Fisica Contemporanea 2

F´ısica Contempor´anea II. Tensores, Densidades y Conexiones Afines. Luis Moraga 20 de Abril de 2008 N. B. Las secciones precedidas por un asterisco (*) pueden ser ignoradas en una primera lectura.

1

Espacios de Riemann:

Para poder explicar el enigm´atico fen´omeno de la atracci´on gravitatoria necesitaremos, en este cap´ıtulo, de espacios m´as complicados que el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones —cuyas propiedades exploramos en el cap´ıtulo precedente. La m´etrica del espacio de Minkowski es (ds)2 = c2 (dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 = ηαβ dxα dxβ . Por contraste, la m´etrica de estos espacios m´as generales tiene la forma (ds)2 = gαβ dxα dxβ ,

(1)

en donde las 10 coeficientes gαβ = gβα son funciones de las cuatro variables x0 , x1 , x2 , x3 . Estos espacios se llaman espacios de Riemann.1 En el cap´ıtulo precedente contempl´abamos solamente transformaciones de Lorentz; esto es, rotaciones ordinarias alrededor de los ejes espaciales o rotaciones hiperb´olicas si interven´ıa el eje x0 = ct. El ep´ıtome de estas transformaciones es ct0 = γ (ct − βx) , x0 = γ (x − βct) , y 0 = y, z 0 = z.

(2)

En este cap´ıtulo consideraremos las transformaciones de coordenadas m´as generales: x00 = f (x0 , x1 , x2 , x3 ), x01 = g(x0 , x1 , x2 , x3 ), etc. es decir (denotando, 1 El tratamiento de este cap´ ıtulo est´ a adaptado del breve pero insuperable texto: ¨ dinger, Space-Time Structure, Cambridge at the University Press, Londres, 1950. Erwin Schro

1

2 COMPONENTES CONTRAVARIANTES Y COVARIANTES:

2

como es costumbre en f´ısica, con el mismo nombre la funci´on que el punto que es imagen por ella) x0α = x0α (x0 , x1 , x2 , x3 ),

con α = 0, 1, 2, 3.

(3)

El u ´nico requisito a cumplir es que exista la transformaci´on inversa xα = xα (x00 , x01 , x02 , x03 );

(4)

excepto, quiz´as, en puntos aislados o inimportantes. Por ejemplo, la transformaci´on inversa a (2) es ct = γ (ct0 + βx0 ) ,

(5)

x = γ (x0 + βct0 ) , y = y0 , z = z0 ; que existe en todas partes. El espacio de Riemann es el escenario en donde hacen su aparici´on los diferentes campos de inter´es en f´ısica. Un campo escalar consiste en la signaci´on de un n´ umero (por ejemplo, una temperatura) a cada punto x0 , x1 , x2 , x3 de un dominio dado de este espacio. Del mismo modo, un campo vectorial asigna un vector a cada punto, etc. Como antes, buscamos no los objetos que son relativos a las diferentes elecciones de coordenadas, sino aquellos que son absolutos. Consideremos, por ejemplo un potencial electrost´atico φ(x0 , x1 , x2 , x3 ). En otro sistema de referencia (4) una funci´on arbitraria transforma as´ı: £ ¤ φ x0 (x00 , x01 , x02 , x03 ), x1 (x00 , x01 , x02 , x03 ), x2 (x00 , x01 , x02 , x03 ), x3 (x00 , x01 , x02 , x03 ) ¡ ¢ = φ0 x00 , x01 , x02 , x03 ; esto es, otra funci´on de otras variables. Pero un campo f´ısico mantiene el mismo valor en el mismo punto, sin importar que el punto haya cambiado de nombre. Esto est´a descrito por un campo invariante ¡ ¢ ¡ ¢ φ x0 , x1 , x2 , x3 = φ x00 , x01 , x02 , x03 . (6)

2

Componentes contravariantes y covariantes:

Consideremos, por simplificar, los puntos de un plano que son identificados por dos coordenadas x, y. Consideremos, adem´as, un cierto vector A en este plano que, podemos suponer, es una flecha cuya cola est´a situada en el origen de coordenadas y cuya punta se˜ nala el punto en cuesti´on. Si los dos ejes coordenados hacen un ´angulo recto entre s´ı, la determinaci´on de la componente Ax del vector es

2 COMPONENTES CONTRAVARIANTES Y COVARIANTES:

3

inequ´ıvoca: se tira desde la punta del vector A un perpendicular al eje x (o una paralela al eje y). El intervalo desde el origen hasta el punto en que esta paralela corta al eje x es la magnitud de Ax . (Lo mismo vale mutatis mutandi, para la determinanci´on de la componente Ay del mismo vector.) Si los ejes coordenados son rectos, pero se encuentran en un ´angulo oblicuo, el c´alculo de las respectivas componentes no es tan simple. La perpendicular al eje x determina un valor de la componente x de A, que denotaremos por Ax . Pero la paralela al eje y (que no es ya la misma cosa) determina otro valor para la componente x de A, que denotaremos por Ax . Ninguno de estos dos procedimientos es m´as intr´ınsecamente v´alido o preferible que el otro. En lo que sigue, usaremos ambos. (Llamaremos al resultado de aplicar el primer m´etodo de determinaci´on las componentes covariantes del vector, siempre denotadas por sub´ındices. El resultado de ejercer el segundo m´etodo resulta en las componentes contravariantes del mismo vector. Estas ser´an descritas utilizando siempre super´ındices.) En f´ısica cuatro n´ umeros arbitrarios no son necesariamente las componentes de un vector. Las cuatro funcions Aα (α= 0, 1, 2, 3) son —por definici´on— las componentes contravariantes de un vector si, ante una transformaci´on de coordenadas (3), tienen como imagen otras cuatro funciones A0α dadas por A0α =

∂x0α i A. ∂xi

(7)

Por ejemplo, en el caso particular de las transformaciones de Lorentz (2), estas derivadas son los n´ umeros ∂x00 /∂x0 = ∂t0 /∂t = γ, ∂x00 /∂x1 = c∂t0 /∂x = −βγ, etc; de modo que —de acuerdo con la prescripci´on (7)— la transformaci´on de las componentes contravariantes del vector momentum p es  00   0   p γ −βγ 0 0 p  p01   −βγ   p1  γ 0 0  02  =     p   0 0 1 0   p2  p03 0 0 0 1 p3 ¢   ¡ 0 γ ¡p − βp1 ¢  γ p1 − βp0  ; =    p2 3 p en acuerdo con la ecuaci´on (34) del cap´ıtulo I. Notamos que, en esta significaci´on m´as restringida, el vector posici´on no es tal. Pero las coordenadas de la distancia (infinitesimal) entre dos puntos dx si constituyen las componentes contravariantes de un vector. En efecto, aplicando el teorema de la derivada de una funci´on de funci´on (regla de la cadena) a la transformaci´ on general (3), ∂x0α k dx . (8) dx0α = ∂xk

2 COMPONENTES CONTRAVARIANTES Y COVARIANTES:

4

Como la velocidad se obtiene de aqu´ı multiplicando por el invariante c/ds, el momentum, multiplicando esto por mc/ds, etc. tenemos que estas cantidades son tambi´en componentes contravariantes de vectores —a´ un en el caso de las transformaciones de coordenadas m´as generales. Cuatro funciones Aα son las componentes covariantes de un vector A si, ante la misma transformaci´on de coordenadas, transforman as´ı: A0α =

∂xi Ai . ∂x0α

(9)

Un ejemplo de un tal vector es el gradiente de un invariante Uα ≡ ∂φ/∂xα . En efecto, aplicando la regla de la cadena a (6) tenemos que: ∂φ0 ∂xi ∂φ = . ∂x0α ∂x0α ∂xi

(10)

En lo sucesivo escribiremos —como todos— ’vector contravariante’ (o ’covariante’ seg´ un el caso) en lugar de la frase mas larga ’componentes contravariantes (o ’covariantes’) de un vector.’ Notamos que el producto Aα Bα es un invariante. En efecto, por (7) y (9), A0α Bα0

= =

∂xi ∂x0α i ∂xi i A B = A Bj , j ∂x0α ∂xj ∂xj δji Ai Bj = Ai Bi ,

por la regla de la cadena,

donde hemos introducido el s´ımbolo (llamado delta de Kr¨onecker) ½ 1 si i = j, i δj = 0 si i 6= j.

(11)

(12)

La combinaci´on invariante (11) es el producto escalar (o producto interno o punto) entre los vectores A y B. Por otra parte, notamos que —por definici´on de m´etrica— el producto interno de los vectores A y B es A · B = gαβ Aα B β . (13) La discrepancia entre esta ecuaci´on y (11) se remedia as´ı: La componente covariante Bα est´a asociada con la contravariante B α mediante el tensor m´etrico, as´ı: Bα = gαβ B β . (14) Para poder escribir la relaci´on inversa a esta, necesitaremos el inverso matricial del tensor m´etrico gαβ , que denotaremos g αβ . [Es f´acil demostrar que este es tambi´en un tensor sim´etrico, pero de tipo (2,0).] Expl´ıcitamente, la definici´on es ´esta: gαk g kβ = g βk gkα = δαβ . (15)

2 COMPONENTES CONTRAVARIANTES Y COVARIANTES: As´ı, Aα = g αβ Aβ .

5 (16)

Estos entes pueden ser generalizados de un modo muy u ´til. El arreglo de 16 funciones Tαβ (α, β = 0, 1, 2, 3) son las componentes doblemente covariantes de un tensor —o bien, un tensor de tipo (0,2)— si transforma as´ı: 0 Tαβ =

∂xi ∂xj Tij . ∂x0α ∂x0β

α Del mismo modo, otro arreglo de 64 funciones Uβδ son las componentes una vez contravariante y dos covariantes [o bien, de tipo (1,2)] de un tensor si, ante la misma transformaci´on de coordenadas, obedecen la ley 0α Uβγ =

∂x0α ∂xj ∂xk T jk . ∂xi ∂x0β ∂x0γ

Un ejemplo de tensor de tipo (1,1) es la delta de Kr¨onecker (12). En efecto, se tiene que δβ0α

=

= =

∂x0α ∂xi ∂x0α ∂xj i δ = , porque en la suma sobre j ∂xi ∂x0β j ∂xi ∂x0β s´olo son no nulos los t´erminos en que j = i, ∂x0α , por la regla de la cadena, ∂x0β δβα ,

porque (por ejemplo) ∂x0 /∂x0 = 1, pero ∂x0 /∂x1 = 0, etc. La idea de producto escalar se extiende a combinaciones m´as complicadas. Por ejemplo, observamos que A0αβ C 0α D0β = Aij C i Dj = tambi´en un invariante.

(17)

Un ejemplo de tensor de tipo (0,2) es el tensor m´etrico gαβ . Por (17), el intervalo (1) es un invariante a´ un en este caso general. Por ejemplo, consideremos el caso de la conducta de la m´etrica de Minkowski η ante las transformaciones de Lorentz, 0 ηαβ =

∂xi ∂xj ηij . ∂x0α ∂x0β

[Note que las derivadas que aparecen aqu´ı lo son de la transformaci´on de Lorentz inversa (5) y no de (2).] En notaci´on matricial esta transformaci´on se escribe (note el orden de la multiplicaci´on de las matrices):     γ βγ 0 0 1 0 0 0 γ βγ 0 0  βγ γ 0 0   0 −1   0 0     βγ γ 0 0  η0 =   0 0 1 0  0 0 −1 0  0 0 1 0  0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 1

2 COMPONENTES CONTRAVARIANTES Y COVARIANTES:  =

=

γ βγ 0  βγ γ 0   0 0 1 0 0 0  2 γ (1 − β 2 )  0   0 0

 0 γ  −βγ 0   0  0 1 0

βγ −γ 0 0

0 −γ 2 (1 − β 2 ) 0 0

0 0 −1 0

 0 0 0 0   −1 0  0 −1   1 0  0 0  = 0   0 0 −1

0 −1 0 0

0 0 −1 0

6

 0 0  =η 0  −1

Problema 1: Cuando una carga el´ectrica est´a en reposo, genera un campo el´ectrico, que es un vector tridimensional E(x, y, z) —con componentes Ex , Ey , Ez . Pero si la carga est´a en movimiento (o es observada desde un sistema de referencia que se mueve con respecto a ella), equivale a una corriente y genera, adem´as del campo el´ectrico algo modificado, un campo magn´etico B(x, y, z) —con componentes Bx , By , Bz . Debido a esta inconstancia, es preferible trabajar con el llamado campo electromagn´etico F, que es un arreglo de seis componentes Fαβ ordenadas como sigue:   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  . F= (18)  −Ey Bz 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 Note que estas cantidades han sido dispuestas de tal modo que el arreglo (o matriz) es antisim´etrico Fαβ = −Fβα . Suponiendo que Fαβ sea un tensor de tipo (0,2) ¿como transforman los campos el´ectricos y magn´eticos ante una transformaci´on de Lorentz? Soluci´ on:    γ −βγ 0 0 0 Ex Ey Ez γ −βγ 0  −βγ   −Ex   −βγ γ 0 0 0 −B B γ 0 z y 0   F =   0 0 1 0   −Ey Bz 0 −Bx   0 0 1 0 0 0 1 −Ez −By Bx 0 0 0 0    γ −βγ 0 0 −βγEx γEx Ey Ez  −βγ   γ 0 0 −γE βγE −B B x x z y   =   0   0 1 0 −γEy − βγBz βγEy + γBz 0 −Bx  0 0 0 1 −γEz + βγBy βγEz − γBy Bx 0   0 Ex γ (Ey + βBz ) γ (Ez − βBy )  −Ex 0 −γ (Bz + βEy ) γ (By − βEz )   =   −γ (Ey + βBz ) γ (Bz + βEy )  0 −Bx −γ (Ez − βBy ) −γ (By − βEz ) Bx 0

 0 0   0  1

2 COMPONENTES CONTRAVARIANTES Y COVARIANTES: 

0  −Ex0 =   −Ey0 −Ez0

Ex0 0 Bz0 −By0

Ey0 −Bz0 0 Bx0

7

 Ez0 By0  , −Bx0  0

de modo que se tiene2 Ex0 Bx0

= =

Ex , Ey0 = γ (Ey + βBz ) , Ez0 = γ (Ez − βBy ) , Bx , By0 = γ (By − βEz ) , Bz0 = γ (Bz − βEy ) .

Problema 2: Encontrar, en la m´etrica de Minkowsky la expresi´on tridimensional de la fuerza de Lorentz3 q K α = Fβα uβ c

(19)

que ejerce el campo electromagn´etico sobre una carga q. Soluci´ on: Recordando que un sub´ındice se transforma en super´ındice utilizando el tensor g ij , Fji = g ik Fkj tenemos, en este caso que  K0  K1   2  =  K  K3 

=

=

esto es,



 1 0 0 0 0   −Ex q 0 −1 0 0   0 −1 0   −Ey c 0 0 0 0 −1 −Ez   0 Ex Ey Ez  q 0 Bz −By   Ex     E −B 0 B c y z x Ez By −Bx 0   Ex u1 + Ey U 2 + Ez u3 0 2 3  q  Ex u0 + u3 Bz − u1 By  ,  E u + u B − u B c y x z  Ez u0 + u1 By − u2 Bx

Ex Ey 0 −Bz Bz 0 −By Bx  u0 u1   u2  u3

 0 Ez u  u1 By   −Bx   u2 0 u3

   

µ ¶ q qγ 1 K = E·u= E · v, K = qγ E + v × B . c c c 0

2 Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism; Berkeley Physics Course –Volume 2, McGraw-Hill, Nueva York, 1963, p 213. 3 Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism; Berkeley Physics Course –Volume 2, McGraw-Hill, Nueva York, 1963, p 150.

3 OPERADORES DIFERENCIALES:

3

8

Operadores diferenciales:

En tres dimensiones los operadores diferenciales son tres: El gradiente de un campo escalar φ(x, y, z), cuya expresi´on en coordenadas cartesianas es ˆ ∇φ = x

∂φ ∂φ ∂φ ˆ ˆ , +y +z ∂x ∂y ∂z

la divergencia de un campo vectorial A ∇·A=

∂Ay ∂Az ∂Ax + + , ∂x ∂y ∂z

y el rotor µ ˆ ∇×A=x

∂Az ∂Ay − ∂y ∂z

¶

µ ˆ +y

∂Ax ∂Az − ∂z ∂x

¶

µ ˆ +z

∂Ay ∂Ax − ∂x ∂y

¶ ,

tambi´en en coordenadas cartesianas. El gradiente de un escalar es un vector, la divergencia de un vector es un escalar y el rotor de un vector es algo semejante a otro vector. En torno a estas cantidades se construye gran parte de la f´ısica matem´atica tradicional. En la teor´ıa basada en los espacios de Riemann el problema es m´as complejo, porque se necesita que el resultado de aplicar un operador diferencial sobre un tensor sea otro tensor. Considere, por ejemplo, la derivada de un vector covariante Aα . Por (9), tenemos que ∂A0α ∂ 2 xi ∂xi ∂xj ∂Ai = A + . i ∂x0β ∂x0α ∂x0β ∂x0α ∂x0β ∂xj Claramente, esta derivada no es un tensor de tipo (0,2). Lo impide el t´ermino con segundas derivadas de una coordenada. Pero, intercambie α con β en esta ecuaci´on y reste ambos resultados. El t´ermino con segundas derivadas se elimina en este proceso, con el resultado que el rotor de un vector covariante Aα , definido como ∂Aα ∂Aβ − , ∂xβ ∂xα es un tensor de tipo (0,2). La siguiente es la lista de todos los operadores diferenciales en un espacio de Riemann de cuatro dimensiones. (En m´as dimensiones, hay m´as operadores diferenciales.) (i). Dado un campo escalar φ, el gradiente Uα =

∂φ ∂xα

(20)

3 OPERADORES DIFERENCIALES:

9

es un campo vectorial covariante [o un campo tensorial de tipo (0,1)]. Esto fu´e establecido en la ecuaci´on (10). (ii). Dado un campo vectoral covariante Aα , el rotor Uαβ =

∂Aα ∂Aβ − β ∂x ∂xα

(21)

es un campo tensorial antisim´etrico (Uαβ = −Uβα ) de tipo (0,2). Esto ha sido demostrado reci´en. De la misma manera, es f´acil comprobar que (iii). Dado un tensor de tipo (0,2) antisim´etrico Aαβ , la divergencia c´ıclica Uαβγ =

∂Aαβ ∂Aβγ ∂Aγα + + ∂xγ ∂xα ∂xβ

(22)

es un tensor de tipo (0,3) totalmente antisim´etrico. (iv). Dado un tensor Aαβγ totalmente antisim´etrico de tipo (0,3), la siguiente combinaci´on de derivadas4 Uαβγδ =

X

(−1)P

∂Aβγδ ∂xα

(23)

es un tensor totalmente antisim´etrico de tipo (0,4). Existen un n´ umero de teoremas que relacionan estos operadores, algunos de los cuales tienen an´alogos en el c´alculo vectorial usual. Por ejemplo: El rotor de un vector covariante se anula si y s´olo si el vector es el gradiente de un campo escalar.

(24)

La divergencia c´ıclica un tensor antisim´etrico de tipo (0,2) se anula si y s´olo si el tensor es el rotor de un vector covariante.

(25)

En lo que sigue, a menudo denotaremos las derivadas parciales con respecto a una variable xα simplemente con un sub´ındice α precedido de una coma. Por ejemplo, escribiremos φ,α en lugar de ∂φ/∂xα , Aα ,β = ∂Aα /∂xβ , etc. Problema 1: Demuestre que el tensor del campo electromagn´etico Fαβ (18) es el rotor de un potencial vectorial Aα , Fαβ = Aα ,β −Aβ ,α ;

con

A0 = −φ, A1 = Ax , A2 = Ay , A3 = Az ;

(26) (27)

4 Aqu´ ı la suma se realiza sobre todas las permutaciones de los cuatro ´ındices. Adem´ as, (−1)P significa que el t´ ermino debe agregarse con signo positivo si α, β, γ, δ es una permutaci´ on par de 0, 1, 2, 3 y con signo negativo si es una permutaci´ on impar de 0, 1, 2, 3.

4 LAS LEYES DE LA F´ISICA:

10

en donde φ es el potencial escalar usual y Ax , Ay , Az son las componentes cartesianas del potencial vectorial A, relacionados con los campos el´ectricos E y magn´eticos B mediante las ecuaciones tridimensionales5 E = −∇φ −

1 ∂A , B = ∇ × A. c ∂t

(28)

Problema 2: Por (26) y (25), se tiene que la divergencia c´ıclica del campo electromagn´etico se anula Fαβ ,γ +Fγα ,β +Fβγ ,α = 0.

(29)

Demuestre que esta expresi´on es equivalente a las dos ecuaciones de Maxwell tridimensionales6 1 ∂E ∇×B+ = 0, ∇ · B = 0. (30) c ∂t

4

Las leyes de la F´ısica:

5

*Densidades y vol´ umenes:

Consideremos una integral en una dimensi´on: Z ∞ I= f (x)dx. −∞

Como se sabe, dada una transformaci´on de coordenadas x0 = x0 (x), la integral transforma as´ı ¯ ¯ Z ∞ ¯ ∂x ¯ I= f (x(x0 )) ¯¯ 0 ¯¯ dx0 . ∂x −∞ En cuatro dimensiones, la transformaci´on de la integral es una generalizaci´on de esto. Si denotamos d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 y d4 x0 = dx00 dx01 dx02 dx03 , tenemos que Z Z Z Z I = Fd4 x ° k° Z Z Z Z ° ∂x ° 4 0 ° = F° ° ∂x0l ° d x , 5 Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism; Berkeley Physics Course –Volume 2, McGraw-Hill, Nueva York, 1963, p. 195. 6 Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism; Berkeley Physics Course –Volume 2, McGraw-Hill, Nueva York, 1963, p. 263.

´ 5 *DENSIDADES Y VOLUMENES:

11

en donde el Jacobiano J es el determinante formado por las derivadas parciales de las antiguas con respecto a las nuecvas coordenadas: ° k° ° ∂x ° ° J = ° ° ∂x0l ° ° ° ∂x0 ∂x0 ∂x0 ° ° ∂x0 ° ∂x001 ∂x011 ∂x021 ∂x031 ° ° ∂x ° ∂x ∂x ∂x ° ° 00 ∂x01 ∂x02 ∂x03 = ° ∂x ° 2 2 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ° ∂x ° 00 ∂x01 ∂x02 ∂x03 ° ° 3 3 3 3 ° ∂x00 ∂x01 ∂x02 ∂x03 ° ∂x

∂x

∂x

∂x

4

Todo s´ımbolo que transforme como d x, es decir ° k °−1 ° ∂x ° 4 4 0 ° d x =° ° ∂x0l ° d x, es un volumen. Inversamente, todos los s´ımbolo que transforman como un tensor, pero adem´as son premultiplicados por el Jacobiano de la transformaci´on, son densidades tensoriales. Por ejemplo, U es una densidad escalar si transforma ° k° ° ∂x ° 0 ° U =° ° ∂x0l ° U. U α y Uα son, respectivamente, densidades vectoriales contra y covariantes, si transforman de acuerdo a las siguientes leyes: ° k ° 0α ° ∂x ° ∂x k ° U 0α = ° ° ∂x0l ° ∂xk U , ° k° ° ∂x ° ∂xk ° Uα0 = ° ° ∂x0l ° ∂x0α Uk . As´ı tambi´en, una densidad tensorial de tipo (2,2) es un s´ımbolo que transforma como ° k ° 0α 0β ° ∂x ° ∂x ∂x ∂xt ∂xu rs 0αβ ° Uγδ = ° ° ∂x0l ° ∂xr ∂xs ∂x0γ ∂x0δ Utu , etc. Un ejemplo de densidad tensorial [de tipo (4,0)] es el s´ımbolo ², definido as´ı:   1 si α, β, γ, δ es una permutaci´on par de 0, 1, 2, 3, −1 si α, β, γ, δ es una permutaci´on impar de 0, 1, 2, 3, (31) ²αβγδ =  0 en otro caso. As´ı, por ejemplo, ²0123 = 1, ²1023 = −1 y ²0023 = 0 (el otro caso). Notamos que, si Aαβ es un s´ımbolo con dos ´ındices covariantes, A = ²αβγδ A0α A1β A2γ A3β

´ 5 *DENSIDADES Y VOLUMENES: es, por (31), el determinante formado por ° ° A00 A01 ° ° A10 A11 A=° ° A20 A21 ° ° A30 A31

12 los elementos de Aαβ . ° A02 A03 ° ° A12 A13 ° °. A22 A23 ° ° A32 A33 °

Podemos, por lo tanto, escribir ° i ° 0α 0β 0γ ° ∂x ° ∂x ∂x ∂x ∂x0δ jklm 0αβγδ ° ² =° ; ° ∂x0µ ° ∂xj ∂xk ∂xl ∂xm ²

(32)

lo que demuestra, a la vez, que el s´ımbolo epsilon es una densidad de tipo (4,0) y num´ericamente invariante en todos los sistemas coordenados ²0αβγδ = ²αβγδ . (Al efectuar las sumas en el segundo miembro de (32) se obtiene un determinante que cancela el jacobiano enfrente de esta expresi´on.) Consideremos, ahora un tensor arbitrario gαβ de tipo (0,2). Como se sabe, ante un cambio de coordenadas 0 gαβ =

∂xi ∂xj gij . ∂x0α ∂x0β

Podemos contemplar el segundo miembro como el producto de las matrices ∂xi /∂x0α , gij y ∂xj /∂x0β (en este orden). Sabemos que el determinante de un producto de matrices es el producto de los respectivos determinates, de modo que —si se llama 0 g 0 al de terminante de gαβ y g al determinante de gij — ° k °2 ° ∂x ° ° g =° ° ∂x0ν ° g; 0

de modo que

p

° k° ° ∂x ° p ° |g 0 | = ° ° ∂x0ν ° |g|.

(33)

As´ı, la ra´ız cuadrada del valor absoluto del determinante de cualquier tensor de tipo (0,2) es una densidad escalar. Existe otra relaci´on entre densidades y tensores a trav´es del s´ımbolo epsilon. Consideremos, por ejemplo, un tensor Uαβ antisim´etrico (Uαβ = −Uβα ). Este tensor contiene s´olo seis componentes diferentes (aparte de signos). Es claro que la densidad U αβ ≡ 21 ²αβγδ Uγδ contiene las mismas seis componentes, pero en distinto orden. Esta densidad U asociada a un tensor covariante completamente antisim´etrico U se llama dual de U . He aqu´ı una lista de todos los duales obtenidos de este modo: U αβγδ

≡ ²αβγδ U,

´ 5 *DENSIDADES Y VOLUMENES: U αβγ U αβ

13

≡ ²αβγδ Uδ , ≡ 12 ²αβγδ Uγδ ,

Uα

≡

U

≡

(34)

αβγδ 1 Uβγδ , 6 ² αβγδ 1 Uαβγδ . 24 ²

(Los tensores Uij , Uijk , Uijkl son completamente antisim´etricos; Uijkl = −Ujikl = Ujkil , etc. Las densidades tensoriales con m´as de un ´ındice son tambi´en completamente antisim´etricas.) Esta identificaci´on, junto con la lista precedente de operadores diferenciales aplicables a tensores totalmente antisim´etricos, nos permite extender esta lista a densidades totalmente antisim´etricas: (i0 ). Dado una densidad contravariante U α , la divergencia U≡

∂U α ∂xα

(35)

es una densidad escalar. (ii0 ). Dado una densidad antisim´etrica U αβ de tipo (2,0), la divergencia tensorial (nueva definici´on) ∂U αβ Uα ≡ (36) ∂xβ es una densidad vectorial contravariante. (iii0 ). Dado una densidad totalmente antisim´etrica U αβγ de tipo (3,0), la divergencia tensorial (nueva definici´on, aunque se usa la misma denominaci´on) U αβ ≡

∂U αβγ ∂xγ

(37)

es una densidad tensorial de tipo (2,0) antisim´etrica. (iv0 ). Por u ´ltimo, dado una densidad totalmente antisim´etrica U αβγδ de tipo (4,0), la divergencia tensorial (nueva definici´on, aunque se usa la misma denominaci´on) ∂U αβγδ U αβγ ≡ (38) ∂xδ es una densidad tensorial de tipo (3,0) totalmente antisim´etrica. Estos son todos los operadores diferenciales asociados a densidades. (Naturalmente, en espacios con m´as de cuatro dimensiones existen m´as operadores.) Problema 1: A partir del tensor del campo electromagn´etico Fαβ (18), defina la densidad de tipo (0,2) antisim´etrica p F αβ = − |g|g αi g βj Fij . (39)

6 DERIVADA COVARIANTE:

14

Muestre que la ecuaci´on 4π α J , en donde c J 0 = cρ, J 1 = jx , J 2 = jy , J 3 = jz , F αβ ,β =

(40) (41)

es equivalentes, en el caso Minkowskiano, a las dos restantes ecuaciones de Maxwell7 ∇ · E = 4πρ, ∇ × B −

1 ∂E 4π = j. c ∂t c

(42)

(Aqu´ı ρ es la densidad de carga, jx , jy , jz , son la tres componentes de la densidad de corriente j.) Problema 2: Demuestre que es v´alida la ecuaci´ on de continuidad J α ,α = 0, en notaci´on tensorial; o bien, ∂ρ + ∇ · j = 0, ∂t en notaci´on de vectores tridimensionales. (Esta ecuaci´on afirma que la carga el´ectrica se conserva.) Soluci´ on: Tome la divergencia de ambos miembros de (40): F αβ ,α ,β =

4π α J ,α . c

Al intercambiar α y β en el primer miembro, el resultado debe, por una parte, cambiar de signo (porque F αβ es antisim´etrico) y, por otra, permanecer igual (porque α y β son ´ındices mudos). La u ´nica manera de que estas dos conductas opuestas sean ciertas a la vez, consiste en que F αβ ,α ,β = 0.

6

Derivada covariante:

Si la derivada ordinaria fuera la u ´nica posible, habr´ıamos completado la lista de todas las posibles ecuaciones diferenciales de la F´ısica. Afortunada (o desafortunadamente) este no es el caso, porque existe una notable generalizaci´on del concepto de derivada usual, llamada derivada covariante. En general, dos vectores pueden sumarse solamente en un mismo punto, pero no es claro cu´al es el significado de sumar dos vectores situados uno en un punto 7 Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism; Berkeley Physics Course –Volume 2, McGraw-Hill, Nueva York, 1963, p. 263.

6 DERIVADA COVARIANTE:

15

y el otro en otro punto. Este es el motivo fundamental por el cual la derivada de un vector no es un tensor (ya que se define restando vectores en sitios vecinos). Suponga, entonces, un vector Aα en un punto P con coordenadas xi . El representante de este vector Aα + δAα en el punto vecino Q, con coordenadas xk + dxk , est´a dado por la forma bilineal k δAα = −Γm αk Am dx .

(43)

(En esta ecuaci´on el s´ımbolo Γα on af´ın o simplemente afinidad, βγ , llamado conexi´ es una arreglo de 34 componentes; porque la conexi´on af´ın es sim´etrica en los dos α ´ındices inferiores Γα on af´ın no es un tensor.)8 βγ = Γγβ . Note que esta conexi´ k α El vector Aα + δAα = Aα − Γm αk Am dx es el vector A transportado paralelamente del punto P al vecino Q. Por lo tanto, definimos la nueva derivada Aα;k de la siguiente manera (Suponemos s´olo la componente dxk del vector dx es diferente de cero): Aα;k

= =

Aα (Q) + δAα − Aα (P ) dxk ∂Aα − Am Γm αk . ∂xk

(44)

Para lograr que esta derivada covariante de un vector sea un tensor, podemos proceder de la siguiente manera: Dado que la derivada ordinaria ∂Aα /∂xβ transforma as´ı, ∂A0α ∂xi ∂xj ∂Ai ∂ 2 xm = + Am , 0β 0α 0β j ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x0α ∂x0β postulamos la siguiente ley de transformaci´on para la conexi´on af´ın: Γ0α βγ =

∂x0α ∂xj ∂xk i ∂x0α ∂ 2 xm Γjk + . i 0β 0γ ∂x ∂x ∂x ∂xm ∂x0β ∂x0γ

(45)

Entonces, es f´acil demostrar (c. f. problema 2) que la combinaci´on (44) es, en el hecho, un tensor de tipo (0,2). Para encontrar la expresi´on para la derivada covariante un un tensor de tipo arbitrario, tomaremos como punto de partida los siguientes tres axiomas o requisitos: 8 La conexi´ on af´ın suele denominarse —sobre todo en textos antiguos— par´ entesis de Christoffel y se les denota a menudo mediante corchetes:

n

Γijk =

i jk

o

.

Ciertas conexiones afines que no son sim´ etricas en los ´ındices inferiores han sido consideradas en el pasado; pero parecen actualmente no tener ninguna participaci´ on discernible en el entramado real del Universo.

6 DERIVADA COVARIANTE:

16

(i) Dado dos s´ımbolos cualesquiera f , g, la derivada covariante del producto obedece la misma regla que la derivada ordinaria: (f g);α = f;α g + f g;α .

(46)

(ii) La derivada covariente de un invariante φ es la derivada ordinaria φ;α =

∂φ , ∂xα

(47)

puesto que la derivada ordinaria de un invariante es un vector covariante. Adem´as: (iii) La f´ormula (44) para la derivada covariante de un vector covariante. Comenzaremos por encontrar la f´ormula de la derivada covariante de un vector contravariante B α . Como Aα B α es un invariante, ¡ ¢ α α α α Aα ,β −Am Γm αβ B + Aα B;β = Aα ,β B + Aα B ,β , ¡ α ¢ de donde, Aα B;β − B α ,β −B m Γα mβ = 0. Como esto es v´alido para todo Aα , se tiene que α B;β =

∂B α + B m Γα mβ . ∂xβ

(48)

Consideremos, ahora, un tensor gαβ de tipo (0,2). A partir del hecho que Aα B β gαβ es un invariante y procediendo del mismo modo que antes, obtenemos que la derivada covariante gαβ;γ es gαβ;γ =

∂gαβ m − gmβ Γm αγ − gαm Γβγ . ∂xγ

(49)

Finalmente, notamos que el m´etodo se puede generalizar ad libitum. A parij tir, por ejemplo, de un tensor de tipo (2,3) Tklm (y considerando que, entonces, k l m ij Ai Bj C D E Tklm es un invariante), se tiene que ij Tklm;α

=

ij ∂Tklm bj ib + Tklm Γjbα Γibα + Tklm ∂xα ij ij ij b −Tblm Γbkα − Tkbm Γblα − Tklb Γmα .

(50)

Problema 1: Demuestre que la derivada covariante del s´ımbolo delta es nula m δi;k = 0. m m Soluci´ on: Ai;k = δi;k Am + δim Am;k = δi;k Am + Ai;k , de donde se tiene la hip´otesis. Problema 2: A partir de (45), muestre que la prescripci´on (44) para calcular la derivada covariante de un vector covariante, resulta en un tensor de tipo (0,2).

´ AF´IN: 7 LA CONEXION

17

Soluci´ on: A0α;β

=

∂A0α ∂xi ∂xj ∂Ai ∂ 2 xm − A0γ Γ0γ + Am αβ = β 0α 0β j ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x0α ∂x0β µ ¶ ∂xs ∂x0γ ∂xj ∂xk i ∂x0γ ∂ 2 xm − 0γ As Γ + . ∂x ∂xi ∂x0α ∂x0β jk ∂xm ∂x0α ∂x0β

Pero ∂xj ∂xk ∂xj ∂xk ∂xs ∂x0γ ∂xj ∂xk i As Γjk = As δis 0α 0β Γijk = Ai 0α 0β Γijk , 0γ i 0α 0β ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x y

∂xs ∂x0γ ∂ 2 xm ∂ 2 xm ∂ 2 xm s A = A δ = A . s s m m ∂x0γ ∂xm ∂x0α ∂x0β ∂x0α ∂x0β ∂x0α ∂x0β

Entonces, A0α;β =

7

∂xi ∂xj ∂x0α ∂x0β

µ

¶ ∂Ai k − A Γ k ij . ∂xj

La conexi´ on af´ın:

Para poder determinar la conexi´on af´ın, es necesario postular una relaci´on f´ısica entre Γijk y el tensor m´etrico. Por ejemplo, Schr¨odinger supone que la estructura m´etrica |A|2 = gµν Aµ Aν (en donde A es un vector con coeficientes constantes, no un campo vectorial) debe transformar en s´ı misma bajo un transporte paralelo.9 Esto equivale a postular que la derivada covariante del tensor m´etrico gµν se anula: gαβ;γ =

∂gαβ m − gmβ Γm αγ − gαm Γβγ = 0. ∂xγ

(51)

A partir de (51), y permutando c´ıclicamente los ´ındices α, β y γ, tenemos que ∂gαβ m − gmβ Γm αγ − gαm Γβγ ∂xγ ∂gβγ m − gmγ Γm βα − gβm Γγα ∂xα ∂gγα m − gmα Γm γβ − gγm Γαβ ∂xβ

= 0, = 0, = 0.

Si multiplicamos la primera ecuaci´on por -1 y le summamos las otras dos, tenemos que µ ¶ ¡ ¢ ¡ m ¢ ¡ m ¢ ∂gβγ ∂gγα ∂gαβ m m m + − = gγm Γm αβ + Γβα −gβm Γαγ − Γγα −gαm Γβγ − Γγβ . α β γ ∂x ∂x ∂x 9 Erwin Schro ¨ dinger, Space-Time Structure, Cambridge at the University Press, Londres, 1950, p. 64.

´ AF´IN: 7 LA CONEXION

18

Utilizamos, ahora, el hecho que la conexi´on af´ın es sim´etrica, Γijk =Γikj . Entonces, µ ¶ ∂gβγ ∂gγα ∂gαβ 1 + − . gγm Γm = αβ 2 ∂xα ∂xβ ∂xγ Multiplicando, finalmente, esta ecuaci´on por la matriz g jk , inversa de la matriz de coeficientes m´etricos gjk (esto es, tal que g jm gmk = δkj ), tenemos la ecuaci´on que determina la conexi´on af´ın como funci´on de la m´etrica: µ ¶ ∂gβγ ∂gγα ∂gαβ Γδαβ = 21 g δγ + − . (52) ∂xα ∂xβ ∂xγ Problema 1: Demuestre que ∂g ∂xα

=

Γββα

=

2gΓββα , ∂ ln ∂xα

o bien, p

|g|,

(53) (54)

en donde g es el determinante formado por las componentes del tensor m´etrico gij . Soluci´ on: El determinante g de gij es el polinomio formado por las 64 componentes de este tensor: g = ²klmn g0k g1l g2m g3n , (55) en donde ²klmn es el s´ımbolo epsilon completamente antisim´etrico. El coeficiente de gij en esta expansi´on, que denotaremos M ij , es el menor respectivo. Por ejemplo observamos que, en esta f´ormula, algunos menores son: M 0k M 1l

= =

²klmn g1l g2m g3n , ²klmn g0k g2m g3n ,

etc.

Por otro lado, en la teor´ıa de determinantes se demuestra que, si en la expansi´on se multiplica cada t´ermino por su correspondiente menor, se obtiene el determinante; pero si se multiplica por el menor err´oneo, se obtiene cero gij M kj = gδik . Por lo tanto,

M ij = gg ji ,

en donde g ij es la matriz inversa de gij . Derivando, ahora, ambos miembros de (55) tenemos que ∂g ∂xα

=

²klmn

∂g0k ∂g1l g1l g2m g3n + ²klmn g0k α g2m g3n ∂xα ∂x

(56)

´ AF´IN: 7 LA CONEXION

19

∂g2m ∂g3n g3n + ²klmn g0k g1l g2m α ∂xα ∂x ∂g0k 0k ∂g1l 1l ∂g2m 2m ∂g3n 3n M + M + M + M ∂xα ∂xα ∂xα ∂xα ∂gjk jk ∂gjk M = gg kj α ∂xα ∂x ¡ ¢ β kj m gmj Γkα + gkm Γm gg jα = 2gΓβα , +²klmn g0k g1l

= = =

en donde se ha usado la prescripci´on (51) para la derivada ∂gjk /∂xα . Problema 2: Encontrar las componentes de la conexi´on af´ın Γσµν para un espacio-tiempo plano en coordenadas esf´ericas; cuyo elemento de longitud de arco es ds2 = c2 (dt)2 − (dr)2 − r2 (dϑ)2 − r2 sin2 ϑ(dϕ)2 . (57) Soluci´ on: Ponga x0 = ct, xr = r, xϑ = ϑ, xϕ = ϕ. En este caso el tensor m´etrico tiene s´olo componentes diagonales, esto es g00 = 1, grr = −1, gϑϑ = −r2 , gϕϕ = −r2 sin2 ϑ. Entonces, g µν es tambi´en diagonal, con g 00 = 1, g rr = −1, g ϑϑ = −r−2 , gϕ = −

r2

1 . sin2 ϑ

Notamos, a partir de la f´ormula, (52) que Γσµν = 0 si σ, µ, ν son tres ´ındices diferentes. Si σ y µ son dos ´ındices diferentes (no hay suma sobre ´ındices repetidos), Γσσσ

=

1 σσ ∂gσσ 2g ∂xσ

Γσµµ

=

− 21 g σσ

Γσµσ

=

Γσσµ

=

1 2

∂ ln |gσσ |, ∂xσ

∂gµµ , ∂xσ ∂gσσ = 12 g σσ = ∂xµ

(59) 1 2

∂ ln |gσσ |. ∂xµ

Alternativamente, podemos usar en este u ´ltimo caso la f´ormula (54), con g = determinante de gij = g00 grr gϑϑ gϕϕ = −r4 sin2 ϑ. De este modo, hay s´olo nueve componentes no nulas de la conexi´on af´ın: Γrϑϑ

=

Γϑrϑ

=

(58)

r, Γrϕϕ = −r sin2 ϑ, Γϑϕϕ = − sin ϑ cos ϑ, 1 1 ϕ ϕ ϕ Γϑϑr = , Γϕ rϕ = Γϕr = , Γϑϕ = Γϕϑ = cot ϑ. r r

(60)

8 *DERIVADA COVARIANTE DE DENSIDADES:

8

20

*Derivada covariante de densidades:

Para obtener la necesaria generalizaci´on de la noci´on de derivada al caso de las densidades, postulamos que la derivada covariante debe satisfacer los siguientes dos razonables requisitos: (i) La derivada covariante de un producto de s´ımbolos debe satisfacer la regla usual de derivada de un producto, aunque uno de los factores sea una densidad tensorial. (ii) La derivada covariante del s´ımbolo epsilon debe ser nula: ²klmn = 0. ;α

(61)

(Al fin y al cabo, este s´ımbolo tiene valores que son las mismas constantes en todos los sistemas coordenados.) Es claro que, al aplicar estos principios al c´alculo de la derivada covariante A con respecto al ´ındice α de una densidad tensorial GB (A y B representan un conjunto arbitrario de super´ındices y sub´ındices, respectivamente) se obtiene la A misma expresi´on que resultar´ıa de ser GB un tensor ordinario; con la adici´on de un t´ermino que es esencialmente el mismo para todas las densidades. En lo que A β sigue, anticiparemos que este t´ermino adicional es siempre −GB Γβα . Al final, por aplicaci´on del segundo de los postulados precedentes, mostraremos que esta anticipaci´on es verdadera. La demostraci´on discurre as´ı: Sea G una densidad escalar. Entonces, se tiene que G;α = G,α −GΓββα . (62) Sea ahora G k una densidad vectorial contravariante. El producto Ak G k (en donde Ak es un vector covariante) es una densidad escalar. Entonces, ¡ ¢ k k k k β Ak G k ;α = (Ak ,α −Am Γm kα ) G + Ak G;α = Ak ,α G + Ak G ,α −Ak G Γβα . As´ı, tenemos que ³ ´ k Ak G;α − G k ,α −G m Γkmα + G k Γββα = 0. Como Ak es arbitrario, esta igualdad s´olo puede cumplirse si k G;α = G k ,α +G m Γkmα − G k Γββα

(63)

La determinaci´on de la derivada covariante de densidades de otro tipo transcurre por una aplicaci´on semejante del primero de nuestros postulados. Por ejemkl plo, notando que Ak Bl C p Dq Gpq es una densidad escalar, obtenemos sin dificultad la expresi´on kl kl sl k ks l kl s kl s kl β Gpq;α = Gpq ,α +Gpq Γsα + Gpq Γsα − Gsq Γpα − Gps Γqα − Gpq Γβα .

(64)

8 *DERIVADA COVARIANTE DE DENSIDADES:

21

Consideremos, por u ´ltimo, el caso del s´ımbolo epsilon. Por la ecuaci´on precedente, klms n ²klmn = 0 + ²slmn Γksα + ²ksmn Γlsα + ²klsn Γm Γsα − ²klmn Γββα . ;α sα + ²

Suponga que k, l, m, n es una permutaci´on par o impar de 0, 1, 2, 3 (porque si no lo es, esta ecuaci´on dice simplemente que 0 = 0). En este caso, el u ´nico sumando no nulo en el primer t´ermino del segundo miembro es aqu´el con s = k; en el segundo t´ermino, aqu´el con s = l; en el tercero, aqu´el con s = m y, en el cuarto, aqu´el con s = n. As´ı, ²klmn = ²klmn Γssα − ²klmn Γββα = 0. ;α