Ecuaciones En Derivadas Parcialesw.docx

Ecuaciones en Derivadas Parciales. 1. Introducción. Esta segunda parte de los apuntes está dedicada al estudio de las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs), aunque también se estudiarán los problemas de contorno para las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Recordamos que una ecuación en derivadas parciales es una ecuación en la que aparece una función incógnita de varias variables y algunas de sus derivadas parciales. Todas las EDPsque veremos serán lineales. Más en concreto, salvo un breve estudio de las lineales de primer orden, trataremos de EDPslineales de segundo orden, del tipo: Todas las EDPsque veremos serán lineales. Más en concreto, salvo un breve estudio de las lineales de primer orden, trataremos de EDPslineales de segundo orden, del tipo: 1 Lu≅j,i=1naij∂2u∂xi∂xj+j=1nbj∂u∂xj+Cu=d

Donde u,aij,bj,c y d son funciones de (x1,…,xn). Una solución de [1] será una función u(x1,…,xn) de clase C2 en un dominio D de Rn que sustituida en la ecuación la convierte en una identidad. Entre las EDPs lineales de segundo orden se encuentran muchas ecuaciones de la física. Entre ellas las tres clásicas: ecuación de ondas = 0 ecuación del calor 0 y ecuación de Laplace

utt - c2 u ut - k u = u=0

que son ejemplos de los tres grandes tipos en que se clasifican (hiperbólicas, parabólicas y elípticas, respectivamente). La teoría de las EDPs viene a ser la generalización del estudio de estos tres problemas. Sus propiedades son tan diferentes que no existen teorías generales como la de las EDOs lineales. Comencemos con la ecuación de ondas unidimensional o ecuación de la cuerda vibrante. Consideremos las oscilaciones de una cuerda totalmente elástica, tensa y fija en sus extremos. Se supone que sus oscilaciones son siempre transversales y de pequeña amplitud. En esas condiciones se puede ver que si u(x,t) representa el desplazamiento vertical

del punto de abscisa x en el instante t, la función u(x,t) satisface la EDP: utt - c2uxx = F(x,t) donde c2=To/ , con To fuerza de tensión en los extremos, masa por unidad de longitud (densidad lineal) y F(x,t) fuerza externa por unidad de masa que actúa en dirección vertical sobre el punto x en el instante t. No olvidemos que el modelo matemático de esta cuerda ideal es sólo una simplificación de la realidad; lo mismo ocurre con las siguientes.

u

instante t

(x,t) u x

x

La distribución de temperaturas a lo largo del tiempo en una varilla delgada (que podemos suponer unidimensional) viene regida por la ecuación del calor: ut - kuxx=0 donde u(x,t) representa la temperatura del punto de abscisa x en el instante t y k>0 es una constante proporcional a la conductibilidad e inversamente proporcional a la densidad y al calor específico. Si existiesen fuentes de calor en el interior de la varilla deberíamos escribir una F(x,t) en el segundo miembro de la ecuación. La ecuación de Laplace: uxx + uyy = 0 puede describir, entre otras situaciones físicas, la distribución estacionaria de temperaturas en una placa bidimensional. La existencia de fuentes de calor en el interior de la superficie aportaría una F en el segundo miembro (ecuación de Poisson). Frente a las dos ecuaciones anteriores que describían la evolución de un sistema a lo largo del tiempo, ésta describe situaciones estacionarias. Ecuaciones en Derivadas Parciales clásicas Una ecuación diferencial en derivadas parciales (PDE), por su semejanza con las ODE, es una ecuación donde una cierta función incógnita u viene definida por una relación entre sus derivadas parciales con respecto a las variables independientes. Si u = u(x,y,z), una ecuación diferencial en derivadas parciales sería

Se denomina orden de la PDE al más alto grado de derivación parcial que aparece en la expresión. Así (1)

es una PDE de 2 orden, mientras que (2)

es una PDE de primer orden. La ecuación (1) es lineal ya que u y sus derivadas aparecen sin multiplicarse y no aparecen elevadas a potencias. La ecuación (2) es, en cambio, no lineal. Se podrían hacer algunas consideraciones acerca de las PDE. Mientras que el número de constantes que hay que eliminar en una familia de curvas definen el orden de la ecuación diferencial ordinaria de la que es solución, aquí la génesis se puede considerar vista de otro modo. Sea una función de (x,y) que verifica que es de la forma u (x , y) = f(x + y) · g(x - y) donde f y g son funciones arbitrarias. Entonces

a su vez

de donde se deduce que

Pero

Se ha llegado a una ecuación diferencial de 2° orden en derivadas parciales cuya solución tiene la forma u(x,y) = f(x + y)·g(x - y) Considérese otro ejemplo: u = x·f(y)

es la ecuación diferencial de primer orden cuya solución tiene la forma u = x·f(y) donde f es una función arbitraria. Otro ejemplo es el siguiente:

Otro ejemplo: u = f(x + y) + g(x - y)

Repárese que según los resutados obtenidos existen infinitas soluciones posibles de la PDE. Pero ahora la arbitrariedad de la solución general viene dada en términos de funciones, apareciendo tantas como el orden de la ecuación. Desde el punto de vista de la Matemática puede parecer más preciso obtener en cualquier caso la solución general, sin embargo, se van a buscar soluciones dentro del campo de la Física por lo que sólo interesará una solución particular concreta. Estas soluciones particulares van a satisfacer unas determinadas condiciones de contorno y de valor inicial. Es decir, se va a tratar de obtener la solución de una cierta PDE que verifique unas condiciones en el contorno del dominio en que está definida (condiciones de contorno), y si además una variable es el tiempo "t" las condiciones en t = 0 se darán como dato (condiciones iniciales). Por último, y por lo que respecta a la clasificación, cuando cada término de la ecuación diferencial contiene la función o sus derivadas esta ecuación se dice homogénea. Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son: Ecuación de difusión:

Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes. Ecuación de onda:

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes. Ecuación de Laplace:

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico. Ecuación de Poisson:

Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea. Este curso se va a centrar exclusivamente en el estudio de las ecuaciones diferenciales de 2 orden lineales con coeficientes constantes, que son las más habituales en distintos campos de la física. 2. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación de 2 orden en derivadas parciales lineal, homogénea, con coeficientes constantes tiene la forma (supuesto dos variables indepenientes):

donde a,h,b,f,g,c son constantes. Por comparación con una cónica

se puede decir que estas ecuaciones se clasifican en elípticas, parabólicas e hiperbólicas de igual modo que las cónicas. Esto es, si >0 la ecuación es elíptica; =0 la ecuación es parabólica; <0 la ecuación es hiperbólica Según esto, las clásicas ecuaciones de difusión, de ondas y de Laplace pertenecen a los tipos Ecuación de difusión: parabólica Ecuación de onda: hiperbólica Ecuación de Laplace: elíptica Nota: Esta clasificación sigue siendo válida incluso cuando los coeficientes de la ecuación a, b, h, f, g, c so funciones variables de x e y. En estos casos la ecuación puede cambiar de tipo al pasar de un cuadrante a otro. Por ejemplo la ecuación

es elíptica en la región

> 0, parabólica a lo largo de las rectas

= 0, e hiperbólica en la región

< 0.

3. ECUACIONES DE EULER Se llama ecuación de Euler a una ecuación de la forma

La solución general se puede obtener del siguiente modo, haciendo el cambio

donde p,q,r y s son constantes

de igual modo

por último

Sustituyendo en la ecuación diferencial (3)

Ahora se elige p = r = 1 de modo que q y s sean raíces de la ecuación es decir, de modo que los coeficientes de

y

sean cero. Por tanto, llamando a las raíces x1 y x2, quedaría la ecuación:

Ahora bien y por lo que la ecuación puede expresarse

Si es decir la ecuación es elíptica o hiperbólica

cuya solución general se reduce a donde F y G son funciones arbitrarias, pero

Lue go la solución general de las ecuaciones elípticas e hiperbólicas es de la forma: x1 y x2 son reales si la ecuación es hiperbólica, pero si es elíptica, son complejas. Si la ecuación es parabólica: volviendo a la ecuación (3) y haciendo sólo p = 1, la ecuación (4) será

Se busca q tal que

es una raíz doble Llevando este valor a (4)

pero como = ab, sustituyendo el valor de "a" despejado de esta igualdad, la ecuación queda

con tal que r y s no sean cero simultáneamente, la ecuación resultante es

cuya solución general es de la forma con F y G funciones arbitrarias, pero

con r y s arbitrarios, pero no simultáneamente ceros. Luego, la solución general de una ecuación parabólica es

Aunque hemos resuelto, desde el punto de vista matemático, las ecuaciones de Euler, estas soluciones tienen muy poco valor cuando se imponen unas condiciones de contorno dadas y una condición de valor inicial. Suele resultar muy difícil obtener la expresión de las funciones F y G. Por ello, este procedimiento, más académico que útil, va a dar paso a otro más eficaz que, además, nos va a ayudar a ver el sentido físico de lo que se trata de resolver. Este método se conoce con el nombre de método de separación de variables.

Ejercicios:

Ejercicio 1: Obtener la solución el problema de valores iniciales y de contorno:

Respuesta 1 Una solución de la ecuación homogénea será:

Para obtener una solución particular de la completa ensayamos:

y si se ha de cumplir:

para K1 tenemos:

Análogamente, para K2 :

y la solución general será:

Ejercicio 2: Para encontrar la solución particular que verifique las condiciones iniciales y de contorno dadas, hacemos:

Derivando esta expresión respecto a x:

por otra parte:

Sumando y restando las dos expresiones anteriores, resulta:

y finalmente :

Ejercicio 3: Convertir el problema

en un problema de condiciones de contorno homogéneas. Respuesta 3 Nos conviene construir una función v(x, t) que satisfaga al menos las dos condiciones de contorno dadas, v(o, t) = sen2 t ; v(1, t) = 0. Fácilmente vemos que esa función puede ser :

tomamos entonces:

con lo que la ecuación diferencial y las condiciones se transforman como sigue :

Sustituyendo estos valores obtenemos:

Una vez obtenida la solución para w(x,t), la función original vendrá dada por:

Ejercicio 4: El método para obtener w(x,t) es análogo al de otros casos de ecuaciones no homogéneas.

Convertir el problema:

en un problema de condiciones de contorno homogéneas. RESPUESTA 4 En primer lugar consideramos una función v(x, t) que verifique las dos condiciones de contorno. Si ponemos:

resulta:

La razón de haber tomado la función escrita se debe a que en la segunda condición de contorno tenemos la derivada. Con el cambio hecho tomamos:

y nos queda:

Con lo que sustituyendo en la ecuación inicial, esta se transforma en:

y las condiciones iniciales y de contorno se hacen homogéneas:

Ejercicio 5: Convertir el problema:

en un problema de condiciones de contorno homogéneas. Respuesta 5 Debido a la derivada en la segunda condición de contorno, una posible función v(x, t) sería:

pues tenemos:

La sustitución :

nos da los cambios en la ecuación diferencial. Existen otras posibles funciones v(x, t) que también transformarían las condiciones de contorno.

Ejercicio 6: Demostrar que el problema tridimensional:

Con u = f sobre C, siendo C una superficie cerrada y D su interior, tiene a lo sumo una solución. Respuesta 6: Consideremos que V es la diferencia entre dos soluciones u1 y u2 del problema. Tenemos entonces

Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:

Tenemos:

Pero sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C resulta:

Puesto que el integrando es no negativo concluimos que ha de ser idénticamente nulo. Resulta entonces que v es constante. Pero como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un

máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales.

Ejercicio 7 Demostrar que el problema

Para x2 + y2 < 1 y u = x2 para x2 + y2 = 1, tiene a lo sumo una solución. Respuesta 7 Si v es la diferencia entre dos soluciones del problema, se tendrá

Para x2 + y2 < 1 y v = 0 para x2 + y2 = 1. Por otro lado tenemos:

Con lo que podemos escribir, por aplicación del teorema de la divergencia:

Y el último término ha resultado por ser v = 0 en x2 + y2 = 1. Puesto que el integrando es no negativo resulta que debe ser idénticamente nulo y podemos escribir:

Y al ser v = 0 en la frontera, será v = 0 en todo el dominio y, consecuentemente, las dos soluciones supuestas equivalentes y una sola.