Examen Algebra Noviembre 2009

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ICAI

PONT/FICtA.

ICADE

Ingeniero Industrial

COMILLAS IMADR

ALGEBRA Y GEOMETRiA

01

ESCUELA TEcNICA SUPERIOR DE INGENIERfA

Curso 2009-2010

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

APUCADA Y COMPUTACION

EXAMEN INTERSEMESTRAL 20 de Noviembre de 2009 PROBLEMA 1 En el espacio vectorial 9\3 [X] , de los polinomios de grado menor 0 igual que 3, se consideran los subespacios vectoriales V y W siguientes:

W ={p(X)E 9\3 [X] I p'(X) =p"(X)} Se pide: ,;r1:alcular una base y unas ecuaciones implicitas en la base can6nica de 9\3 [X], Bc (9\3 [X]) ={1,x,x 2,x 3}, de Vy W. b) Calcular unas ecuaciones parametricas y una base de V n W . i,Pertenece el polinomio p(x) =1 a V? ;.,Y a V n W ? En caso afmnativo calcular sus coordenadas en las bases de Vy V n W calculadas en el apartado anterior. c) Encontrar una base de un subespacio suplementario T, de V nW en 9\3 [x] y descomponer el polinomio t(x) =2x + X2 , como suma de un polinomio de T y otro de VnW. d) ;.,Puede ser W un subespacio vectorial de V? En caso afirmativo calcular unas ecuaciones implicitas de Wen la base de V calculada anteriormente. 3.5 Puntos PROBLEMA 2 En el espacio vectorial de las matrices simetricas de orden 2, 8 2 , se considera la familia de subespacios vectoriales

N =L{ (cos senaa sena),(sena 0 cosa a

con ae [0,8J. Si B

t

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W~)(~ !H~ ~)}

cos 0

a)}

es la oose canonica de 8" se pide:

a) Calcular una base y unas ecuaciones implicitas de N a en B, para los diferentes valores del parametro a.

sen2a sen02a)

b) ;.,Pertenece la matriz ( 1

aNa?'

En caso afmnativo calcular sus

coordenadas en la base de N a' obtenida en el apartado anterior, segful los diferentes valores de a. 2.5 Puntos

CUES~ Sabiendo que 12At + 2B

I=81 A - BI ' con B una matriz antisimetrica, calcular el orden de las

matrices A y B.

1 Punto ~.

CUES~ Hallar el orden del siguiente determinante, para que se verifique la igualdad

n n n

2

n

1

1

1 1

1

3

1 =24

1

...

n 1.5 Puntos

1 1 l]n Calcular 1 1 ; y demostrar su expresi6n por el metodo de inducci6n. [1 1 1.5Puntos

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