Elemento Finito Proyecto.pdf

CARLOS ALBERTO MARTÍNEZ GONZÁLEZ ANDRÉS MARTÍNEZ LÓPEZ CARLOS MATEO SANTIAGO SÁNCHEZ

RESUMEN • Se realiza el análisis de una placa en 2-D por medio del método de elemento finito, primero se realiza el mallado de una placa en 2-D, la cual es generada por cuatros nodos introducidos por el usuario, posteriormente se calcula el elemento maestro para posteriormente realizar el ensamble y resolver el sistema de ecuaciones y por ultimo graficar los resultados; todo el proceso es realizado en Python

INTRODUCCIÓN • El método de elementos finitos es una técnica numérica para obtener una respuesta aproximada al problema representando al objeto mediante un conjunto de formas simples “los elementos finitos”. Cada uno de estos elementos tiene determinadas propiedades de material y está conectado a los elementos adyacentes en nodos: puntos especiales en los bordes del elemento. Este conjunto de elementos conectados en sus nodos es llamado malla.

Análisis térmico por técnica de elemento finito • Esta disciplina se enfoca en el comportamiento de la energía térmica en un sistema, especialmente en lo que se mueve debido a las diferencias espaciales de temperatura.

MÉTODO • GENERACIÓN DEL MALLADO • SOLUCIÓN • ENSAMBLE • GRAFICACIÓN

GENERACIÓN DEL MALLADO • CONCEPTUAL: • Se le pide al usuario que ingrese las cuatro esquinas de la placa que se requiere analizar • Primero genera dos diagonales entre los vértices de la placa, generando cuatro triángulos principales. • calcula el ortocentro de cada uno de estos triángulos y este es unido a los tres vértices de dicho triángulo • genera tres nuevos triángulos y se repite el proceso del punto anterior

GENERACIÓN DEL MALLADO CONCEPTUALIZACIÓN

• Este proceso se repite hasta que los elementos triangulares del mallado alcancen el área mínima requerida y previamente introducida por el usuario.

CÓDIGO DEL MALLADO

Solución • EL DESARROLLO DE MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS DE VALOR PROPIO Y PROBLEMAS DEPENDIENTES DEL TIEMPO IMPLICA, DOS ETAPAS PRINCIPALES: • EL PRIMERO, LLAMADO SEMIDISCRETIZACIÓN, ESTE CONSISTE EN DESARROLLAR LA FORMA DÉBIL DE LAS ECUACIONES SOBRE UN ELEMENTO Y PARA BUSCAR APROXIMACIONES ESPACIALES DE LA VARIABLES DEPENDIENTES DEL PROBLEMA • LA PARTE TEMPORAL SE REALIZARÁ MEDIANTE UN MÉTODO DE APROXIMACIÓN QUE UTILIZA LA FAMILIA DE APROXIMACIONES ⍺

SEMIDISCRETIZACIÓN 0 ' 𝑀%&

0=# 123

𝑑𝑢%' + 𝐾%&' 𝑢&' − 𝑓%' − 𝑄%' 𝑑𝑡

𝑀' 𝑢̇ ' + 𝐾 ' 𝑢' = 𝑓 ' + 𝑄' ' 𝑀%& = 5 𝑐Ψ% Ψ& 𝑑𝑥 𝑑𝑦 :;

' 𝑀%& = ∫:; 𝑎33

>?@ >?B >A >A

+ 𝑎CC

𝑓%' = 5 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑡 Ψ% 𝑑𝑥 𝑑𝑦 :;

>?@ >?B >D >D

+ 𝑎E Ψ% Ψ& 𝑑𝑥 𝑑𝑦

ANALISIS DE EIGENVALORES • ENCONTRANDO UNA SOLUCIÓN QUE DEPENDA DEL TIEMPO Y QUE TAMBIÉN CUMPLA CON LAS CONDICIONES INICIALES DE FRONTERA SE LLEGA A:

(−𝜆 𝑀' + 𝐾 ' ) 𝑢' = 𝑄'

ANALISIS TRANSITORIO • LA PARTE TEMPORAL SE REALIZARÁ MEDIANTE UN MÉTODO DE APROXIMACIÓN QUE UTILIZA LA FAMILIA DE APROXIMACIONES ⍺

• LA FAMILIA DE APROXIMACIONES ⍺ SON METOS DE DIFERENCIAS FINITAS Y SON ITERATIVOS

FAMILIA DE APROXIMACIONES ⍺ • ⍺=

0 3 . 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑎𝑛𝑘 − 𝑁𝑖𝑐𝑜𝑙𝑠𝑜𝑛 C

3 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑙𝑒𝑟𝑘𝑖𝑛 W

1

Para encontrar la estabilidad se llega a la condición: ∆𝑡 < ∆𝑡'\

2 1 = ,α < 1 − 2𝛼 𝜆_`A 2

Donde λmax es el valor más grande de los eigenvalores de la ecuación

ELEMENTO MAESTRO

ENSAMBLE • LA LÓGICA DEL ENSAMBLE FUE LA SIGUIENTE:

CÓDIGO DEL ENSAMBLE

SOLUCIÓN • EL SISTEMA A SOLUCIONAR DEPENDE DEL NUMERO DE ELEMENTOS Y DE EL TIEMPO DE TRANSICIÓN QUE REQUIERA EL PROCESO.

• EL SISTEMA SE RESUELVE FÁCILMENTE CON LOS COMANDOS DE PYTHON YA QUE TRABAJA MATRICIALMENTE.

GRAFICACIÓN • EVALUA Y LOS RESULTADOS EN CADA ELEMENTO

COMPARACIÓN CON ANSYS

CONCLUSIONES • A PESAR DE HACER BUENAS APROXIMACIONES, TENEMOS LIMITACIONES EN LAS SOLUCIONES EN LAS FRONTERAS; ESTO DEBIDO A QUE EL MALLADO POR MAS FINO QUE SEA SE LE COMPLICA TOCAR DICHAS FRONTERAS DEBIDO A LA LÓGICA QUE SE OCUPÓ PARA GENERAR LA MALLA.