Enteros 1-6

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Matemática Sexto grado

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Ficha n° 01 II trimestre

Números Enteros I 1. Introducción En la antigüedad, ni los calculadores babilónicos o egipcios ni los pensadores griegos y, tras ellos, ni los matemáticos árabes dispusieron de la noción general de los números negativos. Los primeros que utilizaron cantidades negativas fueron los matemáticos indios; los empleaban por necesidades contables. Al contrario de los bienes, representados por números positivos, las deudas se inscribían con cantidades negativas.

2. Aplicación de los números enteros Cuando el minuendo es menor que el sustraendo, la operación no es posible en el conjunto de los IN, sin embargo en la vida diaria so mucho los problemas que nos conducen a esta operaciones. Ejemplo: • 900 años antes de Cristo. • 650 metros de profundidad bajo el nivel del mar. • En la ciudad del Cuzco la temperatura por las noches marca 10 grados bajo cero.

3. Conjunto de Números Enteros

El conjunto de números enteros esta representado por los números positivos el cero y los números negativos : Sea: Números enteros positivos: Z+ = {+1; +2; +3; +4; +5;…} Números enteros negativos: Z- = {+1; +2; +3; +4; +5; …}

4. Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número es un número que mide la distancia de ese número al cero. Como valor absoluto representa una distancia, nunca puede ser negativo. Ejemplo: • |+6| = 6 • | 0| = 0 • | -2 | = 2 • | -8 | = 8

5. Opuesto de un número entero

El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero signo contrario. Ejemplo: • Op ( 3) = - 3 • Op (16) = - 16 • Op (-12) = 12 • Op (+36) = -36

6. Comparación de números enteros

El mayor de dos números enteros es el que está más a la derecha en la recta numérica. Entre dos números enteros negativos el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.

Es así como: • •

10 < -8 12 > -13

• •

-7 > -18 20 < 21

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Ficha n° 03 II trimestre

EJERCITÁNDONOS I.

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios sobre valor absoluto: 1. |-156| + 25 + | -89 |

6. | -214 | +| -285 | + |+124|+| -511 |

2. |+37| + 105 + | -154 |

7. |+777| + | -871 | + | -455 |+| -554 |

3. |+112| + 124 + | -15 |

8. |+115| + | 225 | + | -58 | +| -18 |

4. |-25| + | -212 | + |+26|

9. |141| + | -157 | - |+1618| +| -121 |

5. |165| + | -515 | + |258| + | -878 |

10. | -157 | +| -587 | - |+787| +| -89 |

II.

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios sobre opuesto de un número: 1. Op(145)

7. Op(69)

2. Op(-198)

8. Op(97)

3. Op(153)

9. Op(+105)

4. Op(-256)

10. Op(-189) + Op(-25)

5. Op(-789)

11. Op(-657) + Op (79)

6. Op(-123)

12. Op(-867) + Op (66)

III.

IV.

Coloca el signo <; > según corresponda 15 19

544

-157

-110

-15

189

-256

25

-46

– 156

+256

– 152

164

+266

-266

– 235

-144

0

-25

25

-154

16

- 168

26

-14

- 158

897

Identifica los elementos de los siguientes conjuntos:

•

P = {x/x Є Z  - 5 < x ≤ 4 }

•

Q = {x/x Є Z +  x < 12 }

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Matemática Sexto grado

•

R = {x/x Є Z -  - 12 < x < 12 }



S = {x/x Є Z -  - 9 < x < 15 }



U = {x/x Є Z -  x > - 8 } REFORZANDO LO APRENDIDO EN CASA

Desarrolla los siguientes ejercicios en tu cuaderno de práctica:

I.

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios sobre valor absoluto:

a. b. c. d. e. f.

| -72 | + |+28| +| -5 | |-18| + | -79 | + |+89| | -97 | + |+236| - | -111 | |+387| - | -110 | + |+154| | -356 | + |+987| - | -265| + | -968 | |235| + | -666 | + |69| + | -778 |

II.

2. 3. 4. 5. 6.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

| -225 | + | -125 | - |+104| + | -369 | | -125 | + | -258 | |+999| + | -511 | | -258 | +| -631 | + |+110| + | -115 | | -779 | + | -587 | - |+185| + | 995 | | -588 | - | -218 | - |114| +| -1507 | | -254| + | -968 | + |2315| + | -6616 |

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios sobre opuesto de un número:

1.

III.

g. h. i. j. k. l.

7. 8. 9. 10. 11. 12.

Op(123) + Op(-126) Op(+11) + Op(-144) Op(-124) + Op(162) Op(-125) + Op(231) Op(-256) + Op(38) Op(+1125) + Op(-29)

Op(-2365) + Op(1254) Op(-698) + Op(298) Op(-123) + Op(125) Op(-2365) + Op(1250) Op(-125) + Op(256) Op(+268) + Op(-254)

Coloca el signo <; > según corresponda: 215 … 225 -189 … -15 -65 … -46 – 56 … -46 – 2544 … -144 -154 … -153 0 ... -189 -126 … -1369 -135 … -256 – 136 … +365

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

+365 … -365 0…. -69 -256 … 0 - 156 … -256 -2126 … -3369 -298 … -256 – 256 … +589 +3265 … -3365 -36…. 0 -987 … 1256

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Ficha n° 04 II trimestre

Números Enteros II 1. ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos. Luego, se coloca el mismo signo de los sumandos. Ejemplos: • •

(+8) + (+7) = + 15 (-7) + (-9) = - 14

• •

(12) + (15) = 27 ( -12) + ( -32) = -33

Para sumar dos números enteros de signos distintos, se restan sus valores absolutos. Luego, se coloca el signo del sumando con mayor valor absoluto. Ejemplos: • •

2.

(+8) + (-7) = +1 (7) + (-9) = - 2

• •

(35) + (-15) = 20 ( -52) + (32) = -20

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS:

PROPIEDAD Propiedad de Clausura

La suma de dos números enteros es otro número entero

Propiedad Conmutativa

El orden de los sumandos no altera la suma

Propiedad Asociativa

La forma como se agrupen los sumandos no altera la suma

Propiedad Neutro

del

el

Elemento

Propiedad del Inverso Aditivo o Elemento Opuesto

Propiedad Cancelativa

En el conjunto Z el elemento neutro es el cero (0), que sumado con cualquier número entero, resulta el mismo número Todo número entero tiene un opuesto que sumado con dicho número resulta cero. Todo sumando que aparece en ambos miembros de una igualdad puede ser cancelado

EJEMPLO

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Matemática Sexto grado conservándose la igualdad

3. SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Luego reglas de suma de dos números enteros.

aplicamos las

Ejemplo:

• •

+8 – (-3) = +8 + (+3) = +11, donde +3 es el Op(-3). -5 – (- 6) = -5 + (+6) = +1; donde +6 es el opuesto de -6.

4. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La adición y sustracción en Z pueden ser consideradas como una única operación llamada suma algebraica. Para realizar correctamente una suma algebraica debemos conocer las siguientes reglas prácticas: •

Todo paréntesis precedido por un signo + puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su interior, cada cual con su propio signo. Ejemplos: a. 2 + (+8) = 2 + 8 = 10

•

b.

13 + (-3) = 13 – 3 = 10

c.

7 + ( -8 -2 + 10) = 7 -8 -2 + 10 = 7

d.

14 + (8-3) + (-5+1) = 14 + 8 -3 -5 + 1 = 15

Todo paréntesis precedido por un signo – puede ser eliminado, escribiendo luego los números contenidos en su interior cada cual con signo cambiado.

Ejemplos: a.

6 – (30) = 6 -30 = 24

b. 18 – ( -3 -8 + 13) = 18 +3 +8 – 13 = 16

c.





 13     23  12   18  27

  13   23  12  18  27   13  23  12  18  27 13  23  12  18  27 = 21

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Ficha n° 05 II trimestre

EJERCITÁNDONOS I.

Resolver los siguientes ejercicios sobre adición de números enteros: 1.

(+18) + (-7) =

6.

(256) + (-214) =

2.

(-26) + (-25) =

7.

(+236) + (-7) =

3.

(+225) + (-36) =

8.

(-36) + (-35) =

4.

(59) + (-28) =

9.

(+18) + (-7) =

5.

(386) + (-213) =

10. (368) + (-365) =

II.

Resolver los siguientes ejercicios sobre sustracción de números enteros: 1.

(+56) - (-56) =

6.

(-397) - (-254) =

2.

(36) - (-75) =

7.

(-24) - (544) =

3.

(+126) - (-123) =

8.

(-36) - (-35) =

4.

(-69) - (-36) =

9.

(966) - (-127) =

5.

(-810) - (-320) =

10. (918) - (-344) =

III.

Resolver las siguientes sumas algebraicas:

1.

4 + (-7) – (-13) + (-9)

6.

-68 – (-4) + (-73) – 52 + 106

2.

-13 – (-14) + 27 -18 + (-38)

7.

75 – 49 – 32 + 92 – (-18) + (-20)

3.

53 – 28 +39 -47 +18

8.

105 + 25 – (-78) + (-55)

4.

-25 +15 +(-11) + 22

9.

19 + 28 –(-15) + (18) – (17)

5.

20 + ( --23) + 18 – (-27)

10. 25 + ( 30) – (-23) + (-154)

IV.

Resuelve suprimiendo paréntesis, corchetes y llaves: 1. 2.

(7 -3+5-1) + (-11+4-1) – (-5-3+2) (-12 + 8 -2) + (6 -7 -9) – (-4 + 5 + 9)

4.

 (6  10)  (2  5)    7  3  5   8  11 

3.   15   25  12  18  27

“SAN FRANCISCO DE BORJA” EDUCANDO EN VALORES 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Matemática Sexto grado

 14  (12  5  6)   15   4  3  16   4  5  7   (9  6  1)   16  (4  7  3)  23     19  14   27   6     3  4  8  6  92   37  53  28  83  (3  9  4) 11    7  3  (8  5)   (3  2)  11  6  (4  3)   4   4  3   6  8   2  10

REFORZANDO LO APRENDIDO EN CASA

I.

Resolver los siguientes ejercicios sobre adición de números enteros: 1. 2. 3. 4. 5.

(125) + (-362) = (-290) + (-215) = (+135) + (-306) = (169) + (-23) = (201) + (-351) =

II.

6. 7. 8. 9. 10.

(230) + (-129) = (+978) + (-213) = (-2001) + (2007) = (+118) + (-717) = (358) + (-305) =

Resolver los siguientes ejercicios sobre sustracción de números enteros: 1. 2. 3. 4. 5.

III. 1. 2. 3. 4. 5.

IV.

(78) - (-78) = (56) - (-44) = (101) - (99) = (156) - (154) = (512) - (-320) =

6. 7. 8. 9. 10.

(-1020) - (254) = (-214) - (944) = (-263) - (-315) = (166) - (-127) = (-125) - (-631) =

6. 7. 8. 9. 10.

-102 + (-4) - (-73) + 52 - 106 59 + 46 - 37 + 92 - (+19) + (-26) 126 + 36 – (-69) + (-58) 39 - 26 –(-29) + (29) – (23) 65 - ( 56) – (-26) + (-159)

Resolver las siguientes sumas algebraicas: -7 + (-12) – (-16) + (-10) -25 – (-15) + 18 -28 + (-56) 29 – 39 +56 -46 +15 -26 +16 +(-13) + 23 26 + ( -29) + 19 – (-29)

Resuelve suprimiendo paréntesis, corchetes y llaves: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

(8 -7 + 12-3) + (-15 + 8 -3) – (-8-5 + 3) (-15 + 11 -2) - (12 -15 -13) – (-5 + 9 + 12)

  16   29  32  15  6

 (16  9)  (2  7)    9  3  5   8  16    12  19  (19  7  9)   19   15  19   19   8  3  9   (10  9  4)   19  (7  9  10)  56     23  32   22   8     13  12  8  10

“SAN FRANCISCO DE BORJA” EDUCANDO EN VALORES 8. 9.

Matemática Sexto grado

 102   59  63  15  28  63  (13  9  64) 19    9  5  (10  12)  (9  5)  19  8  (7  9)





10.  25   9  8   16  16   8  12  18

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Ficha n° 06 II trimestre

Números Enteros III 1. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos. Luego al producto se le añade el signo más (+) si ambos números son de igual signo y el signo menos si son de signos diferentes. Ejemplos: (-7) . (-9) = 63 (+ 2) . ( +15) = +30

• •

• •

(18) . (3) = 54 ( 10) . ( -5) = -50

2. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS

Propiedad Propiedad de Clausura

ejemplo

El producto de dos números enteros es otro número enteros

Propiedad Conmutativa El orden de los factores no altera el producto Propiedad Asociativa

Propiedad Neutro

del

el

La forma como se agrupen los factores no altera el producto

Elemento

Propiedad Distributiva

En el conjunto Z el elemento neutro es el uno (1), que multiplicado con cualquier número entero, resulta el mismo número Sea a, b y c son números enteros cualesquiera, entonces:

a.(b  c)  a.b  a.c

Propiedad multiplicativa del cero Todo número multiplicado cero resulta cero.

3. División de números enteros

por

“SAN FRANCISCO DE BORJA” EDUCANDO EN VALORES

Matemática Sexto grado

Para dividir dos números enteros, se dividen sus valores absolutos. Luego, al cociente se le añade el signo más (+) si ambos números son de igual signo y el signo menos (-) si son de diferentes signos. Ejemplos: (-90) : ( -9) = +10 (-36) : (+4) = -9

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Ficha n° 07 II trimestre

EJERCITÁNDONOS I.

II. 1.

Resolver los siguientes ejercicios sobre multiplicación de números enteros: 1.

(25) . (-3) =

9.

(+200) . (-700) =

2.

(-29). (-25) =

10. (-300) . (-200) =

3.

(35) . (-30) =

11. (-100) . (-300) =

4.

(9) . (-23) =

12. (-600) . (-102) =

5.

(20) . (-31) =

13. (-123) . (-220) =

6.

(-23) . (-19) =

14. (107) . (-600) =

7.

(-25) . (-21) =

15. (-101) . (-201) =

8.

(-2005) . (2007) =

16. (-107) . (-109) =

Resolver los siguientes ejercicios e identifica que propiedad se esta utilizando: (-3) . (-6) = (-6) . (-3) : __________________________________________

2. 5.   3   8    5.( 3)  5.8 : ____________________________________ 3.   4   (7)  .1   (4)  (7)  : ___________________________________ 4. (11).(9)  99 : ______________________________________________ 5. III.

 (7)  (4) (9.0)  0 : ___________________________________________ Resolver los siguientes ejercicios sobre división de números enteros: 1.

(25) : (-5) =

6.

(-123) : (-3) =

2.

(-69) : (-13) =

7.

(121) : (-11) =

3.

(100) : (-10) =

8.

(256) : (-2) =

4.

(999) : (-9) =

9.

(236) : (-2) =

5.

(-75) : (-25) =

10. (-245) : (-5) = REFORZANDO LO APRENDIDO EN CASA

I.

Resolver los siguientes ejercicios sobre multiplicación de números enteros:

“SAN FRANCISCO DE BORJA” EDUCANDO EN VALORES

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Matemática Sexto grado

(75) . (-32) = (-29). (-27) = (31) . (-30) = (29) . (-23) = (22) . (-32) = (-22) . (-89) =

7. 8. 9. 10. 11. 12.

(-20) . (-20) = (-250) . (200) = (+150) . (-150) = (-300) . (-300) = (-700) . (-301) = (-252) . (-32) =

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Ficha n° 08 II trimestre

Potenciación de Números Enteros 1. POTENCIAS NOTABLES

•

Potencias de cero: todas las potencias de cero son iguales a cero. 02 = 03 = 0n = 0; Siendo: n ≠0.

•

Potencias de Uno: Todas las potencias de 1 son iguales a 1. 12 = 13 = 1n = 1

•

Potencias de exponente Uno: Ya que el exponente es igual al número de factores del producto, a1 no tiene sentido, según la definición, porque un producto tiene por lo menos dos factores. Lo mismo sucede para a0. Para evitar este inconveniente se hace por definición: a1 = a 1 1 Así: 0 = 0; 1 = 1; 21 = 2; (-4)1 = -4

•

Potencias de Diez: Se cumple: 10n = 1 seguido de “n” ceros 101 = 10;

102 = 100 = 10x10;

103 = 1 000 = 10x10x10

2. POTENCIAS DE NÚMEROS NEGATIVOS •

Toda potencia de exponente impar de un número negativo es un número negativo. Ejemplo:

•

(-4)3 = (-4) (-4) (-4) = -64

Toda potencia de exponente par de un número negativo es un número positivo. Ejemplo: (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16

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Matemática Sexto grado

3. PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores. Ejemplos:

• •

25 x 23 = 25+3 = 28 = 256 (-3)2 (-3)3 = (-3)5 = -243

4. COCIENTE DE DOS POTENCIAS DE LA MISMA BASE El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. Ejemplos:

•

•

•

(2)5 ( 2)(2)(2)(2)(2)   ( 2)(2)(2)  (2)3 2 (2) (2)(2) 3 (4) (4)(4)(4)  1 3 (4) (4)(4)(4) (3) 2 (3)( 3) 1 1 1     4 2 (3) (3)(3)( 3)(3) (3)(3) (3) 9

5. POTENCIA DE UNA POTENCIA DE UN NÚMERO ENTERO La potencia de un producto es otra potencia del mismo número cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ejemplo: • •

  4  2 

4

 (4) 24  (4)8   (25 ) 2  252  210

6. POTENCIA DE UN PRODUCTO Para elevar un producto indicado a una potencia, se eleva cada factor del producto a dicha potencia. Ejemplo:

Q    2   5

   2   5    2   5    2   5 Q   (2)(2)(2)    5  5  5 3

Q   2    5  3

3

7. POTENCIA DE UN COCIENTE Para elevar un cociente a un apotencia se elevan los dos términos del cociente de dicha potencia. Ejemplo: 3

6 6 6 63  6        2 2 2 (2)3  2 

“SAN FRANCISCO DE BORJA” EDUCANDO EN VALORES

Matemática Sexto grado

APLICO LO APRENDIDO Nombres y Apellidos:……………………………………………………………………………… Profesores: Keymar Pérez Campos - Carlos Joya Rodríguez

Ficha n° 09 II trimestre

EJERCITÁNDONOS 1. Escribe lo que representa las potencias siguientes:

a. b. c. d. e.

64 25 (-3)

3

(-4)4 (-5)

4

f. g. h. i. j.

(-2)8

e. f. g. h. i.

(-5) x (-5) x (-5) x (-5) 15 x 15 x 15 x 15 m.m.m.m.m.m.m 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

(25)2 (-4)3 (12)2 (-10)3

2. Transforma a potencias los siguientes productos:

a. b.

32 x 3 3 2

3

c.

4 x4 a.a.a.a.a

d.

n2 x n2 x n2

3. Aplica las propiedades de la potenciación y calcula el resultado de las siguientes potencias:

a.

(-5)3 x (-5)2

b.

(-3 x 6)2

c.

x2 . x2 . x2

d.

155 153

e.

73 7

f.

 (3)5 

6

g.

64.75.59 63.7 4.57

h.

(-3) x (-3) x (-3) x (-3)

i.

(3 x 6)2

j.

b5 . b5 . b5 . b5 . b5

k.

173 175

l.

2312 2310

“SAN FRANCISCO DE BORJA” EDUCANDO EN VALORES m.

 (5) 2 

Matemática Sexto grado

2

n.

29.2311.179 27.2310.179

REFORZANDO LO APRENDIDO EN CASA

1. Escribe lo que representa las potencias siguientes:

a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

105 22 (-7)2 (-11)3 (-4)4 (-2)10 (21)2 (-9)3 (100)2 (-100)

2. Transforma a potencias los siguientes productos:

a. b. c. d.

7 x 711 x 77 2

7

5 x5 x5

5

an . a n . a n . a n . a n n2 x n2 x n2 x n2 x n2

e. f.

(-9) x (-9) x (-9) x (-9) 21 x 21 x 21 x 21 x 21

g.

mx . mx . mx 3.3.3.3.3.3.3.3

h.

3. Aplica las propiedades de la potenciación y calcula el resultado de las siguientes potencias:



(-7)3 x (-7)5 x (-7)



(-6 x 3)3



x2 . x2 . x2. x2 . x2

•

2313 237

•

93 33

•

 (2) 4 

•

34.719.511 33.7 7.57

3

“SAN FRANCISCO DE BORJA” EDUCANDO EN VALORES •

(-7) x (-7) x (-7) x (-7) (-7)

•

(5 x 2)2

•

b3 . b2 . b4 . b2 . b3

•

713 715

•

2714 2713

•

33.1011.49 32.109.49

Matemática Sexto grado