Presentacion Analisis De Espacio De Estados

Analisis de sistemas de control en el espacio de estados Cuevas, Hernández, Valderrama

Indice – Representaciones canónicas en el espacio de estados • • • •

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Forma Canónica controlable Forma Canónica Observable Forma Canónica Diagonal Forma Canónica de Jordan

Eigenvalores de una matriz A de nxn Diagonalización de una matriz de nxn Invarianza de EigenValores No-unicidad de un conjunto de variables de estado

Un sistema cualquiera se puede representar asi:

Forma canónica controlable

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Forma canónica de Jordán

Ejemplo de representaciones Sea:

Representese en espacio de estados en la forma canónica controlable, observable y de Jordan

Forma canónica controlable

Forma canónica observable

Forma canónica diagonal

Eigenvalores de una matriz A de nxn Los eigenvalores (valores propios o autovalores) son las raices de la siguiente ecuación característica

Por ejemplo, considerese:

Los eigenvalores son entonces -1, -2 y -3

Diagonalización de una matriz nxn Sea una matriz con eigenvalores distintos:

La transformación x=Pz, donde P es

Donde λn son distintos eigenvalores de A

Transformará P-1AP en la matriz diagonal:

Si la matriz A definida por la ecuación incluye valores propios múltiples, la transformación a matriz diagonal es imposible . Por ejemplo, si la matriz diagonal es imposible.

A esta forma se denomina forma canoníca de Jordán

Ejemplo Considerese la siguiente representacion en espacio de estado de un sistema

Donde:

o de forma estándar:

Los eigenvalores de A son:

Se tienen pues tres eigenvalores distintos. Si se define una variable de estado z mediante la transformacion:

donde:

entonces al sustituir en la ecuacion de espacios de estados original se tiene: y al multiplicar por P-1

simplificando da

La ecuación de salida se modifica asi:

Ejemplo

Con la transformada inversa de laplace

Invarianza de los Eigenvalores Para comprobar que los eigenvalores son identicos aun despues de una transformacion lineal se demostrará que se mantiene la relacion: = Puesto que la determinante de un producto es el producto de las determinantes, se tiene:

La no unicidad de un conjunto de variables de estado Se comprobará que un conjunto de variables de estado no es unico para un sistema dado. Sean x1, x2, …, x3 un conjunto de variables de estado. Entonces se pueden tomar como otro conjunto de variables de estado cualquier conjunto de funciones:

Siempre que para cada conjunto de valores corresponda un conjunto único de valores x1, x2, …, xn, y viceversa. Por lo cual, si x es un vector de estado, entonces , donde Es también un vector de estado, mientras que P sea no singular. Se puede obtener la misma información sobre el comportamiento de un sistema de diferentes vectores de estado.

Ejemplo

Considérese el sistema definido por

Variables de estado

A sustituir

La ecuación de salida esta dada por

Se pueden colocar en la forma normalizada , como

donde

Bibliografia • Ingeniería de Control Moderno, Ogata