Expo Muller Ejer.docx

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

ESTRUCTURAS I

Ing. Diego Quizanga TEMA LÍNEAS DE INFLUENCIA MÉTODO DE MÜLLER-BRESLAU 𝟐𝒅𝒐 Hemisemestre

INTEGRANTES:

ALMEIDA ÁVILA KARLA JOHANNA CHUGÁ GER MARCO SANTIAGO MENA MENDEZ PIERRE OSWALDO PINOS CEDEÑO MARÍA ÁNGELES

SEMESTRE:

QUINTO

PARALELO:

2

FECHA DE ENTREGA:

17/01/2019 PERIODO 2018-2019 QUITO-ECUADOR

Contenido INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ............................................................................................................................. 3 MARCO TEÓRICO .................................................................................................................. 4 BIOGRAFÍA DE HEINRICH FRANZ BERNHARD MÜLLER ...................................... 4 DEFINICIÓN DE LÍNEA DE INFLUENCIA................................................................... 5 APLICACIONES DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA. .................................................. 6 Grúas ..................................................................................................................................... 6 Puente grúa ............................................................................................................................ 6 Grúas Torre: .......................................................................................................................... 7 Puentes carretera: .................................................................................................................. 7 PRINCIPIO DE MULLER BRESLAU ............................................................................... 8 EJERCICIO DE APLICACIÓN ......................................................................................... 10 CONCLUSIONES .................................................................................................................. 18 RECOMENDACIÓN .............................................................................................................. 19 BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................... 20

INTRODUCCIÓN En la vida practica de un ingeniero rara vez tiene que tratar con estructuras que soporten solamente cargas fijas, ya sea en el análisis estructural de estructuras como de vigas, pórticos o armaduras, en el que se quiera encontrar cortantes, reacciones o fuerzas en los elementos. Puentes sujetos al tráfico vehicular, edificios industriales con grúas viajeras, edificios de oficinas con cargas de mobiliario y humanas, pueden clasificarse en la categoría de estructuras con cargas móviles. En una estructura que soporta cargas móviles es importante encontrar la posición crítica de dichas cargas, las cuales generan respuestas máximas, para esto es necesario conocer el concepto de Líneas de Influencia. Tengamos estructuras isostáticas o hiperestáticas, además del método enseñado en clase (en el que solo realizamos estructuras isostáticas), podemos aplicar el Método de Muller – Breslau. En el caso de estructuras sometidas a las cargas muertas, la representación de la variación de las cargas a lo largo de una viga, queda determinada mediante los diagramas de fuerza cortante y momento flector. Pero al someter una viga a cargas moviles que se desplazan de un extremo a otro sobre ella, se puede percibir con un simple criterio lógico que las reacciones en los apoyos, las fuerzas cortantes y los momentos flectores no permanecen constantes y que varian a medida de que la fuerza se aleje de un extremo y se acerque al otro. Este método afirma que entre las ordenadas de la línea de influencia de la fuerza o del momento flector en una sección determinada de una estructura es directamente proporcional a la elástica que se obtiene al remover una fuerza o momento cuya línea de influencia se quiere determinar y colocar un desplazamiento unitario en la estructura resultante primaria.

OBJETIVOS 

Encontrar una manera de realizar líneas de influencia de una viga (isostática o hiperestática).



Determinar las líneas de influencia para corte y momento por medio del método Muller – Breslau en un punto cualquiera de la viga.



Conocer la forma correcta de graficar las líneas de influencia por corte o momento obtenidas por el método Muller – Breslau.

MARCO TEÓRICO

BIOGRAFÍA DE HEINRICH FRANZ BERNHARD MÜLLER Nació en Breslau, Alemania hoy en día Wroclaw, Polonia, 13 de mayo de 1851. Murió en Berlín, Alemania, 23 de abril de 1925. El hijo de un humilde comerciante, Müller quién después de la década de 1980, se dio a conocer como Müller-Breslau debido a la ciudad donde se educó. En 1869, después de graduarse del Realgymnasium, se incorporó a los ingenieros del ejército prusiano y fue testigo de la acción en la guerra franco-prusiana. Luego de la guerra, renunció a los planes de una carrera militar para convertirse en ingeniero civil. Müller luego se mudó a Berlín y se embarcó en un programa de estudio informal que consistía en cursos de ingeniería en la Gewerbeakademie y en conferencias sobre matemáticas en la universidad. Sin graduarse, comenzó a ejercer como ingeniero consultor independiente en Berlín en 1875, especializándose en el diseño de estructuras de hierro, principalmente puentes. Al mismo tiempo, preparó su primer gran libro, Theorie und Berechnung der eisernen Bogenbrücken., (1880) y una serie de artículos sobre problemas de estructuras estáticamente indeterminadas. En 1883, Müller-Breslau fue nombrado profesor de diseño de puentes en el Instituto Politécnico de Hannover. El flujo constante de sus publicaciones y algunos diseños notables establecieron rápidamente su reputación, y en 1888 fue nombrado para la cátedra de ingeniería estructural en el Instituto de Tecnología de BerlínCharlottenburg. Aquí trabajó como profesor, investigador y consultor por el resto de su vida, sirviendo en 1895–1896 y 1910–1911 como rector. Müller-Breslau ha sido calificado como el fundador de la ingeniería estructural moderna en Alemania. Entre los diseños más importantes que se le atribuyen se encuentran el puente Volga en Kazan, Rusia, y la nueva catedral en Berlín. También participó en la construcción de las aeronaves del conde Ferdinand von Zeppelin, diseñó grandes hangares para aviones y contribuyó a la introducción de alas en voladizo en los aviones.

Müller-Breslau ejerció una influencia aún mayor a través de sus publicaciones, en particular sus libros. Sus numerosas monografías tratan problemas específicos en la teoría de estructuras, tales como voladizos, arcos, estructuras de celosía, presión de la tierra en los muros de contención y pandeo de barras rectas. No presentó métodos o teorías de la novedad fundamental; Su punto fuerte fue el refinamiento y la elaboración de métodos anteriores, presentados en forma sistemática y unificada. En Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen (1886), consistentemente basó la solución de sistemas estructurales estáticamente indeterminados en los métodos de energía de presión de LF Menabrea y CA Castigliano. Las últimas tres décadas de la vida de Müller-Breslau se dedicaron principalmente a su obra magna,Die graphische Statik der Baukonstruktionen. Un manual de tres volúmenes (1887, 1892, 1908), llegó a ser considerado internacionalmente como la presentación definitiva de los métodos gráficos de diseño estructural.(“Müller-Breslau, Heinrich (Franz Bernhard) | Encyclopedia.com”, 2019)

DEFINICIÓN DE LÍNEA DE INFLUENCIA La línea de influencia es un diagrama, cuyos ejes contiguos verticales u ordenadas, representan el valor de una fuerza o memento que se ejerce en la estructura, cuando una acción se desplaza a lo largo de esta. Debido a esto existen diferentes diagramas de línea de influencia para una estructura, que dependerán del punto de donde se desea información de respuesta estructural.

En algunos casos las cargas no son fijas sino móviles a lo largo de la estructura, como es el caso de un puente recorrido por un vehículo, o una viga carril sobre la que se desplaza un puente grúa, o la pluma de una grúa de construcción a lo largo de la cual se desplaza el carro que sustenta la carga: en estos casos varía el punto de aplicación de la carga (carga móvil), y por tanto, los esfuerzos y deformaciones que se originan en la estructura, ya que estos valores dependen de la posición que ocupa la carga. González Cuevas, Ó. (2002).

APLICACIONES DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA. Las líneas de influencia se utilizarán primordialmente para calcular ciertas fuerzas y determinar posiciones de cargas vivas que produzcan fuerzas críticas y máximas. Por lo tanto, la presencia de cargas móviles implica la necesidad de obtener: a) Las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicación de esta. b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias. El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes grúa, etc., donde las cargas móviles tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes. 

Ejemplos de Aplicaciones:

Grúas Puente grúa: El puente grúa es un tipo de aparato de elevación compuesto por una viga, simple o doble, apoyada sobre dos carriles elevados sobre unos postes, dispuestos a tal efecto o componentes de la estructura de la nave o edificación. El movimiento longitudinal se lleva a cabo mediante la traslación de la viga principal o puente a través de los carriles elevados. En la práctica totalidad de los casos, la rodadura es por ruedas metálicas sobre carriles también metálicos. El movimiento transversal se realiza mediante el desplazamiento de un polipasto o carro sobre uno o dos carriles dispuestos sobre la viga principal. Cuando el puente grúa cambia su posición sobre los rieles, esto causa variaciones en los efectos que produce en la estructura sobre la cual se apoya.

Grúas Torre: Grúa con pluma, ubicada en la parte superior de una torre vertical. Realiza su función de carga y descarga con la ayuda de un gancho suspendido de un cable. Es muy utilizada en el sector de la construcción. Cuando la grúa cambia su posición, esto causa variaciones en los efectos que produce en la estructura sobre la cual se apoya.

Puentes carretera: Los puentes son estructuras destinada a salvar obstáculos naturales, como ríos, valles, lagos o brazos de mar, y obstáculos artificiales, como vías férreas o carreteras, con el fin de poder transportar mercancías, permitir la circulación de las gentes y trasladar sustancias de un sitio a otro.

Básicamente un puente está formado por 2 partes principales: el tablero y los apoyos. Normalmente además de estas dos partes también llevan una armadura. Cuando los vehículos se desplazan sobre el puente, esto causa variaciones en los efectos que producen en la estructura del puente.

PRINCIPIO DE MULLER BRESLAU Afirma que las ordenadas de la línea de influencia de una reacción (fuerza o momento flector) son directamente proporcionales a la elástica (viga deformada), que se obtiene al remover la fuerza o momento cuya línea de influencia se requiere determinar e imponerle un desplazamiento unitario en la estructura. Este principio se aplica a las estructuras isostáticas e hiperestáticas y la diferencia radica que en las estructuras isostáticas las líneas de influencia están formadas por líneas rectas mientras que en las estructuras hiperestáticas las líneas de influencia están formadas por líneas curvas, debido que de esta manera se puede imponer un desplazamiento unitario a las acciones conservando las restricciones correspondientes a las reacciones en los apoyos. Construcción de Líneas de influencia basado en el principio de Muller Breslau: 

La línea de influencia de una reacción se obtiene produciendo un desplazamiento unitario en el apoyo donde actúa la reacción.



La línea de influencia del momento flector en una sección determinada se obtiene produciendo una rotación unitaria en la sección. Por lo cual se realiza un corte en el punto de interés y se aplica en la articulación dos momentos iguales y en sentido contrario.

Este principio se aplica a vigas, marcos continuos, estructuras articuladas y a estructuras determinadas e indeterminadas. Comprobación del Método de Müller Breslau mediante trabajo virtual. Se tiene una viga simplemente apoyada a la cual se le aplica una carga unitaria a una distancia x.

Al restringir la deformación de la viga en el apoyo “A” y no permitir otro tipo de deformación mediante la imposición de un desplazamiento unitario en dirección de la reacción, la viga deformada es la línea de influencia de RA.

La reacción en el punto A y la carga unitaria realizan un trabajo igual a las cargas por el desplazamiento; y por el principio del trabajo virtual para los trabajos producidos se puede aplicar la siguiente ecuación: 𝑅𝐴 ∗ 𝛿𝐴 = 1 ∗ 𝑌 Y reemplazando el desplazamiento unitario: 𝑌 = 𝑅𝐴 Con la obtención de la ecuación anterior y mediante trabajo virtual se comprueba el método de Müller Breslau ya que el desplazamiento en donde se aplicó la carga es igual a la reacción producida por la carga unitaria.

Para la obtención de la línea de influencia en el punto C, se corta la viga en ese punto y añade un desplazamiento unitario correspondiente a la fuerza cortante en ese punto, no se deben permitir deformaciones por flexión o desplazamiento de las reacciones. La viga deformada será la línea de influencia de Vc.

𝑉𝐶 ∗ 𝛿𝑉𝑐 = 1 ∗ 𝑌 𝑌 = 𝑉𝑐 La ecuación resultante representa que la deformada en el punto de aplicación a una distancia “x” es igual a la fuerza cortante en donde se colocó la deformación unitaria “C”.

EJERCICIO DE APLICACIÓN Encuentre las ecuaciones d elas reacciones y las líneas d einfluencia de corte y momento en la siguiente viga.

1) Encontrar el valor d elas reacciones al colocar una carga unitaria en el apoyo a desaparecer. 2) Determinar condiciones de borde. 3) Obtener la ecuación de momento según la condicón de borde

𝐱=𝟎 𝜽𝑨 ≠ 𝟎

𝐱 = 𝟏𝟎

𝐱 = 𝟐𝟎

𝜽𝑨 = 𝟎

𝒚𝑨 = 𝒎𝒂𝒙

𝒚𝑨 = 𝟎

𝒚𝑨 = 𝟎

𝚺𝑴𝑩 = 𝟎 −10𝑅𝐴 − 10𝑃 = 0 𝑹𝑨 = −𝟏 𝚺𝑭𝒚 = 𝟎 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 − 𝑃 = 0 𝑅𝐵 = 𝑃 − 𝑅𝐴 𝑹𝑩 = 𝟐

𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎 𝚺𝑴𝒙 = 𝟎

ECUACIONES DE MOMENTO GIRO Y FLECHA 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ∶ 𝑬𝑰

𝑴𝒙 + 𝟏 ∗ 𝒙 = 𝟎 𝑴𝒙 = −𝒙

𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝟐 𝒚 = 𝑴 → 𝑬𝑰 = −𝒙 𝒙 𝒅 𝒙𝟐 𝒅 𝒙𝟐

𝟏)𝑮𝒊𝒓𝒐: 𝑬𝑰 2) 𝑭𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂 ∶ 𝑬𝑰𝒚 =

𝟏𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟎

𝑴𝒙 = −𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟎

−𝒙𝟑 𝟔

+ 𝑪𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐

ECUACIONES DE MOMENTO GIRO Y FLECHA

𝚺𝑴𝒙 = 𝟎 𝑴𝒙 + 𝟏 ∗ 𝒙 − 𝟐 ∗ (𝒙 − 𝟏𝟎) = 𝟎

𝒅𝒚 −𝒙𝟐 = + 𝑪𝟏 𝒅𝒙 𝟐

𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ∶ 𝑬𝑰 𝒅𝒚

3) 𝑮𝒊𝒓𝒐: 𝑬𝑰 𝒅 𝒙 =

𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝟐 𝒚 = 𝑴 → 𝑬𝑰 = 𝒙 − 𝟐𝟎 𝒙 𝒅 𝒙𝟐 𝒅 𝒙𝟐

−𝒙𝟐 𝟐

− 𝟐𝟎 + 𝑪𝟑

𝑴𝒙 = 𝒙 − 𝟐𝟎 𝟒)𝑭𝒍𝒆𝒄𝒉𝒂 ∶ 𝑬𝑰𝒚 =

−𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝑪𝟑 𝒙 + 𝑪𝟒 𝟔

1) Aplicar condiciones de borde 𝑺𝒊 𝒙 = 𝟏𝟎 ; 𝒚𝑩 = 𝟎 ; 𝒆𝒏 𝑬𝒄.2 𝑬𝑰𝒚 =

−𝒙𝟑 + 𝑪 𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝟔

−103 𝐸𝐼𝑦 = + 10𝐶1 + 𝐶2 6 𝐶2 =

500 − 10𝐶1 3

𝑺𝒊 𝒙 = 𝟏𝟎 ; 𝜽𝑨 = 𝜽𝑩 ; 𝒆𝒏 𝑬𝒄.2 𝑬𝑰

−

𝒅𝒚 𝒅𝒚 = 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝒅𝒙

−

𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝑪𝟏 = − 𝟐𝟎𝒙 + 𝑪𝟑 𝟐 𝟐

−

𝒙𝟐 𝟓𝟎 𝒙𝟐 + = − 𝟐𝟎𝒙 + 𝑪𝟑 𝟐 𝟑 𝟐

𝟏𝟎𝟐 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟐 + = − 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎 + 𝑪𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝑪𝟑 =

𝟑𝟓𝟎 𝟑

𝑺𝒊 𝒙 = 𝟏𝟎 𝒆𝒏 𝟒 ; 𝒀𝑩 = 0 𝐶3 =

350 3

𝒙𝟑 𝑬∗𝑰∗𝒚 = − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝑪𝟑 𝒙 + 𝑪𝟒 𝟔 0=

103 − 10(10)2 + 𝐶3 (10) + 𝐶4 6

0=−

2500 350 ∗ (10) + + 𝐶4 3 3 𝐶4 = −

1000 3

0 ≤ 𝑥 ≤ 10 𝐸∗𝐼∗𝑦 =

𝑥 3 50 + 𝑥 6 3

10 ≤ 𝑥 ≤ 20 𝑥3 350 1000 𝐸∗𝐼∗𝑦 = − 10𝑥 2 + 𝑥− 6 3 3 𝑆𝑖 𝑥 = 20 → 𝑌𝑐 = 𝑌𝑚𝑎𝑥 𝑒𝑛 4 𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥 𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥 =

𝑥3 = − 10𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 6

203 350 ∗ (20) 1000 − 10(20)2 + − 6 3 3

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥 =

8000 7000 1000 − 4000 + − 6 3 3

𝐸 ∗ 𝐼 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥 = − 𝑅𝑐𝑚𝑎𝑥 =

2000 3

𝐸∗𝐼∗𝑦 𝐸 ∗ 𝑖 ∗ 𝑦𝑚𝑎𝑥

0 ≤ 𝑥 ≤ 10 𝑅𝑐𝑚𝑎𝑥

𝑥 3 50 −𝑥 3 + 100𝑥 + 𝑥 −3𝑥 3 + 300𝑥 6 3 6 = = = 2000 2000 −12000 − 3 − 3 𝑅𝑐𝑚𝑎𝑥 =

−3(𝑥 3 − 100𝑥) −12000

𝑅𝑐𝑚𝑎𝑥 =

(𝑥 3 − 100𝑥) 4000

10 ≤ 𝑥 ≤ 20 𝑅𝑐𝑚𝑎𝑥

𝑥3 350 1000 2 3 2 − 10𝑥 + 𝑥 − 3 3 = 3𝑥 − 180𝑥 + 2100𝑥 − 6000 = 6 2000 −12000 − 3 𝑅𝑐𝑚𝑎𝑥 =

−3(−𝑥 3 + 60𝑥 2 − 700𝑥 + 2000) −12000

𝑅𝑐𝑚𝑎𝑥 =

−𝑥 3 + 60𝑥 2 − 700𝑥 + 2000) 4000

Línea de influencia de la Reacción C

X 0 2 4 6 8 10 10 12 14 16 18 20

Rc 0 -0.048 -0.084 -0.096 -0.072 0 0 0.128 0.304 0.516 0.752 1

Líneas de influencia para 𝑅𝐴 :

∑ 𝑀𝐵 = 0 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 10𝑅𝑐 − 10𝑅𝐴 + 𝑃(10 − 𝑥) = 0 10𝑅𝑐 + 𝑃(10 − 𝑥) = 10𝑅𝐴 ; 𝑃 = 1 10𝑅𝑐 + (1)(10 − 𝑥) = 𝑅𝐴 10 𝑥 𝑅𝐴 = 𝑅𝐶 + 1 − 10 𝑅𝐴 =

𝑥 3 − 100𝑥 𝑥 +1− 4000 10

𝑅𝐴 =

𝑥 3 − 500𝑥 + 4000 4000

∑ 𝑀𝐵 = 0 ; 10 ≤ 𝑥 ≤ 20 10𝑅𝑐 − 10𝑅𝐴 + 𝑃(10 − 𝑥) = 0 10𝑅𝑐 + 𝑃(10 − 𝑥) = 10𝑅𝐴 ; 𝑃 = 1 10𝑅𝑐 + (1)(10 − 𝑥) = 𝑅𝐴 10 𝑥 𝑅𝐴 = 𝑅𝐶 + 1 − 10 𝑅𝐴 =

−𝑥 3 + 60𝑥 2 − 700𝑥 + 2000 𝑥 +1− 4000 10

𝑅𝐴 =

−𝑥 3 + 60𝑥 2 − 1100𝑥 + 6000 4000

Línea de influencia de la Reacción A

x 0 2 4 6 8 10 10 12 14 16 18 20

Ra 1 0,752 0,516 0,304 0,128 0 0 -0,072 -0,096 -0,084 -0,048 0

-Líneas de influencia para corte y momento

𝑉𝐷 =? ; 𝑀𝐷= ? Sección ( 0 ≤ 𝑥 ≤ 10) 𝑅𝐴 =

𝑥 3 − 500𝑥 + 4000 4000

Sección ( 10 ≤ 𝑥 ≤ 20) 𝑅𝐴 =

Dist. x 0 2 4

−𝑥 3 + 60𝑥 2 − 1100𝑥 + 6000 4000

0≤𝑥≤5

5 ≤ 𝑥 ≤ 20

𝑉𝐷= 𝑅𝐴 − 1

𝑉𝐷= 𝑅𝐴

𝑀𝐷= 5𝑅𝐴 − 𝑥 + 5

𝑀𝐷= 5𝑅𝐴

0≤𝑥≤5

5 ≤ 𝑥 ≤ 20

𝑀𝐷= 5𝑅𝐴 − 𝑥 + 5

𝑀𝐷= 5𝑅𝐴

Vd 5-20 RA 1 0,752 0,516

Vd 0-5 RA-1 0 -0,248 -0,484

L.I.C VD 0 -0,248 -0,484

Momentos 5RA P(x-5) 5 -5 3,76 -3 2,58 -1

L.I.M MD 0 0,76 1,58

5 5 6 8 10 12 14 16 18 20

0,406 0,406 0,404 0,128 0 -0,072 -0,076 -0,084 -0,048 0

-0,594 -

Líneas de Influencia Corte y Momento

CONCLUSIONES

-0,594 0,406 0,404 0,128 0 -0,072 -0,076 -0,084 -0,048 0

2,03 2,03 2,02 0,64 0 -0,36 -0,38 -0,42 -0,24 0

0 -

2,03 2,03 2,02 0,64 0 -0,36 -0,48 -0,42 -0,24 0



El método de Müller Breslau, facilita el procedimiento para encontrar las ordenadas de la línea de influencia en una estructura, donde se propone una relación directa con su elástica o deformada, mediante la exclusión de una fuerza o momento de donde se desee la información de respuestas estructural ante cargas externas.



Si se desea calcular de forma cuantitativa las líneas de influencia de una viga isostática es necesario obtener las deformaciones en diversos puntos de la viga, con lo cual se puede afirmar que este proceso de forma cuantitativa es similar al método directo.



Las líneas de influencia son parte fundamentales para el diseño de puentes, las cuales nos permiten la realización del diseño, pudiendo definirnos varios tipos de diseño y poder escoger de esa manera el que más se ajuste de manera económica y segura al proyecto.



Con respecto al trabajo virtual aplicado en las estructuras resulta bastante sencillo la determinación de línea de influencia ya que la deformada tiende a coincidir con esta, debido a que el punto de aplicación de la carga es igual a la fuerza en la sección en la que se impuso la deformación unitaria.

RECOMENDACIÓN 

Al momento de diseñar un puente, se debe procurar ingresar al análisis, la carga móvil más desfavorable que puede transitar dicha estructura, es decir el camión o automóvil más pesado que se tenga registro en la zona o región.



Se recomienda la aplicación del método de Müller-Breslau en estructuras estáticamente indeterminadas más que en estructuras estáticamente determinadas.



Si se desea tener mucha mayor precisión en el trazo de la línea de influencia se recomienda la utilización de distancias mucho más cortas de análisis.



Se recomienda la determinación de las líneas de influencia en caso del diseño de un puente o cualquier estructura que requiere el análisis frente a una carga móvil.



Al ser curvas las líneas de influencia para estructuras hiperestáticas, es difícil obtener las ordenadas a partir de la aplicación de un desplazamiento unitario como en estructuras isostáticas.

BIBLIOGRAFÍA  González Cuevas, Ó. (2002). Análisis Estructural. México: Limusa.  McCormac, J. (2011). Análisis de Estructuras. Barcelona: Closas-Orcoyen.

 "Müller-Breslau, Heinrich (Franz Bernhard)." Complete Dictionary of Scientific Biography. Encyclopedia.com. Enero 2019. Recuperado de https://www.encyclopedia.com