Formelsammlung für den Modullehrgang
Eintrittsprüfung 1) Zahlenbereiche Natürliche Zahlen = positive Zahlen
ℕ = {1, 2, 3, …}
Ganze Zahlen = Positive und negative Zahlen, sowie Null Rationale Zahlen = Bruchzahlen
ℤ = {0, ± 1, ± 2, ± 3, …}
Reelle Zahlen = Bruchzahlen und Zahlen, die sich nicht durch Brüche darstellen lassen (irrationale Zahlen)
p ℚ = p, q ∈ ℤ und q ≠ 0 q ℝ = "vollständige" Zahlengerade
2) Griechisches Alphabet
3) Logische Symbole ≤ kleiner gleich
< kleiner
≥ größer gleich
>
größer
≈ ungefähr ∧ und
∨ oder
∩ geschnitten
∪ vereinigt
5∈ A
5 ist Element von A
7∉ A
7 ist kein Element von A
C=D
C gleich D, C und D enthalten gleiche Elemente
E⊆F
E ist eine Teilmenge von F ; aus x ∈ E fo lg t x ∈ F
E⊄F
E ist keine Teilmenge von F ; aus x ∈ E fo lg t x ∈ F
1
Formelsammlung für den Modullehrgang
4) Potenz- und Wurzelgesetze Definitionen a n = a⋅ a ⋅… ⋅a
mit n ∈ ℕ
a 0 = 1 mit
a1 = a
a≠0
n − Faktoren
Rechengesetze
(1)
a m ⋅ a n = a m+n
Multiplikation bei gleicher Basis
(2)
a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n
Multiplikation bei gleichem Exponenten
(3)
am = a m −n n a
(4)
an a = bn b
(5)
(a )
m n
mit
a≠0
Division bei gleicher Basis
mit
b≠0
Division bei gleichem Exponenten
n
= a m⋅ n
Potenzieren n
−n
1 1 = n = mit a ≠ 0 a a
(6)
a
−n
(7)
1 a a b
−n
(8)
=
Potenzen mit negativem Exponenten
1 = a n mit a ≠ 0 Potenzen mit negativem Exponenten −n a n
b = mit a, b ≠ 0 a
Potenzen mit negativem Exponenten
Wurzeln (a, b ≥ 0) m
(1)
n
(2)
a
n
(3)
n
a m = a n mit a ≥ 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ −
1 n
=
a = b
(4)
1 mit a ≠ 0, n ∈ ℕ n a
(5)
a mit b ≠ 0, n ∈ ℕ b
(6)
n
n
a ⋅ n b = n a ⋅ b mit n ∈ ℕ
( ) n
am
n p
q
= n a mq mit n, q ∈ ℕ, m ∈ ℤ
am =
np
a m mit n, p ∈ ℕ,m ∈ ℤ
5) Satz von Pythagoras a2 + b2 = c2
2
Formelsammlung für den Modullehrgang
6) Binomische Formeln
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2 (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a ± b )3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 7) Quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0
⇒
x1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac 2a
b c x1 ⋅ x 2 = a a 2 ax + bx + c = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )
Vieta : x1 + x 2 = −
8) Funktionen a.) Lineare Funktionen y = mx + q m=
∆y … Steigung ∆x
b.) Quadratische Funktionen y = ax 2 + bx + c 2
b b2 Scheitelpunktformel: y = ax + bx + c = a ⋅ x + + c − 2a 4a 2
b 4ac − b 2 S − | 4a 2a
3
Formelsammlung für den Modullehrgang
9) Ebene Figuren A…Flächeninhalt
u… Umfang
a.) Dreieck
b.) Viereck
4
Formelsammlung für den Modullehrgang c.) Kreis
10)
Körper
5
Formelsammlung für den Modullehrgang
6
Formelsammlung für den Modullehrgang
Algebra und Arithmetik Folgen und Reihen Allgemein gilt: (1) n ∈ ℕ (2) a1 … 1. Folgenglied
a n … n-tes Folgenglied n
Teilsummenfolge
s n = a1 + a 2 + a 3 + … + a n = ∑ a k k =1
Arithmetische Folge Graph
Konstante Differenz
d = a n +1 − a n
Explizite Darstellung
a n = a1 + ( n − 1) ⋅ d
Rekursive Darstellung
a n +1 = a n + d
Summenformel
sn =
n ⋅ ( n − 1) ⋅ d n ⋅ ( a1 + a n ) = a 1 ⋅ n + 2 2
Geometrische Folge Allgemein:
q ≠ 1, q ≠ 0
Graph
a n +1 an
Konstanter Quotient
q=
Explizite Darstellung
a n = a1 ⋅ q n −1
Rekursive Darstellung
a n +1 = a n ⋅ q
Summenformel
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Formelsammlung für den Modullehrgang
1 − qn qn −1 = a1 ⋅ 1− q q −1 1 s ∞ = a1 ⋅ q <1 1− q s n = a1 ⋅
endlich unendlich
Fibonacci-Folge a n + 2 = a n + a n +1 mit a1 = 1, a 2 = 1
Exponential- und Logarithmusfunktionen Allgemeine Exponentialfunktion
y = ax x
a > 1, x ∈ ℝ
Natürliche Exponentialfunktion
y=e
e… Eulersche Zahl, x ∈ ℝ
Logarithmusfunktion
y = log a ( x )
x > 0, a > 1
Logarithmus Basen (1) Allgemeiner Logarithmus
x = log a ( b ) ⇔ a x = b
(2) Dekadischer Logarithmus
x = log10 ( b ) = lg ( b ) ⇔ 10x = b
(3) Natürlicher Logarithmus
x = log e ( b ) = ln ( b ) ⇔ e x = b
(4) Binärer Logarithmus
x = log 2 ( c ) = lb( c ) ⇔ 2x = c
Basiswechsel
log b ( x ) =
Logarithmengesetze
p, q > 0
lg ( x ) lg ( b )
log a ( pq ) = log a ( p ) + log a ( q ) p log a = log a ( p ) − log a ( q ) q log a p n = n ⋅ log a ( p )
( )
log a
( p ) = n1 ⋅ log n
a
(p)
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Formelsammlung für den Modullehrgang
Geometrie 1. Allgemeine Bezeichnungen ∠ABC…
Winkel mit dem Scheitel B
____
AB… Strecke von A nach B Winkelbeschriftung mit griechischen Buchstaben (siehe Formelsammlung Eintrittsprüfung)
2. Winkel
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Formelsammlung für den Modullehrgang
3. Winkelmaße Grad:
Radiant:
1° = 60′ (Minuten) = 3600′′ (Sekunden) bzw. 180 ⋅ b α= b … Bogenmass π π = 180° π⋅α b= 180°
4. Einheitskreis und Winkelfunktionen
G H A cos ( x ) = H sin ( x ) G tan ( x ) = = cos ( x ) A
sin ( x ) =
G … Gegenkathete A … Ankathete H … Hypotenuse
5. Trigonometrische Grundbeziehungen „Trigonometrischer Pythagoras“
cos ²(α ) + sin 2 (α ) = 1
Komplementär- und Supplemetärwinkelsätze
sin(90° − ϕ) = sin ( 90° + ϕ ) = cos(ϕ) cos(180° + ϕ) = cos (180° − ϕ ) = − cos(ϕ) cos(90° − ϕ) = sin(180° − ϕ) = sin ( ϕ ) cos(90° + ϕ) = sin(180° + ϕ) = − sin ( ϕ )
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Formelsammlung für den Modullehrgang 6. Spezielle Winkel: Höhen- und Tiefenwinkel
Horizontalebene
7. Rechtwinkliges Dreieck Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck
Satz von Pythagoras
c2 = a 2 + b2
8. Allgemeines Dreieck Winkelsumme Sinus-Satz
Cosinus-Satz
180° a b c = = = 2R sin ( α ) sin ( β ) sin ( γ ) R … Umkreisradius a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos ( α )
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos ( β ) c2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ( γ ) Flächenberechnung Allgemein
Formel von Heron
A=
a ⋅ b ⋅ sin ( γ ) 2
=
b ⋅ c ⋅ sin ( α ) 2
=
a ⋅ c ⋅ sin ( β )
2 a ⋅b⋅c = 2 ⋅ R 2 ⋅ sin ( α ) ⋅ sin ( β ) ⋅ sin ( γ ) = 4⋅R R … Umkreisradius A = s ⋅ (s − a ) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)
wobei s =
=
a+b+c 2
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Formelsammlung für den Modullehrgang Inkreisradius
r= r=
A s
(s − a ) ⋅ (s − b ) ⋅ (s − c) s
mit s =
a+b+c 2
Kongruenz und Ähnlichkeit Kongruenzsätze
SSS - Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen überein, dann sind sie ähnlich zueinander. SWS – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Längen zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossene Winkel überein, dann sind sie ähnlich. Ssw – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und in dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind sie ähnlich. WSW – Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind sie ähnlich zueinander.
Strahlensätze
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Formelsammlung für den Modullehrgang
Wahrscheinlichkeit Kombinatorik n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, k ≤ n Fakultät Binomialkoeffizient
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅… ⋅ n 0! = 1 1! = 1 n ⋅ ( n − 1) ⋅… ⋅ ( n − k + 1) n n! = = 1 ⋅ 2 ⋅… ⋅ k k k!⋅ ( n − k ) !
Anzahl der geordneten Stichprobe mit Zurücklegen (Variation mit Wiederholung): nk Anzahl der geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen (Variation ohne Wiederholung): n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅… ⋅ ( n − k + 1) ( n − k )! Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurücklegen (Kombination ohne Wiederholung): n k Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen (Permutation ohne Wiederholung) n!
Wahrscheinlichkeitsrechnung Ω… Ereignisraum ω, E … Ereignis
A ∪ B… A oder B
E… Gegenereignis n … Anzahl der Versuche f w … Absolute Häufigkeit
A ∩ B… A und B P ( E )…
Wahrscheinlichkeit von E
h w … Re lative Häufigkeit
Relative Häufigkeit
hw =
fw n
Gleichwahrscheinlichkeit
P (E) =
Gegenwahrscheinlichkeit
P E = 1− P (E)
g Anzahl der günstigen Fälle = m Anzahl der möglichen Fälle
( )
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Formelsammlung für den Modullehrgang Additionssätze
P ( E ∪ F) = P ( E ) + P ( F) − P ( E ∩ F) P ( E ∪ F) = P ( E ) + P ( F)
Bernoulli – Experiment Ziehen mit Zurücklegen
vereinbare Ereignisse unvereinbare Ereignisse
und → Multiplikation oder → Addition n … Gesamtumfang der Stichprobe k … Anzahl der Erfo lg e p … Wahrscheinlichkeit für Erfo lg q = 1 − p … Wahrscheinlichkeit für Misserfo lg
Hypergeometrische Verteilung Ziehen ohne Zurücklegen
n Pn ( k ) = P ("Genau k Erfo lg e in n Versuchen ") = ⋅ p k ⋅ q n − k k N … Gesamtumfang der Stichprobe n … Kleine Stichprobe aus dem Gesamtumfang T1 …1.Teilmenge T2 … 2.Teilmenge T1 + T2 = N k … Anzahl der Erfo lg e aus T1
T1 T2 ⋅ k n −k Pn ( k ) = N n
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