Espacio De Estados Presentacion

Analisis de sistemas de control en el espacio de estados Cuevas, Hernández, Valderrama

Indice • Representación de Funciones de transferencia en el Espacio de Estados – Representaciones canónicas en el espacio de estados • • • •

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Forma Canónica controlable Forma Canónica Observable Forma Canónica Diagonal Forma Canónica de Jordan

Eigenvalores de una matriz A de nxn Diagonalización de una matriz de nxn Invarianza de EigenValores No-unicidad de un conjunto de variables de estado

• Solución de una ecuación de estado invarante en el tiempo – Solución de ecuaciones de estado homogéneas – Matriz Exponencial – Acercamiento por la transformada de Laplace para la solución de una ecuación de estado homogénea – Matriz de transición de estado – Propiedades de la matriz de transición de estado – Solución de ecuaciones de estado no homogéneas – Acercamiento por la transformada de Laplace para la solución de una ecuación de estado no homogénea

Un sistema cualquiera se puede representar asi:

Forma canónica controlable

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Forma canónica de Jordan

Ejemplo de representaciones Sea:

Representese en espacio de estados en la forma canónica controlable, observable y de Jordan

Forma canónica controlable

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Eigenvalores de una matriz A de nxn Los eigenvalores son las raices de la siguiente ecuación característica

Por ejemplo, considerese:

Los eigenvalores son entonces -1, -2 y -3

Diagonalización de una matriz nxn Sea una matriz con eigenvalores distintos:

La transformación x=Pz, donde P es

Donde λn son distintos eigenvalores de A

Transformará P-1AP en la matriz diagonal:

Ejemplo Considerese la siguiente representacion en espacio de estado de un sistema

Donde:

o de forma estándar:

Los eigenvalores de A son:

Se tienen pues tres eigenvalores distintos. Si se define una variable de estado z mediante la transformacion:

donde:

entonces al sustituir en la ecuacion de espacios de estados original se tiene: y al multiplicar por P-1

simplificando da

La ecuación de salida se modifica asi:

Invarianza de Eigenvalores Para comprobar que los eigenvalores son identicos aun despues de una transformacion lineal se demostrará que se mantiene la relacion: = Puesto que la determinante de un producto es el producto de las determinantes, se tiene:

La no unicidad de un conjunto de variables de estado Se comprobará que un conjunto de variables de estado no es unico para un sistema dado. Sean x1, x2, …, x3 un conjunto de variables de estado. Entonces se pueden tomar como otro conjunto de variables de estado cualquier conjunto de funciones:

Siempre que para cada conjunto de valores corresponda un conjunto único de valores x1, x2, …, xn, y viceversa. Por lo cual, si x es un vector de estado, entonces , donde Es también un vector de estado, mientras que P sea no singular. Se puede obtener la misma información sobre el comportamiento de un sistema de diferentes vectores de estado.

Solución de ecuación de estado homogenea

Matriz Exponencial Es convergente para cualquier t finita, la cual la hace apropiada para ser calculada por metodos computacionales

Y tiene las propiedades

Acercamiento a la solución de una ecuación de estado homogénea por medio de la transformada de Laplace

Matriz de transición de estado Donde

es una solución de

y se verifica de la siguiente manera

La matriz de transición contiene toda la información acerca del movimiento libre del sistema que describe

Si los eigenvalores de la matriz de coeficientes A, entonces la matriz de transición contendrá los n exponenciales

Si la matriz A es diagonal, se tiene que

Si hay multiplicidad en los eigenvalores, si por ejemplo los eigenvalores de A son:

Entonces la matriz de transición contendrá ademas de los exponenciales terminos como

y

Propiedades de la matriz de transición de estado Para el sistema invariante en el tiempo

para el cual se tienen las siguientes propiedades

Ejemplo Sea un sistema descrito por la ecuación de estado descrita por la matriz

Obtengase la matriz de transición de estado y su inversa Para este sistema: La matriz de transición esta dada por: Puesto que

la inversa de sI-A esta dada por

Por lo cual

Puesto que

Solución de una ecuación de estado no homogénea Considerando el caso escalar

Considerando el caso para la ecuación de estado no homogenea descrita por:

Empleo de la transformada de Laplace para la solución de una ecuación de estado no homogénea

Ejemplo Obtener la respuesta en el tiempo del siguiente sistema

Donde u es el escalón unitario que ocurre en t=0 Para este sistema se tiene que:

Se había obtenido previamente la matriz de transición para este sistema:

Asumiendo la condición inicial x(0) = 0, se tiene: