Fisica Contemporanea 3

F´ısica Contempor´anea III. Teor´ıa de Gravitaci´on. Luis Moraga 29 de Abril de 2008 N. B. Las secciones precedidas por un asterisco (*) pueden ser ignoradas en una primera lectura.

1

El principio de equivalencia:

”El principio de equivalencia —advierte Subrahmanyan Chandrasekhar1 — significa cosas diferentes para distintas personas. Para muchos, no significa nada. Por ejemplo, Synge en el pr´ologo a su libro Relativity: The General Theory afirma: ’Nunca he sido capaz de comprender este Principio... Sugiero que sea ya sepultado con todos los honores del caso.’” Por el contrario, afirma Chandrasekhar, ”La situaci´on que encontramos aqu´ı es tanto novedosa como u ´nica. El concepto de masa se introduce primero en la teor´ıa en dos contextos l´ogicamente distintos; y luego se postula que estos dos son num´ericamente iguales. Este proceso introduce un elemento de magia dentro de la teor´ıa —magia que intentamos aminorar en parte apelando al experimento.” La versi´on del principio de equivalencia, que Chandrasekhar afirma es la sensata, procede as´ı: ... Problema: Encontrar la m´etrica de un sistema de coordenadas que se mueve con respecto a los sistemas inerciales con una aceleraci´on uniforme g. Soluci´ on: La transformaci´on que relaciona el sistema Minkowskiano x0 , x1 , 2 3 x , x con el sistema acelerado de coordenadas x00 , x01 , x02 , x03 es, por la ecuaci´on () del cap´ıtulo I (pero donde las constantes de integraci´on se han elegido de tal modo que coincidan x = x0 cuando t = t0 ), µ ¶ µ 00 ¶ c2 gx x0 = x01 + sinh , (1) g c2 1 S. Chandrasekhar, ”On the ’derivation’ of Einstein’s field equation,” American Journal of Physics, vol. 40, Febrero de 1972, pp.224-234.

1

1 EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA:

1

x

=

µ ¶ µ 00 ¶ gx c2 c2 01 cosh − , x + g c2 g

x2

=

x02 , x3 = x03 .

2

0 La m´etrica gµν del sistema acelerado se obtiene mediante la f´ormula de transformaci´on tensorial ∂xa ∂xb 0 = gµν gab , ∂x0µ ∂x0ν en donde gab es la m´etrica Minkowskiana. Por (1) notamos que µ ¶ µ 00 ¶ ∂x0 c2 g gx 01 = x + cosh , 00 2 ∂x g c c2 µ ¶ µ 00 ¶ ∂x1 c2 g gx 01 = x + sinh , 00 2 ∂x g c c2 ∂x2 ∂x3 = 0, = 0, (2) 00 00 ∂x ∂x µ ¶ µ ¶ gx00 ∂x1 gx00 ∂x0 = sinh , = cosh , 01 2 01 ∂x c ∂x c2 ∂x2 ∂x3 = 0, = 0, ∂x01 ∂x01 1 0 ∂x ∂x2 ∂x3 ∂x = 0, = 0, = 1, = 0, ∂x02 ∂x02 ∂x02 ∂x02 ∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 = 0, = 0, = 0, = 1. 03 03 03 ∂x ∂x ∂x ∂x03 0 El mejor modo de obtener la m´etrica gµν es mediante el producto matricial

 g0

 =     =      =   

  ∂x0  1 0 0 0 0 ∂x00  0 −1 0   ∂x1 0 0     ∂x00 0 0 0   0 0 −1 0   0 0 0 0 −1 0 0 1 0    1 0 0 0 ∂x ∂x ∂x ∂x 0 0 0 0 ∂x00 ∂x00 ∂x001 ∂x011   ∂x0 ∂x1 ∂x ∂x − 0 0 − 0 0    ∂x00  ∂x01 ∂x01 ∂x01   0 0 1 0 0 0 1 0  0 0 0 1 0 0 0 1 ³ 0 ´2 ³ 1 ´2  ∂x ∂x1 ∂x1 ∂x ∂x0 ∂x0 0 0 − ∂x 00 ∂x00 ∂x00 ∂x01 − ∂x00 ∂x01  ³ 0 ´2 ³ 1 ´2  ∂x0 ∂x0 ∂x1 ∂x1 ∂x ∂x , − − 0 0 ∂x00 ∂x01 ∂x00 ∂x01 ∂x01 ∂x01  0 0 1 0  0 0 0 1 ∂x0 ∂x00 ∂x0 ∂x01

∂x1 ∂x00 ∂x1 ∂x01

0 0 1 0

∂x0 ∂x01 ∂x1 ∂x01

0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

´ PARA EL CAMPO GRAVITATORIO: 2 LA ECUACION

3

0 Obtenemos, as´ı, por (2), que las m´etrica gµν es diagonal. La u ´nica componente 0 que difiere de la correspondiente componente Minkowskiana es g00 . El intervalo, es entonces,

µ ¶2 gx01 (ds) = 1 + 2 (dx00 )2 − (dx01 )2 − (dx02 )2 − (dx03 )2 . c 2

2

La ecuaci´ on para el campo gravitatorio:

... Problema: Encuentre la ecuaci´on para una geod´esica en un espacio de Riemann. Soluci´ on: La distancia cuadridimensional s entre dos puntos A y B es Z Br Z B Z B p dxµ dxν gµν dxµ dxν = gµν s= ds = ds. ds ds A A A Calcularemos la ecuaci´on de la curva que minimiza esta distancia (la curva geod´esica) contemplando otra familia de curvas que difieren de la curva correcta, pero que coinciden con ella en los puntos iniciales y finales A y B. Concretamente, calcularemos la variaci´on de δs de s cuando reemplazamos xi por xi + δxi —con la condici´on expl´ıcita que δxi = 0 en A y en B— Z δs

B

A Z B

= A

= =

Z

q

B

gµν (dxµ + δxµ ) (dxν + δxν ) −

=

p

gµν dxµ dxν ( ) 1 σ µ ν σ µ ν 2 (∂gµν )/(∂x )dx dx δx + gµν dx d(δx ) p + ··· gµν dxµ dxν A

en donde los puntos suspensivos denotan potencias de δx de segundo —o superior— orden. (De aqu´ı en adelante, no los mencionaremos m´as expl´ıcitamente.) ¾ Z B½ µ ν dxµ d(δxν ) σ 1 ∂gµν dx dx ds 2 ∂xσ ds ds δx + gµν ds ds A ¯B Z B ½ µ ¶ ¾ µ ν ¯ dxµ d dxµ σ ν 1 ∂gµν dx dx gµν (δxν )¯¯ + δx − g (δx ) ds, µν 2 ∂xσ ds ds ds ds ds A

A

al integrar por partes, · ¸ ¾ Z B½ µ ν ∂gµν dxµ dxσ d2 xµ σ ν 1 ∂gµν dx dx = δx − + g (δx ) ds, µν 2 ∂xσ ds ds ∂xσ ds ds ds2 A porque δxν = 0 en A y en B, por hip´otesis. Intercambiando algunos ´ındices mudos,

´ DE UNA PART´ICULA AISLADA: 3 GRAVITACION

¾ α β d2 xµ ∂gνα dxα dxβ 1 ∂gαβ dx dx (δxν )ds, − gµν + +2 ds2 ∂xβ ds ds ∂xν ds ds A µ ¶ ¾ Z B½ d2 xµ ∂gνα ∂gνβ ∂gαβ dxα dxβ 1 gµν − + + − (δxν )ds, 2 ds2 ∂xβ ∂xα ∂xν ds ds A µ ¶ ¾ ½ 2 µ Z B ∂gmα ∂gmβ ∂gαβ dxα dxβ d x 1 µm − g gµν + + − (δxν )ds, 2 2 β α m ds ∂x ∂x ∂x ds ds A ¾ ½ 2 µ Z B α β d x µ dx dx + Γαβ (δxν )ds. gµν − ds2 ds ds A Z

= = = =

4

B

½

La ecuaci´on para la geod´esica se obtiene poniendo δs = 0. Como, en la ecuaci´on precedente δxν es arbitrario y distinto de cero, necesariamente la ecuaci´on para la geod´esica es d2 x µ dxα dxβ + Γµαβ = 0. 2 ds ds ds

3

Gravitaci´ on de una part´ıcula aislada:

El intervalo ds en un espacio plano referido a coordenadas esf´ericas es ds2 = c2 (dt)2 − (dr)2 − r2 (dϑ)2 − r2 sin2 ϑ(dϕ)2 .

(3)

Supongamos, ahora que la m´etrica es modificada por una part´ıcula de masa M situada en el origen. Como el espacio mantiene su simetr´ıa esf´erica, el intervalo debe tener la forma ds2 = c2 A(r)(dt)2 − B(r)(dr)2 − C(r)[(dϑ)2 + sin2 ϑ(dϕ)2 ], en donde A, B, y C son funciones de r por determinar. Consideremos un cambio de variables desde r a una nueva variable radial r1 , definida por r12 = C(r). A prori, nada hace que r sea preferible a r1 para describir esta coordenada. De este modo podemos poner ds2 = c2 A1 (r1 )(dt)2 − B1 (r1 )(dr)2 − r12 [(dϑ)2 + sin2 ϑ(dϕ)2 ], en donde A1 y B1 son otras funciones tambi´en desconocidas. Llamando de nuevo r a la variable r1 e introduciendo dos nuevas funciones F (r) y G(r) en lugar de A1 y B1 , tenemos la expresi´on para el intervalo que fungir´a como nuestro punto de partida: ds2 = eF c2 (dt)2 − eG (dr)2 − r12 [(dϑ)2 + sin2 ϑ(dϕ)2 ],

(4)

´ DE UNA PART´ICULA AISLADA: 3 GRAVITACION

5

Las coordenadas xk son x0 = ct, xr = r, xϑ = ϑ, xϕ = ϕ. El tensor m´etrico tiene s´olo componentes diagonales: g00 = eF , grr = −eG , gϑϑ = −r2 , gϕϕ = −r2 sin2 ϑ. La matriz inversa g jk tiene tambi´en s´olo elementos diagonales: g 00 = e−F , g rr = −e−G , g ϑϑ = −r−2 , gϕ = −

r2

1 . sin2 ϑ

El determinante g = −eF +G r4 sin2 ϑ Al igual que en el cap´ıtulo precedente, la conexi´on Γσµν se anula si σ, µ, ν son tres ´ındices diferentes. En caso que σ y µ son dos ´ındices diferentes (no hay suma sobre ´ındices repetidos), Γσσσ

=

1 σσ ∂gσσ 2g ∂xσ

=

1 2

∂ ln |gσσ |, ∂xσ

(5)

∂gµµ , (6) ∂xσ ∂gσσ ∂ = 12 µ ln |gσσ |. (7) Γσµσ = Γσσµ = 12 g σσ µ ∂x ∂x Encontramos que hay s´olo 13 componentes no nulas de la conexi´on af´ın. Estas son: 1 dF 1 dG , Γr00 = eF −G , Γrϑϑ = −re−G , Γrrr = 2 dr 2 dr 1 dF Γrϕϕ = −re−G sin2 ϑ, Γϑϕϕ = − sin ϑ cos ϑ, Γ00r = Γ0r0 = , 2 dr 1 1 ϕ ϕ ϕ (8) Γϑrϑ = Γϑϑr = , Γϕ rϕ = Γϕr = , Γϑϕ = Γϕϑ = cot ϑ. r r Reemplazando estas componentes de la conexi´on af´ın en la expresi´on para el tensor de Einstein (9), Γσµµ

=

− 21 g σσ

β

∂Γkβ ∂Γβ β α Rkl = − kl + + Γβαl Γα (9) kβ − Γαβ Γkl . ∂xβ ∂xl tenemos que son s´olo cuatro las componentes de este tensor que obviamente no se anulan. Estas resultan ser ¡ ¢ R00 = −Γr00 ,r +Γr00 Γr0r − Γrrr − Γϑrϑ − Γϕ rϕ , ¡ 0 ¢2 ¡ ϑ ¢2 ¡ ϕ ¢2 ¡ ¢ Rrr = Γ00r ,r +Γϑrϑ ,r +Γϕ + Γrϑ + Γrϕ − Γrrr Γ00r + Γϑrϑ + Γϕ rϕ ,r + Γ0r rϕ , ¡ 0 ¢ ³ ϕ ´2 r r ϑ ϕ Rϑϑ = −Γrϑϑ ,r +Γϕ , ϑϕ ,ϑ −Γϑϑ Γ0r + Γrr − Γrϑ + Γrϕ + Γϑϕ ¡ ¢ ϕ ϑ Rϕϕ = −Γrϕϕ ,r −Γϑϕϕ ,ϑ −Γrϕϕ Γ00r + Γrrr + Γϑrϑ − Γϕ rϕ + Γϕϕ Γϑϕ .

´ DE UNA PART´ICULA AISLADA: 3 GRAVITACION

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Finalmente, reemplazamos aqu´ı los valores expl´ıcitos (8), e igualamos a cero las componentes supervivientes del tensor de Einstein. Encontramos cuatro ecuaciones (las primas denotan derivadas con respecto a r): ¸ · 1 2 (10) R00 = eF −G − 14 (F 0 ) + 41 F 0 G0 − 12 F 00 − F 0 = 0, r 1 2 Rrr = 41 (F 0 ) − 14 F 0 G0 + 12 F 00 − G0 , (11) r ¤ £ (12) Rϑϑ = e−G 1 + 12 r (F 0 − G0 ) − 1 = 0, © −G £ ¤ ª 2 0 0 1 Rϕϕ = sin ϑ e 1 + 2 r (F − G ) − 1 = 0. (13) Las dos inc´ognitas son las funciones F y G. Notamos que la u ´ltima ecuaci´on (13) es una mera repetici´on de la pen´ ultima (12) y que, por lo tanto, puede ser desde ya ignorada. Comparando la primera (10) con la segunda ecuaci´on (11), notamos que F 0 = −G0 y, como ambas funciones deben anularse cuando r → ∞ (en donde la m´etrica debe volver a ser Minkowskiana), se concluye que F = −G.

(14)

Entonces, por la ecuaci´on (12), tenemos que eF (1 + rF 0 ) = 1. Poniendo, por un momentento, eF = f (r), tenemos que f 0 = eF F 0 , de donde la ecuaci´on precedente es f + rf 0 = 1, cuya soluci´on es

2GM , (15) c2 r porque la constante de integraci´on debe ajustarse para que el resultado coincida con el caso de campos d´ebiles (). De este modo, una part´ıcula de masa M situada en el origen modifica el espaciotiempo alrededor de ella. La m´etrica es ahora f =1−

µ ¶ µ ¶−1 2GM 2GM 1− 2 c2 (dt)2 − 1 − 2 (dr)2 − r2 (dϑ)2 − r2 sin2 ϑ(dϕ)2 . c r c r (16) Este resultado fu´e encontrado por Karl Schwarzschild en 1916.2

ds2 =

2 K. Schwarzschild, ”Uber ¨ das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteninschen Theorie,” Sitzungsberichte der K¨ oniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math. Klasse 1916, pp. 189-196.

4

4

´ ORBITAS:

7

´ Orbitas:

En esta secci´on determinaremos las ´orbitas posibles de una part´ıcula de masa m en el campo gravitacional de un objeto masivo situado en el origen. (Por cierto, la ´orbita no depende de la masa m de la part´ıcula de prueba.) El gran descubrimiento de Einstein fu´e que la part´ıcula se mueve libremente, siguiendo el camino m´as corto posible en el espacio cuadridimensional. La trayectoria est´a dada, entonces, por α β d2 x µ µ dx dx + Γ = 0, αβ ds2 ds ds

(17)

en donde µ = 0, 1, 2, 3 (o bien, 0, r, ϑ, ϕ). Comenzaremos por la ecuaci´on con µ = ϑ. Por (8), d2 ϑ dr dϑ + 2Γϑrϑ + Γϑϕϕ ds2 ds ds d2 ϑ 2 dr dϑ + − sin ϑ cos ϑ ds2 r ds ds

µ µ

dϕ ds dϕ ds

¶2 = 0, ¶2 = 0.

(18)

Notamos que las condiciones inciales determinan el plano que contiene al origen y a todo el movimiento subsiguiente de la part´ıcula. (El movimiento relativista, al igual que el Newtoniano, se realiza contenido enteramente en un plano.) Por ejemplo, si inicialmente ϑ = 12 π y dϑ/ds = 0, esta u ´ltima condici´on ser´a v´alida para todo s y el movimiento continuar´a en el plano x − y. Por lo tanto, tomamos ϑ=

π , 2

(19)

como la soluci´on de (18). Consideremos, ahora, el caso µ = ϕ. De nuevo por (8), dr dϕ d2 ϕ dϑ dϕ + 2Γϕ + 2Γϕ rϕ ϑϕ 2 ds ds ds ds ds d2 ϕ 2 dr dϕ dϑ dϕ + + 2 cot ϑ ds2 r ds ds ds ds d2 ϕ 2 dr dϕ + ds2 r ds ds

= 0, esto es, = 0, = 0,

a causa de (19).

Multiplicando esta ecuaci´on por el factor integrante r2 , tenemos que r2

d2 ϕ dr2 dϕ + = ds2 µ ds ds ¶ d dϕ r2 = ds ds

0, esto es, 0.

4

´ ORBITAS:

8

˜ a Esto significa que r2 (dϕ/ds) es una constante de movimiento. Llamando L esta constante, tenemos que ˜ dϕ L = 2. (20) ds r Esta constante (que tiene dimensiones de metros) est´a relacionada con el momentum angular por unidad de masa m de la part´ıcula. La siguiente componente de la ecuaci´on de movimiento es aquella con µ = 0. Esta es d2 x 0 dx0 dr + 2Γ00r 2 ds ds ds 0 d2 x0 dx dr 0 + F ds2 ds ds

= 0, o bien, = 0.

Multiplicando esta ecuaci´on por el factor integrante eF , tenemos que eF

d2 x0 deF dx0 + = 0, 2 ds µ ds ds¶ d dx0 eF = 0, ds ds

˜ lo que significa que eF (dx0 /ds) es otra constante de movimiento. Si llamamos E a esta constante, tenemos que ˜ E dx0 ˜= = e−F E . ds 1 − 2GM/(c2 r)

(21)

Esta constante, que carece de dimensiones, est´a relacionada con la energ´ıa total (cin´etica m´as potencial) por unidad de masa m de la part´ıcula. En lugar de continuar por este camino para el caso final µ = r, utilizaremos la ecuaci´on (16); que tiene aqu´ı el papel de una primera integral: µ 0 ¶2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 dx dr dϑ dϕ eF − e−F − r2 − r2 sin2 ϑ = 1, ds ds ds ds µ ¶2 ˜2 dr L −F ˜ 2 −F − 2 = 1, esto es, e E − e ds r por efecto de (19), (20) y (21). As´ı, tenemos finalmente que ! µ ¶2 ¶Ã µ ˜2 dr L 2GM 2 ˜ 1+ 2 . =E − 1− 2 ds c r r

(22)

Muchas veces resulta m´as u ´til (o m´as directamente relacionable con el experimento) medir la trayectoria sobre la ´orbita utilizando como par´ametro el tiempo

4

´ ORBITAS:

9

propio τ de la part´ıcula en lugar del intervalo, o longitud de arco cuadridimensional, s. Notando que ds = cdτ , tenemos que

µ

dr dτ

dt dτ

=

dϕ dτ ¶2

= =

˜ E , 1 − 2GM/(c2 r) ˜ cL , r2 ! µ ¶Ã ˜2 2GM L 2 ˜2 2 c E −c 1− 2 1+ 2 . c r r

(23) (24) (25)

Para poder interpretar estas ecuaciones, usamos como t´ermino de comparaci´on las correspondientes ecuaciones del movimiento Newtoniano. De acuerdo con Goldstein,3 las ecuaciones de movimiento en este caso son

µ

dr dt

dϕ dt ¶2

= =

L mr2 2E 1 L2 2GM − 2 2 + , m m r r

en donde L = |r × p| es el momentum angular de la part´ıcula y E = 21 mv 2 − GM m/r es su energ´ıa total cl´asica. Comparando la primera de estas ecuaciones con (24), concluimos que ˜' L L cm ˜ no son directamente comoparables porque uno de estos s´ımbolos se refiere (L y L a ´angulos medidos en un espacio plano, mientras que el otro se refiere a un ´angulo semejante, pero medido en un espacio curvo.) Comparando la segunda de estas ecuaciones con (25), tenemos que ˜ ' 2E + 1. E c2 m La ecuaci´on (23) no tiene an´alogo cl´asico.

3 Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Nueva York, 1980, pp. 73-74.