Fizyka Wzory

FIZYKA – WZORY Rozdziały: 1.1. Mechanika punktu materialnego 1.2. Mechanika bryły sztywnej 1.3. Elementy mechaniki relatywistycznej 1.4. Pole grawitacyjne 1.5. Pole elektrostatyczne 1.6. Prąd stały 1.7. Pole magnetyczne 1.8. Pole elektromagnetyczne 1.9. Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne 1.10.Fale mechaniczne i elektromagnetyczne 1.11.Optyka 1.12.Dualizm falowo-korpuskularny 1.13.Termodynamika 1.14.Budowa atomu 1.15.Jądro atomowe i cząstki elementarne

1.1. Mechanika punktu materialnego POJĘCIA PODSTAWOWE Wektor położenia r = [x,y,z] Wartość wektora położenia r = x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz Prędkość v = [vx,vy,vz], gdzie v x = , vy = , vz = dt dt dt Jednostką prędkości jest metr na sekundę: m/s dv y d 2 y dv dv d 2x d 2z Przyspieszenie a = [ax,ay,az], gdzie a x = x = , ay = , az = z = = dt dt dt dt dt dt 2 Jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę do kwadratu: m/s t1

Droga s w przedziale czasu t0 do t1: s (t 0 , t1 ) = ∫ v(t )dt t0

Dla ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego: v = v0 + at , s = s0 + v0t +

1 2 at 2

RUCH PO OKRĘGU Ruch po okręgu: x = x0 + r cos α (t ) , y = y0 + r cos α (t ) , gdzie α(t) – dowolna funkcja czasu Jest to ruch po okręgu ośrodku w x0 i y0. dα dϖ d 2α ϖ = Wielkość nazywamy prędkością kątową, zaś wielkość ε = = dt dt dt przyspieszeniem kątowym. v ∆v v 2 v2 Dla ruchu jednostajnego ϖ = = const. , ε = 0 , an = lim = , an = = ϖ 2 r = const. , gdzie r ∆t r r an – przyspieszenie dośrodkowe. ZASADY DYNAMIKI I zasada dynamiki: Istnieje taki układ odniesienia (zwany układem inercjalnym), w którym wszystkie punkty materialne nie podlegające oddziaływaniom poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub spoczywają. Prawa mechaniki mają szczególnie prostą postać w inercjalnych układach odniesienia. → II zasada dynamiki: Punkt materialny, na który działa niezrównoważona siła F , uzyskuje w →

inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie a o kierunku i zwrocie zgodnym z →

→

kierunkiem i zwrotem siły i o wartości wprost proporcjonalnej do wartości siły: F = m a Za jednostkę siły przyjęto taką siłę, która ciału o masie 1kg nadaje przyspieszenie 1m/s2. m Jednostkę tę nazywamy niutonem (N): 1N = 1kg * 2 s Istnieje też inne sformułowanie II zasady dynamiki: →

→

Pierwsza pochodna pędu p względem czasu jest równa sile F działającej na ciało: →

dp → =F dt Zmiana pędu w czasie t0 do t1 jest równa popędowi siły. III zasada dynamiki: Oddziaływania w przyrodzie mają charakter zwrotny. Jeśli ciało B wpływa na stan ciała A, to i ciało A musi wpływać na stan ciała B.

lub: Jeżeli ciało B działa na ciało A pewną siłą, to jednocześnie ciało A działa na ciało B siłą równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną i leżącą na tej samej prostej. FAB = − F BA PRAWO ZACHOWANIA PĘDU UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH Suma pędów ciał wchodzących w skład układu izolowanego, zwana całkowitym pędem układu, jest wielkością stałą: p = pa + pb = const. ENERGIA KINETYCZNA I PRACA Praca wykonana przez siłę F działającą na punkt materialny o masie m jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu. 1 Ek = mv 2 2 Praca przy stałej sile jest równa iloczynowi skalarnemu siły i wektora przesunięcia wzdłuż kierunku działania siły: W = F [r (t1 ) − r (t 0 )] = Fs cos α . Jeżeli na punkt materialny działa zmienna siła, wówczas praca wynosi: W = ∫ Fdr . Jednostką pracy i energii jest dżul (J). Jest to praca wykonana przez przyłożenie siły 1N i przesunięcie ciała na drodze 1m w kierunku równoległym do siły. Praca przypadająca na jednostkę czasu nazywana jest mocą. Jednostką mocy jest wat (W). 1.2. Mechanika bryły sztywnej Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym odległości między dowolnie wybranymi punktami nie zmieniają się podczas ruchu ciała. Wektor położenia r środka masy: 1 r= ∑ mi ri M dα Prędkość kątowa bryły: ϖ = dt dϖ d 2α Przyspieszenie kątowe bryły: ε = = 2 dt dt ruch postępowy ruch obrotowy wzajemne zależności jednostajny s = αr s = vt α = ϖt droga v = ϖr prędkość s α v= ϖ= t t jednostajnie zmienny a = εr przyspieszenie v − v0 ϖ −ϖ 0 a= ε= t t v = ϖr prędkość v = v0 + at ϖ = ϖ 0 + εt droga at 2 εt 2 s = v0t + α = ϖ 0t + 2 2 2 n ϖ I ϖ2 mi li2 lub Ek = z Energia kinetyczna obracającej się bryły: Ek = ∑ 2 i =1 2 n

2 Moment bezwładności: I z = ∑ mi li i =1

Jednostką momentu bezwładności jest [Iz]=kg*m2 Moment pędu bryły: J = ϖI z Jednostką momentu pędu jest [J]=kg*m2/s Moment siły: M = r * F 1.3. Elementy mechaniki relatywistycznej Nie obowiązuje II zasada dynamiki w postaci ma=F. Obowiązuje w dalszym ciągu prawo: F=dp/dt. Zamiast wzoru p=mv teoria względności każe używać wzoru p = mr v , gdzie mr zależy od masy ciała w spoczynku i od prędkości ciała: m mr = v2 1− 2 c Równoważność masy i energii: E = mc 2 1.4. Pole grawitacyjne POJĘCIA PODSTAWOWE →

mm r Prawo powszechnej grawitacji: F 12 = −G 1 2 2 12 r r12 F M Natężenie pola grawitacyjnego: γ = Mm = G 2 m r 1 1 Praca w polu grawitacyjnym: W = GMm( − ) r1 r2 GMm Energia potencjalna: E = − r E M Potencjał grawitacyjny: V = = −G m m Prawa Keplera: I – Orbita każdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się zawsze w jednym z ognisk elipsy. II – Prędkość polowa każdej planety jest stała, co oznacza, że wektor położenia planety zakreśla w jednakowych przedziałach czasu równe pola. III – Stosunek kwadratu okresu T obiegu planety dookoła Słońca do sześcianu średniej T2 odległości R od niego jest dla wszystkich planet Układu Słonecznego jednakowy: 3 = const. R 1.5. Pole elektrostatyczne POJĘCIA PODSTAWOWE Całkowity ładunek elektryczny układu odosobnionego nie może ulegać zmianie. Qq Siła między ładunkami: F = k 2 r 1 k= 4πε F Natężenie pola: E = q Wektor indukcji: D = ε 0ε r E →

Strumień indukcji: φ E = ∫ Dn dS S

PRAWO GAUSSA Jeżeli w obszarze ograniczonym zamkniętą powierzchnią S nie ma ładunków lub suma ich równa się zeru, to φ E = 0. PRACA W POLU ELEKTROSTATYCZNYM 1 1 Praca: W = kQq( − ) r1 r2 kQq Energia potencjalna: E = r E Potencjał: V = q ZACHOWANIE SIĘ CIAŁ MATERIALNYCH W POLU ELEKTROSTATYCZNYM, KONDENSATORY Q Pojemność: C = (jednostką jest farad [F]) V Pojemność kondensatora płaskiego: C =

εS d

1.6. Prąd stały NAPIĘCIE. NATĘŻENIE. GĘSTOŚĆ PRĄDU. OPÓR ELEKTRYCZNY. PRAWO OHMA ŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE ODBIORNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ PRAWA KIRCHHOFFA PRACA I MOC PRĄDU STAŁEGO 1.7. Pole magnetyczne F (jednostka tesla [T]) qv PRZEWODNIK Z PRĄDEM W POLU MAGNETYCZNYM Siła elektrodynamiczna: F = I∆lB sin α PRAWO BIOTA-SAVARTA µ ∆l × r ∆B = 0 I 4π r3 Indukcja magnetyczna: B =

1.8. Pole elektromagnetyczne PRAWO INDUKCJI FARADAYA. DRUGIE PRAWO MAXWELLA. dφ SEM indukowane: Ε = − B dt Reguła Lenza: Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie strumienia, która go wywołała.

II prawo Maxwella: Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne. PIERWSZE PRAWO MAXWELLA Krążenie wektora indukcji magnetycznej B po pewnej krzywej L jest proporcjonalne do zmian strumienia pola elektrycznego Φ przechodzącego przez powierzchnię S rozpiętą na krzywej S. dφ Kb = ε 0 µ0 E dt RÓWNANIA MAXWELLA Nazwa Równanie Sformułowanie słowne   Strumień pola E przez dowolną Prawo Gaussa dla elektryczności ε 0 EdS = Q ∫

powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni.

lub

φE = Prawo Gaussa dla magnetyzmu

Prawo Ampere’a rozszerzone przez Maxwella

Prawo indukcji Faradaya

1 Q ε0

 B ∫ dS = 0

lub φB = 0   dφ B ∫ dl = µ 0ε 0 dtE + µ 0 I lub dφ K B = µ 0 I + µ 0ε 0 E dt  

∫ Edl

=−

lub KE = −

dφ B dt

dφ B dt

Strumień pola B przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest zeru. Krążenie wektora indukcji magnetycznej B po pewnej krzywej jest proporcjonalne do zmiany strumienia pola elektrycznego przechodzącego przez powierzchnię S oraz do prądu przewodzenia I przepływającego w przewodniku wewnątrz obwodu całkowania. Krążenie wektora natężenia pola elektrycznego po krzywej zamkniętej jest równe ze znakiem przeciwnym pochodne względem czasu strumienia indukcji B przechodzącej przez powierzchnię rozpiętą na krzywej.

1.9. Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne RUCH HARMONICZNY 1 Częstotliwość w hercach [Hz]: v = T 2π Częstotliwość kołowa w radianach na sekundę [rad/s]: ω = T  2π  t + α  ; A>0, T>0. Równanie ruchu harmonicznego: x = A sin  T  dx = ϖA cos(ϖt + α ) Prędkość ruchu harmonicznego: vs = dt dv 2 Przyspieszenie ruchu harmonicznego: aS = S = −ϖ A sin (ϖt + α ) dt 2 aS = −ϖ x Prawo Hooke’a: F= - kx k 2 Sprężyna drgająca: ϖ = m ENERGIA W PROSTYM RUCHU HARMONICZNYM

2 Energia potencjalna w punkcie x: E p = −kx 1 2 Energia kinetyczna w każdej chwili: E K = mv 2 1 2 Całkowita energia: E = E K + E p = kA 2 ELEKTRYCZNY OBWÓD DRGAJĄCY dφ dI Indukcyjność: ε samoindukcji = − B = − L , gdzie L – indukcyjność w henrach [H] dt dt Porównanie drgań mechanicznych i elektrycznych Q x I v C 1/k L m 1 k ϖ= ϖ= LC m 1 1 Q2 E p = kx 2 Ep = 2 2 C 1 1 Ek = mv 2 Ek = LI 2 2 2

1.10. Fale mechaniczne i elektromagnetyczne RODZAJE FAL - Fala poprzeczna - Fala podłużna - Jednowymiarowa - Dwuwymiarowa - Trójwymiarowa - Impuls - Ciąg fal - Fala harmoniczna prosta - Płaska - Kulista FALE HARMONICZNE v Długość fali: λ = Tv = f FALE STOJĄCE Długość sznura (warunek powstania fali, węzły na końcach): L = n

λn 2

FALE DŹWIĘKOWE Zakres słyszalny: 20-20000Hz Pod zakresem słyszalnym – INFRADŹWIĘKI. Nad zakresem słyszalnym – ULTRADŹWIĘKI. Parametry dźwięku: głośność, wysokość, barwa. ZJAWISKO DOPPLERA v − v0 1 v − v0 = = f0 Częstotliwość dźwięku poruszającego się: f ′ = T′ λ0 v

Oddalający się od źródła: v0>0, zbliżający się do źródła v0<0. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 1 Prędkość fali elektromagnetycznej: v = εµ  1   E×B Energetyczne własności fal opisuje wektor Poyntinga: S = µ0 Widmo fal: - Gamma - X – twarde i miękkie - Nadfiolet - Widzialne - Podczerwień - Fale radiowe i mikrofale - UKF i TV - Radiofonia - Fale długie 1.11. Optyka PODSTAWOWE PRAWA OPTYKI GEOMETRYCZNEJ 1. W ośrodkach jednorodnych światło rozchodzi się wzdłuż linii prostych, które nazywamy promieniami. 2. Kąt odbicia promieni świetlnych od granicy dwóch ośrodków jest równy kątowi padania. 3. Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania światła na granicy dwóch ośrodków jest wielkością stałą. sin α = const. = n12 Prawo załamania: sin β v n12 = 1 v2 c n1 = v1 OBRAZY W SOCZEWKACH Właściwości soczewek skupiających: - Promienie równoległe do głównej osi optycznej po przejściu przez soczewkę przecinają się w jednym punkcie, w ognisku soczewki, położonym na głównej osi optycznej 1 1 1 - Ogniskowa: = ( n12 − 1)  +  , gdzie r - promienie krzywizny obu soczewek f  r1 r2  - Soczewka skupiająca wytwarza rzeczywiste obrazy przedmiotów w odległości x>f na głównej osi optycznej i pozorne obrazy przedmiotów położonych w odległości x
-

Ogniskowej soczewki rozpraszającej przypisujemy umownie wartość ujemną. Ogniskowa 1 1 1 ta jest określana także wzorem soczewkowym: = ( n12 − 1)  +  f  r1 r2  - Soczewka rozpraszająca wytwarza obrazy pozorne przedmiotów położonych na głównej osi optycznej 1 1 1 - Odległość przedmiotu x i obrazu y od soczewki spełniają równanie soczewki: = + f x y h0 y = Powiększenie: p = hp x Jednostka zdolności skupiającej – dioptria [D] = [m-1]. Rodzaje obrazów w soczewkach skupiających i zwierciadłach kulistych wklęsłych: x y p Rodzaj obrazu x=∞ Wiązka promieni równoległych do osi y=f p=0 x>2f

f
p<1

x=2f

y=2f

p=1

f<x<2f

y>2f

p>1

x=f

y=∞

p=∞

optycznej soczewki (zwierciadła) skupia się w ognisku Obraz rzeczywisty, zmniejszony, odwrócony Obraz rzeczywisty, wielkości przedmiotu (równy), odwrócony Obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony Promienie wychodzące z ogniska po odbiciu od zwierciadła (po przejściu przez soczewkę) są równoległe Obraz pozorny, powiększony, prosty

0<x1 OPTYKA FALOWA. DYFRAKCJA I INTERFERENCJA ŚWIATŁA Zasada Huyghensa: każdy punkt ośrodka, do którego dochodzi czoło fali, staje się źródłem wtórnych fal elementarnych. POMIAR DŁUGOŚCI FALI ŚWIATŁA Siatka dyfrakcyjna: d sin α n = nλ gdzie n=0,1,2,... (n < d/λ), d – stała siatki (odległość między szczelinami w siatce) 1.12. Dualizm falowo-korpuskularny ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE 2 mvmax eU h = 2 gdzie Uh – potencjał hamujący, vmax – maksymalna prędkość elektronu. 1 2 hf = W + mvmax 2 gdzie W – praca wyjścia, h – stała Plancka, f – częstotliwość. ZJAWISKO COMPTONA 1 2 hf 0 = hf + mvmax 2 Zmiana częstotliwości fotonu padającego i nadanie prędkości elektronowi. FALE MATERII DE BROGLIE’A h λ= p ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

∆p x ∆x ≥ h Położenie i pęd cząstki możemy określić ze skończoną dokładnością. 1.13. Termodynamika PARAMETRY STANU

∆F ∆S Prawo Pascala: Ciśnienie w danym punkcie cieczy lub gazu w stanie równowagi nie zależy od ustawienia powierzchni, na którą działa, i w każdym punkcie gazu czy cieczy jest jednakowe. RÓWNOWAGA TERMODYNAMICZNA – ZEROWA ZASADA TERMODYNAMIKI Jeżeli ciała A i B są w równowadze termicznej z trzecim ciałem C (termometrem), to A i B są w równowadze termicznej ze sobą. CIEPŁO I zasada termodynamiki: W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego zmiana ∆U energii wewnętrznej jest równa ciepłu Q dostarczonemu do układu i pracy W wykonanej nad układem. ∆U = Q + W Ciepło właściwe – c : Q = cm(t1 − t0 ) Podstawową jednostką ciepła jest dżul [J], a jednostką ciepła właściwego dżul na kilogram razy kelwin [J/(kg*K)]. PRZEMIANY FAZOWE - topnienie - krzepnięcie - parowanie - skraplanie - sublimacja - resublimacja RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO Przemiana izotermiczna: Opisywana przez prawo Boyle’a i Mariotte’a: Dla ustalonej liczby moli gazu i temperatury iloczyn ciśnienia i objętości jest w ustalonej temperaturze wielkością stałą. p1V1 = p2V2 = const. Przemiana izobaryczna: Opisywana przez prawo Gay-Lussaca: Dla ustalonej liczby moli gazu pod stałym ciśnieniem wzrost temperatury powoduje wzrost objętości gazu proporcjonalny do różnicy temperatur. V = V0 (1 + α∆t ) α - współczynnik termicznej rozszerzalności gazu Przemiana izochoryczna: Opisywana przez prawo Charlesa: Dla ustalonej liczby moli gazu w stałej objętości wzrost temperatury powoduje wzrost ciśnienia gazu proporcjonalny do różnicy temperatur. p = p0 (1 + β∆t ) β -współczynnik prężności termicznej gazu 1 Dla gazu doskonałego α = β = , a przy użyciu skali Kelvina (T=t+273) otrzymujemy: 273 V V0 = = const. T T0 Ciśnienie w paskalach [Pa]: p =

p p0 = = const. T T0 Równanie Clapeyrona: pV = nRT , gdzie R- stała gazowa PRZEMIANA ADIABATYCZNA GAZU DOSKONAŁEGO p1V1k = p2V2k gdzie k = cp /cv , cp- ciepło właściwe przy przemianie izobarycznej, cv- ciepło właściwe przy przemianie izochorycznej. DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI We wszystkich układach odosobnionych całkowita entropia układu nie może maleć. ELEMENTY KINETYCZNEJ TEORII GAZÓW 2n Eksr Ciśnienie: p = 3V 2 Energia kinetyczna średnia: Eksr = RT 3 1.14. Budowa atomu 1.15. Jądro atomowe i cząstki elementarne