Ecuaciones En Derivadas Parciales

Título: Tratamiento Sistémico de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Autores: Dr. Ramón Blanco Sánchez Dpto. Matemática General y Aplicada. Universidad de Camagüey.

Dra. Laura García Quiroga Facultad Mecánica y Eléctrica Universidad Autónoma de Nuevo León

Dra. Milagros Gutiérrez Álvarez Vicerrectora Docente. Universidad de Camagüey

Resumen: En el presente trabajo se hace un breve análisis de la necesidad de dar un tratamiento sistémico al contenido que se expone a los estudiantes; se retoma el concepto de estructura estable utilizable como recurso didáctico, y se identifica una tal estructura en el tema de ecuaciones en derivadas parciales, contenido en los programas de la disciplina Matemática para Ciencias Técnicas, mediante la que se explica el enfoque propuesto, el cual se ilustra con ejemplos. El procedimiento planteado muestra una vía metodológica para contribuir al desarrollo de las capacidades intelectuales de los estudiantes, con lo que se puede aspirar a formar el profesional que demanda el desarrollo científico técnico actual.

Summary: In the present work a brief analysis of the necessity of giving a systemic treatment to the content that is exposed the students, is made; the concept of usable stable structure is recaptured as didactic resource, and a such structure is identified in the topic of partial differential equations, content in the programs of the Mathematical discipline for Technical Sciences, by means of which is explained to the students the proposed focus, which is illustrated with examples. The outlined procedure show a methodological road to contribute to the development of the intellectual capacities of the students, with what it is possible aspire to form the professional that demands the current technical scientific development

Introducción:

El desarrollo científico técnico de nuestros días determina la necesidad de formar cada día profesionales más competitivos y capaces de auto superarse; por lo que para satisfacer esta necesidad hay que perfeccionar el proceso enseñanza aprendizaje, pues es la alternativa para formar el ingeniero que demanda la sociedad del conocimiento. Así las cosas, tenemos que la Didáctica ha hecho su entrada en la Educación Superior, no sólo en países en vías de desarrollo, sino también en muchos países desarrollados. Al respecto aparecen muchas opiniones y teorías, el presente trabajo se apoya en el tratamiento sistémico del contenido, por contar este enfoque con suficiente fundamentación científica y estar comprobado en la práctica. Al analizar el contenido de Ecuaciones en Derivadas Parciales que se imparte en Ciencias Técnicas desde este enfoque, ha sido posible darle una gran unidad y concreción al mismo, con lo cual se puede garantizar que el estudiante adquiera conocimientos con mayor solidez y profundidad, y se hace una contribución positiva a la formación del profesional que demanda el desarrollo científico actual.

Desarrollo: El vertiginoso desarrollo de los últimos años a incrementado notablemente el volumen de conocimientos que tiene que enfrentar un profesional, por lo que se ha llegado a la conclusión, de que más que la cantidad de conocimientos de que se pueda dotar a un graduado del siglo XXI, lo importante es que este graduado haya aprendido a aprender, esto es, que sea capaz de enfrentar por sí mismo los nuevos avances de su campo científico y además ser partícipe de ellos. No obstante lo inobjetable de lo planteado hasta aquí, no es menos cierto que el volumen de conocimientos que tenia que manejar un ingeniero en los 90, y que tiene y tendrá que manejar en el presente siglo, es muy superior a aquel que manejaba a mediados del siglo pasado. Esta es pues la situación a que se enfrenta la formación de profesionales en estos momentos, y es tal vez la razón por lo que la Didáctica ha hecho su entrada en la educación superior, porque es indudable que sin optimizar el proceso enseñanza aprendizaje no es posible alcanzar la meta planteada. El objetivo aquí no es simplificar los contenidos para facilitar el aprendizaje, el objetivo es fundamentar el proceso en las leyes de la asimilación y del desarrollo del conocimiento, para que a través de los contenidos seleccionados en planes y programas, formar el profesional que demanda el desarrollo. Al respecto se aprecia, que una de las herramientas más importantes de que dispone la Didáctica de la Educación Superior es el enfoque sistémico de los contenidos tratados, pues como planteó S.L. Rubinstein: “los conocimientos asimilados en una forma desordenada son difíciles de recordar y

fáciles de olvidar”, en otras palabras decía Ushinski:” los conocimientos asimilados desordenadamente son como una alacena regada donde ni el propio dueño encuentra lo que busca”. Abundando al respecto se puede decir que el enfoque sistémico es el fundamento del aprendizaje significativo planteado por Ausubel. Además es necesario destacar que la importancia del enfoque sistémico, no es sólo estructurar los contenidos en una forma integrada, de modo que además de lograr un aprendizaje más sólido y que el estudiante adquiera conciencia de la unidad material del mundo, lo que sin duda es importante; permite también formar en el estudiante el hábito de la orientación sistémica en el contenido, ya que si aspiramos a formar un profesional capaz de mantenerse a la par del desarrollo contemporáneo, esto es esencial. Un concepto clave para el tratamiento sistémico de la Matemática en Ciencias Técnicas es el de “Estructura Estable” (Blanco R. 1998). Así se tiene, que una estructura estable es el elemento o los elementos que permanecen fijos dentro de un concepto y también la acción o acciones que es necesario repetir para ejecutar una habilidad dada; y si esta estructura estable puede ser usada para darle un tratamiento sistémico al contenido estudiado, se dice que es una estructura estable utilizable como recurso didáctico. A continuación se usa una tal estructura estable, para tratar con el enfoque planteado un contenido matemático necesario para todo ingeniero y en particular para el ingeniero mecánico y el civil, dado la gran cantidad de fenómenos que pueden ser modelados con este contenido como herramienta, este contenido es parte de las Ecuaciones en Derivadas Parciales. Claro que no se tratarán aquí las ecuaciones en derivadas parciales en general, sino sólo la parte de este contenido recogido en los programas de la disciplina Matemática para Ciencias Técnicas, por lo que la atención en el presente trabajo está referida a ecuaciones de la forma:

u  2u  a 2 2  f ( x, t ) t x  2u  2u    f ( x, t ) t 2 x 2

(I)

2  2u 2  u  a  f ( x, t ) t 2 x 2

Que como es conocido las dos primeras permiten modelar una gran variedad de problemas de difusión; en particular flujo de calor en ingeniería mecánica y en ingeniería civil fenómenos de consolidación de suelos la primera y problemas de filtración la segunda. La tercera modela

problemas de vibraciones en general (vigas, cuerdas, lozas, etc.). La bibliografía especializada (Zill D. 1997, Krasnov et. al. 1990) y otros, tratan cada ecuación de forma independiente, sin tener en cuenta la estructura estable que permite tratarlas como un todo, donde cada uno de los casos se deriva de forma natural de dicha estructura estable. Así tenemos que si se considera el caso homogéneo con las condiciones de fronteras nulas: u(t,0) = u(t,l) = 0, esto es, el problema de Dirichlet, y se aplica el método de Fourier y el principio de superposición, a cualquiera de las tres ecuaciones planteadas, se llega a que la solución es de la forma: 

u ( x, t )   Tn (t ) sen( n 1

n x ) l

(II)

y para obtener la función Tn(t) se sustituye (II) en la ecuación (I) correspondiente, de donde se obtiene:

2  '   nπx   anπ   Tn (t ) −  Tn (t )  sen = f ( x, t )  ∑    l   l  n =1   ∞

2  ''   nπ   nπx   T ( t ) + Tn (t )  sen    = f ( x, t ) ∑ n   l  l    n =1   ∞

2  ''   nπx   anπ    sen T ( t ) − T ( t ) = f ( x, t )   ∑ n n    l  l   n =1   ∞

(III)

Se debe tener en cuenta que para llegar al resultado (III) la función Tn(t) tiene que ser tal que la serie en (II) sea uniformemente convergente, lo que se cumple para la mayoría de los problemas prácticos que se presentan, y en general es muy fácil de verificar usando la prueba M de Weirstrass. Ya en este punto lo que resta es resolver la ecuación diferencial ordinaria en T(t), donde se usan las condiciones iniciales para determinar las constantes arbitrarias esenciales de esta solución. Como se puede apreciar de (III), si el problema original es homogéneo, así será la ecuación ordinaria en T(t), ya que si sen(nπx/l) = 0 de (II) se tendría la solución trivial, por lo que tiene que ser sen(nπx/l) ≠ 0 a los efectos de cualquier problema práctico. Si la parte no homogénea f(x,t) es de la forma g(t)sen(nπx/l), las ecuaciones en (III) son no homogéneas con g(t) como su parte no

homogénea; si f(x,t) ≠ g(t)sen(nπx/l) entonces es necesario hacer un desarrollo de Fourier en senos solamente para obtener la forma requerida de la parte no homogénea. Como se puede apreciar, la ecuación (II) es la estructura estable para la solución de los casos de las Ecuaciones en Derivadas Parciales planteadas, la cual es un recurso didáctico efectivo para darle un tratamiento sistémico al tema; el que naturalmente debe ser introducido a partir de un problema práctico, según la especialidad donde se explique este contenido. A continuación se ilustra lo planteado con el siguiente ejemplo:

∂ 2u ∂ 2u = 4 ∂t 2 ∂x 2 u(0,t) = u(2,t) = 0 ; u(x,0) = 0 ; ∂ u(x,0)/∂ t = 4 según lo analizado, la solución del problema planteado es de la forma: 

u ( x, t )   Tn (t ) sen( n 1

n x ) l

(IV)

donde Tn(t) es la solución de la ecuación: ∞

T ∑  n =1

'' n

(nπ) T

(t ) +

2

n

 nπx  (t )  sen     2 = 0

como la solución buscada es la no trivial, se debe cumplir que sen(nπx/2) ≠ 0, por lo que tiene que ser: T’’(t) + (nπ)2 Tn(t) = 0 Las raíces de la ecuación característica correspondiente son: m = ± nπi; De donde se tiene: Tn(t) = c1cos(nπt) + c2sen(nπt), y sustituyendo el valor de Tn(t) en (IV) resulta: 

u ( x, t )   (c1 cos(n t )  c2 sen(n t )) sen( n 1

n x ) 2

(V)

Ajustando las condiciones iniciales: ∞

u ( x,0) = ∑ (c1 sen( n =1

nπx )) = 0 2

⇒

c1 = 0

∞ nπx   u ( x, t ) = ∑  c2 sen(nπt ) sen( ) 2  n =1 

así:

y ajustando la condición no homogénea:

∞ ∂u nπx = ∑ nπ c2 cos(nπt ) sen( ) ∂t n =1 2

∞ ∂u nπx ( x,0) = ∑ nπ c2 sen( )=4 ∂t 2 n =1

luego:

relación que determina la necesidad de un desarrollo de Fourier en senos solamente, para poder obtener el valor de c2. Esto es, h(x) = 4 para 0 < x < 2 debe ser expresada como un desarrollo en senos con ω = π/2; ∞

4 = ∑ bn sen( n =1

nπx ) 2

con Tp = 4

para -2 ≤ x ≤ 2

de donde se obtiene el valor del coeficiente bn del desarrollo de Fourier de la prolongación impar de la función planteada:

2 nπx 16 bn = 2( 4 )∫ 4 sen( 2 ) = (2n − 1)π 0 2

∞

por lo tanto:

∑ nπ c2 sen( n =1

∞ nπx 16 (2n − 1)πx )=∑ sen( ) 2 2 n =1 ( 2n − 1)

de donde c2=16/(2n-1)2π2.

Y

sustituyendo el valor de las constantes en (V), se obtiene: 2

4  (2n  1) x u ( x, t )    )  sen((2n  1) t ) sen( 2 n 1  2n  1  



Como se puede apreciar la serie que define la función u(x,t) es uniformemente convergente, lo

que permite derivar dentro del símbolo de suma. De

la

misma

forma

se

procede

al

analizar

el

caso

no

homogéneo:

 2u  2u n x  4  tsen ( ) t 2 x 2 2 u(0,t) = u(2,t) = 0 ; u(x,0) = ∂ u(x,0) /∂ t = 0. Aquí se plantean las dos condiciones iniciales iguales a cero para simplificar la escritura, pero el procedimiento es el mismo. Solución: Como en el caso anterior, a partir de las condiciones de fronteras nulas, se puede plantear que la solución es de la forma: ∞  nπx  u ( x, t ) = ∑ T n (t ) sen   2  n =1

(IV)

en este caso como el problema es no homogéneo, T(t) es solución de la ecuación: ∞

∑ T n =1

'' n

(t ) +

( nπ ) T 2

n

nπx nπx (t )  sen( ) = t sen( )  2 2

(VI)

así para hallar T(t) es necesario resolver la ecuación diferencial ordinaria: T’’(t) + (nπ)2 T(t) = t Cuya solución por los métodos usuales es: T(t) = c1cos(nπt + c2sen(nπt) + t/(nπ)2 Que sustituida en (IV) y evaluadas las condiciones iniciales resulta: ∞  t) −sen( nπ u ( x, t ) =∑ + 3  n= 1  n 

( π)

t

 x  nπ sen   3  2   

(nπ)

solución que es también uniformemente convergente, por lo que como en el ejemplo anterior se puede verificar que satisface tanto las condiciones iniciales y de frontera como la propia ecuación. Si en la parte no homogénea no apareciera el factor sen(nπx/2) el propio planteamiento de la ecuación (VI), expresa la necesidad de efectuar un desarrollo de Fourier en senos solamente de

modo que aparezca el factor sen(nπx/2). En caso de que el problema original no tenga las condiciones de fronteras nulas, se usa la sustitución clásica: u(x,t) = w(x,t) + v(x,t); con w(x,t) = v1(t) +(x/l)(v2(t) - v1(t)) Donde v1(t) = u(0,t) y v2(t) = u(l,t)

que conduce a un problema auxiliar con condiciones de

fronteras nulas, que se resuelve de la misma manera que los ejemplos plantados. Los ejemplos planteados se han desarrollado sobre la ecuación que modela los fenómenos de vibración, pero el valor del método planteado está precisamente en que los tres casos se tratan de la misma manera, los que quedan unido por la ecuación (II) que como decíamos es la estructura estable del problema planteado. Tratar las ecuaciones (I) según el procedimiento descrito, permite que el estudiante pueda ver el aspecto matemático del problema tratado en su unidad, de modo que pueda comprenderlo e interiorizarlo de un modo mucho más eficiente, sin tener que memorizar ni consultar fórmulas, ya que los procesos a seguir se inducen unos a otros; en otras palabras el método en sí induce a comprender y no a recordar.

Conclusiones: En primer lugar se debe precisar que el trabajo no presenta aportes desde el punto de vista puramente matemático, los procedimientos matemáticos usados son clásicos, el aporte del trabajo está en el tratamiento sistémico del contenido a través de la estructura estable planteada. Es de gran utilidad que el estudiante pueda comprender la solución de cada una de las ecuaciones (I), como un solo problema, no sólo por los beneficios que representa respecto a la asimilación del contenido tratado, sino por lo que esto puede contribuir a su formación, pues sólo explicando los contenidos a los estudiantes en su forma sistémica se puede aspirar a que los mismos adquieran la capacidad y el hábito de analizar ellos mismos por su propia iniciativa, los problemas a que se enfrenten, teniendo entre sus objetivo determinar las relaciones sistémicas en las que estos se manifiestan, en otras palabras, adquieran el hábito de la orientación sistémica en el contenido. El profesional que adquiere el hábito de la orientación sistémica en el contenido, no sólo es capaz de encontrar la estructura de sistema de los conocimientos que adquiere, sino también, enfocar sistémicamente lo que produce, con lo que aumenta sus posibilidades de comprender y hacerse comprender.

Bibliografía: 1.- Ausubel D, http://www.didacticahistoria.com/psic/psic02.htm 2.-

Blanco R.

Subsistema didáctico de la disciplina Matemática para Ciencias

Técnicas,

fundamentado en las leyes de la asimilación y la teoría del conocimiento. Tesis de Doctorado. Junio 1998. 3.- Budak B.M. ; Samarski A.A. A collection of problems on Mathematical Physics. Ediciones Revolucionarias 1964. 4.- Krasnov M. et. al. Curso de Matemática Superior para Ingenieros. Tomo II Edit. Mir. 1990. 5.- Layton D. Innovaciones en la educación en ciencia y tecnología. Vol. III. ISBN 92-3-302664-7, 269 pag. 1996. 6.- Mustoe L. 2002. Mathematics in engineering education. Science and Engineering Foundation Studies. Loughborough University. 7.- Papini M.C., Otero M. R. 1997. Los supuestos en la enseñanza de la Matemática. Rev. Tarbiya. No. 15 8.- Smirnov V.I. 1964 A course of higher Mathematics. Vol (IV). Pergamon Press 9.- Temple H. F. 2002. Convergence for Fourier series, solutions of the forced harmonic oscillator II. International Journal of Mathematical Education in Science and Tecnology. 10.- Santiago D. y Quezada L. 2005. El Uso de las Nuevas Tecnologías de la Información en la enseñanza de las Matemáticas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18. 11.- Zill D. G. 1997 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado. 6ta Edición. Editorial Thomson.