Examen De Algebra I(unsl)

1) Demostrar por Inducción: n

∑ J! J = ( n + 1)!−1 J =1

Verificamos para n=1 1

∑ J!J = (1 + 1)!−1 J =1

1!.1 = ( 2 )!−1 1.1 = 2 − 1 1=1 Se verificó para n=1 Planteamos la hipótesis de inducción, suponemos que se verifica para n=k: k

∑ J!J = ( k + 1)!−1 J =1

Intentaremos demostrar la tesis de inducción, o sea, que se verifica para n=k+1: k +1

∑ J!J = [ ( k + 1) + 1]!−1 = ( k + 2)!−1 J =1

Demostración: k +1

k

k +1

J =1

J =1

J = k +1

∑ J!J = ∑ J!J + ∑ J!J = ( k + 1)!−1 + ( k + 1)!( k + 1) Prop. Σ

Hipótesis y Prop. (!)

= ( k + 1)![1 + ( k + 1) ] − 1 = ( k + 1)!( k + 2 ) − 1 Factor Común

Prop. R

= ( k + 2)!−1

Con lo que queda demostrado

Prop. (!)

2) Desarrollar y encontrar la mínima expresión de:

 3 1 a −  2 

5

Por el desarrollo del binomio de Newton, tenemos que:

( a − b) n =

n

∑ r =0

5

 3 1 a −  = 2 

( − 1) r 

5

∑ r =0

n  n − r r Por lo que nuestro desarrollo sería: a b r  

( − 1) r 

5  5−r r a b r  

( ) ( )

( ) ( 12)

1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

 5  5− 0 1 0  5 = ( − 1) 0   a 3 + ( − 1)1   a 3 2 0 1 5−3 3 5 1 3 + ( − 1) 4  5  a 3 + ( − 1)   a 3  4 2  3  

5 −1

5− 4

 5  5− 2 1 2 + ( − 1) 2   a 3 2  2 1 4 + ( − 1) 5  5  a 3 5 − 5 1 5  5 2 2  

Desarrollamos el triángulo de Pascal hasta n=5 para obtener los coeficientes de nuestro desarrollo:

0   0  1 1     0 1  2  2  2       0  1  2   3  3  3  3        0  1  2  3   4  4  4  4  4         0  1  2  3  4   5  5  5  5  5  5          0  1  2  3  4  5 

1 1 1

1 2

1 3 1 4 1 5

n=0 n=1

1 3

6 10 10

n=2 1

n=3

4

1 5

n=4 1

Por lo que tenemos: 5

 3 1  = a15 − 5a12 1 + 10a 9 1 − 10a 6 1 + 5a 3 1 − 1 a −  2 4 8 16 32 2  La mínima expresión es: 5

 3 1  = a15 − 5 a12 + 5 a 9 − 5 a 6 + 5 a 3 − 1 a −  2 2 4 16 32 2  3) Negar:

∀z∀w : z 2 = w 2 ⇒ z = w

Su negación es:

∃z∃w : z 2 = w2 ⇒ z ≠ w

n=5

4) a) Obtener las soluciones complejas y graficar:

x 3 − (1 + i ) = 0

A partir de la fórmula de De Moivre, podemos deducir otra para la obtención de raíces de números complejos. Si n es un entero positivo y z es cualquier número complejo, entonces la raíz n-ésima de z se define como cualquier número complejo w que satisface la ecuación:

wn = z

De donde resulta:

w= z

1

n

  θ 2kπ   θ 2kπ = n r cos +  + i.sen + n  n n  n

  

k = 0,1,2,...., ( n − 1) r= z

Desarrollo:

x 3 − (1 + i ) = 0 x3 = 1 + i x = (1 + i )

1

3

Sea entonces, z = 1 + i , tenemos que z = r =

2 yθ =

π 4

Con n=3 se deduce que:

w = (1 + i )

1

3

=

3

 π 2kπ 2 cos 4 +   3 3  

 π  + i.sen 4 + 2kπ   3 3  

   k = 0,1,2  

Para k=0

  π 2.0.π   π 2.0.π   w0 = 6 2 cos +  + i.sen +  12 3 12 3       π   π  w0 = 6 2 cos  + i.sen   ≅ 1,084215081 + 0,290514555.i  12     12  Para k=1

  π 2.1.π w1 = 6 2 cos + 3   12

  π 2.1.π  + i.sen + 3   12

  

 3   3  w1 = 6 2 cos π  + i.sen π    4   4  3 2 2 4 34 6  =− w1 = 2  − +i + .i ≅ −0,793700526 + 0,793700526.i  2 2 2 2   Para k=2

  π 2.2.π   π 2.2.π   w2 = 6 2 cos +  + i.sen +  3  3    12   12   17   17   w2 = 6 2 cos π  + i.sen π   ≅ −0,290514555 − 1,084215081.i  12     12  Como observamos, las tres raíces complejas son equidistantes, ya que están separadas por una distancia de ⅔π radianes (120°) sobre la circunferencia de radio aproximado de 1,122462048 (módulo de las sol. complejas) con centro en el origen. b) Demostrar que: 2

w = w.w

∀w ∈ C

Dem: Sea

w = a + bi → w = a − bi

2

w =

(

2

a +b

2

)

2

= a2 + b2

Por otro lado:

w.w = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 − ( bi ) 2 = a 2 − b 2i 2 = a 2 + b 2 Ambos desarrollos culminan igual, por lo que la ecuación inicial se verifica para todo número complejo w. 5) Demostrar por inducción sobre n:

2 n 2 + 3n (La expresión derecha es múltiplo de 2) Verificamos para n=1:

2 12 + 3.1 → 2 4 Efectivamente 4 es múltiplo de 2. Hipótesis de inducción:

2 k 2 + 3k = 2.∆ Asumimos que al verificarse para k, el polinomio se puede expresar como múltiplo de 2. Tesis de inducción:

2 ( k + 1) + 3( k + 1) = 2.Θ 2

Demostración:

( k + 1) 2 + 3( k + 1) = k 2 + 2k + 1 + 3k + 3 = ( k 2 + 3k ) + ( 2k + 4) (por Hip.) = 2.∆ + 2( k + 2) = 2.[ ∆ + ( k + 2) ] = 2.Θ (múltiplo de 2)

6) Sean

a)

 5  1  u =   y v =   1  − 6

u − 3v = ( 5 1) − 3(1 − 6 ) = ( 5 1) + ( − 3 18) = ( 2 19 )

b) Determinar si son ortogonales:

u ⊥ v ⇔ u.v = 0

u.v = ( 5 1).(1 − 6 ) = (5.1) + [1.( − 6 ) ] = 5 − 6 = −1 ≠ 0

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