Anexo Proyecto Ef.docx

Transferencia de calor en una placa 2-d Elemento triangular En el tratamiento de problemas de dos dimensiones se realiza un brinco importante al analizar físicamente y matemáticamente el método de elemento finito. Se construyen las funciones de forma más simples para un elemento de 3 nodos en dos dimensiones. (0,0)

𝜂ሺ𝜉) = 1 − 𝜉 𝜂=1

𝜉=1 𝜉

𝜂 𝜂

y

𝜉

x

Se cumplirá (x,y)

(𝜂, 𝜉)

(𝑥1 , 𝑦1)

(0,1)

(𝑥1 , 𝑦1)

(1,0)

(𝑥1 , 𝑦1)

(0,0)

Mientras que el desarrollo para la solución es la siguiente:

3

𝜓 = ∑ 𝑈𝑖 𝑁𝑖 = 𝑈1 𝑁1 +𝑈2 𝑁2 +𝑈3 𝑁3 𝑖=1

𝑈1 𝜓 = [𝑁1 , 𝑁2 , 𝑁3 ] {𝑈2 } 𝑈3 Se proponen las funciones de forma como: 𝑁𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 𝜂 + 𝑐𝑖 𝜉 𝑁1 ሺ0,0) = 0 𝑁1 ሺ1,0) = 0 𝑁1 ሺ0,1) = 1 𝜓 = 𝑁2 ሺ0,0) = 0 𝑁2 ሺ1,0) = 1 𝑁2 ሺ0,1) = 0 𝑁3 ሺ0,0) = 1 𝑁3 ሺ1,0) = 0 𝑁3 ሺ0,1) = 0 Calculando 𝑁1 , 𝑁2 , 𝑁3 𝑁1 ሺ0,0) = 0 = 𝑎1

𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑𝑠

𝑁1 ሺ1,0) = 𝑏1 + 𝑐1 → 𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑𝑠

𝑁1 ሺ0,1) = 𝑐1 →

𝑏1 = 0

𝑐1 = 1

𝑁2 = 𝜂, 𝑁1 = 𝜉, 𝑁3 = 1 − 𝜂 − 𝜉. Ahora se procede a implementar las funciones anteriores en un problema particular. Sea dicho problema el de una placa sometida a temperaturas de convección. La ecuación a emplear y resolver por el método de elemento finito es: ∇. ሺ𝑘∇𝑇) = 0 En su forma cartesiana y en dos dimensiones esta ecuación se expresa como: 𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 (𝑘 ) + (𝑘 ) = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Aplicando el método de Rayleigh-Ritz mediante ∅ሺ𝑥, 𝑦) … ∬ [∅

𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 (𝑘 ) + ∅ (𝑘 )] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Pero… 𝜕 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 (∅𝑘 ) = (𝑘 ) + ∅ (𝑘 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Despejando: ∅

𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 (𝑘 ) = (∅𝑘 ) − (𝑘 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

Desarrollando para “y” y sustituyendo en la integral anterior se obtiene: ∬[

𝜕 𝜕𝑇 𝜕 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 (∅𝑘 ) + (∅𝑘 ) − (𝑘 ) − (𝑘 )] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ̅𝑇̅) ∇. ሺ∅𝑘∇

Por otro lado, el teorema de la divergencia o el teorema de Stokes establece que… ̅ . ሺ𝑘∅∇ ̅𝑇)𝑑𝐴 = ∫ 𝑘∅∇ ̅𝑇. 𝑛̂𝑑𝑙 ∬∇ 𝑐

Siendo c el contorno de la superficie s de la placa. Entonces:

̅𝑇. 𝑛̂𝑑𝑙 − 𝑘 ∬ [ 𝑘 ∫ ∅∇ 𝑐

𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 ( )+ ( )] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

̅𝑇 Pero la ley de Fourier dice que: ̅𝑞 = −𝑘∇ Es decir: ̅𝑇. 𝑛̂𝑑𝑙 = − ∫ ∅𝑞̅. 𝑑𝑙 ̅ 𝑘 ∫ ∅∇ 𝑐

En el producto interno, solo la componente tangencial a la superficie S, es la que realiza la transferencia de calor por convección hacia el exterior… 𝑞𝑛 = ℎ∆𝑇 = −ℎሺ𝑇 − 𝑇∞ ) − ∫ ∅𝑞̅ . 𝑑𝑙 ̅ = − ∫ ∅𝑞𝑛 𝑑𝑙 = − ∫ ∅ℎሺ𝑇 − 𝑇∞ )𝑑𝑙

− ∫ ∅ℎሺ𝑇 − 𝑇∞ )𝑑𝑙 − 𝑘 ∬ [ 𝑐

𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 ( )+ ( )] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Se procede a calcular las parciales del sistema anterior; para ello primero se calculan las transformaciones de las parciales de “x” y “y” en el sistema local.

𝑥1 ̅ 𝑥̅ = 𝑁. 𝑥̅𝑖 = [𝜉, 𝜂, 1 − 𝜂 − 𝜉] {𝑥2 } 𝑥3 𝑦1 ̅ . 𝑦̅𝑖 = [𝜉, 𝜂, 1 − 𝜂 − 𝜉] {𝑦2 } 𝑦̅ = 𝑁 𝑦3 Entonces las primeras parciales quedan de la siguiente forma: 𝑥1 ̅ 𝜕𝑥 𝜕𝑁 𝑥 = . 𝑥̅ = [1,0, −1] { 2 } 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝑖 𝑥 3

𝑥1 ̅ 𝜕𝑥 𝜕𝑁 = . 𝑥̅ = [0,1, −1] {𝑥2 } 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝑖 𝑥 3

𝑦1 ̅ 𝜕𝑦 𝜕𝑁 = . 𝑦̅ = [1,0, −1] {𝑦2 } 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝑖 𝑦 3

𝑦1 ̅ 𝜕𝑥 𝜕𝑁 = . 𝑥̅ = [0,1, −1] {𝑦2 } 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝑖 𝑦 3

También 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝑇 = + = + 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑦 ̅ ̅ 𝜕𝑇 𝜕𝑁 𝜕𝑇 𝜕𝑁 𝜕𝑇 = . 𝑥̅𝑖 + . 𝑦̅𝑖 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 = [1,0, −1]. 𝑥̅𝑖 + [1,0, −1]. 𝑦̅𝑖 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝑇 = + 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑦 ̅ ̅ 𝜕𝑇 𝜕𝑁 𝜕𝑇 𝜕𝑁 𝜕𝑇 = . 𝑥̅𝑖 + . 𝑦̅𝑖 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 = [0,1, −1]. 𝑥̅𝑖 + [0,1, −1]. 𝑦̅𝑖 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Compactando las ecuaciones anteriores… 𝜕𝑇 + 𝜕𝑥 𝜕𝑇 [0,1, −1]. 𝑥̅𝑖 + [ 𝜕𝑥 [1,0, −1]. 𝑥̅𝑖

𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝜉 = 𝜕𝑇 𝜕𝑇 [0,1, −1]. 𝑦̅𝑖 𝜕𝑦] [ 𝜕𝜂] [1,0, −1]. 𝑦̅𝑖

Compactando un poco más: 𝜕𝑇 𝜕𝜉 1 =[ 𝜕𝑇 0 [ 𝜕𝜂]

𝑥1 0 −1 𝑥 ][ 2 1 −1 𝑥 3

𝜕𝑇 𝑦1 𝑦2 ] 𝜕𝑥 𝜕𝑇 𝑦3 {𝜕𝑦}

Que también puede ser escrita como: 𝜕𝑇 𝑥1 − 𝑥3 𝜕𝜉 = [𝑥 − 𝑥 𝜕𝑇 2 3 [𝜕𝜂]

𝜕𝑇 𝑦1 − 𝑦3 𝜕𝑥 𝑦2 − 𝑦3 ] 𝜕𝑇 {𝜕𝑦}

Que puede volverse a reescribir como: 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝑥 = 𝐴 𝜕𝑇 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝜕𝑇 = 𝐴−1 𝜕𝑇 𝜕𝑇 {𝜕𝑦} {𝜕𝑦} [ 𝜕𝜂] [ 𝜕𝜂] Sin embargo, en la ecuación (el ultimo integrando) se requieren los productos: 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝑦

𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Entonces: 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝜉 𝜕∅ 𝜕𝜂 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝜕𝑇 𝜕𝜂 =( + )( + ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕𝜉 2 𝜕∅ 𝜕𝜉 𝜕𝑇 𝜕𝜂 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝜕∅ 𝜕𝜂 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕𝜂 2 = ( ) + + + ( ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝜉 𝜕∅ 𝜕𝜂 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝜕𝑇 𝜕𝜂 =( + )( + ) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦

𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕𝜉 2 𝜕∅ 𝜕𝜉 𝜕𝑇 𝜕𝜂 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝜕∅ 𝜕𝜂 𝜕∅ 𝜕𝑇 𝜕𝜂 2 = ( ) + + + ( ) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑦 Por otro lado: 3

𝑇 = ∑ 𝑇𝑖 𝑁𝑖 = 𝑇1 𝑁1 + 𝑇2 𝑁2 + 𝑇3 𝑁3 = 𝑇1 𝜉 + 𝑇2 𝜂 + 𝑇3 ሺ1 − 𝜂 − 𝜉) 𝑖=1

Las derivadas con respecto a las coordenadas locales son: 𝜕𝑇 = 𝑇1 − 𝑇3 𝜕𝜉

𝑦

𝜕𝑇 = 𝑇2 − 𝑇3 𝜕𝜂

El desarrollo del último integrando, desarrollado para cada Ø queda de la siguiente manera: 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 ( )+ ( )] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

0

𝜕𝑁2 𝜕𝑇 𝜕𝑁2 𝜕𝑇 ( )+ ( )] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

0

𝜕𝑁3 𝜕𝑇 𝜕𝑁3 𝜕𝑇 ( )+ ( )] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

0

− ∫ 𝑁1 ℎሺ𝑇 − 𝑇∞ )𝑑𝑙 − 𝑘 ∬ [ 𝑐

− ∫ 𝑁2 ℎሺ𝑇 − 𝑇∞ )𝑑𝑙 − 𝑘 ∬ [ 𝑐

− ∫ 𝑁3 ℎሺ𝑇 − 𝑇∞ )𝑑𝑙 − 𝑘 ∬ [ 𝑐

Debido a las ecuaciones anteriores es importante calcular las siguientes derivadas 𝜕𝜉

𝜕𝜂 𝜕𝜉

𝜕𝜂

parciales : 𝜕𝑥 , 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 , 𝜕𝑦 . Por ello se escriben las coordenadas en términos de las funciones de forma para proceder a derivar. 𝑥 = 𝑁1 𝑥1 + 𝑁2 𝑥2 + 𝑁3 𝑥3 𝑥 = 𝜉𝑥1 + 𝜂𝑥2 + ሺ1 − 𝜂 − 𝜉)𝑥3 𝑥 = 𝜉ሺ𝑥1 − 𝑥3 ) + 𝜂ሺ𝑥2 − 𝑥3 ) + 𝑥3 De manera similar para “y” se obtiene: 𝑦 = 𝜉ሺ𝑦1 − 𝑦3 ) + 𝜂ሺ𝑦2 − 𝑦3 ) + 𝑦3 En lo sucesivo se empleará la rotación:

𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ≡ 𝑥𝑖𝑗 Entonces: 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 = 𝑥13 ; = 𝑥23 ; = 𝑦13 ; = 𝑦23 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜉 𝜕𝜂 Mientras: 𝑥 − 𝑥3 𝑥13 (𝑦 − 𝑦 ) = (𝑦 3

13

𝑥23 𝜉 𝑦23 ) (𝜂 )

Resolviendo para 𝜂 𝑦 𝜉: 𝜉=

𝑦23 ሺ𝑥 − 𝑥3 ) 𝑥23 ሺ𝑦 − 𝑦3 ) − ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 ) ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )

𝜂=

𝑥13 ሺ𝑦 − 𝑦3 ) 𝑦13 ሺ𝑥 − 𝑥3 ) − ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 ) ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )

Entonces las derivadas buscadas son: 𝜕𝜉 𝑦23 = 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝑥23 =− 𝜕𝑦

𝜕𝜂 𝑦13 =− 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝑥13 = 𝜕𝑦

Sustituyendo estas derivadas respectivamente para la ecuación (donde se desarrollaron las Ø) se tiene que: 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝜕𝑦 2 𝜕𝑁1 𝜕𝜉 𝜕𝑇 𝜕𝜂 𝜕𝑇 𝜕𝜉 𝜕𝑁1 𝜕𝜂 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝜕𝜂 2 =( ( ) + + + ( ) ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝑦23 2 𝑦23 𝑦13 = ሺ1)ሺ1,0, −1). ሺ𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 ) ( ) + ሺ1)ሺ1,0, −1). ሺ𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 ) ( ) (− )+0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 +0

Que se puede escribir como: 𝑇1 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝑦23 𝑇 ሺ𝑦 ) = , −𝑦13 , −𝑦23 + 𝑦13 { 2 } 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ሺ )2 23 𝑇 3

𝑇1 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝑦23 𝑇 ሺ𝑦 ) = , −𝑦 , −𝑦 + 𝑦 + 𝑦 − 𝑦 { 2} 13 2 3 1 3 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ሺ )2 23 𝑇 3

𝑇1 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝑦23 ሺ𝑦 , −𝑦13 , 𝑦12 ) {𝑇2 } = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ሺ )2 23 𝑇 3

De igual forma para las parciales en “y” se obtiene: 𝑇1 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝑥23 𝑇 ሺ𝑥 ) = , −𝑥 , 𝑥 { 2} 13 12 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 23 𝑇 3

Sustituyendo en la ecuación para 𝑁1 :

− ∫ 𝑁1 ℎሺ𝑇 − 𝑇∞ )𝑑𝑙 − 𝑘 ∬ [ 𝑐

𝜕𝑁1 𝜕𝑇 𝜕𝑁1 𝜕𝑇 ( )+ ( )] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝑇1 ∫ 𝑁1 ℎሺ𝑁1 𝑁2 𝑁3 ) {𝑇2 } 𝑑𝑙 𝑐 𝑇3

𝑇1 1 + 𝑘∬[ ] [𝑦23 ሺ𝑦23 , −𝑦13 , 𝑦12 ) {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 𝑇3 𝑇1 + 𝑥23 ሺ𝑥23 , −𝑥13 , 𝑥12 ) {𝑇2 }] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑁1 ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 𝑐 𝑇3

Procediendo de igual manera para 𝑁2 𝑦 𝑁3 𝑇1 ∫ 𝑁2 ℎሺ𝑁1 𝑁2 𝑁3 ) {𝑇2 } 𝑑𝑙 𝑐 𝑇3

𝑇1 1 𝑇 ሺ𝑦 ) ] [𝑦 , 𝑦 , 𝑦 { } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 13 32 13 21 𝑇2 3 𝑇1 + 𝑥13 ሺ𝑥32 , 𝑥13 , 𝑥21 ) {𝑇2 }] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑁2 ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 𝑐 𝑇3 + 𝑘∬[

𝑇1 ∫ 𝑁3 ℎሺ𝑁1 𝑁2 𝑁3 ) {𝑇2 } 𝑑𝑙 𝑐 𝑇3

𝑇1 1 𝑇 ሺ𝑦 ) + 𝑘∬[ ] [𝑦21 23 , 𝑦31 , 𝑦12 { 2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 𝑇3 𝑇1 + 𝑥21 ሺ𝑥23 , 𝑥31 , 𝑥12 ) {𝑇2 }] 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑁3 ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 𝑐 𝑇3

Compactando y haciendo cambios como: 𝑥𝑖𝑗 = −𝑥𝑗𝑖 Se tiene: 𝑁1 𝑇1 𝑁 𝑇 ሺ𝑁 ) ℎ ∫ { 2 } 1 𝑁2 𝑁3 { 2 } 𝑑𝑙 𝑐 𝑁3 𝑇3

2 2 𝑦23 + 𝑥23 𝑘 + ∬ [(𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 𝑁1 = ∫ {𝑁2 } ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 𝑐 𝑁3

𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 2 2 𝑦13 + 𝑥13 𝑦12 𝑦31 + 𝑥12 𝑥31

𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 𝑇1 𝑦13 𝑦21 + 𝑥13 𝑥21 ) {𝑇2 }] 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 2 𝑇3 𝑦12 + 𝑥12

Se recuerda que el área de integración es un triángulo y también la curva de integración es el contorno del mismo. Aquí se considera para propósitos de integración primero integrar en 𝜂 y luego en 𝜉, es decir escribir 𝜂 como función de 𝜉.

(0,0)

𝜉=1 𝜉

𝜂=1

Se barre el área del triángulo desde 𝜂 = 1a 𝜂ሺ𝜉) = 1 − 𝜉; como se trabaja en el dominio de 𝜂 𝑦 𝜉, se obtiene la matriz jacobiana .

𝜂

𝜕𝑥 𝜕ሺ𝑥, 𝑦) 𝜕𝜂 𝐽=| | = || 𝜕𝑦 𝜕ሺ𝜂, 𝜉) 𝜕𝜂

𝜕𝑥 𝑥1 − 𝑥3 𝜕𝜉 | = |𝑦 − 𝑦 | 𝜕𝑦 1 3 𝜕𝜉

𝑥2 − 𝑥3 𝑦2 − 𝑦3 | = 𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13

procediendo a integrar los respectivos renglones de la ecuación (el ultimo integrando wey) 𝑇1 𝑘 2 2 ∬ሺ𝑦23 + 𝑥23 , 𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 , 𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 )𝑑𝑥𝑑𝑦 {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 𝑇3 𝑇1 𝜉=1 𝜂=1−𝜉 =𝑘 ∫ ∫ 𝐽𝑑𝜂𝑑𝜉 {𝑇2 } 𝜉=0 𝜂=0 𝑇3 Solo cambia la extracción de J.

𝑇1 𝑘 2 2 ∬ሺ𝑦23 + 𝑥23 , 𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 , 𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 )𝑑𝑥𝑑𝑦 {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 𝑇3 1 𝑇1 2 2 𝑘ሺ𝑦23 + 𝑥23 , 𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 , 𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 )𝐽 𝜉2 = (𝜉 − )| {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 2 0 𝑇 3 𝑇 2 2 1 𝐾𝐽 ሺ𝑦23 + 𝑥23 , 𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 , 𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 ) = {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 2 𝑇3 Que es el primer renglón de la integral; de igual forma se procede para el segundo y tercer renglón de la ecuación quedando respectivamente: 2 2 𝐾𝐽 ሺ𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 , 𝑦13 + 𝑥13 , 𝑦13 𝑦21 + 𝑥13 𝑥21 ) 𝑇1 {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 2 𝑇3 2 2 𝐾𝐽 ሺ𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 , 𝑦12 𝑦31 + 𝑥12 𝑥31 , 𝑦12 + 𝑥12 ) 𝑇1 {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 2 𝑇 3

Una vez calculada la integral doble, se procede a calcular la integral del contorno del triángulo de una matriz de tamaño 3x3.

𝑁12 𝑁1 𝑇1 ℎ ∫ {𝑁2 } ሺ𝑁1 𝑁2 𝑁3 ) {𝑇2 } 𝑑𝑙 = ℎ ∫ [𝑁2 𝑁1 𝑐 𝑐 𝑁3 𝑇3 𝑁3 𝑁1

𝑁1 𝑁2 𝑁22 𝑁3 𝑁2

𝑁1 𝑁3 𝑇1 𝑁2 𝑁3 ] {𝑇2 } 𝑑𝑙 𝑁32 𝑇3

Ahora se procede a analizar el contorno del triángulo para poderlo analizar: (0,0)

𝐿3

𝐿1 𝜉=1

𝜂=1 𝐿2

𝜉

𝜂

Se recuerda que la parametrización de un segmento de puntos (vectores) en el espacio es:

𝑐̅ሺ𝑡) = 𝐵̅ +t(𝐴̅ − 𝐵̅ ) 𝐴̅

𝐵̅

Así entonces la parametrización del triángulo en cuestión queda de la siguiente manera: Para 𝐿1 : 𝐵̅ = ሺ0,0); 𝐴̅ = ሺ0,1) ∴ 𝐶1̅ ሺ𝑡) = ሺ0,0) + 𝑡ሺ0,1) = ሺ0, 𝑡) Para 𝐿2 : 𝐵̅ = ሺ0,1); 𝐴̅ = ሺ1,0) ∴ 𝐶2̅ ሺ𝑡) = ሺ0,1) + 𝑡ሺ1, −1) = ሺ𝑡, 1 − 𝑡) Para 𝐿3 : 𝐵̅ = ሺ1,0); 𝐴̅ = ሺ0,0) ∴ 𝐶3̅ ሺ𝑡) = ሺ1,0) + 𝑡ሺ−1,0) = ሺ1 − 𝑡, 0) Siendo 𝐶1̅ ሺ𝑡), 𝐶2̅ ሺ𝑡), y 𝐶2̅ ሺ𝑡) los contornos. Procediendo a integrar la ecuación (xxxxxxx) sin el valor de las temperaturas

𝐼𝑁1 ≡ ℎ ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝑐

= ℎ ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 + ℎ ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿1

𝐿2

+ ℎ ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿3

𝐼𝑁1 ≡ ℎ[𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 ] 𝐼1 = ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿1

𝐼2 = ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿2

𝐼3 = ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿3

De igual forma para el segundo renglón: 𝐼𝑁2 ≡ ℎ[𝐼´1 + 𝐼´2 + 𝐼´3 ] 𝐼´1 = ∫ ሺ𝑁2 𝑁1 , 𝑁22 , 𝑁2 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿1

𝐼´2 = ∫ ሺ𝑁2 𝑁1 , 𝑁22 , 𝑁2 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿2

𝐼´3 = ∫ ሺ𝑁2 𝑁1 , 𝑁22 , 𝑁2 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝐿3

Y finalmente para el tercer renglón

𝐼𝑁3 ≡ ℎ[𝐼´´1 + 𝐼´´2 + 𝐼´´3 ] 𝐼´´1 = ∫ ሺ𝑁3 𝑁1 , 𝑁3 𝑁2 , 𝑁32 ) 𝑑𝑙 𝐿1

𝐼´´2 = ∫ ሺ𝑁3 𝑁1 , 𝑁3 𝑁2 , 𝑁32 ) 𝑑𝑙 𝐿2

𝐼´´3 = ∫ ሺ𝑁3 𝑁1 , 𝑁3 𝑁2 , 𝑁32 ) 𝑑𝑙 𝐿3

Posteriormente se calcula lo siguiente:

𝑁12 𝐼 = ℎ ∫ [𝑁2 𝑁1 𝑐 𝑁3 𝑁1

𝑁1 𝑁2 𝑁22 𝑁3 𝑁2

𝑁1 𝑁3 𝑇1 𝑁2 𝑁3 ] {𝑇2 } 𝑑𝑙 𝑁32 𝑇3

Recordando que 𝑁1 = 𝜉, 𝑁2 = 𝜂 y 𝑁3 = 1 − 𝜂 − 𝜉; 𝑥 = 𝑥23 𝜂 + 𝑥13 𝜉 + 𝑥3 ; 𝑦 = 𝑦23 𝜂 + 𝑦13 𝜉 + 𝑦3 ; y que 𝑑𝑙 = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 ; realizando las sustituciones y operaciones correspondientes: 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 √ 𝑑𝑙 = ( 𝑑𝜉 + 𝑑𝜂) + ( 𝑑𝜉 + 𝑑𝜂) 𝑑𝜉 𝑑𝜂 𝑑𝜉 𝑑𝜂

Realizando las derivadas parciales se obtiene: 𝑑𝑙 = √ሺ𝑥13 𝑑𝜉 + 𝑥23 𝑑𝜂)2 + ሺ𝑦13 𝑑𝜉 + 𝑦23 𝑑𝜂)2 Calculando los diferenciales de camino para cada trayectoria de las líneas de contorno del triángulo: Para 𝐼𝑁1 ≡ ℎ[𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 ]; 𝐶1̅ ሺ𝑡) = ሺ0, 𝑡) = ሺ𝜂, 𝜉) y 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.

𝐼1 = ∫ ሺ𝑁12 , 𝑁1 𝑁2 , 𝑁1 𝑁3 ) 𝑑𝑙 𝑐1

1

= ∫ 𝜉 2 , 𝜂𝜉, 𝜉 − 𝜉𝜂 − 𝜉 2 )√ሺ𝑥13 𝑑𝜉 + 𝑥23 𝑑𝜂)2 + ሺ𝑦13 𝑑𝜉 + 𝑦23 𝑑𝜂)2 0

Utilizando la información de la trayectoria: 1

𝐼1 = ∫ 𝑡 2 , 𝑡. 0, 𝑡 − 𝑡. 0 − 𝑡 2 )√ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 𝑑𝑡 0

1

𝑡3 𝑡2 𝑡3 𝐼1 = ( , 0, − )| √ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 3 2 3 0 1 1 𝐼1 = ( , 0, ) √ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 3 6 Para 𝐼2 e 𝐼3 respectivamente se sigue el mismo procedimiento y se llega a: 1 1 𝐼2 = ( , , 0) √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 3 6 𝐼3 = ሺ0,0,0)

Recordando que el renglón es 𝐼𝑁1 ≡ ℎ[𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 ], entonces: 1 1 1 1 𝐼𝑁1 ≡ ℎ [( , 0, ) √ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 + ( , , 0) √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 + ሺ0,0,0)] 3 6 3 6 Con esto, el primer renglón de la ecuación (yyyyyyy) hasta el momento es: 𝑇1 ℎ 1 1 2 2 2 2 𝑇 √ሺ𝑥 √ሺ𝑥 ((1,0, ) 13 ) + ሺ𝑦13 ) + (1, , 0) 21 ) + ሺ𝑦21 ) ) { 2 } 3 2 2 𝑇 3

2 2 𝐾𝐽 ሺ𝑦23 + 𝑥23 , 𝑦23 𝑦31 + 𝑥23 𝑥31 , 𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 ) 𝑇1 + {𝑇2 } = ∫ 𝑁1 ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 2 𝑐 𝑇 3

Ahora calculando el miembro derecho de esta ecuación resulta:

∫ 𝑁1 ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 = ℎ [∫ 𝜉 𝑑𝑙 + ∫ 𝜉 𝑑𝑙 + ∫ 𝜉 𝑑𝑙 ] 𝑇∞ 𝑐

𝐿1

𝐿2

𝐿3

∫ 𝑁1 ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 𝑐

1

1

= ℎ [∫ 𝑡√ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 𝑑𝑡 + ∫ ሺ1 − 𝑡)√ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 𝑑𝑡 1

0

0

+ ∫ 0. 𝑑𝑡] 𝑇∞ 0

∫ 𝑁1 ℎሺ𝑇∞ )𝑑𝑙 = ℎ [ 𝑐

√ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 + ] 𝑇∞ 2 2

Así quedando el primer renglón de la ecuación (zzzzzz) 𝑇1 ℎ 1 1 ((1,0, ) √ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 + (1, , 0) √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 ) {𝑇2 } 3 2 2 𝑇 3

+

2 𝐾𝐽 ሺ𝑦23

2

+

+ 𝑥23 𝑥31 , 𝑦23 𝑦12 + 𝑥23 𝑥12 ) 𝑇1 {𝑇2 } ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2 𝑇

2 𝑥23 , 𝑦23 𝑦31

3

ℎ = [√ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 + √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 ] 𝑇∞ 2 Procediendo de la misma manera para el segundo y tercer renglón de la ecuación kkkkkk se obtienen las expresiones explicitas de cada uno de ellos:

𝑇1 ℎ 1 1 (( , 1,0) √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 + (0,1, ) √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 ) {𝑇2 } 3 2 2 𝑇 3

𝐾𝐽 ሺ𝑦23 𝑦31 + + 2

2 𝑥23 𝑥31 , 𝑦13

2 + 𝑥13 , 𝑦13 𝑦21 ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2

+ 𝑥13 𝑥21 ) 𝑇1 {𝑇2 } 𝑇3

ℎ [√ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 + √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 ] 𝑇∞ 2 𝑇1 ℎ 1 1 2 2 2 2 𝑇 ((1,0, ) √ሺ𝑥13 ) + ሺ𝑦13 ) + (1, , 0) √ሺ𝑥21 ) + ሺ𝑦21 ) ) { 2 } 3 2 2 𝑇 =

𝐾𝐽 ሺ𝑦23 𝑦12 + + 2 =

2 𝑥23 𝑥12 , 𝑦12 𝑦31 + 𝑥12 𝑥31 , 𝑦12 ሺ𝑥13 𝑦23 − 𝑥23 𝑦13 )2

ℎ [√ሺ𝑥13 )2 + ሺ𝑦13 )2 + √ሺ𝑥21 )2 + ሺ𝑦21 )2 ] 𝑇∞ 2

+

3 2 𝑥12

) 𝑇1 {𝑇2 } 𝑇3