Distribuciones Discretas De Probabilidad

UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA CENTRO REGIONAL DE OCCIDENTE

ASIGNATURA: Estadística I TEMA: DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

DOCENTE: LIC. WALTER FRANCISCO VASQUEZ FLORES

ALUMNO: HEBER ANTONIO LEMUS VILLEDA

FECHA: Santa Ana, 17 de noviembre de 2008.

INDICE

Distribuciones Discretas de Probabilidad

INTRODUCCIÓN Analizar datos recabados, puede tornarse una tarea difícil en cuanto a cuales pueden ser los resultados y para que necesitarían la información. La estadística, como una rama de la matemática, presenta formas prácticas de resolver estas dificultades. Una distribución de los datos en categorías que ha demostrado ser útil al organizar los procedimientos estadísticos, es la distinción entre variables discretas.

Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. En otras palabras, se define una variable discreta como la variable tal que entre 2 valores cualesquiera observables, hay por lo menos un valor no observable. Esta distribución tiene muchas variantes, pero entre las más importantes podemos mencionar 5 y son: Distribución Binomial, la cual mideel número de éxitos

en una secuencia de “n” ensayos

independientes de Bernoulli; Distribución Binomial Negativa, que estudia el número de experimentos, independientes entre sí; La Distribución Poisson, que expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo: La Distribución Geométrica e Hipergeométrica.

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD En estadística,

dada

una variable

aleatoria X,

la distribución

de

probabilidad de X

es la función FX(x), que asigna a cada evento definido sobre X una probabilidad, que está definida por:

y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

1.

y

2. Es continua por la derecha. 3. Es monótona no decreciente. Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice X, y se escribe simplemente F(x). La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad f(x). Es decir, se calcula directamente según:



Si x es una variable aleatoria discreta



Si x es una variable aleatoria continua

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Propiedades

Para

dos

números

y

reales

cualesquiera a y b tal

que (a < b),

los

sucesos

serán mutuamente excluyentes y su unión es el suceso

, por lo

que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable. Para realizar cálculos es más cómodo conocer las distribución de probabilidad, para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE DISCRETA Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. En otras palabras, se define una variable discreta como la variable tal que entre 2 valores cualesquiera observables, hay por lo menos un valor no observable. A dicha función se la llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

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Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la

suma de todas las probabilidades desde

hasta el valor x.

Distribuciones de variable discreta más importantes Existen 5 tipos de distribuciones de variable discreta que son las más importantes, y estas son:



Distribución binomial



Distribución binomial negativa



Distribución Poisson



Distribución geométrica



Distribución hipergeométrica

Distribución Binomial Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo aleatorios e independientes. La distribución binomial es una generalización de la distribución de Bernoulli, a la que puede llegarse nuevamente haciendo n = 1. Su función de masa de probabilidad está dada por:

para

, siendo

elementos tomados de

6

en

)

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las combinaciones de

en

(

Por ejemplo, la distribución binomial se puede usar para calcular la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En realidad solo se calcula la probabilidad de sacar 5 caras, pero como es lógico si en 12 lanzamientos de una moneda sacamos 5 caras el resto deben ser cruces, 7 en este caso. Por lo tanto debemos definir la variable "X: Número de caras obtenidas en 12 lanzamientos de

moneda".

En

este

caso

se

tiene

que

y resulta:

Observese que para el caso concreto de la moneda al ser la probabilidad de éxito θ = 0,5 la función

de masa de probabilidad solo depende del número combinatorio

ya que:

0,5x(1 − 0,5)n − x = 0,5x0,5n − x = 0,5n − x + x = 0,5n que es constante para un n fijo. Su media y su varianza son:

Experimento binomial La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface las siguientes condiciones:



El

experimento

consiste

en

una

secuencia

antes del experimento.

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de n ensayos,

donde n se

fija



Los ensayos se realizan bajo idénticas condiciones, y cada uno de ellos tiene unicamente dos

posibles

resultados,

que

se

denotan

a

conveniencia

por

éxito (E) o

fracaso (F) (p(E)+p(F)=1).



Los ensayos son independientes, por lo que el resultado de cualquier ensayos en particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.



La probabilidad de éxito es idéntica para todos los ensayos.

Siguiendo estas premisas, la variable aleatoria binomial X está definida como X = el número de E entre los n intentos. Relaciones con otras variables aleatorias

Se verifica que si

parámetro

son tales que cada una sigue una distribución Bernouilli de

, y todas ellas independientes entre sí, entonces

aleatoria con distribución binomial de parámetros

Además, si n es grande y

a

resulta ser una variable

.

es pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros tiende

, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de

Poisson de parámetro Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n>=30) la distribución binomial se aproxima a la distribución normal. Propiedades reproductivas

Dadas n variables aleatorias 

, tales que

todas tienen una distribución binomial

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

todas tienen el mismo parámetro



cada una tiene su propio parámetro

(es decir, los n no necesariamente tienen que ser

iguales) 

son todas independientes entre sí



se toma la variable aleatoria



se toma

Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros

y

.

Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, donde cada una tiene su propio n pero

todas tienen igual

, su suma es también una variable binomial, cuyo parámetro n es la suma de

los n de las variables originales, y cuyo parámetro

coincide con el de las originales.

Distribución binomial negativa En estadística, la distribución binomial negativa, o distribución pascal, es una distribución de probabilidad discreta. Esta distribución de variable discreta estudia el número de experimentos, independientes entre si, realizados hasta la obteción del k-ésimo éxito. Es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. Donde k es el número de ensayos exitosos donde acaba el experimento y θ es la probabilidad de éxito en un ensayo (o experimento).

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Su función masa de Probabilidad viene dada por:

Para

Siendo el combinatorio Su media y su varianza son:

si pensamos en "fracasos esperados", y

si consideramos "número de experimentos" (incluyen k-1 éxitos y los fracasos)

(para ambos casos)

Por ejemplo, si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? Sea X: Número de niños expuestos a una enfermedad contagiosa.

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Distribución de Poisson En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson1 expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento. La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson(1781–1840) que publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des

jugements

criminelles

et

en

matière

matières civile2.

El

trabajo estaba enfocado en ciertas variables aleatorias N que cuentan,

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

entre otras cosas, un número de ocurrencias discretas (muchas veces llamadas "arribos") que tienen lugar durante un intervalo de tiempo de duración determinada. Si el número esperado de ocurrencias en este intervalo es λ, entonces la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un entero no negativo, k = 0, 1, 2, ...) es igual a:

dónde



e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),



k! es el factorial de k,



k es el número de ocurrencias de un evento,



λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está

1La distribución Poisson es también llamada Poissoniana, análogamente al término Gaussiana para una distribución de Gauss o distribución normal.

2"Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles"

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interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5. Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan

encuadernaciones defectuosas.

Su media y su varianza son:

Como una función de k, ésta es la función probabilidad de masa. La distribución de Poisson puede ser vista como un caso limitante de la distribución binomial, es decir, que una distribución binomial

en la que

y

se puede aproximar por una distribución de Poisson de

valor Ocurrencia La distribución Poisson, Se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en una área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución Poisson incluyen: 

El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.



El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.



El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.

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

El número de servidores web accedidos por minuto.



El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.



El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.



El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente menor que la vida media de la sustancia.



El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.



La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.



La inventiva de un inventor a través de su carrera.

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Propiedades



El valor esperado de una variable aleatoria con distribución Poisson es igual a λ y también lo es su varianza. Los momentos más altos de la distribución Poisson son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen un sentido combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución Poisson es 1, entonces la fórmula de Dobinski dice que el enésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.



Las medidas de tendencia central de una variable aleatoria de distribución Poisson con un

λ no entero es igual a

(o suelo de λ), el cual es el número entero más grande menor o

igual a λ. Esto también es expresado como la función parte entera de λ. Cuando λ es un entero positivo, las medidas de tendencia central son λ y λ − 1. 

Sumas de las variables aleatorias de distribución Poisson:

Si

sigue

una

distribución

Poisson

y Xi son independientes entonces

con

también

parámetro

sigue

una

distribución Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros del componente.



La función generadora de momentos de la distribución Poisson con valor esperado λ es:



Todas las acumulaciones de la distribución Poisson son iguales al valor esperado λ. El enésimo momento factorial de la distribución Poisson es λn.



La distribuciones Poisson son funciones probabilísticas infinitamente divisibles.

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

La divergencia Kullback-Leibler dirigida entre Poi(λ0) y Poi(λ) está dada por:

Distribución Geométrica En teoría

de

probabilidad y estadística,

la distribución

geométrica

es

cualquiera

de

las

dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:



La distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o



La distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Cuál de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y conveniencia. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

para n = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es

para n = 0,1, 2, 3,.... En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica. Por ejemplo, supongamos que un dado ordinario es lanzado repetidamente hasta que aparece "1" por primera vez. La distribución de probabilidad del número de veces que el dado es lanzado se encuentra en el conjunto infinito {1, 2, 3,...} y es una distribución geométrica conp=1/6. El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es 1/'p y su varianza es (1 − p)/p2;

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Equivalentemente, el valor esperado de una variable aleatoria distribuida geométricamente Y es (1 − p)/p, y su varianza es (1 − p)/p2.

La función generatriz de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,

Como su continua análoga (la distribución exponencial), la distribución geométrica es sin memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria. De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto

es,

para

cualquier

entero

positivo n,

existen

variables

aleatorias

independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1

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Distribuciones relacionadas La distribución geométrica Y es un caso especial de la distribución binomial negativa, con r = 1. Más generalmente, si Y 1,...,Yr son variables independientes distribuidas geométricamente con

parámetro p,

entonces

sigue

a

una

distribución

binomial

negativa

con

parámetros r y p. Si Y1,...,Yr son variables independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito pm posibles ), entonces su mínimo W = minmYm es también geométricamente distribuido, con parámetro p dado por

1-∏m(1-Pm) Distribución hipergeométrica En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:

N = Tamaño de población. n = Tamaño de muestra. d = Cantidad de elementos que cumple característica deseada. x = Cantidad de éxitos.

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Aquí,

se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al

seleccionar b elementos de un total a. Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al extraer (sin reemplazo) una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido. El valor esperado de una variable aleatoria X de distribución hipergeométrica es

Y su varianza

llamando

,

q=1−p

entonces:

La distribución hipergeométrica se puede aproximar por una distribución binomial Bi(n,p) si

y

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BIBLIOGRAFÍA

•

Gestiopolis: http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/distripoisson.htm 10:00 pm - 15 /Nov/ 2008.

•

Monografías: http://www.monografias.com/trabajos27/probabilidadesdiscretas/probabilidadesdiscretas.shtml - 03:15 pm - 16 /Nov/ 2008.

•

Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad – 9:45 am – 15 /Nov/ 2008.

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