Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

La realidad económica está ligada al tiempo, ya que los fenómenos económicos ocurren y se transforman a lo largo del mismo. Al estudiar una situación donde se introduce la perspectiva temporal, se trata de determinar o al menos, obtener, información sobre las trayectorias que siguen las variables en el tiempo, conocidos algunos datos sobre su evolución. Dependiendo de como se interprete el tiempo, se tendrán dos nuevos objetos de estudio. Al considerar el tiempo como una variable continua, se tienen las ecuaciones diferenciales. Si el tiempo es discreto, entonces se estudian las ecuaciones en diferencia finita.

Definición de ecuación diferencial Una ecuación diferencial ante todo es una ecuación, es decir, una igualdad que se satisface para ciertos y determinados valores. Contiene incógnitas, y lo más importante, incluye derivadas. Por lo que se define de la siguiente manera: una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o varias variables independientes, una función de dicha o dichas variables, que es la incógnita, y las derivadas sucesivas de esta función hasta un determinado orden.

Orden de una ecuación diferencial Es el orden más alto de las derivadas que aparecen en la ecuación diferencial. Así, una ecuación diferencial de primer orden tendrá sólo una primera derivada. Ejemplo: d3y dy − 2 y − 3 x ln ( xy ) = 0 es una ecuación diferencial de orden tres porque el orden de 3 dx dx la derivada mas grande es tres.

Grado de una ecuación diferencial Viene dado por el exponente más alto que tenga la derivada de mayor orden en la ecuación diferencial. Tipos de ecuaciones diferenciales Entre los tipos de ecuaciones diferenciales están: a)Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que son aquellas donde la incógnita es

función de una única variable. Ejemplo:

dx = f ( x, t ) , donde x = x(t) es la función incógnita. dt

Variables separables Primer orden

Reducibles a lineales

Exactas Homogéneas EDO

Lineales No homogéneas

No lineales

b)Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, las cuales contienen una función de dos o más variables como incógnita y la ecuación tiene una o más derivadas parciales de la

función. Ejemplo: x

∂z ∂z +y = kz , donde z = z(x,y) es la función incógnita. ∂x ∂y

Se estudiarán ahora diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, las cuales son importantes para el estudiante de economía.

Problema de valor inicial Una ED tiene en general infinitas soluciones. El conjunto de todas las soluciones de una ED se llama la solución general de la ED. Una EDO1O tiene una solución general que usualmente depende de una constante. Si se exige que la solución pase por un punto del plano, la constante está unívocamente determinada. Cuando se da el valor de inicial,

x(to) = xo

t = to

al instante

será una condición inicial, y el problema ser{a un problema de valor

inicial.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (EDL1O) Una EDL1O se puede escribir dx + a (t ) x = b(t ) dt o bien, dy + u (t ) y = w(t ) dy

Aquí, a y b, o bien, u y w, son funciones continuas de t en in intervalo I, x = x(t) es la

función incógnita. La ecuación es lineal porque es una función lineal de x y de

dx . dt

Ejemplo: dx +x=t dt

(t 2 + 1)

dx + et x = t ln(t ) dt

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes (EDL1OCC) Caso homogéneo Si u y w fueran funciones constantes y w = 0, la ecuación se escribe

1 dy dy = −a . + ay = 0 , la cual es una ecuación homogénea. Esta ecuación se puede rescribir y dt dt Al ordenar los términos queda

dy = −adt . Se integran ambos miembros y da lo y

siguiente: ln(y) + lnC = -at. Se aplican propiedades de logaritmos y se obtiene

-at, que al simplificar se convierte en y(t)C = e-at. Si se despeja C, se escribe y (t ) =

reescribe y(t) = Ae-at con A =

lny(t)C =

1 − at e y se C

1 . C

La solución general de la ecuación será y(t) = Ae-at y la solución definida será y(t) = y(0) e-at Nótese que A es una constante arbitraria. Existe un infinito número de soluciones particulares, una por cada valor de A. Para el caso de A = y(0), se tiene el caso cuando la ecuación satisface la condición inicial.

Caso no homogéneo

dy + ay = b . Véase que el término independiente es una constante. dt

En el caso no homogéneo, la solución contempla la suma de dos términos, uno de los cuales se llama función complementaria yc, y el otro se conoce como la integral particular yp. La función complementaria viene dada por la solución del caso homogéneo y tiene la forma: yc = Ae-at. La integral particular es cualquier solución particular de la ecuación completa. Entonces: a)Dado que el término independiente es una constante, entonces, suponga como solución y = k, donde k es una constante b)Dada la forma de la solución y = k , halle su primera derivada, que en este caso es

dy =0 dt c)De acuerdo con (b) se tiene, sustituyendo,

dy b + ay = b = 0 + ay = b ∴ y = dt a

d)Entonces, como y = k sirve si y solo si a ≠ 0, entonces yp =

e)La solución general de

dy b + ay = b será y(t) = yc + yp = Ae-at + , a ≠0 dt a

f)Si y = y(0) cuando t = 0, queda y(0) = A +

queda y(t) = [y(0) -

b , a ≠0 a

b -at b ] e + , a ≠0 a a

b b ⇒ A = y(0) - . Entonces, en definitiva a a

g)El uso de la condición inicial para definir la constante arbitraria es el paso final después de haber hallado la solución general de la ecuación completa Ejemplo: Hallar la solución de

dy + 2 y = 6 con y(0) = 10. Al buscar la forma de la dt

solución general queda y(t) = [10 – 3]e-2t + 3 = 7e-2t + 3.

¿Qué pasa si a = 0? En ese caso la ecuación será

dy = b , de donde se obtiene la expresión dt

y(t) = bt + C. La solución particular es bt y la solución complementaria es C. Como a = 0, y p = Ae-at = Ae0 = A, donde A es una constante arbitraria. Para la función particular, la solución constante y = k no sirve, por ser a = 0. Esto significa que se debe buscar una solución no constante. Se elige entonces y = kt. Al hallar la primera derivada y’ = k. Entonces la solución completa se reducirá a k = b, por lo que la solución particular será yp = bt. La solución general de

dy = b será y(t) = yc + yp = A + bt, a = 0, que al dar la condición dt

inicial para hallar la constante arbitraria quedará y(t) = y(0) + bt. Ejemplo:

dy = 2 con y(0) = 5. Quedará y(t) = 5 + 2t dt

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes y término independiente constante (EDL2OCCTC) Se estudiarán sólo las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Una ecuación de este tipo tiene la siguiente forma: y”(t) + a1y’(t) + a2y = b

La solución de una EDL2OCCTC tiene dos componentes: una, llamada solución particular, la cual consta de un término; la otra, llamada solución complementaria, que tiene dos términos. La solución complementaria proviene de la ecuación homogénea, y la particular, de la ecuación inhomogénea. Solución particular o integral particular. Para hallar la integral particular se resuelve la ecuación y”(t) + a1y’(t) + a2y = b de la siguiente manera. Dado que el término independiente es constante, se supone una solución constante. Así, yp = k. Se tendrá entonces que la primera y segunda derivada de esa solución es cero: y’ = 0,

y” = 0.

Se sustituye en la ecuación y queda a2k = b, de donde k =

solución particular es y p =

b , a2 ≠ 0. Por tanto, la a2

b , a2 ≠ 0. a2

¿Qué pasa si a2 = 0? La ecuación será y” + a1 y’ = b. En este caso se supondrá yp = kt. De aquí, y’ = k y y” = 0. Se sustituye en la ecuación y queda: a1k = b, de donde k =

solución particular es yp =

b t, a1 ≠ 0, a2 = 0. a1

b , a1 ≠ 0, a2 = 0, por lo que la a1

¿Qué pasa si a1 = 0 y a2 = 0? La ecuación pasa a ser y” = b. Se supondrá entonces yp =

kt2. Al derivar dos veces queda y” = 2k. Se sustituye y da 2k = b, de donde k =

=

b . Entonces yp 2

b 2 t , a1 = 0 y a2 = 0. 2 Función complementaria. Para hallar la función complementaria se resuelve la

ecuación homogénea, es decir, y”(t) + a1y’(t) + a2y = 0. Se supondrá la forma de la solución yc = Aekt. De allí se obtiene que y’ = Akekt, y” = Ak2ekt. Se sustituye en la ecuación y queda: Ak2ekt.+ a1 Akekt + a2 Aekt = 0. Se extrae Aekt como factor común, y resulta la ecuación, denominada ecuación característica, k2 +a1k + a2 = 0. Esta es una ecuación cuadrática que tiene dos raíces, y dependiendo del discriminante, habrá tres naturalezas para las mismas: a) Raíces reales distintas. Es el caso cuando

a12 > 4a2 . Aquí la solución

complementaria adopta la forma siguiente: y1 = Ae k1t , y2 = A2e k 2 t , k1 ≠ k2. Estos términos se suman, constituyendo así una combinación lineal. b)

Caso raíces reales iguales. a12 = 4a2 . La solución complementaria toma la

siguiente forma: al ser k = −

a1 y necesariamente deben haber dos términos, uno de ellos se 2

kt kt multiplicará por t, por lo que queda: yc = A3e + A4te .

c)

Caso raíces complejas: a12 < 4a2 . Se adoptarán las siguientes expresiones:

k1, k2 = h ± ωi

h= −

a1 , 2

ω=

4a2 − a12 . Con el uso del teorema de Moivre, y 2

luego de hacer varias transformaciones trigonométricas, la solución toma la siguiente forma: yc = eht[A5cosωt + A6senωt]

Estabilidad dinámica del equilibrio La naturaleza de las raíces en la solución de una EDL2CCTC indicará el comportamiento dinámico de la misma. Para el caso de las raíces reales, la solución particular indicará el nivel de equilibrio y la solución complementaria, las desviaciones del mismo. Si el exponente en la solución complementaria es positivo, el comportamiento será explosivo, mientras que si el exponente es negativo, el comportamiento de la solución es convergente al nivel de equilibrio. En el caso de las raíces complejas, la presencia de senos y cosenos genera un comportamiento oscilatorio, que es modulado por el término exponencial. Así, si h > 0, será una sinusoide que se va amplificando en el tiempo, siendo este un comportamiento explosivo. Si h = 0, la sinusoide tendrá amplitud constante, mientras que si h < 0, la sinusoide decrecerá en el tiempo, siendo este un comportamiento convergente.