Espacio De Estados

CAPITULO IV

ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO

1

INTRODUCCION •ES ESTUDIADO DESDE 1960. •PERMITE EL MODELADO UNIFICADO DE LOS SISTEMAS MODERNOS: •LINEALES Y NO LINEALES. •INVARIANTES Y VARIANTES EN EL TIEMPO. •MUCHAS ENTRADAS. •MUCHAS SALIDAS. •Y QUE SE RELACIONAN EN FORMA COMPLICADA. 2

INTRODUCCION (Cont.) • SE BASA EN LA DESCRIPCIÓN DE LAS ECUACIONES DE UN SISTEMA EN TERMINOS DE n ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN, QUE SE COMBINAN EN UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL MATRICIAL DE PRIMER ORDEN. 3

DEFINICION ESTADO:

Es el conjunto mas pequeño de variables

(denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t=to, junto con el conocimiento de la entrada para t>= to, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t >= to.

4

DEFINICION VARIABLES DE ESTADO: son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. No necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente. En la práctica, sin embargo conviene elegir cantidades medibles con facilidad.

5

DEFINICION VECTOR DE ESTADO:

si se necesitan “n” variables de

estado, estas variables de estado se consideran los “n” componentes de un vector X, denominado vector de estado.

6

DEFINICION ESPACIO DE ESTADO:

es el espacio de “n” dimensiones

cuyos ejes coordenados están formados por el eje x1, x2, … , xn.

Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

7

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS

TENEMOS TRES TIPOS DE VARIABLES: •VARIABLES DE SALIDA •VARIABLES DE ENTRADA •VARIABLES DE ESTADO No hay una representación única, pero si una cantidad única de variables de estado. La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el sistema. 8

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS Representación Las “n” ecuaciones de estado de un sistema dinámico de n-esimo orden se representa como:

dxi ( t ) = fi x1 ( t ) , x2 ( t ) ,..., xn ( t ) , u1 ( t ) , u2 ( t ) ,..., u p ( t ) , t dt donde

[

]

i = 1,2,..., n j = 1,2,..., p de _ xi _ y _ u j _ respectivamente. 9

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS Representación Las ecuaciones de salida se pueden expresar como:

[

yk ( t ) = g k x1 ( t ) , x2 ( t ) ,..., xn ( t ) , u1 ( t ) , u2 ( t ) ,..., u p ( t ) , t

]

donde i = 1,2,..., n j = 1,2,..., p k = 1,2,..., q de _ xi _, _ g k _ respectivamente. 10

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS Representación Ecuaciones dinámicas:

dxi ( t ) dt

yk ( t )

Por facilidad de expresión y manipulación son representadas en forma matricial, definiendose los siguientes vectores: Vector de estado

Vector de entrada

Vector de salida

 x1 ( t )  x (t)  2  X ( t ) =    ( n × 1)      xn ( t ) 

 u1 ( t )  u ( t )   2  U ( t ) =    ( p × 1)     u p ( t )   

 y1 ( t )   y (t)  2  Y ( t ) =   ( q × 1)      yq ( t )   

11

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS Representación La ecuación de estado se puede entonces escribir como:

dX ( t ) = F [ X ( t ) ,U ( t ) , t ] dt Donde F es una matriz columna de nx1 que contiene las funciones f1, f2, …, fn como elementos. La ecuación de salida se puede escribir como:

Y ( t ) = G [ X ( t ) ,U ( t ) , t ] Donde G es una matriz columna de qx1 que contiene las funciones g1, g2, …, gn como elementos.

12

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS Representación Para un sistema lineal e invariante en el tiempo las ecuaciones de estado se reducen a:

dX ( t ) = A. X ( t ) + B.U ( t ) dt

Ecuación de estado

Y ( t ) = C. X ( t ) + D.U ( t )

Ecuación de salida

Donde A (n x m) B (n x p) C (q x n) D (q x p)

Matriz de Estado Matriz de Entrada Matriz de Salida Matriz de Transmisión directa

13

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS Ejemplo Para el sistema mecánico Resorte, masa y amortiguador:

m

••

•

y +b y +ky =u

1  x   0   x1   0 1 k b   = +  1 u  x  −    2   m − m   x2   m 

y = [1

 x1  0]    x2 

Ecuación de estado

Ecuación de salida 14

CORRELACION ENTRE LA FUNCION DE TRANFERENCIA Y LA ECUACION EN EL ESPACIO DE ESTADOS

[

]

adjA = Aij _ de _ det A n.n en _ donde _ A ji _ denota _ el _ cofactor _ de _ aij  A11 adjA =    A21  a11   adjA = a21    a31

'

A12   a22  =   A22  − a21 a12 a22 a32

'

− a12    a11 

a13   a22a33 − a23a32     a23  = − ( a21a33 − a23a31 )     a33   a21a32 − a22 a31

− ( a12a33 − a13a32 ) a11a33 − a13a31 − ( a11a32 − a12 a31 )

a12 a23 − a13a22    − ( a11a23 − a21a13 )    a11a22 − a12 a21  15

CORRELACION ENTRE LA FUNCION DE TRANFERENCIA Y LA ECUACION EN EL ESPACIO DE ESTADOS

G( s ) =

Y (s) U( s)

Sistema de una sola entrada y una sola salida

dX ( t ) = A. X ( t ) + B.U ( t ) dt G ( s ) = C ( s.I − A) B + D −1

Y ( t ) = C. X ( t ) + D.U ( t ) adjA A = A −1

Ejercicio: Hallar la FT para el sistema del ejemplo anterior.

1 R. G ( s ) = ms 2 + bs + k

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Representaciones en el espacio de estados de los sistemas basados en la función de transferencia

•Forma canónica controlable •Forma canónica observable •Forma canónica diagonal o de Jordan Si un sistema esta definido mediante: (n)

( n −1)

•

(n)

( n −1)

•

y + a1 y +... + an −1 y + an y = b0 u + b1 u +... + bn−1 u + bn u

Puede escribirse como:

Ys b0 s n + b1s n−1 + ... + bn−1s + bn = n Us s + a1s n−1 + ... + an−1s + an 17

Forma Canónica Controlable

 •  0  x 1  •   x2   0      =   x•   0  •n−1    x n  − an y = [ bn − anb0

1 0 0 1   0 0 − an−1 − an−2 bn−1 − an−1b0



0   x1  0 0   x2  0          +  u      1   xn−1  0  − a1   xn  1  

 x1  x  b1 − a1b0 ]. 2  + b0u      xn 

18

Forma Canónica Observable

 •  0 0 0  −a x1   bn − anb0     x 1 n  •   x 2  1 0 0  − an−1   x2  bn−1 − an−1b0         u     +     =        x•        •n−1    x n  0 0  1 − a1   xn   b1 − a1b0  y = [0

00

 x1  x  1]. 2  + b0u      xn 

19

Forma Canónica Diagonal

Considerando la función de transferencia donde el denominador sólo posee raíces distintas:

Ys b0 s n + b1s n−1 + ... + bn−1s + bn = ( s + p1 )( s + p2 ) ( s + pn ) Us Expansión en fracciones parciales:

Ys c1 c2 cn = b0 + + ++ Us s + p1 s + p2 s + pn 20

Forma Canónica Diagonal

 •  −p 0 0  0 x1  1    x 1 1  •   x2   − p2 0  0   x2  1              +  u   =       x•        •n−1   0  0 − pn   xn  1  x n   0 y = [ c1 c2



 x1  x  cn ]. 2  + b0u      xn 

21

Forma Canónica de Jordan

Considerando la función de transferencia donde el denominador posee raíces múltiples:

Ys b0 s n + b1s n−1 + ... + bn−1s + bn = U s ( s + p1 ) 3 ( s + p4 ) ( s + pn ) Expansión en fracciones parciales:

Ys c1 c2 c3 c4 cn = b0 + + + + ++ 3 2 Us s + pn ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) s + p4 22

Forma Canónica de Jordan

•  0 0  x1  − p1 1 •    0 −p 1 0 1  x• 2      0 0 − p1 0 x 3 = •   0 0 − p4    0  x4         0 0 0 •   0  xn 

y = [ c1 c2



  x1  0   x  0   2      x3  1    +  u  0   x4  1            − pn   xn  1   

0 0 0

 x1  x  cn ]. 2  + b0u      xn 

23

Ejercicio

Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, observable y diagonal del siguiente sistema: Y ( s) s+3 = 2 U ( s ) s + 3s + 2

Forma Canónica controlable

 x1   0 1   x1   0  x  =  − 2 − 3  x  +  1 u  2    2   x1  y = [3 1]    x2 

Forma Canónica observable

Forma Canónica diagonal

 x1   0 − 2  x1   3  x  =  1 − 3  x  + 1 u  2    2   x1  y = [0 1]    x2 

 x1   − 1 0   x1  1  x  =  0 − 2  x  + 1 u  2    2   x1  y = [2 − 1]    x2  24

Valores característicos de una matriz A de nxn.

Los “valores característicos” o “raíces características” son las raíces de la ecuación característica: λI − A = 0 Por ejemplo considere: 0 1 0 A= 0 0 1    − 6 − 11 − 6

25

Valores característicos de una matriz A de nxn. Ejemplo (cont.)

La ecuación característica es:

0  λ − 1 λI − A =  0 λ − 1   6 11 λ + 6 λI − A = λ3 + 6λ2 + 11λ + 6

λI − A = ( λ + 1)( λ + 2)( λ + 3) = 0 Los valores característicos de A son las raíces de la ecuación característica: -1, -2 y -3.

26

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos

Dada la matriz A:

 0  0  A=    0 − an

0

0

1





0

0

− an−1 − an−2

La transformación x=Pz, donde

Donde λ son los “n” valores característicos distintos de A

1

0   0      1   − a1  

1  1 λ λ2  1 P =  λ12 λ22     λ1n−1 λn2−1

1  λn  λ2n     λnn−1    

27

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (cont.)

…transformará

P −1AP en la matriz diagonal: λ1  λ2 −1  P AP =    0

0     λn 

Observación: Si la matriz A contiene valores característicos múltiples, la diagonalización es imposible 28

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (Ejecicio)

Considere la siguiente representación en el espacio de estados de un sistema: 1 0   x1  0  x1   0 x  =  0 0 1   x2  + 0u  2         x 3  − 6 − 11 − 6  x3  6  x1  y = [1 0 0]  x2     x3 

Hallar los valores característicos de la matriz A y luego obtener otra representación del mismo sistema mediante la transformación x=Pz . 29

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (Ejecicio)

Respuesta: λ1 = −1 λ2 = −2 λ3 = −3 0   z1   3   z1  − 1 0  z  =  0 − 2 0   z  + − 6u  2    2     z 3   0 0 − 3  z3   3   z1  y = [1 1 1]  z2     z3  30

Solución de la ecuación de estado lineal e invariante con el tiempo

Caso homogéneo.

x = Ax

x = vector de dimensión n A = matriz de coef. Constantes de nxn

Por analogía del caso escalar, la solución x(t) se halla como:

1 1 x(t ) = ( I + At + A t +  + A t + ) x(0) 2! k! 2

x(t ) = e At x(0)

2

k

k

At At e =∑ k! ∞

k =0

k

k

(Matriz exponencial) 31

Algunas propiedades de la matriz exponencial

Converge absolutamente para todos los t finitos.

d At e = Ae At = e At A dt

e

A(t + s )

= e At e As

A(t − t ) At − At − At At e e =e e =e =I e

( A + B )t

= e At e Bt

Si AB=BA 32

Solución de la ecuación de estado lineal e invariante con el tiempo

Caso NO homogéneo.

x = Ax + Bu

x = vector de dimensión n A = matriz de coef. Constantes de nxn u = vector de dimensión r B = matriz de coef. Constantes de nxr

Por analogía del caso escalar, la solución x(t) se halla como: t A(t −τ ) At x(t ) = e x(0) + ∫ e B.u (τ ).dτ 0

k k A t e At = ∑ k = 0 k! ∞

(Matriz exponencial 33

MATRIZ DE TRANSICION DE ESTADOS.

Se define como una matriz que satisface la ecuación de estado lineal homogénea Representa la respuesta libre del sistema. Gobierna la respuesta que es debida a las condiciones iniciales solamente. Depende solamente de la matriz A. Define por completo la transición de estado desde el tiempo inicial t=0 a cualquier tiempo t cuando las entradas son cero.

[

Φ (t ) = L−1 ( sI − A)

−1

]=e

At

34

Algunos resultados útiles en el análisis matricial.

Teorema de Cayley-Hamilton: plantea que la matriz A satisface su propia ecuación característica. Es muy útil para comprobar teoremas que involucran ecuaciones matriciales o para resolver problemas que involucran ecuaciones matriciales. Considere la matriz A de nxn y su ecuación característica:

λI − A = λn + a1λn−1 + ... + an−1λ + an = 0 n

A + a1 A

n −1

+ ... + an−1 A + an I = 0 35

Algunos resultados útiles en el análisis matricial.

POLINOMIO MINIMO De acuerdo al Teorema de Cayley-Hamilton toda matriz A satisface su propia ecuación característica, sin embargo la ecuación característica no necesariamente es la ecuación escalar de grado mínimo que A satisface. El polinomio de grado mínimo que tiene a A como raíz se denomina polinomio mínimo

36

Algunos resultados útiles en el análisis matricial.

POLINOMIO MINIMO

φ ( λ ) = λm + a1λm−1 + ... + am−1λ + am

m≤n

Tal que : φ ( A) = 0

φ ( A) = Am + a1 Am−1 + ... + am−1 A + am I = 0

λI − A El polinomio mínimo se determina mediante: φ ( λ ) = d(λ) Donde d ( λ ) es el máximo común divisor de todos los elementos de: adj (λI − A)

37

Matriz exponencial

e At

At e Calculo de :

e

At

−1

=L

[( sI − A) ] −1

At e Ejercicio: Considere la matriz A, calcule

R:

1 s ( sI − A) −1 =  0 

0 1  A=  0 − 2   1  s ( s + 2)    1  ( s + 2) 

[

e At = L−1 ( sI − A)

−1

]

 1 =  0 

(

)

1  1 − e − 2t  2   − 2t e   38

MATRIZ DE TRANSICION DE ESTADOS.

Ejercicio: Obtenga la matriz de transición de estados Φ (t ) del sistema siguiente: x x

[

1  1   1   0  x  = − 2 − 3  x   2   2  

Φ (t ) = e At = L−1 ( sI − A) s+3   ( s + 1)( s + 2 ) −1 ( sI − A) =  − 2   ( s + 1)( s + 2 )

−1

 2e −t − e −2t At Φ (t ) = e =  −t −2t − 2 e + e 

]

1  ( s + 1)( s + 2)  s  ( s + 1)( s + 2)  e −t − e −2t  −t −2t  − e + 2e 

39

Controlabilidad y Observabilidad

Gobiernan la existencia de una solución de un problema de control óptimo. (Criterios para determinar desde el inicio si la solución de diseño existe o no según los parámetros y objetivos del diseño) Es la diferencia básica entre la teoría de control óptimo y la teoría clásica de control. En esta última, las técnicas de diseño son dominadas por métodos de prueba y error, donde el diseñador desconoce en el inicio si existe solución.

40

Controlabilidad •Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito. •Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t). •Si una de las variables de estado es independiente del control u(t), no habría forma de dirigir esta variable al estado deseado por medio de un esfuerzo del control, por lo tanto, es un estado no controlable y el sistema es no controlable.

41

Controlabilidad

El concepto anterior se refiere a los estados y se conoce como controlabilidad del estado. También puede definirse para las salidas del sistema y se habla de controlabilidad de la salida.

42

Controlabilidad

Teorema: Para que el sistema descripto por: x = Ax + Bu sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de controlabilidad de “n x nr” tenga rango “n”:

[

S= B

AB

A2 B  An−1B

]

Obs: El rango de una matriz A es el número máximo de columnas linealmente independientes de A; o es el orden de la matriz no singular más grande contenida en A. 43

Controlabilidad Ejemplo 1. Considere el sistema siguiente:

 x1  1 1  x1  1  x  = 0 1  x  + 0u  2     2  Dado que

1 1 [ B  AB] =   = singular 0 0  El sistema NO es de un estado completamente controlable 44

Controlabilidad Ejemplo 2. Considere el sistema siguiente:

 x1  1 1   x1  1  x  = 2 − 1  x  + 0u  2     2  Para este caso

0 1  [ B  AB ] =  = no singular  1 2 El sistema es de un estado completamente controlable 45

Controlabilidad de la salida

Un sistema es de salida completamente controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u(t) que transfiera cualquier salida inicial y(to) a cualquier salida final y(t1) en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1 Un sistema es de salida completamente controlable si y solo si la matriz de m x (n+1)r:

[C B

CAB CA2 B  CAn−1B

D

]

es de rango m. 46

Observabilidad

Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado x(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito. Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable y el sistema no es observable. 47

Observabilidad

Teorema: Para que el sistema descripto por la ecuaciones: x = Ax + Bu y = Cx + Du sea completamente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de observabilidad de “n x np” tenga rango “n”  C   CA    2 V =  CA       n −1 CA 

48

Observabilidad Ejercicio 1. Considere el sistema siguiente:  x1  − 1 − 2 − 2  x1  2  x  =  0 − 1 1   x  + 0 u  2    2     x 3   1 0 − 1   x3  1   x1  y = [1 1 0]  x2     x3 

¿Es el sistema de estado completamente controlable y completamente observable?

49

FIN

50