatoria. Del estudio de las figuras de interferencia y difracción, de la velocidad de la luz, del efecto Doppler, etc., podemos deducir con certeza que la luz tiene carácter ondulatorio, pero también hay pruebas de que la luz consiste en pequeños paquetes de energía localizados,

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pudiendo comunicar toda su energía a un sólo átomo. A estas partículas se les da el nombre de fotones o cuantos de luz. Según avanzamos en el espectro de frecuencia, las ondas de radio, que ocupan la región baja, se comportan en todos los aspectos importantes como radiación electromagnética clásica, lo que está relacionado con el hecho de que la energía de sus fotones, (h.f), es muy pequeña (h = 6,625.10-34 julios.seg) y, por tanto, el número de fotones es muy grande. Del mismo modo, la luz visible de intensidad normal contiene tantos fotones que su comportamiento medio, queda bien explicado por la teoría ondulatoria, siempre que las interacciones con los átomos individuales de la materia no comprometan los estados cuantificados de energía de estos últimos. La constante universal de Planck es el enlace entre los aspectos onda-partícula de la luz: h=E.T=p.8 E y p son respectivamente la energía y la cantidad de movimiento, que son características de las partículas, mientras que el período T y la longitud de onda 8 lo son de las ondas. Decíamos que las ondas de radio se comportan como radiación electromagnética clásica, ya que ocupan la zona baja del espectro, pero los rayos X y los rayos cósmicos ocupan la parte más alta, del orden de 1020 y 1025 Hz. respectivamente, y se comportan en la mayoría de los casos como fotones, llegando a ser difícil demostrar su carácter ondulatorio. La región de frecuencias en que empiezan a predominar las propiedades corpusculares viene determinada por la constante de Planck, cuyo valor es tan pequeño que son necesarias frecuencias muy elevadas para que desaparezca el carácter ondulatorio. La luz visible está muy por debajo de esta zona por lo que se puede decir que sus propiedades ondulatorias son las más importantes.

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1.2.- ASPECTO ONDULATORIO Maxwell demostró que la luz ocupa una gama del espectro electromagnético, es decir, que la luz está formada por ondas electromagnéticas que tienen la misma velocidad en el espacio libre y que difieren en su longitud de onda. Estas ondas transportan energía, cuyo valor viene dado por el vector de Poynting: P(t) = E(t) x H(t) siendo E(t) y H(t) los valores instantáneos de los vectores de intensidad de campo eléctrico y magnético respectivamente. La dirección de propagación de la onda viene dada por la del vector de Poynting. La ciencia que estudia la luz desde el punto de vista ondulatorio recibe el nombre de óptica física. Sin embargo, para muchos casos esta teoría se puede simplificar, dando lugar a la óptica geométrica, que estudia la luz por el método de los rayos luminosos, y que se utiliza para estudiar la mayor parte de los instrumentos ópticos. En este caso los caminos de propagación se denominan "rayos luminosos" e indican la dirección del flujo de energía, y son perpendiculares a los frentes de onda. La velocidad de propagación de la luz en el vacío es una constante de la naturaleza que tiene un valor de c = 3.108 m/s, y en otro medio distinto difiere ligeramente, estando ligado este valor con las características del medio. En el caso del vacío, la velocidad de propagación puede expresarse a través de la relación de Maxwell:

donde ,o es la permitividad o constante dieléctrica del vacío, que tiene un valor:

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y :o es la constante definida como la permeabilidad magnética, con poca variación respecto a si se trata del vacío o de cualquier otro medio. Para el vacío vale:

Por lo tanto, en el vacío, la velocidad de propagación de la luz es:

siendo igual para todas las frecuencias, motivo por el cual se dice que el vacío es un medio no dispersivo.

1.2.1.- LONGITUD DE ONDA DE LAS RADIACIONES LUMINOSAS Las ondas más cortas para las que el ojo es sensible son las violetas (380 nm). Las más largas que el ojo es capaz de apreciar son las rojas, correspondientes a longitudes de onda de 780 nm. La zona del espectro electromagnético comprendida entre estos límites se denomina Espectro Visible, y es una pequeñísima parte del espectro total. En la Tabla I se indican las distintas zonas del espectro electromagnético, desde las frecuencias más bajas hasta las más altas, con la colocación en su seno del espectro visible.

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Cada una de las frecuencias del espectro visible produce sobre el ojo una sensación de color distinta. Las frecuencias más bajas corresponden a tonos rojos, las frecuencias intermedias son tonos amarillos, verdes, etc. y las más altas corresponden a tonos violetas. TABLA I DENOMINACION DE LA ZONA

MARGEN DE FRECUENCIAS

MARGEN DE LONGITUDES DE ONDA

ELF

0 Hz a 30 Hz

4 a 104 Km.

SLF

30 Hz. a 300 Hz.

104 Km. a 103 Km.

ULF

300 Hz. a 3 Khz.

103 Km. a 102 Km.

VLF

3 Khz. a 30 Khz.

102 Km. a 10 Km.

LF

30 Khz. a 300 Khz.

10 Km. a 1 Km.

MF

300 Khz. a 3 Mhz.

1 Km. a 100 m.

HF

3 Mhz. a 30 Mhz.

100 m. a 10 m.

VHF

30 Mhz. a 300 Mhz.

10m. a 1 m.

UHF

300 Mhz. a 3 Ghz.

1m. a 0,1 m.

SHF

3 Ghz. a 30 Ghz.

0,1 m. a 1 cm.

EHF

30 Ghz. a 300 Ghz.

1 cm. a 1 mm.

Sin denominación

300 Ghz. a 1 Thz.

1 mm. a 0,3 mm.

Infrarrojo

1 Thz. a 384 Thz.

0,3 mm. a 780 nm.

Espectro visible

384 Thz. a 790 Thz.

780 nm. a 380 nm.

Ultravioleta

790 Thz. a 3 1015 Hz.

380 nm. a 100 nm.

Rayos X

3 1015 Hz. a 3 1019 Hz.

100 nm. a 10-2 nm.,

Rayos gamma

3 1019 Hz. a 3 1022 Hz.

10-2 nm. a 10-5 nm.

Rayos cósmicos

3 1022 Hz. a 4

10-5 nm. a 0

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1.2.2.- FRECUENCIA Y LONGITUD DE ONDA Cualquier onda se genera en un emisor que oscila, siendo la frecuencia de las ondas igual a la del manantial. La longitud de onda en un medio dado viene determinada por la velocidad de propagación de las ondas en él, puesto que puede considerarse como el espacio recorrido por la onda en el tiempo correspondiente a una oscilación.

En su propagación, al pasar la radiación luminosa de un medio a otro, la longitud de onda varía en la misma proporción que la velocidad, ya que la frecuencia es un valor fijo, independiente del medio, y por lo tanto no varía al saltar de un medio a otro.

1.2.3.- VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO La velocidad de fase se define exclusivamente para una onda monocromática, puesto que para otro tipo de radiaciones más complejas no tiene sentido. Una onda monocromática se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma: f(t) = A cos (Tt - kr) en donde T es la pulsación y k es la constante de fase. La velocidad de fase viene dada por la expresión:

Este es un valor exclusivamente teórico, debido a que en la práctica no podemos aislar una radiación monocromática de forma separada. Las señales disponibles en la práctica, son

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conjuntos de radiaciones con un determinado ancho de banda, aunque este sea muy estrecho. La velocidad de fase representa la velocidad con la que avanza cada una de las superficies de igual fase de esta onda monocromática. Cuando la luz que se propaga no es monocromática, al atravesar un medio homogéneo, las distintas componentes monocromáticas se propagan con distintas velocidades de fase (medio dispersivo). Es necesario entonces tener en cuenta la velocidad de grupo, entendida como la velocidad con la que se propaga el máximo producido por la superposición de las ondas de frecuencias distintas. Matemáticamente, la velocidad de grupo viene dada por la siguiente expresión:

A la vista de la definición y también de la expresión matemática que la representa, resulta claro que las velocidades de fase y grupo sólo pueden coincidir en medios no dispersivos, en los que la velocidad de fase no varía con la frecuencia de la radiación o lo que es lo mismo, con su longitud de onda. Las diferencias relativas entre la velocidad de fase y la velocidad de grupo no suele ser muy grande para los materiales de normal consideración. En los vidrios, por ejemplo, es del orden de una centésima y en el aire, que no se puede considerar totalmente no dispersivo, es del orden de una cienmilésima. La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en un medio de permitividad , y permeabilidad :, viene dada por la expresión:

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Cuando se consideren ondas sinusoidales puras (luz monocromática), la velocidad de propagación coincide completamente con la velocidad de fase. 1.3.- LEYES DE SNELL Para una onda monocromática determinada, el índice de refracción de un medio (siempre se considera respecto del vacío), se define como el cociente entre la velocidad de propagación de la onda en el vacío y la velocidad de propagación en el citado medio.

Fig. 1

Como la velocidad de propagación de una onda luminosa en cualquier medio es siempre inferior a la velocidad a la que se propaga en el vacío, el índice de refracción de los medios siempre es algo superior a la unidad. En la figura 1 se han representado los valores del índice de refracción del vidrio para tres frecuencias diferentes, pudiendo observarse que dicho índice de refracción disminuye con la longitud de onda o lo que es lo mismo, aumenta con la frecuencia.

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Cuando una señal luminosa se propaga en un medio y de pronto se encuentra en su camino otro medio diferente, parte de la energía se refleja de nuevo hacia el primer medio y parte de la energía se propaga en el segundo medio. Las leyes de Snell establecen las direcciones en las que se reflejan y propagan estas dos nuevas señales luminosas a las que hemos hecho referencia. Vamos a establecer las relaciones matemáticas que las definen.

PRIMERA LEY DE SNELL O LEY DE LA REFLEXIÓN

Fig. 2 Para deducir las conclusiones establecidas por esta Ley, supongamos la situación que se representa en la figura 2. Los rayos luminosos inciden sobre la superficie formando un ángulo con la normal a la superficie que llamaremos 2 i y se reflejarán hacia atrás con un ángulo que llamaremos 2r. Los puntos P y P' son dos puntos del frente de onda que tienen igual fase, porque se puede considerar que la onda de llegada es plana si el foco emisor de luz se encuentra relativamente alejado. Trasladando esta situación a las proximidades de separación de los dos

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medios, para poder trabajar con más comodidad (aunque sabemos que en las proximidades existirán irregularidades), esa misma situación se contemplará en los puntos O y A. La onda que se refleja hacia atrás, lejos de la superficie de separación también será plana, por lo que podemos considerar a los puntos Q y Q' como dos puntos de igual fase en la onda reflejada, que llevados a la discontinuidad, como hemos hecho anteriormente, se nos convierten en los puntos C y B. Para que la fase de la onda en los puntos C y B tenga igual fase, partiendo de que en los puntos O y A también la tenía, está claro que el desfasaje introducido en la trayectoria OC ha de ser el mismo que el ocasionado en la trayectoria AB. En estas condiciones, sabiendo que nos estamos moviendo siempre en el primer medio y que por lo tanto la constante de fase es siempre k1, podemos establecer la relación

y expresando las dos distancias en función de la magnitud OB, la ecuación anterior se nos convierte en la siguiente:

y simplificando da origen a la primera ley de Snell, que afirma que el ángulo de reflexión es totalmente idéntico al ángulo de incidencia

2r = 2i

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SEGUNDA LEY DE SNELL O LEY DE LA REFRACCIÓN

Fig. 3 En la Figura 3 puede apreciarse gráficamente lo que le ocurre a los rayos luminosos de una onda monocromática, que propagándose en un medio, penetran en otro distinto. La onda que se propague en el segundo medio también será plana, por lo que podemos considerar a los puntos Q y Q' como dos puntos de idéntica fase en la onda transmitida en el segundo medio, situación que desplazada hacia atrás hasta llegar a la discontinuidad, como hemos hecho anteriormente, se nos convierten en los puntos C y B. Aunque los caminos recorridos desde O hasta C y desde A hasta B sean distintos, el desfasaje producido habrá de ser el mismo, ya que por detrás y por delante de ellos, dichos puntos se encuentran con ondas completamente en fase. Igualando la fase de las señales existentes en ambos puntos:

Tt - K1 AB = Tt - K2 OC y teniendo en cuenta que se cumplen las siguientes relaciones:

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la igualdad anterior puede transformarse y expresarse de la siguiente forma:

Expresándolo en función de los índices de refracción, teniendo en cuenta que podemos tomar la velocidad de propagación en el vacío como punto de enlace entre ambas velocidades a través de las relaciones:

se obtiene la expresión conocida como segunda ley de Snell o ley de la refracción, que establece que la dirección de la onda propagada en el segundo medio se propaga en una dirección que viene dada por la siguiente expresión:

n1(8) sen 2i = n2(8) sen 2r

de donde conocidos el ángulo de incidencia de la onda sobre la superficie de separación de los dos medios, así como los índices de refracción de los mismos, es posible conocer el ángulo con el que penetra dicha radiación en el segundo medio, conocido como ángulo de refracción. El hecho de que la dirección de propagación no coincida con la que tenía en el segundo medio se conoce como el efecto de refracción y la onda se dice que se ha refractado al cambiar de medio de transmisión.

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CARACTERÍSTICAS DE LA LUZ.

1.4.- DISPERSIÓN DE LA LUZ Cuando la onda luminosa pasa de un medio a otro hemos visto que se refracta y su dirección se modifica ligeramente. Si la onda fuese monocromática, al existir una única longitud de onda, solo existiría un ángulo de refracción, pero si la onda está formada por varias longitudes de onda, puede confirmarse que al ser 2i un ángulo constante para todas las longitudes de ondas, se deduce que 2r será diferente para cada una de ellas y se origina el fenómeno de la dispersión de la luz. Despejando el valor del ángulo de refracción de la expresión general dada por la ley de Snell, nos arroja un valor:

Esta es la expresión general del ángulo de refracción, pero si el primer medio es el aire, lo cual es muy normal que ocurra, se cumple que el índice de refracción en ese medio es aproximadamente la unidad

( n1(8) . 1 ) y si 2i es un ángulo muy pequeño, puede

aproximarse el seno por el ángulo, y como 2r también será pequeño podremos efectuar la misma aproximación, por lo que la expresión del ángulo, en este caso particular, puede expresarse de una forma más simplificada:

A la vista de esta expresión (también se puede comprobar en la expresión completa, pero no se aprecia tan claramente), teniendo en cuenta que el índice de refracción n2(8) disminuye con la longitud de onda, se deduce que las altas longitudes de onda (bajas frecuencias) se curvan menos que las longitudes de onda bajas.

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Fig. 4 Mediante la realización de un experimento para comprobar la afirmación anterior se pudo descomponerse la luz blanca en sus diferentes componentes espectrales, tal como puede apreciarse en la figura 4. La luz blanca, por tanto, se puede considerar formada por todas las componentes espectrales del espectro visible. Si todos ellas tienen la misma amplitud, forman la luz blanca conocida como blanco equienergético y se le suele denominar como blanco (W), seguramente de las iniciales de blanco (white) en el idioma inglés. Existen otros blancos patrones distintos de este, como pueden ser el blanco (C), el blanco (D) u otros distintos. Todos ellos tienen todas las componentes espectrales, pero predominan más unas que otras, lo que origina que tomen un ligero tono rojizo o azulado. En la Figura 5 se representan las distribuciones espectrales de energía para varios blancos patrones de los más utilizados. En Televisión en color se utilizan bastante estos conceptos, puesto que dependiendo de los sistemas y de las preferencias de los diversos países, se utilizan unos u otros como blanco de referencia.

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Fig. 5 1.5.- ANCHO DE SUBESPECTRO Para producir una onda sinusoidal perfecta sería necesario que el emisor hubiera estado oscilando indefinidamente, por lo que no existiría un instante inicial en el que hubiese comenzado la oscilación, ni la oscilación debería de desaparecer nunca. Sin embargo, en los emisores luminosos, los átomos radiantes oscilan de forma amortiguada hasta hacer desaparecer dicha oscilación, emitiendo trenes de onda de longitud finita, que además, por lo general son cortos. Como sabemos de Teoría de la Información, una señal limitada en tiempo es ilimitada en frecuencia, o en longitud de onda, por lo que la longitud de onda no está bien definida, sino que está distribuida en un intervalo, que medido a 3 dB por debajo del máximo, nos define el ancho del subespectro. La longitud de onda que corresponde al máximo, la denominamos predominante, y es la que define el tinte de la radiación. El ancho del subespectro define la pureza de la radiación, de modo que cuanto menor sea dicho ancho, mayor es la pureza y vicecersa.

CAPITULO 2 FOTOMETRIA

2.1.- INTRODUCCION Se conoce por fotometría a la parte de la Física que estudia las medidas de las magnitudes que están asociadas a la luz, de la misma forma que Radiometría es la parte de la Física que estudia las medidas de las magnitudes que están asociadas con la energía radiante. Como ejemplos de fuentes radiantes podemos citar muchas, tales como los emisores de radio, los cuerpos calientes, las descargas eléctricas creadas en el vacío o en un gas, etc. Dentro de las fuentes radiantes llamamos fuentes luminosas a aquellas que son capaces de impresionar al sentido de la vista. Una de las fuentes radiantes de mayor importancia es el Sol, cuyo máximo de radiación se encuentra en el espectro visible, pero no sólo radia luz, sino que tiene un espectro continuo, radiando casi como un cuerpo negro ideal que estuviera a una temperatura aproximada de 6.000 ºK.

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2.2.- RELACION ENTRE MAGNITUDES FOTOMETRICAS Y RADIOMETRICAS Una magnitud fotométrica es una magnitud radiométrica ponderada teniendo en cuenta la sensación visual que provoca en el ojo. Sin embargo, la expresión "sensación visual" es vaga, exigiendo una definición más formal.

Fig. 6 Así, la base de la evaluación para efectuar la ponderación es a través de la curva patrón de luminosidad, obtenida en base a medidas de la curva de respuesta del ojo humano. Esta curva, para visión fotópica (con buenas condiciones de iluminación) se designa por V(8) y para visión escotópica (con iluminación muy atenuada) se designa por V'(8). Ambas curvas son las de la Figura 6. Los valores tabulados de las curvas, que serán detallados al estudiar la Colorimetría, fueron normalizados por la Comisión Internacional de la Iluminación (CIE) en 1.924, teniendo en cuenta las medidas realizadas por varios investigadores sobre una gran muestra de personas. De dichas medidas se deduce que V(8) tiene un máximo para 555 nm. y disminuye a ambos lados, tendiendo asintóticamente hacia cero, por lo que no tiene límites definidos. El máximo de V'(8) se produce un poco más abajo, concretamente para 510 nm. Este desplaza-

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miento hacia el azul, para bajos niveles de iluminación, se denomina Efecto Purkinje, en honor al fisiólogo checo que lo describió por primera vez. En los siguientes apartados vamos a definir todos los conceptos y magnitudes relacionados tanto con la radiometría como con la fotometría, estableciendo un paralelismo entre ellos y especificando las unidades en las que se mide cada una de ellas.

2.3.- ENERGÍA RADIANTE El concepto de energía radiante puede establecerse como la energía transportadora en forma de ondas electromagnéticas, sea de la frecuencia que sea. Esta energía, como cualquier tipo de energía se mide en julios y se simboliza por Qe.

2.4.- ENERGIA LUMINOSA La energía luminosa es la energía radiante ponderada con la curva patrón de luminosidad. Es el aspecto de la energía radiante que llamamos popularmente luz. Esta energía luminosa se mide en Talbots y se simboliza por Q v. Más adelante estableceremos las relaciones entre julios y talbots.

2.5.- DENSIDAD ESPECTRAL DE UNA MAGNITUD D La densidad espectral de una magnitud D se suele simbolizar como D(8) y se define como la cantidad de D por unidad de longitud de onda. Matemáticamente puede expresarse de la siguiente forma:

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Generalmente la forma de medir densidades espectrales o aproximaciones a ellas, es usando espectrofotómetros o espectrorradiómetros de banda estrecha.

Fig. 7 Si se conoce el valor de D(8) en cada uno de los puntos de una banda de valores de longitud de onda comprendidos entre 81 y 82 (figura 7), la magnitud D en esa zona de espectro se calcula sumando las energías correspondientes a cada una de las frecuencias en esa banda:

El valor de la magnitud total D será el que resulte de efectuar la integración entre la longitud de onda cero y el valor de infinito.

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2.6.- POTENCIA RADIANTE Se entiende por potencia radiante a la variación de la energía radiante en la unidad de tiempo. Es un concepto físico de sobra conocido, se mide en watios (w), y se simboliza por las letras Pe.

2.7.- POTENCIA LUMINOSA Potencia luminosa es la variación de la energía luminosa en la unidad de tiempo. Se mide en lúmenes (lm), simbolizándose por Pv.

La potencia luminosa es la potencia radiante evaluada por su capacidad para producir sensaciones visuales en el ojo. Por tanto, se puede deducir que sólo una parte de la energía radiante que llega al ojo produce impresión visual y ésta es la comprendida entre las longitudes de onda de 380 y 780 nm. Como queda claro de la observación de la curva patrón de luminosidad, la sensación de luminosidad no es la misma para una misma energía en distintas longitudes de onda. El lumen no se corresponde de forma simple con un número determinado de watios, puesto que los mismos watios producirán más o menos lúmenes dependiendo de la longitud de onda de la radiación, ya que unas frecuencias producen más sensación que otras sobre el ojo. Por motivos históricos que serán considerados posteriormente, se establece la relación de que un watio de longitud de onda 555 nm. (que es donde se produce el máximo de respuesta del ojo), provoca una potencia luminosa de 683 lúmenes. Ese mismo watio, para otra longitud

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de onda, a la hora de convertirse a lúmenes ha de multiplicarse por 683 y por el valor de la curva patrón de luminosidad correspondiente a esa longitud de onda. Pv = 683 . V(8) . Pe Si lo que conocemos es la densidad espectral de potencia radiante y queremos conocer la potencia luminosa comprendida entre dos longitudes de onda determinadas, aplicamos el concepto anterior y llegamos a la expresión:

Ya se ha dicho que el número 683 es un factor que procede de la definición de la Candela, que se verá posteriormente, de forma que indica el número máximo de lúmenes que se pueden obtener de un watio. Esto ocurre para una radiación monocromática de 555 nm., para la cual la curva patrón de luminosidad vale la unidad. Dado que tanto el talbot como el lumen son unidades derivadas de la Candela, esperaremos hasta el momento de su definición, para explicarlas en función de dicha unidad fundamental.

2.8.- RENDIMIENTO LUMINOSO Se define el rendimiento luminoso de una fuente de luz cualquiera, como el cociente entre la potencia luminosa conseguida y la potencia radiante utilizada para ello. Lógicamente se mide en lúmenes/watio (no recibe ningún nombre especial) y se simboliza por 0L.

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Evidentemente, el rendimiento luminoso de una fuente monocromática de 555 nm de longitud de onda es de 683 lm/w. Para cualquier otra radiación monocromática el rendimiento luminoso será inferior a ese valor y vendrá dado por la expresión:

Para una radiación luminosa de longitud de onda de 500 nm. el rendimiento luminoso pasa a ser de 342 lum/w, que es justamente la mitad del rendimiento obtenido con la radiación de 555 nm. Veamos ahora como podemos evaluar el rendimiento luminoso para una fuente de luz no monocromática en función de su densidad espectral de potencia radiante, Pe(8), que es la magnitud que se suele conocer. En la definición de rendimiento luminoso, el denominador Pe es la potencia radiante total que produce la fuente y se evalúa por la siguiente expresión:

El numerador, Pv, es la potencia luminosa, por lo tanto será la producida por la fuente y evaluada por la curva patrón de luminosidad, descomponiendo la radiación en suma de radiaciones casi monocromáticas infinitesimales. La potencia visual de cada una de estas radiaciones elementales será: d Pv = 683 V(8) dPe = 683 V(8) Pe(8) d8 y la potencia visual total será la suma de todas las potencias visuales infinitesimales, por lo que tomará un valor:

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Parece tan evidente lo anterior que se pasa por alto que se está suponiendo implícitamente que la potencia luminosa total, es decir la potencia radiante evaluada por el ojo, es la suma de las potencias luminosas de las distintas componentes. Esta suposición constituye realmente una ley fundamental de la fotometría, conocida como ley de aditividad o ley de Abney. Aceptando que se cumple la ley de aditividad, podemos escribir la expresión del rendimiento luminoso de la siguiente forma:

Con objeto de esclarecer los conceptos y establecer un orden de magnitud de los valores de los rendimientos luminosos vamos a establecer algunos ejemplos:

FUENTE DE LUZ

Rendimiento luminoso (lúmenes/watio)

Velas

0,1

Lámparas de incandescencia

14

Fluorescentes

55

Puesto que no se dispone de la expresión analítica de la curva patrón de luminosidad, la evaluación del rendimiento luminoso no puede efectuarse por cálculos matemáticos y debe de realizarse por métodos computacionales. Veamos un ejemplo: Supongamos que queremos calcular el rendimiento luminoso de una lámpara de filamento que funciona a una temperatura de 2.500ºK, si se sabe que la densidad espectral de potencia radiante para esta lámpara viene dada por la expresión:

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en donde la longitud de onda viene dada en nm, y Se es la superficie emisora del filamento de la lámpara y viene dada en m2 (La expresión es totalmente correcta y corresponde a una situación real). El rendimiento luminoso de esta lámpara puede conocerse sustituyendo esta expresión en la fórmula del rendimiento vista anteriormente, y quedaría de la siguiente forma:

La integral del denominador puede evaluarse realizando el cambio x = 5752/8 y de esta forma se reduce a evaluar la integral:

puesto que solucionando la integral por métodos numéricos arroja un valor de 6,49. La integral del numerador también se evalúa numéricamente, y si se hace para intervalos de longitud de onda de 10 nm, da un valor aproximado de 26 . 103. Por tanto, sustituyendo los valores calculados para las integrales, obtenemos para esta lámpara un rendimiento luminoso de:

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El rendimiento máximo que se puede conseguir de una fuente luminosa ya hemos visto que será de 683 lúmenes/watio y sería el caso para una luz monocromática de 555 nm de longitud de onda. Cualquier otra fuente luminosa, bien porque su energía la distribuya por el espectro visible o peor todavía si la distribuye fuera de él, presentará un rendimiento luminoso bastante inferior a ese.

2.9.- INTENSIDAD RADIANTE O INTENSIDAD DE RADIACIÓN La intensidad radiante existente en una dirección dada es la potencia radiante enviada en esa dirección por unidad de ángulo sólido. Se mide en watios/estereorradian (w/str), y se simboliza por Ie.

2.10.- INTENSIDAD LUMINOSA DE UNA FUENTE PUNTUAL La intensidad luminosa de una fuente puntual en una determinada dirección es la potencia luminosa emitida en esa dirección por unidad de ángulo sólido. Se mide en (lúmenes/estereorradian), que reciben el nombre propio de candelas y se simboliza por Iv.

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Fig. 8

El concepto de intensidad luminosa se utiliza para caracterizar la distribución de potencia luminosa según las distintas direcciones. La representación de la intensidad luminosa en función de la dirección conforma el diagrama conocido como diagrama de radiación luminosa de la fuente. Dos propiedades interesantes de la intensidad luminosa, que ayudarán a comprender mejor este concepto son: a) La intensidad luminosa es independiente de la distancia, siempre que el medio sea isótropo y sin pérdidas ni reflexiones. Esto se puede comprender fácilmente si se observa la figura 8. La potencia enviada por el cucurucho formado por el ángulo solido es un valor determinado y si nos alejamos del foco variarán otras cosas como la densidad superficial de potencia o la superficie del cucurucho, pero los conceptos de potencia enviada y ángulo sólido por el que la envía no se modifican con la distancia al foco emisor. Para comprenderlo mejor podemos considerar un ejemplo particular, suponiendo una fuente puntual que radie igual en todas las direcciones. Si esta fuente emite una potencia luminosa total de valor Pv, como la esfera tiene 4B estereorradiantes, la intensidad luminosa

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para cada dirección será la misma y tomará un valor Iv = Pv/4B, que es independiente de la distancia. b) La intensidad luminosa varía en general con la dirección. Esta afirmación puede comprobarse observando por ejemplo una bombilla. La potencia luminosa total emitida por la bombilla es un valor determinad, sin embargo en la dirección del casquillo la potencia luminosa enviada es mínima y en cambio es máxima en la dirección de la ampolla. De esta fuente se dice que es direccional, y para conocer más sobre ella, aparte de saber la potencia luminosa total es necesario conocer como se distribuye dicha potencia, según las distintas direcciones. La representación de la intensidad luminosa, sobre un plano que contenga la fuente, en coordenadas polares, siendo el origen de coordenadas la posición de la fuente, se denomina diagrama de radiación luminosa. Se dice que una fuente es omnidireccional cuando radia igual en todas las direcciones, o lo que es lo mismo, que sobre cualquier plano que contenga la fuente, el diagrama de radiación luminosa es una circunferencia. Si la fuente no es omnidireccional, pero tiene un eje de simetría (piénsese por ejemplo en la bombilla, en donde el eje de simetría es el que entra por el casquillo y sale por la ampolla) se escogería como plano de representación cualquiera que contenga a dicho eje. Si no tiene eje de simetría, no queda más opción que representar el diagrama de radiación luminosa para distintos planos. Veamos un par de ejemplos:

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a) Una lámpara introducida en un globo de vidrio esmerilado, es la que más se acerca a una fuente luminosa omnidireccional. La representación de su diagrama de radiación es el que se representa en la figura 9-a.

Fig. 9

b) Una lámpara tipo flexo, a una distancia considerable de ella, tiene un diagrama de radiación luminosa que presenta un máximo en la dirección central y su intensidad luminosa disminuye al alejarnos de esa dirección, tal como se muestra en la figura 9-b. En el primer ejemplo, cualquier eje que pase por la fuente es de simetría, en el segundo ejemplo sólo hay un eje de simetría. En los dos casos se supone que se está estudiando el diagrama de radiación luminosa en puntos suficientemente alejados de las lámparas como para poder considerar las fuentes como puntuales. La intensidad luminosa de una fuente se puede medir directamente usando un instrumento que tenga una apertura de entrada que subtienda ángulos sólidos pequeños y casi iguales desde cada punto sobre la fuente y que responda solamente a la potencia luminosa de los rayos casi paralelos al eje fuente-instrumento. Estas condiciones se cumplen cuando la distancia fuente-instrumento es bastante mayor que el diámetro de la fuente y que la apertura de entrada del instrumento.

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2.11.- UNIDADES FOTOMETRICAS La unidad fundamental de fotometría del Sistema Internacional es la Candela, ya enunciada en el apartado anterior, con posesión de una nueva definición desde Octubre de 1.979, en que fue adoptada por la XVI Conferencia General de Pesas y Medidas y dice así: "La Candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 THZ (8 = 555 nm) y cuya intensidad radiante en esa dirección es 1/683 watios/esterorradian". Hay que resaltar que la frecuencia de la definición corresponde al máximo de la curva patrón de luminosidad, por lo que esta nueva definición de la Candela implica realmente la definición del factor de conversión de watios a lúmenes, que aparece en la definición del rendimiento luminoso máximo. Hasta llegar a esta definición de la unidad de Intensidad luminosa ha habido muchas otras, pero la característica común de todas ellas ha sido la pretensión de poseer una fuente de fácil reproducción en cualquier lugar y momento, que no se altere con el paso del tiempo y que genere una intensidad luminosa constante durante la ejecución de la medida. La definición anterior a ésta fue adoptada el 1 de Enero de 1.948. Se acordó entonces que la unidad de intensidad luminosa se llamara Candela y se definió así: "La Candela es la intensidad luminosa de (1/60) de cm 2 de la superficie del cuerpo negro a la temperatura de solidificación del platino (2043ºK), radiada perpendicularmente a dicha superficie". El lumen, unidad de potencia luminosa, se deriva de la unidad de intensidad luminosa, la Candela: "El lumen es la potencia luminosa radiada por una fuente omnidireccional de intensidad luminosa igual a una Candela en un estereorradian".

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El Talbot, unidad de energía luminosa radiada por una fuente, se deriva de la unidad de potencia luminosa, el lumen: "El Talbot es la energía luminosa radiada por una fuente de potencia constante e igual a "1" lumen, durante 1 segundo". Cada una de las magnitudes luminosas se utiliza en determinado momento. Un ejemplo para el que nos importa la energía luminosa emitida, es en el proceso de impresionado de la película fotográfica: La impresión de la película es mayor cuanto más energía luminosa incide sobre ella, siendo esta energía recibida independiente del tiempo de exposición. No obstante, en fotografía, el tiempo de exposición es un parámetro fundamental. Si se quiere tomar una escena estática, con la película también colocada estática (cámara sobre trípode), entonces no es importante el tiempo que tarda en llegar la energía luminosa necesaria para impresionar la película, pero si lo que se quiere captar es un objeto en movimiento con película estática o con película en movimiento, entonces la energía luminosa necesaria debe llegar a la película en una fracción de tiempo suficientemente corta como para poder considerar inmóvil al objeto respecto a la película. El flash es una fuente de luz que permite captar imágenes en movimiento relativo película-objeto, que en ausencia del mismo sería imposible, debido a la baja potencia luminosa disponible y al corto tiempo de exposición necesario para congelar el movimiento. Idealmente, la potencia luminosa de un flash en función del tiempo sería una delta. Realmente es una función como la que se representa en la Figura 10, en donde los valores indicados corresponden a una situación real.

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Fig. 10 La energía luminosa que entrega este flash entre 15 y 25 ms. puede calcularse a través de la expresión:

Para comparar magnitudes, calculemos la energía luminosa total generada durante 10 ms. por una lámpara de filamento de 100 w, cuyo rendimiento sea de 15 lm/w, (valor típico), manteniéndose con potencia constante en el tiempo considerado:

Se desprende de la comparación de estas dos situaciones, que en el mismo intervalo de tiempo, el flash da una energía luminosa más de 2.000 veces superior a la que proporciona la lámpara.

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2.12.- GRÁFICO DE ROUSSEAU El gráfico de Rousseau proporciona un método gráfico para obtener la potencia total emitida por una fuente luminosa a la vista del diagrama de radiación de la misma, que como se sabe es la representación espacial de la intensidad luminosa emitida. Es posible que el lector de estas notas pueda pensar que el área subtendida bajo la curva del diagrama de radiación pudiese ser una medida de la potencia total de la fuente, y sin embargo nada más lejos de la realidad. En la Figura 11 se representa el proceso gráfico seguido para la construcción del gráfico de Rousseau. En la parte de la izquierda se encuentra de la gráfica de partida, que corresponde al diagrama de radiación de la fuente y en la parte de la derecha se encuentra el gráfico que nos disponemos a construir.

Fig. 11 Primeramente, sobre el diagrama de radiación trazamos una semicircunferencia de radio "a" con el centro colocado encima del foco luminoso. El valor del radio de esta semicircunferencia puede ser cualquiera, porque como veremos posteriormente los resultados finales quedarán expresados en función de este valor.

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A continuación trazamos un radio genérico para esta semicircunferencia, como también se indica en la figura. Este radio será variado sucesivamente desde la posición más inferior hasta la más superior, hasta girar los 180º. En ordenadas de la segunda figura vamos a representar representamos la magnitud "y" que se encuentra relacionada con 2 a través de la expresión: y = a (1 - cos 2) de forma que para 2=0 tenemos y=0, para 2=90º el valor de y es y=a, y para

2=180º tendremos y= 2a, como se indica claramente en la figura. En las abscisas de la figura creada representamos el valor de la Intensidad luminosa Iv, que será una longitud igual a la obtenida sobre el radio trazado en la figura izquierda desde el centro hasta el punto donde corta al diagrama de radiación, puesto que esa es precisamente la intensidad luminosa en esa dirección. Efectuando este proceso para todos y cada uno de los radios de la circunferencia trazada, obtendremos punto a punto la figura que hemos colocado a la izquierda en la figura 11, que es realmente el gráfico de Rouseau. El área total cubierta por la figura que acabamos de construir se puede obtener mediante cálculo integral, sumando todas las áreas infinitesimales, a través de la siguiente expresión:

Dejando por ahora esta expresión retenida, vamos a calcular el valor de la potencia total emitida por la fuente considerada a partir del diagrama de radiación de la misma, que como se viene insistiendo es el correspondiente a la parte izquierda de la figura.

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Teniendo en cuenta la definición de intensidad luminosa, que se recordará que es la potencia enviada por unidad de ángulo sólido, podemos establecer el valor de la potencia enviada en cada dirección de la siguiente forma: d Pv = Iv dS y si queremos calcular la potencia total generada por la fuente habremos de integrar esta expresión a lo largo de todo el espacio

y como el ángulo sólido se define como el cociente entre la superficie abarcada y el cuadrado del radio con el que se ha trazado la esfera que proporciona esa superficie, podemos convertir la integral anterior en una integral doble a través de la siguiente relación:

en donde el ángulo n en coordenadas esféricas toma valores comprendidos entre 0 y 2B y el ángulo 2 únicamente varía entre 0 y B. Sustituyendo ese valor en la integral y teniendo en cuenta que la intensidad luminosa no varía con el ángulo n, puede efectuarse una integración separada y la integral anterior se nos convierte en la siguiente

Si comparamos esta expresión con la ecuación que dejamos anteriormente retenida, observamos que en ambas aparece la misma integral, por lo que si la despejamos de una y la introducimos en la otra llegamos a obtener la siguiente relación:

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en donde se relaciona la potencia total de la fuente en función del área de la figura que hemos creado y que ya hemos dicho que se denomina gráfico de Rousseau. Por tanto, el área subtendida bajo la curva del Gráfico de Rousseau es la medida de la potencia luminosa, ya que está relacionada con ella a través de una constante que es conocida, y que será la unidad en el caso particular de que el valor de "a" sea igual a 2B. Hay que resaltar de nuevo que el área subtendida por el diagrama de radiación luminosa no mide la potencia luminosa, como ya se ha podido comprobar. Se puede comprobar esta afirmación de forma intuitiva, con el caso más simple, el de una fuente omnidireccional en el que sabemos que la potencia total será Pv = Iv . 4B y si lo hiciésemos por el área del semicirculo sería (B/2) .Iv2.

2.13.- LUMINANCIA La luminancia o brillo presentado por una determinada superficie emisora de luz, y visto desde un determinado punto (figura 12) se expresa mediante el cociente entre la intensidad luminosa que emite la fuente en esa dirección y el área que se ve desde el punto de observación Intensidad luminosa en esa dirección Lv = ))))))))))))))))) Superficie vista desde ese punto Expresando este concepto matemáticamente, podemos establecer la luminancia de una superficie, vista desde una determinada dirección de la siguiente forma:

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Fig. 12 que es la forma más clásica de ser expresada, pero que si se quiere expresar en función de la potencia luminosa enviada en esa dirección, a través de las relaciones ya conocidas, se puede llevar a ser expresada de esta otra forma:

La unidad en la que se mide la luminancia es el nit. Una superficie cuya proyección en la dirección perpendicular a la de observación sea de 1 m2, se verá con un brillo de 1 nit, si siendo uniforme su brillo, emite una intensidad luminosa de una candela en la dirección de observación. Hay que resaltar que la intensidad luminosa se definía para una fuente puntual, mientras que el concepto de luminancia también se aplica a una fuente extensa. El valor de la luminancia de una superficie es independiente de la distancia a la que se observe, siempre que el medio sea isótropo, sin pérdidas, ni reflexiones. Esto es lógico, puesto que la intensidad luminosa tampoco varía con la distancia. La luminancia varía, en general, con la dirección y con el punto de la fuente que se consideran. Esta propiedad se deduce fácilmente de la propia definición. Si observamos dos fuentes planas según la dirección normal a sus superficies siendo sus áreas Se1 y Se2, y parecen al ojo como de igual luminancia, siendo ésta constante para toda su superficie, entonces las intensidades luminosas de dichas fuentes en la dirección normal son:

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Iv1 = Lv . Se1 Iv1/Iv2 = Se1/S e2 Iv2 = Lv . Se2 Dicho de otro modo: de dos fuentes de igual intensidad luminosa, parece más brillante al ojo, es decir, tiene mayor luminancia, la que tenga menor superficie. El ojo percibe de una fuente de luz la luminancia y no la intensidad o la potencia luminosa. Dada su importancia, aclaremos más estos conceptos con un ejemplo:

Fig. 13 Sean dos globos de vidrio esmerilado de distinto tamaño, como se representan en la figura 13, en cuyo interior se encuentran dos bombillas idénticas, emiten luz difusa y se ven desde cualquier punto como discos circulares uniformes. Supongamos que ambas fuentes emiten la misma potencia luminosa y por lo tanto tienen igual intensidad luminosa, pero la fuente que tiene el globo de menor tamaño aparecerá más brillante. Con el fin de comprenderlo mejor, veamos para este mismo ejemplo una aplicación numérica: Sean las bombillas de 100 w, y supongamos su rendimiento luminoso de 15 lm/w. El globo grande es de radio r1 = 0,1 m. y el globo pequeño es de radio r2 = 0,05 m. Se supone que se observan simultáneamente y que el globo de vidrio no presenta pérdidas. En los dos casos, la potencia luminosa será de 1.500 lúmenes. Como ambas fuentes son omnidireccionales, la intensidad luminosa es la misma para todas las direcciones y vale:

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En cualquier dirección que sean observadas las fuentes, si se cumple que la distancia de observación es mucho mayor que el diámetro de los globos, las superficies emisoras proyectadas sobre dicha dirección, valen: Para F1

6 Se1 = B (r1)2

Para F2

6 Se2 = B (r2)2

Por tanto, sus luminancias son:

siendo mucho mayor, como ya se indicó anteriormente y ahora puede comprobarse, la luminancia del globo pequeño, cuatro veces en este caso, puesto que el radio es la mitad. Con objeto de que el lector se haga una idea de la magnitud que representa un nit en la siguiente tabla se expresa la luminancia de algunas fuentes luminosas muy conocidas FUENTE LUMINOSA

LUMINANCIA (NITS)

Superficie del sol

2 109

Papel blanco expuesto a la luz solar

2 104

Lámpara fluorescente

6000

Superficie de la luna

3000

Pantalla de un televisor

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El ojo humano no tiene una respuesta lineal con la variación de brillo, de forma que dos puntos que tengan el doble de brillo uno que el otro no provocan sensaciones dobles sobre el ojo humano. Estudios efectuados por Weber y Fechner han establecido que el incremento de sensación producido al pasar de un determinado brillo L1 a otro brillo L2 se rige por la siguiente ecuación:

de forma que los límites de brillo entre los que puede moverse son 0,00001 y 50000 nits, el primero para que la sensación sea perceptible y el segundo para que no origine un daño permanente en la retina. El contraste existente entre dos niveles de brillo se define como el cociente entre ellos, por lo que esta magnitud es adimensional:

y el contraste total de una escena se define como el cociente entre los brillos máximo y mínimo existentes. Cuando los brillos son bajos, el ojo humano es capaz de distinguir entre sí del orden de 10 niveles de brillos diferentes, pero cuando los niveles de brillo son elevados es capaz de distinguir hasta 1000 niveles diferentes. El concepto equivalente a luminancia, pero con magnitudes radiantes en vez de con magnitudes luminosas, recibe el nombre de radiancia y se mide en watios/)ester. m2), no recibiendo esta magnitud ningún nombre especial. El símbolo que identifica a esta magnitud es Le y los conceptos manejados para ella son similares a los descritos para la luminancia.

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2.14.- ILUMINACIÓN El concepto de iluminación puede interpretarse diciendo que es relativo a recepción de energía, no como todos los conceptos anteriores que se encontraban relativos a focos luminosos y por lo tanto a emisores o superficies

que

emitían

radiaciones

luminosas. en este caso la energía luminosa llegará (no se necesita saber de donde) e Fig. 14

incidirá sobre la superficie que estamos considerando, tal como se puede apreciar en

la figura 14. Desde un punto de vista formal se define como la potencia luminosa que incide sobre una superficie por unidad de área. Se mide en lúmenes/m2 y en este caso a esta magnitud se le da también un nombre propio y se denomina lux, expresándose mediante el símbolo Ev.

Aunque con la definición anterior queda completamente establecido este concepto, diremos que en algunos textos se define un lux como la iluminación producida sobre una superficie de 1 m2 colocada sobre una esfera de 1 m. de radio y producida por una fuente omnidireccional y puntual, cuya intensidad luminosa sea de una Candela, como se aprecia en la figura 15.

Fig. 15

En efecto, la superficie de 1 m2 sobre la esfera de 1 m. de radio, cubre un ángulo sólido de 1 estereorradian. Por lo tanto, la potencia luminosa que incide sobre tal superficie es de un

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lumen y como se distribuye uniformemente sobre toda la superficie, proporciona una iluminación de un lux. Más tarde estudiaremos la relación de la iluminación con la intensidad luminosa para el caso de una fuente puntual, deduciendo la dependencia de la iluminación con la distancia fuente-objeto, así como del ángulo de incidencia rayo de luz-objeto. También estudiaremos la iluminación producida por una fuente extensa y la relación iluminación-luminancia. Al igual que hicimos en el caso anterior de la luminancia, también para este caso de la iluminación, con objeto de que sea posible hacerse una idea de la magnitud que representa un luz, en la siguiente tabla se especifican valores de iluminación que presentan determinadas superficies muy conocidas

SUPERFICIE ILUMINADA

ILUMINACION (LUX)

Luz típica de lectura

100

Interiores con fuerte luz diurna

1.000

Luz solar con cielo nublado

10.000

Luz solar con cielo despejado

100.000

La magnitud equivalente a esta con magnitudes radiantes recibe el nombre de Irradiación y su explicación no se hace necesaria, ya que sería totalmente idéntica a la efectuada para la iluminación, solo que con energías en vez de con energías luminosas. Se mide en w/m2 y como no es muy utilizada no recibe ningún nombre especial, siendo su símbolo Ee. 2.15.- SUPERFICIE PERFECTAMENTE DIFUSORA Se dice que una superficie es perfectamente difusora cuando la intensidad luminosa producida por ella varía con la dirección siguiendo una determinada ley, conocida como la Ley de Lambert:

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Dicho de otra forma, una superficie es perfectamente difusora cuando origina una intensidad luminosa máxima en la dirección perpendicular a ella y disminuye alrededor de esadirección según la Ley del coseno. Esta situación se refleja en la figura 16, en donde se ha dibujado también el diagrama de radiación luminosa de una fuente de este tipo.

Fig. 16 Para la representación de la intensidad luminosa se ha tomado como eje "z" la normal a la superficie, teniendo el diagrama de radiación simetría de revolución respecto a dicho eje. La superficie se ha designado por dSe y su intensidad máxima se da en la dirección de la normal. La mayoría de las superficies luminosas que se pueden encontrar en la naturaleza tienen un comportamiento muy similar al de las superficies perfectamente difusoras, siendo por este motivo por lo que su estudio resulta de un interés alto, ya que no es un ejemplo particular de superficies, sino que corresponde a una generalidad. A continuación y a modo de ejemplo se citan algunas superficies que se comportan casi como perfectamente difusoras:

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a) El vidrio esmerilado: la intensidad luminosa que proviene de la energía que logra atravesarlo y que por lo tanto se encuentra transmitida por dicho vidrio, sigue muy aproximadamente la Ley de Lambert. b) El papel secante: la intensidad luminosa reflejada por dicho papel, también sigue muy aproximadamente dicha Ley. c) La pantalla del televisor: la intensidad luminosa procedente de la pantalla se aproxima bien a la Ley de Lambert. La luminancia para cualquier superficie y por lo tanto también para una superficie perfectamente difusora, si se puede considerar como puntual, viene dada por la expresión:

pero si la superficie es perfectamente difusora la variación de la intensidad luminosa con la dirección sigue la ley del coseno

sustituyendo esta situación en la expresión general de la luminancia, llegamos a la conclusión de que el brillo observado en la superficie se hace independiente del ángulo de observación. En efecto, sustituyendo este valor:

por lo que, desde cualquier dirección que se mire, se verá con el mismo brillo. Si se mira de frente (2 = 0º), se verá mucha intensidad luminosa, pero también se verá mucha área. Si se mira "sesgada" disminuirá la intensidad luminosa en esa dirección, pero disminuye de la misma forma el área proyectada, por lo que el brillo permanece constante. De esto se desprende una

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consecuencia muy importante y es que el brillo o luminancia del elemento dSe no depende del ángulo con que se observe. Por lo tanto, si una fuente de área Se , está constituida por elementos perfectamente difusores, cuya intensidad luminosa en la dirección de la normal es la misma para todos los elementos, entonces un observador verá esta fuente con la misma luminancia para todos los elementos que la constituyen, independientemente de la posición que ocupe el observador, respecto a la fuente. Esto adquiere especial importancia en el caso de una pantalla de Televisión, puesto que no es necesario observarla perpendicularmente, dado que desde cualquier dirección se ve con el mismo brillo. Realmente Lambert dedujo su ley observando que el sol presenta igual luminancia para los elementos centrales que para los periféricos, apreciándose como un disco, siendo sin embargo una esfera. De esto dedujo que la intensidad luminosa de los distintos elementos debía ser proporcional a su área proyectada.

Fig. 17

En efecto, en la figura 17 se representa el sol y el observador colocado en la Tierra, representada por el ojo humano. Los dos elementos dSe1 y dSe2 poseen unas áreas del mismo valor y proyectadas en la dirección del observador se convierten en unas áreas de unas magnitudes:

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dSe1p = dSe1 . cos 21 dSe2p = dSe2 @ cos 22 Para que la luminancia sea constante, independiente del valor de 2, está claro que la intensidad luminosa generada por esas superficies ha de variar según la ley del coseno, para que al ser dividida por la superficie proyectada se independice del valor de 2

En el límite, en las proximidades del polo norte del sol, la intensidad luminosa es casi nula, pero también lo es el área vista desde la Tierra, por lo que la luminancia no varía y se mantiene con el mismo valor que la superficie que se encuentra casi perpendicular. La condición de perfectamente difusor es muy importante para el tubo de imagen de un receptor de televisión, ya que si todos los elementos de la pantalla son igualmente excitados y son perfectamente difusores, entonces un espectador apreciará la misma luminancia para todos los elementos de la pantalla, tanto los centrales que los observará perpendicularmente, como los periféricos que los observará con un cierto ángulo. Concluyendo, podemos decir que una superficie perfectamente difusora queda caracterizada por su luminancia. Dada ésta, conocemos su diagrama de radiación luminosa y, por tanto, podemos calcular la potencia luminosa.

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2.16.- POTENCIA LUMINOSA TOTAL EMITIDA POR UNA FUENTE EXTENSA PERFECTAMENTE DIFUSORA Supongamos una superficie de valor finito Se, perfectamente difusora, colocada en el plano xy como indica la figura 18, de forma que su máximo de intensidad luminosa se produzca en el eje "z", la dirección perpendicular a la superficie. Por el hecho de ser una superficie

perfectamente

difusora

puede definirse su comportamiento luminoso especificando únicamente su luminancia o brillo, que en este caso llamaremos Lv.

Fig. 18

Vamos a calcular la potencia total que esta superficie está generando, y para ello consideraremos la potencia luminosa que se "escapa" por un elemento de superficie infinitesimalmente pequeño que denominamos en la figura dSr, colocado en una posición genérica en el espacio. La potencia luminosa que atraviesa el elemento dSr tiene por valor: dPv = Iv . dS siendo dS el ángulo solido con el que se abarca al elemento considerado dSr. La potencia total emitida por la fuente será la suma de todas las potencias infinitesimales escapadas por cada uno de esos elementos:

siendo S el ángulo sólido total a través del cual se está emitiendo energía, que en principio será todo el espacio. Eligiendo como recinto de integración una superficie que resulte cómoda de expresar, ya que la potencia total escapada es independiente de la superficie que elijamos para

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medir su valor, la integral anterior, trabajando en coordenadas esféricas, se cumplen las siguientes relaciones: dSr = r2 sen2 d2 dn Iv = Ivo cos 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para z>0 Iv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . para z<0 Sustituyéndolas en la integral anterior obtenemos una integral doble y como las variables pueden separarse, la convertimos en dos integrales independientes:

Como se ha dicho anteriormente, el parámetro que mejor define a una superficie perfectamente difusora es su luminancia, por lo que si expresamos la potencia total emitida por la fuente en función de su luminancia, nos queda la conocida expresión: Pv = B Lv Se que nos dice que la potencia total emitida por una fuente perfectamente difusora es B veces el producto de su luminancia por el valor de la superficie. A esta misma conclusión hubiésemos llegado si hubiésemos utilizado el diagrama de Rousseau, que como se recordará sirve exactamente para hacer cálculos como estos. Vamos a realizar la valoración gráfica, puesto que de esta forma nos puede servir como ejemplo de la utilización de este diagrama.

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Fig. 19

Si construimos el diagrama para una superficie perfectamente difusora, sabiendo que su diagrama de radiación es una semicircunferencia, como se aprecia en la figura 19, el diagrama de Rousseau resulta ser una recta, como también puede apreciarse en la misma figura. El área de la figura obtenida (triángulo en este caso) no es necesario obtenerla por integración, ya que el área de un triángulo es sobradamente conocida

y recordando la relación existente entre la potencia total emitida por una fuente y el área de la figura obtenida mediante este gráfico llegamos a la valoración de la potencia total emitida por la fuente.

expresión que coincide completamente con la que se ha calculado anteriormente de forma analítica.

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A la vista de esta expresión puede afirmarse que una superficie perfectamente difusora de 1 m² que tenga una luminancia de 1 nit emite una potencia luminosa total de B lúmenes. Por otra parte, como el producto de la luminancia por el área de la superficie es la intensidad luminosa máxima Iv = Lv . Se . cos 2

Ivmax = Lv . Se

también podemos poner la potencia total emitida por la fuente como: Pv = B . Ivmax por lo que puede afirmarse que una superficie perfectamente difusora que emite B lúmenes, genera una intensidad luminosa máxima, en la dirección perpendicular a ella de 1 candela.

2.17.- ILUMINACIÓN PRODUCIDA POR UNA FUENTE PUNTUAL EN UN PUNTO Consideremos una fuente determinada F, que se comporta como puntual, y que, por tanto queda caracterizada por la intensidad luminosa Iv que genera en la dirección de una determinada superficie receptora Sr, de acuerdo a lo representado en la figura 20.

Fig. 20

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Sobre esa superficie receptora Sr, la iluminación que dicha fuente puntual produce sobre un punto genérico de ella dSr, tiene por valor:

y en vez de expresarlo en función de la potencia que recibe, expresándolo en función de la intensidad luminosa de llegada, teniendo en cuenta que se cumple: dPv = Iv . dS podemos por tanto, expresarlo también la iluminación de la siguiente forma:

El ángulo sólido bajo el cual se ve el elemento de área dSr, observado desde la fuente, tiene un valor:

por lo que el valor de la iluminación conseguida por un foco puntual en un punto de una superficie, puede expresarse finalmente como:

De la observación de esta expresión se deduce que la iluminación producida por una fuente puntual, en un punto de una superficie receptora, cumple que: a) Es proporcional a la intensidad luminosa de la fuente en la dirección del punto. Cuanto más intensidad luminosa emita la fuente más iluminada estará la superficie.

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b) Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta característica es común a la mayoría de las magnitudes de recepción, la iluminación no varía con la distancia sino con su cuadrado. c) Es proporcional al coseno del ángulo que forman la dirección que une ambos puntos y la normal a la superficie de recepción, lo cual también es claro, puesto que si el ángulo fuese de 90º no recibiría nada de iluminación. En el caso de que la fuente sea omnidireccional (Iv=cte), la iluminación varía únicamente con la dirección en forma proporcional al coseno. Cuando el elemento de superficie es iluminado por más de una fuente puntual, la iluminación total es la suma de las producidas por cada una de ellas. Esta afirmación en principio puede parecer intuitiva pero no lo es tanto, no se cumple para cualquier magnitud, aunque en el caso de la iluminación si se cumple. Hay que hacer notar que decir fuente puntual es equivalente, en la práctica, a exigir que se cumpla lo que denominaremos condición de zona lejana, es decir que la distancia fuentepunto de observación, sea mucho mayor que cualquier dimensión de la fuente. Por tanto, es necesario resaltar que la ley de la inversa de los cuadrados es válida con esa condición. Más adelante estudiaremos un ejemplo en el que no se cumple la condición de zona lejana.

2.18.- ILUMINACION

PRODUCIDA

PERFECTAMENTE

POR

UNA

FUENTE

EXTENSA

DIFUS. EN UN PUNTO SUFICIENTEMENTE

ALEJADO Sea una fuente F extensa (de dimensiones apreciables), perfectamente difusora, caracterizada, como ya sabemos, por su luminancia Lv, parámetro totalmente independiente de

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la orientación desde donde se la observe. En este apartado se pretende calcular la iluminación producida por ella en el punto P, en la situación reflejada en la figura 21.

Fig. 21 Primero consideramos el foco luminoso dividido en elementos diferenciales de área dSe y calculamos la contribución de cada uno de ellos. Según se ha visto en el apartado anterior esta contribución vale:

y expresándolo en función de la luminancia del punto, que como sabemos es un valor constante para todos los puntos del foco y nos resultará más fácil a la hora de efectuar la integración, basándonos en que sabemos que:

podemos expresar finalmente la iluminación producida en ese punto por el elemento genérico diferencial dSe de la siguiente forma:

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y para calcular la iluminación total en el punto tendremos que sumar la contribución de todas las superficies infinitesimales, o lo que es lo mismo, efectuar la integral extendida a toda la superficie de la fuente extensa.

Esta expresión es lo más genérica que se puede imaginar, puesto que para llegar a ella no se ha efectuado ninguna suposición particular y por lo tanto sobre ella no se ha efectuado ninguna limitación en absoluto. Para solucionar la integral, en cada caso particular será necesario colocar unos valores en función de los otros para poder efectuar esa integral, que será muy complicada en la mayoría de las situaciones reales. Como aclaración de conceptos, piénsese lo que ocurriría en el caso de que el foco generador de luz fuese plano y que la distancia al punto considerado fuese muy grande. En estas condiciones, tanto 2e, como 2r e incluso el valor de r, podrían considerarse constantes para todos los puntos del foco, o por lo menos con muy poca variación entre ellos, por lo que podrían salir fuera de la integral al considerarse constantes y dentro de ella solamente quedaría dSe, por lo que al ser integrado arrojaría el valor total de la superficie de la fuente, y nos quedaría la expresión:

expresión que corresponde a la calculada anteriormente y por lo tanto completamente conocida, de la iluminación producida en un punto por una fuente puntual, puesto que es a la situación extrema que hemos llegado con tantas suposiciones particulares.

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2.19.- ILUMINACIÓN PRODUCIDA POR UN FOCO CIRCULAR EN UN PUNTO DE SU EJE Como ejemplo, se puede hacer la evaluación de la integral deducida en el apartado anterior, para el caso de una fuente extensa plana, perfectamente difusora, circular, de radio R, que ilumina un punto que está sobre el eje normal que pasa por el centro de la fuente y tal que la superficie que contiene a dicho punto es paralela a la de la fuente, sin suponer la condición de punto lejano. Esta situación, bastante restrictiva, donde lo único que mantenemos sin aproximar es el mantenimiento de distancia pequeña entre foco y punto, puede observarse en la figura 22.

Fig. 22 Con estas suposiciones, al considerar paralelas ambas superficies, los dos ángulos 2e y 2r son idénticos, lo que puede comprobarse gráficamente sobre el dibujo. Para simplificar las expresiones llamando a partir de ahora a este ángulo 2, la integral se nos convierte para este caso particular en:

que vamos a intentar solucionarla.

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Para simplicidad en el cálculo matemático vamos a trabajar en coordenadas polares. En este tipo de coordenadas, el elemento diferencial de superficie, dibujado sombreado sobre la figura, se convierte en: dS = D dD d" Por otra parte, del triángulo formado entre el centro del foco (punto O), el punto genérico Q considerado sobre él y el punto P donde vamos a calcular la iluminación (resaltados claramente en la figura 22), podemos establecer las siguientes relaciones:

y sustituyéndolas en la integral que nos está sirviendo para el cálculo de la iluminación, sustituyendo todos los valores en función de 2 y de " , obtendremos la integral modificada:

Resolviendo esta integral, que expresada de esta forma no presenta ningún problema de resolución, arroja el valor:

y si queremos expresarlo en función de la superficie del foco, teniendo en cuenta que es un circulo y por lo tanto de área B R2, también puede expresarse de esta forma:

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Esta expresión resulta interesante, ya que nos dice que para puntos próximos a la fuente (para los cuales el radio del foco no es despreciable frente a la distancia fuente-punto), la iluminación no cumple la ley de la inversa del cuadrado de la distancia. Esta fórmula coincide con la ley de los inversos de los cuadrados para puntos en zona lejana, ya que en tal caso R<
Fig. 23

encuentra posicionado sobre el eje principal del foco, como ocurría en el caso anterior. Esta situación, ligeramente más compleja, se refleja en la figura 23. La condición de punto P alejado quiere decir que los rayos OP y QP son casi paralelos y de longitudes casi iguales.

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Partiendo de la integral más general de la iluminación y aplicando la condición de zona lejana, lo que implica hacer las correspondientes aproximaciones, tales como que los ángulos

2e y 2r pueden considerarse iguales y de valor $, dejando este ejercicio para el lector, se llegaría a la siguiente expresión:

Esto significa y tiene su correspondiente importancia, que en la práctica, para ángulos de separación del eje pequeños, la iluminación se puede aproximar por la que tendrían los puntos del eje. Por ejemplo, para un ángulo de diez grados, el error cometido es del 3% y para 20º es del 11,7%.

Fig. 24 b) Cuando el plano considerado no es paralelo al plano de la fuente y el punto donde se quiere calcular la iluminación tampoco se encuentra en el eje principal, tal como se aprecia en la figura 24. En estas condiciones, dejando los cálculos como ejercicio para el lector interesado en el tema, los resultados que se obtendrían serían de la siguiente forma:

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después de haber efectuado las correspondientes suposiciones, tal como se ha dicho anteriormente, de encontrarnos suficientemente alejados del foco, lo que se traduce en que el ángulo 2e se considera constante de valor $ y 2r siempre es el ángulo (.

2.20.- EXITANCIA LUMINOSA Esta magnitud se designa por Mv y puede considerarse como la densidad superficial de potencia luminosa que sale de una superficie emisora. Matemáticamente puede expresarse de la siguiente forma:

Fig. 25

La exitancia luminosa se mide en lúmenes/m2, y no hay que confundir esta unidad con el lux, definido con anterioridad para la iluminación, puesto que aunque sea un cociente de las mismas magnitudes, el lux es una magnitud de recepción y lo que aquí consideramos es una magnitud de emisión. Una iluminación de un lumen/m2 es una iluminación de un lux, pero una exitancia luminosa de un lumen/m2 no es una exitancia luminosa de un lux, ya que el lux no mide exitancias luminosas.

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Como aclaración a este concepto, vamos a calcular la exitancia luminosa de una superficie perfectamente difusora, que como se viene diciendo reiteradamente, corresponde a la mayoría de las superficies radiante luminosas que pueden encontrarse en la naturaleza, o por lo menos se acercan bastante a ella. En el caso de superficie perfectamente difusora debe recordarse que la potencia total emitida por ella se encontraba relacionada con su brillo (lo que la definía completamente desde el punto de vista luminoso) y por su superficie, a través de la relación: Pv = B Lv Se por lo que está claro que para este tipo de superficies la exitancia luminosa es proporcional a su brillo a través de la constante B, ecuación que será utilizada posteriormente. Mv = B Lv A la vista de la ecuación se puede afirmar que una superficie perfectamente difusora cuya luminancia sea de 1 nit posee una exitancia luminosa de B lúmenes/m2. El concepto paralelo a este, no restringido a magnitudes luminosas, se conoce como Exitancia radiante y se simboliza mediante la letra Me, definiéndose de idéntica forma.

2.21.- RADIACION DEL CUERPO NEGRO Un cuerpo negro es un cuerpo ideal, y por lo tanto no existente en la naturaleza, pero que resulta muy interesante para describir determinados conceptos, ya que los cuerpos reales se pueden expresar en comparaciones con él.

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Este cuerpo presenta siempre temperatura uniforme, y absorbe completamente todas las radiaciones incidentes, por lo que si alguna radiación es emitida de él será porque la ha generado, nunca porque la haya reflejado de la energía recibida. Además, un cuerpo negro es un radiador térmico perfecto, ya que cualquier otro cuerpo que está en equilibrio y a la misma temperatura emite menos potencia radiante. La potencia radiante del cuerpo negro sólo queda determinada por su temperatura, mientras que para otros cuerpos depende del material y de la temperatura. No nos extendemos en este concepto, puesto que no es el tema central que nos ocupa. El lector interesado en profundizar en el conocimiento de este cuerpo deberá remitirse a la literatura especializada encontrándose aquí únicamente aquellas leyes sobre él que encuentran aplicación en Fotometría y Colorimetría.

2.22.- LEY DE STEFAN-BOLTZMANN Esta ley proporciona el valor de la exitancia radiante del cuerpo negro en función de la temperatura que posee dicho cuerpo, o lo que es lo mismo, la cantidad de potencia radiante emitida por unidad de superficie emisora. La expresión matemática de dicha ley es la siguiente: Me)CUERPO

NEGRO

= F T4

w/m2

en donde T es la temperatura absoluta a la que se encuentra y por lo tanto expresada en grados Kelvin y F es la constante de Stefan-Bolztmann, que tiene por valor:

F = 5'6697 . 10-8

watios/m2 °K

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Al ser el cuerpo negro una superficie perfectamente difusora y teniendo en cuenta que las características de dicha superficie han sido estudiadas detalladamente, la radiancia del cuerpo negro puede expresarse por la siguiente relación:

en donde puede comprobarse que la variación con la temperatura no es lineal, de forma que si por ejemplo la temperatura se duplica, la potencia total emitida por él se multiplica por el factor 16. Esta ley facilita el valor total de la potencia emitida, no especifica nada acerca de en qué longitudes de onda lo efectúa, situación que será aclarada por otras leyes diferentes a esta y que describiremos seguidamente.

2.23.- LEY DE PLANCK La energía emitida por un cuerpo negro no se distribuye uniformemente a lo largo del espectro, sino que lo hace de forma bastante irregular. La distribución espectral de la radiación del cuerpo negro viene dada por la ley de Planck, que expresada en términos de exitancia radiante espectral queda:

siendo C1 y C2 dos constantes, cuyos valores son los siguientes: C1 = 8Bhc = 3,74 . 10-16

C2 = hc/k = 1,4 . 10-2

y como para el caso de superficie perfectamente difusoras ya hemos visto la relación existente entre la exitancia radiante y la radiancia, la distribución espectral de la radiancia del cuerpo negro puede verse de la siguiente forma:

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Fig. 26

En la figura 26 se representa esta ley de variación, tomando como parámetro el valor de la temperatura, efectuada para dos valores de la misma, aunque en la práctica se suele representar para muchos valores de T, tomando esta magnitud como parámetro.

2.24.- LEY DE DESPLAZAMIENTO DE WIEN Esta ley proporciona el valor de la longitud de onda para la que se produce el máximo de radiación del cuerpo negro, a una temperatura dada, tal como ha podido apreciarse en la figura 26. Dicho de otra forma, estando el cuerpo negro a una determinada temperatura T, emite radiaciones en varias longitudes de onda, pero hay una de ellas para la que radia con máxima intensidad. Dicha longitud de onda, según la Ley de Wien tiene por valor:

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y el valor de la radiancia máxima obtenido al sustituir ese valor puede expresarse bien en función de la temperatura que posee el cuerpo negro o bien en función de la longitud de onda que hace máximo el valor de la radiancia Le(8)max = 4,1 . 10-6 . T5 Le(8)max = 8,3 . 1019 . 8M-5 En esta última expresión, si tomamos logaritmos en ambas partes de la igualdad, obtenemos una nueva relación log [Le(8)max] = 5,9 - 5 log 8M

Fig. 27 que representada sobre la gráfica que indica la variación de la radiancia del cuerpo negro en función de la longitud de onda para distintos valores de temperatura, expresada en coordenadas logarítmicas (figura 26), resulta ser una línea recta, que indica el lugar geométrico de los puntos correspondientes a los máximos de cada una de las curvas, tal como se representa en la figura 27.

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2.25.- LUMINANCIA DEL CUERPO NEGRO Teniendo en cuenta que la luminancia se ha definido como la radiancia evaluada por el ojo humano, el valor de la luminancia del cuerpo negro puede expresarse:

en donde v(8) es la curva de sensibilidad del ojo humano y Le(8) es la radiancia dada por la Ley de Stefan-Boltzmann, vista anteriormente. El cálculo de esta integral no puede resolverse analíticamente porque no se conoce la expresión algebraica de V(8) y por lo tanto no puede hallarse la función primitiva para sustituir los límites, pero puede evaluarse numéricamente para cada uno de los valores de temperatura, obteniéndose la gráfica de la figura 28.

Fig. 28 Por otra parte, el rendimiento luminoso del cuerpo negro, teniendo en cuenta que el concepto de rendimiento luminoso ya ha sido explicado detalladamente, viene dado por la expresión:

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Fig. 29

Por los mismos razonamientos anteriores de desconocer la expresión analítica de V(8), tampoco puede evaluarse analíticamente la integral del numerador, pero por procedimientos numéricos pueden obtenerse los diferentes valores del rendimiento luminoso del cuerpo negro para las distintas temperaturas, obteniéndose la gráfica de la figura 29.

Si se observan con detalle los cálculos correspondientes a la figura, puede observarse que para el cuerpo negro se obtiene un máximo del rendimiento luminoso correspondiente a 95 lúmenes/watio para una temperatura de 6.600 grados Kelvin, lo que curiosamente coincide con la temperatura a la que se encuentra el sol. Esto se puede interpretar como que el sol es un cuerpo negro que por imperativos de la naturaleza se ha colocado a la temperatura óptima para conseguir iluminaciones.

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2.26.- TEMPERATURA DE COLOR Este concepto será explicado con más detalle en los temas de Colorimetría, pero como se encuentra relacionado con el cuerpo negro haremos una breve reseña en estos momentos. La temperatura de color de una fuente luminosa se define como la temperatura a la que debe calentarse el cuerpo negro para tener una cromaticidad igual que la de la fuente luminosa, y por descontado no tiene nada que ver en principio con la temperatura física a la que se encuentre la fuente. La mayor parte de los radiadores térmicos (lámparas de incandescencia, filamentos calientes, etc.), tiene una exitancia radiante espectral similar a la del cuerpo negro, por lo que se puede asemejar en cromaticidad con el cuerpo negro. Algunos radiadores térmicos se manipulan artificialmente para reducir radiaciones fuera del espectro visible, consiguiendo aumentar su rendimiento y, por tanto, elevando su temperatura de color sin elevar su temperatura física. Como hay muchas fuentes luminosas que generan radiaciones luminosas que no coinciden exactamente con las tonalidades obtenidas por el cuerpo negro a las diferentes temperaturas, se considera la temperatura de color correlacionada, que se basa en el máximo parecido con la cromaticidad del cuerpo negro. El lugar geométrico de las tonalidades desarrolladas en el cuerpo negro viene dado por la curva de trazo grueso en la figura 30, y los puntos de igual temperatura de color correlacionada viene dado por las rectas que cruzan a la curva anterior, como puede apreciarse en dicha figura 30.

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Fig. 30

La temperatura de color se suele expresar o bien en grados Kelvin o bien en MIRED (Microgrados Kelvin recíprocos). La relación entre ellos viene dada por la expresión:

Este concepto de temperatura de color no es posible explicarlo con todo rigor, debido a que se necesitan conceptos colorimétricos que no han sido desarrollados en estos apuntes. El concepto será comprendido en su totalidad cuando se disponga de esos conceptos. Como resumen de estos Apuntes de Fotometría, se facilita a continuación una tabla en la que se resumen todas las magnitudes, tanto radiométricas como fotométricas, indicando las unidades en las que se miden, así como las relaciones entre ellas.

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FOTOMETRIA NOMBRE

RADIOMETRIA

SIMBOLO

UNIDAD

FORMULA

Energía luminosa

Qv

Talbot

Potencia luminosa

Pv

Lumen

dQv/dt

Intensidad luminosa

Iv

Candela

dPv/dS

Lv

Nit

Ev

Exitancia luminosa

Densidad espectral

NOMBRE

SIMBOLO

UNIDAD

Energía radiante

Qe

julios

Potencia radiante

Pe

watios

Intensida d radiante

Ie

wat/st

dIv/dSrp

Radiancia

Le

wat/m2.st

Lux

dPv/dSr

Irradiació n

Ee

wat/est.

Mv

lum/m2

dPv/dSe

Exitancia radiante

Me

wat/m2

Dv(8)

D/nm

dD/d8

Densidad espectral

D e (8 )

D/nm

0L

lum/w

Pv/P e

Luminancia

Iluminación

Rendimiento luminoso

Curva patrón de luminosidad

V(8)

Máximo para 8 = 555 nm