Document Text Nou

Exemplul 1: Fie dat� o mul�ime A cu m elemente �i o mul�ime B cu n elemente. S� se g�seasc� num�rul de permut�ri al mul�imii , astfel �nc�t primul element al unei astfel de permut�ri s� fie din A iar ultimul s� fie din B.

Solu�ie : Dac� fix�m un element din A pe primul loc �i un element din B pe ultimul loc atunci vom avea posibilit�i. Mul�imea A are m elemente, mul�imea B are n elemente rezult� c� vor fi posibilit�i de a�ezare a unui element din A pe primul loc �i a unui element din B pe ultimul loc. Astfel rezultatul exerci�iului este :

posibilit�i.

Exemplul 2: Patru alpini�ti Alecu, Barbu, Costel �i Dan s-au hot�r�t s� escaladeze o st�nc�. a) �n c�te moduri poate fi alc�tuit� ordinea escalad�rii, ne�in�nd seama de preferin�e? b) Dar dac� �n fruntea forma�iei trebuie s� fie Alecu? c) Dar �n cazul �n care �ncheietor de forma�ie va fi Alecu? d) Dar dac� de fiecare dat� cel din fruntea forma�iei, Alecu va fi urmat de Barbu? e) Dar �n cazul c�nd Alecu �i Barbu vor fi �n aceast� ordine �n forma�ie? f) Dar �n cazul c�nd Alecu va fi �n forma�ie de fiecare dat� �naintea lui Barbu?

Solu�ie : Fie mul�imea corespunz�toare locurilor pe care le vor ocupa alpini�tii, ce constituie elemente ale mul�imii .

a)

Se pune problema ocup�rii elementelor din

de c�tre cele ale mul�imii .

�n fond este vorba de o func�ie bijectiv� , adic� :

.

Cele 24 de forma�ii corespund celor 24 de drumuri din figur� :

b) Alecu ocup� pozi�ia 1 din , urm�nd ca ceilal�i trei s� ocupe pozi�iile 2,3,4, adic� :

Cele 6 forma�ii posibile le citi�i pe cele 6 drumuri din figur� :

c) Alecu va ocupa pozi�ia 4 din , urm�nd ca ceilal�i trei s� ocupe pozi�iile 1,2,3, adic� :

Cele 6 forma�ii posibile le citi�i pe cele 6 drumuri din figur� :

d) Pozi�iile 1,2 sunt ocupate de Alecu, Barbu �i deci pe pozi�iile 3,4 vor veni Costel �i Dan, adic� :

Cele 2 forma�ii posibile le citi�i pe cele 2 drumuri din figur� :

e) Presupunem c� avem 3 echipaje :

adic� :

care s� ocupe 3 pozi�ii : ,

Cele 6 forma�ii posibile le citi�i pe cele 6 drumuri din figur� :

f) Vor fi

forma�ii ce pot fi citite din figur� :

Exemplul 3: O grup� de studen�i trebuie s� programeze 4 examene �n timp de 8 zile. �n c�te moduri se poate face aceasta? Dar dac� ultimul examen se va da obligatoriu �n ziua a 8-a ?

Solu�ie : Vor fi

moduri. Dac� unul din examene se va da �n ziua a 8-a :

moduri.

Exemplul 4: C�te numere diferite de c�te una, dou�, trei,�,zece cifre, toate diferite �ntre ele, putem forma cu cifrele : 0, 1, 2, 3,�, 9 ?

Solu�ie : Cu dou� cifre date, putem forma at�tea numere, c�te aranj�ri putem forma cu 10 elemente luate c�te 2, din care se scade num�rul acelora care �ncep cu 0, deci :

Cu trei cifre date, putem forma at�tea numere, c�te aranj�ri putem forma cu 10 elemente luate c�te 3, din care se scade num�rul acelora care �ncep cu 0, deci :

Cu patru cifre date, putem forma at�tea numere, c�te aranj�ri putem forma cu 10 elemente luate c�te 4, din care se scade num�rul acelora care �ncep cu 0, deci :

Cu zece cifre date, putem forma at�tea numere, c�te aranj�ri putem forma cu 10 elemente luate c�te 10, din care se scade num�rul acelora care �ncep cu 0, deci :

.

Exemplul 5 :La � Balul M�r�i�orului � sunt 7 fete �i 8 b�ie�i. La un anumit dans trebuiesc formate 4 perechi. �n c�te moduri se pot forma aceste perechi ?

Solu�ie : faza 1. Se aleg b�ie�ii : . Pentru fiecare variant� se distribuie fetele : . Num�rul de moduri este :

faza 2. Se aleg fetele : . Pentru fiecare variant� se distribuie b�ie�ii : . Num�rul de moduri este : .

R�spuns :

sau .