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“AÑO DEL DIÁLOGO Y LA RECONCILIACIÓN NACIONAL”

2DO INFORME DE LABORATORIO

“PÉNDULO FÍSICO” CURSO: FI 204 “M” INTEGRANTES:  Mena Mamani, Joel Reynaldo (20170214F)  Abregú Tuesta Miguel Marcelo (20171301J)  Villegas Rafael, Jym Waldo (20170491J)

2018

RESUMEN Para poder entender y realizar lo hecho en el laboratorio, previamente necesitamos conocer ciertos aspectos del tema de momento de inercia, para los respectivos cálculos necesitamos conocer las dimensiones de la barra continua, el eje de giro, además las distancias desde el orificio del centro de masa a cada orificio de la barra y también la aplicación del teorema de Steiner.

JUSTIFICACIÓN DE LA EXPERIENCIA Es muy importante conocer Teorema de Steiner para calcular el momento de inercia en los distintos orificios de la barra y así poder realizar correctamente los cálculos en el presente experimento.

OBJETIVOS  Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia.

EQUIPO     

Una barra metalica de cierta longitud con agujeros circulares. Un soporte de madera con cuchilla. Un cronómetro. Dos mordazas simples. Una regla milimetrada.

FUNDAMENTO TEORICO PÉNDULO FÍSICO Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe IO· =-mgxsen Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O. IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.

Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial

Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces

Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P

CUERPO RÍGIDO  Un cuerpo rígido es aquel cuya forma no varia pese a ser sometido a la acción de fuerzas externas.  El cuerpo rígido es un modelo ideal que se utiliza para realizar estudios de cinemática y de mecánica, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian.  En la práctica, todos los cuerpos se deforman, aunque sea de forma mínima, al ser sometidos al efecto de una fuerza externa.

CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA MASA 



El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo. El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo

TEOREMA DE STEINER El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a través de su centro de masa es el momento de inercia mínimo sobre un eje en esa dirección del espacio. El momento de inercia sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el centro de masa está dado por:

El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, más momento de inercia de todo el objeto tratado como una masa puntual en el centro de masa sobre ese eje paralelo.

del el

PROCEDIMIENTO  Ubicar el centro de masa de la barra, suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio será el centro de gravedad de la barra.  Sus pende la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y hacerla oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio( máximo 15°), apuntar el tiempo que emplea en 10 oscilaciones y medir la distancia de la barra. Repetir esta operación dos veces más.

CALCULOS Y RESULTADOS 1) # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

l(cm)

t1(s)

t2(s)

t3(s)

t promedio

53.7 45.7 40.7 35.7 30.7 25.7 20.6 15.6 10.6 6.0

16.43 16.00 15.61 15.78 15.61 15.86 16.24 17.49 20.18 26.29

16.49 15.92 15.74 15.90 15.64 15.91 16.31 17.35 20.60 26.31

16.30 15.95 15.74 15.88 15.58 15.76 16.41 17.37 20.09 26.28

16.41 15.96 15.69 15.85 15.61 15.84 16.32 17.40 20.29 26.29

# de oscilaciones 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

T(S) 1.641 1.596 1.569 1.585 1.561 1.584 1.632 1.740 2.029 2.629

2) a. Grafique T vs l, (T en el eje vertical y l en el eje horizontal) Ajuste de la curva mediante la parábola mínimo cuadrática. xi 6.0 10.6 15.6 20.6 25.7 30.7 35.7 40.7 45.7 53.7 ∑=285

yi 2.629 2.029 1.740 1.632 1.584 1.561 1.585 1.569 1.596 1.641 ∑=17.566

xiyi 15.774 21.5074 27.144 33.6192 40.7088 47.9227 56.5845 63.8583 72.9372 88.1217 ∑=468.1778

xi2 36.00 112.36 243.36 424.36 660.49 942.49 1274.49 1656.49 2088.49 2883.69 ∑=10322.22

xi2yi 94.644 227.97844 423.4464 692.55552 1046.21616 1471.22689 2020.06665 2599.03281 3333.23004 4732.13529 ∑=16640.5322

xi3 216 1191.016 3796.416 8741.816 16974.593 28934.443 45499.293 67419.143 95443.993 154854.153 ∑=423070.866

xi4 1296 12624.7696 59224.0896 180081.41 436247.04 888287.4 1624324.76 2743959.12 4361790.48 8315668.02 ∑=18623503.1

Mediante las siguientes fórmulas:

𝑛

𝑛

𝑛

∑ 𝑦𝑖 = 𝑎0 𝑛 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑎1 ∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑛

∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑎0 ∑ 𝑥𝑖 +

∑ 𝑥𝑖2 𝑦𝑖 𝑖=1

=

𝑎0 ∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1

+ 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖3 𝑖=1

𝑛

+ 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖3 𝑖=1

𝑛

+ 𝑎2 ∑ 𝑥𝑖4 𝑖=1

Resolviendo las siguientes ecuaciones simultáneas se tiene: a0 = 0.0010127 a1 = -0.070125 a2 = 2.796104

T vs l 3 2.5

T(s)

2 1.5 y = 0.001x2 - 0.0724x + 2.8044 R² = 0.8624

1 0.5 0 0

10

20

30

40

50

60

l(cm)

Encontrar el valor de l para un mínimo como ya conocemos la función por la cual se rige que es una especie de parábola, entonces hallamos la primera derivada y la igualamos a “0”cero, asi obtenemos el máximo relativo: 𝜕(0.0010127𝑥 2 − 0.0724𝑥 + 2.8044) =0 𝜕𝑥 2(0.0010𝑥) − 0.0724 = 0 𝑥 = 𝑙 = 36.2𝑐𝑚

b) A partir de la ecuación (14.1), con I1 dada por la ecuación (14.2), encuentre el valor de l para que el periodo tenga el mínimo valor.

Para ello debemos calcular el Iteórico de la barra con agujeros. Ibarra con agujeros = Ibarra sin agujeros – Io de cada uno de los agujeros Teorema de Steiner Io = Icm + md2 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑚𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 𝑅 2 ∑ 𝐼𝑜𝑖 = ∑ + ∑ 𝑚𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 . 𝑥𝑖2 2 𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑅2 ∑ 𝐼𝑜𝑖 = 𝑚𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 (∑ + ∑ 𝑥𝑖2 ). . . . . (∝) 2

Necesitamos la masa de los agujeros y la masa de la barra sin agujeros, para ello necesitamos la densidad de la barra. De nuestros datos tomados en el laboratorio: Largo de la barra = 1.1m Ancho de la barra = 0.037m Espesor de la barra = 0.006m Radio del hueco = 0.0075m Masa de la barra con huecos = 1.887kg -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝑚 = 𝜌𝑉 Vbarra con agujeros = Vbarra – 21Vagujeros Vbarra con agujeros = 2.442 x 10-4 m3 – 2.2267 x 10-5 m3 = 2.2193 x 10-4 m3 𝜌 =8502.681 kg/m3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vagujero=1.0603 x 10-6 magujero = 9.0154 x 10-3

mbarra sin agujeros = mbarra con agujeros + 21mdel agujero mbarra sin agujeros = 1.887kg + 0.189323246kg = 2.0763kg -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Icm de la barra sinagujeros = m(

𝐿2 +𝑏2 12

1.12 +0.0372

) = 2.0763 (

12

) = 0.2095971212 𝑘𝑔. 𝑚2

De (α): 𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑅2 0.00752 ∑ 𝐼𝑜𝑖 = 𝑚𝑎𝑔𝑢𝑗𝑒𝑟𝑜 (∑ + ∑ 𝑥𝑖2 ) = 9.0154 𝑥 10−3 ((19) ( ) + 1.032222) 2 2 = 0.009310711 𝑘𝑔. 𝑚2

Entonces, reemplazando: Ibarra con agujeros = Ibarra sin agujeros – Io de cada uno de los agujeros Iteórico= 0.2095971212 kg.m2 – 0.009310711 kg.m2 = 0.2002864102 kg.m2 Usando la formula del periodo, l=0.293m = 29.3cm c) Compare los valores de l Tomando el l mínimo que hallamos derivando la ecuación parabólica. Isistema= Ml2= 0.247280028; lminimo=36.2cm (sacado de la gráfica parabólica) Error =

𝑙𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 −𝑙𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑙𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

= 19%

d) ¿Cuál es el período para esta distancia? 0.2002864102

T=2π√1.887𝑥9.81𝑥29.3 = 1.51698526𝑠 e) De su gráfico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo período? Indíquelos. Hay varios cercanos por ejemplo. Cuando l=30.7cm; T=1.561s Cuando l=40.7cm; T=1.569s 3) Con el valor de T conocido experimentales, encuentre, utilizando la relación (14.1), el valor de l1 y llene la tabla 2 con las siguientes características. # de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Eje de oscilación, l(cm) 53.7 45.7 40.7 35.7 30.7 25.7 20.6 15.6 10.6 6

(Periodo)2 T2(s2) 2.692881 2.547216 2.461761 2.512225 2.436721 2.509056 2.663424 3.0276 4.116841 6.911641

Momento de Inercia l1 kg.cm2 6780.655508 5458.360392 4698.081313 4205.39682 3507.715924 3209.62035 2572.691798 2214.640958 2046.20995 1944.521079

l2(cm2) 2883.69 2088.49 1656.49 1274.49 942.49 660.49 424.36 243.36 112.36 36

4) Haga el gráfico l1 vs l2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL=

I2(cm2) 2883.69 2088.49 1656.49 1274.49 942.49 660.49 424.36 243.36 112.36 36 2883.69

l1 6780.655508 5458.360392 4698.081313 4205.39682 3507.715924 3209.62035 2572.691798 2214.640958 2046.20995 1944.521079 36637.8941

I1 x I2 19553308.5 11399731.1 7782324.71 5359736.19 3305987.18 2119922.14 1091747.49 538955.024 229912.15 70002.7588 51451627.2

I12 30288.05474 7782.53448 3338.46077 1987.8221 1304.54158 862.26017 588.85989 324.26602 160.28901 57.39807 46694.4868

8000 7000

y = 1.8108x + 1517.8

6000

I1

5000 4000 3000 2000 1000 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

I2 ( cm2)

5) Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (14.2), determine I G y M. De la ecuación: I1 = IG + Ml2 De la ecuación de la gráfica: y = 1.8108x + 1517.8 MI = 1.8108KG IGI = 1517.8

6) Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula analítica para 𝟏 una barra de longitud L y ancho b IG= 𝑴(𝑳𝟐 + 𝒃𝟐 ). ¿Qué error experimental obtuvo? 𝟏𝟐

¿qué puede decir acerca de la masa? L= 110 cm b=3.7 cm 1

IG= 12 1.887(1102 + 3.72 ) = 1574.652753

QUE ERROR EXPERIMENTAL SE OBTUVO: 1574.652753−1517.8

%ERROR IG=

1574.652753

𝑋100% = 3.61%

Esto se debe a que la barra no es homogénea sino que tiene agujeros lo cual disminuye su Momento de Inercia teórico.

¿Qué puede decir acerca de la masa? %ERROR M=

1.887−1.8108 1.887

𝑋100% = 4.038%

También vemos que la masa es ligeramente menor a la teórica, todo es debido a los 21 agujeros que presenta nuestro cuerpo rígido. 7) Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este calculo solicite al profesor del aula que le asigne el número de huevo. En este caso hallaremos la longitud del péndulo simple equivalente del #3 𝐿𝑙

T5 = 2𝜋 √ 𝑔

; g = 9.81m/s

T5 = 1.561s Entonces: Ll = 60.5cm

8) Ecuación 14.1 Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple en el que toda masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequeñas, el análisis del movimiento de un péndulo real es tan sencillo como el de uno simple. La figura de abajo muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por el punto O. en la figura el cuerpo esta desplazado un ángulo θ.

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa una torca de restitución .

M e  MgLsen Si es

el momento de inercia del péndulo respecto al eje de

suspensión ZZ′ y llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo.

L

 MgLsen  I 0 que podemos escribir en la forma

Mg

 

MgL sen  0 …. (1) I0

que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que se encuentra para el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos considerar sen θ ≈ θ y la ecuación [1] adopta la forma

 

MgL   0 …. (2) I0

que corresponde a un movimiento armónico simple. El periodo de las oscilaciones es T  2

I0 MgL

En el experimento, el cuerpo solido es una barra homogénea con huecos y los momentos de inercia de esta respecto a ejes perpendiculares a la barra que pasa por cada uno de los huecos se pueden determinar experimentalmente mediante la ecuación

T  2

I0 MgL

Donde “L” es la longitud que separa el centro de gravedad del centro de giro “o”

Sin embargo no es posible calcular experimentalmente el momento de inercia de la barra alrededor de un eje que pase por el centro de gravedad; para ello usaremos un método indirecto

El cual es conocido como el TEOREMA DE STEINER que se expresa por la siguiente igualdad: I  I G  ML2 .

Demostración del teorema de Steiner Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

Centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

¿De qué depende el periodo de oscilación en el péndulo físico? El péndulo físico, también llamado péndulo compuesto, consiste en un compuesto formado por un cuerpo rígido de forma irregular, móvil en torno a un punto a ejes fijos, y que oscila solamente por acción de su peso.

La ecuación diferencial del péndulo físico es:

El periodo de oscilación depende de la longitud del punto del eje donde se está oscilando al punto del eje del centro de masa.

𝑑2 𝜃 𝑚𝑔𝑥 + 𝜃=0 𝑑𝑡 2 𝐼0 Para este experimento retomaremos el teorema de Steiner para hallar el momento de inercia en los distintos agujeros de la barra que será necesario realizar ciertas mediciones y cálculos.

Realizando los cálculos respectivos podemos encontrar el valor experimental el valor de los periodos y de los momentos de inercia en los distintos agujeros de la barra. No olvidarse de realizar las mediciones de las dimensiones de la barra así como su masa y calcular el momento de inercia del sistema tal y como presenta su geometría para obtener menos errores.

Gracias a nuestros registros de las mediciones podemos llegar a obtener nuestra gráfica Periodo vs longitud al centro de masa que se asemeja a una función cuadrática.

Definiciones y Leyes Cuerpo rígido Ecuación diferencial del péndulo físico Centro de gravedad Teorema de Steiner

Péndulo físico

CONCLUSIONES 





Con este trabajo se logró concluir que el periodo de oscilación de un péndulo físico, depende siempre del brazo de giro, es decir la distancia con respecto a su centro de gravedad. Además observamos que para ciertos valores del brazo de giro el valor del periodo es un mínimo y que cuando el brazo de giro es exactamente el centro de gravedad no se produce ninguna oscilación con ángulos pequeños. Al variar, la longitud de la varilla determinamos que el periodo experimental de ella fue en incremento, ya que guardaba una relación no lineal con respecto al tiempo de oscilación. Existen ligeros errores en los cálculos ya que a la hora de realizar las mediciones hubo algunos imperfectos como en la correcta medición de los tiempos de oscilación.

BIBLIOGRAFIA  Física para las ciencias y la ingeniería (Serway).  https://prezi.com/shiudlgsv8dm/pendulo-fisico/  Física Universitaria(Sears Zemansky)  http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/shm.html  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/pendulo/pe ndulo.htm  ALONSO, Marcelo; Finn, Edwar J.; FISICA/1967 (momento de inercia ).  www.fisicarecreativa.com