Ecuaciones Diferenciales Unidad I.pdf

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Academia de C´alculo Multivariado y Ecuaciones Diferenciales Universidad Aut´ onoma de Yucat´ an, Facultad de Ingenier´ıa Qu´ımica

Enero - Mayo 2018

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Idea intuitiva de ecuaci´on diferencial

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

• Uno de los objetivos del curso es resolver ecuaciones

diferenciales. • La idea intuitiva de las ecuaciones diferenciales esta contenida en el mismo nombre, es decir, Ecuaci´on Diferencial, para comprender a que se refiere basta recordar: • ¿Qu´ e objeto matem´atico se denomina ecuaci´ on? • ¿Con qu´ e concepto esta relacionado diferencial?

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on y ejemplos Definici´on (Ecuaci´on Diferencial) Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as funciones dependientes con respecto a una o m´as variables es una ecuaci´on diferencial

Ecuaciones Diferenciales

Definici´on y ejemplos

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on (Ecuaci´on Diferencial) Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as funciones dependientes con respecto a una o m´as variables es una ecuaci´on diferencial

Ejemplos Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: a) y 0 (x) = 5y(x)

Ecuaciones Diferenciales

Definici´on y ejemplos

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on (Ecuaci´on Diferencial) Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as funciones dependientes con respecto a una o m´as variables es una ecuaci´on diferencial

Ejemplos Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: a) y 0 (x) = 5y(x) b) x0 (t) = x(t)(1 − x(t))

Ecuaciones Diferenciales

Definici´on y ejemplos

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on (Ecuaci´on Diferencial) Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as funciones dependientes con respecto a una o m´as variables es una ecuaci´on diferencial

Ejemplos Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: a) y 0 (x) = 5y(x) b) x0 (t) = x(t)(1 − x(t)) c) uxx (x, t) + utt (x, y) = 0

Ecuaciones Diferenciales

Definici´on y ejemplos

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on (Ecuaci´on Diferencial) Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as funciones dependientes con respecto a una o m´as variables es una ecuaci´on diferencial

Ejemplos Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: a) y 0 (x) = 5y(x) b) x0 (t) = x(t)(1 − x(t)) c) uxx (x, t) + utt (x, y) = 0

d) y (4) − 4y (2) = sen t

Ecuaciones Diferenciales

Definici´on y ejemplos

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on (Ecuaci´on Diferencial) Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as funciones dependientes con respecto a una o m´as variables es una ecuaci´on diferencial

Ejemplos Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: a) y 0 (x) = 5y(x)

d) y (4) − 4y (2) = sen t

b) x0 (t) = x(t)(1 − x(t))

e) x2 y 00 − xy 0 + y = ln x

c) uxx (x, t) + utt (x, y) = 0

Ecuaciones Diferenciales

Definici´on y ejemplos

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on (Ecuaci´on Diferencial) Una ecuaci´on que contiene las derivadas de una o m´as funciones dependientes con respecto a una o m´as variables es una ecuaci´on diferencial

Ejemplos Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: a) y 0 (x) = 5y(x)

d) y (4) − 4y (2) = sen t

b) x0 (t) = x(t)(1 − x(t))

e) x2 y 00 − xy 0 + y = ln x

c) uxx (x, t) + utt (x, y) = 0

f) y 00 − y = e2x cos(3x)

Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Cuando una funci´ on y(x), se sustituye en una ecuaci´on diferencial y la igualdad establecida por la ecuaci´on es verdadera, se dice que y(x) es una soluci´ on de la ecuaci´ on

Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Cuando una funci´ on y(x), se sustituye en una ecuaci´on diferencial y la igualdad establecida por la ecuaci´on es verdadera, se dice que y(x) es una soluci´ on de la ecuaci´ on

Ejemplo (Ecuaciones y soluciones) dy La ecuaci´on diferencial dx = xy 1/2 tiene por soluci´on a la x4 funci´on y = 16 . Esto se comprueba de la siguiente manera:

• Calculando y 0 =

Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Cuando una funci´ on y(x), se sustituye en una ecuaci´on diferencial y la igualdad establecida por la ecuaci´on es verdadera, se dice que y(x) es una soluci´ on de la ecuaci´ on

Ejemplo (Ecuaciones y soluciones) dy La ecuaci´on diferencial dx = xy 1/2 tiene por soluci´on a la x4 funci´on y = 16 . Esto se comprueba de la siguiente manera: 3 • Calculando y 0 = x4 , dy • Sustituyendo y 0 y y 1/2 en la ED dx = xy 1/2 obteniendo la

expresi´on

Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Cuando una funci´ on y(x), se sustituye en una ecuaci´on diferencial y la igualdad establecida por la ecuaci´on es verdadera, se dice que y(x) es una soluci´ on de la ecuaci´ on

Ejemplo (Ecuaciones y soluciones) dy La ecuaci´on diferencial dx = xy 1/2 tiene por soluci´on a la x4 funci´on y = 16 . Esto se comprueba de la siguiente manera: 3 • Calculando y 0 = x4 , dy • Sustituyendo y 0 y y 1/2 en la ED dx = xy 1/2 obteniendo la q

expresi´on

x3 4

=x

x4 16

• Despu´ es de simplificar la expresi´ on anterior tenemos

Ecuaciones Diferenciales

Soluci´on de una ecuaci´on diferencial

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Cuando una funci´ on y(x), se sustituye en una ecuaci´on diferencial y la igualdad establecida por la ecuaci´on es verdadera, se dice que y(x) es una soluci´ on de la ecuaci´ on

Ejemplo (Ecuaciones y soluciones) dy La ecuaci´on diferencial dx = xy 1/2 tiene por soluci´on a la x4 funci´on y = 16 . Esto se comprueba de la siguiente manera: 3 • Calculando y 0 = x4 , dy • Sustituyendo y 0 y y 1/2 en la ED dx = xy 1/2 obteniendo la q

expresi´on

x3 4

=x

x4 16

• Despu´ es de simplificar la expresi´ on anterior tenemos x3 4

=

x3 4 ,

lo que significa que y =

x4 16

es soluci´on de la ED

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejercicio Verificar que la funci´ on proporcionada es soluci´on de la ecuaci´on diferencial a) y = e−x para y 00 − y = 0 2

b) y = ex para y 0 = 2xy

Ejercicio (Relacione las columnas) Relacionar cada ecuaci´ on diferencial con su soluci´on y = cos(4x) 00 a) y + 16y = 0 y = xex 0 b) y − 5y = 0 y = e5x 00 0 y = − sen(4x) c) y − 2y + y = 0

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

Soluciones de una ED • La ecuaci´ on diferencial y 0 = cos x, puede resolverse emple-

ando c´alculo integral. • Despu´ es de integrar, la soluci´ on es y = sen x + C, con C arbitraria, es decir, hay una infinidad de valores posible para C • Note que para cada valor particular de C se obtiene una soluci´on. Gr´aficamente para c = −2, −1, 0, 1, 2, 3 se tienen las soluciones

ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Figura: Soluciones de y 0 = cos x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Soluci´on general y soluci´on particular Para la soluci´on y = sen x + C, de la ecuaci´on y 0 = cos x • Se acostumbra hacer referencia a esta formula que incluye

una constante arbitraria como soluci´ on general de una ecuaci´on diferencial • Y si se elige un valor espec´ıfico de c, se obtiene lo que se

conoce como soluci´ on particular En conclusi´on y = sen x+C es la soluci´ on general de y 0 = cos x, y y = sen x, sen x − 2, y = sen x + 2, etc´etera, son soluciones particulares. Los m´etodos del curso permiten obtener soluciones generales de las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales

Clasificaci´on e Importancia

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

• Para encontrar la soluci´ on de una ecuaci´on diferencial exis-

ten diferentes m´etodos o t´ecnicas. • La aplicaci´ on correcta de cada t´ecnica depende fuertemente

de la clase de ecuaci´ on diferencial que se presenta, es decir, se requiere saber su clasificaci´ on. • Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a: Tipo: Ordinario o Parcial Orden: Primer orden, segundo orden, tercer orden, etc´etera. Grado: Primer grado, segundo grado, tercer grado, etc´etera. 4 Linealidad: Lineal o No lineal 1 2 3

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Clasificaci´on por Tipo • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO). Estas ecuaciones

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

involucran derivadas de variables que dependen solamente de una variable. Por ejemplo d2 y dy dy + 10y = ex y + 6y = 0 − 2 dx dx dx • Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP). Estas ecuaciones

involucran derivadas de variables que dependen de varias variables, es decir, involucran derivadas parciales. Por ejemplo ∂2u ∂ 2 u ∂v ∂v ∂3µ =− 2 y +v +µ 3 =0 2 ∂x ∂y ∂t ∂x ∂x

Ecuaciones Diferenciales

Clasificaci´on por Orden

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

El orden de una ecuaci´ on diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el mismo que el de la derivada de mayor orden en la ecuaci´on.

Ejemplos 1

2 3

La ecuaci´on diferencial orden

d2 y dx2

+5



dy dx

3

− 4y = ex es de

dy + y = x es de La ecuaci´on diferencial 4x dx

La ecuaci´on diferencial

y 000

− 3y 00

+ y = 0 es de

orden orden

Ecuaciones Diferenciales

Clasificaci´on por Orden

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

El orden de una ecuaci´ on diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el mismo que el de la derivada de mayor orden en la ecuaci´on.

Ejemplos 1

La ecuaci´on diferencial segundo orden

d2 y dx2

+5



dy dx

3

− 4y = ex es de

2

dy La ecuaci´on diferencial 4x dx + y = x es de primer orden

3

La ecuaci´on diferencial y 000 − 3y 00 + y = 0 es de tercer orden

Ecuaciones Diferenciales

Clasificaci´on por grado

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

El grado de una ecuaci´ on diferencial se define como la potencia que aparece en la derivada de mayor orden en la ecuaci´on diferencial.

Ejemplos Identificar el grado cada una de las siguientes ED 1

y0 + y2 = x

2 (y 00 )2 3 y (3)

+

+

y0

y3

=

Grado ex

=x

Grado Grado

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Clasificaci´on seg´un su linealidad Definici´on Una ecuaci´on diferencial se denomina lineal si se puede escribir de la forma an (x)

dn y d(n−1) y dy + a (x) + . . . + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). n−1 (n−1) dxn dx dx

donde ai (x) denota una funci´ on en x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Clasificaci´on seg´un su linealidad Definici´on Una ecuaci´on diferencial se denomina lineal si se puede escribir de la forma an (x)

dn y d(n−1) y dy + a (x) + . . . + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). n−1 (n−1) dxn dx dx

donde ai (x) denota una funci´ on en x Esto es, que cumple las dos siguientes condiciones: 1

La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo t´ermino donde aparece y es 1.

2

Cada coeficiente solo depende de x que es la variable independiente.

Si alguna de las condiciones no se cumple, se dice simplemente que la ED es no lineal

Ecuaciones Diferenciales

Clasificaci´on por linealidad

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Ejemplos Las ecuaciones diferenciales 1

(y − x) + 4xy 0 = 0

2

y 00 − 2y 0 + y = 0

3

d y x3 dx 3 −

3

+ 6y = ex

son lineales. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales 1 2

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

dy dx

3

(1 + y)y 0 + 2y = ex d2 y dx2 d4 y dx4

+ sen y = 0 + y2 = 0

son no lineales

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Indicar: la variable independiente, la variable dependiente, el orden, el grado y la linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales 1

2 3 4

(1 − x)y 00 − 4xy 0 + 5y = cos(x)  4 dy d3 y x 3 −2 +y = 0 dx dx xx0 + 2y = 1 + t2 dy x2 +(y −xy −xex ) = 0 dx

8

x3 y (4) − x2 y 00 + 4xy 0 = 3y d2 y + 9y = sen y dx2 d2 r k =− 2 2 dt r (sen x)y 000 − (cos x)y 0 = 2

9

P 0 = 4P

5 6

7

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En general, para entender y poder resolver una ecuaci´on diferencial requerimos ´ - Algebra (despejes, factorizaciones, leyes de exponentes, . . .)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En general, para entender y poder resolver una ecuaci´on diferencial requerimos ´ - Algebra (despejes, factorizaciones, leyes de exponentes, . . .) - Funciones (gr´afica, evaluaci´ on, interpretaci´on)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En general, para entender y poder resolver una ecuaci´on diferencial requerimos ´ - Algebra (despejes, factorizaciones, leyes de exponentes, . . .) - Funciones (gr´afica, evaluaci´ on, interpretaci´on) - L´ımites (evaluaci´ on e interpretaci´ on)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En general, para entender y poder resolver una ecuaci´on diferencial requerimos ´ - Algebra (despejes, factorizaciones, leyes de exponentes, . . .) - Funciones (gr´afica, evaluaci´ on, interpretaci´on) - L´ımites (evaluaci´ on e interpretaci´ on) - C´alculo Diferencial (notaci´ on, t´ecnicas, evaluaci´on)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En general, para entender y poder resolver una ecuaci´on diferencial requerimos ´ - Algebra (despejes, factorizaciones, leyes de exponentes, . . .) - Funciones (gr´afica, evaluaci´ on, interpretaci´on) - L´ımites (evaluaci´ on e interpretaci´ on) - C´alculo Diferencial (notaci´ on, t´ecnicas, evaluaci´on) - C´alculo Integral (notaci´ on, t´ecnicas, evaluaci´on)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En general, para entender y poder resolver una ecuaci´on diferencial requerimos ´ - Algebra (despejes, factorizaciones, leyes de exponentes, . . .) - Funciones (gr´afica, evaluaci´ on, interpretaci´on) - L´ımites (evaluaci´ on e interpretaci´ on) - C´alculo Diferencial (notaci´ on, t´ecnicas, evaluaci´on) - C´alculo Integral (notaci´ on, t´ecnicas, evaluaci´on) Una aplicaci´on importante de las ecuaciones diferenciales se da en la rama de la Modelaci´ on Matem´atica, hablemos de sus principios b´asicos antes de seguir con ED.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales

¿Modelaci´on matem´atica o modelo matem´atico?

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Podemos entender la modelaci´ on matem´ atica como: “ El proceso para representar el comportamiento o din´amica de un sistema o fen´ omeno de la vida real en mediante objetos matem´aticos§ ”

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

§

constantes, variables, razones de cambio, funciones, gr´ aficas, antiderivadas

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

A menudo es de inter´es resolver una ecuaci´on diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En alg´ un intervalo I que contenga al valor x0 .

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

A menudo es de inter´es resolver una ecuaci´on diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En alg´ un intervalo I que contenga al valor x0 . El problema es: dn y = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) dxn Sujeto a: y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 , (1) en donde y0 , y1 , . . . , yn−1 son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se llama problema de valor inicial. Resolver:

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

A menudo es de inter´es resolver una ecuaci´on diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En alg´ un intervalo I que contenga al valor x0 . El problema es: dn y = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ) dxn Sujeto a: y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 , (1) en donde y0 , y1 , . . . , yn−1 son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se llama problema de valor inicial. Los valores dados en la funci´ on desconocida, y(x), y de sus primeras n − 1 derivadas en un solo punto x0 : y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , . . ., y (n−1) (x0 ) = yn−1 se llaman condiciones iniciales. Resolver:

Ecuaciones Diferenciales

¿C´omo se resuelve un Problema de Valor Inicial?

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Como se ha comentado previamente un P.V.I. est´a conformado por 2 elementos: 1

Una ecuaci´ on diferencial

2

Una condici´ on particular para su soluci´on

Ecuaciones Diferenciales

¿C´omo se resuelve un Problema de Valor Inicial?

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Como se ha comentado previamente un P.V.I. est´a conformado por 2 elementos: 1

Una ecuaci´ on diferencial

2

Una condici´ on particular para su soluci´on

Ejemplo Resolver: y 0 = y Sujeto a: y(0) = 3

Ecuaciones Diferenciales

¿C´omo se resuelve un Problema de Valor Inicial?

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Como se ha comentado previamente un P.V.I. est´a conformado por 2 elementos: 1

Una ecuaci´ on diferencial

2

Una condici´ on particular para su soluci´on

Ejemplo Resolver: y 0 = y Sujeto a: y(0) = 3 Para resolverlo se requiere lo siguiente: 1

Resolver la ecuaci´ on diferencial, para tener la soluci´on general

2

en la soluci´ on general, sustituir la condici´on para encontrar el valor de la constante C de la soluci´ on general

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Vemos un ejemplo concreto

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Resolviendo un PVI Ejemplo Resolver: y 0 = y Sujeto a: y(0) = 3 Soluci´ on Paso 1 Resolviendo (como veremos en el curso) la ED y 0 = y tenemos la soluci´ on general y = Cet Paso 2 En la soluci´ on y(t) = Cet sustituimos y(0) = 3, es decir, t = 0, y = 3, obteniendo

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

3 = Ce0 ⇒ C = 3 Paso 3 As´ı la soluci´ on al PVI es y(t) = 3et

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver los siguientes PVI 1

2

Resolver: y 0 = y, sujeto a y(1) = −2. (En este caso la sol. gral de la ED es y = Cet )

Resolver: x00 + 16x = 0, sujeto a: x π2 = −2, x0 π2 = 1 (En este caso la sol. gral. de la ED es x(t) = c1 cos(4t) + c2 sen(4t))

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver los siguientes PVI 1

2

Resolver: y 0 = y, sujeto a y(1) = −2. (En este caso la sol. gral de la ED es y = Cet )

Resolver: x00 + 16x = 0, sujeto a: x π2 = −2, x0 π2 = 1 (En este caso la sol. gral. de la ED es x(t) = c1 cos(4t) + c2 sen(4t))

Sol. 1

y(t) = −2et−1

2

x(t) = −2 cos(4t) +

1 sen(4t) 4

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales

ED separable

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaci´on de variables separables Una ecuaci´on diferencial de primer orden de la forma dy = g(x)h(y) dx es decir, que se puede factorizar, como un producto de dos funciones g que solo depende de x y h que solo depende de y. Se dice que es separable o que tiene variables separables.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

¿C´omo resolver un ED separable? dy Paso 1 Con la expresi´ on en la forma = g(x)h(y), reedx scribimos como 1 dy = g(x) dx h(y) es decir “todos los factores con una misma variable del mismo lado”. Paso 2 Se integra ambos lados de la ecuaci´on, respecto a la variable correspondiente Z Z 1 dy = g(x) dx h(y)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Comentarios del m´etodo

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

• Separar variables y multiplicar ambos lados por la diferencial

dx (o cualquiera que esta sea) es una notaci´on convencional del m´etodo, de manera formal se usa un cambio de variable. • No hay necesidad de emplear dos constantes cuando se inte-

gran ambos lados de una ecuaci´ on separable, pues si escribimos H(y)+C1 = G(x)+C2 , entonces la diferencia C1 −C2 (o viceversa) se puede sustituir por una sola constante C

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy − =0 ⇒ Simplificando (1 + x)y (1 + x)y

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy dx dy − =0 ⇒ − =0 Simplificando y (1 + x)y (1 + x)y 1+x ⇒

Despejando

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy dx dy − =0 ⇒ − =0 Simplificando y (1 + x)y (1 + x)y 1+x dy dx ⇒ = Despejando y 1+x ⇒

Integrando

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy dx dy − =0 ⇒ − =0 Simplificando y (1 + x)y (1 + x)y 1+x dy dx ⇒ = Despejando y 1+x Z Z dy dx ⇒ = Integrando y 1+x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy dx dy − =0 ⇒ − =0 Simplificando y (1 + x)y (1 + x)y 1+x dy dx ⇒ = Despejando y 1+x Z Z dy dx ⇒ = Integrando y 1+x ⇒ ln y = ln(1 + x) + c

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy dx dy − =0 ⇒ − =0 Simplificando y (1 + x)y (1 + x)y 1+x dy dx ⇒ = Despejando y 1+x Z Z dy dx ⇒ = Integrando y 1+x ⇒ ln y = ln(1 + x) + c ⇒

Con la expon.

eln y = eln(1+x)+c = eln(1+x) · ec

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy dx dy − =0 ⇒ − =0 Simplificando y (1 + x)y (1 + x)y 1+x dy dx ⇒ = Despejando y 1+x Z Z dy dx ⇒ = Integrando y 1+x ⇒ ln y = ln(1 + x) + c ⇒

eln y = eln(1+x)+c = eln(1+x) · ec

⇒

y = (1 + x)ec = ec (1 + x).

Con la expon. Simplificando

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Ejemplo Resuelva (1 + x)dy − ydx = 0 Soluci´ on. Primero separamos las variables mediante un arreglo algebraico, en este caso, dividiendo la ED por (1 + x)y, obtenemos ydx (1 + x)dy dx dy − =0 ⇒ − =0 Simplificando y (1 + x)y (1 + x)y 1+x dy dx ⇒ = Despejando y 1+x Z Z dy dx ⇒ = Integrando y 1+x ⇒ ln y = ln(1 + x) + c ⇒

eln y = eln(1+x)+c = eln(1+x) · ec

⇒

y = (1 + x)ec = ec (1 + x).

Con la expon. Simplificando

Con c1 = ec obtenemos como soluci´ on gral. y = c1 (1 + x).

Ecuaciones Diferenciales

M´as Ejemplos

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el m´etodo de separaci´on de variables 1 2 3 4 5

2y 0 + y = 0 y 0 = e3x+2y dy = y2 − 4 dx dT = k(T − 70) dt dN + N = N tet+2 dt

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales o PVI usando el m´etodo de separaci´ on de variables 1 2

3

Resolver y 0 + 2xy 2 = 0 x Resolver y 0 = − , sujeto a y(4) = −3 y dibuja la soluci´on y particular dy Resolver (e2y − y) cos x = ey sen(2x), sujeto a y(0) = 0 dx

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales o PVI usando el m´etodo de separaci´ on de variables Resolver y 0 + 2xy 2 = 0 x on 2 Resolver y 0 = − , sujeto a y(4) = −3 y dibuja la soluci´ y particular dy 3 Resolver (e2y − y) cos x = ey sen(2x), sujeto a y(0) = 0 dx Soluciones 1 1 y = x2 + C 2 x2 + y 2 = 25 1

3

ey + ye−y + e−y = −2 cos(x) + 4

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Sustituci´on

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

• De inicio hay ED que pueden no ser de variables separables • Sin embargo, con algunas de ellas podemos usar una susti-

tuci´on para resolver mediante separaci´ on de variables • La condici´ on es que tenga “coeficientes homog´eneos” • El m´ etodo y la teor´ıa se describe a continuaci´on

Ecuaciones Diferenciales

Funci´on homog´enea

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Si una funci´on f posee la propiedad f (tx, ty) = tα f (x, y) para alg´ un n´ umero real α, entonces se dice que f es una funci´on homog´enea de grado α.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Funciones homog´eneas Ejemplos • La funci´ on M (x, y) = x3 + y 3 es una funci´on homog´enea

de grado 3, pues al evaluar M (tx, ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3 x3 + t3 y 3 = t3 (x3 + y 3 ) = t3 M (x, y) • Mientras que la funci´ on N (x, y) = x3 + y 2 no es

homog´enea pues N (tx, ty) = (tx)3 + (ty)2 = t3 x3 + t2 y 2 = t2 (tx3 + y 2 ) 6= tα N (x, y) es decir, de N (tx, ty) no es posible factorizar tα por N

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Determinar cuales de las siguientes funciones son homog´eneas e indique su grado: 6

2

4x2 − 3xy p 2y + x2 + y 2

3

ex/y

7

4

x ln x − x ln y √ 2x − y

1

5

8

x2 + 3xy x − 2y
3/2 u2 + v 2   x 2 y tan y

Ecuaciones Diferenciales

Reducci´on a separaci´on de variables

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Una ecuaci´on diferencial de primer orden expresada como M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

(2)

se dice que es de coeficientes homog´eneos si ambas funciones M (x, y) y N (x, y) son ecuaciones homog´eneas del mismo grado.

Ecuaciones Diferenciales

Reducci´on a separaci´on de variables

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Una ecuaci´on diferencial de primer orden expresada como M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

(2)

se dice que es de coeficientes homog´eneos si ambas funciones M (x, y) y N (x, y) son ecuaciones homog´eneas del mismo grado. En otras palabras, (2) es homog´enea si M (tx, ty) = tα M (x, y)

y

N (tx, ty) = tα N (x, y).

Ahora listamos los pasos para reducir una ED con coeficientes homog´eneos a una ED de variables separables

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Reducci´on a separaci´on de variables Paso 1 Verificar que la ED en la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 tiene coeficientes homog´eneos Paso 2 Usar alguna de las sustituciones 1 y = ux, junto con su diferencial dy = u dx + x du 2 x = vy, junto con su diferencial dx = v dy + y dv en la ecuaci´ on diferencial. Paso 3 Despu´es de sustituir y simplificar, usamos separaci´ on de variables y se resuelve la ecuaci´on resultante Paso 4 Finalmente regresar a las variable originales con el cambio u = xy o v = xy , dependiendo de la sustituci´ on usada

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Resolver (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Resolver (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0. Soluci´ on. Tomando M (x, y) = x2 + y 2 y N (x, y) = x2 − xy y haciendo la prueba de homogeneidad a M (tx, ty) = t2 (x2 + y 2 ) y N (tx, ty) = t2 (x2 − xy) vemos que estos coeficientes son funciones homog´enas de grado 2.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Resolver (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0. Soluci´ on. Tomando M (x, y) = x2 + y 2 y N (x, y) = x2 − xy y haciendo la prueba de homogeneidad a M (tx, ty) = t2 (x2 + y 2 ) y N (tx, ty) = t2 (x2 − xy) vemos que estos coeficientes son funciones homog´enas de grado 2. Si tomamos y = ux con dy = u dx + x du, despu´es de sustituir y simplificar la ecuaci´ on se transforma en (x2 + u2 x2 ) dx + (x2 − ux2 )[u dx + x du] = 0 x2 (1 + u) dx + x3 (1 − u) du = 0 dx 1−u du + =0 1 + u x   2 dx −1 + du + = 0. 1+u x {z } | Divisi´ on de Polinomios

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Integrando la u ´ltima igualdad tenemos Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

− u + 2 ln(1 + u) + ln x = ln c  y y y ⇒ − + 2 ln 1 + + ln x = ln c ← sustituyendo u = . x x x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Integrando la u ´ltima igualdad tenemos Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

− u + 2 ln(1 + u) + ln x = ln c  y y y ⇒ − + 2 ln 1 + + ln x = ln c ← sustituyendo u = . x x x Por propiedades de logaritmos podemos escribir la soluci´on como   (x + y)2 y ln = o (x + y)2 = cxey/x . cx x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Comentarios

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

• Aunque cualquiera de las sustituciones indicadas puede ser

usada para resolver toda ecuaci´ on diferencial homog´enea, en la pr´actica se intenta x = vy cuando la funci´on M (x, y) es m´as simple que N (x, y). • Tambi´ en puede pasar que despu´es de usar una sustituci´on,

podemos encontrar integrales que son dif´ıciles o imposibles de evaluar; cambiar la sustituci´ on puede generar un problema m´as f´acil.

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

1

a) (x − y) dx + x dy = 0, (Sol. y + x ln x = cx) b) x dx + (y − 2x) dy = 0, (Sol. (x − y) ln(x − y) = y + c(x − y))

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resuelve la ecuaci´ on diferencial con la sustituci´on adecuada.

2

Resolver (x + yey/x ) dx − xey/x dy = 0, sujeto a y(1) = 0, (Sol. ln |x| = ey/x − 1)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Caso 2. Reducci´on a separaci´on de variables

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Una ecuaci´on diferencial de la forma dy = f (Ax + By + C) dx

(3)

siempre puede ser reducida una ecuaci´ on con variables separables por medio de la sustituci´ on u = Ax + By + C, B 6= 0

Ecuaciones Diferenciales

Caso 2. Reducci´on a separaci´on de variables

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo (Un problema de valor inicial) Resolver

dy = (−2x + y)2 − 7, y(0) = 0. dx

du dy Soluci´ on. Si tomamos u = −2x + y, entonces = −2 + , dx dx as´ı la ecuaci´on diferencial se transforma en du du + 2 = u2 − 7 o = u2 − 9. dx dx La u ´ltima ecuaci´ on es separable. Usando fracciones parciales   du 1 1 1 = dx o − du = dx (u − 3)(u + 3) 6 u−3 u+3 e integrando 1 u − 3 ln = x + c1 6 u + 3

o

u−3 = e6x+6c1 = ce6x . u+3

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Caso 2. Reducci´on a separaci´on de variables

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Despejando u de la u ´ltima ecuaci´ on y sustituyendo de nuevo obtenemos la soluci´ on u=

3(1 + ce6x ) 1 − ce6x

o

y = 2x +

3(1 + ce6x ) . 1 − ce6x

Finalmente aplicando la condici´ on inicial y(0) = 0 a la u ´ltima ecuaci´on, obtenemos c = −1 y la soluci´ on al problema de valor 3(1 − e6x ) inicial es y = 2x + . 1 + e6x

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

1

Resuelve las ecuaciones diferenciales dadas. dy = (x + y + 1)2 , (Sol. y = −x − 1 + tan(x + c)) dx dy 2 = tan2 (x + y), (Sol. 2y − 2x + sen(2(x + y)) = c) dx √ dy 3 = 2 + y − 2x + 3, (Sol. 4(y − 2x + 3) = (x + c)2 ) dx 1

2

Resuelve los problemas de valor inicial. 1

dy π = cos(x + y), y(0) = , (Sol. dx 4 √ − cot(x + y) + csc(x + y) = x + 2 − 1)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales

Diferencial Total

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Para una funci´on de dos variables u(x, y) , su diferencial total es ∂u ∂u du = dx + dy ∂x ∂y En el caso en que u(x, y) = C entonces du = 0. Para ilustrar lo anterior, considere u = x + x2 y 3 = c ⇒ du =

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Diferencial Total Para una funci´on de dos variables u(x, y) , su diferencial total es ∂u ∂u du = dx + dy ∂x ∂y En el caso en que u(x, y) = C entonces du = 0. Para ilustrar lo anterior, considere u = x + x2 y 3 = c ⇒ du = (1 + 2xy 3 ) dx + 3x2 y 2 dy = 0

Ecuaciones Diferenciales

Diferencial Total

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Para una funci´on de dos variables u(x, y) , su diferencial total es ∂u ∂u du = dx + dy ∂x ∂y En el caso en que u(x, y) = C entonces du = 0. Para ilustrar lo anterior, considere u = x + x2 y 3 = c ⇒ du = (1 + 2xy 3 ) dx + 3x2 y 2 dy = 0 ⇒ y0 = −

1 + 2xy 3 3x2 y 2

Reescribiendo

Note que a partir de u hemos obtenido una ED, el m´etodo consiste en: dada una ecuaci´ on diferencial obtener la funci´on u(x, y) = c.

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaci´on Diferencial Exacta

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on Una ecuaci´on diferencial de primer orden de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se llama exacta si el lado izquierdo de la igualdad es la diferencial total de alguna funci´ on f (x, y) Al integrar se llega, sin mayor problema, a la soluci´on general de la ED expresada en la forma f (x, y) = c

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

¿Qu´e se integra? Note que al comparar la ED M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 Con la diferencial total de f (x, y) = C ∂f ∂f dx + dy = 0 ∂x ∂y Podemos establecer las igualdades, (fundamentales para encontrar la soluci´on) M=

∂f ∂x

y

N=

∂f ∂y

As´ı para obtener la soluci´ on f (x, y) = C integramos Z Z f (x, y) = M (x, y) dx+h(y) o f (x, y) = N (x, y) dy+g(x)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Condici´on de Exactitud Para una funci´ on de dos variables f (x, y), recuerde que las derivadas parciales mixtas siempre son iguales, es decir, ∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x Entonces de las igualdades M = ∂f ∂x y N = soluci´ on f (x, y) existe se debe cumplir que

∂f ∂y ,

si la funci´ on

Criterio de exactitud ∂M ∂N = ∂y ∂x

(4)

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Es decir si la condici´ on (4) se cumple, podemos encontrar la soluci´on de la ED M (x, y) dx + N (x, y) dy) = 0

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo (Resolviendo una ecuaci´on diferencial exacta) Resuelva 2xy dx + (x2 − 1)dy = 0

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo (Resolviendo una ecuaci´on diferencial exacta) Resuelva 2xy dx + (x2 − 1)dy = 0 Soluci´ on Con M (x, y) = 2xy y N (x, y) = x2 − 1 tenemos que ∂M ∂N = 2x = ∂y ∂x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo (Resolviendo una ecuaci´on diferencial exacta) Resuelva 2xy dx + (x2 − 1)dy = 0 Soluci´ on Con M (x, y) = 2xy y N (x, y) = x2 − 1 tenemos que ∂M ∂N = 2x = ∂y ∂x As´ı la ecuaci´on es exacta y por la demostraci´on del teorema existe una funci´ on f (x, y) tal que ∂f = 2xy ∂x

y

∂f = x2 − 1. ∂y

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Al integrar la primera de estas ecuaciones, respecto a x, se obtiene f (x, y) = x2 y + g(y).

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Al integrar la primera de estas ecuaciones, respecto a x, se obtiene f (x, y) = x2 y + g(y). Tomando la derivada parcial de la u ´ltima expresi´on respecto a y y haciendo el resultado igual a N (x, y) se obtiene ∂f = x2 + g 0 (y) = x2 − 1. ∂y

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Al integrar la primera de estas ecuaciones, respecto a x, se obtiene f (x, y) = x2 y + g(y). Tomando la derivada parcial de la u ´ltima expresi´on respecto a y y haciendo el resultado igual a N (x, y) se obtiene ∂f = x2 + g 0 (y) = x2 − 1. ∂y Se tienen que g 0 (y) = −1, as´ı g(y) = −y.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Al integrar la primera de estas ecuaciones, respecto a x, se obtiene f (x, y) = x2 y + g(y). Tomando la derivada parcial de la u ´ltima expresi´on respecto a y y haciendo el resultado igual a N (x, y) se obtiene ∂f = x2 + g 0 (y) = x2 − 1. ∂y Se tienen que g 0 (y) = −1, as´ı g(y) = −y. Por tanto la f (x, y) = x2 y − y, as´ı la soluci´on de la ecuaci´on de forma impl´ıcita es x2 y − y = c. La forma expl´ıcita se ve c f´acilmente como y = 2 y est´a definida en cualquier interx −1 valo que no contenga ni a x = 1 ni a x = −1.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Resuelva (e2y − y cos(xy))dx + (2xe2y − x cos(xy) + 2y)dy = 0.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Resuelva (e2y − y cos(xy))dx + (2xe2y − x cos(xy) + 2y)dy = 0. Soluci´ on. La ecuaci´ on es exacta ya que con M (x, y) = e2y − y cos(xy) y N (x, y) = 2xe2y − x cos(xy) + 2y, tenemos ∂N ∂M = 2e2y + xy sen(xy) − cos(xy) = . ∂y ∂x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo Resuelva (e2y − y cos(xy))dx + (2xe2y − x cos(xy) + 2y)dy = 0. Soluci´ on. La ecuaci´ on es exacta ya que con M (x, y) = e2y − y cos(xy) y N (x, y) = 2xe2y − x cos(xy) + 2y, tenemos ∂N ∂M = 2e2y + xy sen(xy) − cos(xy) = . ∂y ∂x Por tanto existe una funci´ on f (x, y) para la cual M (x, y) =

∂f ∂x

y

N (x, y) =

∂f . ∂y

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Comenzando con la suposici´ on

∂f = N (x, y), es decir ∂y

∂f = 2xe2y − x cos(xy) + 2y ∂y Z Z Z 2y ⇒f (x, y) = 2x e dy − x cos(xy) dy + 2 y dy en la integraci´on recuerde que se considera a x como constante pues integramos respecto a y.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Entonces se tiene que f (x, y) = xe2y − sen(xy) + y 2 + h(x) ∂f ⇒ = e2y − y cos(xy) + h0 (x) ∂x = M (x, y) = e2y − y cos(xy).

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Entonces se tiene que f (x, y) = xe2y − sen(xy) + y 2 + h(x) ∂f ⇒ = e2y − y cos(xy) + h0 (x) ∂x = M (x, y) = e2y − y cos(xy). As´ı h0 (x) = 0 lo que implica que h(x) = c. Por tanto una familia de soluciones es xe2y − sen(xy) + y 2 + c = 0.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

PVI Ejemplo

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver

dy xy 2 − cos xsenx = , y(0) = 2. dx y(1 − x2 )

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

PVI Ejemplo dy xy 2 − cos xsenx = , y(0) = 2. dx y(1 − x2 ) Soluci´ on. Escribimos la ecuaci´ on diferencial en la forma Resolver

(cos x sen x − xy 2 )dx + y(1 − x2 )dy = 0 esta ecuaci´on satisface el criterio de la diferencial exacta, pues ∂M ∂N = −2xy = . ∂y ∂x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

PVI Ejemplo dy xy 2 − cos xsenx = , y(0) = 2. dx y(1 − x2 ) Soluci´ on. Escribimos la ecuaci´ on diferencial en la forma Resolver

(cos x sen x − xy 2 )dx + y(1 − x2 )dy = 0 esta ecuaci´on satisface el criterio de la diferencial exacta, pues ∂M ∂N = −2xy = . ∂y ∂x ∂f Por tanto existe una funci´ on f (x, y) = c tal que = cos x sen x− ∂x ∂f xy 2 y = y(1 − x2 ). ∂y

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Integrando con respecto a y Z Z ∂f y2 dy = y(1 − x2 )dy = (1 − x2 ) + h(x). ∂y 2

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Integrando con respecto a y Z Z ∂f y2 dy = y(1 − x2 )dy = (1 − x2 ) + h(x). ∂y 2 Derivando el resultado anterior respecto a x tendr´ıamos que ∂f = −xy 2 + h0 (x) = cos x sen x − xy 2 ∂x la u ´ltima ecuaci´ on implica que h0 (x) = cos x sen x. Integrando 1 tenemos h(x) = − cos2 x. 2

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Por tanto la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial es y2 1 (1−x2 )− cos2 x = c1 equivalentemente y 2 (1−x2 )−cos2 x = c 2 2

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Por tanto la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial es y2 1 (1−x2 )− cos2 x = c1 equivalentemente y 2 (1−x2 )−cos2 x = c 2 2 Usando la condici´ on inicial tomando y = 2 y x = 0 tenemos que c = 3. Por tanto la soluci´ on al PVI es y 2 (1 − x2 ) − cos2 x = 3.

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales o problemas de valor inicial, comprobando antes si se trata de una ED exacta 1

(2x − 1) dx + (3y + 7) dy = 0

2

(5x + 4y) dx + (4x − 8y 3 ) dy = 0

3

Resuelve el PVI (4y + 2t − 5) dt + (6y + 4t − 1) dy = 0, y(−1) = 2

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

¿Qu´e es un factor integrante?

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En el caso en que una ecuaci´ on de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

(5)

no sea exacta, es decir, ∂M 6 ∂N un podemos encontrar ∂y = ∂x , a´ un factor integrante, esto es, una funci´ on µ de modo que al multiplicarla por ecuaci´ on (5), es decir µM (x, y) dx + µN (x, y) dy = 0, la ecuaci´on diferencial sea exacta

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

¿C´omo encontrar µ? De acuerdo a la deducci´ on mostrada en clase, existen dos alternativas posibles para µ a) La primera posibilidad para µ es una funci´on que solo depende de x Z ∂M − ∂N ∂y ∂x dx N µ(x) = e note que en la expresi´ on anterior, el exponente de e es Z ∂M − ∂N ∂y ∂x dx N b) La segunda posibilidad para µ es una funci´on que solo depende de y Z ∂N − ∂M ∂x ∂y dy M µ(y) = e

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Comentarios

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Z • En las f´ ormulas anteriores, es importante que

∂M ∂y

−

∂N ∂x

dx N sea solamente una funci´ on que solo depende de x, de manZ ∂N − ∂M ∂x ∂y dy debe ser una funci´on que solo era similar M depende de y, en caso de alguna de las expresiones anteriores depende de m´as de una variable, la conclusi´on es que no ser´a de utilidad como factor integrante

• En caso de que ninguna de las f´ ormulas de los incisos anteri-

ores, pueda ser usada como factor integrante, otro m´etodo de soluci´on es la alternativa

Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver la ecuaci´ on diferencial xy dx + (2x2 + 3y 2 − 20)dy = 0 encontrando un factor integrante para que sea exacta

Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver la ecuaci´ on diferencial xy dx + (2x2 + 3y 2 − 20)dy = 0 encontrando un factor integrante para que sea exacta Soluci´ on Identificando M (x, y) = xy, N (x, y) = 2x2 + 3y 2 − 20, tenemos que My = x y Nx = 4x, por tanto la ecuaci´on diferencial no es exacta.

Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Resolver la ecuaci´ on diferencial xy dx + (2x2 + 3y 2 − 20)dy = 0 encontrando un factor integrante para que sea exacta Soluci´ on Identificando M (x, y) = xy, N (x, y) = 2x2 + 3y 2 − 20, tenemos que My = x y Nx = 4x, por tanto la ecuaci´on diferencial no es exacta. M −N Calculando el cociente yN x obtenemos My − Nx x − 4x −3x = 2 = 2 2 N 2x + 3y − 20 2x + 3y 2 − 20 depende de x y y, por lo cual no nos ser´a u ´til.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

continuaci´on Calculando el cociente

Nx −My M

tenemos

Nx − My 4x − x 3x 3 = = = M xy xy y que depende solo de y, por tanto nos servir´a para el factor integrante.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

continuaci´on Calculando el cociente

Nx −My M

tenemos

Nx − My 4x − x 3x 3 = = = M xy xy y que depende solo de y, por tanto nos servir´a para el factor integrante. Por tanto el factor integrante es e

R

(3 dy)/y

3

= e3 ln y = eln y = y 3 .

Ahora multiplicamos la ecuaci´ on diferencial por µ(y) = y 3 , obteniendo xy 4 dx + (2x2 y 3 + 3y 5 − 20y 3 ) dy = 0 la cual es exacta y al resolver (hacerlo) obtenemos como familia de soluciones 1 2 4 1 6 x y + y − 5y 4 = c. 2 2

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Comentarios

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

* Cuando probamos la exactitud de una ecuaci´on, debemos asegurarnos que la ecuaci´ on diferencial este escrita de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0. En ocasiones una ecuaci´on diferencial es escrita como G(x, y) dx = H(x, y) dy. En este caso, reescribimos primero la ED como G(x, y) dx− H(x, y) dy = 0, entonces identificamos M (x, y) = G(x, y) y N (x, y) = −H(x, y) antes de usar alguna f´ormula o criterio.

Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

1

1 2 3

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En los siguientes ejercicios verifica que la ecuaci´on no es exacta y resuelve el problema encontrando un factor integrante adecuado y verifica que la nueva ecuaci´on sea exacta.

2

(2y 2 + 3x) dx + 2xy dy = 0, (Sol. x2 y 2 + x3 = c) 6xy dx + (4y + 9x2 ) dy = 0, (Sol. 3x2 y 3 + y 4 = c) (10 − 6y + e−3x ) dx − 2dy = 0, (Sol. 3x −2ye3x + 10 + x = c) 3 e

Resuelve el problema de valor inicial dado, encontrando un factor integrante adecuado. 1

x dx + (x2 y + 4y) dy = 0, y(4) = 0, (Sol. 2 ey (x2 + 4) = 20)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Definici´on (Ecuaci´ on Lineal) Una ecuaci´on diferencial de primer orden de la forma a1 (x)y 0 + a0 (x)y = g(x)

(6)

se dice que es una ecuaci´ on lineal en la variable dependiente y Comentarios: 4 Las funciones coeficiente a1 (x), a0 (x) y g(x) solo dependen de x. 4 En los casos en que g(x) = 0 en la ecuaci´on (6), la ED se denomina homog´enea 4 Si g(x) 6= 0 en (6) la ED no es homog´enea.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Forma Est´andar.

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Al dividir ambos lados de la ecuaci´ on (6) entre el primer coeficiente a1 (x), se obtiene una expresi´ on conocida como la forma est´andar de la ecuaci´ on lineal dy + P (x)y = f (x). dx

(7)

Nota: De manera coloquial podemos decir una expresi´on donde el coeficiente de y 0 es 1 es la forma est´andar de un ED de primer orden

Ecuaciones Diferenciales

El factor integrante

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Como se ilustr´o en clase, el factor integrante para la ED (7) es e

R

P (x) dx

donde P (x) es el coeficiente de y en la forma est´andar y 0 + P (x)y = f (x)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

M´etodo • Con el factor integrante, multiplicamos la forma est´ andar

por el factor integrante, obteniendo Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

R

e

P (x) dx 0

y + P (x)e

R

P (x) dx

y = f (x)e

R

P (x) dx

• Note que el lado izquierdo

d  R P (x) dx  ye dx d  R P (x) dx  es decir, se reescribe como ye (siempre) dx • Entonces para la soluci´ on de la ED integramos ambos lados respecto a x Z Z R d  R P (x) dx  ye dx = f (x)e P (x) dx dx + C dx e

R

P (x) dx 0

R

y + P (x)e

P (x) dx

y=

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy − 4y = x6 ex . dx Soluci´ on. Para obtener la forma est´andar dividimos por x obteniendo dy 4 − y = x5 ex dx x x

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy − 4y = x6 ex . dx Soluci´ on. Para obtener la forma est´andar dividimos por x obteniendo dy 4 − y = x5 ex dx x 4 Identificamos P (x) = − , de aqu´ı el factor integrante es x x

e−4

R

dx x

= e−4 ln x = eln x

−4

= x−4 .

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ahora multiplicamos la forma est´andar de la ecuaci´on por el factor x−4 obteniendo x−4

dy − 4x−5 y = xex dx

simplificando

d −4 [x y] = xex dx

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ahora multiplicamos la forma est´andar de la ecuaci´on por el factor x−4 obteniendo x−4

dy − 4x−5 y = xex dx

simplificando

d −4 [x y] = xex dx

Integrando por partes el lado derecho obtenemos la soluci´on general x−4 y = xex − ex + c, equivalentemente, y = x5 ex − x4 ex + cx4

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo (x2 − 9)

dy + xy = 0. dx

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy + xy = 0. dx Soluci´ on. Escribiendo la ecuaci´ on en su forma est´andar obtenemos dy x + 2 y=0 dx x − 9 (x2 − 9)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy + xy = 0. dx Soluci´ on. Escribiendo la ecuaci´ on en su forma est´andar obtenemos dy x + 2 y=0 dx x − 9 x identificamos P (x) = 2 , entonces el factor integrante es x −9 R x R 2x p 1 1 2 dx dx e x2 −9 = e 2 x2 −9 = e 2 ln |x −9| = x2 − 9. (x2 − 9)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Multiplicamos la forma est´andar de la ecuaci´on por el factor integrante anterior y obtenemos i d hp 2 x − 9y = 0. dx

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Multiplicamos la forma est´andar de la ecuaci´on por el factor integrante anterior y obtenemos i d hp 2 x − 9y = 0. dx Integrando ambos lados de la u ´ltima ecuaci´on obtenemos la √ c 2 soluci´on x − 9y = c, equivalentemente y = √ . 2 x −9

Ecuaciones Diferenciales

PVI por factor integrante

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy + y = x, y(0) = 4. dx

Ecuaciones Diferenciales

PVI por factor integrante

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy + y = x, y(0) = 4. dx Soluci´ on. • En este caso el factor integrante es ex ,

Ecuaciones Diferenciales

PVI por factor integrante

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy + y = x, y(0) = 4. dx Soluci´ on. • En este caso el factor integrante es ex , • multiplicando la forma est´ andar por este factor e

integrando por partes obtenemos la soluci´on y = x − 1 + ce−x ,

Ecuaciones Diferenciales

PVI por factor integrante

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo dy + y = x, y(0) = 4. dx Soluci´ on. • En este caso el factor integrante es ex , • multiplicando la forma est´ andar por este factor e

integrando por partes obtenemos la soluci´on y = x − 1 + ce−x , • considerando la condici´ on inicial tomamos y = 4 y x = 0

para encontrar c, asi la soluci´ on al PVI es y = x − 1 + 5e−x .

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales

¿Modelaci´on matem´atica o modelo matem´atico?

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Podemos entender la modelaci´ on matem´ atica como: “ El proceso para representar el comportamiento o din´amica de un sistema o fen´ omeno de la vida real en mediante objetos matem´aticos§ ”

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

§

constantes, variables, razones de cambio, funciones, gr´ aficas, antiderivadas

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

¿Modelaci´on matem´atica o modelo matem´atico?

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

En tanto que “Un modelo matem´ atico es el resultado obtenido del proceso de modelaci´ on matem´atica”

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

¿C´omo iniciar la modelaci´on para obtener un modelo? Una serie de pasos que se pueden seguir para obtener un modelo son los siguientes: - la identificaci´ on de las variables que ocasionan el cambio del sistema (podemos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo),

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

¿C´omo iniciar la modelaci´on para obtener un modelo? Una serie de pasos que se pueden seguir para obtener un modelo son los siguientes: - la identificaci´ on de las variables que ocasionan el cambio del sistema (podemos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo), despu´es - establecer un conjunto de suposiciones razonables o hip´otesis acerca del sistema que estamos tratando de describir.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

¿C´omo iniciar la modelaci´on para obtener un modelo? Una serie de pasos que se pueden seguir para obtener un modelo son los siguientes: - la identificaci´ on de las variables que ocasionan el cambio del sistema (podemos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo), despu´es - establecer un conjunto de suposiciones razonables o hip´otesis acerca del sistema que estamos tratando de describir. - En general, los fen´ omenos de la vida real est´an en cambio constante lo cual involucra razones de cambio de una o m´as variables.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

¿C´omo iniciar la modelaci´on para obtener un modelo? Una serie de pasos que se pueden seguir para obtener un modelo son los siguientes: - la identificaci´ on de las variables que ocasionan el cambio del sistema (podemos elegir no incorporar todas estas variables en el modelo desde el comienzo), despu´es - establecer un conjunto de suposiciones razonables o hip´otesis acerca del sistema que estamos tratando de describir. - En general, los fen´ omenos de la vida real est´an en cambio constante lo cual involucra razones de cambio de una o m´as variables.

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Tomando en cuenta lo anterior obtenemos expresiones que involucran derivadas, en otras palabras, ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ya con el modelo

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Desp´ ues de plantear el modelo, nos enfrentamos al problema nada f´acil de resolverlo y pueden ocurrir dos cosas: • Al resolver el modelo la soluci´ on es consistente con los datos experimentales que se tienen, en este caso el modelo es razonable.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ya con el modelo

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Desp´ ues de plantear el modelo, nos enfrentamos al problema nada f´acil de resolverlo y pueden ocurrir dos cosas: • Al resolver el modelo la soluci´ on es consistente con los datos experimentales que se tienen, en este caso el modelo es razonable. • Si las predicciones que arroja el modelo son deficientes, podemos aumentar el nivel de complejidad del modelo para hacerlo mejor

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ya con el modelo

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Desp´ ues de plantear el modelo, nos enfrentamos al problema nada f´acil de resolverlo y pueden ocurrir dos cosas: • Al resolver el modelo la soluci´ on es consistente con los datos experimentales que se tienen, en este caso el modelo es razonable. • Si las predicciones que arroja el modelo son deficientes, podemos aumentar el nivel de complejidad del modelo para hacerlo mejor

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ya con el modelo

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Desp´ ues de plantear el modelo, nos enfrentamos al problema nada f´acil de resolverlo y pueden ocurrir dos cosas: • Al resolver el modelo la soluci´ on es consistente con los datos experimentales que se tienen, en este caso el modelo es razonable. • Si las predicciones que arroja el modelo son deficientes, podemos aumentar el nivel de complejidad del modelo para hacerlo mejor - Por supuesto, al aumentar la complejidad, la probabilidad de obtener una soluci´ on expl´ıcita se reduce.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ideas para un primer modelo Considerando el fen´ omeno de crecimiento poblacional 4 ¿Qu´e variables (o factores) son responsables en el cambio del tama˜ no de la poblaci´ on?

Ecuaciones Diferenciales

Ideas para un primer modelo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Considerando el fen´ omeno de crecimiento poblacional 4 ¿Qu´e variables (o factores) son responsables en el cambio del tama˜ no de la poblaci´ on? • El n´ umero de personas, • el espacio f´ısico para

habitar, • escasez o abundancia

en alimentos, • contaminaci´ on del

medio • etc´ etera

Ecuaciones Diferenciales

Ideas para un primer modelo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Considerando el fen´ omeno de crecimiento poblacional 4 ¿Qu´e variables (o factores) son responsables en el cambio del tama˜ no de la poblaci´ on? • El n´ umero de personas, • el espacio f´ısico para

habitar, • escasez o abundancia

en alimentos, • contaminaci´ on del

medio • etc´ etera

4 ¿Qu´e hip´otesis podemos establecer sobre el sistema?

Ecuaciones Diferenciales

Ideas para un primer modelo

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Considerando el fen´ omeno de crecimiento poblacional 4 ¿Qu´e variables (o factores) son responsables en el cambio del tama˜ no de la poblaci´ on? • El n´ umero de personas, • el espacio f´ısico para

habitar, • escasez o abundancia

en alimentos, • contaminaci´ on del

medio • etc´ etera

4 ¿Qu´e hip´otesis podemos establecer sobre el sistema? (Por simplicidad) El crecimiento o cambio de la poblaci´on es proporcional al n´ umero de habitantes en ese tiempo.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

Din´amica poblacional • Uno de los primeros intentos para modelar el crecimiento

de la poblaci´ on humana por medio de matem´aticas fue realizado en 1798 por el economista ingl´es Thomas Malthus. • La idea detr´ as del modelo de Malthus es la suposici´on de que la raz´ on con la que la poblaci´ on de un pa´ıs en un cierto tiempo crece, es proporcional§ a la poblaci´ on total de un pa´ıs en ese tiempo.

ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

§

Si dos cantidades u y v son proporcionales significa que una cantidad es un m´ ultiplo constante de la otra, es decir, u = kv

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Din´amica poblacional • Uno de los primeros intentos para modelar el crecimiento

de la poblaci´ on humana por medio de matem´aticas fue realizado en 1798 por el economista ingl´es Thomas Malthus. • La idea detr´ as del modelo de Malthus es la suposici´on de que la raz´ on con la que la poblaci´ on de un pa´ıs en un cierto tiempo crece, es proporcional§ a la poblaci´ on total de un pa´ıs en ese tiempo. • En otras palabras, entre m´ as personas est´en presentes en el tiempo t, habr´a m´as en el fututo. • Si P (t) denota la poblaci´ on en el tiempo t, entonces esta suposici´on se puede expresar con la ED

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

§

Si dos cantidades u y v son proporcionales significa que una cantidad es un m´ ultiplo constante de la otra, es decir, u = kv

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Din´amica poblacional • Uno de los primeros intentos para modelar el crecimiento

de la poblaci´ on humana por medio de matem´aticas fue realizado en 1798 por el economista ingl´es Thomas Malthus. • La idea detr´ as del modelo de Malthus es la suposici´on de que la raz´ on con la que la poblaci´ on de un pa´ıs en un cierto tiempo crece, es proporcional§ a la poblaci´ on total de un pa´ıs en ese tiempo. • En otras palabras, entre m´ as personas est´en presentes en el tiempo t, habr´a m´as en el fututo. • Si P (t) denota la poblaci´ on en el tiempo t, entonces esta suposici´on se puede expresar con la ED dP = kP dt

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

§

(8)

Si dos cantidades u y v son proporcionales significa que una cantidad es un m´ ultiplo constante de la otra, es decir, u = kv

Ecuaciones Diferenciales

Din´amica poblacional

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

• De lo anterior retomemos la ecuaci´ on diferencial

dP = kP dt • Note que la ecuaci´ on nos pide un funci´on P que depende

de t y es tal que: su derivada es un m´ ultiplo constante de ella,

ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

¿qu´e tipo de funci´ on ha de ser P (t), en su forma m´as general?

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

∗

como veremos m´ as adelante

Ecuaciones Diferenciales

Din´amica poblacional

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

• De lo anterior retomemos la ecuaci´ on diferencial

dP = kP dt • Note que la ecuaci´ on nos pide un funci´on P que depende

de t y es tal que: su derivada es un m´ ultiplo constante de ella,

ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones

¿qu´e tipo de funci´ on ha de ser P (t), en su forma m´as general? • P (t) = Cekt , donde C es una constante que surge de la

ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

integraci´on∗

∗

como veremos m´ as adelante

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Din´amica poblacional

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Si se dispone, como dato a˜ nadido, de la poblaci´on en el instante inicial P (t0 ) = P0 , podemos determinar la soluci´on particular. Y surge un problema de valor inicial (P.V.I.)

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Propagaci´on de una enfermedad

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Una enfermedad contagiosa, por ejemplo un virus de gripe, se propaga a trav´es de una comunidad por personas que han estado en contacto con otras personas enfermas. - Para este modelo se requiere considerar: x(t) como el n´ umero de personas han contra´ıdo la enfermedad, y(t) el n´ umero de personas que a´ un no han sido expuestos al contagio.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Propagaci´on de una enfermedad - Es l´ogico suponer que la raz´ on dx dt con la que se propaga la enfermedad es proporcional al n´ umero de encuentros, o interacciones, entre esos dos grupos de personas.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Propagaci´on de una enfermedad - Es l´ogico suponer que la raz´ on dx dt con la que se propaga la enfermedad es proporcional al n´ umero de encuentros, o interacciones, entre esos dos grupos de personas. - Si suponemos que el n´ umero de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t), esto es, proporcional al producto xy, entonces, un modelo sencillo para la propagaci´on de una enfermedad es: dx = kxy dt donde k es la contante de proporcionalidad.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Propagaci´on de una enfermedad

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- El modelo anterior, de inicio, no puede ser resuelto pues tenemos solamente una raz´ on de cambio y dos variables x y y, para resolver, requerimos hip´ otesis adicionales

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Propagaci´on de una enfermedad

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- El modelo anterior, de inicio, no puede ser resuelto pues tenemos solamente una raz´ on de cambio y dos variables x y y, para resolver, requerimos hip´ otesis adicionales - Suponiendo que en una comunidad hay N personas, si se introduce una persona infectada dentro de esa comunidad, entonces se podr´ıa argumentar que x(t) y y(t) est´an relacionadas por x + y = N + 1, en donde se desconoce qui´en es la infectada.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

- Despejando y de la expresi´ on x+y = N +1, nuestro modelo se reduce a dx = kx(N + 1 − x) dt la condici´on en este caso es, x(t0 ) = 1, que representa un infectado al tiempo t0 .

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Modelo de enfriamiento/calentamiento El modelo se rige por la siguiente ley “La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, es decir la temperatura del medio ambiente.” Si T (t) representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm es la temperatura del medio que lo rodea y dT dt es la rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo, entonces la ley de Newton de enfriamiento/calentamiento traducida en una expresi´on matem´atica es

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Modelo de enfriamiento/calentamiento El modelo se rige por la siguiente ley “La rapidez con la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea, es decir la temperatura del medio ambiente.” Si T (t) representa la temperatura del cuerpo al tiempo t, Tm es la temperatura del medio que lo rodea y dT dt es la rapidez con la que cambia la temperatura del cuerpo, entonces la ley de Newton de enfriamiento/calentamiento traducida en una expresi´on matem´atica es dT = k(T − Tm ) dt donde k es una constante de proporcionalidad.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Enfoques para resolver ED

Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

(a) Anal´ıtico

(b) Cualitativo

ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

(c) Num´erico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Recuerde que el problema de valor inicial dx = kx, x(t0 ) = x0 dt donde k es una constante de proporcionalidad, se usa como modelo para diversos fen´ omenos que involucran crecimiento o decadencia. Al resolver la ecuaci´ on diferencial tendremos dos par´ametros, k y C, para encontrarlos procedemos como se describe a continuaci´ on:

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Recuerde que el problema de valor inicial dx = kx, x(t0 ) = x0 dt donde k es una constante de proporcionalidad, se usa como modelo para diversos fen´ omenos que involucran crecimiento o decadencia. Al resolver la ecuaci´ on diferencial tendremos dos par´ametros, k y C, para encontrarlos procedemos como se describe a continuaci´ on: • conociendo la poblaci´ on en alg´ un tiempo inicial arbitrario

t0 , podemos usar la soluci´ on de la ecuaci´on diferencial para predecir la poblaci´ on en el futuro, esto es, podemos determinar C y los valores de la soluci´ on para t > t0

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Recuerde que el problema de valor inicial dx = kx, x(t0 ) = x0 dt donde k es una constante de proporcionalidad, se usa como modelo para diversos fen´ omenos que involucran crecimiento o decadencia. Al resolver la ecuaci´ on diferencial tendremos dos par´ametros, k y C, para encontrarlos procedemos como se describe a continuaci´ on: • conociendo la poblaci´ on en alg´ un tiempo inicial arbitrario

t0 , podemos usar la soluci´ on de la ecuaci´on diferencial para predecir la poblaci´ on en el futuro, esto es, podemos determinar C y los valores de la soluci´ on para t > t0 • La constante de proporcionalidad k puede ser determinada

de la soluci´ on del problema de valor inicial usando un dato adicional de la poblaci´ on, digamos t1

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo (Crecimiento de bacterias) Un cultivo tiene inicialmente P0 bacterias. En t = 1 hora se mide nuevamente el n´ umero de bacterias y resulta ser 23 P0 . Si la tasa de crecimiento es proporcional al n´ umero de bacterias P (t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que el n´ umero de bacterias se triplique

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejemplo (Crecimiento de bacterias) Un cultivo tiene inicialmente P0 bacterias. En t = 1 hora se mide nuevamente el n´ umero de bacterias y resulta ser 23 P0 . Si la tasa de crecimiento es proporcional al n´ umero de bacterias P (t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que el n´ umero de bacterias se triplique Sol. Para resolver el problema debemos identificar: • La ecuaci´ on diferencial involucrada en el problema. • Las condiciones iniciales, constantes y otras descripciones

del fen´omeno en el contexto del problema. • Resolver el PVI involucrado. • Responder a la pregunta con la soluci´ on particular

encontrada.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Ejemplo (Modelo de enfriamiento) Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Al sacar una botella de vino del refrigerador, la temperatura del vino es 5◦ C. Dos minutos despu´es de colocar el vino en la mesa su temperatura es de 9◦ C, si la temperatura en el lugar de la reuni´on es de 30◦ C. a) ¿Cu´al es la temperatura del vino 15 minutos despu´es de haber sido sacado del refrigerador? b) La temperatura ideal para beber un vino es de 17◦ C, ¿cu´anto tiempo hay que esperar para el vino alcance esta temperatura?

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejercicio Un dormitorio universitario aloja 100 estudiantes, cada uno de los cuales es susceptible de contraer infecci´ on viral. Un modelo matem´atico simple supone que durante el curso de una epidemia la tasa de cambio es dI = kI(100 − I) dt donde I(t) representa el n´ umero de estudiantes contagiados en el d´ıa t. a) Si en el tiempo t = 0, solamente un estudiante est´a contagiado, encuentra la funci´ on I(t). b) Si la constante de proporcionalidad k tiene un valor de 0.01 cuando t es medido en d´ıas. Encuentre el tiempo en que el 10 estudiantes estar´an infectados.

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Contenido: 1 Introducci´ on

Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´aticos Problemas de Valor Inicial (PVI) 2 M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales

ED Separables Cambio de variable ED Exactas Factor Integrante para ecuaciones diferenciales exactas Factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales 3 Aplicaciones

ED como modelos matem´aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales

Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

El modelo de crecimiento poblacional de Malthus establece kP , esto es, la tasa de crecimiento es k=

dP/dt P

(constante)

dP dt

=

Ecuaciones Diferenciales

Modelo Log´ıstico

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

El modelo de crecimiento poblacional de Malthus establece kP , esto es, la tasa de crecimiento es k=

dP/dt P

dP dt

=

(constante)

la tasa de crecimiento puede generalizarse como una funci´on f (P ), obteniendo el modelo conocido como la ecuaci´on log´ıstica, formulado por Verhulst,  dP r  =P r− P dt K La soluci´on de la ED anterior se conoce como la funci´on log´ıstica y su gr´afica como la curva log´ıstica

Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Introducci´ on Definiciones y ejemplos Clasificaci´ on de las ED ED como modelos matem´ aticos Problemas de Valor Inicial (PVI)

M´ etodos de Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales ED Separables Cambio de variable ED Exactas FI para exactas FI para lineales

Aplicaciones ED como modelos matem´ aticos Modelos de crecimiento / incremento Modelo Log´ıstico

Ejercicio El n´ umero de supermercados, N (t), de un pa´ıs que est´a usando sistemas de revisi´ on computarizados est´a descrito por la siguiente problema de valor inicial dN = N (1 − 0.0005N ), N (0) = 1 dt a) En el contexto del problema que significa la condici´on inicial N (0) = 1? b) Resuelva el problema de valores iniciales c) ¿Cu´antas compa˜ n´ıas se espera que adopten esta tecnolog´ıa cuando t = 10? d) ¿Cu´al es el mayor n´ umero posible de supermercados que usar´an esta tecnolog´ıa?