Fisica Contemporanea

F´ısica Contempor´anea I. Relatividad Especial Luis Moraga 15 de Abril de 2008 N. B. Las secciones maradas con un asterisco (*) pueden ser ignoradas en una primera lectura.

1

Invariantes:

De acuerdo con la opini´on generalizada, la teor´ıa de Relatividad de Einstein se puede resumir en una sola frase: ”Todo es relativo”. Por el contrario, una frase que mejor retrata tanto la intenci´on como el contenido de esta teor´ıa es otra: ”Hay cosas absolutas y s´olo ellas son interesantes”. Cuando uno de estos absolutos es un n´ umero, se llama invariante. Con esto se quiere decir que una cierta magnitud f´ısica —aunque sea medida por diferentes observadores que pueden estar movi´endose unos con respecto a otros con velocidades arbitrarias— resulta tener, para todos ellos, el mismo valor. Aunque estas magnitudes no son numerosas, son las importantes. Una de estos invariantes es la velocidad de la luz c = 300 000 km/s = 3,0 ×108 m/s. Uno podr´ıa imaginarse el experimento siguiente (no enteramente fant´astico): Una nave espacial se mueve de derecha a izquierda (con respecto a nosotros) con una velocidad de 200 000 km/s. Un foco en su proa lanza un haz de luz por delante de la nave, con una velocidad —con respecto a la nave— de 300 000 km/s. La intuici´on m´as b´asica dice que el haz de luz se mueve de derecha a izquierda, con respecto a nosotros, con una velocidad combinada de 500 000 km/s. El resultado de experimentos cuidadosos muestra que esta intuici´on es falsa.1 En realidad, el haz de luz se mueve con respecto a nosotros tambi´en a una velocidad de 300 000 km/s. En el hecho, el haz de luz se mueve con respecto a cualquier observador con 1 Por supuesto, a falta de naves espaciales r´ apidas, este experimento no se ha realizado todav´ıa. Pero si se han llevado a cabo muchos otros que le son equivalentes. El m´ as famoso fu´ e imaginado y realizado por Albert Abraham Michelson y Edward Williams Morley: A. A. Michelson y E. W. Morley, ”On the relative motion of the Earth and the luminiferous ether,” The American Journal of Science, volumen 34 (Tercera Serie), pp. 333-345 (Noviembre de 1887).

1

2 EL INTERVALO:

2

la misma velocidad c = 300 000 km/s —aunque el observador se desplace hacia la derecha o la izquierda con una velocidad arbitraria.

2

El intervalo:

Para poder explicar el papel de estos invariantes en la descripci´on del universo, Taylor y Wheeler comienzan contando la siguiente f´abula:2 Dos top´ografos son contratados para levantar el mapa de un terreno, situado en Transilvania. Uno de los top´ografos es chileno y el otro, transilvano. Ambos trabajan con gran aplicaci´on, y terminan determinando las coordenadas precisas de los diversos accidentes notables del terreno: la abad´ıa (A), el paso de Borgo (B), la cripta (C) etc. La tabla siguiente resume el resultado de las mediciones de los top´ografos.

A B C D

Top´ ografo chileno Sistema coordenado orientado al norte magn´etico Coordenada x Coordenada y de oeste a este de sur a norte (metros). (kilometros). 993,72 4,3210 538,45 1,2067 3201,0 1,0043 6040,3 2,5423

Top´ ografo transilvano Sistema coordenado orientado a la Estrella Polar Coordenada x0 Coordenada y 0 de oeste a este de sur a norte (metros). (kilometros). 2078,2 3,9166 832,42 1,0262 3351,9 1,4160 6492,5 892,33

Claramente, las coordenadas determinadas por un top´ografo no coinciden en ning´ un caso con las determinadas por el otro. ¿Cu´al de los top´ografos est´a equivocado? En realidad, ninguno de los dos. Resulta que el top´ografo chileno med´ıa s´olo de d´ıa, mientras que el top´ografo transilvano trabajaba s´olo de noche. Para orientar su sistema coordenado hacia el norte, el top´ografo chileno usaba una br´ ujula. El top´ografo transilvano orientaba el eje norte-sur de su sistema coordenado en la direcci´on de la Estrella Polar. Como estas direcciones no coinciden, los sistemas coordenados resultaron estar rotados uno con respecto al otro. Pero, a pesar de esto, no se puede afirmar que ninguno de estos (u otros) sistemas coordenados sea mas veraces o intr´ınsicamente superior a cualquier otro. Notamos que, aunque los valores num´ericos de las coordenadas difieran al pasar de un sistema coordenado a otro, las distancias entre los puntos medidos no puede depender del sistema. Las coordenadas son relativas, pero la red de distancias 2 Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler, Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity, Second Edition, W. H. Freeman and Company, Nueva York, 1992, pp. 1-3. Nuestra versi´ on de la f´ abula tiene pequ˜ nos retoques comparada con la original.

2 EL INTERVALO:

3

mutuas son absolutas. Por ejemplo, consideremos la distancia entre el objeto A y el D. Dadas los respectivos pares de coordenadas xA , yA y xD , yD , podemos calcular la distancia entre dAD A y D mediante el teorema de Pit´agoras3 d2AD = (∆x)2 + (∆y)2 ,

en donde ∆x = xD − xA y ∆y = yD − yA .

(∆x y ∆y son dos catetos de un tri´angulo rect´angulo del cual dAD es la hipotenusa.) Utilizamos, primero las coordenada obtenidas por el top´ografo chileno. ∆x = 5046, 6 m; ∆y = −1778, 7 m; dAD = 5350, 9 m. Con los datos del top´ografo transilvano obtenemos: ∆x = 4414, 3 m; ∆y = −3024, 2 m; dAD = 5350, 9 m. Como se comprueba f´acilmente, lo mismo vale para la distancia entre otro cualquier par de accidentes geogr´aficos. En tres dimensiones, para especificar la situaci´on de cada punto se requieren tres coordenadas x, y, z. Es f´acil ver que la distancia dAB entre un par de puntos A y B, con coordenadas xA , yA , zA y xB , yB , zB , respectivamente, es p dAB = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 ; con ∆x = xB − xA , ∆y = yB − yA , ∆z = zB − zA . Esta es la generalizaci´on del teorema de Pit´agora a tres dimensiones. Una serie de experimentos realizados a comienzos del siglo xx mostraron que el Universo en realidad tiene cuatro dimensiones. Se encontr´o que, adem´as de las tres dimensiones espaciales x, y, z, hay que agregar una cuarta dimensi´on ct. Esto significa que, adem´as de especificar la posici´on de cada suceso proporcionando sus coordenadas espaciales, es necesario decir cuando ocurre este suceso; proporcionando el n´ umero t de segundos transcurridos desde un dado origen de coordenadas. (Multiplicamos este t, que est´a en segundos, por la velocidad de la luz c, en metros/segundo, para que las cuatro coordenadas est´en en una unidad com´ un, que es metros.) Agregar el tiempo como una cuarta coordenada a las tres espaciales no es una operaci´on arbitraria.4 Los experimentos realizados a fines del siglo xix y a comienzos del siglo xx conducen a la conclusi´on ineludible que el tiempo est´a construido casi del mismo material del que est´a hecho el espacio. En el hecho (como mostraremos en la secci´on siguiente) la transformaci´on de coordenadas desde un 3 Existe la complicaci´ on adicional que una de las coordenadas est´ a en metros, mientras que la otra se expresa en kilometros. Pero esta dificultad no es grande, porque podemos transformar f´ acilmente todas las medidas a una unidad com´ un (metros, por ejemplo) al hacer los c´ alculos. 4 Quiz´ as podr´ıa imaginarse la posibilidad de agregar una quinta dimensi´ on representando, por ejemplo, la temperatura o la presi´ on. Pero este agregado ser´ıa incoherente y arbitrario. La temperatura o la presi´ on son magnitudes intr´ınsicamente diferentes del espacio o el tiempo.

3 GRUPO DE LORENTZ:

4

observador a otro equivale a una rotaci´on que mezcla, hasta cierto punto, el espacio con el tiempo. As´ı, el presente de un observador puede ser, a la vez, el pasado y el futuro de otro. Las cuatro coordenadas espaciotemporales de definen un evento ct, x, y, z son, por supuesto, relativas al sistema coordenado al cual est´an referidas. Lo absoluto, o invariante, es la distancia dAB entre dos pares de eventos A, B —distancia que puede ser calculada mediante la generalizaci´on del teorema de Pit´agoras a cuatro dimensiones. Los datos experimentales muestran que esta generalizaci´on es d2AB = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − c2 (∆t)2 ; con ∆x = xB − xA , ∆y = yB − yA , ∆z = zB − zA , c∆t = c(tB − tA ). Lo espectacular o inesperado de esta f´ormula reside en el signo negativo del u ´ltimo sumando. Para calcular el cuadrado de la hipotenusa, es necesario sumar los cuadrados de los tres catetos espaciales, pero restar el cuadrado del cateto temporal. (El tiempo es muy semejante al espacio, pero no id´entico a ´el.) Para part´ıculas que deben moverse necesariamente a velocidades menores que la de la luz, las distancias calculadas con esta f´ormula resultan ser imaginarias puras —una caracter´ıstica que no es absurda pero que es molesta. Para evitar este problema, utilizaremos de aqu´ı en adelante el intervalo ∆s en lugar de la distancia dAB , definido por (∆s)2 = −d2AB . As´ı, este intervalo resulta ser (∆s)2 = c2 (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 .

(1)

Por cierto, el intervalo ∆s es invariante, porque la distancia lo es.

3

Grupo de Lorentz:

El grupo de Lorentz es el conjunto de todas las transformaciones de coordenadas que dejan invariante el intervalo (1). Claramente una de estas transformaciones es una rotaci´on en un ´angulo θ en el plano x − y, que deja invariantes los ejes z y ct. Esta transformaci´on es x0 = x cos θ + y sin θ, y 0 = −x sin θ + y cos θ, z 0 = z, ct0 = ct. En notaci´on matricial, esta  0   ct  x0    0 =  y   z0

transformaci´on se escribe:  1 0 0 0 ct  x 0 cos θ sin θ 0   0 − sin θ cos θ 0   y 0 0 0 1 z

De un modo m´as abstracto podemos escribir x0 = Rx,y (θ)x;

(2)

  . 

(3)

3 GRUPO DE LORENTZ:

5

en donde x0 , Rx,y (θ) y x denotan, respectivamente, las tres matrices de la ecuaci´on (3). Demostraremos expl´ıcitamente que esta transformaci´on deja invariante el intervalo. En efecto, a partir de (2), tenemos que ∆x0 (∆s)2

= cos θ∆x + sin θ∆y, ∆y 0 = − sin θ∆x + cos θ∆y, ∆z 0 = ∆z, c∆t0 = c∆t; = c2 (∆t0 )2 − (∆x0 )2 − (∆y 0 )2 − (∆z 0 )2 = c2 (∆t)2 − (∆x)2 cos2 θ − (∆y)2 sin2 θ − 2(∆x)(∆y) cos θ cos θ −(∆x)2 sin2 θ − (∆y)2 cos2 θ + 2(∆x)(∆y) cos θ cos θ − (∆z)2 ¡ ¢ ¡ ¢ = c2 (∆t)2 − (∆x)2 cos2 θ + sin2 θ − (∆y)2 sin2 θ + cos2 θ − (∆z)2 =

c2 (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 ,

porque

sin2 θ + cos2 θ = 1.

(4)

De la misma manera, comprobamos que pertenece tambi´en al grupo de Lorentz una rotaci´on en un ´angulo χ en el plano x − z, que deja invariantes los ejes y, ct. Expl´ıcitamente, esta es   1 0 0 0  0 cos χ 0 sin χ  . Rx,z (χ) =   0 0 1 0  0 − sin χ 0 cos χ As´ı, es f´acil construir matrices que provoquen rotaciones espaciales arbitrarias alrededor de los ejes coordenados y, combin´andolas, alrededor de cualquier eje espacial. Pero ¿es posible construir rotaciones semejantes, pero que involucren el tiempo? Claramente esto es posible. Por ejemplo, la siguiente es una rotaci´on en un ´angulo ϑ en el plano ct, x, que deja invariante los ejes y, z:   cosh ϑ − sinh ϑ 0 0  − sinh ϑ cosh ϑ 0 0  . Rt,x (ϑ) =  (5)  0 0 1 0  0 0 0 1 Notamos que, en contraste con el caso de la rotaci´on espacial (3), aparecen aqu´ı funciones hiperb´olicas en lugar de circulares. Demostraremos, ahora, que la rotaci´on (5) tambi´en deja invariante el intervalo. Al aplicarla a las coordenadas de un sistema, se tiene que c∆t0

=

c∆t cosh ϑ − ∆x sinh ϑ; ∆x0 = −c∆t sinh ϑ + ∆x cosh ϑ;

∆y 0 (∆s)2

= =

∆y; ∆z 0 = ∆z. c2 (∆t0 )2 − (∆x0 )2 − (∆y 0 )2 − (∆z 0 )2

4 LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ:

=

c2 (∆t)2 cosh2 ϑ + (∆x)2 sinh2 ϑ − 2c(∆t)(∆x) sinh ϑ cosh ϑ −c2 (∆t)2 sinh2 ϑ − (∆x)2 cosh2 ϑ + 2c(∆t)(∆x) sinh ϑ cosh ϑ −(∆y)2 − (∆z)2 ¡ ¢ ¡ ¢ c2 (∆t)2 cosh2 ϑ − sinh2 ϑ + (∆x)2 sinh2 ϑ − cosh2 ϑ

=

−(∆y)2 − (∆z)2 c2 (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 ,

=

porque

cosh2 ϑ − sinh2 ϑ = 1.

6

(6)

Es la necesidad de satisfacer esta ecuaci´on, en lugar de (4), la que obliga a utilizar rotaciones hiperb´olicas en lugar de circulares cuando en las rotaciones interviene el tiempo.

4

Las transformaciones de Lorentz:

Investigaremos aqu´ı m´as ajustadamente la naturaleza de la rotaci´on hiperb´olica en un ´angulo ϑ que deja invariantes los ejes y y z. Por (5), x0 y0 z0 ct0

= = = =

x cosh ϑ − ct sinh ϑ, y, z, −x sinh ϑ + ct cosh ϑ.

(7)

Resulta que no es el ´angulo de rotaci´on ϑ el que posee una interpretaci´on f´ısica directa, sino su tangente hiperb´olica β = tanh ϑ. La transformaci´on (7) describe el caso en que el sistema coordenado x0 , y 0 , z 0 , t0 se mueve con respecto al sistema x, y, z, t con velocidad uniforme V en direcci´on paralela al eje x. As´ı, la tangente del ´angulo de rotaci´on es esta velocidad V en unidades de la velocidad de la luz c tanh ϑ = β =

V . c

(8)

La trigonometr´ıa hiperb´olica permite calcular el seno y el coseno hiperb´olico dada la tangente del ´angulo. En este caso tenemos que cosh ϑ = sinh ϑ =

1 p =γ 1 − β2 β p = γβ. 1 − β2

(9)

4 LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ:

7

p p (La notaci´on β = V /c y γ = 1/ 1 − β 2 = 1/ 1 − (V /c)2 es hoy universalmente usada en este contexto.) Escrita en t´erminos de estas cantidaes, la transformaci´on de Lorentz es x0 y0 z0 ct0

= = = =

γ(x − βct) y z γ(ct − βx).

(10)

La transformaci´on inversa se obtiene cambiendo V por −V o, lo que es lo mismo, β por −β. γ permanece invariable. As´ı, x y z ct

= = = =

γ(x0 + βct0 ) y0 z0 γ(ct0 + βx0 ).

(11)

Finalmente, escrita en funci´on de la velocidad V del sistema con primas con respecto al sin primas, se tiene una forma equivalente de la transformaci´on de Lorentz x−Vt ¡ ¢2 , 1 − Vc

x0

=

q

y0 z0

= =

y, z,

t0

=

t − cV2 x q ¡ ¢2 . 1 − Vc

(12)

Esta es la forma usual en que se suelen presentar las transformaciones de Lorentz. Notamos que, si V /c es mucho menor que 1, γ ' 1 y las transformaciones de Lorentz devienen en las m´as intuitivas transformaciones de Galileo: x0 y0

= x − V t, = y,

z0 t0

= z, = t.

(13)

5 *BREVE HISTORIA DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ:

8

5

*Breve historia de las transformaciones de Lorentz:

6

*Forma vectorial de las transformaciones de Lorentz:

En esta secci´on determinaremos la forma de las transformaciones de Lorentz entre dos sistemas coordenados, cuyos ejes son paraleleos entre s´ı, y que se mueven con velocidad uniforme uno con respecto al otro con una velocidad V cuya direcci´on es arbitraria. Para esto suponemos inicialmente que V est´a en la direcci´on del eje x y escribimos las tres u ´ltimas ecuaciones (10) en t´erminos de los vectores tridimensionales r (de componentes x, y, z) y r0 (de componentes x0 , y 0 , z 0 ) r0 = r + [γ (x − βct) − x]

V . V

Para poder eliminar la aparici´on expl´ıcita de la coordenada x aqu´ı y en la primera ecuaci´on (10) utilizamos la identidad x=

V·r . V

As´ı, las transformaciones de Lorentz adquieren su forma vectorial ct0

=

r0

=

γct − γ(β · r) β(β · r) r+ (γ − 1) − γβct; β2

(14)

en donde hemos utilizado β=V/c. Estas relaciones fueron deducidas suponiendo que la velocidad relativa V estaba en la direcci´on del eje x. Sin embargo, en su forma vectorial, son v´alidas para un direcci´on arbitraria de V. Si las componentes de esta velocidad son Vx , Vy , Vz ; y ponemos βx = Vx /c, βy = Vy /c, βz = Vz /c, esta transformaci´on de Lorentz en el espacio de Minkowski se puede escribir en forma matricial as´ı:  0     ct γ −γβx −γβy −γβz ct  x0   −γβx ∆xx + 1   ∆xy ∆xz   0 =  x , (15)  y   −γβy ∆xy ∆yy + 1 ∆yz   y  0 z −γβz ∆xz ∆yz ∆zz + 1 z en donde se ha definido ∆µν = (γ − 1)

βµ βν ; β2

con µ, ν = x, y, z.

´ DE LA LUZ: 7 ABERRACION

7

9

Aberraci´ on de la luz:

La primera evidencia experimental directa en favor de la hip´otesis que la Tierra gira alrededor del Sol —en lugar de la que supone que es el Sol qui´en gira alrededor de la Tierra— result´o de las cuidadosas mediciones de las posiciones de las estrellas realizadas por el astr´onomo ingl´es James Bradley a partir de 1725. Bradley not´o que la direcci´on en que se observa una estrella fija parec´ıa variar peri´odicamente en el curso del a˜ no en un ´angulo uniforme (despu´es de eliminar otras correcciones) de unos 40,5 segundos de arco. Este fen´omeno se llama aberraci´ on de la luz estelar.5 La aberraci´on de la luz proveniente de una estrella no es producto de su movimiento propio, sino el resultado de componer la velocidad de la luz con la velocidad de la Tierra en su ´orbita alrededor del Sol. Si nos paramos, por ejemplo bajo una lluvia que cae verticalmente, lo mejor es mantener el paraguas en direcci´on vertical. Pero si nos movemos con una velocidad V bajo esta misma lluvia, en nuestro sistema coordenado la lluvia adquiere una componente horizontal de velocidad −V y la mejor manera de no mojarnos consiste en inclinar el paraguas en un ´angulo cuya tangente sea el cociente entre V y la velocidad vertical de la lluvia. De la misma manera, arguy´o Bradley, el hecho que el ´angulo de aberraci´on sea uniforme y del orden de 10−4 radianes muestra que este es el cociente entre la velocidad de la Tierra y la velocidad de la luz. Supongamos que la estrella est´a en el origen del sistema coordenado x, y, z, ct, ligado a ella. Las coordenadas de un haz de luz emitido por la estrella son x = 0, y = 0, z = −ct. El sistema x0 , y 0 , z 0 , ct0 , ligado a la Tierra, se mueve con velocidad VT en la direcci´on x. Por (10), las coordenadas del mismo haz de luz son x0 = −γβct; y 0 = y = 0; z 0 = z = −ct; t0 = γt. El ´angulo α de inclinaci´on del haz en el sistema ligado a la Tierra est´a dado por tan α =

−x0 VT /c VT = γβ = p ' , −z 0 c 1 − (VT /c)2

puesto que VT /c ' 10−4 .

8

Suma de velocidades:

Supongamos que un sistema coordenado S 0 se mueve con respecto a nuestro sistema S con una velocidad V1 . Una part´ıcula se mueve con una velocidad V2 con respecto 5 J. Bradley, ”A new apparent motion discovered in the fixed stars; its cause assigned; the velocity and equable motion of light deduced,” Proccedings of the Royal Society of London, volumen 35, pp. 308-321 (1728).

8 SUMA DE VELOCIDADES:

10

al sistema S 0 . ¿Con que velocidad V se mueve la part´ıcula con respecto a nuestro propio sistema S? (Para simplificar supondremos que V1 y V2 tienen la misma direcci´on y sentido.) El sentido com´ un (y la cinem´atica de Galileo) sugiere que V = V1 + V2 .

(16)

El formalismo de la relatividad de Einstein proporciona una respuesta distinta. Para realizar la transformaci´on desde nuestro sistema coordenado S hasta el sistema S 0 es necesario realizar una rotaci´on hiperb´olica en un cierto ´angulo, que llamaremos θ1 . De la misma manera, el paso desde el sistema S 0 hasta otro sistema vinculado a la part´ıcula requiere de una segunda rotaci´on (alrededor del mismo eje) en un ´angulo θ2 . El efecto combinado de estas rotaciones es equivalente a una rotaci´on en ´angulo θ θ = θ1 + θ2 . Entonces, V1 + V2 V tanh θ1 + tanh θ2 = tanh(θ1 + θ2 ) = = c V1 Vc 2 , c 1 + tanh θ1 tanh θ2 1+ c c

es decir, V =

V1 + V2 . 1 + V1c2V2

(17)

Esta es f´ormula para la suma de velocidades. Notamos que, si tanto V1 como V2 son peque˜ nas comparadas con la velocidad de la luz c, se puede aproximar por uno el denominador de esta ecuaci´on y obtener as´ı la prescripci´on aproximada (16). Por el contrario, si sumamos la velocidad de la luz c a cualquier velocidad V1 , tenemos que V1 + c V1 /c + 1 =c = c. 1 + V1 c/c2 1 + V1 /c As´ı, c aparece como una velocidad l´ımite que no puede ser superada por el movimiento de ninguna part´ıcula real. Problema: Una part´ıcula se mueve hacia la derecha con velocidad +0,95c respecto a un cierto sistema coordenado S 0 . Una segunda part´ıcula se mueve hacia la izquierda, en la misma direcci´on que la primera, con velocidad - 0,95c con respecto al mismo sistema coordenado S 0 . ¿Cual es la velocidad de la primera part´ıcula con respecto a la segunda? Soluci´ on: Sea S el sistema coordenado unido a la segunda part´ıcula. Entonces S 0 se mueve con respecto a S con velocidad V1 = 0, 95c, mientras que la primera

´ DE LORENTZ-FITZGERALD: 9 LA CONTRACCION

11

part´ıcula se mueve con respecto a S 0 con velocidad V2 = 0, 95c. Por (17), la velocidad combinada V es V =

9

0, 95c + 0, 95c = 0, 999c. 1 + (0, 95c/c)2

La contracci´ on de Lorentz-Fitzgerald:

Consideremos una regla en reposo en la direcci´on del eje x con longitud ∆x = x2 −x1 = L0 . (x1 y x2 son las respectivas coordenadas de los extremos de la regla.) Se trata de medir la longitud L de la misma regla en un sistema de coordenadas S 0 que se mueve con respecto a S con una velocidad V en la direcci´on del eje x. Como queremos que esta medici´on proporcione la longitud correcta, tendremos cuidado que (i) la medici´on de cada una de las coordenadas de los extremos de regla x01 , x02 sea hecha en forma simult´anea; de modo que ∆t0 = t02 − t01 = 0. (ii) Como la luz puede tardar tiempos distintos al viajar desde un extremo u otro de la regla hasta nuestro aparato de medici´on, producto de diferencias en distancias, la forma de la regla puede aparecer distorsionada. Suponemos que estas diferencias en tiempos de tr´ansito han sido correctamente consideradas al calcular el verdadero largo ∆x0 = x02 − x01 = L en S 0 . Por (10), poniendo ∆t0 = 0, ∆x = L0 en ∆x = γ(∆x0 + βc∆t0 ) se tiene L0 = γL, L = L0 /γ, esto es L=

p L0 = 1 − β 2 L0 . γ

(18)

Por lo tanto, en general L es menor que L0 .6 6 Esto no significa que una fotograf´ ıa tomada a una regla movi´ endose a gran velocidad la muestre m´ as corta que una en reposo. Tambi´ en, por ejemplo, la fotograf´ıa de una esfera en movimiento mostr´ a una figura esf´ erica y no un elipsoide. V. F. Weisskopf, ”The visual appearance of rapidly moving objects,” Physics Today, volumen 13, n´ umero 9, pp. 24-27 (septiembre de 1960). G. D. Scott y H. J. van Driel, ”Geometrical appearances at relativistic speeds,” American Journal of Physics, volumen 38, n´ umero 8, pp. 971-977 (agosto de 1970). En la red se puede encontrar v´ıdeos de la apariencia de objetos vistos por observadores en movimiento r´ apido. Por ejemplo: www.adamanton.com/warp/, www.fourmilab.ch/cship/lorentz.html, www.fourmilab.ch/cship/timedial.html , www.fourmilab.ch/cship/doppler.html, www.fourmilab.ch/cship/aberration.html www.youtube.com/watch?v=JQnHTKZBTI4&feature=related.

´ DEL TIEMPO: 10 LA DILATACION

10

12

La dilataci´ on del tiempo:

Consideramos ahora un reloj que est´a en reposo en un sistema de referencia S. Sea ∆t = τ un intervalo de tiempo medido con este reloj. (Los tiempos τ medidos por un reloj en reposos en un sistema coordenado se denomina su tiempo propio.) Por (11), poniendo ∆x = 0 y ∆t = τ en ¶ µ β 0 ∆t = γ ∆t − ∆x , c obtenemos que

∆t ∆t0 = γτ = p . 1 − β2

(19)

Por lo tanto, los relojes en movimiento suelen correr m´as lentamente que los que no lo est´an (Esto vale para todos los relojes: el tiempo que un n´ ucleo radiactivo tarda en decaer, el proceso de envejecimiento, o la sensaci´on misma del paso del tiempo en un humano.)

11

El efecto Doppler:

Se trata aqu´ı de un emisor de ondas electromagn´eticas situado en el sistema coordenado S en el punto x = 0, y = 0, z = 0, que emite ondas con un per´ıodo T . Las ondas son detectadas en un sistema de referencia S 0 que se mueve con respecto a S con una velocidad V . El per´ıdo T 0 de la onda medida en S 0 no es el mismo que en S. (Por lo tanto, tambi´en var´ıa la frecuencia y la longitud de onda de uno al otro sistema de referencia.) Esta variaci´on, que es un efecto combinado de la dilataci´on del tiempo y la diferencia en distancias que debe recorrer la luz entre la emisi´on de dos pulsos sucesivos, constituye el llamado efecto Doppler. Supongamos que el detector est´a en el punto x0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0 del sistema S 0 . Adem´as, suponemos que este sistema se mueve con respecto a S con una velocidad V en la direcci´on del eje x y que ambos coinciden moment´anemente en en el instante inicial. Se emite un pulso en x = 0 en el instante t1 = 0. Se emite un segundo pulso, tambi´en en x = 0, en el instante t2 = T . El primer pulso es recibido en el punto x0 = 0 en el instante t01 = 0. El segundo pulso es recibido en el mismo punto x0 = 0, pero, por (10), en el instante µ ¶ V t02 = γ t2 − 2 x = γT, c Esta cantidad no es el per´ıodo en S 0 , porque el emisor se ha movido con respecto al detector en el intervalo, y la luz debe recorrer otra distancia para recorrer el

12 TIEMPO PROPIO:

13

camino entre uno y otro. En el instante t2 = T el detector se ha desplazado una distancia, dada por (10) x0 = γ(x − V t2 ) = −γT. El tiempo que necesita la luz para recorrer esta distancia es ∆t0 =

γV T . c

El per´ıodo T 0 es, entonces, µ 0

T =

t02

0

+ ∆t = γT

esto es,

V 1+ c

¶ ,

s 1+β . 1−β

0

T =T

La frecuencia ν es el inverso del per´ıodo, ν = 1/T , de donde, s 1−β ν0 = ν . 1+β

(20)

(21)

Finalmente, notamos que la frecuencia, la longitud de onda λ y la velocidad c est´an relacionadas por λν = c, (22) de modo que

s λ0 = λ

1+β . 1−β

(23)

Cualquiera de estas tres f´ormulas describe cuantitativamente el efecto Doppler.

12

Tiempo propio:

Cada sistema de referencia tiene un tiempo propio τ , que es el medido por un reloj que est´a inm´ovil en el sistema. Sea ´este el sistema de coordendas S 0 , y supongamos que el reloj que mide el tiempo propio est´a situado en el origen x0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0. El intervalo (1) es, en este caso, (ds)2 = c2 (dτ )2 , esto es dτ =

1 ds. c

(24)

13 LA CUADRIVELOCIDAD:

14

Por otra parte, en un sistema S de coordenadas x, y, z, ct que se mueve con respecto a S 0 con una con velocidad V , que tiene componentes Vx , Vy , Vz , el intervalo por (1) resulta ser (ds)2

= c2 (dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 ½ ·µ 2 ¶ µ 2 ¶ µ 2 ¶¸¾ 1 dx dy dz = c2 (dt)2 1 − 2 + + c dt dt dt ¸ · ¢ ¡ 1 = c2 (dt)2 1 − 2 Vx2 + Vy2 + Vz2 c µ ¶ V2 c2 (dt)2 = c2 (dt)2 1 − 2 = , c γ2

esto es, dt =

γ ds, c

o, en vista de (24), dt = γdτ.

13

(25)

La cuadrivelocidad:

La cuadrivelocidad es el correlato relativista de la velocidad no relativista. A diferencia del concepto ordinario de velocidad, debe ser un vector que habite en un espaciotiempo de cuatro dimensiones. Adem´as, no puede contener derivadas de las coordenadas con respecto al tiempo, porque este u ´ltimo es un concepto relativo. Una posibilidad clara consiste en contemplar derivadas de las coordenadas con respecto al intervalo ds, que si es invariante. Pero una cantidad tal como dx/ds es una cantidad sin dimensiones; mientras que, para muchos prop´ositos, es conveniente que esta velocidad relativista tenga tambi´en dimensiones de metros divididos por segundo.7 Para esto, multiplicamos esta derivada por la velocidad de a luz c (otro invariante), y obtenemos, as´ı las cuatro componentes de la cuadrivelocidad u dx0 dx1 dx2 dx3 u0 = c ; u1 = c ; u2 = c ; u3 = c , ds ds ds ds o, en notaci´on m´as compacta, uα = c

dxα ; ds

con α =0, 1, 2, 3.

(26)

7 Sin embargo, para muchos prop´ ositos de la F´ısica Te´ orica, una velocidad adimensional es preferible. Esta es la elecci´ on que propone, por ejemplo, Landau y Lifshitz en su c´ elebre curso de f´ısica: L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Teor´ıa Cl´ asica de Campos, Segundo Volumen del Curso de F´ısica Te´ orica, Izdatelstevo Nauka, Mosc´ u, 1960.

´ 14 LA METRICA DE MINKOWSKI:

15

Una ventaja adicional de este procedimiento reside a que la velocidad as´ı definida satisface el principio de correspondencia, que afirma que las magnitudes relativistas deben coincider con las respectivas magnitudes cl´asicas en el l´ımite de velocidades bajas con respecto a la de la luz. En efecto, por (24), de un modo equivalente, la velocidad se puede escribir como una derivada con respecto al tiempo propio τ dxα dxα uα = =γ , (27) dτ dt o bien en con respecto al tiempo ordinario por (25). As´ı, la componente 0 de la cuadrivelocidad es u0 = γ

dct dx0 =γ = cγ. dt dt

Las otras tres componentes espaciales consisten en γ multiplicando la componente respectiva de la velocidad ordinaria. A velocidades bajas, γ es sensiblemente igual a uno. As´ı, esta parte del cuadrivector coincide con el vector de velocidad no relativista. Otra diferencia entre la cuadrivelocidad y la velocidad ordinaria consiste en que la cuadrivelocidad u tiene m´odulo o magnitud fija |u| = c, independientemente de si el m´ovil se traslada lenta o r´apidamente. En efecto, por (26), |u|2

= =

14

(u0 )2 − (u1 )2 − (u2 )2 − (u3 )2 · 2 ¸ 2 2 2 2 2 c (dt) − (dx) − (dy) − (dz) c = c2 , (ds)2

La m´ etrica de Minkowski:

´ Consideremos un vector A con componentes A0 , A1 , A2 y A3 . Su mdulo |A| est´a dado, en el espacio de cuatro dimensiones, por |A|2 = (A0 )2 − (A1 )2 − (A2 )2 − (A3 )2 . Notamos que esta magnitud se puede obtener multiplicando las siguientes matrices:  0   1 0 0 0 A 1     0 −1 0 0   A2  |A|2 = [A0 , A1 , A2 , A3 ]  (28)  0 0 −1 0   A  3 0 0 0 −1 A   0 A 1   −A 0 2 1 2 2 2 3 2  = [A0 , A1 , A2 , A3 ]   −A2  = (A ) − (A ) − (A ) − (A ) . −A3

15 EL CUADRIMOMENTUM:

16

De un modo m´as abstracto, este producto matricial se puede escribir |A|2 =

3 X 3 X

ηαβ Aα Aβ ,

α=0 β=0

en donde ηαβ denota las dieciseis componentes de la matriz de 4 × 4 en el centro de la f´ormula (28); esto es  si α = β = 0;  1 −1 si α = β = 1, 2, o 3; ηαβ =  0 en otro caso. Esta matriz (o tensor) se llama m´etrica de Minkowski. Es usual utilizar en todas estas expresiones la llamada convenci´ on de Einstein, que dice que se debe sumar siempre cuando se encuentra lado a lado el mismo ´ındice repetido, una vez como sub´ındice y otra vez como super´ındice, sin necesidad de escribir expl´ıcitamente una sumatoria. As´ı, la expresi´on precedenta se puede escribir en forma m´as compacta: |A|2 = ηαβ Aα Aβ .

(29)

Junto con introducir la convenci´on de Einstein es importante recalcar el concepto de ´ındice mudo. Por ejemplo el producto Aα Bα representa — por definici´on— Aα Bα = A0 B0 + A1 B1 + A2 B2 + A3 B4 . ¿Qu´e representa, entonces Aβ Bβ (u otro ´ındice cualquiera que reemplaze a α en sus dos posiciones de sub´ındice y super´ındice)? Claramente, representa la misma suma, de donde concluimos que, en a notaci´on de Einstein, Aα Bα = Aβ Bβ . As´ı, un ´ındice repetido, una vez como sub´ındice y otra como super´ındice es un ´ındice mudo, en el sentido que puede ser reemplazado en ambas apariciones por cualquier otro s´ımbolo (que no est´e, naturamente, siendo utilizado con otro sentido en el mismo t´ermino).

15

El cuadrimomentum:

Aprovechando que la masa m de una part´ıcula es un invariante,8 podemos definir su cuadrimomentum p como el vector con componentes pα = m

dxα dxα = mγ . dτ dt

(30)

8 Antiguamente se sol´ ıa llamar a la masa m ’masa en reposo’, mientras que la cantidad γm se denominaba ’masa en movimiento’. Pero esta laboriosa nomenclatura no cumple ahora finalidad alguna. Nosotros no la utilizaremos.

15 EL CUADRIMOMENTUM:

17

Notamos que, cuando la velocidad de la part´ıcula es peque˜ na, γ es semejante a uno y las componentes espaciales del cuadrimomentum coinciden con las del momentum ordinario. Adem´as, el m´odulo de este vector es fijo, |p|2 = ηαβ pα pβ = m2 c2 ,

(31)

de modo que |p| = mc. Notamos tambi´en que p0 = γmc =

Ec , c

en donde Ec denota la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula. Esta u ´ltima igualdad se demuestra utilizando de nuevo el principio de correspondencia. En efecto, para velocidades bajas comparadas con la de la luz,9 µ ¶ mc 1V2 Ec 0 p =p ' mc 1 + = , 2 2 2 c c 1 − (V /c) con

Ec = mc2 + 12 mV 2 ,

(32)

con la misma aproximaci´ on. El segundo t´ermino es la energ´ıa cin´etica ordinaria de la part´ıcula. Pero, notamos, la part´ıcula contiene energ´ıa a´ un cuando V = 0. Esta cantidad primordial se denomina energ´ıa en reposo E0 E0 = mc2 .

(33)

Ante un cambio de coordenadas, ¿como transforman las componentes del cuadrimomentum? Consideramos el caso especial de un sistema de referencia S 0 que se mueve paralelamente al sistema S con una velocidad relativa V en la direcci´on del eje x y que coinciden en t = 0. En este caso valen las familiares transformaciones de Lorentz; esto es, por (11), ¡ ¢ ¡ ¢ dx00 = γ dx0 − βdx1 ; dx01 = γ dx1 − βdx0 ; dx02 = dx2 ; dx03 = dx3 . Para obtener las ecuaciones de transformaci´on de las componentes del momentum, multiplicamos estas ecuaciones por mc y dividimos por ds (dos invariantes). El resultado es ¡ ¢ ¡ ¢ p00 = γ p0 − βp1 ; p01 = γ p1 − βp0 ; p02 = p2 ; p03 = p3 . (34) De aqu´ı en adelante llamaremos vector s´olo a un objeto tal que, ante un cambio de coordenadas, sus componentes transformen de la manera prescrita por las 9 Estos l´ ımites se pueden calcular a menudo utiizando el teorema del binomio (1 + z)n ' 1 + nz + · · ·, v´ alido si z es mucho menor que uno. Aqu´ı n es un n´ umero positivo o negativo, entero o fraccionario.

16 *BREVE HISTORIA DE E = M C 2 :

18

transformaciones de Lorentz. As´ı, de acuerdo con las dos ecuaciones precedentes, tanto dx como p son vectores en este significado f´ısico. Finalmente, por (31), se tiene que la relaci´on entre la energ´ıa y el momentum para una part´ıcula relativista es E 2 = c2 (p2 + m2 c2 ),

(35)

en donde p = γmV son las componentes espaciales del momentum.

16

*Breve historia de E = mc2 :

17

*Part´ıculas con masa nula:

Sabemos que la Mec´anica Cu´antica afirma que las part´ıculas tienen tambi´en aspectos ondulatorios. Por ejemplo, existen desde hace muchos a˜ nos los microscopios electr´onicos que —aprovechando que en condiciones favorables los electrones son ondas— forman im´agenes de objetos min´ usculos manipulando estas part´ıculas mediante lentes electrost´aticos. De la misma manera, las ondas tienen aspectos corpusculares. En especial, las part´ıculas que constituyen las ondas electromagn´eticas se llaman fotones. Se sabe que los fotones transportan energ´ıa y momentum, pero tienen masa nula.10 Por lo tanto, la construcci´on del cuadrumomentum realizada en la secci´on anterior no es v´alida en este caso. Los argumentos apropiados son los siguientes: La propagaci´on de la luz est´a descrita por un vector tridimensional k, con componentes kx , ky , kz —llamado vector de onda— cuya direcci´on apunta a la direcci´on de propagaci´on de la onda y cuya magnitud k = |k| describe la longitud de onda de la luz λ 2π k= . λ (Note que las dimensiones de cada componente de este vector de onda es metro−1 .) El momentum transportado por cada fot´on es ¯hk, en donde ¯h es la llamada constante de Planck, ¯h = (1, 05450 ± 0, 00007) × 10−34 J s. Del mismo modo, si T es el periodo entre dos m´aximos sucesivos de la onda luminosa, su frecuencia ν es el inverso del per´ıodo. Para muchos efectos pr´acticos es a menudo m´as u ´til usar la frecuencia angular ω, que es igual a 2π veces la frecuencia ordinaria. Esto es, ω = 2πν =

2π . T

La dimensi´on de esta frecuencia angular es segundo−1 . Finalmente, la energ´ıa que transporta cada fot´on es ¯hω. As´ı, las componentes del cuadrivector momentum 10 Por

este motivo deben, obligatoriamente, moverse a la velocidad de la luz.

17 *PART´ICULAS CON MASA NULA:

19

es, para un fot´on p0 =

¯ω h ; p1 = ¯hkx ; p2 = ¯hky ; p3 = ¯hkz . c

Notamos para terminar que, para fotones que se propagan en el vac´ıo se tiene que λν = c; esto es, que ω k= . c Problema: Calcule a apariencia del cielo estrellado para un cosmonauta que se desplaza con velocidades comparables con respecto a la velocidad de la luz. Soluci´ on:11 Sea S un sistema de coordenado fijo con respecto a las estrellas lejanas y supongamos que la nave estelar se mueve en direcc´ıon del eje x positivo con velocidad V . Consideremos un fot´on proveniente de una de las estrellas y que llega al origen de coordenadas. En lugar de utilizar coordenadas cartesianas, usaremos el ´angulo ϑ que hace el haz de luz con el eje x y el ´angulo ϕ que hace la proyecci´on de este haz sobre el plano y −z con el eje y. (Un tal sistema coordenado se llama esf´erico. El ´angulo ϑ se llama colatitud, y ´angulo ϑ se llama azimut o ´angulo polar.) As´ı, las componentes de vector de onda son kx = −k cos ϑ; ky = −k sin ϑ cos ϕ; kz = −k sin ϑ sin ϕ. Las correspondientes componentes del cuadrimomentum del fot´on son p0 = ¯hk; p1 = −¯hk cos ϑ; p2 = −¯hk sin ϑ cos ϕ; p3 = −¯hk sin ϑ sin ϕ. Por (34), el vector de onda k0 en el sistema de referencia S 0 de la nave estelar satisface k0 k 0 cos ϑ0 k 0 sin ϑ0 cos ϕ0 k 0 sin ϑ0 sin ϕ0

= = = =

γk(1 + β cos ϑ); γk(cos ϑ + β); k cos ϑ cos ϕ; k cos ϑ sin ϕ.

(36) (37) (38) (39)

Las u ´ltimas dos ecuaciones, (38) y (39), dicen que ϕ0 = ϕ, de modo que el ´angulo polar de cada estrella permanece el mismo para el obervador de la nave estelar. La ecuaci´on (36) prescribe que la luz proveniente de cada estrella sufre un efecto Doppler dependiente del ´angulo k 0 = kD(ϑ);

o bien ω 0 = ωD(ϑ); λ0 =

λ ; D(ϑ)

11 John M. McKinley y Paul Doherty,”In search of the ’starbow’: the appearance of the strafield from a relativistic spaceship,” American Journal of Physics, volumen 47, n´ umero 4, pp. 309-316 (abril de 1979). John M. McKinley,”Relativistic transformation of light power,” American Journal of Physics, volumen 47, n´ umero 7, pp. 602-605 (julio de 1979).

17 *PART´ICULAS CON MASA NULA: con D(ϑ) = γ(1 + β cos ϑ).

20 (40)

Las estrellas hacia la proa de la nave tienen D > 1, de modo que su luz se desplaza hacia hacia longitudes de onda m´as corta, esto es hacia el azul. El m´aximo desplazamiento ocurre para aquellas situadas p en la direcci´on del movimiento de la nave y est´a dado por el factor D(0) = (1 − β)/(1 + β). Las estrellas que dan hacia la popa de la nave tienen D < 1, y su luz sufre un desplazamiento hacia longitudes de onda m´as larga (desplazamiento hacia el rojo). El m´aximo desplazamiento hacia el rojo ocurre para aquellas estrellas situadas en p la direcci´on directamente opuesta a la del movimiento de la nave, con D(π) = (1 + β)/(1 − β). (Existen ciertos valores de la colatitud para los cuales las estrellas no sufren desplazamuiento Doppler.) Dividiendo la ecuaci´on (37) por (36), tenemos la ecuaci´on para la aberraci´on de la luz estelar β + cos ϑ cos ϑ0 = . (41) 1 + β cos ϑ De este modo todas las estrellas, excepto las que est´an directamente en la direcci´on de movimiento de la nave, se ven desplazadas hacia esta direcci´on, sin cambiar su azimut. En el hecho, todas las estrellas situadas enfrente al hemisferio delantero de la nave son api˜ nadas en un cono que hace un ´angulo ϑ0 = arccos β con su direcci´on de movimiento. Claramente, este desplazamiento aumenta a medida que aumenta V . Finalmente, aumenta la intensidad I de la luz que proviene de las estrellas por delante de la nave. Este aumento puede ser m´as f´acilmente calculado del modo siguiente: El frente de onda de la luz incidente sobre la nave est´a compuesto por un campo continuo de fotones. Con el prop´osito de contarlos, suponga que, en el sistema de referencia ligado a la estrella, est´an ordenados en los nodos de una red trimensional c´ ubica, de arista `. En el sistema de referencia de la nave estelar, la red de fotones se ve deformada. Las aristas en las direcciones perpendiculares a la direcci´on de propagaci´on de la onda siguen midiendo `; pero le distancia entre planos de fotones en la direcci´on de propagaci´on de la onda ha disminu´ıdo a `/D (tal como lo hace, por ejemplo, la longitud de onda λ). El punto es que, en el sistema de referencia de la nave, el n´ umero de fotones por metro c´ ubico aparece aumentado en un factor D. Como la energ´ıa de cada fot´on aparece tambi´en aumentada en otro factor D (porque pasa de h ¯ ω a D¯hω), encontramos que la intensidad I de la luz estelar proveniente de una direcci´on dada aparece, vista desde la nave interestelar, tener una intensidad I 0 , donde I 0 = D(ϑ)2 I.

(42)

´ 18 LA CUADRIACELERACION:

18

21

La cuadriaceleraci´ on:

Definimos la cuadriaceleraci´on a como la derivada del cuadrivector velocidad con respecto al tiempo propio. Sus componentes son, entonces, aα =

duα . dτ

(43)

Es f´acil ver que la cuadriaceleraci´on as´ı definida es un vector. A diferencia del caso no relativista, la cuadriaceleraci´on es perpendicular a la cuadrivelocidad. ηαβ aα uβ = 0. (44) El punto de partida para demostrar esto es la ecuaci´on que dice que el m´odulo de la velocidad es siempre c, ηαβ uα uβ = c2 . (45) Derivando ambos miembros de esta ecuaci´on con respecto a el tiempo propio τ tenemos que, por (43), 0

= ηαβ aα uβ + ηαβ uα aβ = (ηαβ + ηβα )aα uβ , intercambiando los ´ındices mudos α y β, = 2ηαβ aα uβ ,

porque la m´etrica de Minkowski es sim´etrica ηαβ = ηβα .

(46)

(En el hecho, todas las m´etricas son sim´etricas.)

19

Movimiento con aceleraci´ on constante:

Resolveremos aqu´ı el problema de una part´ıcula relativista en movimiento rectil´ıneo con aceleraci´on constante g. Supongamos que la aceleraci´on es en la direcci´on x1 = x y que x2 = y = 0, x3 = z = 0. La velocidad y la aceleraci´on deben satisfacer tres ecuaciones: ηαβ uα uβ = c2 ; ηαβ uα aβ = 0; ηαβ aα aβ = −g 2 ; o, en este caso, (u0 )2 − (u1 )2

= c2 ;

u0 a0 − u1 a1 (a0 )2 − (a1 )2

= 0; = −g 2 .

20 *LA CUADRIFUERZA:

22

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos que du0 dτ du1 dτ

g 1 u ; c g = a1 = u0 . c = a0 =

La integraci´on de estas ecuaciones es inmediata: ³ gτ ´ dx0 = u0 = c cosh ; dτ c ³ gτ ´ dx1 = u1 = c sinh . dτ c Integrando una segunda vez obtenemos (despues de elegir arbitrariamente las dos constantes de integraci´on) ³ gτ ´ c2 ct = x0 = sinh ; g c ³ gτ ´ c2 x = x1 = cosh . g c La segunda de estas ecuaciones registra la posici´on de la part´ıcula acelerada como funci´on de su tiempo propio. La primera, la relaci´on entre este tiempo propio y el tiempo t del sistema de referencia del laboratorio. Alternativamente, el par de ecuaciones es la expresi´on param´etrica (el par´ametro es τ ) de la trayectoria de la part´ıcula en el espaciotiempo. Esta trayectoria es la hip´erbola c2 t2 − x2 = −

c4 , g2

que tiene por as´ıntotas las rectas ct = ±x. Por este motivo, el movimiento con aceleraci´on constante se llama a veces movimiento hiperb´ olico.

20

*La cuadrifuerza:

Al igual que en la din´amica usual, suponemos que las componentes K α de la cuadrifuerza son tales que cumplen con la segunda ley de Newton Kα =

d α p . dτ

(47)

En muchas de las aplicaciones fundamentales, la masa de la part´ıcula no var´ıa con el tiempo propio τ , de modo que tenemos, alternativamente: Kα = m

d2 xα . dτ 2

(48)

20 *LA CUADRIFUERZA:

23

En un sistema de referencia S 0 en que la part´ıcula est´a instant´aneamente en reposo, el tiempo es lo mismo que el tiempo propio, de modo que tenemos para las componentes de la cuadrifuerza en ese sistema: K

0

0

= 0; K

0

1

= Fx ; K

0

2

= Fy ; K

0

3

= Fz ,

en donde Fx , Fy y Fz son las tres componentes de a fuerza ordinaria F. Suponga que, instant´aneamente, el sistema S 0 se est´e moviendo relativamente a S con velocidad V. Sabiendo que la cuadrifuerza es un vector, podemos calcular sus componentes en este sistema por medio de las transformaciones de Lorentz (11). Escritas en forma vectorial, la componente temporal K 0 y las tres componentes espaciales K de la cuadrifuerza son: K0

=

K =

γ(β · F) = (β · K); β (β · F) F+ (γ − 1). β2

(49)

(Aqu´ı β=V/c. Estas f´ormulas se deducen primero suponiendo que V est´a, como en (11), en la direcci´on del eje x. Pero una vez escrita en forma vectorial, claramente vale para cualquier direcci´on de V.) Por la primera de las ecuaciones precedentes, la componente cero de la cuadrifuerza tiene una interpretaci´on simple: En el l´ımite de velocidades peque˜ nas comparadas con la de la luz, γ ' 1 y K ' F. Entonces, con esta aproximaci´on cK 0 ' (F · V), que es la potencia (o la tasa temporal de trabajo) realizada por la fuerza sobre la part´ıcula. Para una part´ıcula sin estructura interna, esta es simplemente la tasa de incremento temporal de su energ´ıa cin´etica.